資源簡介

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專題6.10 線段雙中點模型與雙角平分線模型
模塊1：學習目標
1、熟練掌握線段的雙中點模型；
2、熟練掌握雙角平分線模型；
模塊2：知識梳理
對于剛接觸幾何的七年級學生來說，關于線段或角的計算是有很大難度的，這就要求學生面對這類題時具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般來講，這類題通常由問題出發，先由線段和差或角的和差確定解題方向，然后輔以線段中點或角平分線來解決。
但是，對于有公共部分的雙中點線段或雙角平分線模型，可以寫出的線段和差或角的和差種類較多，這就增加了思考的難度。如果掌握了這兩個模型的結論，那就可以快速選取正確的線段和差或角的和差，迅速解題，如果是填空選擇，則可以直接口算出答案。
模塊3：核心考點與典例
模型1. 線段的雙中點模型
圖1 圖2
1）雙中點模型（兩線段無公共部分）
條件：如圖1，已知A、B、C三點共線，D、E分別為AB、BC中點，結論：.
2）雙中點模型（兩線段有公共部分）
條件：如圖2，已知A、B、C三點共線，D、E分別為AB、BC中點，結論：.
例1．（2022秋·河南新鄉·七年級校考期末）如圖，已知線段，，若點M，N分別為，的中點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由中點的定義可求得線段、的長度，再利用線段的和差可求得答案．
【詳解】解：、分別是線段、的中點，，，
，，．故選：C．
【點睛】本題考查了兩點間的距離、線段的中點，掌握中點把線段分成兩條相等的兩條線段是解題的關鍵．
例2．（2022秋·重慶梁平·七年級統考期末）已知線段，點是線段上的一個動點，點分別是和的中點．則的長為（ ）
A．3 B．3.5 C．5 D．6
【答案】D
【分析】由點分別是和的中點可得，再由進行計算即可得到答案．
【詳解】解：點分別是和的中點，
，
，
故選：D．
【點睛】本題主要考查了與線段中點有關的計算，線段的和差，根據題意得出是解題的關鍵．
例3．（2022秋·河南鄭州·七年級校考期中）如圖，已知線段，是的中點，是線段上一點，為的中點，，則線段 ．
【答案】1.6
【分析】根據中點的定義可求解及的長，進而可求解．
【詳解】解：∵是的中點，，∴，
∵N為的中點，，∴，
∴．故答案為：1.6．
【點睛】此題考查了兩點間的距離，解題的關鍵是掌握線段中點定義．
例4．（2022秋·浙江湖州·七年級統考期末）如圖，已知線段，延長線段至點，使得．點為線段的中點，點為線段的中點．(1)若，求線段的長；(2)若，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先根據，求出，得出，根據中點定義求出，即可得出答案即可；（2）先用a表示出，得出，根據中點定義即可得出，得出，即可得出，求出a的值即可．
【詳解】（1）解：，，，
為的中點，，．
（2）解：，，
為中點，為中點，，，
，，．
【點睛】本題主要考查了線段中點的計算，解一元一次方程，解題的關鍵是熟練掌握線段之間的數量關系．
例5．（2023春·山東威海·七年級統考期中）如圖，點B在線段AC上，，分別是的中點．對于結論：①；②B是的中點；③；④．其中正確的個數為（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】A
【分析】利用線段中點的性質，結合線段的和差逐一分析判定即可．
【詳解】∵，∴，即，①正確；
∵是的中點．∴，∴B是的中點，②正確；
∵是的中點∴，∴，③正確；
∵，∴，④正確；
綜上分析可得，正確的有：①②③④，故選：A．
【點睛】本題考查了線段的中點，線段的和差，結合圖形找出線段之間的關系是解題的關鍵．
例6．（2022秋·江蘇淮安·七年級統考期末）線段，是的中點，是的中點，是的中點，是的中點，依此類推……，線段的長為 ．
【答案】
【分析】先分別求出、、的值，根據求出的結果得出規律，即可得出答案．
【詳解】解：因為線段，是的中點，所以；
因為是的中點，所以；
因為是的中點，所以；，
所以，所以，答案為：．
【點睛】本題考查了線段中點的有關計算、求兩點之間的距離、數字類規律探究，能根據求出的結果得出規律是解此題的關鍵．
例7．（2022·陜西西安·七年級校考期末）直線上有三點，，，點為線段的中點，點為線段的中點.若，，則的長為（ ）．
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本題沒有給出圖形，在畫圖時，應考慮到，，，三點之間的位置關系的多種可能，再根據正確畫出的圖形解題．
【詳解】分兩種情況：第一種情況：B在內，如圖：
；
第二種情況：B在外，如圖：
，故選：D．
【點睛】本題考查了兩點間的距離、線段的中點的定義；解題的關鍵是注意分類討論，避免漏解．
例8．（2023秋·河南南陽·七年級校考期末）如圖，已知線段，，是線段的中點，是線段的中點．
(1)若，求線段的長度．(2)當線段在線段上從左向右或從右向左運動時，試判斷線段的長度是否發生變化，如果不變，請求出線段的長度；如果變化，請說明理由．
【答案】(1)(2)不變，還是，理由見解析
【分析】（1）由題意可得，，結合中點的含義可得；
（2）由已知可得，，再由，結合中點的性質即可解．
