資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題5.8 一次函數中的最值模型（將軍飲馬）
模塊1：學習目標
1、了解一次函數背景下的將軍飲馬模型，并能在復雜問題中辨認次模型；
2、經歷對將軍飲馬模型的研究，總結解題方法和輔助線作法，提升解決幾何問題的能力；
3、進一步體會數學建模思想在實際學習中的應用；
模塊2：知識梳理
1.一次函數線段和差最值（將軍飲馬）原理與作法
【模型 1】 作法 作圖 原理
在直線 l 上求一點 P，使PA+PB 值最小。 連AB，與 l 交點即為P． 兩點之間線段最短PA+PB 最小值為 AB．
【模型 2】 作法 作圖 原理
在直線 l 上求一點 P，使PA+PB 值最小． 作 B 關于l的對稱點B＇，連 A B＇，與 l 交點即為 P． 兩點之間線段最短．PA+PB 最小值為AB＇．
【模型3】 作法 作圖 原理
在直線 l 上求一點 P，使的值最大 . 作直線A B，與直線 l 的交點即為 P． 三角形任意兩邊之差小于第三邊．即≤AB .
【模型4】 作法 作圖 原理
在直線 l 上求一點 P，使的值最大 . 作 B 關于l的對稱點B＇，連 A B＇，與 l 交點即為 P． 三角形任意兩邊之差小于第三邊．即≤AB＇
2. 具體題型：（1）求線段和最小時動點坐標或直線解析式；（2）求三角形周長最小值；（3）求線段差最大時點的坐標或直線解析式。
模塊3：核心考點與典例
考點1. 將軍飲馬模型（線段和的最小值）
例1．（2023春·遼寧營口·八年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數與軸和軸分別交于、兩點，點的坐標為，點分別在直線軸上，則的最小值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】過C點作于D，利用求出長，就是的最小值．
【詳解】解：如圖，過C點作于D，∵垂線段最短，∴的最小值，

∵一次函數與x軸和y軸分別交于A、B兩點，
∴，，∴，，∴，
∵點的坐標為，∴，∴，
利用等面積法： ∴，即的最小值．故選：B．
【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，軸對稱-最短路徑問題，掌握一次函數與坐標軸的交點坐標是解題關鍵．
例2．（2022秋·江西宜春·八年級校考期中）如圖，三個頂點的坐標分別為，，：

(1)作出與關于軸對稱，并寫出其中兩個頂點的坐標為_________，_________．
(2)在軸上是否存在一點，使的值最小，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)見解析，，(2)，理由見解析
【分析】（1）分別作出點、、關于軸的對稱點，再依次連接即可，再根據圖像寫出、的坐標即可；（2）作出點關于軸的對稱點，再連接，交軸于點，設的解析式為，用待定系數法求出的解析式，即可得出點坐標．
【詳解】（1）解：如下圖，即為所求，

由圖可知，，，，故答案為：，；
（2）如圖所示，作出點關于軸的對稱點，再連接，交軸于點，

關于軸的對稱點是，，，
設的解析式為，將，代入得：，解得：，
的解析式為，當時，，．
【點睛】本題考查了軸對稱圖形的作圖問題，關于坐標軸對稱的點的坐標特征，最短路徑的問題，待定系數法求一次函數解析式，解答本題的關鍵是根據軸對稱的性質作出變換后的對應點．
例3．（2022春·福建福州·八年級統考期末）在如圖所示的平面直角坐標系中，點P是直線上的動點，，是x軸上的兩點，則的最小值為（　　）

A． B． C． D．6
【答案】B
【分析】首先作出點A關于的對稱點，從而得到，故此，由兩點之間線段最短可知即為所求．
【詳解】解：取在y軸上點使，連接，
∴點的坐標為，∴點與點A關于對稱，
∴，∴，
由兩點之間線段最短可知：當點、P、B在一條直線上時，有最小值，
在中，，故選：B．

【點睛】本題主要考查的是最短線路問題，勾股定理，熟知兩點之間線段最短是解答此題的關鍵．
例4．（2023春·湖北武漢·八年級統考期末）如圖，已知點，點M，N分別是直線和直線上的動點，連接，．的最小值為（ ）

A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】在坐標系中構造邊長為6的正方形，得點P關于的對稱點，連接，則：，當且僅當三點共線時，，即的最小值為的長，根據點到直線，垂線段最短，過點作垂直直線于點N，即于點N，交直線于點M，此時最小，用等積法求出的長即可．
【詳解】解：如圖，在正方形中，，

∵直線經過點，，∴直線是正方形的對稱軸，
∵點在上，∴可得點P關于的對稱點，
當時，，即直線經過點，
過點作垂直直線于點N，即于點N，交直線于點M，
∵和關于關于對稱，∴，
∴，即的最小值為的長，
此時，∵，，
∴，解得，即的最小值為．故選：B
【點睛】此題考查了正方形的性質、勾股定理、軸對稱的性質、一次函數的圖象和性質等知識，熟練掌握相關性質和數形結合是解題的關鍵．
例5．（2023春·湖南長沙·八年級統考期末）如圖，已知點，點B是直線上的動點，點C是y軸上的動點，則的周長的最小值等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作點A關于直線的對稱點，作點A關于y軸的對稱點，連接，交直線于點B，交y軸于點C，此時周長最小．
【詳解】解：作點A關于直線的對稱點，作點A關于y軸的對稱點，連接，交直線于點B，交y軸于點C， 此時周長最小．
根據軸對稱的性質可得：，，
∴，
令直線于x軸相交于點M，與y軸相交于點N，連接
把代入得：，把代入得：，解得：，
∴，，∴，∴，，
∵點A和點關于直線MN對稱，點A和點關于y軸對稱，
∴，，，∴，，
在中，根據勾股定理可得：，
∴周長最小值為．故選：A．
【點睛】本題主要考查了一次函數的圖象和性質，勾股定理，軸對稱的性質，解題的關鍵是根據題意，正確畫出輔助線，根據軸對稱的性質和勾股定理，求出最短路徑．
例6．（2022秋·陜西西安·八年級校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A，點B的坐標分別為和，點P的坐標為，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】由題意可知點P在函數的圖象上．作點關于的對稱點，連接交直線于點P，由軸對稱的性質可知此時最小，且最小值為的長．再根據得出，最后根據勾股定理求解即可．
【詳解】∵點P的坐標為，
∴點P在函數的圖象上．
如圖，作點關于的對稱點，連接交直線于點P，則此時最小，且最小值為的長．
∵點與點關于直線的對稱，，
∴，∴．故答案為：．
【點睛】本題考查一次函數的應用，軸對稱的性質，勾股定理．正確的作出輔助線并掌握軸對稱的性質是解題關鍵．
例7．（2023春·江蘇蘇州·八年級校考階段練習）如圖1，對于平面內的點A、P，如果將線段繞點P逆時針旋轉得到線段，就稱點B是點A關于點P的“放垂點”．如圖2，已知點，點P是y軸上一點，點B是點A關于點P的“放垂點”，連接、，則的最小值是 ．

【答案】
【分析】設，過點作軸，證明，求得的坐標，可得點在直線上，作關于的對稱點，連接交直線軸于點，求得的坐標，繼而根據進行求解即可．
【詳解】解：如圖，設，過點作軸，則，

