資源簡介

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專題6.11 線段中的動態模型
模塊1：學習目標
線段中的動態模型一直都是一大難點和常考點，它經常以壓軸題的形式出現。考查樣式也是很豐富，和平時所學的內容結合在一起考。本專題就線段中的動態模型（與中點、和差倍分結合的動點問題；存在性（探究性）問題；閱讀理解（新定義）等）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。
模塊2：知識梳理
1、在與線段長度有關的問題中，常會涉及線段較多且關系較復雜的問題，而且題中的數據無法直接利用，常設未知數列方程。
2、線段的動態模型解題步驟：
1）設入未知量t表示動點運動的距離； 2）利用和差（倍分）關系表示所需的線段；
3）根據題設條件建立方程求解； 4）觀察運動位置可能的情況去計算其他結果。
模塊3：核心模型與典例
模型1、線段中點、和差倍分關系中的動態模型
例1．（2022·重慶七年級期末）如圖，在數軸上點表示的數為，點表示的數為，點表示的數為，是最大的負整數，且，滿足．點從點出發以每秒3個單位長度的速度向左運動，到達點后立刻返回到點，到達點后再返回到點并停止．
（1）________，________，________．
（2）點從點離開后，在點第二次到達點的過程中，經過秒鐘，，求的值．（3）點從點出發的同時，數軸上的動點，分別從點和點同時出發，相向而行，速度分別為每秒4個單位長度和每秒5個單位長度，假設秒鐘時，、、三點中恰好有一個點是另外兩個點的中點，請直接寫出所有滿足條件的的值．
【答案】（1），，；（2）或或或；（3），1，，8，12
【分析】（1）根據b為最大的負整數可得出b的值，再根據絕對值以及偶次方的非負性即可得出a、c的值；
（2）由題意知，依次求出PC、PB的長，再進行分類討論即可：當從到時，當從到時，當從到時，三種情況分類討論．
（3）以點從為PN中點時，當0【詳解】解：（1）∵是最大的負整數，且，滿足，
∴b=-1，a+3=0，c-9=0，∴a=-3，c=9．故答案為：-3；-1；9．
（2）由題意知，此過程中，當點P在AB上時．
∴PA+PB=AB=b-a=-1-(-3)=2∴．
又∵BC=c-b=9-(-1)=10．∴PB=PC-BC=11-10=1．
當從到時，如圖所示：∵PB=1，可以列方程為：3x=1，解得：x=1；
當從到時，分兩種情況討論：①當P在線段AB之間時，如圖所示：
可以列方程為：3x=3,解得：x=1，
②當P在線段BC之間時，如圖所示：
∵PA+PB+PC=13，AB=2，BC=10，∵PB+PC=10∴PA=13-10=3，∴PB=PA-AB=3-2=1，
可列方程為：3x=5解得：．
當從到時，如圖所示：
可列方程為：3x=23，解得：．綜上所述，或或或．
（3）當點從為PN中點時，當0（-1-3t）+（9-5t）=2（-3+4t），解得t= （舍去）．
當≤t≤時，點P從A返回向B運動．此時，P=-3+3（t-）=3t-5．3t-5+9-5t=2（-3+4t），解得t=1．
當P為MN中點時，t>．（9-5t）+（-3+4t）=2（3t-5），解得t= ．
當點N為PM中點時，t>．（-3+4t）+（3t-5）=2（9-5t）,解得t=．
綜上所述，t的值為1， 或．
【點睛】本題主要考查了數軸及兩點間的距離，解題的關鍵是利用數軸的特點能求出兩點間的距離．
例2．（2022·江蘇蘇州·七年級期末）如圖所示．點A，B，C是數軸上的三個點，且A，B兩點表示的數互為相反數，，．
(1)點A表示的數是______；(2)若點P從點B出發沿著數軸以每秒2個單位的速度向左運動，則經過______秒時，點C恰好是BP的中點；(3)若點Q從點A出發沿著數軸以每秒1個單位的速度向右運動，線段QB的中點為M，當時，則點Q運動了多少秒？請說明理由．
【答案】(1)-6(2)8(3)秒或秒
【分析】（1）根據，且，兩點表示的數互為相反數，直接得出即可；
（2）設經過秒點是的中點，根據題意列方程求解即可；
（3）設點運動了秒時，分情況列方程求解即可．
（1）AB=12，且，兩點表示的數互為相反數，點表示的數是，故答案為：；
（2）AB=12，，，，設經過秒點是的中點，
根據題意列方程得，解得，故答案為：8；
（3）設點運動了秒時，
①當點在點左側時，即，根據題意列方程得，解得；
②當點在點右側時，即，根據題意列方程得，解得；
綜上，當運動了秒或秒時．
【點睛】本題主要考查一元一次方程的知識，熟練根據題中等量關系列方程求解是解題的關鍵．
例3．（2023秋·河北唐山·七年級統考期末）操作與探究：
（1）已知：如圖線段長為，點從點A以的速度向點運動，點運動時間為，則______，______
（2）已知：如圖，在長方形中，，，動點以的速度從A點沿著運動，運動時間為，用含的式子表示______
拓展與延伸：（3）已知：如圖，在（2）的基礎上，動點從點出發，沿著線段向點運動，速度為，、同時出發，運動時間為．其中一點到達終點，另一個點也停止運動．當點在上運動時，為何值時，？
【答案】（1）；；（2）或；（3）11或13
【分析】(1)根據點P運動的速度及的長，即可解答；
(2)根據點P運動的速度及、的長，即可解答；
(3)分兩種情況，列出方程即可分別求解．
【詳解】解：（1）線段長為，點從點A以的速度向點運動，
，，故答案為：，；
（2），，動點以的速度從A點沿著運動，
當點P在上時，，當點P在上時，，
故答案為：或；
（3）當點在點的左邊時，，即，，解得，
當點在點的右側時，，，解得，故為11或13時，．
【點睛】本題考查了動點問題，列代數式，一元一次方程的應用，采用分類討論的思想是解決本題的關鍵．
模型2、線段上動點問題中的存在性（探究性）模型
例1．（2022·湖北武漢·七年級期末）已知線段AB＝m，CD＝n，線段CD在直線AB上運動（A在B的左側，C在D的左側），且m，n滿足|m－12|＋（n－4）2＝0.
