資源簡(jiǎn)介

)圣場(chǎng)偏哩
中考滿分?jǐn)?shù)學(xué)世·會(huì)·通
(二)模型運(yùn)用的問(wèn)題
專題11線段最值模型
幾何圖形中線段最值問(wèn)題涉及兩個(gè)基本圖形，一個(gè)是兩點(diǎn)之間線段最短，另一個(gè)是垂
線段最短.這兩個(gè)基本模型的特點(diǎn)是：第一，動(dòng)點(diǎn)在某一圖形（如直線、圓）上運(yùn)動(dòng)構(gòu)成折
線段，另兩個(gè)點(diǎn)是定點(diǎn)，這時(shí)經(jīng)常把折線段轉(zhuǎn)化成兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離；第二，動(dòng)點(diǎn)在定
直線上運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)化為一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的問(wèn)題.涉及的輔助線是作某條直線的對(duì)稱點(diǎn)，
利用軸對(duì)稱完成這種轉(zhuǎn)化.解決的辦法是根據(jù)題目中的條件抽象出題目的本質(zhì)特征，構(gòu)造
圖形完成目標(biāo)問(wèn)題向基本模型的轉(zhuǎn)化
C)引例熱身>)
1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,點(diǎn)D是斜邊AB邊
上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段CD的長(zhǎng)的取值范圍是多少？
2.(1)AC⊥a于點(diǎn)C,BD⊥a于點(diǎn)D,AC=2,BD=1,CD=4,點(diǎn)P
1
是直線a上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
第1題圖
①如圖①，當(dāng)A,B在a的異側(cè)時(shí)，求PA+PB的最小值；
②如圖②，當(dāng)A,B在a的同側(cè)時(shí)，求PA+PB的最小值
D
圖①
圖②
(2)AC⊥a于點(diǎn)C,BD⊥a于點(diǎn)D,AC=4,BD=1,CD=4,點(diǎn)P是直線a上的一個(gè)
動(dòng)點(diǎn).
①如圖③，當(dāng)點(diǎn)A,B在a的同側(cè)時(shí)，求PA-PB的最大值；
②如圖④，當(dāng)點(diǎn)A,B在a的異側(cè)時(shí)，求PA-PB的最大值
h
D
圖③
圖④
第2題圖
3.已知⊙0的半徑是5，點(diǎn)P是平面內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)Q為⊙0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)當(dāng)OP=3時(shí)，求線段PQ的最大值和最小值.
84
初是場(chǎng)偏生小考憤型方法深究篇
(2)當(dāng)OP=7時(shí)，求線段PQ的最大值和最小值，
第3題圖
恩路指引
1
個(gè)定點(diǎn)和個(gè)動(dòng)點(diǎn)
動(dòng)點(diǎn)在方線上
轉(zhuǎn)化為年線段最短
兩個(gè)龍點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)
動(dòng)點(diǎn)在直線上
轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之問(wèn)線錢(qián)最短
作對(duì)稱燈
個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)
動(dòng)點(diǎn)在阿上
轉(zhuǎn)化為三角形三邊關(guān)系
幾何最小值問(wèn)題常用的結(jié)論是：垂線段最短；兩點(diǎn)之間線段最短
圖形特點(diǎn)及規(guī)律：明確動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)，確定解決模型，再轉(zhuǎn)化為基本圖形
一動(dòng)一靜常用垂線段最短；一動(dòng)二靜常用兩點(diǎn)之間線段最短.很多題目雖然背景條件
不盡相同，但通過(guò)變換可以轉(zhuǎn)化為應(yīng)用上述兩種結(jié)論求出最值.涉及的常用基本圖形就是
上面的三個(gè)引例，
點(diǎn)撥分析
1.點(diǎn)C是定點(diǎn)，點(diǎn)D是動(dòng)點(diǎn)，且在AB邊上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)CD⊥AB
時(shí)，CD最短，由面積可以求出CD的最小值。CD=3X4-是.點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，CD的
5
值最大，號(hào)≤CD<4
2.(1)①如圖①，連接AB,AB與a的交，點(diǎn)P即為所求.這是兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的
基本圖形，當(dāng)三個(gè)點(diǎn)共線時(shí)，由兩點(diǎn)間線段最短可以確定點(diǎn)P的位置.通過(guò)構(gòu)造直角三角
形運(yùn)用勾股定理求出最小值A(chǔ)B=5.②圖②與圖①的圖形比較只是A,B兩點(diǎn)位置不同，可
以利用對(duì)稱把它轉(zhuǎn)化為圖①中的情況，使問(wèn)題得到解決，其根本想法就是把折線段最短問(wèn)
題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短.PA+PB的最小值A(chǔ)B′=5
圖D
圖②
第2題答圖(1)
85)圣場(chǎng)偏生
中考滿分?jǐn)?shù)學(xué)柑·會(huì)·通
0
∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+
、形P0B周長(zhǎng)的最小值是3萬(wàn)+廳+點(diǎn)p姿烏魯
∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC..·∠BAC=
的坐標(biāo)為(2,0)
90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，.∠MPN=90°，
∴.△PMN是等腰直角三角形.