，，
，，，
，∴，，∴點在直線上，
如圖，作關于的對稱點，連接交直線軸于點，

∵與x軸的夾角是，，∴，∴是等腰直角三角形，
∴點Q在y軸上，，∴，
，的最小值為．故答案為：．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，坐標與圖形性質，勾股定理，等腰三角形的判定和性質，一次函數的應用，軸對稱的性質等知識，熟練掌握利用軸對稱求最短路徑的方法是解題的關鍵．
考點2. 將軍飲馬模型（線段差的最大值）
例1．（2023春·浙江八年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系中，點P是正比例函數圖象上的一點，點A坐標為，點B的坐標為，當取最大值時，點P的坐標為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作關于直線對稱點，求出點C坐標，連接并延長，交直線于點，判斷出，取得最大值，求出直線的表達式，聯立可得點P坐標．
【詳解】解：作關于直線對稱點，，
，的坐標為；連接并延長，交直線于點，
此時，取得最大值，設直線的解析式為，
把，代入得，解得，直線的方程為，
解得；點的坐標為，；故選：A．
【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，軸對稱最短路線問題，待定系數
例2．（2023春·山東八年級課時練習）已知一次函數的圖象經過點，，在軸上有一點，使得最大，最大值為 ．
【答案】
【分析】利用待定系數發求出一次函數的解析式，再利用三角形的兩邊之差小于第三邊即可求出的最大值．
【詳解】解：∵一次函數的圖象經過點，，
∴，解得：，∴一次函數的解析式為：，∴，
如圖，過點作，過點作，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴最大值為AB，即的最大值為：，故答案為：．
【點睛】本題考查了待定系數法求函數的解析式，三角形的兩邊之差小于第三邊，利用三角形的三邊關系進行等量轉化是解題的關鍵．
例3．（2023·廣東·八年級專題練習）在平面直角坐標系xOy中，直線y＝﹣2x+a與y軸交于點A，與直線y＝x+1交于點P（3，b），B為直線y＝x+1上一點．（1）求a，b的值；（2）當線段AB最短時求點B的坐標；（3）在x軸上找一點C，使AC﹣PC的值最大，請寫出點C的坐標并求最大值．
【答案】（1）a＝10，b＝4；（2）B（）；（3）C（5，0），
【分析】（1）首先把點P（3，b）代入直線y＝x+1得出b的值，再進一步代入直線y＝﹣2x+a求得a的值即可；（2）當AB⊥直線y＝x+1時，線段AB最短，進而得出B的坐標即可；
（3）點A關于x軸對稱的點A'為（0，﹣2），進而解答即可．
【詳解】解：（1）把點P（3，b）代入直線y＝x+1，解得：b＝4，
把P（3，4）代入y＝﹣2x+a，解得：a＝10，∴a＝10，b＝4；
（2）當AB⊥直線y＝x+1時，線段AB最短，
把直線y=x+1與y軸的交點（0，1）標記為E，
由（1）可得A（0，10），且是等腰直角三角形，∴
∴B的橫坐標為，縱坐標為，∴；
（3）當A，P，C三點一線時，AC﹣PC最大即為AP，解0=-2x+10得x=5∴C（5，0）
AP＝．
【點睛】本題考查一次函數的綜合題，解題的關鍵是根據一次函數圖象是點的坐標特征與垂線段最短的性質解答，結合圖形，選擇適當的方法進行解答．
例4．（2023秋·浙江·八年級專題練習）在進行13.4《最短路徑問題》的學習時，同學們從一句唐詩“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”（唐 李頎《古從軍行》出發，一起研究了蘊含在其中的數學問題——“將軍飲馬”問題．同學們先研究了最特殊的情況，再利用所學的軸對稱知識，將復雜問題轉化為簡單問題，找到了問題的答案，并進行了證明．下列圖形分別說明了以上研究過程．
證明過程如下：如圖4，在直線l上另取任一點，連結，
∵點B，關于直線l對稱，點C，在l上，
∴_________， _________，∴_________．
在中，∵，∴，即最小．
(1)請將證明過程補充完整．（直接填在橫線上）
(2)課堂小結時，小明所在的小組同學提出，如圖1，A，B是直線l同旁的兩個定點．在直線l上是否存在一點P，使的值最大呢？請你類比“將軍飲馬”問題的探究過程，先說明如何確定點P的位置，再證明你的結論是正確的．
(3)如圖，平面直角坐標系中， ，P是坐標軸上的點，則的最大值為_________，此時P點坐標為_________．（直接寫答案）
【答案】(1) (2)連結并延長，交直線l于點P，點P即為所求；證明見解析
(3)或；或
【分析】（1）根據點B，關于直線l對稱，可得，，從而得到．在中，根據三角形的三邊關系，即可；
（2）連結并延長，交直線l于點P，點P即為所求，根據三角形的三邊關系，即可；（3）分兩種情況討論：當時點P在x軸上時，作點N關于x軸的對稱點，連接，延長交x軸于點P，則點P即為所求；此時的最大值為；當點P在y軸上時，連接，延長交y軸于點，則點即為所求，此時的最大值為，即可求解．
【詳解】（1）解：證明：如圖4，在直線l上另取任一點，連結，
∵點B，關于直線l對稱，點C，在l上，
∴，，∴．
在中，∵，∴，即最小．故答案為：
（2）解：連結并延長，交直線l于點P，點P即為所求．
證明：如圖，在直線l上任取任一點，連結，
在中，根據兩邊之差小于第三邊得：，
而當點B，A，P共線時，，所以此時最大；
（3）解：如圖，當時點P在x軸上時，作點N關于x軸的對稱點，連接，
延長交x軸于點P，則點P即為所求；此時的最大值為，
∵，∴點，∵，∴，
設直線的解析式為，把點，代入得：
，解得：，∴直線的解析式為，
當時，，此時點P的坐標為；
當點P在y軸上時，連接，延長交y軸于點，則點即為所求，此時的最大值為，設直線的解析式為，
把點代入得：，解得：，
∴直線的解析式為，當時，，此時點的坐標為，
綜上所述，的最大值為或，此時P點坐標為或．
故答案為：或；或
【點睛】本題主要考查了一次函數的實際，最短距離問題，勾股定理，三角形的三邊關系，熟練掌握一次函數的圖象和性質，勾股定理，三角形的三邊關系是解題的關鍵．
考點3. 一次函數中的其他最值
例1．（2023春·湖北武漢·八年級統考期末）如圖，直線交軸于點，交軸于點為線段（端點除外）上一動點，點與點關于軸對稱，過點作軸的平行線交的延長線于點，則線段的最小值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】據的最小值就是的最小值，根據點到直線的垂線段最短，可知當時，的值最小，即有最小值，由此可知有最小值，根據等面積法即可求出的長，由此即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，

∵點是點關于軸的對稱點，∴的最小值就是的最小值，根據點到直線的垂線段最短，可知當時，的值最小，即有最小值，由此可知有最小值，
∵軸，點關于軸的對稱點是點，∴，即，
∴在中，，即是等腰三角形，，
∵，∴，∴，，
∵，直線交軸于點，交軸于點，∴，，即，
在中，，
∵，∴，
∴最小為，最小值為，故選：．
【點睛】本題主要考查一次函數與幾何，對稱最短路徑的綜合，掌握對稱最短路徑的計算方法，一次函數圖像的性質是解題的關鍵．
例2．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，點，，P為x軸上一動點，將線段繞點P順時針旋轉90°得到，連接．則的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】如圖1所示，當點P在x軸正半軸時，過點C作軸交x軸于D，設，利用一線三垂直模型證明推出，進而得到點C在直線上運動，則當與直線垂直時，有最小值，據此求解即可．
【詳解】解：如圖1所示，當點P在x軸正半軸時，過點C作軸交x軸于D，設，
由旋轉的性質可得，
∴，∴，
又∵，∴，
∵∴，∴，∴，
∴點C在直線上運動，同理可證當點P在x軸負半軸時，點C在直線上運動，
∴當與直線垂直時，有最小值，
設直線與x軸交于點E，與y軸交于F，如圖2所示，∴，
∴， ∴，
又∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴的最小值為，故選A．
【點睛】本題主要考查了一次函數與幾何綜合，全等三角形的性質與判定，旋轉的性質，等腰直角三角形的性質與判定，勾股定理等等，確定點C的運動軌跡是解題的關鍵．
例3．（2023春·四川宜賓·八年級校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，，點B是y軸正半軸上一動點，以為邊在的下方作等腰直角，且，點B在y軸上運動時，的最小值為 ．