【詳解】（1）解∶，，，
點是的中點，點是的中點，，
；
（2）線段的長度不發生變化．
點是的中點，點是的中點，，
．
【點睛】本題考查線段的和差運算，中點的含義；熟練掌握線段的和差運算，靈活應用中點的性質解題是關鍵．
例9．（2022·陜西商洛·七年級統考期末）如圖，點C在線段上，點M、N分別是的中點．
(1)若，求線段MN的長；(2)若C為線段上任一點，滿，其它條件不變，你能猜想的長度嗎？寫出你的結論并說明理由；(3)若點C在線段的延長線上，且滿足，M、N分別為的中點，你能猜想的長度嗎？請畫出圖形并寫出你的結論（不必說明理由）．
【答案】(1)(2)，理由見解析(3)的長度等于，圖見解析
【分析】（1）根據M、N分別是的中點，可得，從而得到，即可求解；
（2）根據M、N分別是的中點，可得，從而得到，即可求解；
（3）根據M、N分別是的中點，可得，從而得到，即可求解．
【詳解】（1）點M、N分別是的中點，
∴，，
∴．所以線段的長為．
（2）的長度等于，
根據圖形和題意可得：．
（3）的長度等于，根據圖形和題意可得：ACBC．
【點睛】本題主要考查了有關線段中點的計算，明確題意，準確得到線段間的數量關系是解題的關鍵．
例10．（2022春·湖南株洲·七年級統考期末）材料閱讀：當點在線段上，且時，我們稱為點在線段上的點值，記作．如點是的中點時，則，記作；反過來，當時，則有．因此，我們可以這樣理解：與具有相同的含義．
初步感知：
(1)如圖1，點在線段上，若，則__________；若，則____________；
(2)如圖2，已知線段，點、分別從點和點同時出發，相向而行，運動速度均為，當點到達點時，點、同時停止運動，設運動時間為，請用含有的式子表示和，并判斷它們的數量關系．
拓展運用：(3)已知線段，點、分別從點和點同時出發，相向而行，若點、的運動速度分別為和，點到達點后立即以原速返回，點到達點時，點、同時停止運動，設運動時間為．則當為何值時，等式成立．
【答案】(1)，(2)，，
(3)存在和使等式成立
【分析】（1）根據定義直接得出結果即可求解；
（2）根據題意，得出，，相加即可求解；
（3）分在點到達點之前，在點到達點返回之后，兩種情況分類討論即可求解．
【詳解】（1）根據定義可得：∵，則；
∵，∴,則；故答案為：．，；
（2）∵∴
∵∴
∴∴
（3）①在點到達點之前
∵∴
∵∴∴
∵∴∴
②在點到達點返回之后
∵∴
∵∴∴
∵∴∴
∴存在和使等式成立．
【點睛】本題考查了幾何新定義，線段的和差，理解新定義，數形結合是解題的關鍵．
模型2. 雙角平分線模型
圖1 圖2 圖3
1）雙角平分線模型（兩個角無公共部分）
條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；
結論：.
2）雙角平分線模型（兩個角有公共部分）
條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；
結論：.
3）拓展模型：雙角平分線模型（三個角圍成一個周角）
條件：如圖3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；
結論：.
例1．（2023春·山東菏澤·七年級統考期末）如圖，平分，平分，，，（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據角平分線的定義和角的運算求解即可．
【詳解】解：∵平分，平分，，
∴，，∴，
∵，∴，∴．故選：A．
【點睛】本題考查角平分線的定義和角度的運算，熟練掌握與角平分線的有關的角度運算是解答的關鍵．
例2．（2023秋·河北滄州·七年級統考期末）如圖所示，OC是平分線，OD是的平分線，則下列各式中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據角平分線定義，得出角與角的關系，再根據選項選取正確答案．
【詳解】A．∵是的平分線，∴．
∵是的平分線，∴，∴，故A正確；
B．∵是的平分線，∴，
∵是的平分線，∴，
∴，即，故B不正確；
C．由B知，，即，故C不正確；
D．，故D不正確；故選A．
【點睛】此題考查的是角平分線的定義，根據角平分線定義得出所求角與已知角的關系是解題關鍵．
例3．（2022秋·黑龍江大慶·七年級校考期末）如圖，是的平分線，射線在內部，是的平分線，已知，那么的大小等于 °．
【答案】40
【分析】據角平分線的定義得到，，根據角的和差即可得到結論．
【詳解】解：∵是的平分線，∴，
設，，則，
又∵是的平分線，∴
∴，
∵，∴，∴，
∴．故答案為：40．
【點睛】本題考查角平分線的定義和圖中各角之間的和差關系，解題關鍵是找出圖中各角之間的和差關系．
例4．（2023秋·湖北武漢·七年級統考期末）如圖，是內部一條射線，是的平分線，是的平分線，是的平分線，是的平分線，則 ．
【答案】
【分析】依據是平分線，是平分線，可得，依據是平分線，是平分線，可得，進而得出．
【詳解】解：∵是平分線，是平分線，∴，
∵是平分線，是平分線，∴，
∴==，
∴，故答案為：．
【點睛】本題主要考查了角平分線的定義的運用，解決問題的關鍵是利用角的和差關系進行推算．
例5．（2023·河南·七年級校聯考期末）如圖，分別是和的平分線，分別是和的平分線，分別是和的平分線，…，分別是和的平分線，則的度數是 ．

