資源簡介

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專題6.12 角度中的動態(tài)模型
模塊1：學習目標
角度的動態(tài)（旋轉）模型屬于七年級上期必考壓軸題型，是尖子生必須要攻克的一塊重要內容，對考生的綜合素養(yǎng)要求較高。絕大部分學生對角度旋轉問題信心不足，原因就是很多角度旋轉問題需要自己畫出圖形，與分類討論思想、數(shù)形結合思想等結合得很緊密，思考性強，難度大。本專題重點研究與角有關的旋轉模型（求值模型；定值模型；探究模型；分類討論模型）。
模塊2：知識梳理
1、角度旋轉模型解題步驟：
①找——根據(jù)題意找到目標角度；②表——表示出目標角度：
1）角度一邊動另一邊不動，角度變大：目標角=起始角+速度×時間；
2）角度一邊動另一邊不動，角度變小：目標角=起始角—速度×時間；
3）角度一邊動另一邊不動，角度先變小后變大。
變小：目標角=起始角—速度×時間；變大：目標角=速度×時間—起始角
③列——根據(jù)題意列方程求解。
注：①注意題中是否確定旋轉方向，未確定時要分順時針與逆時針分類討論；②注意旋轉角度取值范圍。
2、常見的三角板旋轉模型：
三角板有兩種，一種是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一種是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋轉中隱藏的條件就是上面所說的這幾個特殊角的角度。總之不管這個角如何旋轉，它的角度大小是不變的，旋轉的度數(shù)就是組成角的兩條射線旋轉的度數(shù)（角平分線也旋轉了同樣的度數(shù)）。抓住這些等量關系是解題的關鍵，三角板只是把具體的度數(shù)隱藏了起來。
模塊3：核心考點與典例
模型1、旋轉中的求值模型
例1．（2023秋·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，，，三點在一條直線上，且，，射線，分別平分和．如圖2，將射線以每秒的速度繞點逆時針旋轉一周，同時將以每秒的速度繞點逆時針旋轉，當射線與射線重合時，停止運動．設射線的運動時間為秒．
(1)運動開始前，如圖1，______，______；
(2)旋轉過程中，當為何值時，射線平分
(3)旋轉過程中，是否存在某一時刻使得？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．

【答案】(1)39，51(2)(3)存在，符合條件的的值為12s或33s
【分析】（1）根據(jù)平角的定義求得，再根據(jù)角平分線的定義直接計算即可；
（2）根據(jù)列方程求解即可；（3）分情況根據(jù)列方程求解即可．
【詳解】（1）解：，，三點在一條直線上，，，
，，分別平分和，
，，故答案為：39，51；
（2）解：射線以每秒的速度繞點逆時針旋轉一周，同時將以每秒的速度繞點逆時針旋轉，，
射線平分，，
，，；
（3）解：存在某一時刻使得，分以下幾種情況：
情況一：若在上方，此時，
即，解得；
情況二：若在下方，此時，
即，解得（不符合題意，舍去）；
情況三：當停止運動時，繼續(xù)旋轉時，當旋轉264°時，有，此時．
綜上所述，符合條件的的值為12s或33s．

【點睛】本題主要考查一元一次方程的知識，角平分線的性質，根據(jù)角的關系列方程求解是解題的關鍵．
例2.（2022 浙江七年級期中）如圖1，為直線上一點，過點作射線，，將一直角三角板（）的直角頂點放在點處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．（注：本題旋轉角度最多．）
（1）將圖1中的三角板繞點以每秒的速度沿順時針方向旋轉．如圖2，經過秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，則______秒（直接寫結果）．
（2）在（1）問的基礎上，若三角板在轉動的同時，射線也繞點以每秒的速度沿順時針方向旋轉，如圖3，經過秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求為多少秒？
（3）若（2）問的條件不變，那么經過秒平分？（直接寫結果）
【答案】（1），5；（2），；（3）經過秒平分
【解析】（1），∵，∴
∵平分，，∴，∴
∴，解得：秒
（2）度
∵，平分，∴
∴，∴解得：秒
（3）如圖：
∵，
由題可設為，為，∴
∵，，解得：秒
答：經過秒平分．
模型2、旋轉中的定值模型
例1．（2023·成都市石室聯(lián)合中學七年級月考）已知，，平分，平分.（1）如圖，當、重合時，求的值；
（2）若從上圖所示位置繞點以每秒的速度順時針旋轉秒（），在旋轉過程中的值是否會因的變化而變化，若不發(fā)生變化，請求出該定值；若發(fā)生變化，請說明理由.
【答案】（1）35°；（2）是定值，35°
【分析】（1）首先根據(jù)角平分線的定義求得∠AOE和∠BOF的度數(shù)，然后根據(jù)∠AOE-∠BOF求解；
（2）首先由題意得∠BOC=3t°，再根據(jù)角平分線的定義得∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°，然后由角平分線的定義得∠AOE=∠AOE=∠AOC=（110°+3t°），∠BOF=∠BOD=（40°+3t°），最后根據(jù)∠AOE-∠BOF求解可得．
【詳解】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE=∠AOB=×110°=55°，∠BOF=∠COD=×40°=20°，∴∠AOE-∠BOF=55°-20°=35°；
（2）∠AOE-∠BOF的值是定值，如圖2，
由題意∠BOC=3t°，則∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE=∠AOC=（110°+3t°），∠BOF=∠BOD=（40°+3t°），
∴∠AOE-∠BOF=（110°+3t°）-（40°+3t°）=35°，
∴∠AOE-∠BOF的值是定值．
【點睛】本題考查了角度的計算以及角的平分線的性質，理解角度之間的和差關系是關鍵．
例2．（2022秋·河南南陽·七年級校考期末）將一副三角尺如圖①擺放，，，現(xiàn)將繞點C以/秒的速度逆時針方向旋轉，旋轉時間為秒．

(1)如圖②，當______時，恰好平分；(2)如圖③，當______時，恰好平分；
(3)如圖④，當______時，恰好平分；
(4)繞點C旋轉到如圖⑤的位置，平分，平分，求的度數(shù)；
(5)若旋轉到如圖⑥的位置，（4）中結論是否發(fā)生變化？請說明理由．
【答案】(1)4(2)7(3)10(4)(5)不變，，理由見解析；
【分析】（1）如圖，由題意可得：，而，，
再證明，而，再建立方程求解即可；
（2）如圖，證明，，再建立方程求解即可；
（3）如圖，證明，，同理：，而，可得，從而可得答案；
（4）先表示，可得，同理可得，而，再利用角的和差可得答案；
（5）先表示，可得，同理可得，而，再利用角的和差可得答案．
【詳解】（1）解：如圖，由題意可得：，而，
∴，