【答案】
【分析】設，過點作軸，過點作于點，過點作于點，交軸于點，證明，推出點的坐標為，進而得到點在直線上，求出直線與坐標軸的交點，利用點到直線垂線段最短，進行求解即可．
【詳解】解：設，過點作軸，過點作于點，過點作于點，交軸于點，則：，

∴四邊形為矩形，∴，
∵為等腰直角三角形，，∴，，
又，∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴點在直線上，
設直線于軸，軸分別交于點，則：，∴，
∴為等腰直角三角形，，
∵點在直線上運動，當時，的值最小，∴．故答案為：．
【點睛】本題考查坐標與圖形，主要考查了等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，矩形的判定和性質，一次函數與坐標軸的交點問題．本題的綜合性強，難度較大，屬于填空題中的壓軸題，解題的關鍵是構造一線三等角全等模型，得到點的運動軌跡．
例4．（2023春·四川成都·八年級成都實外校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線與坐標軸交于，兩點，于點，是線段上的一個動點，連接，將線段繞點逆時針旋轉，得到線段，連接，則線段的最小值為 ．

【答案】/
【分析】由點的運動軌跡確定在與軸平行的直線上運動，當線段與垂直時，線段的值最小，結合等腰直角三角形的性質和勾股定理即可求解．
【詳解】解：將及分別代入得：，
由已知可得，，三角形是等腰直角三角形，
，，即，，在上取點，使,

又是線段上動點，將線段繞點逆時針旋轉，∴，，
∵，∴,∴，
∴，∴，即，
在與軸平行的直線上運動，當線段與垂直時，線段的值最小，
在中，，，，
．故答案為：．
【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質，一次函數的圖象，旋轉的性質，垂線段最短以及勾股定理；關鍵是判斷動點運動軌跡．
例5．（2023春·河南新鄉·八年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線分別與軸、軸交于，兩點，在線段上取一點，過作軸于，軸于，連接，則線段長度的最小值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設點的坐標為，，則，，根據勾股定理表示出的長度，通過配方可以求出的最小值．
【詳解】解：設點的坐標為，，，
，，
當時，最短，線段長度的最小值為，故選：D．
【點睛】本題考查了一次函數點的特征，勾股定理，配方法的應用，表示出的長度是解題的關鍵．
例6．（2023春·四川自貢·八年級統考期末）如圖，矩形兩邊與坐標軸正半軸重合，是邊上的一個動點，是經過，兩點的直線上的一個動點，則的最小值是 ．

【答案】8
【分析】先求解一次函數與坐標軸的交點坐標，再利用P的位置進行討論，結合勾股定理可得答案．
【詳解】解：∵，當時，，∴，
當時，，∴，∴，
∵是邊上的一個動點，如圖，當在第二象限時，，則，

當在第四象限時，如圖，，，

此時，∴取得最小值時，在線段上，即；
此時當時，最小，P，Q重合時，P，Q之間距離為0，
設，此時，如圖，
∴；故答案為：8
【點睛】本題考查的是一次函數與坐標軸的交點坐標，垂線段最短的含義，勾股定理的應用，矩形的定義，坐標與圖形，二次根式的除法運算，清晰的分類討論是解本題的關鍵．
模塊四：同步培優題庫
全卷共20題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共3小題，每小題3分，共9分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2022春·湖北武漢·八年級校考階段練習）如圖，已知直線交、軸于、兩點，以為邊作等邊、、三點逆時針排列，、兩點坐標分別為、，連接、，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在x軸上方作等邊△AOF，證明△AOB≌△AFC（SAS），所以點C的軌跡為定直線CF，作點E關于直線CF的對稱點E'，連接CE'，CE＝CE'，當點D、C、E'在同一條直線上時，DE'＝CD+CE的值最小，再根據勾股定理，即可解答．
【詳解】解：點在直線上，，
，，，，，在軸上方作等邊，
，，即，
又，，≌，，
點的軌跡為定直線，作點關于直線的對稱點，連接，，
，當點、、在同一條直線上時，的值最小，
，，， ∴，AG=2×2=4，，
∴ ,∴
∵關于M的對稱，∴，的最小值
故選：D．
【點睛】本題考查最短路徑，勾股定理，軸對稱等知識點，解題關鍵是熟練掌握以上知識點、根據條件好問題作出輔助線
2．（2023春·浙江年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，線段所在直線的解析式為，E是的中點、P是上一動點，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作點B關于的對稱點，連接，與的交點，即符和條件的點，再求出，的坐標，根據勾股定理求出的值，即為的最小值．
【詳解】解：作點B關于的對稱點，連接交于，
此時，的值最小，最小值為的長，
∵線段所在直線的解析式為，∴當x=0時，y=4；
當y=0時，x=4；∴，，∴，，
是的中點，∴，∵是點B關于的對稱點，
∴，，，∴四邊形是正方形，
∴，∴的最小值是．故選：C．
【點睛】本題考查一次函數求點的坐標和性質，軸對稱最短路徑問題，勾股定理，掌握軸對稱最短路徑的確定方法是解題的關鍵．
3．（2023春·廣東八年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知正方形ABOC，A（ - 4，4）．點D為x軸上一動點，以AD為邊在AD的右側作等腰Rt△ADE，∠ADE = 90°，連接CE，則CE的最小值是（ ）
A．2 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根據全等三角形的判定先求證△ADC≌△DEH，然后再根據等腰直角三角形中等邊對等角求出∠EOH＝45°，再根據點在一次函數上運動，作垂直于直線y=x于F，，求出CF即為CE的最小值．
【詳解】解：如圖，過點E作EH⊥x軸于H，連接OH，
∵四邊形ABOC是正方形，∴∠ACD=∠ADE=∠DHE=90°，AC=OC，
∴∠ADC+∠EDH＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，∴∠ADC＝∠DEH，
∵AD＝DE，∴△ADC≌△DEH（AAS），
∴AC＝DH=OC，CD＝EH，∴CD＝EH＝OH，
設點E的坐標為（a，b），則a=b，
∴點E在直線y＝x上運動，作CF垂直于直線y=x于F，，則△COF是等腰直角三角形，
∵點A的坐標為（-4，4），∴OC=4，
∴ ∴CE的最小值為 ．故選A．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，正方形的性質、等腰三角形的性質和垂線段最短，一次函數的應用等等，熟練掌握基礎知識并作出輔助線是解題的關鍵．
法求一次函數的解析式，求得的位置是解題的關鍵．
二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
4．（2023春·江蘇泰州·八年級校聯考階段練習）在平面直角坐標系中，已知四邊形是平行四邊形，且點，點，點．當對角線長取最小值時邊的長為 ．
【答案】5
【分析】如圖，連接，交于點E，先求出點B的運動軌跡，由垂線段最短可得到BE⊥直線時，有最小值，即有最小值，再結合平行四邊形的性質即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，交于點E，∵點在直線上運動，
∴直線與x軸的交點F的坐標為且，
∵，，四邊形是平行四邊形，∴對角線的交點，
如圖，當直線時，有最小值，即有最小值，此時，

