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)圣場偏生
中考滿分數學彬·會·通
專題3有關四邊形的解法和證明
四邊形中涉及平行四邊形和特殊的平行四邊形的有關性質和判定的知識較多，這些知
識容易混淆，而且既涉及全等的有關知識，又涉及相似的有關知識，最近幾年有關幾何探
究的試題已成為中考的熱點，經常以四邊形有關知識為背景，設置相關計算和證明.轉化
的思想方法在這一部分中體現得非常明顯，如經常轉化為三角形的全等或相似來解決相關
問題，還有特殊和一般的關系，經常從邊、角、對角線、對稱性等方面去考慮，關于面積
的求法也比較靈活，如常用割補或等積變形等方法
引例熱身>>》
1.在平行四邊形ABCD中，滿足什么條件，能使四邊形AECF是平行四邊形（至少寫出三
個)？請簡要說明理由。
第1題圖
第2題圖
第3題圖
2.順次連接四邊形各邊中點所形成的四邊形叫中點四邊形.如圖四邊形EFGH是四邊形
ABCD的中點四邊形.滿足什么條件，能使四邊形EFGH是矩形、菱形、正方形？
3.矩形ABCD中，AB=6,BC=8,將△BCD沿BD翻折，試求陰影部分的面積
思路指引
呋想平行四邊形的判
結合平行四邊形的州質
補出缺失的條件
2
先證明是平行四邊形
確定形狀奴決丁對角線
4耳根陸判定尋我缺火條科
3
根據所積確定需求的量
觀察目標最位置
什糾股定型得方程
點撥分析
1.要證四邊形AECF是平行四邊形，可以從邊、對角線等角度思考如何得到四邊形
AECF是平行四邊形.E,F分別是對角線BD上的兩個點，而平行四邊形對角線互相平分，
只需滿足AC和EF互相平分即可，所以可以添加BE=DF;或者添加AE⊥BD于點E,
CF⊥BD于點F,再通過全等證出一組對邊平行且相等；或者添加AE和CF分別平分∠A和
∠C,也可以通過全等證出四邊形AECF是平行四邊形.
16
圣場偏生考必備知訓應川第
2.根據題目中點的條件，可以連接對角線，由三角形中位線定理可得中點四邊形一定
是平行四邊形，而且中點四邊形的形狀一定和對角線的關系有關，可以運用逆推的方法，
由四邊形EFGH是矩形、菱形、正方形反推出對角線的關系，由此可得出對角線AC⊥BD
時，四邊形EFGH是矩形；當AC=BD時，四邊形EFGH是菱形；當AC⊥BD且AC=BD
時，四邊形EFGH是正方形.
3.聯想到三角形的面積，若DE為底，則高AB=6是已知的，所求目標轉化為求DE.
根據翻折可證得BE=DE(平行線+角平分線，推出等腰三角形或證全等)，可以把已知量
和未知量統一到一個三角形中，利用勾股定理來解決問題.可設BE=DE=x,AE=8一x,
在△ME中，由均段定理，得6+(8-)=，解得x=空則S4m療
4
典例串燒>》》
例1如圖，在△ABC中，點D是BC邊的中點，
點E是AD的中點，過A點作AF∥BC,且交CE的延
長線于點F,連接BF,
(1)求證：四邊形AFBD是平行四邊形
(2)當AB=AC時，求證：四邊形AFBD是矩形
(3)在(2)中△ABC再增加條件
則四邊
例1題圖
形AFBD是正方形
思路指引
山全鏟及中位線理
證歲一到對邊平行
(1
已知一組對邊平行
樂證另紅別邊平行、
或者證該組對邊機等
山全鏟證該組對邊相鏟
(2)
〔上)已證平行叫邊形
希證四邊形某
山三線合一得到直
一內角為直布
(3)(2)已證矩形
紡合條件證鄰邊機等
出等腰知希
填方角條件
迷津指點(1)四邊形AFBD對邊已經平行，根據判定，只需證另一組對邊平行或這
組對邊相等即可，結合已知條件，由平行線加中點的條件可證得△AEF≌△DEC,可得
FA=CD,而BD=CD,可證出FA=BD,故四邊形AFBD是平行四邊形.（也可由全等證出
點E是FC的中點，由中位線定理得出FB∥AD)
(2)因為AB=AC,點D是BC的中點，由等腰三角形三線合一的性質可知AD⊥BC,根
據矩形的定義證出四邊形AFBD是矩形.