【答案】
【分析】由角平分線性質推理得，，，據此規律可解答．
【詳解】解：，、分別是和的平分線，
，，
、分別是和的平分線，，
，
、分別是和的平分線，，
，…，
由此規律得：．故答案為：．
【點睛】本題考查角平分線的性質、圖形規律等知識，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵．
例6．（2023秋·山西太原·七年級校考期末）如圖，，在的內部，在的內部，是的一三等分線，若，則的度數為 ．

【答案】或
【分析】先根據余角的定義可得，再根據是的一三等分線可得或，據此分兩種情況解答即可．
【詳解】解：∵，，∴，
∵是的一三等分線，∴或，
∵，，
∴當時，；當時，；
綜上，的度數為110或130．故答案為或．
【點睛】本題考查垂直的定義、余角的性質、等分線等知識點，掌握分類討論思想是解答本題的關鍵．
例7．（2023秋·重慶萬州·七年級統考期末）平面內，，C為內部一點，射線平分，射找平分，射線平分，當時，求的度數？
【答案】或
【分析】根據角平分線得出，，然后分兩種情況分析：若射線在外部時，若射線在內部時，結合圖形求解即可．
【詳解】解：∵射線平分，射找平分，
∴，，
∴，
∵射線平分，∴，
若射線在外部時，如圖1，
則，即，
∵，∴，解得：或；
若射線在內部時，如圖2，則，
∴，即，不滿足，
綜上，或．
【點睛】題目考查角平分線的計算，理解題意，分類討論作出圖形求解是解題關鍵．
例8．（2023秋·江蘇無錫·七年級校考期末）解答題：(1)如圖，若， ，、分別平分、，求的度數；
(2)若，是平面內兩個角，， ，、分別平分、，求的度數．（用含、的代數式表示）
【答案】(1)(2)所以當射線在的內部時，；當射線在的外部時，．
【分析】（1）根據角平分線定義求出和度數，即可得出答案；（2）由于無法確定射線的位置，所以需要分類討論：若射線在的內部時，根據角平分線定義得出，，求出；若射線在的外部時，根據角平分線定義得出，，求出，代入求出即可．
【詳解】（1）∵，平分，∴
∵分別平分，．∴
∴．
（2）若射線在的內部，如圖2
∵，，、分別平分、．
∴∴．
所以當射線在的內部時，．
若射線在外部時，如圖3
∵，，、分別平分、．
∴∴．
所以當射線在的外部時，．
【點睛】本題考查的是角平分線的定義和角的有關計算，利用角平分線的定義求解角的度數是解題的關鍵．
例9．（2023春·山東濟南·七年級統考期末）解答下列問題
如圖1，射線在的內部，圖中共有3個角：和，若其中有一個角的度數是另一個角度數的兩倍，則稱射線是的“巧分線”．(1)一個角的平分線 這個角的“巧分線”，（填“是”或“不是”）．(2)如圖2，若，且射線是的“巧分線”，則 （表示出所有可能的結果探索新知）．(3)如圖3，若，且射線是的“巧分線”，則 （用含α的代數式表示出所有可能的結果）．

【答案】(1)是(2)30°，20°或40°(3)或或
【分析】（1）根據“巧分線”定義，一個角的平分線將一個角均分成兩個等角，大角是這兩個角的兩倍即可解答；(2)根據“巧分線”定義，分、、三種情況求解即可；(3) 根據“巧分線”定義，分、、三種情況求解即可．
【詳解】（1）解：如圖1：∵平分，∴,
∴根據巧分線定義可得是這個角的“巧分線”．故答案為：是．

（2）解：如圖3：①當時，則；
②當，則，解得：；
③當，則，解得：．
綜上，可以為．
（3）解：如圖3：①當時，則；
②當，則，解得：；
③當，則，解得：．
綜上，可以為．