∵，，∴，∴，
過作軸于，∴，∴，∴，
設，∵四邊形是平行四邊形，E是的中點∴E是的中點
∴，解得：，∴，∵，∴；故答案為：5
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，坐標與圖形的性質，等腰直角三角形的判定與性質，一次函數的性質，求出點B的運動軌跡是本題的關鍵．
5．（2023春·重慶潼南·八年級統考期末）如圖，直線l：與x軸，y軸分別交于點A，B，點C，D分別是，的中點，點P是y軸上一動點，則的最小值是 ．
【答案】
【分析】先求出點A和點B的坐標，再由點C，D分別是，的中點求點C和點D的坐標，設點D關于y軸的對稱點為，則，由軸對稱圖形的性質可得，當點C、P、三點共線時，最小，即最小，最小值為的長度，再由勾股定理求解即可．
【詳解】解：令，得，令，得，∴，，
∵點C，D分別是，的中點，∴，，
設點D關于y軸的對稱點為，則，∴
當點C、P、三點共線時，最小，即最小，最小值為的長度，
，∴的最小值是，故答案為：．
【點睛】本題考查了一次函數綜合問題，勾股定理，三角形三邊關系，軸對稱圖形的性質等知識，找到點P的位置是解題的關鍵．
6．（2023春·浙江八年級期中）如圖，已知點，點B是直線上的動點，點C是y軸上的動點，則的周長的最小值等于 ．
【答案】
【分析】作點A關于直線的對稱點，作點A關于y軸的對稱點，連接，交直線于點B，交y軸于點C，此時周長最小．
【詳解】解：作點A關于直線的對稱點，作點A關于y軸的對稱點，連接，交直線于點B，交y軸于點C， 此時周長最小．
根據軸對稱的性質可得：，，
∴，
令直線于x軸相交于點M，與y軸相交于點N，連接
把代入得：，把代入得：，解得：，
∴，，∴，∴，，
∵點A和點關于直線MN對稱，點A和點關于y軸對稱，
∴，，，∴，，
在中，根據勾股定理可得：，
∴周長最小值為．故答案為：．
【點睛】本題主要考查了一次函數的圖象和性質，勾股定理，軸對稱的性質，解題的關鍵是根據題意，正確畫出輔助線，根據軸對稱的性質和勾股定理，求出最短路徑．
7．（2023秋·江蘇宿遷·八年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，Q是直線上的一個動點，將Q繞點順時針旋轉90°，得到點，連接，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】利用等腰直角三角形構造全等三角形，求出旋轉后Q′的坐標，然后根據勾股定理并利用二次函數的性質即可解決問題．
【詳解】解：過點Q作軸于點軸于N，
在和中， ，
設，
當時，有最小值為 ，
∴最小值為，故答案為：.
【點睛】本題考查的是一次函數圖象上點的坐標特征，一次函數的性質，三角形全等，坐標與圖形的變換 旋轉，二次函數的性質，勾股定理，表示出點的坐標是解題的關鍵．
8．（2023春·浙江八年級課時練習）如圖，x軸上有兩點和點，若點P的坐標為；則的值最小值= 此時點P的坐標為
【答案】
【分析】根據題意可知點在一次函數上，問題轉化為直線上的動點到兩定點距離的最小值，根據軸對稱的性質，可求得的最小值，當取得最小值時，點在兩條直線的交點處，聯立解方程組即可求得點的坐標
【詳解】根據題意可知點在一次函數上，
設點關于直線對稱的點為， 連接交直線與點，則點滿足有最小值，
∴，，即有最小值為
在直線上任取一點，連接，，，則
∵在，∴點滿足有最小值，
∴，解得：，即∴的最小值
設直線的表達式為：，由點，在直線上得：
，解得：，即直線的表達式為：，
聯立方程組，解得：，∴點的坐標為：故答案為：，．
【點睛】本題考查了一次函數綜合題，熟練掌握軸對稱和待定系數法求一次函數解析式是解決問題的關鍵．
9．（2022秋·廣東佛山·八年級校考階段練習）如圖所示，已知點，一次函數的圖象與兩坐標軸分別交于A，B兩點，點M，P分別是線段，上的動點，當取最小值時，點P的坐標是 ．
【答案】
【分析】先找到點N關于的對稱點，當取最小值時，即時，再求出直線的解析式，聯立，即可求出答案．
【詳解】如圖，點N關于的對稱點，過點作交于M，則的最小值為，∵直線的解析式為，
設直線的解析式為，代入，
∴，∴直線的解析式為
聯立，得∴P點坐標為故答案為：
【點睛】本題考查了軸對稱——最短路線問題，涉及一次函數圖象的性質、等腰三角形的性質和垂線段最短等知識，解題關鍵是作出最短路線時的圖形．
10．（2023春·浙江八年級期中）如圖，點在軸上，直線與兩坐標軸分別交于，兩點，，分別是線段，上的動點，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】作點關于的對稱點，過點作于，則的最小值，三角形面積公式得到的長度便可．
【詳解】解：如圖，點關于的對稱點，過點作交于點，連接，，，
則，
當、、三點共線，且、重合時，為的最小值，
直線的解析式為，∴當時，，
當時，，∴，，，，
，∴，
即，∴的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查軸對稱最短問題、一次函數與坐標軸的交點、勾股定理，垂線段最短等知識，解題的關鍵是利用對稱性找到點、點位置，屬于中考常考題型．
11．（2022秋·四川成都·八年級四川省成都市七中育才學校校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，點坐標，點坐標，點在直線：上，且滿足，為直線上一動點，連接，繞點順時針旋轉得到，連接，，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】判斷動點E的運動軌跡，通過全等得到E在直線上移動，根據點到直線的垂線段最短求解．
【詳解】解：∴ 作
∵∴F為的中點∴
∵A在∴
∴是等邊三角形．∴
當點D在O點時，E在處，
當點D在A點時，E在處，
作于H∴
在和中
∴
設解析式為將和代入可得
解得令有∴，
記交x軸于Q 將繞點C順時針旋轉后到，即將繞點C順時針旋轉后到∴
∴E始終在上 作，是BE的最小值
點到直線的垂線段最短 ∴∴的最小值為
【點睛】此題考查了動點軌跡問題，解題的關鍵是判斷動點E的運動軌跡，通過全等得到E在直線上移動，根據點到直線的垂線段最短求解．
12．（2023秋·福建莆田·八年級期末）已知在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，2），點B（m，4-m）與點C分別是直線l及x軸上的動點，則△ABC周長的最小值為 .
【答案】
【分析】作點關于軸的對稱點，關于直線的對稱點，連接，交直線于點，交軸于點．則，，所以周長的最小值為的長．根據，可知點在直線上運動，據此解答即可．
【詳解】解：作點關于軸的對稱點，關于直線的對稱點，連接，交直線于點，交軸于點．則，，周長的最小值為的長．
，點在直線上運動，
∴直線與x、y軸的交點坐標分別為，∴，
連接，則根據軸對稱圖形的性質可知，，
的坐標為，，，，，
．故答案為：．
【點睛】本題考查點、直線關于直線對稱知識的應用，三角形的周長的最小值，點到直線的距離公式的應用，考查轉化思想以及計算能力．
13．（2023春·浙江八年級課時練習）已知A(1，5)，B(3，－1)兩點，在x軸上取一點M，使AM－BM取得最大值時，則M的坐標為 。
【答案】（，0）．
【詳解】一次函數綜合題，線段中垂線的性質，三角形三邊關系，關于x軸對稱的點的坐標，待定系數法，直線上點的坐標與方程的關系，解二元一次方程組．
【分析】如圖，作點B關于x軸的對稱點B′，連接AB′并延長與x軸的交點，即為所求的M點．
此時AM－BM=AM－B′M=AB′．
不妨在x軸上任取一個另一點M′，連接M′A、M′B、M′B．
則M′A－M′B=M′A－M′B′＜AB′（三角形兩邊之差小于第三邊）．
∴M′A－M′B＜AM-BM，即此時AM－BM最大．
∵B′是B（3，－1）關于x軸的對稱點，∴B′（3，1）．
設直線AB′解析式為y=kx+b，把A（1，5）和B′（3，1）代入得：
，解得 ．∴直線AB′解析式為y=－2x+7．
令y=0，解得x=．∴M點坐標為（，0）．
三、解答題（本大題共9小題，共81分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
14．（2022·內蒙古·八年級期末）如圖，一次函數的圖像分別與x軸，y軸交于A，B，以線段AB為邊在第一象限內作等腰直角三角形ABC，使．
(1)分別求點B，C的坐標；(2)在x軸上求一點P，使它到B，C兩點的距離之和最小．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）求出當時，的值即可得點的坐標，求出當時，的值即可得點的坐標，再過點作軸于點，利用三角形全等的判定定理證出，然后根據全等三角形的性質可得，則，由此即可得點的坐標；
（2）作點關于軸的對稱點，連接，交軸于點，根據軸對稱的性質、兩點之間線段最短可得此時的點即為所求，再利用待定系數法求出直線的解析式，然后求出當時，的值即可得點的坐標．
（1）解：對于一次函數， 當時，，即，∴，
當時，，解得，即，∴，
如圖1，過點作軸于點，
∵為等腰直角三角形，，∴，，
∵，∴，
在和中，，∴，
∴，，∴點的坐標為．
（2）解：如圖2，作點關于軸的對稱點，連接，交軸于點，
∵，∴，由軸對稱的性質可知，，，
由兩點之間線段最短可知，此時點到兩點的距離之和最小，
設直線的解析式為，
將點，代入得：，解得，則直線的解析式為，
當時，，解得，，
即點到兩點的距離之和最小．
【點睛】本題考查了一次函數的幾何應用、三角形全等的判定與性質、軸對稱的性質等知識點，較難的是題（2），利用軸對稱的性質和兩點之間線段最短找出到兩點的距離之和最小的點的位置是解題關鍵．
15．（2023春·福建莆田·八年級校考期中）定義：對于平面直角坐標系中的點和直線，我們稱點是直線的關聯點，直線是點的關聯直線．特別地，當時，直線（b為常數）的關聯點為．如圖，直線：與軸交于點A，與y軸交于點B．

