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初圣場偏生小歲卡軸能力突破筑
(三)二次函數圖象平移、旋轉與軸對稱問題
專題23二次函數圖象平移、旋轉與軸對稱問題
關于二次函數圖象平移、旋轉與軸對稱問題一直是很多地區的中考熱點.平移、旋轉
與軸對稱是三種基本幾何變換，這種變換僅改變了圖形的位置，并沒有改變圖形的形狀與
大小.因此變換下的兩個圖形全等，這樣的變換被稱為全等變換.解決變換問題的關鍵是
抓特殊點，由特殊點帶動整體的變換.將函數與全等變換相結合，通過圖象上特殊點的變
換來研究函數的變換是一種重要的方法.部分地區考查了二次函數圖象變換前后的兩個圖
象的性質，分類討論、數形結合思想是解決這類題目的關鍵
引例熱身>》》
1.有兩點A(x1,y),B(x2,y2),則線段AB的中點P的坐標為
2.已知點A(h,k),將點A先向下平移3個單位，再向左平移2個單位，得到點A'的坐標
為
3.已知點A(h,k)
①關于點(m,0)的對稱點坐標是
②關于點(0，n)的對稱點坐標是
③關于點(m,n)的對稱點坐標是
④先將點A沿x軸翻折，再沿y軸翻折，得到點A'的坐標為
⑤先將點A繞其原點旋轉180°，再繞點(1,2)旋轉180°，得到點A'的坐標
為
思路指引
過點A,B,P
作：坐標軸的垂線
化斜為正
Fr-yN
點沿a軸平移
縱坐標個變
向右橫坐標加
向左費華標誠
沿××變
點沿袖平移
橫坐標不變
向上縱坐標
向下縱坐郁減
沿某立線靡折
或者】
找到對稱中心
利川中點坐標
結論解決問題
繞某點旋蘋180
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初子場偏生
中考滿分數學世·會·通
B00
點撥分析
烏
在平面直角坐標系中研究點與線的問題，最常見的輔助線就是過已知，點作坐標軸的垂
線，源于點的坐標定義
1+2y+y2
2
2
厘由如下：如答圖，p,p==”2點刀
的坐標為
1+2y1+y2
、2’2
引例熱身題答圖
2.(h-2,h-3)理由如下：點沿坐標軸的平移規律是沿x軸平移則x變，沿y軸平
移則y變，故點A'的坐標為(h-2,k-3).
3.①(2m-h,-k)②(-h,2n-k)③(2m-h,2n-k)④(-h,-k)⑤(2+
h,4+k)理由如下：關于某點的對稱點、關于直線的翻折、繞某點旋轉180°的問題，實
質都是線段中點問題，利用中點坐標結論來解決問題很方便，
典例串燒>)》
例1將拋物線y=-2x2+4x-1進行下列變換，直接寫出變換后所得新拋物線的解
析式
(1)先向下平移4個單位，再向左平移3個單位.
(2)沿y軸翻折
(3)繞其頂點旋轉180.
(4)繞點(2,1)旋轉180°.
思路指引
個等變換前后l不少
逾變換后a的符號
得出遨物線的暉析式
求出原地物線的頂點
按變換方式求出頂點
迷津指點將拋物線y=-2x2+4x-1化為頂點式y=-2(x-1)2+1.然后確定變換
后二次項系數。的符號，再求出變換后的頂點即可
(1)y=-2(x+2)2-3;(2)y=-2(x+1)2+1;(3)y=2(x-1)2+1;(4)y=2(x-
3)2+1.
186初圣場偏生
參考答案
0
B00
測試闖關
②y=-(x-1)2-2
1.解：(1)y=-x2-2x+5=-(x+1)2+6,
③y=(x+1)2+2
.對稱軸為x=-1,x<-1時，y隨x的增
④y=-(x+1)2+4理由如下：原地物線的
大而增大，x≤-2，當x=-2時，最大值
頂點(1,2)繞點(0,3)旋轉180°后對應頂點
y=-(-2)2-2×(-2)+5=5,無最小值.
為(-1,4)，旋轉后開口向下，，所得圖象
(2)x≤2，當x=-1時，有最大值y=6,無最
的解析式為y=-(x+1)2+4.
小值.
針對訓練2：
(3)-2≤x≤1，當x=-1時，有最大值y=6:
解：(1)二次函數y=x2-1的圖象M沿x軸翻折得
當x=1時，有最小值y=2.
到函數的解析式為y=-x2+1,此時頂點坐標
(4)0≤x≤3，當x=0時，有最大值y=5:當
(0,1),將此圖象向右平移2個單位長度后再
x=3時，有最小值y=-10.
向上平移8個單位長度得到二次函數圖象N的
頂點為(2,9)，故N的函數解析式y=-(x
2)2+9=-x2+4x+5.
(2)M與V所圍成的封閉圖形如圖所示，由圖
象可知，M與N所圍成的封閉圖形內（包括邊
界)整點的個數為25個.先求出M與N的交
點坐標，可令x=-1,0,1,2,3,代入相應
的M,N的解析式，求得y值，在兩個y值之
2.解：y=-x2+4x-5化為頂點式為y=-(x
間數出整數y的個數，即得整點的個數.
2)2-1,其對稱軸為x=2,由題意知其最大值
為-10.當m-1>2,即m>3時，-(m-1-
2)2-1=-10,解得m1=6,m2=0(舍去)；當
m+1<2,即m<1時，-(m+1-2)2-1=
-10,解得m1=4(舍去)，m2=-2.當m-1≤
2≤m+1時，最大值等于-1≠-10.不符合題
意（舍去）.
綜上所述，m的值為6或-2.
3.解：討論對稱軸與-2,1的三種關系，結合拋
物線的增減性來求m的值.y=(x-m)2+1-
m2的對稱軸是x=m.①當m≤-2時，取x=
-2時，y粒小值=(-2-m)2+1-m2=-2,解
得m=-子（含去）.②當-2≤m≤1時，取
x=m時，y小值=(m-m)2+1-m2=-2,解
針對訓練3：
得m,=-5,m2=5(舍去).③當m≥1時，
解：(1)點M(1,-a-2)繞點P(t,-2)旋轉
180°得到點N,,點P為MN中點.設N(m,
取x=1時，y小做=(1-m)2+1-m2=-2,解
得m=2.
m),則有，m=,二a,2+n=-2,解得m
2
2
綜上所述，m的值是-3或2
=2t-1,n=a-2.點N在直線l:y=2x
(三)二次函數圖象平移、旋轉與軸對稱問題
a上，∴.a-2=2(2t-1）-a,解得a-2t.
(2):旋轉前拋物線對稱軸為直線x=1,.當
專題23二次函數圖象平移、旋轉與軸
a>0,拋物線開口向上時，在-2≤x<1的范
圍內滿足y隨x增大而減小，.旋轉后拋物線
對稱問題
開口向下，且頂點N(21-1,a-2).要滿
針對訓練1：
足在-2≤x<1的范圍內y隨x增大而減小，
解：①4,8
即拋物線下降，，對稱軸直線x=2t-1需在
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