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專題5.6 一次函數(shù)中的特殊三角形模型
模塊1：學習目標
一次函數(shù)中的特殊三角形模型，共分為四大類（一次函數(shù)中的等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、全等三角形），本專題就一次函數(shù)中的特殊三角形模型進行專題總結。
模塊2：知識梳理
1、一次函數(shù)中的等腰三角形（方法：兩圓一線）
例：已知點A（1,3），點在軸上，使為等腰三角形。
第1步：畫圖，初步確認點的位置（如圖1）；
圖1 圖2 圖3 圖4
第2步：分三種情況求解：（標等邊，用公式）
由題意知（兩點間距離公式）：
①當時（如圖2），∴ ∴
②當時（如圖3），利用三線合一做輔助線： ∴ ∴
③當時（如圖4），設， 解得：x=5 ∴
2、一次函數(shù)中的直角三角形（方法：兩線一圓）
例：已知點A（1,3），點在軸上，使為直角三角形。
第一步：畫圖，初步確認點的位置（如圖1）；
圖1 圖2 圖3
第二步：分兩種情況求解：（標直角，用公式）
①當時（如圖2），
設，∵ ∴∴ ∴
②當時（如圖3），設 ∵ ∴
3、一次函數(shù)中的等腰直角三角形
例：已知點A（1,3），點在平面內(nèi)，使為等腰直角三角形。
第一步：畫出6個答案（如圖1）：
圖1 圖2 圖3 圖4
第二步：分三種情況求解：（見等腰直角三角形構“K”型全等求坐標）
①當時（如圖2），設，構造“K”型全等：，
表示線段：；；；
由全等得；
∴；同理，可得
②當時，同①中方法構造“K”型全等，可得：，
③當時，法1：同①中方法構造“K”型全等（如圖4）
法2（中點坐標）：（如圖3）為的中點 ∴ ∴； 同理，可得
4、一次函數(shù)與全等三角形
1）解題步驟：①先找固定相等的角或邊；②以對應邊/角相等要求分類討論全等情況。
2）相等的角或邊情況：
①公共邊情況（如圖1）：平面內(nèi)找一點，使以、、為頂點的三角形與全等.
圖1 圖 2
、關于成軸對稱，、關于成軸對稱，即是、的中垂線，可用中垂線代數(shù)法求點。
②固定角相等（如圖2）：①兩個三角形為直角三角形；②相等角為對頂角：
模塊3：核心考點與典例
考點1、一次函數(shù)中的等腰三角形
例1．（2022·鞏義市八年級期末）如圖，直線分別與x軸、y軸交于A、B兩點，直線交直線于點C，點P為x軸上一動點．（1）求點C坐標；（2）當直線平分的面積時，直線與y軸交于點D，求線段的長；（3）若是等腰三角形，直接寫出點P的坐標．
【答案】（1）點；（2）；（3），，，
【分析】（1）通過解方程組即可求出答案；（2）設P（x，0），則OP＝x，根據(jù)直線CP平分△OAC的面積，建立方程求出 P（3，0），故OP＝3，利用待定系數(shù)法求出直線PC的解析式為y＝ 2x＋6，進而求得OD＝6，再運用勾股定理即可求得答案；（3）分三種情況：①當OP＝OC＝2時，則P（2，0）或P（ 2，0）；②當CP＝OC＝2時，過點C作CM⊥OP（或x軸）于點M，則MP＝MO＝2，即OP＝2OM＝4，可得P（4，0）；③當OP＝PC時（即作OC的中垂線交x軸于點P），由∠OCP＝∠POC＝45°，得∠OPC＝90°，即CP⊥x軸，可得P（2，0）．
【詳解】（1）由題意可得：，解得：，∴點；
（2）如圖，
∵直線分別與x軸、y軸交于A、B兩點，
∴令y＝0，則 x＋3＝0，解得x＝6，令x＝0，則y＝3，∴A（6，0），B（0，3），∴OA＝6，
∵點P為x軸上一動點．直線CP平分△OAC的面積，∴設P（x，0），則OP＝x，
∴×2 OP＝××2 OA，即×2x＝××2×6，
∴x＝3，即 P（3，0），OP＝3，設直線PC的解析式為y＝kx＋b（k≠0），
由題意可得：，解得：，
∴直線PC的解析式為y＝ 2x＋6，∴D（0，6），∴OD＝6，
∵y軸⊥x軸，即OD⊥OB，又∵OD＝6，OP＝3，∴PD＝；
（3）∵C（2，2），∴OC＝2，∵△COP是等腰三角形，∴此題有三種情形：
①當OP＝OC＝2時，如圖①，
則P（2，0）或P（ 2，0）；
②當CP＝OC＝2時，過點C作CM⊥OP（或x軸）于點M，如圖②，
則MP＝MO＝2，即OP＝2OM＝4，∴P（4，0）；
③當OP＝PC時（即作OC的中垂線交x軸于點P），如圖③，
又∵直線y＝x與x軸夾角∠POC＝45°，∴∠OCP＝∠POC＝45°，
∴∠OPC＝90°，即CP⊥x軸，∴OP＝CP＝2，∴P（2，0）；
綜上所述，P（2，0）或P（ 2，0）或P（4，0）或P（2，0）．
【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點坐標，求兩直線交點坐標，三角形面積公式，勾股定理，等腰三角形性質等，解題關鍵是運用數(shù)形結合思想和分類討論思想解決問題．
變式1．（2022·重慶黔江·八年級期末）如圖一，已知直線與軸交于點，與軸交于點，直線與軸交于點，與直線交于點．
(1)求直線的解析式；(2)如圖二，點在直線上且在軸左側，過點作軸交直線于點，交 軸于點，當，求出，兩點的坐標；(3)將直線向左平移10個單位得到直線交軸于點，點是點關于原點對稱點．過點作直線軸，點在直線上，若是以為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點的坐標．
【答案】(1) (2)P（-10，16）；Q（-10，-8）
(3)M1（，2）， M2（，2） ， M3（0，2）
【分析】（1）將點代入，求出點D的坐標，再利用待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）設，則，，由題意可得，則，求出x的值即可求出點的坐標；
（3）分別求出，，設，分三種情況討論：當時，或；當時，；
（1）將點代入，∴，解得，∴，
設直線m的解析式為，∴，解得，∴；
（2）設，則，，∴，，
∵，∴，∴，解得，∴，；
（3）由題意可得直線n的解析式為，∴，
∵，∴，設，∴，，，
當時，，解得，∴或；
當時，，解得或（舍），∴；
綜上所述：M的坐標為或或．
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖像性質，熟練掌握一次函數(shù)的圖像性質，等腰三角形的性質，分類討論是解題的關鍵．
變式2．（2022·成都市·八年級期末）如圖，在直角坐標平面內(nèi)，點O是坐標原點，點A坐標為（3，4），將直線OA繞點O順時針旋轉45°后得到直線y=kx（k≠0）．
(1)求直線OA的表達式；(2)求k的值；(3)在直線y=kx（k≠0）上有一點B，其縱坐標為1．若x軸上存在點C，使△ABC是等腰三角形，請直接寫出滿足要求的點C的坐標．
【答案】(1)(2)(3)（7+2，0）或（7﹣2，0）或（0，0）或（6，0）或（，0）
【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求解；
（2）過點作，交直線于，作軸于，過點作于，由“”可證，可得，，進而可得點坐標，代入解析式可求的值；
（3）分三種情況討論，利用等腰三角形的性質和兩點距離公式可求解．
（1）設直線解析式為，
點，，，直線解析式為，
（2）如圖，過點作，交直線于，作軸于，過點作于，
，，，，
，，，，
，，，，點，，；
（3），，當時，，點；
設點，點，點，點，
，，，
若時，，解得：或6，點或；
當時，，，點，或，；
當時，，，點，，
綜上所述：點坐標為，或，或或或，．
【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，兩點距離公式等知識，利用分類討論思想解決問題是解題的關鍵．
考點2、一次函數(shù)中的直角三角形
例2．（2022·遼寧沈陽·八年級階段練習）在平面直角坐標系中，已知點，點，函數(shù)的圖象與直線交于點M，與y軸交于點C．(1)求直線的函數(shù)解析式；(2)當點M在線段上時，求m的取值范圍；(3)當為直角三角形時，求m的值．
【答案】(1)(2)(3)0或-1
【分析】（1）利用待定系數(shù)法直接求解即可；（2）畫出圖形，即可知當直線在直線AD（包括直線AD）和直線BE（包括直線BE）之間時，點M在線段上．由A、B兩點坐標分別求出m，即可得出其取值范圍；（3）分類討論①當時和②當時，結合圖象即可求解．
（1）設直線的函數(shù)解析式為，
則，解得：．∴直線的函數(shù)解析式為；
（2）如圖，當直線在直線AD（包括直線AD）和直線BE（包括直線BE）之間時，點M在線段上．
當經(jīng)過點A時，即直線與直線AD重合，∴；
當經(jīng)過點B時，即直線與直線BE重合，∴，解得：．
∴當時，點M在線段上；
（3）∵點A在y軸上，∴不可能為直角．
分類討論：①當時，如圖，此時C點與原點重合，
即直線經(jīng)過原點，∴，即；
②當時，如圖點，設∴，，
∵，
又∵，∴，解得：，∴
當直線y=2x+m經(jīng)過（0，-1）時，即m=-1，符合題意.