∵平分，∴，而，∴，解得：；
（2）如圖，∵，平分，∴，
∵，，∴，∴，解得：；
（3）如圖，∵，恰好平分，∴，，
同理：，而，∴，解得：；
（4）如圖，

∵，，∴，
∵平分，∴，
∵，，∴，
∵平分，∴，
而，
∴．
（5）如圖，

∵，，∴，
∵平分，∴，
∵，，∴，
∵平分，∴，
而，
∴．
【點睛】本題考查的是角的動態(tài)定義，角的和差運算，角平分線的含義，一元一次方程的應用，熟練的畫出符合題意的圖形，再利用數(shù)形結合的方法解題是關鍵．
模型3、旋轉中的探究類模型（判斷角的數(shù)量之間的關系）
例1．（2022秋·黑龍江大慶·七年級校考期末）已知，從的頂點引出一條射線，射線在的內部，將射線繞點逆時針旋轉形成．
(1)如圖1，若，比較和的大小，并說明理由；
(2)作射線，射線為的平分線，設．
①如圖2，當，若射線恰好平分，求的度數(shù)；
②當時，請?zhí)骄颗c之間的數(shù)量關系．
【答案】(1)，理由見解析(2)①②
【分析】（1）根據(jù)，，即可確定兩個角的大小；（2）①根據(jù)角平分線的定義可得，，根據(jù)列方程，求出的值，再根據(jù)計算即可；
②分兩種情況：當時，當時，分別根據(jù)角平分線的定義，角的和差計算即可．
【詳解】（1）解：，理由如下：
，，，
又，；
（2）①恰好平分，，，
為的平分線，，，
，，，；
②分情況討論：當時，
，
，為的平分線，，
，；
當時，，
，為的平分線，，
，；
綜上所述，．
【點睛】本題考查了角平分線的定義，角的計算，熟練掌握角平分線的定義是解題的關鍵．
例2．（2022·廣東七年級期中）如圖（a），將兩塊直角三角尺的直角頂點C疊放在一起．
（1）若∠DCE=25°，∠ACB 等于多少；若∠ACB=130°，則∠DCE 等于多少；
（2）猜想∠ACB與∠DCE的大小有何特殊關系，并說明理由；
（3）如圖（b），若是兩個同樣的三角尺60°銳角的頂點A重合在一起，則∠DAB與∠CAE的大小有何關系，請說明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是銳角），如圖（c），若把它們的頂點O重合在一起，則∠AOD與∠BOC的大小有何關系，請說明理由．
【答案】（1）∠ACB=155°；∠DCE=50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由見解析；（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由見解析；（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由見解析．
【分析】（1）先求出∠BCD，再代入∠ACB=∠ACD+∠BCD求出即可；先求出∠BCD，再代入∠DCE=∠BCE﹣∠BCD求出即可；（2）根據(jù)∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE求出即可；
（3）根據(jù)∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB求出即可；（4）根據(jù)∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD求出即可．
【詳解】解：(1)∵∠BCE=90°，∠DCE=25°，∴∠BCD=∠BCE﹣∠DCE=65°，
∵∠ACD=90°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+65°=155°；
∵∠ACB=130°，∠ACD=90°，∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=130°﹣90°=40°，
∵∠BCE=90°，∴∠DCE=∠BCE﹣∠BCD=90°﹣40°=50°，故答案為：155°，50°；
（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：∵∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠DCE=∠ACD+∠BCE=180°；
（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由如下：∵∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB，
∴∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE=∠DAC+∠BAE=120°；
（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由如下：∵∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD，
∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COB+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=α+β．
【點睛】本題考查了角的運算，理解角的和差運算是解題的關鍵．
模型4、旋轉中的分類討論模型
例1.（2022 廣東七年級期末）如圖（1），∠BOC和∠AOB都是銳角，射線OB在∠AOC內部，，．（本題所涉及的角都是小于180°的角）
(1)如圖（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：
①當，時，______，______，______；
②______（用含有或的代數(shù)式表示）．
(2)如圖（3），P為∠AOB內任意一點，直線PQ過點O，點Q在∠AOB外部：
①當OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度數(shù)為______；
②當OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度數(shù)為______；
（∠MON的度數(shù)用含有或的代數(shù)式表示）
(3)如圖（4），當，時，射線OP從OC處以5°/分的速度繞點O開始逆時針旋轉一周，同時射線OQ從OB處以相同的速度繞點O逆時針也旋轉一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分鐘時，∠MON的度數(shù)是40°？
【答案】(1)；(2)，；(3)分鐘時，∠MON的度數(shù)是40°
【解析】(1)① OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
當，時，，
，
②，故答案為：
(2)①OM平分∠POB，ON平分∠POA，
②OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，
故答案為：，
(3)根據(jù)題意
OM平分∠POQ，
如圖，當在的外部時，
MON的度數(shù)是40°
ON平分∠POA，，，則旋轉了
分，即分鐘時，∠MON的度數(shù)是40°
如圖，在的內部時，即
此情況不存在，綜上所述，分鐘時，∠MON的度數(shù)是40°
例2．（2022·成都市七年級階段練習）定義：從一個角的頂點出發(fā)，在角的內部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內半角，如圖1，若，則是的內半角．（1）如圖1，已知，，是的內半角，則________；（2）如圖2，已知，將繞點按順時針方向旋轉一個角度得，當旋轉的角度為何值時，是的內半角；（3）已知，把一塊含有角的三角板如圖3疊放，將三角板繞頂點以3度/秒的速度按順時針方向旋轉（如圖4），問：在旋轉一周的過程中，射線，，，能否構成內半角？若能，請求出旋轉的時間；若不能，請說明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）能，或或或．
【分析】（1）根據(jù)內半角的定義解答即可；（2）根據(jù)內半角的定義解答即可；
（3）設按順時針方向旋轉一個角度，旋轉的時間為，根據(jù)內半角的定義列方程即可得到結論．
【詳解】（1）∵是的內半角，，∴，
∵，∴，故答案為：．
（2）∵，∴，
∵是的內半角，∴，∴，
∴旋轉的角度為時，是的內半角．
（3）設按順時針方向旋轉一個角度，旋轉的時間為，
如圖1，∵是的內半角，，
∴，∴，解得：，∴；
如圖2，∵是的內半角，，
∴，∴，∴，∴；
如圖3，∵是的內半角，，∴，
∴，∴，∴；
如圖4，∵是的內半角，，∴，
∴，解得：，∴，
綜上所述，當旋轉的時間為或或或時，射線，，，能構成內半角．
【點睛】本題考查了與角的有關的計算，涉及到角的和差，準確識圖理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵．
模塊4：同步培優(yōu)題庫
全卷共26題 測試時間：60分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023秋·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖1，點A，O，B依次在直線上，現(xiàn)將射線繞點O沿順時針方向以每秒的速度旋轉；同時射線繞點O沿逆時針方向以每秒的速度旋轉．如圖2，設旋轉時間為t秒（）．下列說法正確的是（ ）
A．整個運動過程中，不存在的情況
B．當時，兩射線的旋轉時間t一定為20秒
C．當t值為36秒時，射線恰好平分
D．當時，兩射線的旋轉時間t一定為40秒
【答案】C
【分析】由題意知，；當時，；當時，；令，計算求解可判斷選項A的正誤；令，，計算求解可判斷選項B、D的正誤；將代入，求出的值，然后根據(jù)求解的值，根據(jù)與的關系判斷選項C的正誤．
【詳解】解：由題意知，；
當時，；當時，；
令，即，解得秒，
∴存在的情況；故A錯誤，不符合題意；
令，即，解得秒，
令，即，解得秒，
∴當時，兩射線的旋轉時間t不一定為20秒；故B、D錯誤，不符合題意；
當時，∴，
∵，∴射線恰好平分，故C正確，符合題意；故選C．
【點睛】本題主要考查了角的運算，角平分線等知識．解題的關鍵在于正確的表示各角度．
2．（2023春·廣東深圳·七年級校考開學考試）如圖，繞點O逆時針在的內部旋轉，其中平分平分，在從與重合時開始到與重合為止，以每秒的速度旋轉過程中，下列結論：（1）射線的旋轉速度為每秒；（2）當時間為15秒；（3）的大小為；（4）在整個過程中在內部持續(xù)時長為45秒．其中正確的有（　　）個．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】（1）根據(jù)角平分線的意義來分析射線的速度；（2）先假定時間為15秒，然后來分析A、C的位置的變化情況；（3）根據(jù)角平分線的性質來求即可；（4）用除以2即可判斷．
【詳解】解：（1）∵以每秒的速度旋轉，
∴角平分線的旋轉速度為每秒，故（1）是錯誤的；
（2）設轉了t秒，，則，，
當秒時，，故（2）正確；
（3）∵，設，則，
∴；∴，即，故（3）是正確的；
（4）∵秒，∴在整個過程中在內部持續(xù)時長為45秒，故（4）錯誤．
∴正確的是（2）（3），故選：B．
【點睛】此題主要考查了角的計算和角平分線的定義，正確根據(jù)角平分線的性質得出是解題關鍵．
3．（2022秋·安徽池州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點O在直線上，過O作射線，，一直角三角板的直角頂點與點O重合，邊與重合，邊在直線的下方．若三角板繞點O按每秒的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，直線恰好平分銳角，則t的值為（　　）
A．5 B．4 C．5或23 D．4或22
【答案】C
【分析】分兩種情況進行討論，分別依據(jù)直線恰好平分銳角，得到三角板旋轉的度數(shù)，進而得到t的值．
【詳解】解：∵，∴，
當直線恰好平分銳角時，如圖：
，此時，三角板旋轉的角度為，∴；
當在的內部時，如圖：
三角板旋轉的角度為，∴；
∴t的值為：5或23．故選：C．
【點睛】本題考查了角平分線的定義，應該認真審題并仔細觀察圖形，找到各個量之間的關系，是解題的關鍵．
4．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，點O在直線AB上，過O作射線OC，∠BOC＝120°，一直角三角板的直角頂點與點O重合，邊OM與OB重合，邊ON在直線AB的下方．若三角板繞點O按每秒10°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為（ ）
A．5 B．6 C．5或23 D．6或24
【答案】D
【分析】分別討論ON的反向延長線恰好平分銳角∠AOC和ON在∠AOC的內部；兩種情況，根據(jù)角平分線的定義及角的和差關系即可得答案．
【詳解】∵∠BOC=120°，∴∠AOC=60°，
①如圖，當ON的反向延長線恰好平分銳角∠AOC時，∴∠BON=∠AOC=30°，
此時，三角板旋轉的角度為90° 30°=60°，∴t=60°÷10°=6；
②如圖，當ON在∠AOC的內部時，∴∠CON=∠AOC=30°，
∴三角板旋轉的角度為90°+120°+30°=240°，∴t=240°÷10°=24；
∴t的值為：6或24．故選：D．
【點睛】此題考查了角平分線的定義及角的運算，解題的關鍵是靈活運用分類討論的思想．
5．（2023春·浙江·七年級專題練習）如圖，直線，相交于點，在內部畫射線OA，使OC恰為的平分線，在內部畫射線OB，使，將直線繞點旋轉，下列數(shù)據(jù)與大小變化無關的是（ ）
A．的度數(shù) B．的度數(shù) C．的度數(shù) D．的度數(shù)
【答案】B
【分析】根據(jù)角平分線和對頂角相等分別找到與各個選項的角度的關系即可．
【詳解】∵，相交于點，∴=，A選項不符合題意；
∵OC恰為的平分線，∴=，D選項不符合題意；
∵=180°-∴=180°-，C選項不符合題意；故選：B
【點睛】本題主要考查對頂角相等、角平分線的定義，準確找到與各個選項的角度的關系最后利用排除法得到正確答案是解題的關鍵．
6．（2022·廣西欽州·期末）如圖，直線與相交于點，一直角三角尺的直角頂點與點重合，平分，現(xiàn)將三角尺以每秒的速度繞點順時針旋轉，同時直線也以每秒的速度繞點順時針旋轉，設運動時間為秒（），當平分時，的值為（　 ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】分兩種情況進行討論：當轉動較小角度的平分時，；當轉動較大角度的平分時，；分別依據(jù)角的和差關系進行計算即可得到的值．
【解析】解：分兩種情況：
①如圖平分時，，即，解得；
②如圖平分時，，即，解得．
綜上所述，當平分時，的值為2.5或32.5．故選：．
【點睛】本題考查角的動態(tài)問題，理解題意并分析每個運動狀態(tài)是解題的關鍵．
8．（2023秋·重慶開州·七年級統(tǒng)考期末）一副三角板ABC、DBE，如圖1放置，（、），將三角板繞點B逆時針旋轉一定角度，如圖2所示，且，有下列四個結論：

