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專題5.7 一次函數中的面積、特殊角度與探究規律問題
模塊1：學習目標
1、掌握一次函數中的相關面積問題；
2、掌握一次函數中的相關特殊角度問題；
3、掌握一次函數中的探究規律問題；
模塊2：知識梳理
1、一次函數中的面積模型
1）求點的坐標：一般會求兩種坐標：①直線與軸、軸的交點坐標；②兩直線的交點坐標。
2）表示面積：①規則圖形：用公式法（三角形面積不能漏×）；
②不規則圖形：（1）割補法，如下圖：四邊形用分割，；
（2）作差法（），如下圖：.
注：求三角形面積時往往選擇平行于坐標軸的線段作為底，底所對的頂點的坐標確定高。
3）常見題型：（1）一次函數圖象與坐標軸圍成的圖形面積問題；（2）一次函數面積定值與動態面積問題；（3）一次函數面積相等問題；（4）一次函數面積倍分問題；（5）一次函數不規則圖形面積問題。
2、一次函數中的特殊角度模型
1）常見題型及解題方法：（1）一次函數旋轉45°（方法：構造K字型全等）；（2）角度相等（方法：構造全等或等邊對等角）；
3、一次函數中的規律探究模型
1）解題方法：（1）根據圖象特征和已知條件列出前幾項；（2）根據前幾項結果歸納總結規律進而進行計算。
2）常見題型：（1）一次函數與點的坐標；（2）一次函數與周長面積；（3）一次函數與路徑長；（4）一次函數與正方形。
模塊3：核心考點與典例
考點1、一次函數中的面積問題
例1．（2022·北京通州·八年級期中）如圖，一次函數圖像與軸，軸分別交于點、，點是第一象限內的點，且滿足，是等腰直角三角形．(1)求點，坐標；(2)求的面積．
【答案】(1)點的坐標為，點的坐標為(2)
【分析】（1）分別令，求x的值，令，得y的值，即可確定點，坐標；
（2）利用勾股定理求出，再根據是等腰直角三角形即可求其面積．
（1）解：由直線，令，得，令，得，
則點的坐標為，點的坐標為；
（2）∵點的坐標為，點的坐標為，∴，
∵，是等腰直角三角形，∴．
【點睛】本題主要考查了一次函數圖像上點的坐標特征、等腰直角三角形的性質等知識，解題關鍵是掌握一次函數圖像上點的坐標特征．
例2．（2022·浙江·八年級期末）如圖，直線PA：y=x+2與x軸、y軸分別交于A，Q兩點，直線PB：y=-2x+8與x軸交于點B，(1)請寫出A點的坐標是（_________，_________），Q點的坐標是（_________，_________），B點的坐標是（_________，_________），P點的坐標是（_________，_________）．
(2)若△AOQ的面積為，則=_________，四邊形PQOB的面積為，則=_________．
(3)直線PA上是否存在點M，使得△PBM的面積等于四邊形PQOB的面積？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)-2，0，0，2，4，0，2，4(2)2，10(3)存在，或
【分析】（1）利用待定系數法或構建方程組即可解決問題．（2）利用三角形的面積公式計算即可．
（3）設M（m，m＋2），則有或，分別構建方程即可解決問題．
（1）解：∵直線PA：y＝x＋2與x軸、y軸分別交于A，Q兩點，直線PB：y＝ 2x＋8與x軸交于點B，∴Q（0，2），A（ 2，0），B（4，0），
由，解得，∴P（2，4），故答案為 2，0，0，2，4，0，2，4．
（2）解：，，故答案為2，10．
（3）解：設M（m，m＋2），則有或，
∴或，解得或，
當時，；當時，，∴或．
【點睛】本題考查一次函數的性質，待定系數法，三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．
例3．（2022·陜西·八年級期末）如圖，平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線AB分別與x軸、y軸交于點A（5，0），B（0，5），動點P的坐標為（a，a﹣1）．（1）求直線AB的函數表達式；
（2）連接AP，若直線AP將△AOB的面積分成相等的兩部分，求此時P點的坐標．
【答案】（1）直線AB的函數表達式為y=-x+5；（2）點P的坐標為（，）．
【分析】（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，把點A（5，0），B（0，5）代入可求出k、b的值即可得出答案；（2）由題意可知直線AP將△AOB的面積分成相等的兩部分，則直線AP經過OB的中點（0，），設直線AP的解析式為y=mx+n，把A（5，0），（0，）代入，即可求出直線AP的解析式，再把P（a，a-1）代入即可的求出a的值，即可的出答案．
【詳解】解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，
把點A（5，0），B（0，5）代入上式，得，解得：，
∴直線AB的函數表達式為y=-x+5；
（2）∵直線AP將△AOB的面積分成相等的兩部分，∴直線AP經過OB的中點（0，），
設直線AP的解析式為y=mx+n，把A（5，0），（0，）代入上式，
得，解得，∴直線AP的解析式為y=-x+，
把p（a，a-1）代入y=-x+中，得 a+＝a 1，解得：a=，
∴點P的坐標為（，）．
【點睛】本題主要考查了待定系數法求一次函數解析式，熟練應用待定系數法求出函數系數的值是解決本題的關鍵．
例4．（2022·重慶市江津中學校八年級階段練習）如圖，已知直線經過點，
(1)求直線的解析式．(2)若直線與直線AB相交于點C，求點C的坐標．
(3)在直線上是否存在點P，使得，若存在，直接寫出P的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)y=-x+5；(2)C(3,2)；(3)或
【分析】（1）將點A、B代入解析式，求解方程組即可；（2）將兩個一次函數組成方程組求解即可；
（3）根據解析式確定出點F的坐標及，結合題意及圖形得出，然后求解即可．
（1）解：直線y=kx+b經過點A(5,0)，B(1,4)，
∴，解得：，直線AB的解析式為：y=-x+5；
（2）直線y=2x 4與直線AB相交于點C，∴，解得：，∴點C(3,2)；
（3）y=2x-4，當y=0時，x=2，∴F（2,0），∴AF=5-2=3，
∵，，∴，
∴，
解得：，∴，當y=時，x=，∴P()；
當y=時，x=，∴P()；綜上可得：P()或P() ．
【點睛】題目主要考查一次函數的基本性質及確定一次函數的方法，一元一次方程的應用等，理解題意，熟練掌握一次函數的性質是解題關鍵．
例5．（2022·湖南·衡陽八年級階段練習）在平面直角坐標系中，直線交軸于點，交軸于點若點是直線上的一個動點，點和點分別在軸和軸上．
(1)的值是______；(2)若點在線段上，，是否存在點，使，若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由．(3)若已知點的坐標為（6，0），點的坐標為（0，1），且四邊形的面積是，求點的坐標．(4)當平行于軸，平行于軸時，若四邊形的周長是，請直接寫出點的坐標．
【答案】(1)(2)存在，(3)(4)或
【分析】（1）根據點A的坐標，利用待定系數法可求出值；
（2）過點作軸于，過點作軸于，證明，可得，設，則，解方程求得的值，即可求解；
（3）過點作軸于，利用一次函數圖象上點的坐標特征可得出點的坐標，由四邊形的面積是，得出，解方程求得的值，即可求得的坐標；
（4）由題意可知，解方程求得的值，即可求得的坐標．
（1）將代入，得：，解得：，故答案為：；
（2）存在，點的坐標為，
如圖，過點作軸于，過點作軸于，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
設，則，解得，∴；
（3）如圖，過點作軸于，
由（1）可知直線的解析式為．設，，
∵點的坐標為，點的坐標為，∴，，∴，，
∵四邊形的面積是9，
∴，
整理得，解得，∴點的坐標為；
（4）∵軸，軸，∴四邊形是矩形，
∵四邊形的周長是10，
設，∴或，
解得或，點的坐標為或．
【點睛】本題是一次函數綜合題，考查了待定系數法求一次函數解析式、一次函數圖象上點的坐標特征、三角形的面積，全等三角形的判定和性質，矩形的判定和性質等，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法，全等三角形的判定和性質，利用方程的思想求解．
例6．（2023秋·湖北武漢·八年級?？茧A段練習）在坐標系中，A點的坐標為，點的坐標為，且滿足，以點為直角頂點為腰作等腰，其中點在第三象限內，且．

圖1 圖2 圖3
(1)如圖1，求點的坐標；
(2)如圖2，已知是與軸的交點，是與軸的交點，連接，求的值；
(3)如圖3，點是軸負半軸上一動點，點在軸正半軸上，分別以點為頂點為腰在第二、第一象限作等腰和等腰，連接交軸于點，試問：當的值發生變化時，的面積是否發生改變？若不變，請求出其值．
【答案】(1)點的坐標為(2)5(3)14
【分析】（1）根據非負數的性質求出，，從而得到，，即，，作軸交軸于點，則，證明得到，，，即可得到答案；
（2）由（1）得：，，，用待定系數法分別求出直線、的解析式，從而得出的坐標，再根據兩點間的距離得出，即可得到答案；
（3）在上截取一點，使，證明得到，，證明，得到，作軸交軸于，作交軸于，證明，得到，同理可得，，再根據進行代換和計算即可得到答案．
【詳解】（1）解：，，，
，，，，，，，，
如圖，作軸交軸于點，則，，

