資源簡介

3．3．2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)
【題型歸納目錄】
題型一：拋物線的幾何性質(zhì)
題型二：直線與拋物線的位置關(guān)系
題型三：中點弦問題
題型四：焦半徑問題
題型五：弦長、面積問題
題型六：定點定值問題
題型七：最值問題
【知識點梳理】
知識點一、拋物線的簡單幾何性質(zhì)：
拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)
范圍：，，
拋物線（）在y軸的右側(cè)，開口向右，這條拋物線上的任意一點M的坐標(biāo)的橫坐標(biāo)滿足不等式；當(dāng)x的值增大時，也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸．拋物線是無界曲線．
對稱性：關(guān)于x軸對稱
拋物線（）關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸．拋物線只有一條對稱軸．
頂點：坐標(biāo)原點
拋物線（）和它的軸的交點叫做拋物線的頂點．拋物線的頂點坐標(biāo)是．
離心率：．
拋物線（）上的點M到焦點的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率．用e 表示，．
拋物線的通徑
通過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的直線被拋物線所截得的線段叫做拋物線的通徑．
因為通過拋物線（）的焦點而垂直于x軸的直線與拋物線兩交點的坐標(biāo)分別為，，所以拋物線的通徑長為．這就是拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的一種幾何意義．另一方面，由通徑的定義我們還可以看出，刻畫了拋物線開口的大小，值越大，開口越寬；值越小，開口越窄．
知識點二、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的對比
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
頂點
范圍 ， ， ， ，
對稱軸 x軸 y軸
焦點
離心率
準(zhǔn)線方程
焦半徑
知識點詮釋：
（1）與橢圓、雙曲線不同，拋物線只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸，一條準(zhǔn)線；
（2）標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)的幾何意義是指焦點到準(zhǔn)線的距離；恰恰說明定義中的焦點F不在準(zhǔn)線上這一隱含條件；參數(shù)的幾何意義在解題時常常用到，特別是具體的標(biāo)準(zhǔn)方程中應(yīng)找到相當(dāng)于的值，才易于確定焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程．
知識點三、焦半徑公式
設(shè)拋物線上一點的坐標(biāo)為，焦點為．
1、拋物線，．
2、拋物線，．
3、拋物線，．
4、拋物線，．
【注意】在使用焦半徑公式時，首先要明確拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，不同的標(biāo)準(zhǔn)方程對應(yīng)于不同的焦半徑公式．
知識點四、直線與拋物線的位置關(guān)系
1、直線與拋物線的位置關(guān)系有三種情況：
相交（有兩個公共點或一個公共點）；相切（有一個公共點）；相離（沒有公共點）．
2、以拋物線與直線的位置關(guān)系為例：
（1）直線的斜率不存在，設(shè)直線方程為，
若，直線與拋物線有兩個交點；
若，直線與拋物線有一個交點，且交點既是原點又是切點；
若，直線與拋物線沒有交點．
（2）直線的斜率存在．
設(shè)直線，拋物線，
直線與拋物線的交點的個數(shù)等于方程組，的解的個數(shù)，
即二次方程（或）解的個數(shù)．
①若，
則當(dāng)時，直線與拋物線相交，有兩個公共點；
當(dāng)時，直線與拋物線相切，有個公共點；
當(dāng)時，直線與拋物線相離，無公共點．
②若，則直線與拋物線相交，有一個公共點．
知識點五、直線與拋物線相交弦長問題
1、弦長
設(shè)為拋物線的弦，，，弦AB的中點為．
（1）弦長公式：（為直線的斜率，且）．
（2），
（3）直線的方程為．
【方法技巧與總結(jié)】
1、點與拋物線的關(guān)系
（1）在拋物線內(nèi)（含焦點）．
（2）在拋物線上．
（3）在拋物線外．
2、焦半徑