綜上可知當為直角三角形時，m的值為0或-1．
【點睛】本題考查利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與幾何的綜合．利用數(shù)形結合的思想是解題關鍵．
變式2．（2022 浠水縣月考）如圖，在平面直角坐標系中，直線AB分別交x軸、y軸于點A（a，0）、點B（0，b），且a、b滿足a2+4a+4+|2a+b|＝0．（1）a＝　；b＝　．（2）點P在直線AB的右側，且∠APB＝45°；①若點P在x軸上，則點P的坐標為 　　；②若△ABP為直角三角形，求點P的坐標．
解：（1）a2+4a+4+|2a+b|＝（a+2）2+|2a+b|＝0，即：a＝﹣2，b＝4，故答案為：﹣2，4；
（2）①由（1）知，b＝4，∴B（0，4）．∴OB＝4．
∵點P在直線AB的右側，P在x軸上，∠APB＝45°，∴OP＝OB＝4，∴P（4，0）．故答案為：（4，0）；
②由（1）知 a＝﹣2，b＝4，∴A（2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，
當∠BAP＝90°時，過點P作PH⊥x軸于H，
∴∠HAP+∠BAH＝90°，∠ABO+∠BAH＝90°，∴∠OBA＝∠HAP，∠AOB＝∠AHP＝90°，
又∠APB＝45°，∴AP＝AB，∴△OBA≌△AHP（AAS），
∴PH＝AO＝2，AH＝OB＝4，OH＝AH﹣AO＝2，故點P的坐標為（2，﹣2）；
當∠ABP＝90°時，同理可得：點P的坐標為（4，2），故點P的坐標為（2，﹣2）或（4，2）．
變式2．（2022 陳倉區(qū)期中）（1）閱讀理解：我們知道：平面內(nèi)兩條直線的位置關系是平行和相交，其中垂直是相交的特殊情況．在坐標平面內(nèi)有兩條直線：l1：y1＝k1x+b1（k1≠0）；l2：y2＝k2x+b2（k2≠0），有下列結論：當k1＝k2時，直線l1∥直線l2；當k1 k2＝﹣1時，直線l1⊥直線l2．（2）實踐應用：①直線y＝kx+5與直線y＝﹣3x+2垂直，則k＝　　．②直線m與直線y＝﹣2x+3平行，且經(jīng)過點（4，﹣2），則直線m的解析式為 　　．③直線y＝﹣2x+3向右平移 　　個單位，其圖象經(jīng)過點（6，﹣4）．（3）深入探索：如圖，直線y＝x+1與x軸交于點B，且經(jīng)過點A，已知A的橫坐標為2，點P是x軸上的一動點，當△ABP為直角三角形時，求△ABP的面積．
解：（2）①∵直線y＝kx+5與直線y＝﹣3x+2垂直，∴k1 k2＝﹣1，∴k＝，故答案為：；
②∵直線m與直線y＝﹣2x+3平行，
∴設直線m的函數(shù)解析式為y＝﹣2x+b，將（4，﹣2）代入得b＝6，
∴直線m的解析式為：y＝﹣2x+6，故答案為：y＝﹣2x+6；
③設直線y＝﹣2x+3平移后經(jīng)過（6，﹣4）的函數(shù)解析式為y＝﹣2x+a，
∴﹣2×6+a＝﹣4，∴a＝8，∴y＝﹣2x+8，
∴y＝﹣2x+3與x軸交點為（0，），y＝﹣2x+8與x軸交點為（0，4），
∴向右平移了4﹣＝個單位，故答案為：；
（3）由題意知：A（2，3），B（﹣1，0），當△ABP為直角三角形時，存在兩種情形，
當AP⊥x軸時，P（2，0），∴S△ABP＝＝，當AP⊥AB時，設AP的解析式為y＝﹣x+c，
將A（2，3）代入得﹣2+c＝3，∴c＝5，∴直線AP的解析式為y＝﹣x+5，
∴點P（5，0），∴BP＝6，∴S△ABP＝＝9，綜上：△ABP的面積為9或．
考點3、一次函數(shù)中的等腰直角三角形
例3．（2022·四川八年級期中）（1）如圖1，已知△ABC，AC＝BC，∠C＝90°，頂點C在直線l上．操作：過點A作AD⊥l于點D，過點B作BE⊥l于點E，求證：△CAD≌△BCE．
（2）如圖2，在直角坐標系中，直線l1：y＝3x+3與y軸交于點A，與x軸交于點B，將直線l1繞著點A順時針旋轉45°得到l2．求l2的函數(shù)表達式．
（3）如圖3，在直角坐標系中，點B（5，4），作BA⊥y軸于點A，作BC⊥x軸于點C，P是線段BC上的一個動點，點Q（a，2a﹣3）位于第一象限內(nèi)．問點A、P、Q能否構成以點Q為直角頂點的等腰直角三角形，若能，請求出此時a的值，若不能，請說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）直線l2的解析式為；（3）能，或
【分析】（1）根據(jù)直角代換出，即可用“AAS”證明出結論；
（2）根據(jù)函數(shù)解析式即可求出與y軸，x軸的交點A，B點坐標，即可證明，即可求出CD、BD的長，即可求出C點坐標，用待定系數(shù)法即可求出l2的函數(shù)表達式；
（3）根據(jù)Q在AB上方和下方分類討論，過點Q作EF⊥y軸，分別交y軸和直線BC于點E、F，即可通過全等三角形的判定證明，通過全等三角形的性質得到，建立關于a的方程，即可求解．
【詳解】（1）如圖1，
圖1
∵∠C＝90°，AD⊥CD， BE⊥CE，
∴，，∴
在和中，∵，∴；
（2）∵直線l1：y＝3x+3與y軸交于點A，與x軸交于點B，∴，
過點B作BC⊥AB交直線l2于點C，過點C作CD⊥x軸于點D，如圖2，
圖2
∵，， ∴∴
∵∴∴
在和中，∵∴
∴，∴設直線l2的解析式為，
∵經(jīng)過，∴，解得，∴直線l2的解析式為；
（3）∵Q（a，2a﹣3），∴點Q是直線上的一點，
當點Q在AB下方時，如圖3，過點Q作EF⊥y軸，分別交y軸和直線BC于點E、F，
∵是以Q為直角頂點的等腰直角三角形，∴，，
∵∴∴
在和中，∵∴∴
∵點B（5，4），Q（a，2a﹣3），∴，
∴∴；
當點Q在AB上方時，如圖4，
過點Q作EF⊥y軸，分別交y軸和直線BC于點E、F，
同理，可證，∴
∵點B（5，4），Q（a，2a﹣3），∴，
∴，解得，
綜上可知，點A、P、Q能構成以點Q為直角頂點的等腰直角三角形，此時或．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，等量代換出角度之間的等量關系是關鍵；也考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，利用全等三角形的判定和性質得出點的坐標是本題的關鍵；最后考查了分類討論，利用全等三角形的性質得出關于a的方程是解題的關鍵．
變式1．（2022·四川天府新區(qū)八年級階段練習）如圖1，在平面直角坐標系中，已知點A，B的坐標分別為（0，3），（3，0）
(1)求直線AB的解析式；(2)如圖2，點C是點B關于y軸的對稱點，點D是AB的中點，點P為y軸上自原點向正半軸方向運動的一動點，運動速度為2個單位長度/s，設點P運動的時間為ts，點Q為射線BA上一點，當t=5時，，求點Q的坐標；(3)如圖3，在（2）的條件下，當△PDC為等腰直角三角形時，求t的值．
【答案】(1)(2)（，）或（，）(3)3
【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出OP的長，再求出C、D的坐標進而求出△CDB的面積得到△PQO的面積，再根據(jù)三角形面積公式求解即可；（3）根據(jù)題意可知當△PDC為等腰直角三角形時，只存在∠PDC=90°這種情況，則PD=DC，過點D作DE⊥y軸于E，DF⊥x軸于F，證明Rt△PED≌Rt△CFD（HL），得到PE=CF=，則，．
（1）解：設直線AB的解析式為，
∴，∴，∴直線AB的解析式為；
（2）解：由題意得，
∵點C是點B關于y軸的對稱點，點D是AB的中點，點A，B的坐標分別為（0，3），（3，0），
∴點C的坐標為（-3，0），點D的坐標為（，），
∴BC=6，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
∵點Q在射線BA上，∴當時，；當時，，
∴點Q的坐標為（，）或（，）；
（3）解：根據(jù)題意可知當△PDC為等腰直角三角形時，只存在∠PDC=90°這種情況，則PD=DC，過點D作DE⊥y軸于E，DF⊥x軸于F，∴∠PED=∠CFD=90°，
∵點D的坐標為（，），∴，
又∵PD=CD，∴Rt△PED≌Rt△CFD（HL），∴PE=CF=，∴，∴．
【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與幾何綜合，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，全等三角形的性質與判定，坐標與圖形變化—軸對稱，等腰直角三角形的性質等等，熟知一次函數(shù)的相關知識是解題的關鍵．
變式2．（2022,重慶市八年級期中）如圖1，直線l：y＝x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B．已知點C（﹣2，0）．（1）求出點A，點B的坐標．（2）P是直線AB上一動點，且△BOP和△COP的面積相等，求點P坐標．（3）如圖2，平移直線l，分別交x軸，y軸于交于點A1B1，過點C作平行于y軸的直線m，在直線m上是否存在點Q，使得△A1B1Q是等腰直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標．
解：（1）設y＝0，則x+2＝0，解得：x＝﹣4，設x＝0，則y＝2，
∴點A的坐標為（﹣4，0），點B的坐標的坐標為（0，2）；
（2）∵點C（﹣2，0），點B（0，2），∴OC＝2，OB＝2，
∵P是直線AB上一動點，∴設P（m，m+2），
∵△BOP和△COP的面積相等，∴×2|m|＝2×|m+2|，解得：m＝4或﹣，
∴點P坐標為（4，4）或（﹣，）；
（3）存在；理由：如圖1，
①當點B1是直角頂點時，∴B1Q＝B1A1，
∵∠A1B1O+∠QB1H＝90°，∠A1B1O+∠OA1B1＝90°，∴∠OA1B1＝∠QB1H，
在△A1OB1和△B1HQ中，，∴△A1OB1≌△B1HQ（AAS），
∴B1H＝A1O，OB1＝HQ＝2，∴B1（0，﹣2）或（0，2），
當點B1（0，﹣2）時，Q（﹣2，2），當點B1（0，2）時，
∵B（0，2），∴點B1（0，2）（不合題意舍去），
∴直線AB向下平移4個單位，∴點Q也向上平移4個單位，∴Q（﹣2，2），
②當點A1是直角頂點時，A1B1＝A1Q，
∵直線AB的解析式為y＝x+2，由平移知，直線A1B1的解析式為y＝x+b，
∴A1（﹣2b，0），B1（0，b），∴A1B12＝4b2+b2＝5b2，
∵A1B1⊥A1Q，∴直線A1Q的解析式為y＝﹣2x﹣4b
∴Q（﹣2，4﹣4b），∴A1Q2＝（﹣2b+2）2+（4﹣4b）2＝20b2+40b+20，
∴20b2﹣40b+20＝5b2，∴b＝2（不合題意）或b＝，∴Q（﹣2，）；
③當Q是直角頂點時，過Q作QH⊥y軸于H，∴A1Q＝B1Q，
∵∠QA1C1+∠A1QC＝90°，∠A1QC+∠CQB1＝90°，∴∠QA1C＝∠CQB1，