是等腰直角三角形，，，，，
在和中，，，
，，，點的坐標為；
（2）解：由（1）得：，，，設直線解析式為：，
將，代入解析式得：，解得：，
直線解析式為，當時，，
，，設直線的解析式為：，
將，代入解析式得：，解得：，
直線的解析式為，當時，，
解得：，，，；
（3）解：如圖，在上截取一點，使，
、為等腰直角三角形，，，，，
，，
，，，，
在和中，，，，，
，，，
在和中，，，，
作軸交軸于，作交軸于，則，
在和中，，，，
同理可得，，
，，，，，，
．
【點睛】本題主要考查了坐標與圖形、非負數的性質、一次函數的圖象與性質、等腰直角三角形的性質、三角形全等的判定與性質、三角形面積公式等知識，熟練掌握以上知識點，添加適當的輔助線，是解此題的關鍵．
考點2、一次函數中的角度問題
例1．（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（0，），點B為x軸的正半軸上一動點，作直線AB，△ABO與△ABC關于直線AB對稱，點D，E分別為AO，AB的中點，連接DE并延長交BC所在直線于點F，連接CE，當∠CEF為直角時，則直線AB的函數表達式為__．
【答案】y＝﹣x+
【分析】證明△ABO≌△ABC，于是可知∠CBA=∠ABO=30°，得出OB=3即可求出直線AB的函數表達式．
【詳解】解：∵△ABO與△ABC關于直線AB對稱，∴∠ACB＝∠AOB＝90°，
∵點E是AB的中點，∴CE＝BE=EA∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠ECA+∠ECF＝90°，∠ECF+∠CFE＝90°∴∠CFE＝∠BAC，
而點D，E分別為AO，AB的中點，∴DFOB，∴∠CFE＝∠CBO＝2∠CBA＝2∠ABO，
∵△ABO與△ABC關于直線AB對稱，∴△ABO≌△ABC，
∴∠OAB＝∠CAB＝2∠ABO，∴∠ABO＝30°，
而點A的坐標為（0，），即OA＝，
∴OB＝3即點B的坐標為（3，0），
于是可設直線AB的函數表達式為y＝kx+b，代入A、B兩點坐標得
解得k＝﹣，b＝，故答案為y＝﹣x+．
【點睛】本題考查的是三角形的全等，并考查了用待定系數法求函數解析式，找到兩個已知點的坐標是解決本題的關鍵．
例2．（2022·廣東·揭西八年級期中）如圖，已知點A（2,-5）在直線：y＝2x+b上，和：y＝kx﹣1的圖象交于點B，且點B的橫坐標為8．(1)直接寫出b、k的值；(2)若直線、與y軸分別交于點C、D，點P在線段BC上，滿足，求出點P的坐標；(3)若點Q是直線上一點，且∠BAQ＝45°，求出點Q的坐標．
【答案】(1)k=1，b=-9(2)P(6,3)(3)
【分析】（1）將點A的坐標代入中，求出b的值，即可求出直線的解析式，然后將x=8代入直線的解析式中，即可求出點B的坐標，最后將點B的坐標代入中，即可求出k的值；
（2）過點B作BE⊥y軸于點E，過點P作PF⊥y軸于F，根據點B的坐標即可求出BE的長，由題意可得，然后根據三角形的面積公式即可求出PF，從而求出點P的坐標；
（3）設點Q的坐標為（a,a-1），過點Q作QE⊥AQ交直線于點E，過點Q作FG⊥x軸，過點A作AF⊥FG于F，過點E作EG⊥FG于G，可得△AQE為等腰直角三角形，QE=AQ，再證明△GEQ≌△FQA，即有GE=FQ，QG=AF，即有，AF=2-a，GE=a+4，QG=2-a，點E的橫坐標為a+4+a=2a+4，點E的縱坐標為，根據點E在上，可得，解得：a=，則問題得解．
（1）將點A的坐標代入中，得，解得：b=-9，
∴直線的解析式為，將x=8代入中，解得：y=7，∴點B的坐標為（8,7），
將點B的坐標代入中，得，解得：k=1，綜上：k=1，b=-9；
（2）過點B作BE⊥y軸于點E，過點P作PF⊥y軸于F，連接PD，
根據（1）的結果，可知：直線的解析式為，直線的解析式為，
將x=0分別代入和，可得C點坐標為(0,-9)，D點坐標為(0,-1)，
∴CD=9-1=8，根據B點坐標(8,7)，可得BE=8，
∵，∴，∴，
∴=6，即點P的橫坐標為6，將x=6代入中，
解得：y=3，∴點P的坐標為（6,3）；
（3）由（1）知，直線的解析式為，由點是直線上，設點Q的坐標為（a,a-1），
過點Q作QE⊥AQ交直線于點E，過點Q作FG⊥x軸，過點A作AF⊥FG于F，過點E作EG⊥FG于G，如下圖所示，∵QE⊥AQ，∠BAQ=45°，∴∠AQE=90°，∴△AQE為等腰直角三角形，QE=AQ，
∵∠G=∠F=90°，∴∠GEQ+∠GQE=90°，∠FQA+∠GQE=90°，
∴∠GEQ=∠FQA，∴△GEQ≌△FQA，∴GE=FQ，QG=AF，
∵點Q的坐標為（a,a-1），點A的坐標為，
∴ ，AF=2-a，∴GE=a+4，QG=2-a，
∴點E的橫坐標為a+4+a=2a+4，點E的縱坐標為，
∵點E在上，∴，解得：a=，
∴此時點Q的坐標為；即點Q的坐標為．
【點睛】此題考查的是一次函數與幾何圖形的綜合大題，主要考查了待定系數法，三角形的面積公式，等腰直角三角形的性質，掌握利用待定系數法求一次函數解析式、三角形的面積公式和全等三角形的判定及性質是解題的關鍵．
例3．（2022·深圳市高級中學八年級期末）如圖，直線y＝﹣x﹣4交x軸和y軸于點A和點C，點B（0，2）在y軸上，連接AB，點P為直線AB上一動點．（1）直線AB的解析式為　 　；（2）若S△APC＝S△AOC，求點P的坐標；（3）當∠BCP＝∠BAO時，求直線CP的解析式及CP的長．
【答案】（1）y＝x+2；（2）點P坐標為（﹣，）或（﹣，﹣）；（3）CP的解析式為：y＝﹣2x﹣4或y＝2x﹣4；CP的長為或4
【分析】（1）先求出點A，點C坐標，利用待定系數法可求解析式；
（2）設點P（m，m+2），分兩種情況討論，利用面積關系列出方程可求m的值，即可求解；
（3）分兩種情況討論，由“ASA”可證△AOB≌△COH，可得OH＝OB＝2，可求點H坐標，利用待定系數法可求CH解析式，聯立方程組可求點P坐標，由兩點距離公式可求解．
【詳解】解：（1）∵直線y＝﹣x﹣4交x軸和y軸于點A和點C，∴點A（﹣4，0），點C（0，﹣4），
設直線AB的解析式為y＝kx+b，由題意可得：，解得：，
∴直線AB的解析式為y＝x+2，故答案為：y＝x+2；
（2）∵點A（﹣4，0），點C（0，﹣4），點B（0，2），∴OA＝OC＝4，OB＝2，∴BC＝6，
設點P（m，m+2），當點P在線段AB上時，∵S△APC＝S△AOC，∴S△ABC﹣S△PBC＝×4×4，
∴×6×4﹣×6×（﹣m）＝8，∴m＝﹣，∴點P（﹣，）；
當點P在BA的延長線上時，∵S△APC＝S△AOC，∴S△PBC﹣S△ABC＝×4×4，
∴×6×（﹣m）﹣×6×4＝8，∴m＝﹣，∴點P（﹣，﹣），
綜上所述：點P坐標為（﹣，）或（﹣，﹣）；
（3）如圖，當點P在線段AB上時，設CP與AO交于點H，
在△AOB和△COH中，，∴△AOB≌△COH（ASA），
∴OH＝OB＝2，∴點H坐標為（﹣2，0），
設直線PC解析式y＝ax+c，由題意可得，解得：，
∴直線PC解析式為y＝﹣2x﹣4，
聯立方程組得：，解得：，∴點P（﹣，），∴，
當點P'在AB延長線上時，設 CP'與x軸交于點H'，同理可求直線P'C解析式為y＝2x﹣4，
聯立方程組，∴點P（4，4），∴，
綜上所述：CP的解析式為：y＝﹣2x﹣4或y＝2x﹣4；CP的長為或．
【點睛】本題是一次函數綜合題，考查了待定系數法求解析式，三角形的面積公式，全等三角形的判定和性質等知識，利用分類討論思想解決問題是本題的關鍵．
例4．（2023秋·福建漳州·八年級統考期末）如圖1，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與直線交于點．(1)求的值；(2)點是直線上一動點．
①如圖2，當點恰好在的角平分線上時，求直線的函數表達式；
②是否存在點，使得，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】(1)4(2)①；②存在，或
【分析】（1）把代入，可得答案；
（2）①過點作，垂足為點．求解直線表達式為．可得．證明，過作，垂足為點．證明．可得，則，從而可得答案；②若點在射線上時，如圖．過作軸，交軸于點，過作，交的延長線于點．證明．可得，結合點B坐標為可得點的坐標為．若點在的延長線上時，如圖．過作軸，交軸于點，過作，交的延長線于點．同理．從而可得答案．
【詳解】（1）解：將代入，得；
（2）①解：過點作，垂足為點．