【點睛】本題主要考查了新定義下的計算、角平分線的定義等知識點，讀懂題意、理解“巧分線”的定義是解題的關鍵．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：60分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023秋·湖北武漢·七年級校聯考期末）如圖，點A，B，C順次在同一直線上，點M是線段的中點，點N是線段的中點．若想求出的長度，那么只需添加條件（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由中點的定義得，從而可得．
【詳解】解：∵點M是線段的中點，點N是線段的中點，
∴，∴，
∴只要已知，即可求出的長度．故選：B．
【點睛】本題考查了線段的中點，注意理解線段的中點的概念．利用中點性質轉化線段之間的倍分關系是解題的關鍵．
2．（2023秋·海南·七年級統考期末）如圖，已知線段cm，為直線上一點，且cm，，分別是、的中點，則等于（　　）cm．
A．13 B．12 C．10或8 D．10
【答案】D
【分析】根據求得，然后由，分別是、的中點知，，，所以，即可得出答案．
【詳解】∵，且，∴，
又∵，分別是、的中點，∴，，
∴．故選：D．
【點睛】本題考查了兩點間的距離，充分利用兩點間中點的定義是解題的關鍵．
3．（2023秋·福建泉州·七年級統考期末）在直線上任取一點A，截取，再截取，則的中點與的中點之間的距離為（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】分兩種情況B，在點A同側時，B，在點A兩側時，分別畫出圖形，求出結果即可．
【詳解】解：①B，在點A同側時，如圖所示：
是的中點，是的中點，，，
．
②B，在點A兩側時，如圖，
是的中點，是的中點，，，
．
綜上：與之間距離為或，故C正確．故選：C．
【點睛】本題主要考查了線段中點的計算，解題的關鍵是分類討論，畫出圖形，數形結合．
4．（2023秋·海南·七年級統考期末）已知線段，點是直線上一點，，若是的中點，是的中點，則線段的長度是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【分析】分點在點右側與點在點左側兩種情況畫出圖形求解．
【詳解】解：當點在點右側時，如圖所示．
， ， ．
是中點，是的中點， ， ，；
當點在點左側時，如圖所示． ， ， ．
是中點，是的中點，
， ， ．
綜上所述：線段MN的長度為5 cm．故選：B．
【點睛】本題考查了線段和差，線段的中點等知識，分點在點右側與點在點左側兩種情況考慮是解題的關鍵．
5．（2023秋·江西上饒·七年級統考期末）如圖，C、D是線段上兩點，M、N分別是線段的中點，下列結論：①若，則；②若，則；③；④．
其中正確的結論是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】A
【分析】根據線段中點的定義與線段的和差結合圖形逐一進行分析即可．
【詳解】解：如圖， ∵M、N分別是線段的中點，
∴，，
∵， ∴， ∴， ∴，
∴，即，故①符合題意；
∵， ∴， ∴， ∴，故②符合題意；
∵，
∴ ，故③符合題意；
∵，， ∴，
∵，， ∴
，故④不符合題意， 故選：A．
【點睛】本題考查了線段的和差運算，能夠利用中點的性質及線段的和差關系求解一些線段之間的關系是解本題的關鍵．
6．（2023秋·河南駐馬店·七年級統考期末）如圖，已知，以點為頂點作直角，以點為端點作一條射線．通過折疊的方法，使與重合，點落在點處，所在的直線為折痕，若，則（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用角平分線的定義求出即可解決問題．
【詳解】解：平分，，
，，，
，，故選：C．
【點睛】本題考查角的和差定義，角平分線的定義等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
7．（2023春·北京海淀·七年級校考期中）如圖，直線，相交于點，分別作，的平分線，．，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據角平分線定義得，，再根據得出答案．
【詳解】∵，平分，，∴，，
∴．故選：D．
【點睛】本題主要考查了角平分線定義，平角的定義，掌握各角之間的數量關系是解題的關鍵．
8．（2023秋·廣西崇左·七年級統考期末）如圖，是內的一條射線，平分，平分，，則的度數為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據平分，平分，可得，，從而得到，即可求解．
【詳解】解：∵平分，∴，∵平分，∴，
∴，
∵，∴．故選：B
【點睛】本題主要考查了有關角平分線的計算，根據題意得到是解題的關鍵．
9．（2023秋·江蘇徐州·七年級校考期末）如圖，點M在線段AN的延長線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點、；第二次操作：分別取線段和的中點，；第三次操作：分別取線段和的中點，；…連續這樣操作2023次，則每次的兩個中點所形成的所有線段之和（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據，分別為的中點，求出的長度，再由的長度求出的長度，找到的規律即可求出的值．
【詳解】解：∵，分別為的中點，
∴，
∵分別為的中點，
∴，
∵分別為的中點，
∴，……
由此可得：，
，故選C．
【點睛】本題考查線段中點的有關計算，有理數的簡便運算，相對較難，根據題意找出規律是解題的關鍵．
10．（2023秋·山西大同·七年級統考期末）在的內部作射線，射線把分成兩個角，分別為和，若或，則稱射線為的三等分線．若，射線為的三等分線，則的度數為（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根據題意得出或，再根據角之間的數量關系，得出，綜合即可得出答案．
【詳解】解：∵，射線為的三等分線．
∴或，
∴，∴的度數為或．故選：C．
【點睛】本題考查了角度的計算，理解題意，分類討論是解本題的關鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2022秋·北京西城·七年級統考期末）如圖，是線段的中點，點在線段上，是線段的中點．若，，則的長為 ．
【答案】3
【分析】根據中點的定義求出，，再由，可得出答案．
【詳解】，是線段的中點，，，
又為的中點，，，
．故答案為：3
【點睛】本題考查兩點間的距離，解答本題的關鍵是掌握線段中點的定義，注意數形結合思想的運用．
12．（2023·四川達州·七年級校考期末）在直線上取，兩點，使，再在直線上取一點，使，，分別是，的中點，則 ．
【答案】或
【分析】分情況討論點在線段上，點在線段的反向延長線上，即可求解．
【詳解】由題意知點的位置有兩種情況，
①點在線段上，
，，，分別是，的中點，
，，
，
②點在線段的反向延長線上時，由①得，
，
或．故答案為：或．
【點睛】本題考查線段中點的有關計算，解題的關鍵是分情況討論點在線段上，點在線段外兩種情況．
13．（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級校考期中）如圖，點為線段上一點，為中點，為中點，為中點，若，則的長為 ．

【答案】
【分析】設，則，故，，根據列出方程計算即可．
【詳解】∵為中點，為中點，為中點，，
∴，，，
∴，設，則，
故，，
∴，解得，故，故答案為：．
【點睛】本題考查了線段的中點，一元一次方程，熟練掌握定義，靈活用一元一次方程是解題的關鍵．
14．（2023秋·湖北七年級課時練習）如圖，已知，，平分，平分，則的度數是 ．

【答案】
【分析】由角的和差關系可得，根據角的平分線的行醫可得，，結合即可求解．
【詳解】解：∵，，∴，
∵平分，平分，∴，，
∴，故答案為：．
【點睛】本題考查了角平分線定義和角的有關計算，關鍵是求出、、的度數和得出．
15．（2023秋·廣東湛江·七年級統考期末）如圖所示，、分別是、的平分線，且，則的度數是 ．
【答案】
【分析】利用角的平分線的性質計算．
【詳解】解：∵是的平分線，，∴，
又∵是的平分線，∴，故答案為：．
【點睛】本題考查與角平分線有關的角的計算．解題的關鍵是先找出角與角之間的關系，再運算．
16．（2022秋·海南三亞·七年級統考期末）已知，在同一平面內過點作射線，平分，平分，的度數為 ．
【答案】或
【分析】分在內部或在外部兩種情況，根據角平分線的定義得出，，由，結合的度數求解即可．
【詳解】解：當在內部時，如圖所示：
射線平分，射線平分，，，
，，
，；
當當在內部時，如圖所示：
射線平分，射線平分，，，
，，
，；
綜上分析可知，的度數為或．故答案為：或．
【點睛】本題主要考查角平分線的定義，掌握角平分線的定義，注意分類討論，是解題的關鍵．
17．（2022秋·山東·七年級專題練習）如圖，在∠AOB的內部有3條射線OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝∠BOC，∠BOD＝∠AOB，則∠DOE＝ °．（用含n的代數式表示）
【答案】
【分析】根據角的和差即可得到結論．
【詳解】解：∵∠BOE=∠BOC，∴∠BOC=n∠BOE，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°+n∠BOE，∴∠BOD=∠AOB=+∠BOE，
∴∠DOE=∠BOD-∠BOE=，故答案為：．
【點睛】本題考查了角的計算，正確的識別圖形是解題的關鍵．
18．（2023春·天津濱海新·七年級校考期中）如圖，為直線上一點，，平分，平分，平分，下列結論：；與互補；；．請你把所有正確結論的序號填寫在橫線上 ．