拋物線上的點與焦點的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，．
3、的幾何意義
為焦點到準(zhǔn)線的距離，即焦準(zhǔn)距，越大，拋物線開口越大．
4、焦點弦
若為拋物線的焦點弦，，，則有以下結(jié)論：
（1）．
（2）．
（3）焦點弦長公式1：，，當(dāng)時，焦點弦取最小值，即所有焦點弦中通徑最短，其長度為．
焦點弦長公式2：（為直線與對稱軸的夾角）．
（4）的面積公式：（為直線與對稱軸的夾角）．
5、拋物線的弦
若AB為拋物線的任意一條弦，，弦的中點為，則
（1）弦長公式：
（2）
（3）直線AB的方程為
（4）線段AB的垂直平分線方程為
6、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點和準(zhǔn)線的快速方法（法）
（1）焦點為，準(zhǔn)線為
（2）焦點為，準(zhǔn)線為
如，即，焦點為，準(zhǔn)線方程為
7、參數(shù)方程
的參數(shù)方程為（參數(shù)）
8、切線方程和切點弦方程
拋物線的切線方程為，為切點
切點弦方程為，點在拋物線外
與中點弦平行的直線為，此直線與拋物線相離，點（含焦點）是弦AB的中點，中點弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點差法也可以得到同樣的結(jié)果．
9、拋物線的通徑
過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦叫做拋物線的通徑．
對于拋物線，由，，可得，故拋物線的通徑長為．
10、弦的中點坐標(biāo)與弦所在直線的斜率的關(guān)系：
11、焦點弦的常考性質(zhì)
已知、是過拋物線焦點的弦，是的中點，是拋物線的準(zhǔn)線，，為垂足．
（1）以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切，以AF（或BF）為直徑的圓與y軸相切；
（2），
（3）；
（4）設(shè)，為垂足，則、、三點在一條直線上
【典型例題】
題型一：拋物線的幾何性質(zhì)
例1．（多選題）（2023·高二課時練習(xí)）對標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線給出下列條件，其中滿足拋物線的有（　　）
A．焦點在y軸上
B．焦點在x軸上
C．拋物線上橫坐標(biāo)為1的點到焦點的距離等于6
D．由原點向過焦點的某直線作垂線，垂足坐標(biāo)為
例2．（多選題）（2023·高二校考課時練習(xí)）下列關(guān)于拋物線的說法正確的是（ ）
A．焦點在x軸上
B．焦點到準(zhǔn)線的距離等于10
C．拋物線上橫坐標(biāo)為1的點到焦點的距離等于
D．由原點向過焦點的某直線作垂線，垂足坐標(biāo)可能為
例3．（多選題）（2023·黑龍江綏化·高二海倫市第一中學(xué)校考期中）已知拋物線的焦點為，過點的直線交于兩點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切
B．
C．
D．若直線的傾斜角為，且，則
變式1．（多選題）（2023·高二課時練習(xí)）已知拋物線：的焦點為，為上一點，下列說法正確的是（ ）
A．的準(zhǔn)線方程為
B．直線與相切
C．若，則的最小值為
D．若，則的周長的最小值為11
變式2．（多選題）（2023·甘肅蘭州·高二校考期末）關(guān)于拋物線，下列說法正確的是（ ）
A．開口向左 B．焦點坐標(biāo)為 C．準(zhǔn)線為 D．對稱軸為軸
變式3．（多選題）（2023·高二課前預(yù)習(xí)）已知拋物線C：x2＝2py，若直線y＝2x被拋物線所截弦長為4，則拋物線C的方程為（ ）
A．x2＝4y B．x2＝－4y
C．x2＝2y D．x2＝－2y
變式4．（多選題）（2023·全國·高二專題練習(xí)）以y軸為對稱軸的拋物線的通徑（過焦點且與對稱軸垂直的弦）長為8，若拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，則其方程為（ ）
A． B．
C． D．
題型二：直線與拋物線的位置關(guān)系
例4．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）過點作直線與拋物線只有一個公共點，這樣的直線有幾條？
例5．（2023·全國·高二課堂例題）已知拋物線，直線過定點.討論直線與拋物線的公共點的情況.
例6．（2023·高二課時練習(xí)）當(dāng)k為何值時，直線與拋物線有兩個公共點？僅有一個公共點？無公共點？
變式5．（2023·全國·高二課堂例題）（1）求過定點，且與拋物線只有一個公共點的直線l的方程.