．，．．
點在直線上，．直線表達式為．
把代入中，得．．．
在中，．
，．
過作，垂足為點．．．
又平分，．，．．
在直線上，令，得，，
設直線的函數表達式為．把代入，得．直線的表達式為．
②存在．若點在射線上時，如圖．

過作軸，交軸于點，過作，交的延長線于點．
．．又，．．
，為等腰直角三角形，．．．
點B坐標為．．點的坐標為．
若點在的延長線上時，如圖．
過作軸，交軸于點，過作，交的延長線于點．
同理．．點的坐標為．
綜上所述，點的坐標為或．
【點睛】本題考查的是一次函數的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，角平分線的性質，勾股定理以及勾股定理的逆定理的應用，掌握以上知識并靈活運用是解本題的關鍵．
例5．（2023春·江蘇泰州·八年級?？计谥校┤鐖D，平面直角坐標系中，已知點在y軸正半軸上，點，點在x軸正半軸上，且．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當時，過點B的直線與成夾角，試求該直線與的交點的橫坐標；(3)如圖3，當時，點D在的延長線上，且，連接，射線交于點E．當點B在y軸負半軸上運動時，的度數是否為定值？如果是，請求出的度數；如果不是，請說明理由．
【答案】(1)見解析(2)或(3)定值，
【分析】（1）根據完全平方公式因式分解得出，進而得出，即可得證；
（2）作K字型全等，進而得出結論；
（3）作于D，取，連接接，證明，得出是等腰直角三角形，根據平移的性質得出，則，即可求解．
【詳解】（1）∵，∴，
∵，∴，∴；
（2）設直線，∵，∴，
∴，∴，∴將點代入，
，解得，∴直線；
過點B作直線與直線，使得與直線夾角為，

設點，過點P作軸，過點Q作軸，
∵，∴，∴，∴，，
∴，∴，∴，，
∴，，∴，
∵Q在直線上，∴代入得，∴，
∴，∴直線與的交點的橫坐標為或
（3）的度數為定值，．
理由：作于D，取，連接接，
∵，∴，
∴，∴，
∴，∴是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，∴可由平移所得，∴，
∴，∴
【點睛】本題考查了因式分解的應用，等腰三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，坐標與圖形，綜合運用以上知識是解題的關鍵．
考點3、一次函數中的探究規律問題
例1．（2022·山東臨沂·八年級期末）如圖，已知直線l：與x軸的夾角是30°，過點A（0，1）作y軸的垂線交直線l于點B，過點B作直線l的垂線交y軸于點；過點作y軸的垂線交直線l于點，過點作直線l的垂線交y軸于點……按此作法繼續下去，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據所給直線解析式可得l與x軸的夾角，進而根據所給條件依次得到點的坐標，通過相應規律得到坐標即可．
【詳解】解：∵與x軸的夾角是30°，∴∠ABO＝30°，
∵A（0，1），AB⊥y軸，當y＝1時，代入上式得：
x＝，即AB＝，AO＝1，∴OB＝2，B（，1），
∵⊥l，∴＝4，∴（0，4），（4，4），
同理可得，...，，∴，故選：A．
【點睛】本題考查的是一次函數圖象上點的坐標特征，正比例函數的性質以及規律型：點的坐標，也考查了勾股定理，先根據所給一次函數判斷出一次函數與x軸夾角是解決本題的突破點；根據含30°的直角三角形的特點依次得到的點的坐標是解決本題的關鍵．
例2．（2022·山東德州·八年級期末）正方形按如圖所示的方式放置．點和點分別在直線和x軸上，則點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據一次函數圖象上點的坐標特征，先求出點，再根據正方形的性質可得，進一步可得，同理可得，按照此規律可得點的坐標．
【詳解】解：點、、和點、、分別在直線和軸上，
當時，，，，正方形的邊長為1，，
當時，，，，正方形的邊長為2，，
當時，，，按照上述規律，可得點，，故選：B．
【點睛】本題考查了一次函數與正方形的綜合，解題的關鍵是熟練掌握一次函數圖象上點的坐標特征并找出點坐標之間的規律，利用規律求解．
例3．（2022·河南信陽·八年級期末）如圖所示，已知直線與x、y軸交于B、C兩點，，在內依次作等邊三角形，使一邊在x軸上，另一個頂點在BC邊上，作出的等邊三角形分別是第1個，第2個，第3個，…則第n個等邊三角形的邊長等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】過點作軸于點D，先求出，可得BC=2，從而得到∠OBC=30°進而得到，，，可得到第1個等邊三角形的邊長，第2個等邊三角形的邊長，第3個等邊三角形的邊長，……，由此發現規律，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點作軸于點D，
∵直線與x、y軸交于B、C兩點，∴當x=0時，y=1，當y=0時，，
∴點，∴，∴，
∴，∴∠OBC=30°，∴∠OCB=60°，
∵是等邊三角形，∴，∴，
∴，∴，
∴第1個等邊三角形的邊長，
同理：第2個等邊三角形的邊長，
第3個等邊三角形的邊長，……，
由此發現：第n個等邊三角形的邊長等于．故選：A
【點睛】本題考查了一次函數綜合題，直角三角形的性質，等邊三角形的性質，根據題意準確得到規律是解題的關鍵．
例4．（2022·廣西九年級模擬）在平面直角坐標系中，點在射線上，點在射線上，以為直角邊作，以為直角邊作第二個，然后以為直角邊作第三個，…，依次規律，得到，則點的縱坐標為____．
【答案】22022
【分析】根據題意，分別找到AB、A1B1、A2B2……及 BA1、B1A2、B2A3……線段長度遞增規律即可．
【詳解】解：由已知可知：點A、A1、A2、A3……A2020各點在正比例函數y＝x的圖象上，
點B、B1、B2、B3……B2020各點在正比例函數y＝x的圖象上，
兩個函數相減得到橫坐標不變的情況下兩個函數圖象上點的縱坐標的差為x ①
當A（B）點橫坐標為時，由①得AB＝1，則BA1＝，則點A1橫坐標為＋＝2，B1點縱坐標為 2＝4＝22；
當A1（B1）點橫坐標為2，由①得A1B1＝2，則B1A2＝2；則點A2橫坐標為2＋2＝4，B2點縱坐標為×4＝8＝23；
當A2（B2）點橫坐標為4，由①得A2B2＝4，則B2A3＝4，則點A3橫坐標為4＋4＝8，B3點縱坐標為×8＝16＝24；以此類推，點B2021的縱坐標為22022，故答案為22022．
【點睛】本題是平面直角坐標系規律探究題，考查了直角三角形各邊數量關系，解答時注意數形結合．
模塊四：同步培優題庫
全卷共20題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2022·遼寧營口·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，點…都在x軸上，點 都在直線上， 都是等腰直角三角形，且，則點的坐標是（　　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用直線y＝x上點的坐標特點及等腰直角三角形的性質，可分別求得B1、B2、B3的坐標，由此歸納總結即可求得B2022的坐標．
【詳解】解：∵是等腰直角三角形，，
∴A1B1＝OA1＝1，∴點B1的坐標為（1，1），
∵是等腰直角三角形，∴A1A2＝A1B1＝1，
又∵是等腰直角三角形，∴是等腰直角三角形，
∴A2B2＝OA2＝OA1＋A1A2＝2，∴點B2的坐標為（2，2），
同理可得：點B3的坐標為（22，22），點B4的坐標為（23，23），點B5的坐標為（24，24），……
∴B2022的坐標為（22021，22021），故選：B．
【點睛】本題主要考查一次函數圖象上點的坐標，利用等腰直角三角形的性質求得B1、B2、B3的坐標是解題的關鍵．
2．（2023春·河南新鄉·八年級統考期中）如圖，在平面直角坐標系中，的邊落在x軸的正半軸上，點直線以每秒3個單位的速度向下平移，經過多少秒該直線可將的面積平分（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】首先連接 、，交于點 ，當 經過 點時，該直線可將 的面積平分，然后計算出過且平行直線的直線解析式，從而可得直線要向下平移6個單位，進而可得答案；
【詳解】連接 、，交于點 ，當 經過 點時，該直線可將 的面積平分 ∵四邊形是平行四邊形
設的解析式為
平行于∵過∴的解析式為
∴直線要向下平移 6 個單位∴時間為 (秒) 故選B