【答案】
【分析】設，則，，由角平分線的定義得出，，，然后再逐項分析即可得到答案．
【詳解】解：設，
，，
，，
平分，平分，平分，
，，，
，故正確，符合題意；
，
度數未知，與不一定互補，故錯誤，不符合題意；
，故正確，符合題意；
，，
，故正確，符合題意；
綜上所述，正確的有：，故答案為：．
【點睛】本題主要考查的是補角和余角的計算，角平分線的定義，熟練掌握角平分線的定義是解題的關鍵．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023春·江蘇連云港·七年級校考開學考試）如圖，點C是線段上的一點，M是的中點，N是的中點．(1)若，，求的長度；(2)若，求的長度．
【答案】(1)4(2)m
【分析】（1）根據線段中點的定義即可得到結論；
（2）根據線段中點的定義和線段的和差即可得到結論．
【詳解】（1）解：∵M是的中點，，∴，
∵N是的中點，，∴；∴；
（2）解：∵M是的中點，N是的中點，∴，，
∵，∴．
20．（2023秋·湖北襄陽·七年級統考期末）如圖，已知B，C在線段上，，，．(1)圖1中共有___________條線段；(2)①比較線段的長短： ___________（填：“”、“”或“”）；②如圖2，若M是的中點，N是的中點，求的長度．
(3)點E在直線上，且，請直接寫出的長．
【答案】(1)6；(2)①；②；(3)的長為或．
【分析】（1）根據圖1即可得到答案；（2）①根據，，，即可得到結論；②根據線段的和差以及線段中點的定義，即可求出的長度；（3）先求出，然后進行分類討論：①點E在線段的延長線上；②點E在線段的延長線上，分別計算即可得到答案．
【詳解】（1）解：以A為端點的線段：、、，共3條；
以B為端點的線段：、，共2條；以C為端點的線段：，共1條，
圖1中共有的線段條數為，故答案為：6；
（2）解：①，，
又，，故答案為：；
②，，，
M是的中點，N是的中點，，，
；
（3）解：，， ，
，，
①如圖，當點E在線段的延長線上時，
，；
②如圖，當點E在線段的延長線上時，
，
綜上可知，的長為或．
【點睛】本題考查了兩點間的距離，線段的和差關系，線段中點的定義，準確找出線段之間的數量關系是解題關鍵，注意進行分類討論．
21．（2023秋·河南南陽·七年級統考期末）（1）如圖1，已知線段的長為，點P是線段上的任一點，且C、D分別是、的中點，求線段的長．
（2）若點P在線段或線段的延長線上，如圖2、3所示，且C、D分別是、的中點，則線段的長還與（1）中所求線段的長相等了嗎？請分別就圖2和圖3的情況進行說明．
【答案】（1）；（2）相等，理由見解析
【分析】（1）由線段中點的含義可得，，再由線段的和差可得答案；
（2）①當點P在線段AB的延長線上時，由中點含義可得，，結合，可得答案；②當點P在線段的延長線上時，由中點含義可得，，結合，從而可得答案．
【詳解】解：（1）∵C、D分別是、的中點，
∴，，∴，
∵，∴；
（2）線段CD的長還與（1）中所求線段CD的長相等，理由：
①當點P在線段AB的延長線上時，
∵C、D分別是、的中點，∴，，
∴，
∵，∴，
②當點P在線段的延長線上時，
∵C、D分別是、的中點，∴，，
∴，
∵，∴，
綜上，線段的長還與（1）中所求線段的長相等，均等于．
【點睛】本題考查的是線段的中點的含義，線段的和差運算，利用數形結合的方法解題是關鍵．
22．（2022春·黑龍江哈爾濱·七年級校考期中）已知：射線在的內部，射線是的平分線，射線是的平分線．(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，當A、O、B在一條直線上時， 。
(3)在（2）的條件下，，射線與射線夾角是求，的度數．

【答案】(1)見解析；(2)；(3) 或
【分析】（1）直接利用角平分線的定義得出，再相加即可得出答案；（2）由（1）結論進行計算即可；（3）先求出，再分當射線在射線下方時與當射線在射線上方時兩種情況求解即可．
【詳解】（1）證明：∵射線OM是∠AOC的平分線，射線ON是∠BOC的平分線，
∴，
∴；
（2）當A、O、B在一條直線上時，由（1）得：
，故答案為：；
（3）∵，，∴，
∵，∴，∴，
當射線在射線下方時，，
當射線在射線上方時，，
或
【點睛】本題考查了余角與補角、角平分線的定義，鄰補角的定義，正確把握角平分線的定義是解題關鍵．
23．（2023春·山東泰安·七年級統考期中）探究題：如圖①，已知線段，點C為線段上的一個動點，點D、E分別是和的中點．