①在圖1的情況下，在內作，則平分；
②在旋轉過程中，若平分，平分，的角度恒為定值；
③在旋轉過程中，兩塊三角板的邊所在直線夾角成的次數(shù)為3次；
④的角度恒為．其中正確的結論個數(shù)為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】結合圖形根據(jù)題意正確進行角的和差計算即可判斷．
【詳解】①如圖可得，所以平分，①正確；
②當時，設，∵平分，∴，
∴ ，，
∴，
當時，設，∵平分，∴，
∴，∴，
∴，∴，故②正確；
③時，時，時故③正確；
④當時，當時，故④錯誤；
綜上所述，正確的結論為①②③；故選：C．
【點睛】本題主要考查了角的和差，角的平分線，旋轉的性質，關鍵根據(jù)題意正確進行角的和差計算．
8．（2023·浙江·七年級期中）一副三角板ABC、DBE，如圖1放置，（∠D＝30°、∠BAC＝45°），將三角板DBE繞點B逆時針旋轉一定角度，如圖2所示，且0°＜∠CBE＜90°，則下列結論中正確的是（　　）
①∠DBC+∠ABE的角度恒為105°；②在旋轉過程中，若BM平分∠DBA，BN平分∠EBC，∠MBN的角度恒為定值；③在旋轉過程中，兩塊三角板的邊所在直線夾角成90°的次數(shù)為2次；
④在圖1的情況下，作∠DBF＝∠EBF，則AB平分∠DBF．
A．① B．② C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余、角平分線的定義、角的和差逐個判斷即可得．
【詳解】解：
如圖1，當時
如圖2，當時
因此，的角度不恒為，則①錯誤
如圖1，當時
由角平分線的定義得
如圖2，當時
由角平分線的定義得
因此，的角度恒為定值，則②正確
邊與三角板的三邊所在直線夾角不可能成
如圖1，當時，設DE與AB的交點為F
，即
DE只與三角板的AB邊所在直線夾角成，次數(shù)為1次；DB只與三角板的BC邊所在直線夾角成，次數(shù)為1次 如圖2，當時，延長DE交AB于點F
，即
只有DB與三角板的AB邊所在直線夾角成，次數(shù)為1次
因此，在旋轉過程中，兩塊三角板的邊所在直線夾角成的次數(shù)為3次，則③錯誤
如圖3，作
，即平分
如圖4，作 顯然不平分，則④錯誤
綜上，正確的個數(shù)只有②這1個故選：B．
【點睛】本題是一道較難的綜合題，考查了直角三角形兩銳角互余、角平分線的定義、角的和差等知識點，依據(jù)正確分兩種情況討論是解題關鍵．需注意的是，不能受兩個示意圖的影響，而少討論一種情況．
二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
9．（2023·廣東·七年級專題練習）一副三角板與如圖擺放，且，，，平分，平分．當三角板繞點順時針旋轉（從圖到圖）．設圖、圖中的的度數(shù)分別為，， 度．

【答案】105
【分析】根據(jù)角平分線的性質分別求出，的值，計算即可．
【詳解】解：如圖1：∵，，，

∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
即，∴；
如圖2：∵，，，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，即，
∴；∴；故答案為：105．
【點睛】本題考查了角平分線的性質，熟練掌握角平分線的性質是解題的關鍵．
10．（2023春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，射線 繞點 從位置開始，以每秒的速度順時針旋轉； 同時，射線 繞點從位置開始，以每秒的速度逆時針旋轉，并且當 與成角時，與同時停止旋轉．則在旋轉的過程中，經過 秒，與的夾角是．