【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質以及一次函數，關鍵是正確掌握經過平行四邊形對角線交點的直線平分平行四邊形的面積
3．（2023春·浙江八年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象分別交x、y軸于點A、B，將直線繞點B按順時針方向旋轉，交x軸于點C，則的面積是（ ）
A．22 B．20 C．18 D．16
【答案】B
【分析】根據已知條件得到，，過A作交于F，過F作軸于E，得到是等腰直角三角形，根據全等三角形的性質得到，求得，求得直線的函數表達式，據此求解可得到結論．
【詳解】解：∵一次函數的圖象分別交x、y軸于點A、B，
∴令，得，令，則，∴，，∴，
過A作交于F，過F作軸于E，
∵，∴是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴，
設直線的函數表達式為：，∴，解得，
∴直線的函數表達式為：，∴，∴，
∴的面積是，故選：B．
【點睛】本題考查了一次函數圖象與幾何變換，待定系數法求函數的解析式，全等三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
4．（2022秋·江蘇無錫·八年級統考期末）如圖，直線y＝2x+2與直線y＝﹣x+5相交于點A，將直線y＝2x+2繞點A旋轉45°后所得直線與x軸的交點坐標為（　?。?br/>A．（﹣8，0） B．（3，0） C．（﹣11，0），（，0） D．（﹣10，0），（2，0）
【答案】C
【分析】先求出點A的坐標；設直線y=2x+2與x軸交于點B，過點A作AC⊥x軸于點C，可求出AC和BC的長；若將直線y=2x+2繞點A旋轉45°，則需要分兩種情況：當直線AB繞點A逆時針旋轉45°時，如圖1，設此時直線與x軸的交點為P；過點B作BD⊥AB交直線AP于點D，過點D作DE⊥x軸于點E，可得△ACB≌△BED，進而可得點D的坐標，用待定系數法可求出直線AP的表達式，進而求出點P的坐標；當直線AB繞點A順時針旋轉45°時，如圖2，設此時直線與x軸的交點為Q，延長DB交AQ于點F，則△ADF是等腰直角三角形，根據中點坐標公式可求出點F的坐標，進而求出直線AQ的表達式，最后可求出點Q的坐標．
【詳解】解：令2x+2=-x+5，解得x=1，∴A（1，4）．
設直線y=2x+2與x軸交于點B，過點A作AC⊥x軸于點C，
∴OC=1，AC=4，令y=2x+2=0，則x=-1，∴OB=1，∴BC=2．
將直線y=2x+2繞點A旋轉45°，需要分兩種情況：
①當直線AB繞點A逆時針旋轉45°時，如圖1，設此時直線與x軸的交點為P，此時∠BAP=45°，
過點B作BD⊥AB交直線AP于點D，過點D作DE⊥x軸于點E，
∴∠ACO=∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=∠DBE+∠BDE=90°，∴∠ABC=∠BDE，
∵∠ABD=90°，∠BAP=45°， ∴∠BDA=∠BAP=45°，∴AB=BD，∴△ACB≌△BED（AAS），
∴BC=DE=2，BE=AC=4，∴OE=3，∴D（3，-2），設直線AP的解析式為y=kx+b，
∴，解得，∴直線AP的解析式為y=-3x+7，令y=0，則x=，∴P（，0）；
②當直線AB繞點A順時針旋轉45°時，如圖2，設此時直線與x軸的交點為Q，延長DB交AQ于點F，
則∠BAQ=45°，∵∠ABF=∠ABD=90°，∴∠BAF=∠BFA=45°，
∴BF=BA=BD，即點B為DF的中點，∵B（-1，0），D（3，-2），∴F（-5，2），
設直線AQ的解析式為：y=mx+n， ∴，解得，
∴直線AQ的解析式為：y=x+．令y=0，則x=-11，∴Q（-11，0），
綜上所述，將直線y=2x+2繞點A旋轉45°后所得直線與x軸的交點坐標為（-11，0），（，0）．
故選：C．
【點睛】本題屬于一次函數與幾何綜合題目，涉及全等三角形的性質與判定，圖象的交點，等腰三角形的性質等內容，解題的關鍵是根據45°角作出垂線構造全等．本題若放在九年級可用相似解決．
5．（2023·廣東佛山·八年級?？茧A段練習）如圖，正方形OABC中，點B(4，4)，點E，F分別在邊BC，BA上，OE=，若∠EOF=45°，則OF的解析式為　(　　)
A．y=x B．y=x C．y=x D．y=x
【答案】B
【詳解】分析：作輔助線，構建全等三角形，證明△OCE≌△OAD和△EOF≌△DOF，得EF=FD，設AF=x，在直角△EFB中利用勾股定理列方程求出x=，根據正方形的邊長寫出點F的坐標，并求直線OF的解析式．
詳解：延長BF至D，使AD=CE，連接OD．
∵四邊形OABC是正方形，∴OC=OA，∠OCB=∠OAD，∴△OCE≌△OAD，∴OE=OD，∠COE=∠AOD．
∵∠EOF=45°，∴∠COE+∠FOA=90°﹣45°=45°，∴∠AOD+∠FOA=45°，∴∠EOF=∠FOD．
∵OF=OF，∴△EOF≌△DOF，∴EF=FD，由題意得：OC=4，OE=2，∴CE==2，∴BE=2，設AF=x，則BF=4﹣x，EF=FD=2+x，∴（2+x）2=22+（4﹣x）2，解得：x=，∴F（4，），設OF的解析式為：y=kx，4k=，k=，∴OF的解析式為：y=x．故選B．

