資源簡介

)是場偏哩
中考卡軸能力突破篇
專題27
與圓有關(guān)的二次函數(shù)問題
初中階段二次函數(shù)是代數(shù)中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，圓是平面幾何最具綜合性的內(nèi)容，兩
者都在中考中占據(jù)極其重要的地位，經(jīng)常放在壓軸題的位置，能夠很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)
綜合素養(yǎng)，分析問題、解決問題的能力.圓心與拋物線的關(guān)系、圓上的點(diǎn)和拋物線的關(guān)系，
其本質(zhì)就是把位置關(guān)系向數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化.兩者結(jié)合在一起既是中考命題的熱點(diǎn)，也常常作
為壓軸題出現(xiàn)，
引例熱身>》
1.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)C(2,3)為圓心，以2為半徑的圓與x軸交于A,B兩
點(diǎn).若二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,B,試求此二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)
第1題圖
第2題圖
2.如圖，拋物線y=-(x+1)(x-3)與x軸分別交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè))，與y軸
交于點(diǎn)C,⊙P是△ABC的外接圓.
(1)直接寫出點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸
(2)求⊙P的半徑
(3)點(diǎn)D在拋物線的對稱軸上，且∠BDC>90°，求點(diǎn)D縱坐標(biāo)的取值范圍.
思路指引
1.
求相關(guān)線段的長
轉(zhuǎn)化成線段坐標(biāo)
待定系數(shù)法求出6，c
(1)令=0，=0
暉乃禍
利用對稱性求出對稱軸
(2)
HA,G的坐標(biāo)求
利刀同弧竹橋求
求出BC的值，山網(wǎng)股定
∠BC的度數(shù)
∠PC的度數(shù)
理或三角數(shù)求川半徑
(3
當(dāng)∠BDC=90時(shí)，
勾股定坪求
列方釋求出
確D的縱華標(biāo)
設(shè)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為
出相關(guān)線段
的臨界值
皮的耿值范用
223
初子場偏生
中考滿分?jǐn)?shù)學(xué)世·會(huì)·通
點(diǎn)撥分析
1.如圖，要求A,B的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求相關(guān)線段的長，過點(diǎn)
C作CM⊥AB于點(diǎn)M,連接AC,已知AC=2,CM=3,由勾股定理，
得AM=1,則點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(1,0)，(3,0)，代入y=x2+
bx+c中，拋物線的解析式為y=x2-4x+3=(x-2)2-1.故頂點(diǎn)坐
標(biāo)為(2，-1).
第1題答圖
2.(1)將求A,B,C的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為解方程.分別代入y=
0,x=0求出與之對應(yīng)的x,y的值，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,0)，
點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3).拋物線的對稱軸
為直線x=1.
(2)由(1)知，∠OAC=45°，如圖，連接CP,BP,由于圓
周角∠BAC與圓心角∠BPC對著同一條弧BC,所以∠BPC=
2∠BAC,可得出∠BPC=90°.在Rt△BOC中，由勾股定理，
第2題答圖
得BC=0,PB=PC=2.BC=5,OP的半徑為5.
(3)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，n),可求出當(dāng)∠BDC=90°時(shí)n的值，即D為以BC為直徑的
圓與拋物線對稱軸的交，點(diǎn)，據(jù)此可以求出臨界點(diǎn).當(dāng)∠BDC=90°時(shí)，利用勾股定理知
BD2+CD2=BC2,[(-1-1)2+(0-n)2]+[(0-1)2+(3-n)2]=10,m1=1,n2=2.依
據(jù)圖形及題意，當(dāng)190.
)典例串燒>》>》
例1如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為(4，-1)
的拋物線交y軸于點(diǎn)A,交x軸于B,C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左
側(cè))，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為(0,3)
(1)求此拋物線的解析式.
(2)過點(diǎn)B作線段AB的垂線交拋物線于點(diǎn)D,如果以點(diǎn)C
為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸與⊙C有
怎樣的位置關(guān)系，并給出證明.
例1題圖
思路指引
(1)》
設(shè)頂點(diǎn)式
代入點(diǎn)的坐標(biāo)
解方程，求的伉
令解析式
求出.點(diǎn)B,(的
作垂線構(gòu)
世較半徑和園心
(2
=0
坐和對稱軸
造相似形
到別稱軸的幣離
迷津指點(diǎn)用頂，點(diǎn)式設(shè)拋物線的解析式，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入其中，求出此二次函數(shù)的解
折式y(tǒng)=(x-4)2-1=2-2x+3.
224初圣場偏生
中考滿分?jǐn)?shù)學(xué)世·會(huì)·通
綜上所述，滿足要求的等邊三角形的邊長可以
帝烏
是6√3,27,2/13
專題27與圓有關(guān)的二次函數(shù)問題
針對訓(xùn)練1：
解：(1)如圖，連接CD,CB,過點(diǎn)C作CM⊥AB
B
于點(diǎn)M.設(shè)⊙C的半徑為r.:⊙C與y軸相
切于點(diǎn)D(0,4),.CD⊥OD.∠CD0=
∠CM0=∠DOM=90°，∴.四邊形ODCM是矩
形，.CM=OD=4,CD=OM=r.B(8,
0),.OB=8,.BM=8-x.在Rt△CMB中，
BC2=CM2+BM2,.2=4+(8-r)2,解
圖①
圖②
得r=5,.C(5,4),.⊙C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(x-5)2+(y-4)2=25.