【答案】或
【分析】設轉動秒，與的夾角是，進行分情況畫圖 ，列方程即可得到結論．
【詳解】設秒后，與的夾角是，
如圖，∴，，
，
∵，∴，即有，解得：，
如圖，∴，，

∵，∴，即有，解得：，
綜上可知：或，與的夾角是，故答案為：或．
【點睛】此題考查了一元一次方程的應用，角的有關計算，解題的關鍵是確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關系．
11．（2023春·山東威海·六年級統(tǒng)考期末）如圖，點在直線上，，，將繞點以每秒的速度按逆時針方向旋轉一周（如圖），當旋轉到第秒時，所在的直線平分，則的值為 ．

【答案】或
【分析】根據(jù)平角的定義得到，進行分類討論，求出旋轉的度數(shù)即可求解．
【詳解】∵，∴，
∵，∴，
如圖，當逆時針旋轉到時，

∵平分，∴，
則逆時針旋轉了，∴，
如圖，當逆時針旋轉到時，

由得：，，∴，∴，
則逆時針旋轉了，∴，
綜上可知：的值為或秒，故答案為：或秒．
【點睛】此題考查了考查了角平分線定義，平角的定義，根據(jù)旋轉后畫出圖形是解題的關鍵．
12．（2023春·江西南昌·七年級校考期末）如圖，直線與相交于點O，，平分，，平分．若射線從射線的位置出發(fā)，繞點O以每秒的速度逆時針旋轉一周，當旋轉時間為t秒時，三條射線中恰好有一條射線是另外兩條射線所組成的角的平分線，請寫出旋轉時間t的值為 秒．（旋轉過程中，，都只考慮小于的角）

【答案】1或13或25
【分析】利用角平分線求出，，求出，，求出，由角平分線，求出，，再分平分，平分，平分三種情況討論求解即可．
【詳解】解：∵，∴，
∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∵平分，∴，∴；
分情況討論：①當平分時，

∵，∴，即：，
∴，∴；
②平分時，

則：，∴，∴；
③當平分時：

則：，∴，
∴點旋轉的角度為：，∴；
綜上：的值為：1或13或25．故答案為：1或13或25．
【點睛】本題考查幾何圖形中角度的計算．正確的識圖，理清角的和差關系，是解題的關鍵．
13．（2023·廣東河源·七年級校考期末）將兩個形狀，大小完全相同的含有，的三角板與如圖放置，，，三點在同一直線上．現(xiàn)將三角板繞點沿順時針方向旋轉一定角度，如圖，若平分，平分，則的度數(shù)是 ．

【答案】
【分析】根據(jù)三角板的各個角的度數(shù)，以及角平分線的意義，利用平角以及角的和與差求出答案．
【詳解】解：設三角板繞點P沿順時針方向旋轉的角度為，，
∵平分，平分，∴，
，
∴．故答案為：15．
【點睛】考查角平分線的意義，平角以及三角板的各個特殊銳角的關系等知識，把握各個角之間的關系是得出答案的前提．
14．（2023春·湖南株洲·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，O為直線上一點，作射線，使，將一個直角三角尺如圖擺放，直角頂點在點O處，一條直角邊在射線上．將圖1中的三角尺繞點O以每秒的速度按逆時針方向旋轉（如圖2所示），在旋轉一周的過程中：
（1）當旋轉10秒時，則的度數(shù) ；
（2）第t秒時，所在直線恰好平分，則t的值為 ．
【答案】 24或60/60或24
【分析】（1）根據(jù)旋轉的速度，求出的度數(shù)即可；
（2）由平角的定義可得或，然后列出方程求解即可．
【詳解】解：（1）∵，，
∴，
∵三角尺繞點以每秒5°的速度按逆時針方向旋轉，
∴當旋轉10秒時，；
故答案為：．
（2）∵，所在直線恰好平分，
∴或，
∴或，
解得：或．
故答案為：24或60．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義，根據(jù)角平分線定義、平角的定義、列出方程是解答本題的關鍵．
15．（2023秋·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，于點，，射線從出發(fā)，繞點以每秒的速度順時針向終邊旋轉，同時，射線從出發(fā)，繞點以每秒的速度順時針向終邊旋轉，當、中有一條射線到達終邊時，另一條射線也隨之停止．在旋轉過程中，設，，則與之間的數(shù)量關系為 ．
【答案】或
【分析】分和，兩種情況進行討論求解即可．
【詳解】解：由題意，得：的運動時間為：秒，的運動時間為：秒；
∴運動的時間相同；設運動時間為秒，則：，
∵，∴，
當時：，
∴，，
∴，∴，∴，即：；
當，在上方時：如圖，，
∴，，
∴，∴，∴，即：；
當，在下方時：如圖2，，
∴，，
∴，∴，∴，即：；
綜上：與之間的數(shù)量關系為或；
故答案為：或．
【點睛】本題考查幾何圖形中角度的計算．正確的識圖，理清角之間的和差關系，是解題的關鍵．
16．（2023秋·湖北武漢·七年級校聯(lián)考期末）如圖，．若在平面內繞點O旋轉，分別作和平分線OP、OQ，則的度數(shù)為 ．
【答案】或
【分析】分三種情況畫出圖形求解即可．
【詳解】設，，如圖1，
∵OP、OQ分別是和平分線，∴，
∴，
∴；
如圖2，
∵，
∵OP、OQ分別是和平分線，∴，
∴
；
如圖3，
∵OP、OQ分別是和平分線，∴，
∴
；
故答案為：或．
【點睛】本題考查了角平分線定義，線段的和差，以及分類討論的數(shù)學思想，熟練掌握角平分線的定義是解題的關鍵．
17．（2023春·浙江·七年級期末）定義：從一個角的頂點引一條射線，把這個角分成兩個角，并且這兩個角的度數(shù)之比為1:2，這條射線叫做這個角的三分線．顯然，一個角的三分線有兩條．如，，是的兩條三分線，以點為中心，將按順時針方向旋轉（）得到，當恰好是的三分線時，的值為 ．
【答案】或
【分析】根據(jù)題意將本題分成兩種情況討論①，②，根據(jù)兩種情況分別討論并計算即可．
【詳解】解：∵，，是的兩條三分線，
∴，
①當，如圖，
如原圖所示：，所以；
②當時，如圖，
則，所以，．
故答案為：或．
【點睛】本題考查角的運算，旋轉的性質，能夠熟練掌握分類討論思想是解決本題的關鍵．
18．（2022秋·陜西西安·七年級校考階段練習）如圖1，點O為直線上一點，過O點作射線OC，使，將一副直角三角板的直角頂點放在點O處，其中一個三角板的一邊在射線OB上，另一個三角板的一邊在射線上，這副三角板的另外兩邊重合，并在直線的下方．直角三角板從圖1的位置繞點O以每秒的速度逆時針旋轉，同時直角三角板繞點O以每秒的速度順時針旋轉，當三角板繞點O旋轉一周后，運動停止．經過 秒時，所在直線平分；經過 秒時，所在直線平分．
【答案】 2或8 或
【分析】分兩種情況討論，當平分和的反向延長線平分；當平分和當?shù)姆聪蜓娱L線平分，分別列式計算即可求解．
【詳解】解：設三角板運動時間為t秒時，所在直線平分，
當平分，依題意得：，解得：(秒)；
當?shù)姆聪蜓娱L線平分，依題意得：，解得：(秒)；
綜上，經過2或8秒時，所在直線平分；
設三角板運動時間為t秒時，所在直線平分，，
當平分，依題意得：，解得：(秒)；
當?shù)姆聪蜓娱L線平分，依題意得：，解得：(秒)；
綜上，經過或秒時，所在直線平分；故答案為：2或8；或．
【點睛】本題考查角的計算、角平分線的意義，用方程解幾何問題是常用的方法．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023秋·河南許昌·七年級統(tǒng)考期末）線段的計算和角的計算有緊密聯(lián)系，它們之間的解法可以互相遷移．下面是某節(jié)課的學習片段，請完成探索過程：
(1)課上，老師提出問題：如圖①，點O是線段上一點，C、D分別是線段、的中點，當時，求線段的長度．下面是小澤根據(jù)老師的要求進行的分析及解答過程，請你補全解答過程：
未知線段 已知線段…… 因為C，D分別是線段、的中點，所以，________，________，因為，所以________， 線段中點的定義線段的和、差等式的性質
(2)小澤舉一反三，發(fā)現(xiàn)有些角度的計算也可以用相似的方法進行轉化如圖②，已知，是角內部的一條射線，，分別是，的平分線．求的度數(shù)．請同學們嘗試解決該問題．