(1)若點C恰好是中點，則______；(2)若，求的長；(3)試利用“字母代替數”的方法，設，試說明不論a取何值（a不超過），的長不變；
(4)知識遷移，如圖②，已知，過角的內部任一點C畫射線．若、分別平分和，試說明與射線的位置無關．
【答案】(1)8(2)(3)見解析(4)見解析
【分析】（1）根據線段中點的定義求解，即可得到答案；
（2）先求得，再根據線段中點的定義求解，即可得到答案；
（3）先求得，再根據線段中點的定義求解，即可得到答案；
（4）設，則，再根據角平分線的定義，求出和的大小，即可得到答案．
【詳解】（1）解：，點C是中點，，
點D、E分別是和的中點，，，
，故答案為：8；
（2）解：，，，
又為中點，為中點，
，，；
（3）解：，，，
又為中點，為中點，，，
，
不論a取何值（a不超過），的長不變；
（4）解：設，，，
平分，平分，，，
，
與位置無關．
【點睛】本題考差了線段中點，角平分線，利用相關定義找出數量關系是解題關鍵．
24．（2023秋·福建泉州·七年級校考期末）【概念與發現】
當點C在線段AB上，時，我們稱n為點C在線段AB上的“點值”，記作．
例如，點C是AB的中點時，即，則；
反之，當時，則有．
因此，我們可以這樣理解：“”與“”具有相同的含義．
(1)【理解與應用】
如圖，點C在線段AB上．若，，則________；若，則________．
(2)【拓展與延伸】
已知線段，點P以1cm/s的速度從點A出發，向點B運動．同時，點Q以3cm/s的速度從點B出發，先向點A方向運動，到達點A后立即按原速向點B方向返回．當P，Q其中一點先到達終點時，兩點均停止運動．設運動時間為t（單位：s）．
①小王同學發現，當點Q從點B向點A方向運動時，的值是個定值，求m的值；
②t為何值時，．
【答案】(1)，(2)①；②1或8
【分析】（1）根據“點值”的定義得出答案；
（2）①設運動時間為，再根據的值是個定值即可求出的值；②分點從點向點方向運動時和點從點向點方向運動兩種情況分析即可．
【詳解】（1）解：，，，，
，，，
∴故答案為：，；
（2）①設運動時間為，則，，
根據“點值”的定義得：，，
的值是個定值，
的值是個定值，；
②當點從點向點方向運動時，
，，；
當點從點向點方向運動時，
，，，
的值為1或8．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，理解新定義并能運用是本題的關鍵．
25．（2023秋·江蘇七年級課時練習）如圖，，平分，平分．