(3)由(2)知，△PMW是等腰直角三角形，
PM=PN=BD,PM最大時(shí)，△PMN面積
最大，，點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上，，BD=AB+
AD=28.PM=14..m=
針對(duì)訓(xùn)練3：
解：△AOB是一個(gè)斜邊為定值的三角形，聯(lián)想到直
7×14=98
角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，取AB的
中點(diǎn)E,連接OE,DE,當(dāng)O,D,E三點(diǎn)共線
(二)模型運(yùn)用的問(wèn)題
時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大，此時(shí)，AB=2,
專題11線段最值模型
BC =1.OE AE =2 AB 1.DE
針對(duì)訓(xùn)練1：
√AD2+AE=2+12=2,.0D的最大值
解：(1)由菱形的對(duì)稱性可知，B點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)
為2+1.
稱點(diǎn)是點(diǎn)D,折線PQ+PB轉(zhuǎn)化為DP+PQ
當(dāng)D,P,Q共線時(shí)，用垂線段最短的結(jié)論得
出PQ+PB的最小值就是點(diǎn)D到AB的距離.
根據(jù)題中條件可求出最小值是3.
(2)考慮到題目條件中∠DAC=30°，可以過(guò)點(diǎn)
P作PR⊥AD于點(diǎn)R,構(gòu)造出PR=PA,使
針對(duì)訓(xùn)練4：
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本型。當(dāng)B,P,R共線時(shí)，根
解：(1)CG=5CFCF⊥CG理由如下：，：在
據(jù)垂線段最短，PB+PA最小值就是B點(diǎn)到
Rt△ABC中與Rt△DCE中，∠ACB=∠DCE=
90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC=V3,
AD邊的垂線段的長(zhǎng)度，最小值是5.
.AE =2DC =23,AC =3BC =3,AB
針對(duì)訓(xùn)練2：
2BC,∠CDE=60°，.BC=1,AB=2.點(diǎn)
解：(1)由題意，可得BE與AC交于點(diǎn)P.:點(diǎn)B
與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，PD=PB,(PD+
R,G分別是BD,AE的中點(diǎn)，CG=2AE=
PE)成小=PB+PE=BE.:正方形ABCD的面
積為12，∴.AB=23.又，△ABE是等邊三角
5CG=AC,CF-AB=1.CF-AF..CG=
形，.BE=AB=23.故所求最小值為2√3.
3CF,∠GDC=∠GCD=60°，∠ACF=∠FAC=
D
30°，.∠FCG=90°，.CF⊥CG.
(2)仍然成立.理由如下：：∠ACB=∠DCE=
90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC=3,
∴.∠BCD=∠ACE,AG=3BC,CE=5CD,
能=5=8器△a4,品-
(2)四邊形APQB中PQ=1,AB=√/17，只需
5,∠CAE=∠CBD.:點(diǎn)F,G分別是BD,AE
求出AP+QB的最小值即可.我們分析題中條
件，發(fā)現(xiàn)和將軍飲馬問(wèn)題及其相似，相當(dāng)于河
的中點(diǎn)，BF=號(hào)0，AG=寧遲，六S
邊飲馬后還要沿河走一段固定路程，我們可以
考慮把線段PQ看成一個(gè)點(diǎn)，那就是把點(diǎn)P向
=3=4C
CG
=BC,△ACG△BCF,C年
右平移一個(gè)單位，使其符合基本圖形，同時(shí)把
點(diǎn)A也向右平移一個(gè)單位，再作對(duì)稱點(diǎn)，BC
的長(zhǎng)就是AP+QB的最小值，BC=32,四邊
C=5,LBCF=LACG,∴CG=5CF,∠ACB=
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