點睛：本題是利用待定系數法求一次函數的解析式，考查了正方形的性質及全等三角形的性質與判定，作輔助線構建全等三角形是本題的關鍵，利用全等三角形的對應邊相等設一未知數，找等量關系列方程，求出點F的坐標，才能運用待定系數法求直線OF的解析式．
二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
6．（2022·四川成都市·八年級期末）如圖，直線 與 軸正方向夾角為，點在軸上，點在直線 上，均為等邊三角形，則的橫坐標為__________．
【答案】
【分析】分別求出的坐標，得到點的規律，即可求出答案.
【詳解】設直線交x軸于A，交y軸于B，當x=0時，y=1；當y=0時，x=，
∴A(,0)，∴B（0,1），∴OA=,OB=1，
∵是等邊三角形，∴
∵∠BOA=，∴OA1=OB1=OA=，A1A2=A1B2=AA1=2，A2A3=A2B3=AA2=4，
∴OA1=,OA2=2，OA3=4,∴A1(，0)，A2(2，0)，A3（4,0），∴的橫坐標是.
【點睛】此題考查點坐標的規律探究，一次函數的性質，等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，根據幾種圖形的性質求出A1，A2，A3的坐標得到點坐標的規律是解題的關鍵.
7．（2022·遼寧撫順市·九年級三模）如圖，點A1（2，1）在直線y=kx上，過點A1作A1B1∥y軸交x軸于點B1，以點A1為直角頂點，A1B1為直角邊在A1B1的右側作等腰直角△A1B1C1，再過點C1作A2B2∥y軸，分別交直線y=kx和x軸于A2，B2兩點，以點A2為直角頂點，，A2B2為直角邊在A2B2的右側作等腰直角△A2B2C2…，按此規律進行下去，則帶點Cn的坐標為_______________．（結果用含正整數n的代數式表示）
【答案】
【分析】先根據A1的坐標，求出直線的解析式，然后依據題意，分別求出A2、A3、A4的坐標，最后找規律得出結論．
【詳解】∵點A1(2，1)在直線y=kx上∴1=2k，解得：k= ∴y=x
∴B1(2，0)，A1B1=1∴C1(3，1)∴A2(3，)，B2(3，)∴A2B2=，C2(，)
同理可得：C3(，)、C4(，)可發現規律為：Cn()故答案為：()．
【點睛】本題考查找規律，注意在找出一般規律后，建議再代入2組數據進行驗證，防止規律錯誤．
8．（2022·浙江·金華市八年級期末）如圖，直線交軸于點，以為直角邊長作等腰，再過點作等腰△交直線于點，再過點再作等腰△交直線于點，以此類推，繼續作等腰△，，△，其中點都在直線上，點都在軸上，且，，都為直角．則點的坐標為__，點的坐標為__．
【答案】 ，
【分析】先求出點坐標，根據等腰三角形的性質可得出的長，故可得出的坐標，同理即可得出，的坐標，找出規律即可．
【詳解】解：直線交軸于點，，
是等腰直角三角形，，，
是等腰直角三角形，，，，
同理可得，，，，故答案為：，，．
【點睛】本題考查一次函數圖像上點的坐標特點，熟知一次函數圖像上各點的坐標一定適合此函數的解析式是解答此題的關鍵．
9．（2022·深圳市福田區八年級月考）如圖，已知直線：，過點作軸的垂線交直線于點，過點作直線的垂線交軸于點；過點作軸的垂線交直線于點，過點作直線的垂線交軸于點；…；按此作法繼續下去，則點的坐標為______．
【答案】
【分析】根據所給直線解析式得到直線與x軸的夾角，進而根據所給條件依次得到點、的坐標，通過相應規律得到點的坐標．
【詳解】解：∵，且AB⊥y軸，∴，解得：，∴，∴，
∴，∴∠AOB=60°，∴直線與x軸的夾角為30°，∠ABO=30°，
∵，∴，∴，∴，
∴由勾股定理得，∴，同理可得，……
∵，∴的縱坐標為，∴；故答案為．
【點睛】本題主要考查一次函數的規律問題、勾股定理及含30°直角三角形的性質，熟練掌握一次函數的規律問題、勾股定理及含30°直角三角形的性質是解題的關鍵．
10．（2022·甘肅八年級期末）在平面直角坐標系中，正方形、、，…，按圖所示的方式放置.點、、，…和點、、，…分別在直線和軸上.已知，，則點的坐標是______.
【答案】
【分析】由正方形的軸對稱性，由C1、C2的坐標可求A1、A2的坐標，將A1、A2的坐標代入y=kx+b中，得到關于k與b的方程組，求出方程組的解得到k與b的值，從而求直線解析式，由正方形的性質求出OB1，OB2的長，設B2G=A3G=t，表示出A3的坐標，代入直線方程中列出關于b的方程，求出方程的解得到b的值，確定出A3的坐標．
【詳解】連接A1C1，A2C2，A3C3，分別交x軸于點E、F、G，
∵正方形A1B1C1O、A2B2C2B1、A3B3C3B2，
∴A1與C1關于x軸對稱，A2與C2關于x軸對稱，A3與C3關于x軸對稱，
∵C1（1，-1），C2（， ），∴A1（1，1），A2（，），
∴OB1=2OE=2，OB2=OB1+2B1F=2+2×（-2）=5，
將A1與A2的坐標代入y=kx+b中得： ，解得： ，∴直線解析式為y=x+，
設B2G=A3G=t，則有A3坐標為（5+t，t），代入直線解析式得：t=（5+t）+，
解得：t=，∴A3坐標為.故答案是：.
【點睛】考查了一次函數的性質，正方形的性質，利用待定系數法求一次函數解析式，是一道規律型的試題，鍛煉了學生歸納總結的能力，靈活運用正方形的性質是解本題的關鍵．
11．（2023春·山東日照·八年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，直線交直線于點，若的面積是，則的值為 ．

【答案】
【分析】首先根據題意求出A點坐標，然后利用的面積列方程求出點B的縱坐標，然后代入求出點B的橫坐標，然后將代入求解即可．
【詳解】∵直線與軸交于點，
當時，，解得，∴∴
∵的面積是，∴，即解得
∴將代入得，解得∴
∴將代入得，解得．故答案為：．
【點睛】本題主要考查了一次函數問題，掌握圖象上點的坐標特征以及利用面積構造方程，會解方程是解題關鍵．
12．（2023秋·江蘇泰州·八年級校考期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知直線與軸、軸分別交于點，．直線恰好將分成兩部分的面積比是，則 ．

【答案】或/或
【分析】首先根據函數表達式求出，點的坐標，然后求出面積，然后根據的特點得知恒過點，然后根據題意可知與坐標軸或的交點坐標，進而可求的值．
【詳解】解：∵直線與軸、軸分別交于點，，
當時，得，∴，，
當時，得，解得：，∴，，∴，
∵直線，當時，得，∴函數圖像恒過點，∴，
∵直線恰好將分成兩部分的面積比是，
∴或，
當時，則，∴，∴，
∵在直線上， ∴，
當時，設點的縱坐標為，則，∴，
∵在直線上，∴，解得：，∴，
∵在直線上，∴，解得：，
綜上所述，或．故答案為：或．

【點睛】本題考查一次函數圖像與坐標軸的交點，待定系數法確定一次函數解析式，兩條直線的交點問題，三角形的面積，運用了分類討論的思想．掌握函數圖像與坐標軸的交點坐標的確定方法是解題的關鍵．
13．（2023春·河北唐山·八年級統考期末）如圖，一次函數的圖象分別與軸、軸交于點，，以線段為邊在第一象限內作等腰，．（1）的面積是 ；（2）點的坐標是 ；（3）過，兩點直線的函數表達式為 ．

【答案】
【分析】（1）根據題意求得與坐標軸的交點坐標，進而根據三角形的面積公式求解即可；
（2）過點作軸，垂足為，證明，繼而求得的坐標，
（3）待定系數法求解析式即可．
【詳解】（1）由，令，則，令，則
，，，故答案為：；
（2）如圖，過點作軸，垂足為，

等腰，，，
，，，
，，，故答案為：；
（3）設直線解析式為，則，解得，
設直線解析式為，故答案為：．
【點睛】本題考查了一次函數與坐標軸交點問題，全等三角形的性質，等腰三角形的性質，數形結合是解題的關鍵．
14．（2023春·福建泉州·八年級校聯考期中）如圖，直線交坐標軸于A，B兩點，與直線交于點C，點Q是線段上的動點，連結．若平分的面積．則直線對應的函數關系式為 ．