(3)同組的小麗同學很善于思考，她提出新的問題：如果（2）中其他條件不變，將射線繞點O旋轉到的外部，則的度數(shù)是________．
【答案】(1)，，(2)(3)或者
【分析】（1）根據(jù)題干給出的思路作答即可；（2）根據(jù)角平分線的定義表示出和，然后根據(jù)進行計算即可得解；
（3）根據(jù)角平分線的定義表示出和，然后分三種情況作出圖形，列式計算即可得解．
【詳解】（1）∵C，D分別是線段、的中點，
∴，，，
∵，∴，故答案為：，，；
（2）∵，分別是，的平分線，
∴，，
∴，
∵，∴；
（3）∵，分別是，的平分線，，
∴，，
分三種情況：第一種情況：如圖，

；
第二種情況，如圖，同理可得：；
第三種情況，如圖，，
綜上：的度數(shù)是或者．
【點睛】本題考查了角的計算，主要利用了角平分線的定義，熟記概念并準確識圖是解題的關鍵，同時要注意分情況討論．
20．（2022·安徽亳州·七年級期末）如圖（）所示，將兩塊直角三角尺的直角頂點C疊放在一起．
(1)若，則________°；若∠ACB=130°，則_________°．
(2)如圖（b）所示，若兩個同樣的三角板，將銳角的頂點A疊放在一起，則與有何數(shù)量關系，請說明理由．(3)如圖（c）所示，已知，（，都是銳角）．若把它們的頂點O疊放在一起，則與有何數(shù)量關系，直接寫出結論．
【答案】(1)155，50；(2)∠DAB+∠CAE=120°，理由見解析；(3)
【分析】(1) 先求出∠BCD，再代入∠ACB=∠ACD+∠BCD求出即可；
(2)根據(jù)∠DAB=∠DAE+∠EAB求出即可；(3) 根據(jù)∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD求出即可．
（1）解∶ ∵∠BCE=90°，∠DCE=25°，∴∠BCD=∠BCE-∠DCE=65°，
∵∠ACD=90° ，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+65°=155°；
∵∠ACB=130°，∠ACD=90° ，∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=130°-90°=40°，
∵∠BCE=90°，∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°-40°=50°，故答案為∶155，50；
（2）∠DAB+∠CAE=120°，理由如下∶
∵∠DAC=∠EAB=60°，∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=60°-∠EAC，
∴∠DAB=∠DAE+∠EAB=60°-∠EAC+60°=120°-∠EAC，∴∠DAB+∠CAE=120°；
（3）解：，理由如下，
∵
∴，故答案為：．
【點睛】此題考查了幾何圖形中角度的計算，正確理解圖形中角的位置關系，掌握三角板中各角的度數(shù)是解題的關鍵．
21．（2023秋·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）已知，從的頂點O引出一條射線，射線在的內部，將射線繞點O逆時針旋轉形成．
(1)如圖1，若，比較和的大小，并說明理由；
(2)作射線，射線為的平分線，設．
①如圖2，當，若射線恰好平分，求的度數(shù)；
②當時，請?zhí)骄颗c之間的數(shù)量關系．
【答案】(1)，見解析；(2)①，②．
【分析】（1）結合題意，進行角的加減計算求出、的度數(shù)即可；
（2）①由角平分線的定義得，，依據(jù)可求得，從而求出；②如圖1，當，結合角平分線的定義求得，，即；如圖2，當，結合角平分線的定義求得，，即；綜上所述，．
【詳解】（1）解：和的大小相等．理由如下：
由題意可得：射線、射線和射線在射線同側，
∵，，∴，
又∵，∴，∴；
（2）①∵射線恰好平分，∴，∴，
∵射線為的平分線，∴，∴，
∵，∴，∴，∴
②如圖1，當，
∵，
∵，射線為的平分線，∴，
∴，∴；
如圖2，當，
∵，
∵，射線為的平分線，∴，
∴，∴；
綜上所述，．
【點睛】本題考查了與角平分線有關的角的計算；掌握角平分線的性質是解題的關鍵．
22．（2023·江蘇·七年級專題練習）如圖1，射線OC在的內部，圖中共有3個角：、、，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是的“定分線”．
（1）一個角的平分線_________這個角的“定分線”；（填“是”或“不是”）
（2）如圖2，若，且射線PQ是的“定分線”，則________(用含a的代數(shù)式表示出所有可能的結果）；
（3）如圖2，若=48°，且射線PQ繞點P從PN位置開始，以每秒8°的速度逆時針旋轉，當PQ與PN成90°時停止旋轉，旋轉的時間為t秒；同時射線PM繞點P以每秒4°的速度逆時針旋轉，并與PQ同時停止．當PQ是的“定分線”時，求t的值．
【答案】（1）是；（2）；（3）t=2.4，6，4
【分析】（1）根據(jù)“定分線”定義即可求解；（2）分3種情況，根據(jù)“定分線定義”即可求解；
（3）分3種情況，根據(jù)“定分線定義”列出方程求解即可．
【詳解】解：（1）當OC是角∠AOB的平分線時，
∵∠AOB=2∠AOC，∴一個角的平分線是這個角的“定分線”；故答案為：是；
（2）∵∠MPN=分三種情況
①∵射線PQ是的“定分線”，∴=2=，∴=，
②∵射線PQ是的“定分線”，∴=2，
∵∠QPN+∠QPM=，∴3=，∴=，
③∵射線PQ是的“定分線”，∴2=，
∵∠QPN+∠QPM=，∴3∠QPN =，∴∠QPN =，∴∠QPM =，
∴∠MPQ=或或；故答案為：或或；
（3）依題意有三種情況：
①∠NPQ=∠NPM，由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t=（4t+48），解得t=2.4(秒)；
②∠NPQ=∠NPM由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t=（4t+48），解得t=4(秒)；
③∠NPQ=∠NPM由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t=（4t+45），解得：t=6(秒)，
故t為2.4秒或4秒或6秒時，PQ是∠MPN的“定分線”．
【點睛】本題考查了一元一次方程的幾何應用，“定分線”定義，學生的閱讀理解能力及知識的遷移能力．理解“定分線”的定義并分情況討論是解題的關鍵．
23．（2023秋·湖北黃石·七年級統(tǒng)考期末）已知，，平分，平分．（本題中的角均為大于且小于等于的角）．
(1)如圖，當、重合時，求的度數(shù)；(2)當從如圖所示位置繞點O沿順時針方向旋轉，且時，直接寫出n的取值范圍．(3)當從如圖所示位置繞點O沿順時針方向旋轉時，的值是否為定值？若是定值，求出的值；若不是，請說明理由．
【答案】(1)(2)(3)不是定值，見解析
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義知、，再根據(jù)可得答案；（2）分三種情況討論：當時，，為定值；當時，，為定值；當時，，由，解得：（不符合題意，舍去）；即可確定n的取值范圍．（3）分兩種情況討論：；．
【詳解】（1）如圖1，與重合，
∵平分，即平分，∴，
∵平分，即平分，∴，
∴；
（2）當時，如圖2，
即有：，，，
∵平分，∴，∵平分，∴，
∴；此時，為定值；
當時，如圖3．
即，，，
∵平分，∴，∵平分，∴，
∴；此時，為定值；
當時，如圖4．
即，，，
∵平分，∴，∵平分，∴，
∴，
∵，∴，解得：（不符合題意，舍去）；
綜上所述，n的取值范圍；
（3）的值不是定值，理由是：
當時，如圖5．
的值是定值，理由是：
，，
∵平分，平分，
∴、，∴為定值；
當時，如圖6．
即：，，，
∵平分，平分∴，，
則，不是定值，故的值不是定值．
【點睛】本題主要考查角的計算和角平分線的定義，旋轉變換的性質，熟練掌握角平分線的性質，靈活運用數(shù)形結合思想及分類討論思想是解題的關鍵．
24．（2023春·重慶沙坪壩·七年級校考開學考試）平面上順時針排列射線，，，射線分別平分，（題目中所出現(xiàn)的角均小于）．
(1)如圖1，若，則___________，___________；
(2)如圖2，探究與的數(shù)量關系，并說明理由；
(3)在（2）的條件下，若，將繞點O以每秒的速度順時針旋轉，同時將繞點O以每秒逆時針旋轉，若旋轉時間為t秒，當時，直接寫出t的值．
【答案】(1)，(2)(3)當時，或
【分析】（1）先根據(jù)，射線平分求出，進而得到，即可求出，再根據(jù)射線平分求出，最后計算即可；（2）先由，射線平分求出，再由射線分別平分求出，最后根據(jù)計算即可．
（3）先根據(jù)題意得到，，進而求出旋轉前 ，再由“將繞點O以每秒的速度順時針旋轉”得到恒定，然后分類討論即可．
【詳解】（1）∵，射線平分，
∴，∴，
∴，
∵射線平分，∴，
∴，故答案為，；
（2）∵，射線平分，∴，
∵射線分別平分，∴，
∴，
∵，，
∴，∴；
（3）∵，，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∵將繞點O以每秒的速度順時針旋轉，
∴度數(shù)恒定，即恒定，
在和相遇前，∵，射線平分，
∴，
∵，，∴，解得；
在和相遇后，此時，
∵射線平分，∴
∵，，∴，
即，解得；即當時，或．
【點睛】本題考查了與角平分線有關的計算，難度較大，需要有良好的空間想象能力．因為題干要求題目中所出現(xiàn)的角均小于，所以第三問無需考慮后再次出現(xiàn)的情況．
25．（2023秋·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）已知，是內部的一條射線，且．