(1)若，求的度數；(2)設，能否求出的度數？若能，請求出其值；若不能，請說明理由；(3)若將題干中“”改為“（）”，其他條件不變，設，請用含的式子表示的度數
【答案】(1)(2)能，(3)
【分析】（1）可求，從而可求，，接可求解；（2）可求，從而可求，，接可求解；（3）可求而可求，，接可求解．
【詳解】（1）解：因為，， 所以，
因為平分，平分，所以，
，所以，故的度數．
（2）解：能；
因為，， 所以，
因為平分，平分，所以，
，所以，
故的度數．
（3）解：因為，， 所以，
因為平分，平分，所以，
，所以，
故的度數．
【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，角的和差運算，理解定義，正確運算是解題的關鍵．
26．（2022春·江蘇七年級月考）根據要求，回答下列問題：
(1)如圖①，，是的平分線，，分別平分，，求的度數．(2)如圖②，在（1）中，把“是的平分線”改為“是內任意一條射線”，其他條件都不變，試求的度數．(3)如圖③，在（1）中，若把“是的平分線”改為“是外任意一條射線”，其他條件都不變，能否求出的度數？請說明理由．(4)在（2）（3）中，若把“”改為“”，其他條件不變，的度數是多少？請直接寫出結論．
【答案】(1)(2)(3)能，理由見解析(4)
【分析】（1）根據角平分線的定義求出結果即可；（2）根據，分別平分，，得出，，即可得出答案；（3），分別平分，，得出，，根據求出結果；（4）分情況討論，當是內任意一條射線時，當是外任意一條射線時，求出結果，最后得出結論即可．
【詳解】（1）解：∵是的平分線，∴，
∵，分別平分，，
∴，，
∴．
（2）解：∵，分別平分，，
∴，，
∴．
（3）解：能，理由如下：
∵，分別平分，，∴，，
∴．
（4）解：當是內任意一條射線時，
∵，分別平分，，∴，，
∴；
當是外任意一條射線時，
∵，分別平分，，∴，，
∴；
綜上分析可知，．
【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，幾何圖形中的角度計算，解題的關鍵是熟練掌握角平分線的定義，數形結合．
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專題6.10 線段雙中點模型與雙角平分線模型
模塊1：學習目標
1、熟練掌握線段的雙中點模型；
2、熟練掌握雙角平分線模型；
模塊2：知識梳理
對于剛接觸幾何的七年級學生來說，關于線段或角的計算是有很大難度的，這就要求學生面對這類題時具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般來講，這類題通常由問題出發，先由線段和差或角的和差確定解題方向，然后輔以線段中點或角平分線來解決。
但是，對于有公共部分的雙中點線段或雙角平分線模型，可以寫出的線段和差或角的和差種類較多，這就增加了思考的難度。如果掌握了這兩個模型的結論，那就可以快速選取正確的線段和差或角的和差，迅速解題，如果是填空選擇，則可以直接口算出答案。
模塊3：核心考點與典例
模型1. 線段的雙中點模型
圖1 圖2
1）雙中點模型（兩線段無公共部分）
條件：如圖1，已知A、B、C三點共線，D、E分別為AB、BC中點，結論：.
2）雙中點模型（兩線段有公共部分）
條件：如圖2，已知A、B、C三點共線，D、E分別為AB、BC中點，結論：.
例1．（2022秋·河南新鄉·七年級校考期末）如圖，已知線段，，若點M，N分別為，的中點，則（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022秋·重慶梁平·七年級統考期末）已知線段，點是線段上的一個動點，點分別是和的中點．則的長為（ ）
A．3 B．3.5 C．5 D．6
例3．（2022秋·河南鄭州·七年級校考期中）如圖，已知線段，是的中點，是線段上一點，為的中點，，則線段 ．
例4．（2022秋·浙江湖州·七年級統考期末）如圖，已知線段，延長線段至點，使得．點為線段的中點，點為線段的中點．(1)若，求線段的長；(2)若，求的值．
例5．（2023春·山東威海·七年級統考期中）如圖，點B在線段AC上，，分別是的中點．對于結論：①；②B是的中點；③；④．其中正確的個數為（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
例6．（2022秋·江蘇淮安·七年級統考期末）線段，是的中點，是的中點，是的中點，是的中點，依此類推……，線段的長為 ．
例7．（2022·陜西西安·七年級校考期末）直線上有三點，，，點為線段的中點，點為線段的中點.若，，則的長為（ ）．
A． B． C．或 D．或
例8．（2023秋·河南南陽·七年級校考期末）如圖，已知線段，，是線段的中點，是線段的中點．
(1)若，求線段的長度．(2)當線段在線段上從左向右或從右向左運動時，試判斷線段的長度是否發生變化，如果不變，請求出線段的長度；如果變化，請說明理由．
例9．（2022·陜西商洛·七年級統考期末）如圖，點C在線段上，點M、N分別是的中點．(1)若，求線段MN的長；(2)若C為線段上任一點，滿，其它條件不變，你能猜想的長度嗎？寫出你的結論并說明理由；(3)若點C在線段的延長線上，且滿足，M、N分別為的中點，你能猜想的長度嗎？請畫出圖形并寫出你的結論（不必說明理由）．
例10．（2022春·湖南株洲·七年級統考期末）材料閱讀：當點在線段上，且時，我們稱為點在線段上的點值，記作．如點是的中點時，則，記作；反過來，當時，則有．因此，我們可以這樣理解：與具有相同的含義．
初步感知：
(1)如圖1，點在線段上，若，則__________；若，則____________；
(2)如圖2，已知線段，點、分別從點和點同時出發，相向而行，運動速度均為，當點到達點時，點、同時停止運動，設運動時間為，請用含有的式子表示和，并判斷它們的數量關系．
拓展運用：(3)已知線段，點、分別從點和點同時出發，相向而行，若點、的運動速度分別為和，點到達點后立即以原速返回，點到達點時，點、同時停止運動，設運動時間為．則當為何值時，等式成立．
模型2. 雙角平分線模型
圖1 圖2 圖3
1）雙角平分線模型（兩個角無公共部分）
條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結論：.
2）雙角平分線模型（兩個角有公共部分）
條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結論：.
3）拓展模型：雙角平分線模型（三個角圍成一個周角）
條件：如圖3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；
結論：.
例1．（2023春·山東菏澤·七年級統考期末）如圖，平分，平分，，，（ ）

A． B． C． D．
例2．（2023秋·河北滄州·七年級統考期末）如圖所示，OC是平分線，OD是的平分線，則下列各式中正確的是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2022秋·黑龍江大慶·七年級校考期末）如圖，是的平分線，射線在內部，是的平分線，已知，那么的大小等于 °．
例4．（2023秋·湖北武漢·七年級統考期末）如圖，是內部一條射線，是的平分線，是的平分線，是的平分線，是的平分線，則 ．
例5．（2023·河南·七年級校聯考期末）如圖，分別是和的平分線，分別是和的平分線，分別是和的平分線，…，分別是和的平分線，則的度數是 ．

例6．（2023秋·山西太原·七年級校考期末）如圖，，在的內部，在的內部，是的一三等分線，若，則的度數為 ．

例7．（2023秋·重慶萬州·七年級統考期末）平面內，，C為內部一點，射線平分，射找平分，射線平分，當時，求的度數？
例8．（2023秋·江蘇無錫·七年級校考期末）解答題：(1)如圖，若， ，、分別平分、，求的度數；
(2)若，是平面內兩個角，， ，、分別平分、，求的度數．（用含、的代數式表示）
例9．（2023春·山東濟南·七年級統考期末）解答下列問題
如圖1，射線在的內部，圖中共有3個角：和，若其中有一個角的度數是另一個角度數的兩倍，則稱射線是的“巧分線”．(1)一個角的平分線 這個角的“巧分線”，（填“是”或“不是”）．(2)如圖2，若，且射線是的“巧分線”，則 （表示出所有可能的結果探索新知）．(3)如圖3，若，且射線是的“巧分線”，則 （用含α的代數式表示出所有可能的結果）．

模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：60分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023秋·湖北武漢·七年級校聯考期末）如圖，點A，B，C順次在同一直線上，點M是線段的中點，點N是線段的中點．若想求出的長度，那么只需添加條件（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·海南·七年級統考期末）如圖，已知線段cm，為直線上一點，且cm，，分別是、的中點，則等于（　　）cm．
A．13 B．12 C．10或8 D．10
3．（2023秋·福建泉州·七年級統考期末）在直線上任取一點A，截取，再截取，則的中點與的中點之間的距離為（ ）
A． B． C．或 D．或
4．（2023秋·海南·七年級統考期末）已知線段，點是直線上一點，，若是的中點，是的中點，則線段的長度是（ ）
A． B． C．或 D．或
5．（2023秋·江西上饒·七年級統考期末）如圖，C、D是線段上兩點，M、N分別是線段的中點，下列結論：①若，則；②若，則；③；④．
其中正確的結論是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
6．（2023秋·河南駐馬店·七年級統考期末）如圖，已知，以點為頂點作直角，以點為端點作一條射線．通過折疊的方法，使與重合，點落在點處，所在的直線為折痕，若，則（ ）．