（1）m＝ 　，n＝ 　；（2）點D與點B重合時，線段CD以2個單位長度/秒的速度向左運動．
①如圖1，點C在線段AB上，若M是線段AC的中點，N是線段BD的中點，求線段MN的長；
②P是直線AB上A點左側一點，線段CD運動的同時，點F從點P出發以3個單位/秒的向右運動，點E是線段BC的中點，若點F與點C相遇1秒后與點E相遇．試探索整個運動過程中，FC－5DE是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．
【答案】（1）m=12，n= 4； （2）① MN=8，②在整個運動的過程中，FC-5 DE的值為定值，且定值為0．
【分析】（1）由絕對值和平方的非負性，即可求出m、n的值；（2）①由題意，則MN=CM+CD+DN，根據線段中點的定義，即可得到答案；②設PA=a，則PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情況進行分析，求出每一種的值，即可得到答案．
【詳解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，
∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案為：12；4．
（2）由題意，①∵AB=12，CD=4，
∵M是線段AC的中點，N是線段BD的中點 ∴AM=CM=AC ，DN=BN=BD
∴MN=CM+CD+DN=AC +CD+BD=AC +CD+BD+CD=(AC +CD+BD)+CD=(AB +CD)=8；
②如圖，設PA=a，則PC=8+a，PE=10+a，
依題意有： 解得：a=2
在整個運動的過程中：BD=2t，BC=4+2t，
∵E是線段BC的中點 ∴CE= BE=BC=2+t；
Ⅰ．如圖1，F，C相遇，即t=2時
F，C重合，D，E重合，則FC=0，DE=0 ∴FC-5 DE =0；
Ⅱ．如圖2，F，C相遇前，即t<2時
FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t ∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0；
Ⅲ．如圖3，F，C相遇后，即t＞2時
FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2 ∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0；
綜合上述：在整個運動的過程中，FC5 DE的值為定值，且定值為0．
【點睛】本題考查了線段中點的定義，線段的和差倍分的關系，一元一次方程的應用，絕對值的非負性等知識，解題的關鍵是熟練掌握線段的中點定義進行解題，注意運用分類討論的思想進行分析．
例2．（2022·四川·成都實外七年級開學考試）已知線段AB＝m（m為常數），點C為直線AB上一點，點P、Q分別在線段BC、AC上，且滿足CQ＝2AQ，CP＝2BP．
（1）如圖，若AB＝6，當點C恰好在線段AB中點時，則PQ＝　 　；
（2）若點C為直線AB上任一點，則PQ長度是否為常數？若是，請求出這個常數；若不是，請說明理由；
（3）若點C在點A左側，同時點P在線段AB上（不與端點重合），線段AP、CQ、PQ有怎樣的數量關系？請寫出你的結論，并說明你的理由．
【答案】（1）4；（2）PQ是一個常數，即是常數m；（3）2PQ﹣2AP=CQ，見解析．
【分析】（1）根據已知AB＝6，CQ＝2AQ，CP＝2BP，以及線段的中點的定義解答；
（2）由題意根據已知條件AB＝m（m為常數），CQ＝2AQ，CP＝2BP進行分析即可；
（3）根據題意，畫出圖形，求得2AP﹣2PQ+CQ＝0，即可得出2PQ﹣2AP=CQ．
【詳解】解：（1）∵CQ＝2AQ，CP＝2BP∴CQ＝AC，CP＝BC，
∵點C恰好在線段AB中點，∴AC＝BC＝AB，
∵AB＝6，∴PQ＝CQ+CP＝AC+BC＝×AB+×AB＝×AB＝×6＝4；故答案為：4；
（2）①點C在線段AB上：
∵CQ＝2AQ，CP＝2BP∴CQ＝AC，CP＝BC，
∵AB＝m（m為常數），∴PQ＝CQ+CP=AC+BC＝×（AC+BC）＝AB=m；
②點C在線段BA的延長線上：
∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，∴CQ＝AC，CP＝BC，
∵AB＝m（m為常數），∴PQ＝CP﹣CQ＝BC﹣AC＝×（BC﹣AC）＝AB＝m；
③點C在線段AB的延長線上：
∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，∴CQ＝AC，CP＝BC，
∵AB＝m（m為常數）∴PQ＝CQ﹣CP＝AC﹣BC＝×（AC﹣BC）＝AB＝m；
故PQ是一個常數，即是常數m；
（3）如圖：
∵CQ＝2AQ，
∴2AP+CQ﹣2PQ＝2AP+CQ﹣2（AP+AQ）＝2AP+CQ﹣2AP﹣2AQ＝CQ﹣2AQ＝2AQ﹣2AQ＝0，
∴2PQ﹣2AP=CQ．
【點睛】本題主要考查線段上兩點間的距離，掌握線段的中點的性質、線段的和差運算是解題的關鍵．
模型3、閱讀理解型（新定義）模型
例1．（2022·江蘇淮安·七年級期末）【探索新知】
如圖1，點在線段上，圖中共有3條線段：、和，若其中有一條線段的長度是另一條線段長度的兩倍，則稱點是線段的“二倍點”.
（1）①一條線段的中點 這條線段的“二倍點”；（填“是”或“不是”）
②若線段，是線段的“二倍點”，則 （寫出所有結果）
【深入研究】如圖2，若線段，點從點的位置開始，以每秒2的速度向點運動，當點到達點時停止運動，運動的時間為秒.（2）問為何值時，點是線段的“二倍點”；
（3）同時點從點的位置開始，以每秒1的速度向點運動，并與點同時停止.請直接寫出點是線段的“二倍點”時的值.
【答案】（1）①是；②10或或；（2）5或或；（3）8或或
【分析】（1）①可直接根據“二倍點”的定義進行判斷；
②可分為三種情況進行討論，分別求出BC的長度即可；
（2）用含t的代數式分別表示出線段AM、BM、AB，然后根據“二倍點”的意義，分類討論得結果；
（3）用含t的代數式分別表示出線段AN、NM、AM，然后根據“二倍點”的意義，分類討論．
【詳解】解：（1）①因為線段的中點把該線段分成相等的兩部分，
該線段等于2倍的中點一側的線段長．∴一條線段的中點是這條線段的“二倍點”故答案為：是.
②∵，是線段的“二倍點”，
當時，；
當時，；
當時，；故答案為：10或或；
（2）當AM=2BM時，20-2t=2×2t，解得：t=；
當AB=2AM時，20=2×（20-2t），解得：t=5；
當BM=2AM時，2t=2×（20-2t），解得：t=；
答：t為或5或時，點M是線段AB的“二倍點”；
（3）當AN=2MN時，t=2[t-（20-2t）]，解得：t=8；
當AM=2NM時，20-2t=2[t-（20-2t）]，解得：t=；
當MN=2AM時，t-（20-2t）=2（20-2t），解得：t=；
答：t為或8或時，點M是線段AN的“二倍點”．
【點睛】本題考查了一元一次方程的解法、線段的和差等知識點，題目需根據“二倍點”的定義分類討論，理解“二倍點”是解決本題的關鍵．
例2．（2023秋·江蘇徐州·七年級校考期末）點是線段上一點，若（為大于1的正整數），則我們稱點是的最強點．例如，，，則，稱是的最強點；，則是的最強點．
(1)點在線段上，若，，點是的最強點，則______．
(2)若，是的最強點，則______．（用的代數式表示）
(3)一直線上有兩點，，，點從點出發，以每秒的速度向運動，運動到點時停止．點從點出發，以每秒的速度沿射線運動，為多少時，點，，恰好有一個點是其余2個點的最強點．（用的代數式表示）
【答案】(1)(2)(3)或或或或
【分析】（1）根據“最強點”的定義計算即可；（2）根據“最強點”的定義列式即可；
（3）將點、的運動分成未相遇，相遇后，點經過點后，和點到達點后四種階段討論，并且每個階段又有可能有2種不同的點的情況．
【詳解】（1）解：點是的最強點，，
，，，故答案為：；
（2）解：是的最強點，，，
又，，，
，故答案為；
（3）解：根據題意，當時、相遇，，解得，
階段一：點、未相遇時，即時，
①設時點為的最強點，，
，，，解得，
又，即，，
為大于1的正整數，不滿足題意，舍去；
②設時，點為的最強點，，
，，，解得，
又，即，，
為大于1的正整數，符合題意；
階段二：點、相遇后，且點未到達點，即時，
③設時，點為的最強點，，
，，，，
又，即，，
為大于1的正整數，符合題意；
④設時，點為的最強點，，
，，，，
又，即，，
∵n為大于1的正整數，符合題意；
階段三：點經過點后，且點未到達點，即時，
⑤設時，點為的最強點，，
，，，，
又，即，，符合題意；
⑥設時，點為的最強點，，
，，，，
又，即，，不符合題意，舍去；
階段四：點到達點后，即時，
，，點不可能為的最強點；
⑦設時，點為的最強點，
，，，，
又，即，，符合題意；
綜上所述，當為或或或或時，點，，恰好有一個點是其余2個點的最強點．
【點睛】本題考查了解一元一次方程，列一元一次方程解應用題，線段上的動點問題，運用分類討論的思想，正確地列出代數式表示出線段的長是解題的關鍵．
模塊4：同步培優題庫
全卷共26題 測試時間：60分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2022·山東煙臺·七年級期中）如圖線段，點在射線上從點開始，以每秒的速度沿著射線的方向勻速運動，則時，運動時間為（ ）
A．秒 B．3秒 C．秒或秒 D．3秒或6秒
【答案】C
【分析】根據題意可知，當PB=AB時，點P可以位于點B兩側，則通過分類討論問題可解．
【詳解】解：由已知當PB=AB時，PB=，設點P運動時間為t秒，則AP=2t
當點P在B點左側時2t+=8 解得t=，當點P在B點左側時2t-=8 解得t=
所以t=或t=．故選：C．
【點睛】本題考查一元一次方程以及分類討論的數學思想，解答時根據已知的線段數量關系構造方程．
2．（2023秋·廣東廣州·七年級統考期末）如圖，線段的長為6，點C為線段上一動點（不與A，B重合），D為中點，E為中點，隨著點C的運動，線段的長度為（　　）
A．不確定 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】C
【分析】由D為中點，E為中點得到，，進一步可得到的長度．