(1)如圖1所示，若，平分，平分，求的度數(shù)；(2)如圖2所示，是直角，從點O出發(fā)在內引射線，滿足，若平分，求的度數(shù)；(3)如圖3所示，，射線，射線分別從出發(fā)，并分別以每秒和每秒的速度繞著點O逆時針旋轉，和分別只在和內部旋轉，運動時間為t秒．
①直接寫出和的數(shù)量關系；②若，當，求t的值．
【答案】(1)(2)(3)①；②
【分析】（1）先求出，再根據(jù)角平分線的定義得到，由此即可得到答案；（2）先求出，則，進一步求出，由角平分線的定義得到，進而可得；
（3）①先求出，，根據(jù)題意可得，由此求出，，則；②求出，再由，，得到，把代入方程求出t的值即可．
【詳解】（1）解：∵，∴，
∵平分平分，∴，
∴，∴；
（2）解：∵，∴，∴，
∵，∴，
∵平分，∴，∴；
（3）解：①∵，∴，∴
由題意得：，
∴，，∴；
②由①知，
∵，
∴，
∵，，∴，
把代入得：解得，
∴若，當時，．
【點睛】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義，正確理解題意是解題的關鍵．
26．（2022秋·江蘇淮安·七年級校考期末）【新概念】如圖1，為內一條射線，當滿足時，我們把射線叫做射線、的m等個性線，記作．（其中m為正整數(shù)）
【實際應用】已知：O為直線上一點，過O點作射線．
(1)如圖2，將一個三角板（含、）直角頂點D放在O處，另兩條邊分別為，，當是時，___________．（填“是”或“不是”）．
(2)如圖3，將三角板的頂點E放在O處，那么當是時，是否也是？請先猜想結果，再說明理由．(3)將圖3中的射線繞O點逆時針旋轉，如圖4，此時存在正整數(shù)m使是的同時，也是，則___________，___________．
【答案】(1)是(2)是，理由見解析(3)，4
【分析】（1）由是可得，由可得，，進而得出，可知是；
（2）由是可得，由可得，，進而得出，可知是；
（3）由m等個性線的定義可得，由此可得m與的關系，再根據(jù)，m是正整數(shù)，即可求解．
【詳解】（1）解：是，，，
，，，
，，，是，故答案為：是；
（2）解：是，理由如下：
是，，，
，，，
，，，是；
（3）解：是，，
同理，是，，
，，
，，，
又m是正整數(shù)，，，，故答案為：，4．
【點睛】本題考查角n等分線的計算問題、角的和差關系等，解題的關鍵是理解m等個性線的定義．
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專題6.12 角度中的動態(tài)模型
模塊1：學習目標
角度的動態(tài)（旋轉）模型屬于七年級上期必考壓軸題型，是尖子生必須要攻克的一塊重要內容，對考生的綜合素養(yǎng)要求較高。絕大部分學生對角度旋轉問題信心不足，原因就是很多角度旋轉問題需要自己畫出圖形，與分類討論思想、數(shù)形結合思想等結合得很緊密，思考性強，難度大。本專題重點研究與角有關的旋轉模型（求值模型；定值模型；探究模型；分類討論模型）。
模塊2：知識梳理
1、角度旋轉模型解題步驟：
①找——根據(jù)題意找到目標角度；②表——表示出目標角度：
1）角度一邊動另一邊不動，角度變大：目標角=起始角+速度×時間；
2）角度一邊動另一邊不動，角度變小：目標角=起始角—速度×時間；
3）角度一邊動另一邊不動，角度先變小后變大。
變小：目標角=起始角—速度×時間；變大：目標角=速度×時間—起始角
③列——根據(jù)題意列方程求解。
注：①注意題中是否確定旋轉方向，未確定時要分順時針與逆時針分類討論；②注意旋轉角度取值范圍。
2、常見的三角板旋轉模型：
三角板有兩種，一種是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一種是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋轉中隱藏的條件就是上面所說的這幾個特殊角的角度。總之不管這個角如何旋轉，它的角度大小是不變的，旋轉的度數(shù)就是組成角的兩條射線旋轉的度數(shù)（角平分線也旋轉了同樣的度數(shù)）。抓住這些等量關系是解題的關鍵，三角板只是把具體的度數(shù)隱藏了起來。
模塊3：核心考點與典例
模型1、旋轉中的求值模型
例1．（2023秋·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，，，三點在一條直線上，且，，射線，分別平分和．如圖2，將射線以每秒的速度繞點逆時針旋轉一周，同時將以每秒的速度繞點逆時針旋轉，當射線與射線重合時，停止運動．設射線的運動時間為秒．
(1)運動開始前，如圖1，______，______；
(2)旋轉過程中，當為何值時，射線平分
(3)旋轉過程中，是否存在某一時刻使得？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．