【答案】
【分析】分別求出點A、B、C坐標，求出的面積，再根據的面積求出的長度，從而求出點Q的坐標，再利用待定系數法即可求出直線對應的函數關系式．
【詳解】解：∵直線交坐標軸于A，B兩點，∴，，
∵，∴，∵，∴，∴，∴，
設直線對應的函數關系式為，得，解方程組得，
∴直線對應的函數關系式為．
【點睛】本題考查一次函數的性質，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法求一次函數解析式．
15．（2023·江蘇鎮江·八年級?？计谀┮阎本€l1：y=x+4與y軸交于點A，直線l2經過點A，l1與 l2在A點相交所形成的夾角為45°（如圖所示），則直線l2的函數表達式為 ．
【答案】
【詳解】試題解析：
過點B作于點，交于點，過作軸于，如圖，
為等腰直角三角形．
由AAS易證≌
∵直線
設的解析式為
解得： ∴的解析式：
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16．（2022·安徽·九年級開學考試）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝x+4與x軸、y軸分別交于點A、點B，點D（0，﹣6）在y軸的負半軸上，若將△DAB沿直線AD折疊，點B恰好落在x軸正半軸上的點C處，直線CD交AB于點E．
(1)求點A、B、C的坐標；(2)求△ADE的面積；(3)y軸上是否存在一點P，使得＝，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)點A的坐標為（3，0），點B的坐標為（0，4），點C的坐標為（8，0）(2)9
(3)y軸上存在一點P（0，﹣3）或（0，﹣9），使得＝
【分析】(1) 直線y＝x+4中，分別令x=0、y=0，確定B、A坐標，運用勾股定理計算AB，根據折疊性質，AC=AB，確定OC的長即可確定點C的坐標．
（2）證明Rt△AOD≌Rt△AED，根據計算即可．
（3）設點P的坐標為（0，m），則DP＝|m+6|．根據，計算m的值即可．
（1）當x＝0時，y＝x+4＝4，∴點B的坐標為（0，4）；
當y＝0時，x+4＝0，解得：x＝3，∴點A的坐標為（3，0）．
在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5．
由折疊的性質，可知：∠BDA＝∠CDA，∠D＝∠C，AC＝AB＝5，
∴OC＝OA+AC＝8，∴點C的坐標為（8，0）．
（2）∵∠B＝∠C，∠OAB＝∠EAC，∠B+∠AOB+∠OAB＝180°，∠C+∠AEC+∠EAC＝180°，
∴∠AEC＝∠AOB＝90°=∠AED＝∠AOD．
又∵∠BDA＝∠CDA，在Rt△AOD和Rt△AED中，
∴Rt△AOD≌Rt△AED，
∴．
（3）存在點P，且坐標為（0，-3）或（0，-9），理由如下：
設點P的坐標為（0，m），則DP＝|m+6|．
∵＝，∴，
∴|m+6|＝3，解得：m＝﹣3或m＝﹣9，
∴y軸上存在點P（0，﹣3）或（0，﹣9），使得＝．
【點睛】本題考查了一次函數與坐標軸的交點，解析式的確定，折疊的性質，一次函數與幾何圖形的綜合，熟練掌握待定系數法，折疊性質，一次函數與幾何圖形的綜合是解題的關鍵．
17．（2022·遼寧·八年級期末）如圖，直線的解析式為，且與x軸交于點B，直線經過點A、D，直線、相交于點C．(1)求點B坐標；(2)求直線的解析式；(3)求△ABC的面積；(4)直線上存在異于點C的另一點P，使△ABP與△ABC的面積相等，請直接寫出點P的坐標．
【答案】(1)B（1，0）(2)(3)(4)P（6，2）
【分析】（1）在l1中令y=0，得到相應的x后即可得解；
（2）由A、D的坐標利用待定系數法可以得解；
（3）求出C點坐標，再根據三角形面積公式可以得到答案；
（4）求出l2上與點C縱坐標相反的點的坐標即可．
（1）當y=0時， -2x+2=0，解得x=1 ∴B(1,0)
（2）設的解析式為(k≠0)
∵直線過A(4,0)，D(3,-1) ∴∴ ∴
（3）,解得∴C（2,-2） ∵B(1,0)，∴AB=4-1=3 ∴
（4）在中令y=2可得x=6，∴點P（6，2）即在上，且．
【點睛】本題考查一次函數的應用，熟練掌握一次函數解析式的求法、性質，由直線圍成的圖形面積的求法等是解題關鍵．
18．（2022·內蒙古烏蘭察布·八年級期末）如下圖，在平面直角坐標系xOy中，直線與x軸、y軸分別交于點A、點B，點D在y軸的負半軸上，若將△DAB沿直線AD折疊，點B恰好落在x軸正半軸上的點C處．
(1)求AB的長(2)求點C和點D的坐標(3)y軸上是否存在一點P，使得？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由
【答案】(1)5(2)C(8，0)；D(0，-6)(3)P點的坐標為(0，12)或(0，-4)
【分析】（1）根據直線解析式可求出A、B兩點坐標，從而可求出OA和OB的長，再根據勾股定理即可求出AB的長；（2）由翻折可知AC=AB=5，CD=BD，即得出OC=8，即C(8，0)．設OD=x，則DB= x+4．再在Rt△OCD中，利用勾股定理可列出關于x的等式，解出x，即可求出D點坐標；
（3）求出的值，即可得出的值，再根據，即可求出BP的值，從而即得出P點坐標；
（1）令x=0得：y=4，∴B(0，4)．∴OB=4
令y=0得：，解得：x=3，∴A(3，0)．∴OA=3．
在Rt△OAB中，；
（2）由翻折可知AC=AB=5，CD=BD，∴OC=OA+AC=3+5=8，∴C(8，0)．
設OD=x，則CD=DB=OD+OB=x+4．
在Rt△OCD中，，即，解得：x=6，∴D(0，-6)；
（3）∵，，∴．
∵點P在y軸上，，∴，即，
解得：BP=8，∴P點的坐標為(0，12)或(0，-4)．
【點睛】本題主要考查的是一次函數的綜合應用，解答本題主要應用了翻折的性質、勾股定理、三角形的面積公式，依據勾股定理列出關于x的方程是解題的關鍵．
19．（2022·上海·測試·編輯教研五八年級期末）在平面直角坐標系中，直線：與軸交于點；直線：與軸交，兩直線交于軸上一點．
(1)求這兩條直線的解析式；
(2)若以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點的坐標．
(3)若點在直線上，且滿足與的面積相等，求點的坐標．
【答案】(1)：，：(2)或或(3)或
【分析】把代入可得直線：，把，代入可得直線：；
設，又，，，分三種情況：若，為對角線，則，的中點重合，，解得；若，為對角線，，解得；若，為對角線，，解得；
設直線交于，設，可得，，根據與的面積相等，有，即可解得點的坐標為或
（1）解：把代入得：，解得，直線：，
在中，令得，，
把，代入得：，解得，直線：．
（2）設，∵，，，
若，為對角線，則，的中點重合，
，解得，；
若，為對角線，同理可得：，解得，；
若，為對角線，可得：，解得，，
綜上所述，的坐標是或或．
（3）解：設直線交于，如圖：
設，，
在中，令得，，，
，
與的面積相等，，
當時，，解得舍去，
當時，，解得，，
當時，，解得，，
綜上所述，點的坐標為或 ．
【點睛】本題考查一次函數的綜合應用，涉及待定系數法，平行四邊形的性質及應用，三角形面積等知識，解題的關鍵是用含字母的代數式表示相關點的坐標和相關線段的長度．
20．（2022·上海 八年級期中）如圖，已知點A（0，6），點C（3，0），將線段AC繞點C順時針旋轉，點A落在點B處，點D是x軸上一動點．
(1)求直線BC的解析式；(2)聯結B、D．若，求點D的坐標；
(3)聯結A、D交線段BC于點Q，且∠OAC＝∠CAQ．求△BCD的面積．
【答案】(1)；(2)(3)
【分析】（1）過B點作BM⊥x軸交于M，證明（AAS），求出B（9，3），再由待定系數法求函數的解析式即可； （2）求出直線AC的解析式，由，可設直線BD的解析式為，將點B（9，3）代入求解，從而可得答案； （3）作O點關于直線AC的對稱點E，連接AE與x軸交于D，與線段BC交于Q，設CD=y，ED=x，由勾股定理得，①，②，聯立①②可得x=4，y=5，即可求D（8，0），再求三角形的面積即可．
（1）解：如圖，過B點作BM⊥x軸交于M，
∵∠ACB＝，∴∠ACO+∠BCM＝，∵∠ACO+∠OAC＝，∴∠BCM＝∠OAC，
∵AC＝BC，∠AOC＝∠CMB＝，∴△ACO≌△CBM（AAS），∴BM＝OC，CM＝AO，
∵A（0，6），C（3，0），∴BM＝3，CM＝6，∴B（9，3），設直線CB的解析式為y＝kx+b，
∴ 解得 ，∴；
（2）設直線AC的解析式為，∴ ，解得 ∴，
∵，設直線BD的解析式為，
∵B（9，3），∴，解得，∴，∴
（3）作O點關于直線AC的對稱點E，連接AE與x軸交于D，與線段BC交于Q，
由對稱性可知，∠OAC＝∠CAQ，∵A（0，6），C（3，0），∴OA＝AE＝6，OC＝CE＝3，
設CD＝y，ED＝x，
∴ 解得（不合題意的根舍去）∴CD＝5，∴D（8，0），
∴
【點睛】本題考查一次函數的圖象及性質，熟練掌握一次函數的圖象及性質，三角形全等的判定及性質，角平分線的性質，勾股定理，一元二次方程的解法，二元二次方程組的解法是解題的關鍵．
21．（2022·湖北·武漢二中廣雅中學八年級階段練習）如圖1，在△ABC中，AC＝BC，且AC⊥BC，OC＝1，B（a，b）點坐標滿足．
(1)①求a、b的值．②AB與x軸交于F，求的值．(2)如圖2，D為AB上一點，DC＝DE，DC⊥DE，求證：BC⊥BE．
【答案】(1)①a=3，b=-1；②(2)見解析
【分析】（1）①利用非負數的性質構建方程組求出a，b的值即可；
②如圖1中，過點B作軸于點H．證明，推出AO=CH，求出A（0，4），再求出直線AB的解析式，求出點F的坐標，可得結論；
（2）如圖2中，過點C作于點M，過點E作于點N，證明，利用全等三角形的性質證明△ENB是等腰直角三角形，可得結論．
（1）解：①∵．
又∵，，∴，∴；
②由①得：點B的坐標為（3，-1），如圖1中，過點B作軸于點H．
∵∠AOC=∠CHB=∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCH=90°，∠BCH+∠CBH=90°，∴∠ACO=∠CBH，
∵CA=CB，∴，∴AO=CH，
∵B（3，-1），∴OH=3，∵OC=1，∴OA= CH=4，∴A（0，4），
設直線AB的解析式為y=kx+b，則
，解得：，∴直線AB的解析式為，
當y=0時，，∴，∴，∴；
（2）證明：如圖2中，過點C作于點M，過點E作于點N．
∴∠CMD=∠DNE=90°，∴∠DCM+∠CDM=90°，
∵CD⊥DE，∴∠CDE=∠CDM+∠EDN=90°，∴∠DCM=∠EDN，
∵CD=DE∴，∴CM=DN，DM=EN，
∵CA=CB，∠ACB=90°，∴△ABC為等腰直角三角形，
∵，∴AM=BM，∴CM=AM=BM，∴DN=BM，∴DM=BN=EB，
∵∠ENB=90°，∴∠EBN=45°，∵∠ABC=45°，∴∠EBC=90°，∴ ．
【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，非負數的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
22．（2023春·遼寧大連·八年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸，軸分別交于，兩點，與直線相交點，點D是直線與軸的交點．