（2）若直線l：與曲線C：（）恰好有一個公共點，試求實數(shù)a的取值集合.
變式6．（2023·甘肅嘉峪關(guān)·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點到點的距離比它到軸的距離多1，記點的軌跡為.
(1)求軌跡為的方程
(2)設(shè)斜率為的直線過定點，求直線與軌跡恰好有一個公共點時的相應(yīng)取值范圍.
題型三：中點弦問題
例7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線與過焦點的一條直線相交于A，B兩點，若弦的中點M的橫坐標(biāo)為，則弦的長
例8．（2023·高二課時練習(xí)）已知拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，準(zhǔn)線為，直線與拋物線交于兩點，若線段的中點為，則直線的方程為 ．
例9．（2023·安徽阜陽·高二阜陽市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線，過的直線交拋物線于兩點，且，則直線的方程為 .
變式7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線頂點在原點，焦點為，過作直線交拋物線于、兩點，若線段的中點橫坐標(biāo)為2，則線段的長為
變式8．（2023·云南昆明·高二安寧中學(xué)校考階段練習(xí)）已知A，B為拋物線C:上的兩點，，若M為線段AB的中點，則直線AB的方程為 .
變式9．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點，若拋物線的一條弦AB恰好是以P為中點，則弦AB所在直線方程是 ．
變式10．（2023·吉林長春·高二統(tǒng)考期末）過點作直線與拋物線相交于A，B兩點，若點P是線段的中點，則直線的方程是 ．
題型四：焦半徑問題
例10．（2023·高二課時練習(xí)）直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線交于，兩點．若，則（ ）
A．4 B． C．8 D．
例11．（2023·云南昭通·高二校考期中）如圖，設(shè)拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過點的直線交拋物線于兩點，交于點，且是的中點，則（ ）

A．2 B． C．5 D．
例12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)拋物線焦點為，準(zhǔn)線與對稱軸交于點，過的直線交拋物線于，兩點，對稱軸上一點滿足，若的面積為，則到拋物線準(zhǔn)線的距離為（ ）
A． B． C． D．
變式11．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線交拋物線于兩點，若，則（ ）
A． B． C． D．
變式12．（2023·廣東珠海·高二珠海市第一中學(xué)校考期末）已知拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于、兩點，若，則的中點到準(zhǔn)線的距離為（ ）
A． B． C． D．
變式13．（2023·全國·高二專題練習(xí)）拋物線的焦點為，過焦點的直線與拋物線相交于兩點，則下列說法一定正確的是（ ）
A．的最小值為2
B．線段為直徑的圓與直線軸相切
C．為定值
D．若，則
變式14．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線及其準(zhǔn)線分別交于兩點，，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
變式15．（2023·全國·高二期中）過拋物線的焦點，作傾斜角為的直線交于，兩點，交的準(zhǔn)線于點，若（為坐標(biāo)原點），則線段的長度為（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
變式16．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，，線段的中點為，過點作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最小值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
變式17．（2023·高二課時練習(xí)）O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線的焦點，M為C上一點，若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．8
變式18．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線，F(xiàn)為拋物線的焦點，P為拋物線上一點，過點P作PQ垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為Q，若，則△PFQ的面積為（ ）
A．4 B． C． D．
題型五：弦長、面積問題
例13．（2023·浙江嘉興·高二校考期中）傾斜角為的直線過拋物線的焦點，且與交于A，兩點
(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程；
(2)求的面積（為坐標(biāo)原點）.
例14．（2023·高二課時練習(xí)）已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為4，過其焦點作傾斜角為的直線交拋物線于點，求的長．
例15．（2023·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期末）已知直線：恒過拋物線的焦點F，
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線l與拋物線C交于A，B兩點，且，求直線l的方程．
變式19．（2023·高二課時練習(xí)）已知F為拋物線的焦點，過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A，B兩點，直線與C交于D，E兩點，求的最小值.