【詳解】解：∵D為中點，E為中點，∴，，
∴．故選：C
【點睛】此題考查了線段中點的相關計算，熟練掌握線段中點的定義是解題的關鍵．
3．（2023秋·江蘇·七年級專題練習）如圖，在數軸上，O是原點，點A表示的數是4，線段（點B在點C的左側）在直線上運動，且．下列說法正確的是（　　）
甲：當點B與點O重合時，；
乙：當點C與點A重合時，若P是線段延長線上的點，則；
丙：在線段運動過程中，若M，N為線段的中點，則線段的長度不變
A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙
【答案】D
【分析】甲：畫出圖形，利用線段的和差可判斷甲的說法；
乙：畫出圖形，設點P表示的數為x，則，可判斷乙的說法；
丙：設點B表示的數是m，則點C表示的數是，利用中點公式表示出M、N表示的數即可求解．
【詳解】甲：如圖1，當點B與點O重合時，
，故甲的說法錯誤；
乙：如圖2，當點C與點A重合時，
設點P表示的數為x，則，
∴，故乙的說法正確；
丙：點B表示的數是m，則點C表示的數是，
∵O是原點，點A表示的數是4，M，N為線段的中點，
∴點M表示的數是，點N表示的數是，
∴，故丙的說法正確．故選D．
【點睛】本題考查了數軸上兩點間的距離，線段中點的計算，整式的加減等知識，數形結合是解答本題的關鍵．
4．（2023·河南駐馬店·七年級校考期末）線段 ，點A從點M開始向點N以每秒1個單位長度的速度運動，點B從點N開始以每秒2個單位長度的速度向點M運動，當時，t的值為（ ）
A．秒 B．秒 C．12秒 D．秒或12秒
【答案】D
【分析】分A，B相遇前和相遇后兩種情況，列代數式表示出的長度，根據等量關系列一元一次方程，解方程即可．
【詳解】解：根據題意得，，當時，分兩種情況：
當A，B相遇前，，因此，解得；
當A，B相遇后，，因此，解得；
故當時，t的值為秒或12秒．故選D．
【點睛】本題考查線段的和差關系，一元一次方程的應用，解題的關鍵是注意分類討論．
5．（2022·廣東七年級課時練習）已知數軸上，點A表示的數是-2，點B在點A的右側8個單位長度處，動點M從點A出發，以每秒4個單位長度的速度沿數軸運動，動點N從點B出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸運動，已知點M，N同時出發，相向運動，運動時間為t秒．當時，運動時間t的值為（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】據題意，M表示的數為4t-2，N表示的數為6-3t，則MN=|6-3t -4t+2|，BM=6-4t+2，列式計算即可．
【詳解】根據題意，M表示的數為4t-2，N表示的數為6-3t，則MN=|6-3t -4t+2|，BM=6-4t+2，
∴8-7t=4-2t或7t-8=4-2t，解得t=或，故選C．
【點睛】本題考查了數軸上兩動點間的距離，用定數，運動距離表示動點表示的數是解題的關鍵．
6．（2022秋·河南周口·七年級統考期末）已知有理數，滿足：．如圖，在數軸上，點是原點，點所對應的數是，線段在直線上運動（點在點的左側），，
下列結論①，；②當點與點重合時，；
③當點與點重合時，若點是線段延長線上的點，則；
④在線段運動過程中，若為線段的中點，為線段的中點，則線段的長度不變．
其中正確的是（ ）
A．① B．①④ C．①②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】根據平方式和絕對值的非負性求出，，即可判斷①結論；根據點與點重合時，得到點表示的數為2，即可判斷②結論；設點對應的數是，根據數軸上兩點之間距離公式得出，，，即可判斷③結論；先根據數軸上兩點之間距離公式得到，再利用線段中點得到，即可判斷④結論．
【詳解】解：，，，，，①結論正確；
點所對應的數是，點所對應的數是4，，，
當點與點重合時，且點在點的左側，
點表示的數為2，，②結論錯誤；
當點與點重合時，點對應的數是4，點對應的數是2，
設點對應的數是，則，，，
，③結論正確；
，，，
為線段的中點，為線段的中點，
，，④結論正確，
結論正確的是①③④，故選D．
【點睛】本題考查了數軸的性質，解題關鍵是掌握數軸上兩點之間的距離公式，線段中點的含義．
7．（2022秋·安徽蚌埠·七年級校考階段練習）如圖，為射線上一點，，比的多，，兩點分別從，兩點同時出發．分別以單位秒和單位秒的速度在射線上沿方向運動，運動時間為秒，為的中點，為的中點，以下結論：①；②；③當時，，其中正確結論的個數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據比的多，可分別求出與的長度，以為原點建立數軸如下圖，再利用數軸上兩點間的距離公式與中點對應的數，列代數式，一元一次方程，從而可得答案．
【詳解】解：設， ∴，
∵，∴， 解得：，
∴，， ∴，故①符合題意，
以為原點建立數軸如下圖，
則對應的數為，對應的數為，后對應的數為，對應的數為，
∵為的中點，為的中點，
∴對應的數為，對應的數為：，
∴，∴，故②符合題意，
同理：，，
當時，∴，∴或， 解得：或，
綜上所述，當時，或，故③不符合題意； 故選：C．
【點睛】本題考查兩點間的距離，線段的和差，一元一次方程的應用，解題的關鍵是以為原點建立數軸．
8．（2022秋·貴州六盤水·七年級統考期中）如圖，已知，（在的左側）是數軸上的兩點，點對應的數為，且，動點從點出發，以每秒個單位長度的速度沿數軸向左運動，在點的運動過程中，，始終為，的中點，設運動時間為（）秒，則下列結論中正確的有( )
①點對應的數是；②點到達點時，；③時，；④在點的運動過程中，線段的長度不變．
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】C
【分析】①根據兩點間距離進行計算即可；②利用路程除以速度即可；③分兩種情況：當點在點右邊時，當點在點左邊時，分別求出的長，再利用路程除以速度即可；④分兩種情況：當點在點右邊時，當點在點左邊時，利用線段的中點性質分別進行計算即可．
【詳解】解：設點對應的數是，
點對應的數為，且，，，點對應的數是，故①正確；
由題意得：（秒），點到達點時，，故②正確；
當點在點右邊時，，，，（秒），
當點在點左邊時，，，，（秒），
綜上，時，或；故③錯誤；
，始終為，的中點，，，
當點在點右邊時， ，
當點在點左邊時， ，
在點的運動過程中，線段的長度不變，故④正確；
所以，上列結論中正確的有個，故選：C．
【點睛】本題考查了數軸，根據題目的已知條件并結合圖形分析是解題的關鍵．
二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
9．（2023秋·河北邢臺·七年級統考期末）已知長方形中，，，動點從點出發沿以每秒2個單位的速度運動；同時，點也從點出發以每秒3個單位的速度沿運動，當其中一個點到達終點時另一個點也隨之停止運動．
設運動時間為秒．

（1）當點到達終點時，點在邊 ；（2）當點在邊上運動時，用表示的式子為 ；
（3）點、相遇時， 秒．
【答案】 7.2
【分析】（1）由題意知，點從，運動時間為秒，點從，運動時間為秒，由，可知當點到達終點時，點運動路程為，由，可判斷點的位置；
（2）由題意知，；（3）由題意知，，計算求解即可．
【詳解】（1）解：由題意知，點從，運動時間為秒，
點從，運動時間為秒，
∵，∴當點到達終點時，點運動路程為，
∵，∴點在邊上，故答案為：；
（2）解：由題意知，，故答案為：；
（3）解：由題意知，，解得，，故答案為：7.2．
【點睛】本題考查動點，列代數式，一元一次方程的應用．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
10．（2022·沙坪壩區·七年級月考）如圖，數軸上有兩點，點C從原點O出發，以每秒的速度在線段上運動，點D從點B出發，以每秒的速度在線段上運動．在運動過程中滿足，若點M為直線上一點，且，則的值為_______．
【答案】1或
【分析】設點A在數軸上表示的數為a，點B在數軸上表示的數為b，設運動的時間為t秒，由OD=4AC得a與b的關系，再根據點M在直線AB的不同的位置分4種情況進行解答，①若點M在點B的右側時，②若點M在線段BO上時，③若點M在線段OA上時，④若點M在點A的左側時，分別表示出AM、BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之間的關系，再計算的值即可．
【詳解】設運動的時間為t秒，點M表示的數為m
則OC=t，BD=4t，即點C在數軸上表示的數為-t，點D在數軸上表示的數為b-4t，∴AC=-t-a，OD=b-4t，
由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a，
①若點M在點B的右側時，如圖1所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；∴
②若點M在線段BO上時，如圖2所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；∴
③若點M在線段OA上時，如圖3所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：
∵此時m＜0，a＜0，∴此種情況不符合題意舍去；
④若點M在點A的左側時，如圖4所示：
由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；而m＜0，b-a＞0，因此，不符合題意舍去，
綜上所述，的值為1或．
【點睛】考查數軸表示數的意義，掌握數軸上兩點之間距離的計算方法是正確解答的關鍵，分類討論和整體代入在解題中起到至關重要的作用．
11.（2023秋·貴州貴陽·七年級統考期末）如圖，點A，B，C在直線上，已知A，B兩點間的距離為24個單位長度，點位于A，B兩點之間，且到點的距離為15個單位長度，點P，Q分別從A，B兩點同時出發，沿直線向右運動，點的速度是3個單位長度，點的速度是1個單位長度，設運動時間為，在運動過程中，當點P，Q，C這三點中恰好有一點是以另外兩點為端點的線段的中點時，滿足條件的值為 ．

【答案】或或33
【分析】分點為的中點，點為的中點，為的中點，三種情況進行討論求解．
【詳解】解：∵，∴，
①當點為的中點時，，解得：；
②當點為的中點時，，解得：；
③當為的中點時，，解得：；
綜上：或或；故答案為：或或33