(2)如圖②，△APQ是等邊三角形，此時(shí)點(diǎn)Q
與點(diǎn)B重合，P在x軸下方，.等邊三角形的
邊長為AQ=AB=6√3.
(3)如圖③，△APQ是等邊三角形，此時(shí)點(diǎn)Q
與點(diǎn)C重合，點(diǎn)P在x軸上方，∴等邊三角形
的邊長為AQ=AC=27.
(2)直線AE和⊙C相切.理由如下：如圖，連
接AC,CE.CM⊥AB,,AM=BM=3,
A(2,0),B(8,0).設(shè)拋物線的解析式為
圖③
(4)如圖④，△APQ是等邊三角形，此時(shí)點(diǎn)Q
y=(x-2)(x-8).把D(0,4)代人y=
在第三象限，點(diǎn)P在x軸下方.PA=PB=PQ,
所以A,Q,B三點(diǎn)在以點(diǎn)P為圓心，PA為半徑
a(x-2)(:-8).可得a=子，拋物線的解
的圓周上，∠AB0=號∠APQ=30,直線BQ
析式為y=4(x-2)(x-8)=42-子x+
1
5
的解析式為y=
5
3x-5,Q(-23,-7),
1
4=
子(：5)》-號，小拋物線的頂點(diǎn)
.AQ=2/13,即等邊三角形APQ的邊長為2/13.
5,)E+(=華cB
4+=草AC=5,CE=AC+AB
.∠CAE=90°，.CA⊥AE,,AE和⊙C是相
切的關(guān)系。
針對訓(xùn)練2：
的
解：(1)把A(-3,0),B(1,0)分別代入拋物線
2
解析式，得9a-36-2=0,
a="
3
解得
故該
la+b=0.
b=
4
3
21
4
圖④
拋物線解析式是y=子+3x-2
278
)圣場偏生
參考答案
(2)若點(diǎn)D在x軸的下方，當(dāng)點(diǎn)D為拋物線頂
測試闖關(guān)
烏
點(diǎn)(-1，時(shí)，C(0,-2),△ABD的
1.解：(1)∠ACB=90°，.AB是⊙0的直徑.
令y=0,則m2-8mx-9m=0.m≠0，
面積是△BG面積的號倍：專<子，
5
.x1+2=8,.點(diǎn)0的坐標(biāo)為(4,0).
:.D點(diǎn)一定在x軸上方.設(shè)D(m,n),
(2):∠ACB=90°，CD平分∠BCE,∴.∠BCD=
45°，∠D0B=90°，即0'D⊥AB,D(4,-5),
:△ABD的面積是△AC面積的子倍，n=
9…號+gm-2=9
直線BC的解析式為y=號-3，直線BD的解
.m=-4或
析式為y=x-9.
m=2.-4,9戌2,9）)
(3)分點(diǎn)P在直線BD下方和點(diǎn)P在直線BD上
方兩種情況，分別求解即可，由點(diǎn)A,B,C的
(3)3提示：CF的值最小時(shí)，EF的值最小，
當(dāng)CF⊥AB時(shí)，由勾股定理得EF的最小值
坐標(biāo)得，拋物線的解折式為y=弓-弩-30
是3
針對訓(xùn)練3：
解：(1)連接PC,A(-4,0),B(1,0),
AB=5.P是AB的中點(diǎn)，且是⊙P的圓
心，.P℃=PA=2.5,0P=4-2.5=1.5.
.0C=√PC-0P2=2,.C(0,-2).設(shè)經(jīng)
過A,B,C三點(diǎn)的拋物線為y=a(x-1)(x+
4,-2=a0-1D0+4),a=分拋
物線解析式為y=寧（x-1)(x+4)=寧2+
2-2
當(dāng)點(diǎn)P(P)在直線BD下方時(shí)，直線DP的解析
(2)證明：只需證直線MC是⊙P的切線。將
式為y}-9@,聯(lián)立①②，解得
y=2+-2配方.得=2(+2
9+9(不符合題意，奔去
2
點(diǎn)頂點(diǎn)為(-，-
設(shè)直線MC
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為9+√④④-29
（2,6
當(dāng)點(diǎn)
1-2=b,
為y=x+b,則有
25
26*6,
3
得
P在BD的上方時(shí)，直線DH的解析式為y=
8、
3x-17③，聯(lián)立①③，解得x=3或14（舍去x=
3).故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(14,25)，故點(diǎn)P的坐標(biāo)
4直線MC為y=子x-2設(shè)Mc與
3
b=-2,
為9+厘，厘-29成14,25)，
2
6
x軸交于點(diǎn)N,在y=子-2中，令y=0,得
2.解：(1)四邊形OKPA是正方形.證明如下：
⊙P分別與兩坐標(biāo)軸相切，PA⊥OA,PK⊥
0K..∠PA0=∠OKP=90°，又∠AOK=
90°，.∠PA0=∠OKP=∠AOK=90°，∴.四邊
vom+0c-√含+2=9.G+
形OKPA是矩形，又.AP=KP,,四邊形OKPA
PC2=PW2,.∠PCN=90°，.MC是⊙P的切
是正方形.
線.即過點(diǎn)C的⊙P切線必過拋物線的頂
(2)①如圖①，連接PB,過點(diǎn)P作PG⊥BC
點(diǎn)M.
于點(diǎn)G,:四邊形ABCP為菱形，BC=PA=
279

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