變式20．（2023·高二課時練習(xí)）已知點在拋物線上，傾斜角為的直線l經(jīng)過拋物線C的焦點F.
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求線段AB的長及的面積.
變式21．（2023·陜西西安·高二校考開學(xué)考試）已知拋物線的準(zhǔn)線方程是.
(1)求拋物線的方程；
(2)設(shè)直線與拋物線相交于，兩點，若，求實數(shù)k的值.
變式22．（2023·高二單元測試）已知拋物線的焦點為F.
(1)過點F且斜率為的直線交拋物線C于P，Q兩點，若，求拋物線C的方程；
(2)過點F的直線交拋物線C于A，B兩點，直線AO，BO分別與直線相交于M，N兩點，試判斷與的面積之比是否為定值，并說明理由．
變式23．（2023·高二單元測試）已知拋物線與直線相交于A、B兩點．
(1)求證：；
(2)當(dāng)?shù)拿娣e等于時，求k的值．
題型六：定點定值問題
例16．（2023·高二單元測試）已知O為坐標(biāo)原點，拋物線，點，設(shè)直線l與C交于不同的兩點P，Q.
(1)若直線軸，求直線的斜率的取值范圍；
(2)若直線l不垂直于x軸，且，證明：直線l過定點．
例17．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校校考期末）已知F是拋物線C：的焦點，是拋物線上一點，且.
(1)求拋物線C的方程；
(2)直線l與拋物線C交于A，B兩點，若（O為坐標(biāo)原點），則直線l否會過某個定點？若是，求出該定點坐標(biāo).
例18．（2023·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知定點，定直線，動圓過點，且與直線相切．
(1)求動圓的圓心所在軌跡的方程；
(2)已知點是軌跡上一點，點是軌跡上不同的兩點（點均不與點重合），設(shè)直線的斜率分別為，且滿足，證明：直線過定點，并求出定點的坐標(biāo)．
變式24．（2023·江蘇南京·高二校考階段練習(xí)）已知拋物線C：，P是C上縱坐標(biāo)為2的點，以點P為圓心，PO為半徑的圓（O為原點）交C的準(zhǔn)線l于A，B兩點，且.
(1)求拋物線C的方程.
(2)過點P作直線PM，PN分別交C于M，N兩點，且使∠MPN的平分線與y軸垂直，問：直線MN的斜率是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，試說明理由.
變式25．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過點且傾斜角為的直線交拋物線于點（M在第一象限），，垂足為，直線交軸于點，
(1)求的值.
(2)若斜率不為0的直線與拋物線相切，切點為，平行于的直線交拋物線于兩點，且，點到直線與到直線的距離之比是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.
變式26．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且滿足，其中為坐標(biāo)原點．
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線與拋物線相交于、兩點，以為直徑的圓過點，作，為垂足．是否存在定點，使得為定值？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
變式27．（2023·新疆昌吉·高二統(tǒng)考期中）已知動圓P過點且與直線相切，圓心P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程；
(2)若A，B是曲線C上的兩個點，且直線AB過的外心，其中O為坐標(biāo)原點，求證:直線過定點.
變式28．（2023·四川綿陽·高二鹽亭中學(xué)校考期中）已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為 軸，且經(jīng)過點 .
(1)求拋物線方程;
(2)若直線 與拋物線交于 兩點，且滿足 ，求證: 直線 恒過定點，并求出定點坐標(biāo).
變式29．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高二萍鄉(xiāng)市安源中學(xué)校考期末）已知是拋物線上一點，且M到C的焦點的距離為5.

(1)求拋物線C的方程及點M的坐標(biāo)；
(2)如圖所示，過點的直線l與C交于A，B兩點，與y軸交于點Q，設(shè)，，求證：是定值.
題型七：最值問題
例19．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知O是平面直角坐標(biāo)系的原點，F(xiàn)是拋物線的焦點，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，且的重心G在曲線上.
(1)求拋物線C的方程；
(2)記曲線與y軸的交點為D，且直線AB與x軸相交于點E，弦AB的中點為M，求四邊形DEMG面積的最小值.