【點睛】本題考查一元一次方程的應用，與線段中點有關的計算．解題的關鍵是讀懂題意，利用分類討論的思想，正確的列出方程．
12．（2022秋·四川巴中·七年級統考期末）如圖：數軸上點、、表示的數分別是，，1，且點為線段的中點，點為原點，點在數軸上，點為線段的中點．、為數軸上兩個動點，點從點向左運動，速度為每秒1個單位長度，點從點向左運動，速度為每秒3個單位長度，、同時運動，運動時間為．
有下列結論：①若點表示的數是3，則；②若，則；③當時，；④當時，點是線段的中點；其中正確的有 ．（填序號）
【答案】①③/③①
【分析】①根據線段的中點的定義以及點、可確定點、表示的數，進而得到的長度；②由，分兩種情況討論：點在點的右側時以及點在點的左側時，可得到點表示的數，由點為線段的中點可得點表示的數，進而得到的長度；③當時，可得到、的長，從而確定點、，即可得到的長；④當時，可得到、的長，從而確定點、，進而判斷．
【詳解】①若點表示的數是3，∵點為線段的中點，表示的數是1，
∴，，即表示的數是2，∴，故①正確；
②若，當點在點的右側時，則點表示的數是4，
∵點為線段的中點，∴，即表示的數是，∴，
當點在點的左側時，則點表示的數是，
∵點為線段的中點，∴，即表示的數是，
∴，綜上，，故②不正確；
③當時，，，
∵、表示的數分別是，1，∴、表示的數分別是，，∴，故③正確；
④當時，，，∴、表示的數分別是，，
∵點在、的左側，不可能是線段的中點故④不正確；故答案為：①③
【點睛】本題考查了數軸以及兩點間的距離、線段的中點，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
13．（2023秋·福建福州·七年級校考期末）已知有理數a，b滿足：．如圖，在數軸上，點O是原點，點A所對應的數是a，線段在直線上運動（點B在點C的左側），．
下列結論：①；②當點B與點O重合時，；
③當點C與點A重合時，若點P是線段BC延長線上的點，則；
④在線段運動過程中，若M為線段的中點，N為線段的中點，則線段的長度不變．
所有結論正確的序號是 ．
【答案】①③④
【分析】①根據非負數的性質可得a和b的值，可判斷；②如圖1，根據數軸可直觀得出；
③如圖2，分別計算，的值可判斷；④分四種情況，根據圖形分別計算的長即可可判斷．
【詳解】解：①∵，
∵，∴，∴；故①正確；
②如圖1，當點B與點O重合時，；故②不正確；
③如圖2，當點C與點A重合時，若點P是線段延長線上的點，
∴，∴；故③正確；
④∵M為線段的中點，N為線段的中點，
∴
分四種情況：1）當C在O的左側時，如圖3，
；
2）當B，C在O的兩側時，如圖4，
；
3）當B，C在線段上時，如圖5，
；
4）當B和C都在A的右邊時，如圖6，
；
∴在線段運動過程中，若M為線段的中點，N為線段的中點，線段的長度不變．
故④正確；故答案為：①③④．
【點睛】本題考查了絕對值和平方的非負性，數軸和線段的中點，線段的和差，熟練掌握線段中點的定義是解題的關鍵．
14．（2022·四川·石室中學七年級期末）如圖，有一根木棒放置在數軸上，它的兩端、分別落在點、處．將木棒在數軸上水平移動，當的中點移動到點時，點所對應的數為，當的右三等分點移動到點時，點所對應的數為，則木棒的長度為_______．
【答案】
【分析】如圖，為的中點，為的三等分點，設 再利用線段的和差關系表示 結合題意可得對應的數為，對應的數為 再求解 從而可列方程求解于是可得的長．
【詳解】解：如圖，為的中點，為的三等分點，
設
由題意得：
對應的數為，對應的數為
故答案為：
【點睛】本題考查的是線段的中點，線段的三等分點的含義，數軸上兩點之間的距離，數軸上動點問題，一元一次方程的應用，掌握以上知識是解題的關鍵．
15．（2023·河北承德·統考二模）如圖，數軸上點M對應的數為，點N在點M右側，對應的數為a，矩形的邊在數軸上．矩形從點A與M重合開始勻速向正方向運動，到點D與點N重合時停止運動．同時一動點P以每秒2個單位長度的速度，從點A出發沿折線繞矩形勻速運動一周，且點P與矩形同時到達各自終點．已知，，設運動時間為t秒，過點Р作垂直于數軸的直線，將垂足對應的數稱為點Р對應的數．

(1)若矩形運動速度為每秒1個單位長度，則點A對應數軸上的數為 ；（用含t的代數式表示，不必寫范圍）．(2)若，當，即點Р在邊上時，點Р對應數軸上的數為 ；（用含t的代數式表示）；(3)若運動過程中有一段時間，點Р對應數軸上的數不變，則 ．
【答案】(1)(2)(3)100
【分析】（1）根據線段的和與差可得，即可求得；
（2）根據P的速度和矩形的周長，求得P運動的總時間，進一步求得矩形的速度，即可求得；
（3）根據點Р對應數軸上的數不變，判定矩形和P的運動方向和運動速度，求解即可．
【詳解】（1）解：若矩形速度為l，則點A的速度也為l，則運動的距離為，故，
即的值為；故答案為：．
（2）解：點P的速度為2，則運動總時間為（秒），
從M到N，長度為70，所以矩形運動速度為，
所以當點Р在邊上時，點Р對應的數為，故答案為：．
（3）解：點P對應的數不變，說明矩形向右運動，點Р向左運動，二者速度“抵消”了，
所以矩形的運動速度與點P的運動速度相等，
所以，解得，故答案為：100．
【點睛】本題看了數軸，矩形的周長，動點問題等，根據點Р對應數軸上的數不變，判定矩形和P的運動方向和運動速度是解題的關鍵．
16．（2023秋·廣東深圳·七年級統考期末）如圖，點是線段上一點，，動點從出發以的速度沿直線向終點運動，同時動點從出發以的速度沿直線向終點運動，當有一點到達終點后，兩點均停止運動．在運動過程中，總有，則 ．
【答案】/6厘米
【分析】設運動時間為秒，，將圖中線段用和的代數式表示出來，再根據求解即可．
【詳解】解：設運動時間為秒，，則，
依題意得，，，，
根據在運動過程中，總有得：，解得：，故答案為：．
【點睛】本題主要考查線段的和差關系及一元一次方程的應用，熟練掌握線段的和差關系及一元一次方程的應用是解題的關鍵．
17．（2022·江蘇·無錫市七年級期中）如圖，數軸上有兩點，點C從原點O出發，以每秒的速度在線段上運動，點D從點B出發，以每秒的速度在線段上運動．在運動過程中滿足，若點M為直線上一點，且，則的值為_______．
【答案】1或
【分析】設點A在數軸上表示的數為a，點B在數軸上表示的數為b，設運動的時間為t秒，由OD=4AC得a與b的關系，再根據點M在直線AB的不同的位置分4種情況進行解答，①若點M在點B的右側時，②若點M在線段BO上時，③若點M在線段OA上時，④若點M在點A的左側時，分別表示出AM、BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之間的關系，再計算的值即可．
【詳解】設運動的時間為t秒，點M表示的數為m
則OC=t，BD=4t，即點C在數軸上表示的數為-t，點D在數軸上表示的數為b-4t，
∴AC=-t-a，OD=b-4t，由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a，
①若點M在點B的右側時，如圖1所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；
∴
②若點M在線段BO上時，如圖2所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；
∴
③若點M在線段OA上時，如圖3所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：
∵此時m＜0，a＜0，∴此種情況不符合題意舍去；
④若點M在點A的左側時，如圖4所示：
由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；
而m＜0，b-a＞0，因此，不符合題意舍去，
綜上所述，的值為1或．
【點睛】考查數軸表示數的意義，掌握數軸上兩點之間距離的計算方法是正確解答的關鍵，分類討論和整體代入在解題中起到至關重要的作用．
18．（2022·江蘇宿遷·七年級期末）如圖，C為線段AB上一點，，AC比BC的多5，P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發，分別以3個單位/秒和1.5個單位/秒的速度在射線AB上沿AB方向運動，運動時間為秒，M為BP的中點，N為QM的中點，以下結論：①；②；③當時，．其中正確的結論是________．
【答案】①②##②①
【分析】根據AC比BC的多5，可得，從而得到，進而得到AC=15，可得到BC=2AC，故①正確；根據題意得：AP=3t，BQ=1.5t，可得BP=45-3t，再由M為BP的中點，可得到，進而得到，再由N為QM的中點，可得到AB=4NQ，故②正確；然后分兩種情況：當點P沒有到達點B之前，當點P沒有到達點B之前，可得當時，或20，故③錯誤，即可求解．
【詳解】解：∵AC比BC的多5，∴，
∵，∴，解得：，
∴AC=15，∴BC=2AC，故①正確；根據題意得：AP=3t，BQ=1.5t，∴BP=45-3t，
∵M為BP的中點，∴，∴，
∵N為QM的中點，∴，∴AB=4NQ，故②正確；
當時，當點P在線段AB上，
∵，∴，解得：；
當時，點P在點B右側，位于點Q左側，，
∵，∴，解得：；
當時，點P位于點Q右側，不成立，
綜上所述，當時，或20，故③錯誤，
∴正確的結論是①②．故答案為：①②
【點睛】本題主要考查了兩點間的距離，線段間的數量關系，動點問題，利用數形結合思想和分類討論討論思想解答是解題的關鍵．
三、解答題（本大題共8小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2022·廣東汕頭·七年級期末）定義：若線段上的一個點把這條線段分成1：2的兩條線段，則稱這個點是這條線段的三等分點．如圖1．點C在線段上，且，則點C是線段的一個三等分點，顯然，一條線段的三等分點有兩個．
（1）已知：如圖2，，點P是的三等分點，則=__________．
（2）已知，線段，如圖3，點P從點A出發以每秒的速度在射線上向點B方向運動；點Q從點B出發，先向點A方向運動，當Q與點P重合后立馬改變方向與點P同向而行且速度始終為每秒，設運動時間為t秒．
①若點P點，Q同時出發，且當點Q是線段AB的三等分點時，求PQ的長．
②若點P點，Q同時出發，且當點P是線段AQ的三等分點時，求t的值．
【答案】（1）5或10；（2）①PQ的長為或或或；②或或．
【分析】（1）直接由題目討論DP為哪一個三等分點即可.