例2.（2022 浙江七年級期中）如圖1，為直線上一點，過點作射線，，將一直角三角板（）的直角頂點放在點處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．（注：本題旋轉角度最多．）
（1）將圖1中的三角板繞點以每秒的速度沿順時針方向旋轉．如圖2，經過秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，則______秒（直接寫結果）．
（2）在（1）問的基礎上，若三角板在轉動的同時，射線也繞點以每秒的速度沿順時針方向旋轉，如圖3，經過秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求為多少秒？（3）若（2）問的條件不變，那么經過秒平分？（直接寫結果）
模型2、旋轉中的定值模型
例1．（2023·成都市石室聯(lián)合中學七年級月考）已知，，平分，平分.（1）如圖，當、重合時，求的值；
（2）若從上圖所示位置繞點以每秒的速度順時針旋轉秒（），在旋轉過程中的值是否會因的變化而變化，若不發(fā)生變化，請求出該定值；若發(fā)生變化，請說明理由.
例2．（2022秋·河南南陽·七年級校考期末）將一副三角尺如圖①擺放，，，現(xiàn)將繞點C以/秒的速度逆時針方向旋轉，旋轉時間為秒．

(1)如圖②，當______時，恰好平分；(2)如圖③，當______時，恰好平分；
(3)如圖④，當______時，恰好平分；
(4)繞點C旋轉到如圖⑤的位置，平分，平分，求的度數(shù)；
(5)若旋轉到如圖⑥的位置，（4）中結論是否發(fā)生變化？請說明理由．
模型3、旋轉中的探究類模型（判斷角的數(shù)量之間的關系）
例1．（2022秋·黑龍江大慶·七年級校考期末）已知，從的頂點引出一條射線，射線在的內部，將射線繞點逆時針旋轉形成．
(1)如圖1，若，比較和的大小，并說明理由；
(2)作射線，射線為的平分線，設．
①如圖2，當，若射線恰好平分，求的度數(shù)；
②當時，請?zhí)骄颗c之間的數(shù)量關系．
例2．（2022·廣東七年級期中）如圖（a），將兩塊直角三角尺的直角頂點C疊放在一起．
（1）若∠DCE=25°，∠ACB 等于多少；若∠ACB=130°，則∠DCE 等于多少；
（2）猜想∠ACB與∠DCE的大小有何特殊關系，并說明理由；
（3）如圖（b），若是兩個同樣的三角尺60°銳角的頂點A重合在一起，則∠DAB與∠CAE的大小有何關系，請說明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是銳角），如圖（c），若把它們的頂點O重合在一起，則∠AOD與∠BOC的大小有何關系，請說明理由．
模型4、旋轉中的分類討論模型
例1.（2022 廣東七年級期末）如圖（1），∠BOC和∠AOB都是銳角，射線OB在∠AOC內部，，．（本題所涉及的角都是小于180°的角）
(1)如圖（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：
①當，時，______，______，______；
②______（用含有或的代數(shù)式表示）．
(2)如圖（3），P為∠AOB內任意一點，直線PQ過點O，點Q在∠AOB外部：
①當OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度數(shù)為______；
②當OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度數(shù)為______；
（∠MON的度數(shù)用含有或的代數(shù)式表示）
(3)如圖（4），當，時，射線OP從OC處以5°/分的速度繞點O開始逆時針旋轉一周，同時射線OQ從OB處以相同的速度繞點O逆時針也旋轉一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分鐘時，∠MON的度數(shù)是40°？
例2．（2022·成都市七年級階段練習）定義：從一個角的頂點出發(fā)，在角的內部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內半角，如圖1，若，則是的內半角．（1）如圖1，已知，，是的內半角，則________；（2）如圖2，已知，將繞點按順時針方向旋轉一個角度得，當旋轉的角度為何值時，是的內半角；（3）已知，把一塊含有角的三角板如圖3疊放，將三角板繞頂點以3度/秒的速度按順時針方向旋轉（如圖4），問：在旋轉一周的過程中，射線，，，能否構成內半角？若能，請求出旋轉的時間；若不能，請說明理由．

模塊4：同步培優(yōu)題庫
全卷共26題 測試時間：60分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023秋·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖1，點A，O，B依次在直線上，現(xiàn)將射線繞點O沿順時針方向以每秒的速度旋轉；同時射線繞點O沿逆時針方向以每秒的速度旋轉．如圖2，設旋轉時間為t秒（）．下列說法正確的是（ ）
A．整個運動過程中，不存在的情況
B．當時，兩射線的旋轉時間t一定為20秒
C．當t值為36秒時，射線恰好平分
D．當時，兩射線的旋轉時間t一定為40秒
2．（2023春·廣東深圳·七年級校考開學考試）如圖，繞點O逆時針在的內部旋轉，其中平分平分，在從與重合時開始到與重合為止，以每秒的速度旋轉過程中，下列結論：（1）射線的旋轉速度為每秒；（2）當時間為15秒；（3）的大小為；（4）在整個過程中在內部持續(xù)時長為45秒．其中正確的有（　　）個．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022秋·安徽池州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點O在直線上，過O作射線，，一直角三角板的直角頂點與點O重合，邊與重合，邊在直線的下方．若三角板繞點O按每秒的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，直線恰好平分銳角，則t的值為（　　）
A．5 B．4 C．5或23 D．4或22
4．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，點O在直線AB上，過O作射線OC，∠BOC＝120°，一直角三角板的直角頂點與點O重合，邊OM與OB重合，邊ON在直線AB的下方．若三角板繞點O按每秒10°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為（ ）
A．5 B．6 C．5或23 D．6或24
5．（2023春·浙江·七年級專題練習）如圖，直線，相交于點，在內部畫射線OA，使OC恰為的平分線，在內部畫射線OB，使，將直線繞點旋轉，下列數(shù)據(jù)與大小變化無關的是（ ）
A．的度數(shù) B．的度數(shù) C．的度數(shù) D．的度數(shù)
6．（2022·廣西欽州·期末）如圖，直線與相交于點，一直角三角尺的直角頂點與點重合，平分，現(xiàn)將三角尺以每秒的速度繞點順時針旋轉，同時直線也以每秒的速度繞點順時針旋轉，設運動時間為秒（），當平分時，的值為（　 ）
A． B． C．或 D．或
8．（2023秋·重慶開州·七年級統(tǒng)考期末）一副三角板ABC、DBE，如圖1放置，（、），將三角板繞點B逆時針旋轉一定角度，如圖2所示，且，有下列四個結論：

①在圖1的情況下，在內作，則平分；
②在旋轉過程中，若平分，平分，的角度恒為定值；
③在旋轉過程中，兩塊三角板的邊所在直線夾角成的次數(shù)為3次；
④的角度恒為．其中正確的結論個數(shù)為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
8．（2023·浙江·七年級期中）一副三角板ABC、DBE，如圖1放置，（∠D＝30°、∠BAC＝45°），將三角板DBE繞點B逆時針旋轉一定角度，如圖2所示，且0°＜∠CBE＜90°，則下列結論中正確的是（　）
①∠DBC+∠ABE的角度恒為105°；②在旋轉過程中，若BM平分∠DBA，BN平分∠EBC，∠MBN的角度恒為定值；③在旋轉過程中，兩塊三角板的邊所在直線夾角成90°的次數(shù)為2次；
④在圖1的情況下，作∠DBF＝∠EBF，則AB平分∠DBF．
A．① B．② C．①②④ D．①②③④
二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
9．（2023·廣東·七年級專題練習）一副三角板與如圖擺放，且，，，平分，平分．當三角板繞點順時針旋轉（從圖到圖）．設圖、圖中的的度數(shù)分別為，， 度．