例20．（2023·高二課時練習(xí)）如圖所示，P是拋物線上的動點，點B，C在y軸上，圓內(nèi)切于，求的面積的最小值.

例21．（2023·全國·高二期中）設(shè)點P是拋物線上的一個動點.
(1)求點到的距離與點到直線的距離之和的最小值；
(2)若，求的最小值.
變式30．（2023·上海·高二期末）在平面直角坐標(biāo)系中，一動圓經(jīng)過點且與直線相切，設(shè)該動圓圓心的軌跡為曲線K，P是曲線K上一點．
(1)求曲線K的方程；
(2)過點A且斜率為k的直線l與曲線K交于B、C兩點，若且直線OP與直線交于Q點．求的值；
(3)若點D、E在y軸上，的內(nèi)切圓的方程為，求面積的最小值．
變式31．（2023·江蘇南京·高二金陵中學(xué)校考階段練習(xí)）已知直線與拋物線交于兩點，且．
(1)求的值；
(2)設(shè)為拋物線的焦點，為拋物線上兩點，，求面積的最小值．
變式32．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點為，過軸正半軸上一點的直線與拋物線交于、兩點，為坐標(biāo)原點，且.
(1)求點的坐標(biāo)；
(2)設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，求四邊形面積的最小值.
變式33．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點為，為上一點，為準(zhǔn)線上一點，，
(1)求的方程；
(2)，，是上的三點，若，求點到直線距離的最大值．
變式34．（2023·黑龍江·高二統(tǒng)考期中）如圖，已知拋物線：的焦點為，過點的直線與拋物線交于，兩點，為拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點.
（1）若，求直線的斜率；
（2）求的最大值.
變式35．（2023·陜西延安·高二階段練習(xí)）已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點，且點．
(1)求的值；
(2)求的最大值．
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2023·遼寧撫順·校考模擬預(yù)測）設(shè)O為坐標(biāo)原點，P是以F為焦點的拋物線上任意一點，M是線段PF上的點，且，則直線OM的斜率的最大值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·云南紅河·高二開遠(yuǎn)市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知拋物線C：，點M在C上，直線l：與x軸、y軸分別交于A，B兩點，若面積的最小值為，則（ ）
A．44 B．4 C．4或44 D．1或4
3．（2023·四川成都·高三石室中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線：的準(zhǔn)線為直線，直線與交于，兩點（點在軸上方），與直線交于點，若，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·廣東江門·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓與軸相交于E，F(xiàn)兩點，與拋物線相交于A，B兩點，若拋物線的焦點為，直線與拋物線的另一個交點為，則（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知直線交拋物線于軸異側(cè)兩點，過向作垂線，垂足為，若點在以為圓心，半徑為3的圓上，則（ ）
A．48 B．24 C．12 D．36
6．（2023·四川宜賓·高三四川省興文第二中學(xué)校校考開學(xué)考試）已知拋物線的焦點為F，過點P（2，0）的直線交拋物線于A，B兩點，直線AF，BF分別于拋物線交于點C，D．設(shè)直線AB，CD的斜率分別為，則（ ）
A． B． C．1 D．2
7．（2023·河北保定·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知拋物線：的焦點為，準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于點，過點的直線與及準(zhǔn)線依次相交于，，三點（點在點，之間），若，，則的面積等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·河北石家莊·高三校聯(lián)考期中）已知拋物線的焦點為，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，則的面積為（ ）
A． B． C．12 D．
二、多選題
9．（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：的焦點為，過點的傾斜角為的直線與相交于，兩點，且點在第一象限，的面積是，則（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·江蘇徐州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知點在拋物線的準(zhǔn)線上，過拋物線的焦點作直線交于、兩點，則（ ）
A．拋物線的方程是 B．
C．當(dāng)時， D．
11．（2023·云南曲靖·高三校考階段練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點，為拋物線的焦點，過點的直線交于、兩點，直線、分別交于、，則（ ）
A．的準(zhǔn)線方程為 B．
C．的最小值為 D．的最小值為
12．（2023·高二課時練習(xí)）已知拋物線的焦點為，頂點為，點在拋物線上，若，則下列選項正確的是（ ）
A． B．以MF為直徑的圓與軸相切
C． D．
三、填空題
13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點和拋物線C：，過C的焦點且斜率為的直線與C交于A，B兩點．若，則 ．
14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線上三點，若直線AB，AC的斜率互為相反數(shù)，則直線BC的斜率為
15．（2023·浙江·模擬預(yù)測）過拋物線的焦點的直線與交于兩點，從點分別向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，線段的中點為，則弦的長為 .