(2) ①由題意進行分類，分別求出當和當時t的值即可.
②分別討論P，Q重合之前與之后的三等分點即可.
【詳解】（1）當DP為短的部分時，DP：PE=1：2，可得DP=5
當DP為長的部分時，DP：PE=2：1，可得DP=10綜上：5或10．
（2）①當時，，即．∴，∴．
當時，，即．∴，∴．
②當P，Q重合前點P是線段的三等分點時，，
或解得或
當P，Q重合后時點P是線段的三等分點時，
當P，Q重合時，，即．
∴P是線段的三等分點時，，
或或解得．
綜上述：解得或或．
【點睛】本題考查的知識點是與線段有關的動點問題，解題的關鍵是找準數量關系，列出方程，注意分類討論.
20．（2022·湖南·長沙市長郡雙語實驗中學七年級開學考試）已知：如圖1，點M是線段AB上一定點，AB＝12cm，C、D兩點分別從M、B出發以1cm/s、2cm/s的速度沿直線BA向左運動，運動方向如箭頭所示（C在線段AM上，D在線段BM上）
（1）若AM＝4cm，當點C、D運動了2s，此時AC＝　 　，DM＝　 　；（直接填空）
（2）當點C、D運動了2s，求AC+MD的值．
（3）若點C、D運動時，總有MD＝2AC，則AM＝　 　（填空）
（4）在（3）的條件下，N是直線AB上一點，且AN﹣BN＝MN，求的值．
【答案】（1）2，4；（2）6 cm；（3）4；（4）或1．
【分析】（1）先求出CM、BD的長，再根據線段的和差即可得；
（2）先求出BD與CM的關系，再根據線段的和差即可得；
（3）根據已知得MB＝2AM，然后根據AM+BM=AB，代入即可求解；
（4）分點N在線段AB上和點N在線段AB的延長線上兩種情況，再分別根據線段的和差倍分即可得．
【詳解】（1）根據題意知，CM＝2cm，BD＝4cm，
∵AB＝12cm，AM＝4cm，∴BM＝8cm，
∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm，故答案為：2cm，4cm；
（2）當點C、D運動了2 s時，CM＝2 cm，BD＝4 cm
∵AB＝12 cm，CM＝2 cm，BD＝4 cm
∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6 cm；
（3）根據C、D的運動速度知：BD＝2MC，
∵MD＝2AC，∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM，
∵AM+BM＝AB，∴AM+2AM＝AB，
∴AM＝AB＝4，故答案為：4；
（4）①當點N在線段AB上時，如圖1，
∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN∴BN＝AM＝4
∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣4﹣4＝4
∴；
②當點N在線段AB的延長線上時，如圖2，
∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB∴MN＝AB＝12
∴；綜上所述或1故答案為或1．
【點睛】本題考查了線段上的動點問題，線段的和差，較難的是題（4），依據題意，正確分兩種情況討論是解題關鍵．
21．（2022·四川·北大附中七年級階段練習）如圖，數軸上點分別對應數，其中．
（1）當，時，線段的中點對應的數是　 　．（直接填結果）
（2）若該數軸上另有一點對應著數．
①當，，且時，求代數式的值；
②．且時學生小朋通過演算發現代數式是一個定值，
老師點評；小朋同學的演算發現還不完整！
請你通過演算解釋為什么“小朋的演算發現”是不完整的？
【答案】（1）2；（2）①2029；②見解析
【分析】（1）先求出AB的長，再求出AB一半長，繼而利用兩點間的距離進行求解即可；
（2）①由已知可得3﹣a＝2（b﹣3），繼而可得a+2b＝9，整體代入即可求得答案；
②由已知可得|m+3|=3|b-m|，然后分m<-3，-3≤m≤b，m>b三種情況分別求解即可．
【詳解】（1）∵，，∴AB=7-（-3）=10，∴=5，
∴AB中點對應的數為：7-5=2，故答案為：2；
（2）①由m＝3，b＞3，且AM＝2BM，
可得3﹣a＝2（b﹣3），整理得a+2b＝9．
所以，a+2b+2020＝9+2020＝2029；
②，M對應的數為m，B對應的數為b，
∴AM=|m-（-3）|=|m+3|，BM=|b-m|，
又∵，∴|m+3|=3|b-m|，
當m<-3時，此時MB>AM，∴此種情況不存在；
當-3≤m≤b時，則有，m+3=3（b﹣m），∴3b﹣4m＝3；
當m＞b時，則有m+3＝3（m﹣b），∴2m﹣3b＝3；
綜上，2m-3b與3b﹣4m均為定值，所以小朋的演算發現并不完整．
【點睛】本題考查了數軸上兩點間的距離，線段的中點，化簡絕對值，代數式求值等，綜合性較強，正確分析，正確分類討論是解題的關鍵．
22．（2022·四川成都·七年級期末）如圖，直線1上有A，B兩點，AB=12cm，點O是線段AB上的一點，OA=2OB．（1）OA=______cm，OB=______cm；
（2）若點C是線段AB上一點（點C不與點AB重合），且滿足AC=CO+CB，求CO的長；
（3）若動點P，Q分別從A，B同時出發，向右運動，點P的速度為2cm/s，點Q的速度為1cm/s．設運動時間為t（s），當點P與點Q重合時，P，Q兩點停止運動．求當t為何值時，2OP-OQ=4（cm）；
【答案】（1）8，4；（2）CO的長是；（3）當t為1.6s或8s時，2OP-OQ=4．
【分析】（1）由于AB=12cm，點O是線段AB上的一點，OA=2OB，則OA+OB=3OB=AB=12cm，依此即可求解；（2）根據圖形可知，點C是線段AO上的一點，可設C點所表示的實數為x，分兩種情況：①點C在線段OA上時，則x＜0，②點C在線段OB上時，則x＞0，根據AC=CO+CB，列出方程求解即可；
（3）分0≤t＜4；4≤t≤12兩種情況討論求解即可．
【詳解】解：（1）∵AB=12cm，OA=2OB，
∴OA+OB=3OB=AB=12cm，解得OB=4cm，OA=2OB=8cm．故答案為8，4；
（2）設O點表示的數是0，C點所表示的實數為x，
分兩種情況：①點C在線段OA上時，則x＜0，
∵AC=CO+CB，∴8+x=-x+4-x，3x=-4，x=；
②點C在線段OB上時，則x＞0，
∵AC=CO+CB，∴8+x=4，x=-4（不符合題意，舍）．
故CO的長是；
（3）當0≤t＜4時，依題意有2（8-2t）-（4+t）=4，解得t=1.6；
當4≤t≤12時，依題意有2（2t-8）-（4+t）=4，解得t=8．
故當t為1.6s或8s時，2OP-OQ=4．
【點睛】本題考查了數軸上兩點的距離、數軸上點的表示、一元一次方程的應用，比較復雜，要認真理清題意，并注意數軸上的點，原點左邊表示負數，右邊表示正數，在數軸上，兩點的距離等于任意兩點表示的數的差的絕對值．
23．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級校考階段練習）已知：關于x，y的多項式不含四次項．數軸上A、B兩點對應的數分別是m、n．

(1)點A表示的數為_____________；點B表示的數為_______________；