∵m∥y軸，∴∠CQB1＝∠QB1H，∴∠QA1C＝∠QB1H
在△A1QC與△B1QH中，，∴△A1QC≌△B1QH（AAS），
∴CQ＝QH＝2，B1H＝A1C，∴Q（﹣2，2）或（﹣2，﹣2），
當AB＝AQ，即20＝4+t2，解得：t＝±4，∴（﹣2，4），（﹣2，﹣4），
當點Q的坐標為（﹣2，﹣4）時，AB2+AQ2＝BQ2，∴△ABQ為直角三角形，∴Q（﹣2，﹣4）．
當點Q（﹣2，4）不合題意，舍去．
即：滿足條件的點Q為（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，6）或（﹣2，）或（﹣2，﹣4）．
考點4、一次函數(shù)中的全等三角形
例1．（2022·陜西·西北大學附中八年級期中）如圖1，已知直線與y軸，x軸分別交于A，B兩點，過點B在第二象限內(nèi)作且，連接．
(1)求點C的坐標；(2)如圖2，過點C作直線軸交于點D，交y軸于點E①求線段的長；②在坐標平面內(nèi)，是否存在點M（除點B外），使得以點M，C，D為頂點的三角形與全等？若存在，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)（-4，1）(2)①；②（-1，2）或（，0）或（，2）
【分析】（1）證明△BCH≌△ABO（AAS），則CH=BO=1，BH=AO=3，OH=BH+BO=4，即可求解；
（2）①由（1）知點C的坐標為（-4，1），CDx軸交AB于點D，則點D的縱坐標為1，將y=1代入y=3x+3得1=3x+3，即可求解；②存在，理由：以點M，C，D為頂點的三角形與△BCD全等，點M與點B對應，有如圖2的三種情況，即可求解；
（1）解：在y=3x+3中，當x=0時，y=3，∴點A的坐標為（0，3），∴AO=3，
在y=3x+3中，當y=0時，0=3x+3，x=-1，∵點B的坐標為（-1，0），∴BO=1，
如圖1，過點C作CH⊥x軸于點H，則∠BHC=90°，
∵BC⊥AB，∴∠ABC=90°，∴∠CBH+∠ABO=180°-∠ABC=90°，
∵∠AOB=90°，∴∠BAO+∠ABO=90°，∴∠CBH=∠BAO，
∵∠BHC=∠ABO=90°，BC=AB，∴△BCH≌△ABO（AAS），
∴CH=BO=1，BH=AO=3，∴OH=BH+BO=4，
∵點C在第二象限，∴點C的坐標為（-4，1）；
（2）解：①由（1）知點C的坐標為（-4，1），
∵CDx軸交AB于點D，∴點D的縱坐標為1，
將y=1代入y=3x+3得1=3x+3，∴x＝，
∴點D的坐標為（，1），∴CD＝；
②存在，理由：以點M，C，D為頂點的三角形與△BCD全等，點M與點B對應，有如圖2的三種情況：
當△≌△BDC時，則點和點B關于直線CE對稱，∴點的坐標為：（-1，2）；
當△≌△BDC時，則點和點B關于CD的中垂線對稱，
∴點（，0）即（，0）；
當△≌△BDC時，則點和點關于直線CE對稱，∴點的坐標為：（，2）；
綜上M坐標（-1，2）或（，0）或（，2）時，以點M，C，D為頂點的三角形與全等．
【點睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、三角形全等等，其中（2）要注意分類求解，避免遺漏．
變式1．（2022 羅湖區(qū)校級模擬）如圖，直線AB的解析式為y＝﹣x+b分別與x，y軸交于A，B兩點，點A的坐標為 （3，0），過點B的直線交x軸負半軸于點C，且OB：OC＝3：1．在x軸上方存在點D，使以點A，B，D為頂點的三角形與△ABC全等，則點D的坐標為　　．
解：將點A的坐標代入函數(shù)表達式得：0＝﹣3+b，
解得：b＝3，故直線AB的表達式為：y＝﹣x+3，
則點B（0，3），OB：OC＝3：1，則OC＝1，即點C（﹣1，0）；
①如圖，當BD平行x軸時，點A，B，D為頂點的三角形與△ABC全等，則四邊形BDAC為平行四邊形，則BD＝AC＝1+3＝4，則點D（4，3），
②當BD不平行x軸時，則S△ABD＝S△ABD′，則點D、D′到AB的距離相等，
則直線DD′∥AB，設：直線DD′的表達式為：y＝﹣x+n，
將點D的坐標代入上式并解得：n＝7，直線DD′的表達式為：y＝﹣x+7，
設點D′（n，7﹣n），A，B，D為頂點的三角形與△ABC全等，
則BD′＝BC＝＝，解得：n＝3，故點D′（3，4）；
變式2．（2022 遼寧八年級期中）如圖1，直線y＝﹣x+8與x軸，y軸分別交于點A，B，直線y＝x+1與直線AB交于點C，與y軸交于點D．
（1）求點C的坐標．（2）求△BDC的面積（3）如圖2，P是y軸正半軸上的一點，Q是直線AB上的一點，連接PQ．①若PQ∥x軸，且點A關于直線PQ的對稱點A′恰好落在直線CD上，求PQ的長．②若BDC與△BPQ全等（點Q不與點C重合），請寫出所有滿足要求的點Q坐標　　（直接寫出答案）
解：（1）由，解得：x＝3，把x＝3代入y＝x+1＝3+1＝4，所以點C的坐標為（3，4）；
（2）∵B（0，8），D（0，1），∴BD＝7，∴；
（3）①∵PQ∥x軸，∴AA'⊥x軸，
∵A（6，0），∴AA'＝6+1＝7，∴，∴，即PQ＝；
②按兩種情形討論：（Ⅰ）P在B點下方，則有BP＝BC＝5，
此時，代入得：，∴Q1（）；
（Ⅱ）P在B點上方，若BP＝BD．
則有xQ＝﹣xC＝﹣3，∴Q2（﹣3，12），若BP＝BC＝5，
則有，∴Q3（）．故答案為：（），（﹣3，12），（）．
模塊四：同步培優(yōu)題庫
全卷共21題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共1小題，每小題3分，共3分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2022·陜西·八年級期中）如圖，點是直線上的動點，過點作軸于點，點是軸上的動點，，且為等腰三角形時點的長為（　　）
A．或 B． C．或 D．
【答案】D
【分析】根據(jù)，且為等腰三角形，可知為等腰直角三角形，得，易得是等腰直角三角形，設，表示出點坐標，代入直線解析式，求出的值，即可求出的長．
【詳解】解：如圖所示：
，且為等腰三角形，為等腰直角三角形，，
軸，，為等腰直角三角形，，
設，根據(jù)勾股定理，得，，
①，代入直線，得，解得，，
②，代入直線，得，此方程無解．綜上所述：．故選：D．
【點睛】本題考查一次函數(shù)與等腰直角三角形的綜合，靈活運用等腰直角三角形的性質是解決本題的關鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
2．（2022·廣西·欽州市八年級階段練習）如圖，一次函數(shù)的圖象過點，且與x軸相交于點B．若點P是x軸上的一點，且滿足△APB是等腰三角形，則點P的坐標可以是______．
【答案】，，，
【分析】先把點A（1，2）代入一次函數(shù)y=x+b求出b的值，故可得出B點坐標，再分AB=AP，AB=BP及AP=BP三種情況進行分類討論．
【詳解】解：如圖，
∵一次函數(shù)y=x+b的圖象過點A（1，2），
∴2=1+b,解得b=1，∴一次函數(shù)的解析式為：y=x+1，∴B（-1，0）．
當AB=AP時，∵B（-1，0），∴；
當AB=BP時，∵，
∴；當AP=BP時，則，
設P（t，0），則，解得：t=1，∴．
綜上所述，P點坐標為：，，，．
故答案為：，，，．
【點睛】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標特點，在解答此題時要注意進行分類討論，不要漏解．
3．（2023·江西·九年級專題練習）如圖，直線y= x+與坐標軸分別交于A，B兩點，在平面直角坐標系內(nèi)有一點C，使△ABC與△ABO全等，則點C的坐標為________．
【答案】(3，)或(，)或(，)
【分析】先求得A(0，)，B(3，0)，再利用特殊角的三角函數(shù)值求得∠ABO=30°，再分類討論即可求解．
【詳解】解：令x=0，則y=，令y=0，則x=3，
∴A(0，)，B(3，0)，∴OA=，OB=3，∴∠ABO=30°，∠BAO=60°，
當△OAB≌△C1BA時，∴C1B=OA=，C1A= OB=3，∴C1 (3，)；
當△OAB≌△C2AB時，∴C2B= OB=3，C2A=OA=，
∴∠C2AD=180°-60°-60°=60°，則∠DC2A=30°，
∴AD=C2A=，DC2=，∴C2 (，)；
當△OAB≌△C3BA時，同理得C3 (，)；
綜上，點C的坐標為(3，)或(，)或(，)．
故答案為：(3，)或(，)或(，)．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標軸的交點坐標，特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理，全等三角形的判定和性質，分類討論是解題的關鍵．
4．（2022·四川南充·八年級期末）如圖，直線與軸交于，與軸交于，點在經(jīng)過點的直線上，當是等腰直角三角形時，點的坐標是______．
【答案】（6，4）或（3，3）##（3，3）或（6，4）
【分析】先求出點A和點B的坐標，用待定系數(shù)法求出b，根據(jù)△PAB是等腰直角三角形且∠PBA≠90°，所以分∠BAP'=90°、∠BPA=90°兩種情況分別求點P的坐標，即可求解．
【詳解】對于，令x=0，則y=2，
令y=0，則，解得：x=4，∴點A（4，0），B（0，2），∴OB=2，OA=4，
把點B（0，2）代入，得：b=2，∴直線PB的解析式為，
根據(jù)題意得：∠PBA≠90°，
①當∠BA P′=90°且AB=AP′，過A作AP′⊥AB，垂足為A，過P′作P′H′⊥軸，
∴∠AOB=∠P′H′A=90°，∠OAB+∠P′A H′=90°，
∵∠OAB+∠OBA=90°，∴∠OBA=∠P′A H′，
又AB=AP′，∴△AOB≌△P′AH′（AAS），∴AH′=0B=2，P′H′=0A=4，
∴OH′=OA+AH′=6，∴P′（6，4），
把x=6代入，得y=4，∴點P′在直線，符合題意．
②當∠BPA=90°且BP=AP，過A作AP⊥BP于點P，過P作PH⊥y軸，過P作PQ⊥x軸，
∴∠PHO=∠PQO=∠HOQ=90°，∴四邊形OHPQ為矩形，
∴PH=0Q，PQ=OH，∠HPB+∠BPQ=90°，∵∠APQ+∠BPQ=90°，∴∠HPB=∠APQ，
又∵BP=AP，∴△HBP≌△QAP（AAS），∴HP=PQ，HB=QA，∴四邊形OHPQ為正方形，
∵OH+OQ=（OB+HB）+OQ=OB+AQ+OQ=OB+（AQ+OQ）=OB+OA=4+2=6，
∴PH=PQ=3，∴P（3，3），
把x=3代入得：y=3，∴點P在直線，符合題意．
綜上所述，點P的坐標為（6，4）或（3，3）．故答案為：（6，4）或（3，3）