16．（2023·高二課時練習(xí)）設(shè)是拋物線上任意一點，是直線上任意一點，記，則 .
四、解答題
17．（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且．
(1)求拋物線的方程；
(2)已知直線交拋物線于兩點，且點為線段的中點，求直線的方程．
18．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）有一條光線沿直線從右向左射到拋物線上的一點，經(jīng)拋物線反射后，反射光線與拋物線的另一個交點是，是拋物線的頂點，是拋物線的焦點，求弦的斜率和的面積.
19．（2023·高二課時練習(xí)）已知拋物線，p為方程的根.
(1)求拋物線的方程；
(2)若拋物線與直線無公共點，求此拋物線的通徑（通徑：過拋物線的焦點且與對稱軸垂直的直線被拋物線所截得的線段）.
20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：，坐標(biāo)原點為，焦點為，直線：.
(1)若直線與拋物線只有一個公共點，求的值；
(2)過點作斜率為的直線交拋物線于,兩點，求的面積．
21．（2023·河南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線，直線垂直于軸，與交于兩點，為坐標(biāo)原點，過點且平行于軸的直線與直線交于點，記動點的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)點在直線上運動，過點作曲線的兩條切線，切點分別為，在平面內(nèi)是否存在定點，使得？若存在，請求出定點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
22．（2023·江蘇徐州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線過拋物線的焦點，與拋物線交于兩點．
(1)若線段中點的橫坐標(biāo)為2，求線段的長；
(2)若直線交拋物線的準(zhǔn)線于點，求證：直線平行于拋物線的對稱軸．3．3．2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)
【題型歸納目錄】
題型一：拋物線的幾何性質(zhì)
題型二：直線與拋物線的位置關(guān)系
題型三：中點弦問題
題型四：焦半徑問題
題型五：弦長、面積問題
題型六：定點定值問題
題型七：最值問題
【知識點梳理】
知識點一、拋物線的簡單幾何性質(zhì)：
拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)
范圍：，，
拋物線（）在y軸的右側(cè)，開口向右，這條拋物線上的任意一點M的坐標(biāo)的橫坐標(biāo)滿足不等式；當(dāng)x的值增大時，也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸．拋物線是無界曲線．
對稱性：關(guān)于x軸對稱
拋物線（）關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸．拋物線只有一條對稱軸．
頂點：坐標(biāo)原點
拋物線（）和它的軸的交點叫做拋物線的頂點．拋物線的頂點坐標(biāo)是．
離心率：．
拋物線（）上的點M到焦點的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率．用e 表示，．
拋物線的通徑
通過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的直線被拋物線所截得的線段叫做拋物線的通徑．
因為通過拋物線（）的焦點而垂直于x軸的直線與拋物線兩交點的坐標(biāo)分別為，，所以拋物線的通徑長為．這就是拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的一種幾何意義．另一方面，由通徑的定義我們還可以看出，刻畫了拋物線開口的大小，值越大，開口越寬；值越小，開口越窄．
知識點二、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的對比
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
頂點
范圍 ， ， ， ，
對稱軸 x軸 y軸
焦點
離心率
準(zhǔn)線方程
焦半徑
知識點詮釋：
（1）與橢圓、雙曲線不同，拋物線只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸，一條準(zhǔn)線；