(2)如圖1，線段在線段上，且，點M為線段的中點，若，求點C表示的數；
(3)如圖2，在（2）的條件下，線段沿著數軸以每秒2個單位長度的速度向右運動，同時點Q從B點出發，以每秒4個單位長度的速度向左運動，是否存在時間t，使，若存在，求出C點表示的數；若不存在，說明理由．
【答案】(1)，12(2)點C表示的數為2
(3)存在，當t為時，點C為；或t為時，點C為5，使得
【分析】（1）根據多項式不含4次項，合并同類項后，四次項的系數為0，進行求解即可；
（2）根據點M是線段的中點，得到，利用，進行求解即可；（3）分點C、D在點Q左側，點C在點B左側、D在點Q右側，點C在B右側三種情況進行討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵，不含4次項，∴，∴；故答案為：，12；
（2）∵，設，則，
∵點M是線段的中點，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴點C表示的數為：；
（3）點D表示的數為：，
點C表示的數為：，點D表示的數為：，點Q表示的數為：，
中點M：∴
分為三種情況：①當點C、D在點Q左側時：

則：，，
∵，∴解得：
點C：
②當點C在點B左側、D在點Q右側時：

，，
∴，解得：，點C：；
③當點C在B右側時：，，
∴，解得：，
∵點C運動到點B所用時間為秒，，∴（舍）
∴存在時間t，當t為時，點C為；或t為時，點C為5，使得．
【點睛】本題考查多項式不含某一項問題，與線段的中點有關的計算，一元一次方程的應用．熟練掌握相關知識點，利用數形結合，分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．
24．（2023春·山東煙臺·七年級統考期中）學習材料：
如圖1，點在線段上，圖中有三條線段，分別為線段，和，若其中一條線段的長度是另外一條線段長度的倍，則稱點是線段的“巧點”.
解決問題：(1)線段的中點 這條線段的“巧點”，線段的三等分點 這條線段的“巧點”(填“是”或“不是”) ；
(2)若線段，點為線段的“巧點”，則 ；
(3)如圖，已知，動點從點A出發，以的速度沿向點運動，點從點出發，以的速度沿向點A運動，點、同時出發，當其中一點到達終點時，運動停止，設運動的時間為秒,當為何值時，點為線段的“巧點”？并說明理由．
【答案】(1)是；是(2)或或(3)或或，理由見解析
【分析】（1）根據線段“巧點”的定義進行判斷即可；
（2）根據點C為線段的中點或三等分點時，點C是線段的“巧點”進行解答即可；
（3）分三種情況：當時，當時，當時，分別列出方程求出結果即可．
【詳解】（1）解：根據“巧點”定義可知，線段的中點是這條線段的“巧點”，線段的三等分點是這條線段的“巧點”；故答案為：是；是．
（2）解：∵當點C為線段的中點或三等分點時，點C是線段的“巧點”，
∴，或，
或．故答案為：或或．
（3）解：由題意得：，，，t的范圍應該在秒之間，
∵點P為的巧點，∴點P應該在點Q的左邊，t的范圍應該在秒之間，
當時，P為的巧點，∴ ，解得：；
當時，P為的巧點，∴，解得：；
當時，P為的巧點，∴ ，解得：；
所以當t為或或時，點Р為線段的“巧點”．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，線段中點的有關計算，解題的關鍵是理解題意，注意進行分類討論．
25．（2023·云南楚雄·七年級統考期末）如圖1，已知點A，B在數軸上，M是線段上一點，多項式的次數為a，項數為b，當時，此多項式的值為c．(1)分別求出a，b，c的值．(2)如圖1，數軸上的點A，M，B表示的數分別是，試比較和的大小．
(3)在（2）的條件下，如圖2，點C在線段上，點D在線段上，若點C，D分別從M，B出發以（一個單位長度表示）的速度沿直線向左運動，運動方向如箭頭所示．
①當點C，D運動了時，求的值．②設點C，D的運動時間為．當時，求t的值．
【答案】(1)，，，(2)(3)①；②．
【分析】（1）根據多項式的次數與項數分別求解a，b，再根據多項式的值求解c的值；
（2）先求解數軸上的點A，M，B表示的數分別是，，，再計算，，從而可得答案；（3）①當點C，D運動了時，可得C對應的數為，D對應的數為：，再利用兩點間的距離公式進行計算即可；②當點C，D運動了時，C對應的數為，D對應的數為：，由，建立方程，再分情況解方程即可．
【詳解】（1）解：∵多項式的次數為a，項數為b，∴，，
當時，此多項式的值為c，∴．
（2）∵數軸上的點A，M，B表示的數分別是，，，而，，，
∴數軸上的點A，M，B表示的數分別是，，，
∴，，∴．
（3）①當點C，D運動了時，
C對應的數為，D對應的數為：，∴；
②當點C，D運動了時，
C對應的數為，D對應的數為：，∴，
，，
∵，∴，
當時，原方程化為：，解得：，
當時，原方程化為：，解得：，不符合題意，舍去，
當時，原方程化為：，解得：，不符合題意，舍去，
綜上：當時，．
【點睛】本題考查的是數軸上兩點之間的距離，線段的和差關系，一元一次方程的應用，多項式的項與次數的含義，代數式的值，清晰的分類討論是解本題的關鍵．
26．（2022·四川成都·七年級期末）已知線段AB=m(m為常數)，點C為直線AB上一點（不與點A、B重合），點M、N分別在線段BC、AC上，且滿足CN=3AN，CM=3BM.
(1)如圖，當點C恰好在線段AB中點，且m=8時，則MN=______；
(2) 若點C在點A左側，同時點M在線段AB上(不與端點重合)，請判斷CN+2AM -2MN的值是否與m有關？并說明理由.(3) 若點C是直線AB上一點（不與點A、B重合），同時點M在線段AB上(不與端點重合)，求MN長度 (用含m的代數式表示).
【答案】(1)6；(2) 無關，理由見解析；(3)m.
【分析】（1）根據中點可得到AC、BC的長，再根據CN=3AN，CM=3BM，可計算出CN、CM，最后根據線段的和差關系進行計算即可；（2）根據線段之間的關系及CN=3AN，CM=3BM，分別表示出CN、AM及MN，再進行化簡即可；（3）分情況討論，畫出圖形，根據線段之間的關系計算即可.
【詳解】解：（1）∵點C恰好在線段AB中點，且AB=m=8，∴AC=BC=AB=4，
∵CN=3AN，CM=3BM，∴CN=AC，CM=BC，
∴CN=3，CM=3，∴MN=CN+CM=3+3=6;
（2）若C在A的左邊，如圖所示，
∵CN=3AN，CM=3BM，∴MN=CM－CN=3BM－3AN，
∴AM=MN－AN=3BM－3AN－AN=3BM－4AN，
∴CN +2AM－2MN=3AN+2(3BM－4AN)－2(3BM－3AN)=AN，
∴CN +2AM－2MN的值與m無關；
（3）①當點C在線段AB上時，如圖所示，
∵CN=3AN，CM=3BM，∴CN=AC，CM=BC，
∴MN=CM+CN=BC+AC=(BC+AC)=AB=m；
②當點C在點A的左邊，如圖所示，
∵CN=3AN，CM=3BM∴CN=AC，BM=BC，
∴MN=BC－CN－BM=BC－AC－BC =(BC－AC)=AB=m；
③當點C在點B的右邊，如圖所示：
∵CN=3AN，CM=3BM，∴AN=AC，CM=BC，
∴MN=AC－AN－CM=AC－AC－BC =(AC－BC)=AB=m，
綜上所述，MN的長度為m.