(1)直線的關聯點的坐標是________，點A的關聯直線的解析式為__________；
(2)點P在y軸上，且，求點P的坐標；(3)若點D在直線上，橫坐標為1，點E在x軸負半軸上，且，動點M的坐標為，求的最小值．
【答案】(1)，(2)或(3)的最小值為
【分析】（1）根據題中所給新定義可直接進行求解；
（2）設點，則有，然后根據三角形面積可進行求解；
（3）過點E作于點F，然后根據題意可設點，則有，，進而根據兩點距離公式、等積法和兩點之間線段最短可求解．
【詳解】（1）解：令時，則，則有點；
令時，則，解得，∴，
∴直線的關聯點的坐標是；點A的關聯直線的解析式為；故答案為，
（2）解：設點，則有，
∵，，∴，解得：，∴或；
（3）解：由（1）可知，，∴，
∵點D在直線上，橫坐標為1，∴點D縱坐標為2，即，
過點E作于點F，如圖所示：

∵，∴是等腰直角三角形，∴，
設點，則有，，
∴，即，
解得：（不符合題意，舍去），∴；
由動點M的坐標為，可知點M在直線上運動，由圖象可知點E、D在直線同側，所以作點E關于直線的對稱點H，連接，根據軸對稱的性質及兩點之間線段最短可知的長即為的最小值，如圖所示：∴為等腰直角三角形，
∴，即，∴，∴的最小值為．
【點睛】本題主要考查坐標與圖形，一次函數的圖象與性質及等腰直角三角形的性質與判定，熟練掌握一次函數的圖象與性質及等腰直角三角形的性質是解題的關鍵．
16．（2023春·湖南長沙·八年級校考期中）如圖，正方形的邊長為，點為坐標原點，邊，分別在軸，軸上，點是的中點，點是線段上的一個點，如果將沿直線對折，使點的對應點恰好落在所在的直線上．(1)連接，求證：；(2)利用你所學的數學知識求出折痕所在直線的函數解析式；(3)請問軸上是否存在一點，使的周長有最小值？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】(1)見解析(2)(3)存在，
【分析】（1）由軸對稱的性質，利用證明即可；
（2）連接，求出，設點，，，，可得出，解方程可得解，得到點的坐標，設所在直線的函數解析式為，代入點坐標求出函數解析式即可；（3）可得出點關于軸的對稱點是，求出直線的函數表達式為，代入求出，即可求出的周長最小時，點的坐標．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，
由軸對稱的性質可知，，∴，，
∵，∴；
（2）解：連接，

∵正方形的邊長為，點是的中點，∴，，
由折疊的性質可知，，，∴，設點設點，，，
∵，∴，解得：，∴，
設所在直線的函數解析式為，代入點坐標得：，
解得：，∴OP所在直線的表達式是；
（3）解：存在．若的周長為最小，長度固定不變，
即是要為最小，
∵記點關于軸的對稱點是，由（2）得，∴，
當、、三點在同一條直線上時，最小，即最小，
設直線的解析式為，
代入點、坐標得：，解得：，∴直線的函數表達式為，
代入，得：，解得：，∴點．
【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了軸對稱的性質，待定系數法求函數解析式，勾股定理，最短路徑，正方形的性質．解題關鍵是求線段和最小值問題，其基本解決思路是根據對稱轉化為兩點之間的距離的問題．
17．（2023春·四川成都·八年級成都外國語學校校考期中）如圖：直線是一次函數的圖象，且與x軸交于A點，直線是一次函數的圖象，且與x軸交于B點．

(1)請用a、b表示出A、B、P各點的坐標；
(2)若點Q是與y軸的交點且，．求點P的坐標及直線的解析式；
(3)在（2）的條件下，連接，F是線段上一個動點，連接，在F的運動過程中是否存在最小值和最大值，若存在，求出長度變化范圍，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，(2)，直線的解析式為
(3)
【分析】（1）分別令，求得兩個函數對應的x的值，即可求出點A、B的坐標，聯立兩個函數的解析式，即可求出點P的坐標；（2）連接OP，則點Q的坐標為，則四邊形的面積＝的面積+的面積，根據已知的兩個條件可得關于a、b的方程，解方程求出a、b，可得點P、B的坐標，再利用待定系數法求解即可；（3）當時，的值最小，當點F與B重合時，的值最大，然后分別利用等面積法和兩點間的距離公式求解即可得出答案．
【詳解】（1）對于，令，可得，∴，
對于，令，可得，∴，
由，解得，，∴；
（2）連接OP，則點Q的坐標為，

∵四邊形的面積＝的面積+的面積，
∴，整理得，①，
∵，∴，即②，
把②代入①并整理得，∴（負值舍去），，∴，B，
設直線的解析式為，則有，解得，
∴直線的解析式為；
（3）如圖，由題意，Q，B，，
∴的面積，
∴，，
∵點F在線段上，∴時，的值最小，最小值，
當點F與B重合時，的值最大，此時，∴．
【點睛】本題是一次函數綜合題，考查了待定系數法求一次函數的解析式、直線與坐標軸的交點、勾股定理、方程組的求解等知識，熟練掌握一次函數的相關知識、靈活應用數形結合思想是解題的關鍵．
18．（2023春·遼寧大連·八年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸和軸分別相交于，兩點，與直線相交于點．(1)的面積為______；
(2)為直線上一點，連接，若，求點的坐標；
(3)，為平面內兩點，連接，，是否存在最小值，若存在，請直接寫出最小值；若不存在，請說明理由．