（2）標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)的幾何意義是指焦點到準(zhǔn)線的距離；恰恰說明定義中的焦點F不在準(zhǔn)線上這一隱含條件；參數(shù)的幾何意義在解題時常常用到，特別是具體的標(biāo)準(zhǔn)方程中應(yīng)找到相當(dāng)于的值，才易于確定焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程．
知識點三、焦半徑公式
設(shè)拋物線上一點的坐標(biāo)為，焦點為．
1、拋物線，．
2、拋物線，．
3、拋物線，．
4、拋物線，．
【注意】在使用焦半徑公式時，首先要明確拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，不同的標(biāo)準(zhǔn)方程對應(yīng)于不同的焦半徑公式．
知識點四、直線與拋物線的位置關(guān)系
1、直線與拋物線的位置關(guān)系有三種情況：
相交（有兩個公共點或一個公共點）；相切（有一個公共點）；相離（沒有公共點）．
2、以拋物線與直線的位置關(guān)系為例：
（1）直線的斜率不存在，設(shè)直線方程為，
若，直線與拋物線有兩個交點；
若，直線與拋物線有一個交點，且交點既是原點又是切點；
若，直線與拋物線沒有交點．
（2）直線的斜率存在．
設(shè)直線，拋物線，
直線與拋物線的交點的個數(shù)等于方程組，的解的個數(shù)，
即二次方程（或）解的個數(shù)．
①若，
則當(dāng)時，直線與拋物線相交，有兩個公共點；
當(dāng)時，直線與拋物線相切，有個公共點；
當(dāng)時，直線與拋物線相離，無公共點．
②若，則直線與拋物線相交，有一個公共點．
知識點五、直線與拋物線相交弦長問題
1、弦長
設(shè)為拋物線的弦，，，弦AB的中點為．
（1）弦長公式：（為直線的斜率，且）．
（2），
（3）直線的方程為．
【方法技巧與總結(jié)】
1、點與拋物線的關(guān)系
（1）在拋物線內(nèi)（含焦點）．
（2）在拋物線上．
（3）在拋物線外．
2、焦半徑
拋物線上的點與焦點的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，．
3、的幾何意義
為焦點到準(zhǔn)線的距離，即焦準(zhǔn)距，越大，拋物線開口越大．
4、焦點弦
若為拋物線的焦點弦，，，則有以下結(jié)論：
（1）．
（2）．
（3）焦點弦長公式1：，，當(dāng)時，焦點弦取最小值，即所有焦點弦中通徑最短，其長度為．
焦點弦長公式2：（為直線與對稱軸的夾角）．
（4）的面積公式：（為直線與對稱軸的夾角）．
5、拋物線的弦
若AB為拋物線的任意一條弦，，弦的中點為，則
（1）弦長公式：
（2）
（3）直線AB的方程為
（4）線段AB的垂直平分線方程為
6、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點和準(zhǔn)線的快速方法（法）
（1）焦點為，準(zhǔn)線為
（2）焦點為，準(zhǔn)線為
如，即，焦點為，準(zhǔn)線方程為
7、參數(shù)方程
的參數(shù)方程為（參數(shù)）
8、切線方程和切點弦方程
拋物線的切線方程為，為切點
切點弦方程為，點在拋物線外
與中點弦平行的直線為，此直線與拋物線相離，點（含焦點）是弦AB的中點，中點弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點差法也可以得到同樣的結(jié)果．
9、拋物線的通徑
過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦叫做拋物線的通徑．
對于拋物線，由，，可得，故拋物線的通徑長為．
10、弦的中點坐標(biāo)與弦所在直線的斜率的關(guān)系：
11、焦點弦的常考性質(zhì)
已知、是過拋物線焦點的弦，是的中點，是拋物線的準(zhǔn)線，，為垂足．
（1）以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切，以AF（或BF）為直徑的圓與y軸相切；
（2），
（3）；
（4）設(shè)，為垂足，則、、三點在一條直線上
【典型例題】
題型一：拋物線的幾何性質(zhì)
例1．（多選題）（2023·高二課時練習(xí)）對標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線給出下列條件，其中滿足拋物線的有（　　）
A．焦點在y軸上
B．焦點在x軸上
C．拋物線上橫坐標(biāo)為1的點到焦點的距離等于6
D．由原點向過焦點的某直線作垂線，垂足坐標(biāo)為
【答案】BD
【解析】由拋物線的焦點坐標(biāo)為，位于軸上，所以A不滿足，B滿足；
對于C中，設(shè)是拋物線上一點，為焦點，
則，所以C不滿足
對于D中，由于拋物線的焦點為，若由原點向該直線作垂線，垂足為，設(shè)過該焦點的直線方程為，則，此時該直線存在，所以D滿足．
故選：BD.