【點睛】本題考查線段的計算，分情況討論，正確找出線段之間的關系是解題的關鍵.
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專題6.11 線段中的動態模型
模塊1：學習目標
線段中的動態模型一直都是一大難點和常考點，它經常以壓軸題的形式出現。考查樣式也是很豐富，和平時所學的內容結合在一起考。本專題就線段中的動態模型（與中點、和差倍分結合的動點問題；存在性（探究性）問題；閱讀理解（新定義）等）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。
模塊2：知識梳理
1、在與線段長度有關的問題中，常會涉及線段較多且關系較復雜的問題，而且題中的數據無法直接利用，常設未知數列方程。
2、線段的動態模型解題步驟：
1）設入未知量t表示動點運動的距離； 2）利用和差（倍分）關系表示所需的線段；
3）根據題設條件建立方程求解； 4）觀察運動位置可能的情況去計算其他結果。
模塊3：核心模型與典例
模型1、線段中點、和差倍分關系中的動態模型
例1．（2022·重慶七年級期末）如圖，在數軸上點表示的數為，點表示的數為，點表示的數為，是最大的負整數，且，滿足．點從點出發以每秒3個單位長度的速度向左運動，到達點后立刻返回到點，到達點后再返回到點并停止．
（1）________，________，________．
（2）點從點離開后，在點第二次到達點的過程中，經過秒鐘，，求的值．（3）點從點出發的同時，數軸上的動點，分別從點和點同時出發，相向而行，速度分別為每秒4個單位長度和每秒5個單位長度，假設秒鐘時，、、三點中恰好有一個點是另外兩個點的中點，請直接寫出所有滿足條件的的值．
例2．（2022·江蘇蘇州·七年級期末）如圖所示．點A，B，C是數軸上的三個點，且A，B兩點表示的數互為相反數，，．
(1)點A表示的數是______；(2)若點P從點B出發沿著數軸以每秒2個單位的速度向左運動，則經過______秒時，點C恰好是BP的中點；(3)若點Q從點A出發沿著數軸以每秒1個單位的速度向右運動，線段QB的中點為M，當時，則點Q運動了多少秒？請說明理由．
例3．（2023秋·河北唐山·七年級統考期末）操作與探究：
（1）已知：如圖線段長為，點從點A以的速度向點運動，點運動時間為，則______，______
（2）已知：如圖，在長方形中，，，動點以的速度從A點沿著運動，運動時間為，用含的式子表示______
拓展與延伸：（3）已知：如圖，在（2）的基礎上，動點從點出發，沿著線段向點運動，速度為，、同時出發，運動時間為．其中一點到達終點，另一個點也停止運動．當點在上運動時，為何值時，？
模型2、線段上動點問題中的存在性（探究性）模型
例1．（2022·湖北武漢·七年級期末）已知線段AB＝m，CD＝n，線段CD在直線AB上運動（A在B的左側，C在D的左側），且m，n滿足|m－12|＋（n－4）2＝0.
（1）m＝ 　，n＝ 　；（2）點D與點B重合時，線段CD以2個單位長度/秒的速度向左運動．
①如圖1，點C在線段AB上，若M是線段AC的中點，N是線段BD的中點，求線段MN的長；
②P是直線AB上A點左側一點，線段CD運動的同時，點F從點P出發以3個單位/秒的向右運動，點E是線段BC的中點，若點F與點C相遇1秒后與點E相遇．試探索整個運動過程中，FC－5DE是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．
例2．（2022·四川·成都實外七年級開學考試）已知線段AB＝m（m為常數），點C為直線AB上一點，點P、Q分別在線段BC、AC上，且滿足CQ＝2AQ，CP＝2BP．
（1）如圖，若AB＝6，當點C恰好在線段AB中點時，則PQ＝　 　；
（2）若點C為直線AB上任一點，則PQ長度是否為常數？若是，請求出這個常數；若不是，請說明理由；
（3）若點C在點A左側，同時點P在線段AB上（不與端點重合），線段AP、CQ、PQ有怎樣的數量關系？請寫出你的結論，并說明你的理由．
模型3、閱讀理解型（新定義）模型
例1．（2022·江蘇淮安·七年級期末）【探索新知】
如圖1，點在線段上，圖中共有3條線段：、和，若其中有一條線段的長度是另一條線段長度的兩倍，則稱點是線段的“二倍點”.
（1）①一條線段的中點 這條線段的“二倍點”；（填“是”或“不是”）
②若線段，是線段的“二倍點”，則 （寫出所有結果）
【深入研究】如圖2，若線段，點從點的位置開始，以每秒2的速度向點運動，當點到達點時停止運動，運動的時間為秒.（2）問為何值時，點是線段的“二倍點”；
（3）同時點從點的位置開始，以每秒1的速度向點運動，并與點同時停止.請直接寫出點是線段的“二倍點”時的值.
例2．（2023秋·江蘇徐州·七年級校考期末）點是線段上一點，若（為大于1的正整數），則我們稱點是的最強點．例如，，，則，稱是的最強點；，則是的最強點．
(1)點在線段上，若，，點是的最強點，則______．
(2)若，是的最強點，則______．（用的代數式表示）
(3)一直線上有兩點，，，點從點出發，以每秒的速度向運動，運動到點時停止．點從點出發，以每秒的速度沿射線運動，為多少時，點，，恰好有一個點是其余2個點的最強點．（用的代數式表示）
模塊4：同步培優題庫
全卷共26題 測試時間：60分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2022·山東煙臺·七年級期中）如圖線段，點在射線上從點開始，以每秒的速度沿著射線的方向勻速運動，則時，運動時間為（ ）
A．秒 B．3秒 C．秒或秒 D．3秒或6秒
2．（2023秋·廣東廣州·七年級統考期末）如圖，線段的長為6，點C為線段上一動點（不與A，B重合），D為中點，E為中點，隨著點C的運動，線段的長度為（　　）
A．不確定 B．2.5 C．3 D．3.5
3．（2023秋·江蘇·七年級專題練習）如圖，在數軸上，O是原點，點A表示的數是4，線段（點B在點C的左側）在直線上運動，且．下列說法正確的是（　　）
甲：當點B與點O重合時，；
乙：當點C與點A重合時，若P是線段延長線上的點，則；
丙：在線段運動過程中，若M，N為線段的中點，則線段的長度不變
A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙
4．（2023·河南駐馬店·七年級校考期末）線段 ，點A從點M開始向點N以每秒1個單位長度的速度運動，點B從點N開始以每秒2個單位長度的速度向點M運動，當時，t的值為（ ）
A．秒 B．秒 C．12秒 D．秒或12秒
5．（2022·廣東七年級課時練習）已知數軸上，點A表示的數是-2，點B在點A的右側8個單位長度處，動點M從點A出發，以每秒4個單位長度的速度沿數軸運動，動點N從點B出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸運動，已知點M，N同時出發，相向運動，運動時間為t秒．當時，運動時間t的值為（ ）
A． B． C．或 D．或
6．（2022秋·河南周口·七年級統考期末）已知有理數，滿足：．如圖，在數軸上，點是原點，點所對應的數是，線段在直線上運動（點在點的左側），，
下列結論①，；②當點與點重合時，；
③當點與點重合時，若點是線段延長線上的點，則；
④在線段運動過程中，若為線段的中點，為線段的中點，則線段的長度不變．
其中正確的是（ ）
A．① B．①④ C．①②③④ D．①③④
7．（2022秋·安徽蚌埠·七年級校考階段練習）如圖，為射線上一點，，比的多，，兩點分別從，兩點同時出發．分別以單位秒和單位秒的速度在射線上沿方向運動，運動時間為秒，為的中點，為的中點，以下結論：①；②；③當時，，其中正確結論的個數是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·貴州六盤水·七年級統考期中）如圖，已知，（在的左側）是數軸上的兩點，點對應的數為，且，動點從點出發，以每秒個單位長度的速度沿數軸向左運動，在點的運動過程中，，始終為，的中點，設運動時間為（）秒，則下列結論中正確的有( )
①點對應的數是；②點到達點時，；③時，；④在點的運動過程中，線段的長度不變．
A．個 B．個 C．個 D．個
二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
9．（2023秋·河北邢臺·七年級統考期末）已知長方形中，，，動點從點出發沿以每秒2個單位的速度運動；同時，點也從點出發以每秒3個單位的速度沿運動，當其中一個點到達終點時另一個點也隨之停止運動．
設運動時間為秒．