A． B． C． D．
7．（2023春·北京海淀·七年級校考期中）如圖，直線，相交于點，分別作，的平分線，．，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023秋·廣西崇左·七年級統考期末）如圖，是內的一條射線，平分，平分，，則的度數為（ ）．
A． B． C． D．
9．（2023秋·江蘇徐州·七年級校考期末）如圖，點M在線段AN的延長線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點、；第二次操作：分別取線段和的中點，；第三次操作：分別取線段和的中點，；…連續這樣操作2023次，則每次的兩個中點所形成的所有線段之和（ ）
A． B． C． D．
10．（2023秋·山西大同·七年級統考期末）在的內部作射線，射線把分成兩個角，分別為和，若或，則稱射線為的三等分線．若，射線為的三等分線，則的度數為（　　）
A． B． C．或 D．或
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2022秋·北京西城·七年級統考期末）如圖，是線段的中點，點在線段上，是線段的中點．若，，則的長為 ．
12．（2023·四川達州·七年級校考期末）在直線上取，兩點，使，再在直線上取一點，使，，分別是，的中點，則 ．
13．（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級校考期中）如圖，點為線段上一點，為中點，為中點，為中點，若，則的長為 ．

14．（2023秋·湖北七年級課時練習）如圖，已知，，平分，平分，則的度數是 ．

15．（2023秋·廣東湛江·七年級統考期末）如圖所示，、分別是、的平分線，且，則的度數是 ．
16．（2022秋·海南三亞·七年級統考期末）已知，在同一平面內過點作射線，平分，平分，的度數為 ．
17．（2022秋·山東·七年級專題練習）如圖，在∠AOB的內部有3條射線OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝∠BOC，∠BOD＝∠AOB，則∠DOE＝ °．（用含n的代數式表示）
18．（2023春·天津濱海新·七年級校考期中）如圖，為直線上一點，，平分，平分，平分，下列結論：；與互補；；．請你把所有正確結論的序號填寫在橫線上 ．

三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023春·江蘇連云港·七年級校考開學考試）如圖，點C是線段上的一點，M是的中點，N是的中點．(1)若，，求的長度；(2)若，求的長度．
20．（2023秋·湖北襄陽·七年級統考期末）如圖，已知B，C在線段上，，，．(1)圖1中共有___________條線段；(2)①比較線段的長短： ___________（填：“”、“”或“”）；②如圖2，若M是的中點，N是的中點，求的長度．
(3)點E在直線上，且，請直接寫出的長．
21．（2023秋·河南南陽·七年級統考期末）（1）如圖1，已知線段的長為，點P是線段上的任一點，且C、D分別是、的中點，求線段的長．
（2）若點P在線段或線段的延長線上，如圖2、3所示，且C、D分別是、的中點，則線段的長還與（1）中所求線段的長相等了嗎？請分別就圖2和圖3的情況進行說明．
22．（2022春·黑龍江哈爾濱·七年級校考期中）已知：射線在的內部，射線是的平分線，射線是的平分線．(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，當A、O、B在一條直線上時， 。
(3)在（2）的條件下，，射線與射線夾角是求，的度數．

23．（2023春·山東泰安·七年級統考期中）探究題：如圖①，已知線段，點C為線段上的一個動點，點D、E分別是和的中點．

(1)若點C恰好是中點，則______；(2)若，求的長；(3)試利用“字母代替數”的方法，設，試說明不論a取何值（a不超過），的長不變；
(4)知識遷移，如圖②，已知，過角的內部任一點C畫射線．若、分別平分和，試說明與射線的位置無關．
24．（2023秋·福建泉州·七年級校考期末）【概念與發現】
當點C在線段AB上，時，我們稱n為點C在線段AB上的“點值”，記作．
例如，點C是AB的中點時，即，則；
反之，當時，則有．
因此，我們可以這樣理解：“”與“”具有相同的含義．
(1)【理解與應用】
如圖，點C在線段AB上．若，，則________；若，則________．
(2)【拓展與延伸】
已知線段，點P以1cm/s的速度從點A出發，向點B運動．同時，點Q以3cm/s的速度從點B出發，先向點A方向運動，到達點A后立即按原速向點B方向返回．當P，Q其中一點先到達終點時，兩點均停止運動．設運動時間為t（單位：s）．
①小王同學發現，當點Q從點B向點A方向運動時，的值是個定值，求m的值；
②t為何值時，．
25．（2023秋·江蘇七年級課時練習）如圖，，平分，平分．
(1)若，求的度數；(2)設，能否求出的度數？若能，請求出其值；若不能，請說明理由；(3)若將題干中“”改為“（）”，其他條件不變，設，請用含的式子表示的度數

26．（2022春·江蘇七年級月考）根據要求，回答下列問題：
(1)如圖①，，是的平分線，，分別平分，，求的度數．(2)如圖②，在（1）中，把“是的平分線”改為“是內任意一條射線”，其他條件都不變，試求的度數．(3)如圖③，在（1）中，若把“是的平分線”改為“是外任意一條射線”，其他條件都不變，能否求出的度數？請說明理由．(4)在（2）（3）中，若把“”改為“”，其他條件不變，的度數是多少？請直接寫出結論．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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