資源簡介

)圣場偏哩
考必備識成刀篇
專題5銳角三角函數(shù)的應用
銳角三角函數(shù)是解決實際問題的重要工具之一，也是每年中考的必考點.學習這部分
知識時，我們往往先把實際問題抽象成數(shù)學模型，然后在相關條件的直角三角形中，利用
銳角三角函數(shù)聯(lián)系邊和角的關系，利用已知角和邊求出未知量，
心引例熱身>》
1.如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東55°方向，距離燈塔2km的點A處，如果海輪沿正
南方向航行到燈塔的正東方向，海輪航行的距離AB長是
()
A.2 km
B.2sin 55 km
C.2cos55°km
D.2tan 55 km
北
B
第1題圖
第2題圖
第3題圖
2.如圖，某地修建高速公路，要從B地向C地修一條隧道(B,C在同一水平面上).為了
測量B,C兩地之間的距離，某工程師乘坐熱氣球從C地出發(fā)，垂直上升1O0m到達A
處，在A處觀察B地的俯角為30°，則B,C兩地之間的距離為
()
A.100w3m
B.502m
C.503m
D.
1003
-m
3
3.如圖，河壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1：√3（坡比是坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC
之比)，壩高BC=3m,則坡面AB的長度是
()
A.9 m
B.6 m
C.63m
D.3√3m
思路指引
確聯(lián)系已知邊與
根批布函墩建
找淮條件相關的立角三角形
卡知邊的三角函數(shù)
立關系式求邊
在直角三角形中，銳角三角函數(shù)：sina=
對邊
鄰邊
對邊
斜邊，Cosa=
斜邊，tana=鄰邊
圖形特點：三角函數(shù)知識是在直角三角形這部分內(nèi)容中學習的，因此做（或利用）三角
函數(shù)試題（解決問題）時，需找準相關邊、角的直角三角形.這類試題，題目條件中的角通
常涉及三類問題：方位角（南北為基準向東西方向偏的夾角）、俯角仰角（視線與水平線的
夾角)、坡度坡角（坡度或坡比一
坡面的鉛垂高度
坡面的水平長度'
坡角指坡面與水平面的夾角)，而這些
角通常結(jié)合平行線或垂線轉(zhuǎn)化到相關直角三角形中.
31
初子場錦生
中考滿分數(shù)學·會·
點撥分析
1.首先，由方向角的定義及已知條件得出∠NPA=55°，AP=2km,∠ABP=90°，然
后由AB∥NP,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A=∠NPA=55°，然后解Rt△ABP.在Rt△ABP
中，∠ABP=90°，得出AB=AP·cos∠A=2cos55(km),故選C.
第1題答圖
第2題答圖
第3題答圖
2.首先，根據(jù)題意，得∠ABC=30°，AC⊥BC,AC=100m,然后利用正切函數(shù)的定
義，在R△ABC中，∠ACB=90°，BC=an∠ABc=3=1003(m),故選A
3
3.在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及鉛直高度BC的值，通過解直角三角形即
可求出斜面AB的長.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC÷tanA=33m,AB=
√32+(33)=6(m),故選B.
典例串燒>》
例1如圖，在A港口的正東方向有一港口B.某巡邏艇
北
從A港口沿著北偏東60°方向巡邏，到達C處時接到命令，
立刻在C處沿東南方向以20km/h的速度行駛2h到達港口
B.求A,B兩港之間的距離.（結(jié)果保留根號）
例1題圖
思路指引
構(gòu)造們關邊角所
從已別·條邊和個角的
把所求邊代入第二
在直角二角形
直角二角形人于求其他邊
個自角三角形求邊
迷津指點，過點C作CD⊥AB于點D,根據(jù)題意，得
北
∠ACD=60°，∠BCD=45°，由此構(gòu)造出BC邊所在的等腰直
角三角形BCD和有一個60°角的Rt△ACD.因為已知BC=
6i0
20×2=40(km),所以先從Rt△BCD入手.在Rt△BCD中，
東
∠CDB=90°，根據(jù)銳角三角畫數(shù)可求出CD=BD=2BC=
例1題答圖
2
20√2km.再把CD代入Rt△ACD中，在Rt△ACD中，∠CDA=90°，得AD=CD·tan60°=
20V6km,即AB=AD+BD=20w6+20√2(km).
32初圣場錦生
參考答案
09
解得AC=20cm,.⊙0的
(2)BF⊥AC,.∠BPA=∠BPC=90°，
.∠C=45°，∴.△BCP是等腰直角三角形，
半徑是10cm.
∴BP=PC.∠BAC=30°，.PA=3BP.由
5.解：(1)如圖，過D作DM⊥BC,垂足為M.
題意，得BP+3BP=10,解得BP=53-5.
針對訓練2：
解：如圖，設直線DH交EG于點M,交AC于點
N,則EM=AN.設AN=x,則PM=x+2.25.
4537出
∠ACB=90°，.DM∥AC,.△DMB
G C
AACB.AD =4BD,AC=3,BC =1,..DM=
在R△AND中，∠ADN=45,.AN=ND=
x.,AE=MN=2,則MH=6+x+2=8+x.
與4c=號.cW=號c=號
在Rt△DMC中，
在Rt△PHM中，∠PMH=90°.lan37°=
m∠0n:2:子，pm∠n:子
,+2235=0.75,解得x=15,4C月
x+8
AW+NC=15+1.7≈17(m),故廣告牌的高度
(2)①如圖，連接OE,OF,⊙0與AC相切
為17m.
針對訓練3：
解：過點D作DG⊥BC于點G,DH⊥AB于點H,
交AE于點F,如圖所示.，坡面CD=10m,
4
蒡
30
G C E
B
于AC的中點E,.OE⊥AC,作OH⊥BF,垂足
山坡的坡度i=1:5,.DG=5,CG=55.
為H,∠ACB=90°，，四邊形OHCE為矩形
在R△ADM中，∠AHF=90,an30°=
設⊙0的半徑為r,則OF=OE=CH=r,
DH
0H=cE=C=子，F(xiàn)=BH=CH-BC=
=t,則D明=3x,GB
r-1,.在Rt△OHF中，OF2=OH+HF2,
.EB GB CG -CE =3x-53-10,AB
=(侵+(-1只，解得r=號
AH+HB=x+5.在Rt△AEB中，tan∠AEB=
品-5，小85-0
x+5=5,解得x=10+
②AF與CD的位置關系是AF⊥CD.理由如下：
如圖，延長CD,交AF于點K由(1)知，
53,AH =10 +53..AB=AH BH
CP=BC+BF=1+2-)=號，在m△ACF
10+55+5=15+5515+5×1.73≈
23.7(m).
中，∠ACB=90°，am∠CAF=GE
3
AC=4
答：樓房AB高度約為23.7m.
測試闖關
3
tan LBCD=4,六LCMF=LBCD,即∠CAF=
1.解：過點B作BG⊥AD于點G.:在Rt△ABG
中，∠BAG=30°，AB=10km,,AG=5√5km.
∠FCK.:∠CAF+∠F=90°，∴.∠FCK+
∠F=90°，即AF⊥CD.
專題5銳角三角函數(shù)的應用
針對訓練1：
37
y3D°
解：(1)3045
237

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