（1）當點到達終點時，點在邊 ；（2）當點在邊上運動時，用表示的式子為 ；
（3）點、相遇時， 秒．
10．（2022·沙坪壩區·七年級月考）如圖，數軸上有兩點，點C從原點O出發，以每秒的速度在線段上運動，點D從點B出發，以每秒的速度在線段上運動．在運動過程中滿足，若點M為直線上一點，且，則的值為_______．
11.（2023秋·貴州貴陽·七年級統考期末）如圖，點A，B，C在直線上，已知A，B兩點間的距離為24個單位長度，點位于A，B兩點之間，且到點的距離為15個單位長度，點P，Q分別從A，B兩點同時出發，沿直線向右運動，點的速度是3個單位長度，點的速度是1個單位長度，設運動時間為，在運動過程中，當點P，Q，C這三點中恰好有一點是以另外兩點為端點的線段的中點時，滿足條件的值為 ．

12．（2022秋·四川巴中·七年級統考期末）如圖：數軸上點、、表示的數分別是，，1，且點為線段的中點，點為原點，點在數軸上，點為線段的中點．、為數軸上兩個動點，點從點向左運動，速度為每秒1個單位長度，點從點向左運動，速度為每秒3個單位長度，、同時運動，運動時間為．
有下列結論：①若點表示的數是3，則；②若，則；③當時，；④當時，點是線段的中點；其中正確的有 ．（填序號）
13．（2023秋·福建福州·七年級校考期末）已知有理數a，b滿足：．如圖，在數軸上，點O是原點，點A所對應的數是a，線段在直線上運動（點B在點C的左側），．
下列結論：①；②當點B與點O重合時，；
③當點C與點A重合時，若點P是線段BC延長線上的點，則；
④在線段運動過程中，若M為線段的中點，N為線段的中點，則線段的長度不變．
所有結論正確的序號是 ．
14．（2022·四川·石室中學七年級期末）如圖，有一根木棒放置在數軸上，它的兩端、分別落在點、處．將木棒在數軸上水平移動，當的中點移動到點時，點所對應的數為，當的右三等分點移動到點時，點所對應的數為，則木棒的長度為_______．
15．（2023·河北承德·統考二模）如圖，數軸上點M對應的數為，點N在點M右側，對應的數為a，矩形的邊在數軸上．矩形從點A與M重合開始勻速向正方向運動，到點D與點N重合時停止運動．同時一動點P以每秒2個單位長度的速度，從點A出發沿折線繞矩形勻速運動一周，且點P與矩形同時到達各自終點．已知，，設運動時間為t秒，過點Р作垂直于數軸的直線，將垂足對應的數稱為點Р對應的數．

(1)若矩形運動速度為每秒1個單位長度，則點A對應數軸上的數為 ；（用含t的代數式表示，不必寫范圍）．(2)若，當，即點Р在邊上時，點Р對應數軸上的數為 ；（用含t的代數式表示）；(3)若運動過程中有一段時間，點Р對應數軸上的數不變，則 ．
16．（2023秋·廣東深圳·七年級統考期末）如圖，點是線段上一點，，動點從出發以的速度沿直線向終點運動，同時動點從出發以的速度沿直線向終點運動，當有一點到達終點后，兩點均停止運動．在運動過程中，總有，則 ．
17．（2022·江蘇·無錫市七年級期中）如圖，數軸上有兩點，點C從原點O出發，以每秒的速度在線段上運動，點D從點B出發，以每秒的速度在線段上運動．在運動過程中滿足，若點M為直線上一點，且，則的值為_______．
18．（2022·江蘇宿遷·七年級期末）如圖，C為線段AB上一點，，AC比BC的多5，P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發，分別以3個單位/秒和1.5個單位/秒的速度在射線AB上沿AB方向運動，運動時間為秒，M為BP的中點，N為QM的中點，以下結論：①；②；③當時，．其中正確的結論是________．
三、解答題（本大題共8小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2022·廣東汕頭·七年級期末）定義：若線段上的一個點把這條線段分成1：2的兩條線段，則稱這個點是這條線段的三等分點．如圖1．點C在線段上，且，則點C是線段的一個三等分點，顯然，一條線段的三等分點有兩個．
（1）已知：如圖2，，點P是的三等分點，則=__________．
（2）已知，線段，如圖3，點P從點A出發以每秒的速度在射線上向點B方向運動；點Q從點B出發，先向點A方向運動，當Q與點P重合后立馬改變方向與點P同向而行且速度始終為每秒，設運動時間為t秒．
①若點P點，Q同時出發，且當點Q是線段AB的三等分點時，求PQ的長．
②若點P點，Q同時出發，且當點P是線段AQ的三等分點時，求t的值．
20．（2022·湖南·長沙市長郡雙語實驗中學七年級開學考試）已知：如圖1，點M是線段AB上一定點，AB＝12cm，C、D兩點分別從M、B出發以1cm/s、2cm/s的速度沿直線BA向左運動，運動方向如箭頭所示（C在線段AM上，D在線段BM上）
（1）若AM＝4cm，當點C、D運動了2s，此時AC＝　 　，DM＝　 　；（直接填空）
（2）當點C、D運動了2s，求AC+MD的值．
（3）若點C、D運動時，總有MD＝2AC，則AM＝　 　（填空）
（4）在（3）的條件下，N是直線AB上一點，且AN﹣BN＝MN，求的值．
21．（2022·四川·北大附中七年級階段練習）如圖，數軸上點分別對應數，其中．
（1）當，時，線段的中點對應的數是　 　．（直接填結果）
（2）若該數軸上另有一點對應著數．
①當，，且時，求代數式的值；
②．且時學生小朋通過演算發現代數式是一個定值，
老師點評；小朋同學的演算發現還不完整！
請你通過演算解釋為什么“小朋的演算發現”是不完整的？
22．（2022·四川成都·七年級期末）如圖，直線1上有A，B兩點，AB=12cm，點O是線段AB上的一點，OA=2OB．（1）OA=______cm，OB=______cm；
（2）若點C是線段AB上一點（點C不與點AB重合），且滿足AC=CO+CB，求CO的長；
（3）若動點P，Q分別從A，B同時出發，向右運動，點P的速度為2cm/s，點Q的速度為1cm/s．設運動時間為t（s），當點P與點Q重合時，P，Q兩點停止運動．求當t為何值時，2OP-OQ=4（cm）；
23．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級校考階段練習）已知：關于x，y的多項式不含四次項．數軸上A、B兩點對應的數分別是m、n．

(1)點A表示的數為_____________；點B表示的數為_______________；
(2)如圖1，線段在線段上，且，點M為線段的中點，若，求點C表示的數；
(3)如圖2，在（2）的條件下，線段沿著數軸以每秒2個單位長度的速度向右運動，同時點Q從B點出發，以每秒4個單位長度的速度向左運動，是否存在時間t，使，若存在，求出C點表示的數；若不存在，說明理由．
24．（2023春·山東煙臺·七年級統考期中）學習材料：
如圖1，點在線段上，圖中有三條線段，分別為線段，和，若其中一條線段的長度是另外一條線段長度的倍，則稱點是線段的“巧點”.
解決問題：(1)線段的中點 這條線段的“巧點”，線段的三等分點 這條線段的“巧點”(填“是”或“不是”) ；(2)若線段，點為線段的“巧點”，則 ；
(3)如圖，已知，動點從點A出發，以的速度沿向點運動，點從點出發，以的速度沿向點A運動，點、同時出發，當其中一點到達終點時，運動停止，設運動的時間為秒,當為何值時，點為線段的“巧點”？并說明理由．
25．（2023·云南楚雄·七年級統考期末）如圖1，已知點A，B在數軸上，M是線段上一點，多項式的次數為a，項數為b，當時，此多項式的值為c．(1)分別求出a，b，c的值．(2)如圖1，數軸上的點A，M，B表示的數分別是，試比較和的大小．
(3)在（2）的條件下，如圖2，點C在線段上，點D在線段上，若點C，D分別從M，B出發以（一個單位長度表示）的速度沿直線向左運動，運動方向如箭頭所示．
①當點C，D運動了時，求的值．②設點C，D的運動時間為．當時，求t的值．
26．（2022·四川成都·七年級期末）已知線段AB=m(m為常數)，點C為直線AB上一點（不與點A、B重合），點M、N分別在線段BC、AC上，且滿足CN=3AN，CM=3BM.
(1)如圖，當點C恰好在線段AB中點，且m=8時，則MN=______；
(2) 若點C在點A左側，同時點M在線段AB上(不與端點重合)，請判斷CN+2AM -2MN的值是否與m有關？并說明理由.(3) 若點C是直線AB上一點（不與點A、B重合），同時點M在線段AB上(不與端點重合)，求MN長度 (用含m的代數式表示).
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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