【答案】(1)(2)點的坐標為或(3)
【分析】（1）分別求出、點坐標，再求的面積即可；
（2）當點在第二象限時，作于點，根據得出點的縱坐標為，代入解析式，進而可得點的坐標為，當點在第三象限時，如圖2，作交于點，作于點，勾股定理求得，設點的坐標為，在中，根據勾股定理得．建立方程，解方程即可求解；（3）作點關于對稱，對稱點為，，過點作，連接，過點作，則，連接，，在中，利用勾股定理求出，即可得的最小值為．
【詳解】（1）解：當時，，∴，當時，，∴，
當時，，∴，∴,故答案為：．
（2）解：如圖1，當點在第二象限時，作于點．

∵，，∴．∴．
∵，∴．
令，則，點的坐標為，．∴．
∴點的坐標為，∴點的縱坐標為．
令，則，．∴點的坐標為
當點在第三象限時，如圖2，作交于點，作于點．

∴，．∵，
∴．由上可知，．
∵，∴．
∴．∴．∴．
令，則，，點的坐標為，．
在中，根據勾股定理得．∴．∴．
設點的坐標為，則，．
在中，根據勾股定理得．∴．
解得(不合題意，舍去)，．當時，．
∴點的坐標為．綜上所述，點的坐標為或．
（3），，、在直線上，，
作點關于對稱，對稱點為，，
如圖，過點作，連接，過點作，
四邊形是平行四邊形，，，
連接，，，在中，，，
，的最小值為．
【點睛】本題考查了一次函數的圖象及性質，熟練掌握一次函數的圖象及性質，等腰三角形的性質，勾股定理，平行四邊形的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
19．（2022秋·江蘇鹽城·八年級統考階段練面直角坐標系中有點A和點P，若將點P繞點A順時針旋轉后得到點Q，則稱點Q為點P關于點A的“鏈垂點”，圖1為點P關于點A的“鏈垂點”Q的示意圖．

(1)如圖2，已知點A的坐標為，點P關于點A的“鏈垂點”為點Q；
①若點P的坐標為，則點Q的坐標為 ；②若點Q的坐標為，則點P的坐標為 ；
(2)已知點C的坐標為，點D在直線上，若點D關于點C的“鏈垂點”E在坐標軸上，試求出點D的坐標；(3)在平面直角坐標系中，已知點，點C是x軸上的動點，點A關于點C的“鏈垂點”是點B，連接、，①直接寫出的最小值；②直接寫出當最小時點C的坐標．
【答案】(1)①；②；(2)或；(3)①；②
【分析】（1）①根據繞原點旋轉90度的前后兩個點的對應坐標的絕對值相等，即可得到答案；
②根據繞原點旋轉90度的前后兩個點的對應坐標的絕對值相等，即可得到答案；
（2）分兩種情況討論：①當點E落在軸上時，則軸，把代入直線，即可得到點D的坐標；②當點E落在軸上時，過點D作軸于點F，證，得到，將代入直線，即可得到點D的坐標；
（3）①過點A作軸于點G，過點B作軸于點H，證明，得到，，設點C的坐標為，得到，，進而得到，再根據坐標兩點的距離公式，得到，即相當于在直線上找一點，使得點P到點，到點的距離和最小，作點N關于直線的對稱點，連接、，推出的最小值為的長，即可得到的最小值；
②利用待定系數法求出直線的解析式為，聯立，求出，進而得到的值，即可得到點的坐標．
【詳解】（1）解：①若點P的坐標為，則點Q的坐標為，故答案為：；
②若點Q的坐標為，則點P的坐標為，故答案為：；
（2）解：①如圖，當點E落在軸上時，則軸，

點C的坐標為，點D的橫坐標為
點D在直線上，當時，，；
②如圖，當點E落在軸上時，此時，過點D作軸于點F，
，，
，，由旋轉的性質可知，，
在和中，，，，
，，，
點D在直線上，當時，，解得：，，
綜上可知，點D的坐標為或；
（3）解：①如圖，過點A作軸于點G，過點B作軸于點H，

，，點A關于點C的“鏈垂點”是點B，
由旋轉的性質可知，，，，，
在和中，，，，，
點C是x軸上的動點，設點C的坐標為，，
，，，，，
，
即相當于在直線上找一點，使得點P到點，到點的距離和最小，
如圖，作點N關于直線的對稱點，連接、，

，點和點關于直線對稱，，，
，的最小值為，的最小值為；
②設直線的解析式為，
，，，解得：，直線的解析式為，
聯立，解得：，，點C的坐標為．
【點睛】本題是一次函數綜合題，考查了一次函數的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，軸對稱求最小值，坐標兩點的距離公式，待定系數法求函數解析式等知識，利用分類討論和數形結合的思想解決問題是解題關鍵．
20．（2023·重慶沙坪壩·八年級校考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點B，與y軸交于點A，，，直線交直線于點C．

(1)求直線的解析式及C點的坐標；(2)如圖1，P為直線上一動點且在第一象限內，M、Q為x軸上動點，Q在M右側且，當時，求最小值；
(3)如圖2，將沿著射線方向平移，平移后A、O、B三點分別對應D、E、F三點，直線上是否存在N點，使得為等腰直角三角形，若存在，請直接寫出N點坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，(2)
(3)存在，，或，或，
【分析】（1）先求出點和點的坐標，再用待定系數法求出直線的解析式，聯立直線和的解析式，即可求得點的坐標；
（2）先求出的面積，證明點在點的上方，設點的坐標為，其中，由，求得，得到點的坐標，作四邊形是平行四邊形，則，證得的最小值為，由勾股定理求出答案即可；
（3）分三種情況：①當時，②當時，③當時，根據等腰直角三角形的性質分別進行求解即可．
【詳解】（1）解：，點的坐標是，
，，點的坐標為，，設直線的解析式為，
把點和點的坐標代入可得，解得，
直線的解析式為，
聯立直線和直線的解析式得，
解得，點的坐標是，；
，，，
，，，
直線交直線于點．，，
，點在點的上方，
為直線上一動點且在第一象限內，
設點的坐標為，其中，點到軸的距離為，
，，解得，
，點的坐標是，，
如圖，過點向左作軸，且，
則的坐標為，，再作點關于軸的對稱點，則的坐標為，，
則連接交軸于點，在軸上截取，連接，

由作圖過程知四邊形是平行四邊形，則，
的最小值為，
作于點，則的坐標為，，則，，
的最小值為．
即最小值為；
（3）存在，理由如下：將沿著射線方向平移，即將向左平移個單位，向下平移個單位，，，，
①當時，如圖，