10．（2023春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，射線 繞點 從位置開始，以每秒的速度順時針旋轉； 同時，射線 繞點從位置開始，以每秒的速度逆時針旋轉，并且當 與成角時，與同時停止旋轉．則在旋轉的過程中，經過 秒，與的夾角是．

11．（2023春·山東威海·六年級統(tǒng)考期末）如圖，點在直線上，，，將繞點以每秒的速度按逆時針方向旋轉一周（如圖），當旋轉到第秒時，所在的直線平分，則的值為 ．

12．（2023春·江西南昌·七年級校考期末）如圖，直線與相交于點O，，平分，，平分．若射線從射線的位置出發(fā)，繞點O以每秒的速度逆時針旋轉一周，當旋轉時間為t秒時，三條射線中恰好有一條射線是另外兩條射線所組成的角的平分線，請寫出旋轉時間t的值為 秒．（旋轉過程中，，都只考慮小于的角）

13．（2023·廣東河源·七年級校考期末）將兩個形狀，大小完全相同的含有，的三角板與如圖放置，，，三點在同一直線上．現(xiàn)將三角板繞點沿順時針方向旋轉一定角度，如圖，若平分，平分，則的度數(shù)是 ．

14．（2023春·湖南株洲·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，O為直線上一點，作射線，使，將一個直角三角尺如圖擺放，直角頂點在點O處，一條直角邊在射線上．將圖1中的三角尺繞點O以每秒的速度按逆時針方向旋轉（如圖2所示），在旋轉一周的過程中：
（1）當旋轉10秒時，則的度數(shù) ；
（2）第t秒時，所在直線恰好平分，則t的值為 ．
15．（2023秋·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，于點，，射線從出發(fā)，繞點以每秒的速度順時針向終邊旋轉，同時，射線從出發(fā)，繞點以每秒的速度順時針向終邊旋轉，當、中有一條射線到達終邊時，另一條射線也隨之停止．在旋轉過程中，設，，則與之間的數(shù)量關系為 ．
16．（2023秋·湖北武漢·七年級校聯(lián)考期末）如圖，．若在平面內繞點O旋轉，分別作和平分線OP、OQ，則的度數(shù)為 ．
17．（2023春·浙江·七年級期末）定義：從一個角的頂點引一條射線，把這個角分成兩個角，并且這兩個角的度數(shù)之比為1:2，這條射線叫做這個角的三分線．顯然，一個角的三分線有兩條．如，，是的兩條三分線，以點為中心，將按順時針方向旋轉（）得到，當恰好是的三分線時，的值為 ．
18．（2022秋·陜西西安·七年級校考階段練習）如圖1，點O為直線上一點，過O點作射線OC，使，將一副直角三角板的直角頂點放在點O處，其中一個三角板的一邊在射線OB上，另一個三角板的一邊在射線上，這副三角板的另外兩邊重合，并在直線的下方．直角三角板從圖1的位置繞點O以每秒的速度逆時針旋轉，同時直角三角板繞點O以每秒的速度順時針旋轉，當三角板繞點O旋轉一周后，運動停止．經過 秒時，所在直線平分；經過 秒時，所在直線平分．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023秋·河南許昌·七年級統(tǒng)考期末）線段的計算和角的計算有緊密聯(lián)系，它們之間的解法可以互相遷移．下面是某節(jié)課的學習片段，請完成探索過程：
(1)課上，老師提出問題：如圖①，點O是線段上一點，C、D分別是線段、的中點，當時，求線段的長度．下面是小澤根據(jù)老師的要求進行的分析及解答過程，請你補全解答過程：
未知線段 已知線段…… 因為C，D分別是線段、的中點，所以，________，________，因為，所以________， 線段中點的定義線段的和、差等式的性質
(2)小澤舉一反三，發(fā)現(xiàn)有些角度的計算也可以用相似的方法進行轉化如圖②，已知，是角內部的一條射線，，分別是，的平分線．求的度數(shù)．請同學們嘗試解決該問題．

(3)同組的小麗同學很善于思考，她提出新的問題：如果（2）中其他條件不變，將射線繞點O旋轉到的外部，則的度數(shù)是________．
20．（2022·安徽亳州·七年級期末）如圖（）所示，將兩塊直角三角尺的直角頂點C疊放在一起．
(1)若，則________°；若∠ACB=130°，則_________°．
(2)如圖（b）所示，若兩個同樣的三角板，將銳角的頂點A疊放在一起，則與有何數(shù)量關系，請說明理由．(3)如圖（c）所示，已知，（，都是銳角）．若把它們的頂點O疊放在一起，則與有何數(shù)量關系，直接寫出結論．
21．（2023秋·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）已知，從的頂點O引出一條射線，射線在的內部，將射線繞點O逆時針旋轉形成．
(1)如圖1，若，比較和的大小，并說明理由；
(2)作射線，射線為的平分線，設．
①如圖2，當，若射線恰好平分，求的度數(shù)；
②當時，請?zhí)骄颗c之間的數(shù)量關系．
22．（2023·江蘇·七年級專題練習）如圖1，射線OC在的內部，圖中共有3個角：、、，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是的“定分線”．
（1）一個角的平分線_________這個角的“定分線”；（填“是”或“不是”）
（2）如圖2，若，且射線PQ是的“定分線”，則________(用含a的代數(shù)式表示出所有可能的結果）；
（3）如圖2，若=48°，且射線PQ繞點P從PN位置開始，以每秒8°的速度逆時針旋轉，當PQ與PN成90°時停止旋轉，旋轉的時間為t秒；同時射線PM繞點P以每秒4°的速度逆時針旋轉，并與PQ同時停止．當PQ是的“定分線”時，求t的值．
23．（2023秋·湖北黃石·七年級統(tǒng)考期末）已知，，平分，平分．（本題中的角均為大于且小于等于的角）．
(1)如圖，當、重合時，求的度數(shù)；(2)當從如圖所示位置繞點O沿順時針方向旋轉，且時，直接寫出n的取值范圍．(3)當從如圖所示位置繞點O沿順時針方向旋轉時，的值是否為定值？若是定值，求出的值；若不是，請說明理由．
24．（2023春·重慶沙坪壩·七年級校考開學考試）平面上順時針排列射線，，，射線分別平分，（題目中所出現(xiàn)的角均小于）．
(1)如圖1，若，則___________，___________；
(2)如圖2，探究與的數(shù)量關系，并說明理由；
(3)在（2）的條件下，若，將繞點O以每秒的速度順時針旋轉，同時將繞點O以每秒逆時針旋轉，若旋轉時間為t秒，當時，直接寫出t的值．
25．（2023秋·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）已知，是內部的一條射線，且．

(1)如圖1所示，若，平分，平分，求的度數(shù)；(2)如圖2所示，是直角，從點O出發(fā)在內引射線，滿足，若平分，求的度數(shù)；(3)如圖3所示，，射線，射線分別從出發(fā)，并分別以每秒和每秒的速度繞著點O逆時針旋轉，和分別只在和內部旋轉，運動時間為t秒．①直接寫出和的數(shù)量關系；②若，當，求t的值．
26．（2022秋·江蘇淮安·七年級校考期末）【新概念】如圖1，為內一條射線，當滿足時，我們把射線叫做射線、的m等個性線，記作．（其中m為正整數(shù)）
【實際應用】已知：O為直線上一點，過O點作射線．
(1)如圖2，將一個三角板（含、）直角頂點D放在O處，另兩條邊分別為，，當是時，___________．（填“是”或“不是”）．
(2)如圖3，將三角板的頂點E放在O處，那么當是時，是否也是？請先猜想結果，再說明理由．(3)將圖3中的射線繞O點逆時針旋轉，如圖4，此時存在正整數(shù)m使是的同時，也是，則___________，___________．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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