(1)填空：______，______；
(2)在射線上有一動點E，過點E作EF平行于軸交直線于F，連接BE，當時，求點E的坐標；(3)點M為直線上一點，且，求點M的坐標．
【答案】(1)1，(2)或(3)點M的坐標為、
【分析】（1）將點C的坐標代入已知的直線中，即可求得a值，則C點坐標變成已知，再將C點的坐標代入直線中，即可求得b值．
（2）點E在射線上，可分為在y軸左側與右側兩種情況分別討論，利用三角形面積公式列出方程，即可求出點E的橫坐標m（詳見解析）．
（3）點M分為在直線左右兩側兩種情況予以討論，利用角構造出等腰直角三角形，接著構造出一對全等三角形可求得點P（詳見解析）的坐標，再算出直線與直線的交點M的坐標．
【詳解】（1）∵點在直線上，∴．
∴點C的坐標是．因為點C在直線上，
∴．解得：．故答案為：．
（2）直線AB的解析式為，
∵，∴直線的解析式為，
∵平行于軸，∴點F點E的橫坐標相同，
設，則，∴，
∵，∴，
當時，則有，整理得：，
解得，∴，∴點E的坐標為；
當時，則有，整理得：，解得，
∵，∴，，∴點E的坐標為．
綜上，點E的坐標為或．
（3）①如圖，當點M在射線上時，過點C作交直線于點P，
∵，∴，過C作軸垂線，分別過P，D作，，
∴，∴，

∵，∴∴，∴，
∵，， ∴，， ∴點P坐標為，
設直線的解析式為，則，∴，
∴直線DP的解析式為，聯立，解得，點M的坐標；　
②當點M在射線上時，過點C作交直線于點H，過點H作軸垂線，
分別過C，D作于點G，于點K，同①法得，如圖，

∴，，
∵，，設，則，，∴，，
∴，可得直線DH的解析式為，
聯立，解得，點M的坐標，
綜合上所述，點M的坐標為、．
【點睛】本題考查一次函數的相關知識點，涉及到求一次函數的解析式及其交點坐標、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定等，解題的關鍵是注意分類討論，不要遺漏可能的情況．
23．（2023秋·江蘇鹽城·八年級統考期末）（1）探索發現：如圖1，已知中，，，直線過點，過點作，過點作，垂足分別為、．求證：．
（2）遷移應用：如圖2，將一塊等腰直角的三角板MON放在平面直角坐標系內，三角板的一個銳角的頂點與坐標原點O重合，另兩個頂點均落在第一象限內，已知點N的坐標為，試求出的面積．（3）拓展應用：如圖3，在平面直角坐標系內，已知直線與軸交于點，與軸交于點，將直線繞點沿逆時針方向旋轉后，所得的直線交軸于點．求的面積．

【答案】（1）見解析；（2）5；（3）
【分析】（1）先判斷出，再判斷出，進而判斷出，即可得出結論；（2）過點作軸，垂足為，過點作，判斷出，，設列方程組求解，即可得出結論；（3）過點作，交于，過點作軸于，先求出，由得，進而得出，，再判斷出，即可判斷出，，進而求出直線的解析式，即可得出結論．
【詳解】（1）證明：，，．
，，，
，．，，
（2）解：如圖2，過點作軸，垂足為，過點作，交的延長線于，

由已知得，且，由（1）得，
，，設，，，，，
點的坐標為，，解得，
點的坐標為；∴，
（3）解：如圖3，

過點作，交于，過點作軸于，
對于直線，由得，，，
由得，，，
，．．
由（1）得，．
，．，
設直線為，則，解得．直線為．
由得，，，．∴，．
【點睛】本題主要考查一次函數的綜合應用，考查了待定系數法，全等三角形的判定和性質，構造出全等三角形是解本題的關鍵．
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專題5.7 一次函數中的面積、特殊角度與探究規律問題
模塊1：學習目標
1、掌握一次函數中的相關面積問題；
2、掌握一次函數中的相關特殊角度問題；
3、掌握一次函數中的探究規律問題；
模塊2：知識梳理
1、一次函數中的面積模型
1）求點的坐標：一般會求兩種坐標：①直線與軸、軸的交點坐標；②兩直線的交點坐標。
2）表示面積：①規則圖形：用公式法（三角形面積不能漏×）；
②不規則圖形：（1）割補法，如下圖：四邊形用分割，；
（2）作差法（），如下圖：.
注：求三角形面積時往往選擇平行于坐標軸的線段作為底，底所對的頂點的坐標確定高。
3）常見題型：（1）一次函數圖象與坐標軸圍成的圖形面積問題；（2）一次函數面積定值與動態面積問題；（3）一次函數面積相等問題；（4）一次函數面積倍分問題；（5）一次函數不規則圖形面積問題。
2、一次函數中的特殊角度模型
1）常見題型及解題方法：（1）一次函數旋轉45°（方法：構造K字型全等）；（2）角度相等（方法：構造全等或等邊對等角）；
3、一次函數中的規律探究模型
1）解題方法：（1）根據圖象特征和已知條件列出前幾項；（2）根據前幾項結果歸納總結規律進而進行計算。
2）常見題型：（1）一次函數與點的坐標；（2）一次函數與周長面積；（3）一次函數與路徑長；（4）一次函數與正方形。
模塊3：核心考點與典例
考點1、一次函數中的面積問題
例1．（2022·北京通州·八年級期中）如圖，一次函數圖像與軸，軸分別交于點、，點是第一象限內的點，且滿足，是等腰直角三角形．(1)求點，坐標；(2)求的面積．
例2．（2022·浙江·八年級期末）如圖，直線PA：y=x+2與x軸、y軸分別交于A，Q兩點，直線PB：y=-2x+8與x軸交于點B，(1)請寫出A點的坐標是（_________，_________），Q點的坐標是（_________，_________），B點的坐標是（_________，_________），P點的坐標是（_________，_________）．
(2)若△AOQ的面積為，則=_________，四邊形PQOB的面積為，則=_________．
(3)直線PA上是否存在點M，使得△PBM的面積等于四邊形PQOB的面積？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
例3．（2022·陜西·八年級期末）如圖，平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線AB分別與x軸、y軸交于點A（5，0），B（0，5），動點P的坐標為（a，a﹣1）．（1）求直線AB的函數表達式；
（2）連接AP，若直線AP將△AOB的面積分成相等的兩部分，求此時P點的坐標．
例4．（2022·重慶市江津中學校八年級階段練習）如圖，已知直線經過點，
(1)求直線的解析式．(2)若直線與直線AB相交于點C，求點C的坐標．
(3)在直線上是否存在點P，使得，若存在，直接寫出P的坐標，若不存在，請說明理由．
例5．（2022·湖南·衡陽八年級階段練習）在平面直角坐標系中，直線交軸于點，交軸于點若點是直線上的一個動點，點和點分別在軸和軸上．
(1)的值是______；(2)若點在線段上，，是否存在點，使，若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由．(3)若已知點的坐標為（6，0），點的坐標為（0，1），且四邊形的面積是，求點的坐標．(4)當平行于軸，平行于軸時，若四邊形的周長是，請直接寫出點的坐標．
例6．（2023秋·湖北武漢·八年級?？茧A段練習）在坐標系中，A點的坐標為，點的坐標為，且滿足，以點為直角頂點為腰作等腰，其中點在第三象限內，且．(1)如圖1，求點的坐標；
(2)如圖2，已知是與軸的交點，是與軸的交點，連接，求的值；
(3)如圖3，點是軸負半軸上一動點，點在軸正半軸上，分別以點為頂點為腰在第二、第一象限作等腰和等腰，連接交軸于點，試問：當的值發生變化時，的面積是否發生改變？若不變，請求出其值．

圖1 圖2 圖3
考點2、一次函數中的角度問題
例1．（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（0，），點B為x軸的正半軸上一動點，作直線AB，△ABO與△ABC關于直線AB對稱，點D，E分別為AO，AB的中點，連接DE并延長交BC所在直線于點F，連接CE，當∠CEF為直角時，則直線AB的函數表達式為__．
例2．（2022·廣東·揭西八年級期中）如圖，已知點A（2,-5）在直線：y＝2x+b上，和：y＝kx﹣1的圖象交于點B，且點B的橫坐標為8．(1)直接寫出b、k的值；(2)若直線、與y軸分別交于點C、D，點P在線段BC上，滿足，求出點P的坐標；(3)若點Q是直線上一點，且∠BAQ＝45°，求出點Q的坐標．
例3．（2022·深圳市高級中學八年級期末）如圖，直線y＝﹣x﹣4交x軸和y軸于點A和點C，點B（0，2）在y軸上，連接AB，點P為直線AB上一動點．（1）直線AB的解析式為　 ?。唬?）若S△APC＝S△AOC，求點P的坐標；（3）當∠BCP＝∠BAO時，求直線CP的解析式及CP的長．
例4．（2023秋·福建漳州·八年級統考期末）如圖1，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與直線交于點．(1)求的值；(2)點是直線上一動點．
①如圖2，當點恰好在的角平分線上時，求直線的函數表達式；
②是否存在點，使得，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