直線的解析式為，，，
為等腰直角三角形，，，，
點坐標為，；
②當時，如圖，
直線的解析式為，，，，
為等腰直角三角形，，，，
點坐標為，；
③當時，如圖，過點作于，
為等腰直角三角形，，，
，，，點的橫坐標為，
直線的解析式為，，，
，，點坐標為，；
綜上所述，點坐標為，或，或，．
【點睛】此題是一次函數綜合題，考查了待定系數法求一次函數的解析式、一次函數的圖形和性質、勾股定理、平行四邊形的判定和性質、軸對稱的性質、等腰直角三角形的性質等知識，正確作出圖形和分類討論是解題的關鍵．
21．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，直線與坐標軸交于A、B兩點，與過點的直線交于點D，且．
(1)求點D的坐標及直線的解析式；(2)求的面積：(3)在y軸上是否存在一點P，使最大？若存在，請求出點P的坐標，并求出的最大值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，；(2)；(3)點P的坐標為時，的最大值為
【分析】（1）作軸于點，可證得：，故可得：，，由，可得出，，，，即可得出：D，即可得出直線的解析式；
（2）由三角形的面積公式即可得出結論；
（3）延長交y軸于點P，則點P即是所求的點，此時的最大值為線段的長度，由可得出：點P ．由勾股定理可得，，即可得出答案．
【詳解】（1）作軸于點，
由題意，，，
∵，∴，∴，，
由，令，得，∴，，
令，得，得，∴，，∴，，
，∴點D的坐標為，
設直線的解析表達式為，代入和，
得，解得，∴直線的解析表達式為；
∴點D的坐標為，直線的解析表達式為；
（2）由題意得，，，∴；
（3）存在，理由如下：延長交y軸于點P，則點P即是所求的點，此時的最大值為線段的長度．令，代入，解得，
∴點P的坐標為．在中，由勾股定理得，．
綜上，點P的坐標為時，的最大值為．
【點睛】本題考查了一次函數與幾何問題，待定系數法求函數解析式，兩點之間線段最短，構造三角形全等求線段長度，三角形面積，掌握以上知識是解題的關鍵．
22．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數與函數的圖象交點．
(1)直接寫出一次函數的解析式，并在網格中畫出一次函數的圖象；
(2)直接寫出不等式的解集；
(3)將點A向下平移2個單位得到點C，點P在x軸上，求的最大值及此時點P的坐標．
【答案】(1)，圖象見解析(2)或(3)最大值為，
【分析】（1）把點帶入求出m的值，再用待定系數法求出一次函數的解析式即可；（2）根據圖象即可進行解答；（3）作點C關于x軸的對稱點，根據三角形三邊之間的關系，可得，當點三點共線時，取最大值，連接并延長，與x軸交于點P，用待定系數法求出所在直線的函數解析式即可求出點P的坐標．
【詳解】（1）解：把點帶入得：，∴，
把帶入得：，解得：，
∴一次函數的解析式．圖象如圖：
（2）由圖可知：當或時，．
（3）作點C關于x軸的對稱點，連接并延長，與x軸交于點P，點P即為所求．
∵點C和點關于x軸對稱，∴，∴，
如圖，在中，當點三點共線時，取最大值，
此時，
∵點向下平移兩個單位得到點C，∴，∴，∴，
設所在直線的函數解析式為：，
把點，帶入得：
，解得：，∴所在直線的函數解析式為：，
當時，，解得：，∴，
綜上：最大值為，．
【點睛】本題考查了一次函數的圖象和性質，軸對稱的性質，三角形三邊之間的關系，解題的關鍵是熟練掌握一次函數的相關知識，會用待定系數法求解函數表達式，能夠根據圖象寫出不等式的解集．
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專題5.8 一次函數中的最值模型（將軍飲馬）
模塊1：學習目標
1、了解一次函數背景下的將軍飲馬模型，并能在復雜問題中辨認次模型；
2、經歷對將軍飲馬模型的研究，總結解題方法和輔助線作法，提升解決幾何問題的能力；
3、進一步體會數學建模思想在實際學習中的應用；
模塊2：知識梳理
1.一次函數線段和差最值（將軍飲馬）原理與作法
【模型 1】 作法 作圖 原理
在直線 l 上求一點 P，使PA+PB 值最小。 連AB，與 l 交點即為P． 兩點之間線段最短PA+PB 最小值為 AB．
【模型 2】 作法 作圖 原理
在直線 l 上求一點 P，使PA+PB 值最小． 作 B 關于l的對稱點B＇，連 A B＇，與 l 交點即為 P． 兩點之間線段最短．PA+PB 最小值為AB＇．
【模型3】 作法 作圖 原理
在直線 l 上求一點 P，使的值最大 . 作直線A B，與直線 l 的交點即為 P． 三角形任意兩邊之差小于第三邊．即≤AB .
【模型4】 作法 作圖 原理
在直線 l 上求一點 P，使的值最大 . 作 B 關于l的對稱點B＇，連 A B＇，與 l 交點即為 P． 三角形任意兩邊之差小于第三邊．即≤AB＇
2. 具體題型：（1）求線段和最小時動點坐標或直線解析式；（2）求三角形周長最小值；（3）求線段差最大時點的坐標或直線解析式。
模塊3：核心考點與典例
考點1. 將軍飲馬模型（線段和的最小值）
例1．（2023春·遼寧營口·八年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數與軸和軸分別交于、兩點，點的坐標為，點分別在直線軸上，則的最小值為（ ）

A． B． C． D．
例2．（2022秋·江西宜春·八年級校考期中）如圖，三個頂點的坐標分別為，，：

(1)作出與關于軸對稱，并寫出其中兩個頂點的坐標為_________，_________．
(2)在軸上是否存在一點，使的值最小，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
例3．（2022春·福建福州·八年級統考期末）在如圖所示的平面直角坐標系中，點P是直線上的動點，，是x軸上的兩點，則的最小值為（　　）

A． B． C． D．6
例4．（2023春·湖北武漢·八年級統考期末）如圖，已知點，點M，N分別是直線和直線上的動點，連接，．的最小值為（ ）

A．2 B． C． D．
例5．（2023春·湖南長沙·八年級統考期末）如圖，已知點，點B是直線上的動點，點C是y軸上的動點，則的周長的最小值等于（　　）
A． B． C． D．
例6．（2022秋·陜西西安·八年級校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A，點B的坐標分別為和，點P的坐標為，則的最小值為 ．
例7．（2023春·江蘇蘇州·八年級校考階段練習）如圖1，對于平面內的點A、P，如果將線段繞點P逆時針旋轉得到線段，就稱點B是點A關于點P的“放垂點”．如圖2，已知點，點P是y軸上一點，點B是點A關于點P的“放垂點”，連接、，則的最小值是 ．

考點2. 將軍飲馬模型（線段差的最大值）
例1．（2023春·浙江八年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系中，點P是正比例函數圖象上的一點，點A坐標為，點B的坐標為，當取最大值時，點P的坐標為（　　）
A． B． C． D．
例2．（2023春·山東八年級課時練習）已知一次函數的圖象經過點，，在軸上有一點，使得最大，最大值為 ．
例3．（2023·廣東·八年級專題練習）在平面直角坐標系xOy中，直線y＝﹣2x+a與y軸交于點A，與直線y＝x+1交于點P（3，b），B為直線y＝x+1上一點．（1）求a，b的值；（2）當線段AB最短時求點B的坐標；（3）在x軸上找一點C，使AC﹣PC的值最大，請寫出點C的坐標并求最大值．
例4．（2023秋·浙江·八年級專題練習）在進行13.4《最短路徑問題》的學習時，同學們從一句唐詩“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”（唐 李頎《古從軍行》出發，一起研究了蘊含在其中的數學問題——“將軍飲馬”問題．同學們先研究了最特殊的情況，再利用所學的軸對稱知識，將復雜問題轉化為簡單問題，找到了問題的答案，并進行了證明．下列圖形分別說明了以上研究過程．
證明過程如下：如圖4，在直線l上另取任一點，連結，
∵點B，關于直線l對稱，點C，在l上，
∴_________， _________，∴_________．
在中，∵，∴，即最小．
(1)請將證明過程補充完整．（直接填在橫線上）
(2)課堂小結時，小明所在的小組同學提出，如圖1，A，B是直線l同旁的兩個定點．在直線l上是否存在一點P，使的值最大呢？請你類比“將軍飲馬”問題的探究過程，先說明如何確定點P的位置，再證明你的結論是正確的．
(3)如圖，平面直角坐標系中， ，P是坐標軸上的點，則的最大值為_________，此時P點坐標為_________．（直接寫答案）
考點3. 一次函數中的其他最值
例1．（2023春·湖北武漢·八年級統考期末）如圖，直線交軸于點，交軸于點為線段（端點除外）上一動點，點與點關于軸對稱，過點作軸的平行線交的延長線于點，則線段的最小值是（ ）