【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及圖像上的點的坐標，其中根據(jù)等腰直角三角形的直角分為兩種可能，再通過添加輔助線構造全等三角形，是求得點P坐標的關鍵．
5．（2022·成都市·八年級期末）在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別為A（8，0），B（2，6），C（4，0），點P，Q是△ABO邊上的兩個動點（點P不與點C重合），以P，O，Q為頂點的三角形與△COQ全等，則滿足條件的點P的坐標為　 　．
解：以P，O，Q為頂點的三角形與△COQ全等，
①如圖1所示，當△POQ≌△COQ時，即OP＝OC＝4，
過P作PE⊥OA于E，過B作BF⊥OA于F，則PE∥BF，
∵B（2，6），∴OF＝2，BF＝6，∴OB＝＝2，
∵PE∥BF，∴△POE∽△BOF，∴，∴＝＝，
∴PE＝，OE＝，∴點P的坐標為（，）；
②如圖2，當△POQ≌△CQO時，即QP＝OC＝4，OP＝CQ，
∴四邊形PQCO是平行四邊形，∴PQ∥OA，
過P作PE⊥OA于E，過B作BF⊥OA于F，則PE∥BF，
∵B（2，6），∴OF＝2，BF＝6，∴OB＝＝2，
∵PQ∥OA，∴＝，∴PB＝，∴PE＝，∴點P是OB的中點，
∵PE∥BF，∴PE＝BF＝3，OE＝EF＝1，∴點P的坐標為（1，3），
如圖3，如圖3，當△OQC≌△QOP時，
過P作PE⊥OA于E，過B作BF⊥OA于F，則PE∥BF，
∵B（2，6），∴OF＝2，BF＝6，∴AF＝6，
∴△ABF和△APE是等腰直角三角形，∴PE＝AE，
∵直線AB的解析式為y＝﹣x+8，∴設點P的坐標為（x，﹣x+8），
連接PC∵△OQC≌△QOP，∴∠POQ＝∠CQO，PQ＝OC，CQ＝OP，
∴△PQC≌△COP，∴∠OPC＝∠QCP，∴∠OQC＝∠QCP，∴PC∥OQ，∴PC＝OB＝，
∵PC2＝CE2+PE2，∴10＝（x﹣4）2+（﹣x+8）2，解得：x＝5，x＝7（不合題意舍去），∴P（5，3）；
如圖4，當△OQC≌△QOP時，過P作PE⊥OA于E，連接PC，同理PE＝AE，PC∥OQ，
∵AC＝OC，∴AP＝PQ，∵△OQC≌△QOP，∴PQ＝OC＝4，
∴AP＝PQ＝4，∴PE＝AE＝2，∴OE＝8﹣2，∴P（8﹣2，2），
綜上所述，點P的坐標為（，）或（1，3）或P（5，3）或（8﹣2，2）．
故答案為（，）或（1，3）或P（5，3）或（8﹣2，2）．
6．（2022·浙江·金華八年級期中）如圖，直線y＝－x＋8與x軸，y軸分別交于點A，B，直線y＝x＋1與直線AB交于點C，與y軸交于點D．則△BDC的面積=____．若P是y軸正半軸上的一點，Q是直線AB上的一點，連接PQ．△BDC與△BPQ全等(點Q不與點C重合)，寫出所有滿足要求的點Q坐標______．
【答案】 ，，
【分析】將兩條直線的方程聯(lián)立，求出點的坐標，從而可得的底與高，進而求出面積；對點的位置進行分類討論，畫出使與全等的草圖，結合全等三角形對應邊相等建立等量關系，求出點的坐標．
【詳解】解：，令，得，．
，令，得，．．
令，解得，．．
若與全等，則：
①當點在點下方時，如圖所示，，．
，即，解得，
將代入，得．．
②當點在點上方時，如圖所示．
若，，則，
將代入，得，．
若，，則，
將代入，得，．
綜上，所有滿足題意的點的坐標為，，．
故答案為：；，，．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質及應用，全等三角形的性質與判定，熟練掌握一次函數(shù)與全等三角形相關知識是解題的關鍵．
7．（2022·上海市八年級期中）已知一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別相交于點、點，在直線上有一點，連接、，三角形是等腰三角形，則點的坐標為______．
【答案】或或
【分析】利用一次函數(shù)求得、的坐標，然后利用勾股定理列方程，即可求得的坐標．
【詳解】解：一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別相交于點、點，
，，，設，
當AB=BC時，則，解得∶ 或2，或；
當AC=BC時， 解得∶，∴點C；
綜上，點的坐標為或或，故答案為：或或
【點睛】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，涉及到勾股定理和等腰三角形的定義，難度不大，分類討論思想的運用是解題的關鍵．
8．（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，直線yx與x軸交于點A，且經(jīng)過點B（2，a），在y軸上有一動點P，直線BC上有一動點M，已知C（3，0）．
（1）a＝_____；（2）若△APM是以線段AM為斜邊的等腰直角三角形，則點M的坐標是 _____．
【答案】 3 ，或，或，或，
【分析】（1）令x=2即可求得a的值；
（2）先求得直線BC的解析式為y=-3x+9，點A的坐標為（-2，0），過點M作MH⊥y軸于點H，證明△MPH≌△PAO，然后設點P的坐標為（0，y），點M的坐標為（x，-3x+9），然后求得AO、PO、PH、MH的長，進而由全等三角形的性質列出方程求得x的值，即可得到點M的坐標．
【詳解】解：（1）當時，，，故答案為：3．
（2）由（1）得點的坐標為，設直線的解析式為，
，解得：，直線的解析式為，
對，當時，，點的坐標為，即得，
過點作軸于點，則，，
是以為對角線的等腰直角三角形，，，
，，，，，
設，，則，，，
，解得：或或或，
點的坐標為，或，或，或，．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖像上點的坐標特征、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是過點M作MH⊥y軸于點H，構造全等三角形．
9．（2022·江西景德鎮(zhèn)·八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線：與軸交于點，直線與兩坐標軸分別交于點，點，直線與交于點，點在射線上，若為直角三角形，則點的坐標為______．
【答案】(9,7)或(1,-1)或(4,2)
【分析】設P(x,x-2)，根據(jù)兩點距離公式可求得AB2=42+22=20，AP2=x2+(x-2-2)2=2x2-8x+16，BP2=(x-4)2+(x-2)2=2x2-12x+20，然后分三種情況：當∠ABP=90°時，則AB2+BP2=AP2；當∠BAP=90°時，則AB2+AP2=BP2；當∠APB=90°時，則AB2=BP2+AP2，分別求解即可．
【詳解】解：設P(x,x-2)，
∵，∴AB2=42+22=20，AP2=x2+(x-2-2)2=2x2-8x+16，BP2=(x-4)2+(x-2)2=2x2-12x+20，
當∠ABP=90°時，則AB2+BP2=AP2，∴20+2x2-12x+20=2x2-8x+16，解得：x=9，則x-2=7，∴P(9,7)；
當∠BAP=90°時，則AB2+AP2=BP2，∴20+2x2-8x+16=2x2-12x+20，解得 ：x=-4，
∵點P在射線DC上，故x>0，所以x=-4不符合題意，舍去，
當∠APB=90°時，則AB2=BP2+AP2，20=2x2-12x+20+2x2-8x+16，
解得：x1=1，x2=4，∴x-2=-1或2，∴P(1,-1)或(4,2)，
綜上，點P的坐標為(9,7)或(1,-1)或(4,2)，故答案為：(9,7)或(1,-1)或(4,2)
【點睛】本題考查一次函數(shù)與特殊三角形綜合問題，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，利用坐標求兩點距離，勾股定理，注意分類討論思想的應用，以免漏解．
三、解答題（本大題共12小題，共93分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
10．（2022·福建三明·八年級期末）【探索發(fā)現(xiàn)】
如圖1，在等腰直角三角形中，，若點在直線上，且，，則．我們稱這種全等模型為“型全等”．

【遷移應用】設直線與軸，軸分別交于，兩點．
(1)若，且是以為直角頂點的等腰直角三角形，點在第一象限，如圖2．
①直接填寫：______，______；②求點的坐標．(2)如圖3，若，過點在軸左側作，且，連接．當變化時，的面積是否為定值？請說明理由．
【拓展應用】(3)如圖4，若，點的坐標為．設點，分別是直線和直線上的動點，當是以為斜邊的等腰直角三角形時，求點的坐標．
【答案】(1)①2，3；②(2)是，理由見解析(3)點的坐標為或
【分析】（1）①若k＝，則直線y＝x+3與x軸，y軸分別交于A（2，0），B（0，3）兩點，即可求解；②作ED⊥OB于D，則△BED≌△ABO．由全等三角形的性質得DE＝OB＝3，BD＝OA＝2，即可求解；（2）過點N作NM⊥OB于M，則△BMN≌△AOB．由全等三角形的性質得MN＝OB＝3，根據(jù)三角形的面積公式即可求解；（3）過點P作PS⊥x軸于S，過點Q作QT⊥PS于T，證明△PCS≌△QPT．分兩種情況，由全等三角形的性質得QT＝PS，PT＝SC，可得點Q的坐標，將點Q的坐標代入y＝﹣2x+3求得n的值，即可求解．
(1)解：①若k＝，則直線y＝kx+3（k≠0）為直線y＝x+3，
當x＝0時，y＝3，當y＝0時，x，2，
∴A（2，0），B（0，3），∴OA＝2，OB＝3，故答案為：2，3；
②作ED⊥OB于D，∴∠BDE＝∠AOB＝90°，
∵∠ABO+∠EBD＝90°＝∠ABO+∠BAO，∴∠BAO＝∠EBD，
又∵△ABE是以B為直角頂點的等腰直角三角形，∴AB＝BE，∴△BED≌△ABO（AAS），
∴DE＝OB＝3，BD＝OA＝2，∴OD＝OB+BD＝5，∴點E的坐標為（3，5）；
(2)解：當k變化時，△OBN的面積是定值，S△OBN＝，理由如下：過點N作NM⊥OB于M，
∴△BMN≌△AOB（AAS）．∴MN＝OB＝3，
∴S△OBN＝OB MN＝×3×3＝，∴k變化時，△OBN的面積是定值，S△OBN＝ ；
(3)解：n＜3時，過點P作PS⊥x軸于S，過點Q作QT⊥PS于T，
∴△PCS≌△QPT（AAS）．∴QT＝PS＝2，PT＝SC＝3﹣n，
∴ST＝5﹣n，∴點Q的坐標為（2+n，n﹣5），
∵k＝﹣2，∴直線y＝﹣2x+3，
將點Q的坐標代入y＝﹣2x+3得，n﹣5＝﹣2（2+n）+3，
解得：n＝ ，∴點Q的坐標為（ ，）；
n＞3時，過點P作PS⊥x軸于S，過點Q作QT⊥PS于T，
∴△PCS≌△QPT（AAS）．∴QT＝PS＝2，PT＝SC＝n﹣3，
∴ST＝n﹣1，∴點Q的坐標為（n﹣2，1﹣n），∵k＝﹣2，∴直線y＝﹣2x+3，