例5．（2023春·江蘇泰州·八年級?？计谥校┤鐖D，平面直角坐標系中，已知點在y軸正半軸上，點，點在x軸正半軸上，且．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當時，過點B的直線與成夾角，試求該直線與的交點的橫坐標；(3)如圖3，當時，點D在的延長線上，且，連接，射線交于點E．當點B在y軸負半軸上運動時，的度數是否為定值？如果是，請求出的度數；如果不是，請說明理由．
考點3、一次函數中的探究規律問題
例1．（2022·山東臨沂·八年級期末）如圖，已知直線l：與x軸的夾角是30°，過點A（0，1）作y軸的垂線交直線l于點B，過點B作直線l的垂線交y軸于點；過點作y軸的垂線交直線l于點，過點作直線l的垂線交y軸于點……按此作法繼續下去，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·山東德州·八年級期末）正方形按如圖所示的方式放置．點和點分別在直線和x軸上，則點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2022·河南信陽·八年級期末）如圖所示，已知直線與x、y軸交于B、C兩點，，在內依次作等邊三角形，使一邊在x軸上，另一個頂點在BC邊上，作出的等邊三角形分別是第1個，第2個，第3個，…則第n個等邊三角形的邊長等于（ ）
A． B． C． D．
例4．（2022·廣西九年級模擬）在平面直角坐標系中，點在射線上，點在射線上，以為直角邊作，以為直角邊作第二個，然后以為直角邊作第三個，…，依次規律，得到，則點的縱坐標為____．
模塊四：同步培優題庫
全卷共20題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2022·遼寧營口·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，點…都在x軸上，點 都在直線上， 都是等腰直角三角形，且，則點的坐標是（　　?。?br/>A． B． C． D．
2．（2023春·河南新鄉·八年級統考期中）如圖，在平面直角坐標系中，的邊落在x軸的正半軸上，點直線以每秒3個單位的速度向下平移，經過多少秒該直線可將的面積平分（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023春·浙江八年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象分別交x、y軸于點A、B，將直線繞點B按順時針方向旋轉，交x軸于點C，則的面積是（ ）
A．22 B．20 C．18 D．16
4．（2022秋·江蘇無錫·八年級統考期末）如圖，直線y＝2x+2與直線y＝﹣x+5相交于點A，將直線y＝2x+2繞點A旋轉45°后所得直線與x軸的交點坐標為（　?。?br/>A．（﹣8，0） B．（3，0） C．（﹣11，0），（，0） D．（﹣10，0），（2，0）
5．（2023·廣東佛山·八年級?？茧A段練習）如圖，正方形OABC中，點B(4，4)，點E，F分別在邊BC，BA上，OE=，若∠EOF=45°，則OF的解析式為　(　　)
A．y=x B．y=x C．y=x D．y=x
二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
6．（2022·四川成都市·八年級期末）如圖，直線 與 軸正方向夾角為，點在軸上，點在直線 上，均為等邊三角形，則的橫坐標為__________．
7．（2022·遼寧撫順市·九年級三模）如圖，點A1（2，1）在直線y=kx上，過點A1作A1B1∥y軸交x軸于點B1，以點A1為直角頂點，A1B1為直角邊在A1B1的右側作等腰直角△A1B1C1，再過點C1作A2B2∥y軸，分別交直線y=kx和x軸于A2，B2兩點，以點A2為直角頂點，，A2B2為直角邊在A2B2的右側作等腰直角△A2B2C2…，按此規律進行下去，則帶點Cn的坐標為_______________．（結果用含正整數n的代數式表示）
8．（2022·浙江·金華市八年級期末）如圖，直線交軸于點，以為直角邊長作等腰，再過點作等腰△交直線于點，再過點再作等腰△交直線于點，以此類推，繼續作等腰△，，△，其中點都在直線上，點都在軸上，且，，都為直角．則點的坐標為__，點的坐標為__．
9．（2022·深圳市福田區八年級月考）如圖，已知直線：，過點作軸的垂線交直線于點，過點作直線的垂線交軸于點；過點作軸的垂線交直線于點，過點作直線的垂線交軸于點；…；按此作法繼續下去，則點的坐標為______．
10．（2022·甘肅八年級期末）在平面直角坐標系中，正方形、、，…，按圖所示的方式放置.點、、，…和點、、，…分別在直線和軸上.已知，，則點的坐標是______.
11．（2023春·山東日照·八年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，直線交直線于點，若的面積是，則的值為 ．

12．（2023秋·江蘇泰州·八年級校考期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知直線與軸、軸分別交于點，．直線恰好將分成兩部分的面積比是，則 ．

13．（2023春·河北唐山·八年級統考期末）如圖，一次函數的圖象分別與軸、軸交于點，，以線段為邊在第一象限內作等腰，．（1）的面積是 ；（2）點的坐標是 ；（3）過，兩點直線的函數表達式為 ．

14．（2023春·福建泉州·八年級校聯考期中）如圖，直線交坐標軸于A，B兩點，與直線交于點C，點Q是線段上的動點，連結．若平分的面積．則直線對應的函數關系式為 ．

15．（2023·江蘇鎮江·八年級?？计谀┮阎本€l1：y=x+4與y軸交于點A，直線l2經過點A，l1與 l2在A點相交所形成的夾角為45°（如圖所示），則直線l2的函數表達式為 ．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16．（2022·安徽·九年級開學考試）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝x+4與x軸、y軸分別交于點A、點B，點D（0，﹣6）在y軸的負半軸上，若將△DAB沿直線AD折疊，點B恰好落在x軸正半軸上的點C處，直線CD交AB于點E．
(1)求點A、B、C的坐標；(2)求△ADE的面積；(3)y軸上是否存在一點P，使得＝，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
17．（2022·遼寧·八年級期末）如圖，直線的解析式為，且與x軸交于點B，直線經過點A、D，直線、相交于點C．(1)求點B坐標；(2)求直線的解析式；(3)求△ABC的面積；(4)直線上存在異于點C的另一點P，使△ABP與△ABC的面積相等，請直接寫出點P的坐標．
18．（2022·內蒙古烏蘭察布·八年級期末）如下圖，在平面直角坐標系xOy中，直線與x軸、y軸分別交于點A、點B，點D在y軸的負半軸上，若將△DAB沿直線AD折疊，點B恰好落在x軸正半軸上的點C處．(1)求AB的長(2)求點C和點D的坐標(3)y軸上是否存在一點P，使得？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由
19．（2022·上海·測試·編輯教研五八年級期末）在平面直角坐標系中，直線：與軸交于點；直線：與軸交，兩直線交于軸上一點．(1)求這兩條直線的解析式；(2)若以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點的坐標．(3)若點在直線上，且滿足與的面積相等，求點的坐標．
20．（2022·上海 八年級期中）如圖，已知點A（0，6），點C（3，0），將線段AC繞點C順時針旋轉，點A落在點B處，點D是x軸上一動點．
(1)求直線BC的解析式；(2)聯結B、D．若，求點D的坐標；
(3)聯結A、D交線段BC于點Q，且∠OAC＝∠CAQ．求△BCD的面積．
21．（2022·湖北·武漢八年級階段練習）如圖1，在△ABC中，AC＝BC，且AC⊥BC，OC＝1，B（a，b）點坐標滿足．
(1)①求a、b的值．②AB與x軸交于F，求的值．(2)如圖2，D為AB上一點，DC＝DE，DC⊥DE，求證：BC⊥BE．
22．（2023春·遼寧大連·八年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸，軸分別交于，兩點，與直線相交點，點D是直線與軸的交點．

(1)填空：______，______；
(2)在射線上有一動點E，過點E作EF平行于軸交直線于F，連接BE，當時，求點E的坐標；(3)點M為直線上一點，且，求點M的坐標．
23．（2023秋·江蘇鹽城·八年級統考期末）（1）探索發現：如圖1，已知中，，，直線過點，過點作，過點作，垂足分別為、．求證：．
（2）遷移應用：如圖2，將一塊等腰直角的三角板MON放在平面直角坐標系內，三角板的一個銳角的頂點與坐標原點O重合，另兩個頂點均落在第一象限內，已知點N的坐標為，試求出的面積．（3）拓展應用：如圖3，在平面直角坐標系內，已知直線與軸交于點，與軸交于點，將直線繞點沿逆時針方向旋轉后，所得的直線交軸于點．求的面積．

21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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