(3)由矩形到正方形，只需鄰邊相等即可，即AD=BD,所以添加的條件是∠BAC=90
或∠ABC=45.
17初子場偏生
參考答案
00
∠EBD=90°，BE=25,BD=5,DE=
5,BM=BE BD=2,:DM=/BD BM=
DE
1,..CM DM 1,CD =2,CDM
3.解：(1)，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=
∠DCM=45°.'△ABE△CBD,·CD=BC
.AE AB
90°，AC=BC,AB=4,.AC=BC=2V2
2,∠CDB=∠AEB,.AE=22.:∠AEB+
:點D為BC的中點，CD=2BC=2,
∠PEB=180°，.∠CDB+∠PEB=180.
∴.AD=w/10.
∠EBD=90°，.∠APC=90°，PE=PD=
(2)證明：過點M作MH⊥BC于點H,連接AE.
AC⊥BE,CD=CE,,AE=AD,.∠EAC=
號E=5.c=m-m2,PA
義
2 an L PAC=PC=1
PE+AE=9
PA=3
專題3有關四邊形的解法和證明
針對訓練1：
解：(1)四邊形ABCD是矩形，.AD∥BC,AD=
BC,.∠EDO=∠OBF.點O是BD中點
D H
∴B0=D0.∠EOD=∠BOF,∴在△DE0
∠DAG.:∠CAD=∠DEF,∠EAC=∠DEF
和△BFO中，△DEO≌△BFO(ASA),OE=
.·∠AME=∠B+∠BEM,∠EAM=∠BAC+
OF,.四邊形EBFD是平行四邊形.又.EF⊥
∠EAC,∠CAB=∠B=45°，.∠AME=
BD,.四邊形EBFD是菱形.
∠EAM,.AE=EM,,AD=EM,,△ACD≌
(2):四邊形EBFD是菱形，，ED=EB.設
△EHM(AAS),∴.CD=MH,∴.BM=2MH=
AE=x,則ED=EB=8-x,在Rt△ABE中，
2CD.
BE2=AB2+AE2，即(8-x)2=x2+42,x=
4.解：AG=2BC+EC.理由如下：如圖，延
3,.AE=3..DE=5,.四邊形EBFD的周
長CF到點M,使得FM=CF,∴.△AFM≌
長=4×5=20.
△EFC(SAS),∴.EC=AM,∠M=∠ECF,.∠G=
針對訓練2：
解：(1)如圖①所示，作輔助線，構造三角形全
等，證明△AEM蘭△EFN和△ADE≌△CDE
(SAS),可得AE=CE=EF,或者令EF與AB
的交點為Q,可證明△AQE≌△EQB,△ABE≌
△CBE,則∠F=∠BAE=∠BCE,△EFC為等
腰三角形，則總有EF=CE.
(2)分兩種情況：根據三角形的面積公式可得
∠ECF=∠M,.△ACM≌△BCG(AAS),
y與x之間關系的函數表達式，根據勾股定理
∴.AM=BG,∴.EC=BG.CA=CB,∠ACB=
計算BD的長可得x的取值.在Rt△BCD中，
90°，AB=2BC,,AG=AB+BG=2BC+EC.
5.解：(1)∠ABC=∠EBD=90°，∴.∠ABE=
LCBD.AB =6,BC =3,EB =25,BD
5,8-3=2.△MBE△cm
(2)如圖，設DE交BC于點M.在Rt△DEB中，
B
圖①
圖②
由勾股定理，得BD=√52+52=52，.0≤
≤52，①當0≤x≤5,2時，如圖@，由勾股
2
定理可知EN=
2
2,FB=5-2BN=5-w2x,
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