將點Q的坐標代入y＝﹣2x+3得，1﹣n＝﹣2（n﹣2）+3，解得：n＝6，∴點Q的坐標為（4，﹣5）．
綜上，點Q的坐標為（ ，）或（4，﹣5）．
【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的圖像及性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握一次函數(shù)的圖像及性質，構造全等三角形解題是關鍵．
11．（2022·浙江寧波·八年級期末）如圖， 已知直線與軸、 軸分別交于點， 以 為邊在第一象限內(nèi)作長方形 ．
(1)求點的坐標；(2)將對折， 使得點的與點重合，折痕B'D'交AC于點B'，交AB于點D，求直線的解析式 （圖②）；(3)在坐標平面內(nèi)， 是否存在點 （除點外）， 使得與全等， 若存在， 請求出 所有符合條件的點的坐標， 若不存在， 請說明理由．
【答案】(1)(2)(3)存在，
【分析】（1）對于直線y=-2x+4與x軸、y軸分別交于點A、C，即可求得A和C的坐標；
（2）根據(jù)題意可知△ACD是等腰三角形，算出AD長即可求得D點坐標，最后根據(jù)待定系數(shù)法求出直線CD的解析式即可；；（3）分三種情況，根據(jù)翻折的性質以及勾股定理、等面積法，即可求得符合題意的點P的坐標．
(1)對于直線y=-2x+4，當x=0時，y=4；當y=0時，x=2
∴A（2，0），C（0，4），故答案是：（2，0），（0，4）；
(2)∵四邊形是矩形，∴AO//BC，且BC=AO=2；AB//OC，且AB=OC=4，
∵則B（2，4）．由折疊知：CD=AD．設AD=x，則CD=x，BD=4-x，
根據(jù)題意得：（4-x）2+22=x2，解得， 此時，AD=∴D（2，）；
設直線CD為y=kx+b，把D（2，），C（0，4）代入，得
解得，∴直線CD解析式為
(3)情形1：如圖①，
由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB，AB=CP，AP=BC=2
則點P在直線CD上．過P作PQ⊥AD于點Q，
在Rt△ADP中，AD=，PD=BD=4-=，
由 得：PQ=3，∴PQ=．∴xP=2+=，
把x=代入y=-x+4，得y=．此時P（，）．
情形2：∵四邊形OABC是矩形，∴OA=BC，AB=OC， ∴△AOC≌△CBA
當點P與點O重合時，△APC≌△CBA，此時P（0，0）．
情形3：如圖②，由△APC≌△CBA得∠
過點P作于點G，AP與OC交于點H，
設則在中，
∵∴
在中，∴解得，
經(jīng)檢驗，是原方程的解；∴∴
設則在中，
在中，∴
解得，，即∴
∴∴
綜上，點P的坐標為
【點睛】本題是一次函數(shù)的綜合題，主要考查了折疊的性質，一次函數(shù)圖象及其性質，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質以及勾股定理等知識，分類討論思想的運用是解題的關鍵．
12．（2022·浙江·金華市八年級期中）如圖1，已知長方形OABC的頂點O在坐標原點，A、C分別在x、y軸的正半軸上，頂點B（8，6），直線y＝﹣x+b經(jīng)過點A交BC于D、交y軸于點M，點P是AD的中點，直線OP交AB于點E．
(1)求點D的坐標及直線OP的解析式；(2)點N是直線AD上的一動點（不與A重合），設點N的橫坐標為a，請寫出△AEN的面積S和a之間的函數(shù)關系式，并請求出a為何值時S＝12；
(3)在x軸上有一點T（t，0）（5＜t＜8），過點T作x軸的垂線，分別交直線OE、AD于點F、G，在線段AE上是否存在一點Q，使得△FGQ為等腰直角三角形，若存在，請寫出點Q的坐標及相應的t的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)點D的坐標為（2，6），直線OP的解析式為y=x；
(2)S=；a=3或a=13；
(3)在線段AE上存在一點Q，使得△FGQ為等腰直角三角形，當t=時點Q的坐標為（8，）或（8，），當t=時點Q的坐標為（8，）．
【分析】（1）根據(jù)長方形的性質可得出點A的坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線AD的解析式，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點D的坐標，再由點P是AD的中點可得出點P的坐標，進而可得出正比例函數(shù)OP的解析式；
（2）由直線OP的解析式，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出點E的坐標，設點N的坐標為（a，-a+8），由△AEN的面積公式，可得出S和a之間的函數(shù)關系式，代入數(shù)值即可得出結論；
（3）由點T的坐標可得出點F，G的坐標，分∠FGQ=90°、∠GFQ=90°及∠FQG=90°三種情況考慮：①當∠FGQ=90°時，根據(jù)等腰直角三角形兩直角邊相等可得出關于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性質可得出點Q的坐標；②當∠GFQ=90°時，根據(jù)等腰直角三角形兩直角邊相等可得出關于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性質可得出點Q的坐標；③當∠FQG=90°時，過點Q作QS⊥FG于點S，根據(jù)等腰直角三角形斜邊等于斜邊上高的二倍可得出關于t的一元一次方程，解之可得出t值，再利用等腰直角三角形的性質可得出點Q的坐標．綜上，此題得解．
（1）解：∵四邊形OABC為長方形，點B的坐標為（8，6），
∴點A的坐標為（8，0），BCx軸．
∵直線y=-x+b經(jīng)過點A，∴0=-8+b，∴b=8，∴直線AD的解析式為y=-x+8．
當y=6時，有-x+8=6，解得：x=2，∴點D的坐標為（2，6）．
∵點P是AD的中點，∴點P的坐標為（，），即（5，3），
設直線OP的解析式為y=kx，∴3=5k，解得k=，∴直線OP的解析式為y=x；
解：當x=8時，y=x=，∴點E的坐標為（8，）．
設點N的坐標為（a，-a+8）．∴S=××|8-a|=|8-a|，
當a<8時，S=|8-a|=； 當a>8時，S=|8-a|=；
∴S=；當S=12時，|8-a|=12，解得：a=3或a=13；
（3）解：∵點T的坐標為（t，0）（5＜t＜8），
∴點F的坐標為（t，t），點G的坐標為（t，-t+8）．
分三種情況考慮： ①當∠FGQ=90°時，如圖1所示．
∵△FGQ為等腰直角三角形，∴FG=GQ，即t-（-t+8）=8-t，解得：t=，
此時點Q的坐標為（8，）；
②當∠GFQ=90°時，如圖2所示．∵△FGQ為等腰直角三角形，
∴FG=FQ，即t-（-t+8）=8-t，解得：t=，此時點Q的坐標為（8，）；
③當∠FQG=90°時，過點Q作QS⊥FG于點S，如圖3所示．
∵△FGQ為等腰直角三角形∴FG=2QS，即t-（-t+8）=2（8-t），解得：t=，
此時點F的坐標為（，4），點G的坐標為（，），
此時點Q的坐標為（8，），即（8，）．
綜上所述：在線段AE上存在一點Q，使得△FGQ為等腰直角三角形，當t=時點Q的坐標為（8，）或（8，），當t=時點Q的坐標為（8，）．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、中點坐標公式、三角形的面積以及等腰直角三角形，解題的關鍵是：（1）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；（2）利用三角形的面積公式求解；（3）分∠FGQ=90°、∠GFQ=90°及∠FQG=90°三種情況求出t值．
13．（2022·重慶·八年級期中）已知關于x的一次函數(shù)y1＝﹣mx+3m的圖象與x軸，y軸分別交于A，B兩點，過點B作直線y2＝﹣x的垂線，垂足為M，連接AM．（1）求點A的坐標；（2）當△ABM為直角三角形時，求點M的坐標；（3）求△ABM的面積（用含m的代數(shù)式表示，寫出m相應的取值范圍）．
解：（1）當y1＝0時，﹣mx+3m＝0，解得，x＝3，∴點A的坐標為（3，0）；
（2）△ABM為直角三角形時，∵∠BMA＜90°，∠BAM＜90°，∴∠ABM＝90°，
∵BM⊥直線y2＝﹣x，∴直線y1＝﹣mx+3m∥直線y2＝﹣x，∴m＝1，
則OB＝3m＝3，∴OB＝OA，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∴∠OBM＝45°，
作MH⊥OB于H，則MH＝OH＝OB＝，∴點M的坐標為（﹣，）；
（3）∵直線y2＝﹣x與y軸的夾角是45°，∴∠MOB＝45°，∴OH＝MH＝OB＝m，
則△ABM的面積＝△OBM的面積+△ABO的面積﹣△AOM的面積
＝×3m×m+×3×3m﹣×3×m
＝m2+m（由于直線y1＝﹣mx+3m與y軸的交點在y軸的正半軸上，因此m＞0）．
14．（2022·吉林長春·八年級期末）在平面直角坐標系中，已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點．
(1)求此一次函數(shù)的解析式；(2)若點C在此一次函數(shù)的圖象上，且點C到y(tǒng)軸的距離為1，求點C的坐標；(3)設此直線上A、B兩點間的部分（包括A、B兩點）記為圖象G，點D的坐標為．
①點D是否能在圖象G上，如果能，求出m的值，如果不能，說明理由；
②過在D作y軸的垂線，垂足為點E，過點D作x軸的垂線，交圖象G于點F，當是等腰直角三角形時，求出m的值．
【答案】(1)y=-x+；(2)點C的坐標為（1，）或（-1，）；
(3)①點D能在圖象G上，m=-；②當△DEF是等腰直角三角形時，m的值為-．
【分析】（1）根據(jù)點A、B的坐標利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)的解析式；
（2）分兩種情況：x=1時；x=-1時；代入直線AB所對應的函數(shù)表達式可求點C的坐標；
（3）①由題意得圖象G的解析式為y=-x+（-2≤x≤2），點D在直線y=-2x+2上，求出兩直線的交點坐標，即可得出答案；②由題意可得E（0，-2m+2），F(xiàn)（m，-m+），用含m的式子表示出DE、DF，根據(jù)△DEF是等腰直角三角形，即可求解．
（1）解：∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點A（-2，5）和點B（2，2）．
∴，解得．∴此一次函數(shù)的解析式為：y=-x+；
（2）解：∵點C到y(tǒng)軸的距離為1，∴點C橫坐標存在兩種情況：x=1或x=-1，