A． B． C． D．
例2．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，點，，P為x軸上一動點，將線段繞點P順時針旋轉90°得到，連接．則的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．4
例3．（2023春·四川宜賓·八年級校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，，點B是y軸正半軸上一動點，以為邊在的下方作等腰直角，且，點B在y軸上運動時，的最小值為 ．

例4．（2023春·四川成都·八年級成都實外校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線與坐標軸交于，兩點，于點，是線段上的一個動點，連接，將線段繞點逆時針旋轉，得到線段，連接，則線段的最小值為 ．

例5．（2023春·河南新鄉·八年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線分別與軸、軸交于，兩點，在線段上取一點，過作軸于，軸于，連接，則線段長度的最小值為（　　）
A． B． C． D．
例6．（2023春·四川自貢·八年級統考期末）如圖，矩形兩邊與坐標軸正半軸重合，是邊上的一個動點，是經過，兩點的直線上的一個動點，則的最小值是 ．

模塊四：同步培優題庫
全卷共20題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共3小題，每小題3分，共9分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2022春·湖北武漢·八年級校考階段練習）如圖，已知直線交、軸于、兩點，以為邊作等邊、、三點逆時針排列，、兩點坐標分別為、，連接、，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·浙江年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，線段所在直線的解析式為，E是的中點、P是上一動點，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·廣東八年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知正方形ABOC，A（ - 4，4）．點D為x軸上一動點，以AD為邊在AD的右側作等腰Rt△ADE，∠ADE = 90°，連接CE，則CE的最小值是（ ）
A．2 B．2 C．3 D．4
二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
4．（2023春·江蘇泰州·八年級校聯考階段練習）在平面直角坐標系中，已知四邊形是平行四邊形，且點，點，點．當對角線長取最小值時邊的長為 ．
5．（2023春·重慶潼南·八年級統考期末）如圖，直線l：與x軸，y軸分別交于點A，B，點C，D分別是，的中點，點P是y軸上一動點，則的最小值是 ．
6．（2023春·浙江八年級期中）如圖，已知點，點B是直線上的動點，點C是y軸上的動點，則的周長的最小值等于 ．
7．（2023秋·江蘇宿遷·八年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，Q是直線上的一個動點，將Q繞點順時針旋轉90°，得到點，連接，則的最小值為 ．
8．（2023春·浙江八年級課時練習）如圖，x軸上有兩點和點，若點P的坐標為；則的值最小值= 此時點P的坐標為
9．（2022秋·廣東佛山·八年級校考階段練習）如圖所示，已知點，一次函數的圖象與兩坐標軸分別交于A，B兩點，點M，P分別是線段，上的動點，當取最小值時，點P的坐標是 ．
10．（2023春·浙江八年級期中）如圖，點在軸上，直線與兩坐標軸分別交于，兩點，，分別是線段，上的動點，則的最小值為 ．
11．（2022秋·四川成都·八年級四川省成都市七中育才學校校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，點坐標，點坐標，點在直線：上，且滿足，為直線上一動點，連接，繞點順時針旋轉得到，連接，，則的最小值為 ．
12．（2023秋·福建莆田·八年級期末）已知在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，2），點B（m，4-m）與點C分別是直線l及x軸上的動點，則△ABC周長的最小值為 .
13．（2023春·浙江八年級課時練習）已知A(1，5)，B(3，－1)兩點，在x軸上取一點M，使AM－BM取得最大值時，則M的坐標為 。
三、解答題（本大題共9小題，共81分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
14．（2022·內蒙古·八年級期末）如圖，一次函數的圖像分別與x軸，y軸交于A，B，以線段AB為邊在第一象限內作等腰直角三角形ABC，使．
(1)分別求點B，C的坐標；(2)在x軸上求一點P，使它到B，C兩點的距離之和最小．
15．（2023春·福建莆田·八年級校考期中）定義：對于平面直角坐標系中的點和直線，我們稱點是直線的關聯點，直線是點的關聯直線．特別地，當時，直線（b為常數）的關聯點為．如圖，直線：與軸交于點A，與y軸交于點B．(1)直線的關聯點的坐標是______，點A的關聯直線的解析式為__________；
(2)點P在y軸上，且，求點P的坐標；(3)若點D在直線上，橫坐標為1，點E在x軸負半軸上，且，動點M的坐標為，求的最小值．

16．（2023春·湖南長沙·八年級校考期中）如圖，正方形的邊長為，點為坐標原點，邊，分別在軸，軸上，點是的中點，點是線段上的一個點，如果將沿直線對折，使點的對應點恰好落在所在的直線上．(1)連接，求證：；(2)利用你所學的數學知識求出折痕所在直線的函數解析式；(3)請問軸上是否存在一點，使的周長有最小值？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

17．（2023春·四川成都·八年級成都外國語學校校考期中）如圖：直線是一次函數的圖象，且與x軸交于A點，直線是一次函數的圖象，且與x軸交于B點．
(1)請用a、b表示出A、B、P各點的坐標；
(2)若點Q是與y軸的交點且，．求點P的坐標及直線的解析式；
(3)在（2）的條件下，連接，F是線段上一個動點，連接，在F的運動過程中是否存在最小值和最大值，若存在，求出長度變化范圍，若不存在，請說明理由．

18．（2023春·遼寧大連·八年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸和軸分別相交于，兩點，與直線相交于點．(1)的面積為______；
(2)為直線上一點，連接，若，求點的坐標；
(3)，為平面內兩點，連接，，是否存在最小值，若存在，請直接寫出最小值；若不存在，請說明理由．

19．（2022秋·江蘇鹽城·八年級統考階段練面直角坐標系中有點A和點P，若將點P繞點A順時針旋轉后得到點Q，則稱點Q為點P關于點A的“鏈垂點”，圖1為點P關于點A的“鏈垂點”Q的示意圖．

(1)如圖2，已知點A的坐標為，點P關于點A的“鏈垂點”為點Q；
①若點P的坐標為，則點Q的坐標為 ；②若點Q的坐標為，則點P的坐標為 ；
(2)已知點C的坐標為，點D在直線上，若點D關于點C的“鏈垂點”E在坐標軸上，試求出點D的坐標；(3)在平面直角坐標系中，已知點，點C是x軸上的動點，點A關于點C的“鏈垂點”是點B，連接、，①直接寫出的最小值；②直接寫出當最小時點C的坐標．
20．（2023·重慶沙坪壩·八年級校考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點B，與y軸交于點A，，，直線交直線于點C．

(1)求直線的解析式及C點的坐標；(2)如圖1，P為直線上一動點且在第一象限內，M、Q為x軸上動點，Q在M右側且，當時，求最小值；
(3)如圖2，將沿著射線方向平移，平移后A、O、B三點分別對應D、E、F三點，直線上是否存在N點，使得為等腰直角三角形，若存在，請直接寫出N點坐標；若不存在，請說明理由．
21．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，直線與坐標軸交于A、B兩點，與過點的直線交于點D，且．
(1)求點D的坐標及直線的解析式；(2)求的面積：(3)在y軸上是否存在一點P，使最大？若存在，請求出點P的坐標，并求出的最大值；若不存在，請說明理由．
22．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數與函數的圖象交點．
(1)直接寫出一次函數的解析式，并在網格中畫出一次函數的圖象；
(2)直接寫出不等式的解集；
(3)將點A向下平移2個單位得到點C，點P在x軸上，求的最大值及此時點P的坐標．
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