x=1時，y=-+=；x=-1時，y=+=．故點C的坐標為（1，）或（-1，）；
（3）解：①∵直線y=-x+上A、B兩點間的部分（包括A、B兩點）記為圖象G，
∴圖象G的解析式為y=-x+（-2≤x≤2），
∵點D的坐標為（m，-2m+2）．∴點D在直線y=-2x+2上，
聯(lián)立得，解得，∴兩直線的交點坐標為（-，），
∴點D能在圖象G上，m=-；
②如圖：
∵點D的坐標為（m，-2m+2）．DE⊥y軸，DF⊥x軸，
∴E（0，-2m+2），F(xiàn)（m，-m+），DE⊥DF，
∴DE=|m|，DF=|-m++2m-2|=|m+|，
∵△DEF是等腰直角三角形，DE⊥DF，∴DE=DF，
∴|m|=|m+|，解得m=-或-6（不合題意，舍去），
∴當△DEF是等腰直角三角形時，m的值為-．
【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，兩直線相交問題，等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
15．（2022成都市八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，正方形OABC的頂點A、C分別在x軸與y軸上，已知正方形邊長為3，點D為x軸上一點，其坐標為（1，0），連接CD，點P從點C出發(fā)以每秒1個單位的速度沿折線C→B→A的方向向終點A運動，當點P與點A重合時停止運動，運動時間為t秒．（1）連接OP，當點P在線段BC上運動，且滿足△CPO≌△ODC時，求直線OP的表達式；（2）連接PC、PD，求△CPD的面積S關于t的函數(shù)表達式；（3）點P在運動過程中，是否存在某個位置使得△CDP為等腰三角形，若存在，直接寫出點P的坐標，若不存在，說明理由．
解：（1）∵四邊形ABCO是正方形，∴∠COD＝∠OCP，∵OC＝CO，
∴當CP＝OD＝1時，△CPO≌△ODC，∴P（1，3），
設直線OP的解析式為y＝kx，則有3＝k，∴直線OP的解析式為y＝3x．
（2）當點P在線段BC上時，如圖1中，S＝ CP CO＝t（0＜t≤3），
當點P在線段AB上時，如圖2中，BP＝t﹣3，AP＝3﹣（t﹣3）＝6﹣t，
S＝3×3﹣×1×3﹣×3×（t﹣3）﹣×2×（6﹣t）＝﹣t+6（3＜t≤6），
綜上所述，S＝．
（3）如圖3中，
①當DC＝DP1時，P1（2，3），②當DC＝DP2時，AP2＝＝，∴P2（3，）．
③當CD＝CP3＝時，BP3＝＝1，∴P3（3，2）．
④當P4C＝P4D時，設AP4＝a，則有22+a2＝32+（3﹣a）2，解得a＝，∴P4（3，），
綜上所述，滿足條件的點P坐標為（2，3）或（3，）或（3，2）或（3，）．
16．（2022·河南·上蔡縣第一初級中學八年級階段練習）如圖，直線y＝﹣2x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C的坐標是（0，﹣1），P為直線AB上的動點，連接PO，PC，AC，(1)求A、B兩點的坐標．(2)求證：△ABC為直角三角形．(3)當△PBC與△POA面積相等時，求點P的坐標．
【答案】(1)，(2)見解析(3)，或
【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式令，結合圖像求得即可；
（2）求出，，，根據(jù)勾股定理的逆定理即可得出結論；（3）根據(jù)三角形面積公式列出關于的方程，解方程即可求得．
（1）解：直線與軸交于點，與軸交于點，
令，則，解得，，令，則，；
（2）證明：，，，
，，，
，，，，為直角三角形；
（3）解：設，與面積相等，，
當，時，解得，，，
當，時，解得（舍去），
當，時，解得（舍去），
當，時，解得，，，或．
【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)圖像上點的坐標特征，三角形的面積，勾股定理的應用等，掌握一次函數(shù)的性質以及勾股定理的逆定理是解題的關鍵．
17．（2022 青羊區(qū)校級期中）如圖，直線y＝kx+b與x軸、y軸分別交于點A（4，0）、B（0，4），點P在x軸上運動，連接PB，將△OBP沿直線BP折疊，點O的對應點記為O'．（1）求k、b的值；（2）在x軸上是否存在點C，使得△ABC為等腰三角形？若存在，求出點C的坐標；若不存在，說明理由．（3）若點O′恰好落在直線AB上，求△OBP的面積．
解：（1）∵點A（4，0）、B（0，4）在直線y＝kx+b上，∴，解得：k＝﹣1，b＝4；
（2）存在，理由如下：如圖1所示，
①當AB＝AC時，AC＝AB＝＝4，
可得C1（4﹣4，0），C2（4+4，0）．
②當BA＝BC時，OA＝OC＝4，可得C3（﹣4，0）．
③當CA＝CB時，點C與點O重合，可得C4（0，0），
綜上所述，滿足條件的點C坐標為（4﹣4，0）或（4+4，0）或（﹣4，0）或（0，0）．
（3）存在兩種情況：①當P在x軸的正半軸上時，如圖2所示：
點O′恰好落在直線AB上，則OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°，
∵OB＝OA＝4，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB＝4，∠OAB＝45°，
由折疊得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP，∠PO'B＝∠POB＝90°，
∴∠PO'A＝90°，∴O'B＝OB＝4，∴AO'＝4﹣4，
Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4﹣4＝OP，
∴S△OBP＝OB OP＝×4×（4﹣4）＝8﹣8；
②當P在x軸的負半軸時，如圖3所示：由折疊得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4，
∵∠BAO＝45°，∴PO'＝PO＝AO'＝4+4，∴S△OBP＝OB OP＝×4×（4+4）＝8+8；
綜上所述，△OBP的面積為8﹣8或8+8．
18．（2022·上海·八年級階段練習）如圖，△ABC的兩頂點分別為B（0，0），C（4，0），頂點A在直線l：y＝﹣x+3上．(1)當△ABC是以BC為底的等腰三角形時，求點A的坐標；(2)當△ABC的面積為4時，求點A的坐標；(3)在直線l上是否存在點A，使∠BAC＝90°？若存在，求出點A的坐標；若不存在請說明理由．
【答案】(1)A（2，2）；(2)（2，2）或（10，﹣2）；
(3)在直線l上存在點A，使∠BAC＝90°，此時點A的坐標是（2，2）或（3.6，1.2）
【分析】（1）以BC為底的等腰三角形，點A是BC的中垂線與直線l的交點，據(jù)此求解即可；
（2）根據(jù)△ABC的面積求得點A的縱坐標，把點A的縱坐標代入直線方程即可求得其橫坐標；
（3）設點A的坐標為，根據(jù)兩點間距離公式表示出，，，再利用勾股定理建立方程，求解即可．
(1)如圖，當△ABC是以BC為底的等腰三角形時，點A在BC的中垂線上．
∵B（0，0），C（4，0），∴BC的中垂線為x＝2．
又點A在直線l：y＝﹣x+3上，∴y＝﹣×2+3＝2，即A（2，2）；
(2)設A（a，b）．則依題意得BC |b|＝4，即×4|b|＝4，解得|b|＝2∴b＝±2．
①當b＝2時，2＝﹣a+3，解得 a＝2則A（2，2）；
②當b＝﹣2時，﹣2＝﹣a+3，解得 a＝10則A（10，﹣2）．
綜上所述，點A的坐標是（2，2）或（10，﹣2）；
(3)設點A的坐標為， B（0，0），C（4，0），
，，，
∠BAC＝90°，，即，解得或，
所以，在直線l上存在點A，使∠BAC＝90°，此時點A的坐標是（2，2）或（3.6，1.2）．
【點睛】本題綜合考查了等腰三角形的性質，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積公式以及勾股定理等知識點．解（2）題的過程中，一定要對點A的縱坐標進行分類討論，以防漏解．
19．（2022·重慶·八年級期中）如圖，A（0，4）是直角坐標系y軸上一點，動點P從原點O出發(fā)，沿x軸正半軸運動，速度為每秒1個單位長度，以P為直角頂點在第一象限內(nèi)作等腰Rt△APB．設P點的運動時間為t秒．（1）若AB∥x軸，如圖1，求t的值；（2）設點A關于x軸的對稱點為A′，連接A′B，在點P運動的過程中，∠OA′B的度數(shù)是否會發(fā)生變化，若不變，請求出∠OA′B的度數(shù)，若改變，請說明理由．（3）如圖2，當t＝3時，坐標平面內(nèi)有一點M（不與A重合）使得以M、P、B為頂點的三角形和△ABP全等，請直接寫出點M的坐標．
解：（1）過點B作BC⊥x軸于點C，如圖所示．
∵AO⊥x軸，BC⊥x軸，且AB∥x軸，∴四邊形ABCO為矩形，∴AO＝BC＝4．
∵△APB為等腰直角三角形，∴AP＝BP，∠PAB＝∠PBA＝45°，
∴∠OAP＝90°﹣∠PAB＝45°，∴△AOP為等腰直角三角形，
∴OA＝OP＝4．∴t＝4÷1＝4（秒），故t的值為4．
（2）如圖2，∠OA′B的度數(shù)不變，∠OA′B＝45°，∵點A關于x軸的對稱點為A′，∴PA＝PA'，
又AP＝PB，∴PA＝PA'＝PB，∴∠PAA'＝∠PBA'＝∠PA'B，
又∵∠PAB+∠PBA＝90°，∴∠PAA'+∠PA'A+∠PA'B+∠PBA'＝90°，∴∠AA'B＝45°，即∠OA'B＝45°；
（3）當t＝3時，M、P、B為頂點的三角形和△ABP全等，
①如圖3，若△ABP≌△MBP，則AP＝PM，過點M作MD⊥OP于點D，
∵∠AOP＝∠PDM，∠APO＝∠DPM，∴△AOP≌△MDP（AAS），
∴OA＝DM＝4，OP＝PD＝3，∴M（6，﹣4）．
②如圖4，若△ABP≌△MPB，同理可求得M（4，7），
③如圖5，若△ABP≌△MPB，同理可求得M（10，﹣1）．
綜合以上可得點M的坐標為（4，7），（6，﹣4），（10，﹣1）
20．（2023·江蘇·八年級階段練習）模型建立：如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點C，過A作于D，過B作于E．(1)求證：；(2)模型應用：①已知直線：y＝﹣x﹣4與y軸交于A點，將直線繞著A點逆時針旋轉45°至，如圖2，求的函數(shù)解析式；②如圖3，矩形ABCO，O為坐標原點，B的坐標為（8，﹣6），A，C分別在坐標軸上，P是線段BC上動點，設PC＝m，已知點D在第四象限，且是直線y＝上的一點，若△APD是不以點A為直角頂點的等腰直角三角形，請求出點D的坐標．
【答案】(1)見解析
(2)①y＝﹣x﹣4；②（4，﹣2）或（，﹣）或（，﹣）
【分析】（1）先根據(jù)△ABC為等腰直角三角形得出CB＝CA，再由AAS定理可知△ACD≌△CBE；
（2）①過點B作BC⊥AB于點B，交于點C，過C作CD⊥x軸于D，根據(jù)∠BAC＝45°可知△ABC為等腰直角三角形，由（1）可知△CBD≌△BAO，由全等三角形的性質得出C點坐標，利用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)解析式即可；②分三種情況考慮：如圖3所示，當∠ADP＝90°時，AD＝PD，設D點坐標為（x，2x+6），利用三角形全等得到，得D點坐標；如圖4所示，當∠APD＝90°時，AP＝PD，設點P的坐標為（8，m），表示出D點坐標為（14m，m8），列出關于m的方程，求出m的值，即可確定出D點坐標；如圖5所示，當∠ADP＝90°時，AD＝PD時，同理求出D的坐標．
（1）證明：∵△ABC為等腰直角三角形，∴CB＝CA，
又∵AD⊥CD，BE⊥EC，∴∠D＝∠E＝90°，∠ACD+∠BCE＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠EBC+∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，
在△ACD與△CBE中，∴△ACD≌△EBC（AAS）；
（2）解：①過點B作BC⊥AB于點B，交于點C，過C作CD⊥x軸于D，如圖2，
∵∠BAC＝45°，∴△ABC為等腰直角三角形，
由（1）可知：△CBD≌△BAO，∴BD＝AO，CD＝OB，
∵直線：y＝x4，∴A（0，4），B（3，0），
∴BD＝AO＝4．CD＝OB＝3，∴OD＝4+3＝7，∴C（7，3）
設的解析式為y＝kx+b（k≠0），∴∴，∴的解析式：；
②如圖3，當∠ADP＝90°時，AD＝PD，
∵，
∴，∴
∵點D在第四象限，且是直線y＝上的一點，∴設D點坐標為（x，2x6），
∵B的坐標為（8，﹣6），∴
∴，即解得，∴D點坐標（4，2）；
如圖4，當∠APD＝90°時，AP＝PD，同理可得，
過D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，
設點P的坐標為（8，m），則D點坐標為（14m，m8），
由m8＝2（14m）+6，得m＝，∴D點坐標（，）；
如圖5，當∠ADP＝90°時，AD＝PD時，同理可求得D點坐標（，），
綜上可知滿足條件的點D的坐標分別為（4，2）或（，）或（，），
【點睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題，主要考查了點的坐標、矩形的性質、待定系數(shù)法、等腰直角三角形的性質以及全等三角形等相關知識的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，運用全等三角形的性質進行計算，需要考慮的多種情況，解題時注意分類思想的運用．
21．（2022·山東威海·七年級期末）如圖，直線與x軸和y軸分別交于A、B兩點，把射線AB繞點A順時針旋轉90°得射線AC，點P是射線AC上一個動點，點Q是x軸上一個動點．若與全等，試確定點Q的橫坐標．
【答案】7或8
【分析】根據(jù)與全等分兩種情況分類討論即可解答．
【詳解】解：在直線中，
當x=0時，y=0+4=4，即，當y=0時，0=，∴ ，即；
∵與全等，∴分兩種情況：
當時，，如圖所示，則，
∴點Q的橫坐標為：，
當時，，如圖所示，則，
∵ ，∴點Q的橫坐標為：；綜上所述：點Q的橫坐標為7或8．
【點睛】本題考查三角形全等的應用，一次函數(shù)的應用，勾股定理，掌握相關知識并靈活應用是解題的關鍵．
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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專題5.6 一次函數(shù)中的特殊三角形模型
模塊1：學習目標
一次函數(shù)中的特殊三角形模型，共分為四大類（一次函數(shù)中的等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、全等三角形），本專題就一次函數(shù)中的特殊三角形模型進行專題總結。
模塊2：知識梳理
1、一次函數(shù)中的等腰三角形（方法：兩圓一線）
例：已知點A（1,3），點在軸上，使為等腰三角形。
第1步：畫圖，初步確認點的位置（如圖1）；
圖1 圖2 圖3 圖4
第2步：分三種情況求解：（標等邊，用公式）
由題意知（兩點間距離公式）：
①當時（如圖2），∴ ∴
②當時（如圖3），利用三線合一做輔助線： ∴ ∴
③當時（如圖4），設， 解得：x=5 ∴
2、一次函數(shù)中的直角三角形（方法：兩線一圓）
例：已知點A（1,3），點在軸上，使為直角三角形。
第一步：畫圖，初步確認點的位置（如圖1）；
圖1 圖2 圖3
第二步：分兩種情況求解：（標直角，用公式）
①當時（如圖2），
設，∵ ∴∴ ∴
②當時（如圖3），設 ∵ ∴
3、一次函數(shù)中的等腰直角三角形
例：已知點A（1,3），點在平面內(nèi)，使為等腰直角三角形。
第一步：畫出6個答案（如圖1）：
圖1 圖2 圖3 圖4
第二步：分三種情況求解：（見等腰直角三角形構“K”型全等求坐標）
①當時（如圖2），設，構造“K”型全等：，
表示線段：；；；
由全等得；
∴；同理，可得
②當時，同①中方法構造“K”型全等，可得：，
③當時，法1：同①中方法構造“K”型全等（如圖4）
法2（中點坐標）：（如圖3）為的中點 ∴ ∴； 同理，可得
4、一次函數(shù)與全等三角形
1）解題步驟：①先找固定相等的角或邊；②以對應邊/角相等要求分類討論全等情況。
2）相等的角或邊情況：
①公共邊情況（如圖1）：平面內(nèi)找一點，使以、、為頂點的三角形與全等.
圖1 圖 2
、關于成軸對稱，、關于成軸對稱，即是、的中垂線，可用中垂線代數(shù)法求點。
②固定角相等（如圖2）：①兩個三角形為直角三角形；②相等角為對頂角：
模塊3：核心考點與典例
考點1、一次函數(shù)中的等腰三角形
例1．（2022·鞏義市八年級期末）如圖，直線分別與x軸、y軸交于A、B兩點，直線交直線于點C，點P為x軸上一動點．（1）求點C坐標；（2）當直線平分的面積時，直線與y軸交于點D，求線段的長；（3）若是等腰三角形，直接寫出點P的坐標．
變式1．（2022·重慶黔江·八年級期末）如圖一，已知直線與軸交于點，與軸交于點，直線與軸交于點，與直線交于點．
(1)求直線的解析式；(2)如圖二，點在直線上且在軸左側，過點作軸交直線于點，交 軸于點，當，求出，兩點的坐標；(3)將直線向左平移10個單位得到直線交軸于點，點是點關于原點對稱點．過點作直線軸，點在直線上，若是以為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點的坐標．
變式2．（2022·成都市·八年級期末）如圖，在直角坐標平面內(nèi)，點O是坐標原點，點A坐標為（3，4），將直線OA繞點O順時針旋轉45°后得到直線y=kx（k≠0）．
(1)求直線OA的表達式；(2)求k的值；(3)在直線y=kx（k≠0）上有一點B，其縱坐標為1．若x軸上存在點C，使△ABC是等腰三角形，請直接寫出滿足要求的點C的坐標．
考點2、一次函數(shù)中的直角三角形
例2．（2022·遼寧沈陽·八年級階段練習）在平面直角坐標系中，已知點，點，函數(shù)的圖象與直線交于點M，與y軸交于點C．(1)求直線的函數(shù)解析式；(2)當點M在線段上時，求m的取值范圍；(3)當為直角三角形時，求m的值．
變式1．（2022 浠水縣月考）如圖，在平面直角坐標系中，直線AB分別交x軸、y軸于點A（a，0）、點B（0，b），且a、b滿足a2+4a+4+|2a+b|＝0．（1）a＝　；b＝　．（2）點P在直線AB的右側，且∠APB＝45°；①若點P在x軸上，則點P的坐標為 　　；②若△ABP為直角三角形，求點P的坐標．
變式2．（2022 陳倉區(qū)期中）（1）閱讀理解：我們知道：平面內(nèi)兩條直線的位置關系是平行和相交，其中垂直是相交的特殊情況．在坐標平面內(nèi)有兩條直線：l1：y1＝k1x+b1（k1≠0）；l2：y2＝k2x+b2（k2≠0），有下列結論：當k1＝k2時，直線l1∥直線l2；當k1 k2＝﹣1時，直線l1⊥直線l2．（2）實踐應用：①直線y＝kx+5與直線y＝﹣3x+2垂直，則k＝　　．②直線m與直線y＝﹣2x+3平行，且經(jīng)過點（4，﹣2），則直線m的解析式為 　　．③直線y＝﹣2x+3向右平移 　　個單位，其圖象經(jīng)過點（6，﹣4）．（3）深入探索：如圖，直線y＝x+1與x軸交于點B，且經(jīng)過點A，已知A的橫坐標為2，點P是x軸上的一動點，當△ABP為直角三角形時，求△ABP的面積．
考點3、一次函數(shù)中的等腰直角三角形
例3．（2022·四川八年級期中）（1）如圖1，已知△ABC，AC＝BC，∠C＝90°，頂點C在直線l上．操作：過點A作AD⊥l于點D，過點B作BE⊥l于點E，求證：△CAD≌△BCE．
（2）如圖2，在直角坐標系中，直線l1：y＝3x+3與y軸交于點A，與x軸交于點B，將直線l1繞著點A順時針旋轉45°得到l2．求l2的函數(shù)表達式．
（3）如圖3，在直角坐標系中，點B（5，4），作BA⊥y軸于點A，作BC⊥x軸于點C，P是線段BC上的一個動點，點Q（a，2a﹣3）位于第一象限內(nèi)．問點A、P、Q能否構成以點Q為直角頂點的等腰直角三角形，若能，請求出此時a的值，若不能，請說明理由．
變式1．（2022·四川天府新區(qū)八年級階段練習）如圖1，在平面直角坐標系中，已知點A，B的坐標分別為（0，3），（3，0）
(1)求直線AB的解析式；(2)如圖2，點C是點B關于y軸的對稱點，點D是AB的中點，點P為y軸上自原點向正半軸方向運動的一動點，運動速度為2個單位長度/s，設點P運動的時間為ts，點Q為射線BA上一點，當t=5時，，求點Q的坐標；(3)如圖3，在（2）的條件下，當△PDC為等腰直角三角形時，求t的值．
變式2．（2022,重慶市八年級期中）如圖1，直線l：y＝x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B．已知點C（﹣2，0）．（1）求出點A，點B的坐標．（2）P是直線AB上一動點，且△BOP和△COP的面積相等，求點P坐標．（3）如圖2，平移直線l，分別交x軸，y軸于交于點A1B1，過點C作平行于y軸的直線m，在直線m上是否存在點Q，使得△A1B1Q是等腰直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標．
考點4、一次函數(shù)中的全等三角形
例1．（2022·陜西·西北大學附中八年級期中）如圖1，已知直線與y軸，x軸分別交于A，B兩點，過點B在第二象限內(nèi)作且，連接．
(1)求點C的坐標；(2)如圖2，過點C作直線軸交于點D，交y軸于點E①求線段的長；②在坐標平面內(nèi)，是否存在點M（除點B外），使得以點M，C，D為頂點的三角形與全等？若存在，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．
變式1．（2022 羅湖區(qū)校級模擬）如圖，直線AB的解析式為y＝﹣x+b分別與x，y軸交于A，B兩點，點A的坐標為 （3，0），過點B的直線交x軸負半軸于點C，且OB：OC＝3：1．在x軸上方存在點D，使以點A，B，D為頂點的三角形與△ABC全等，則點D的坐標為　　．
變式2．（2022 遼寧八年級期中）如圖1，直線y＝﹣x+8與x軸，y軸分別交于點A，B，直線y＝x+1與直線AB交于點C，與y軸交于點D．
（1）求點C的坐標．（2）求△BDC的面積（3）如圖2，P是y軸正半軸上的一點，Q是直線AB上的一點，連接PQ．①若PQ∥x軸，且點A關于直線PQ的對稱點A′恰好落在直線CD上，求PQ的長．②若BDC與△BPQ全等（點Q不與點C重合），請寫出所有滿足要求的點Q坐標　　（直接寫出答案）
模塊四：同步培優(yōu)題庫
全卷共21題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共1小題，每小題3分，共3分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2022·陜西·八年級期中）如圖，點是直線上的動點，過點作軸于點，點是軸上的動點，，且為等腰三角形時點的長為（　　）
A．或 B． C．或 D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
2．（2022·廣西·欽州市八年級階段練習）如圖，一次函數(shù)的圖象過點，且與x軸相交于點B．若點P是x軸上的一點，且滿足△APB是等腰三角形，則點P的坐標可以是______．
3．（2023·江西·九年級專題練習）如圖，直線y= x+與坐標軸分別交于A，B兩點，在平面直角坐標系內(nèi)有一點C，使△ABC與△ABO全等，則點C的坐標為________．
4．（2022·四川南充·八年級期末）如圖，直線與軸交于，與軸交于，點在經(jīng)過點的直線上，當是等腰直角三角形時，點的坐標是______．
5．（2022·成都市·八年級期末）在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別為A（8，0），B（2，6），C（4，0），點P，Q是△ABO邊上的兩個動點（點P不與點C重合），以P，O，Q為頂點的三角形與△COQ全等，則滿足條件的點P的坐標為　 　．
6．（2022·浙江·金華八年級期中）如圖，直線y＝－x＋8與x軸，y軸分別交于點A，B，直線y＝x＋1與直線AB交于點C，與y軸交于點D．則△BDC的面積=____．若P是y軸正半軸上的一點，Q是直線AB上的一點，連接PQ．△BDC與△BPQ全等(點Q不與點C重合)，寫出所有滿足要求的點Q坐標______．
7．（2022·上海市八年級期中）已知一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別相交于點、點，在直線上有一點，連接、，三角形是等腰三角形，則點的坐標為______．
8．（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，直線yx與x軸交于點A，且經(jīng)過點B（2，a），在y軸上有一動點P，直線BC上有一動點M，已知C（3，0）．
（1）a＝_____；（2）若△APM是以線段AM為斜邊的等腰直角三角形，則點M的坐標是 _____．
9．（2022·江西景德鎮(zhèn)·八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線：與軸交于點，直線與兩坐標軸分別交于點，點，直線與交于點，點在射線上，若為直角三角形，則點的坐標為______．
三、解答題（本大題共12小題，共93分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
10．（2022·福建三明·八年級期末）【探索發(fā)現(xiàn)】
如圖1，在等腰直角三角形中，，若點在直線上，且，，則．我們稱這種全等模型為“型全等”．

【遷移應用】設直線與軸，軸分別交于，兩點．
(1)若，且是以為直角頂點的等腰直角三角形，點在第一象限，如圖2．
①直接填寫：______，______；②求點的坐標．(2)如圖3，若，過點在軸左側作，且，連接．當變化時，的面積是否為定值？請說明理由．
【拓展應用】(3)如圖4，若，點的坐標為．設點，分別是直線和直線上的動點，當是以為斜邊的等腰直角三角形時，求點的坐標．
11．（2022·浙江寧波·八年級期末）如圖， 已知直線與軸、 軸分別交于點， 以 為邊在第一象限內(nèi)作長方形 ．
(1)求點的坐標；(2)將對折， 使得點的與點重合，折痕B'D'交AC于點B'，交AB于點D，求直線的解析式 （圖②）；(3)在坐標平面內(nèi)， 是否存在點 （除點外）， 使得與全等， 若存在， 請求出 所有符合條件的點的坐標， 若不存在， 請說明理由．
12．（2022·浙江·金華市八年級期中）如圖1，已知長方形OABC的頂點O在坐標原點，A、C分別在x、y軸的正半軸上，頂點B（8，6），直線y＝﹣x+b經(jīng)過點A交BC于D、交y軸于點M，點P是AD的中點，直線OP交AB于點E．
(1)求點D的坐標及直線OP的解析式；(2)點N是直線AD上的一動點（不與A重合），設點N的橫坐標為a，請寫出△AEN的面積S和a之間的函數(shù)關系式，并請求出a為何值時S＝12；
(3)在x軸上有一點T（t，0）（5＜t＜8），過點T作x軸的垂線，分別交直線OE、AD于點F、G，在線段AE上是否存在一點Q，使得△FGQ為等腰直角三角形，若存在，請寫出點Q的坐標及相應的t的值；若不存在，請說明理由．
13．（2022·重慶·八年級期中）已知關于x的一次函數(shù)y1＝﹣mx+3m的圖象與x軸，y軸分別交于A，B兩點，過點B作直線y2＝﹣x的垂線，垂足為M，連接AM．（1）求點A的坐標；（2）當△ABM為直角三角形時，求點M的坐標；（3）求△ABM的面積（用含m的代數(shù)式表示，寫出m相應的取值范圍）．
14．（2022·吉林長春·八年級期末）在平面直角坐標系中，已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點．
(1)求此一次函數(shù)的解析式；(2)若點C在此一次函數(shù)的圖象上，且點C到y(tǒng)軸的距離為1，求點C的坐標；(3)設此直線上A、B兩點間的部分（包括A、B兩點）記為圖象G，點D的坐標為．
①點D是否能在圖象G上，如果能，求出m的值，如果不能，說明理由；
②過在D作y軸的垂線，垂足為點E，過點D作x軸的垂線，交圖象G于點F，當是等腰直角三角形時，求出m的值．
15．（2022成都市八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，正方形OABC的頂點A、C分別在x軸與y軸上，已知正方形邊長為3，點D為x軸上一點，其坐標為（1，0），連接CD，點P從點C出發(fā)以每秒1個單位的速度沿折線C→B→A的方向向終點A運動，當點P與點A重合時停止運動，運動時間為t秒．（1）連接OP，當點P在線段BC上運動，且滿足△CPO≌△ODC時，求直線OP的表達式；（2）連接PC、PD，求△CPD的面積S關于t的函數(shù)表達式；（3）點P在運動過程中，是否存在某個位置使得△CDP為等腰三角形，若存在，直接寫出點P的坐標，若不存在，說明理由．
16．（2022·河南·上蔡縣第一初級中學八年級階段練習）如圖，直線y＝﹣2x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C的坐標是（0，﹣1），P為直線AB上的動點，連接PO，PC，AC，(1)求A、B兩點的坐標．(2)求證：△ABC為直角三角形．(3)當△PBC與△POA面積相等時，求點P的坐標．
17．（2022 青羊區(qū)校級期中）如圖，直線y＝kx+b與x軸、y軸分別交于點A（4，0）、B（0，4），點P在x軸上運動，連接PB，將△OBP沿直線BP折疊，點O的對應點記為O'．（1）求k、b的值；（2）在x軸上是否存在點C，使得△ABC為等腰三角形？若存在，求出點C的坐標；若不存在，說明理由．（3）若點O′恰好落在直線AB上，求△OBP的面積．
18．（2022·上海·八年級階段練習）如圖，△ABC的兩頂點分別為B（0，0），C（4，0），頂點A在直線l：y＝﹣x+3上．(1)當△ABC是以BC為底的等腰三角形時，求點A的坐標；(2)當△ABC的面積為4時，求點A的坐標；(3)在直線l上是否存在點A，使∠BAC＝90°？若存在，求出點A的坐標；若不存在請說明理由．
19．（2022·重慶·八年級期中）如圖，A（0，4）是直角坐標系y軸上一點，動點P從原點O出發(fā)，沿x軸正半軸運動，速度為每秒1個單位長度，以P為直角頂點在第一象限內(nèi)作等腰Rt△APB．設P點的運動時間為t秒．（1）若AB∥x軸，如圖1，求t的值；（2）設點A關于x軸的對稱點為A′，連接A′B，在點P運動的過程中，∠OA′B的度數(shù)是否會發(fā)生變化，若不變，請求出∠OA′B的度數(shù)，若改變，請說明理由．（3）如圖2，當t＝3時，坐標平面內(nèi)有一點M（不與A重合）使得以M、P、B為頂點的三角形和△ABP全等，請直接寫出點M的坐標．
20．（2023·江蘇·八年級階段練習）模型建立：如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點C，過A作于D，過B作于E．(1)求證：；(2)模型應用：①已知直線：y＝﹣x﹣4與y軸交于A點，將直線繞著A點逆時針旋轉45°至，如圖2，求的函數(shù)解析式；②如圖3，矩形ABCO，O為坐標原點，B的坐標為（8，﹣6），A，C分別在坐標軸上，P是線段BC上動點，設PC＝m，已知點D在第四象限，且是直線y＝上的一點，若△APD是不以點A為直角頂點的等腰直角三角形，請求出點D的坐標．
21．（2022·山東威海·七年級期末）如圖，直線與x軸和y軸分別交于A、B兩點，把射線AB繞點A順時針旋轉90°得射線AC，點P是射線AC上一個動點，點Q是x軸上一個動點．若與全等，試確定點Q的橫坐標．
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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