例2．（多選題）（2023·高二校考課時練習(xí)）下列關(guān)于拋物線的說法正確的是（ ）
A．焦點在x軸上
B．焦點到準(zhǔn)線的距離等于10
C．拋物線上橫坐標(biāo)為1的點到焦點的距離等于
D．由原點向過焦點的某直線作垂線，垂足坐標(biāo)可能為
【答案】ACD
【解析】拋物線的焦點在x軸上，，正確，錯誤；
設(shè)是上的一點，則，所以正確；
由于拋物線的焦點為，過該焦點的直線方程為，若由原點向該直線作垂線，垂足為時，則，此時存在符合題意的垂線，所以正確.
故選：.
例3．（多選題）（2023·黑龍江綏化·高二海倫市第一中學(xué)校考期中）已知拋物線的焦點為，過點的直線交于兩點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切
B．
C．
D．若直線的傾斜角為，且，則
【答案】ACD
【解析】拋物線的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程是，
由題意知，直線的斜率一定存在，
設(shè)其方程為，聯(lián)立
消去得，
設(shè)線段的中點，
所以，
所以點到準(zhǔn)線的距離，
所以以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，故A正確；
由韋達(dá)定理，得，故B錯誤；，
所以
，故C正確；
若直線的傾斜角為，且，則點在點左側(cè)，
如圖，直線與準(zhǔn)線交于點，分別表示點到準(zhǔn)線的距離，
則，設(shè)，則，
又，
所以，所以，故D正確.
故選:ACD.
變式1．（多選題）（2023·高二課時練習(xí)）已知拋物線：的焦點為，為上一點，下列說法正確的是（ ）
A．的準(zhǔn)線方程為
B．直線與相切
C．若，則的最小值為
D．若，則的周長的最小值為11
【答案】BCD
【解析】拋物線：，即，所以焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，故A錯誤；
由，即，解得，所以直線與相切，故B正確；
設(shè)點，所以，
所以，故C正確；
如圖過點作準(zhǔn)線，交于點，，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時取等號，故D正確；
故選：BCD
變式2．（多選題）（2023·甘肅蘭州·高二校考期末）關(guān)于拋物線，下列說法正確的是（ ）
A．開口向左 B．焦點坐標(biāo)為 C．準(zhǔn)線為 D．對稱軸為軸
【答案】AD
【解析】對選項A，，開口向左，故A正確；
對選項B，，焦點為，故B錯誤；
對選項C，，準(zhǔn)線方程為，故C錯誤；
對選項D，，對稱軸為軸，故D正確.
故選：AD
變式3．（多選題）（2023·高二課前預(yù)習(xí)）已知拋物線C：x2＝2py，若直線y＝2x被拋物線所截弦長為4，則拋物線C的方程為（ ）
A．x2＝4y B．x2＝－4y
C．x2＝2y D．x2＝－2y
【答案】CD
【解析】由，解得：或，則交點坐標(biāo)為，，
則，解得：，
則拋物線的方程，
故選：CD．
變式4．（多選題）（2023·全國·高二專題練習(xí)）以y軸為對稱軸的拋物線的通徑（過焦點且與對稱軸垂直的弦）長為8，若拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，則其方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】設(shè)拋物線方程為或（），
依題意得，代入或得，
∴，，
∴拋物線方程為或.
故選：CD.
題型二：直線與拋物線的位置關(guān)系
例4．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）過點作直線與拋物線只有一個公共點，這樣的直線有幾條？
【解析】當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為，
此時與拋物線只有一個公共點，符合題意．
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，
由，得，
當(dāng)時，符合題意；
當(dāng)時，由，可得，
即當(dāng)時，符合題意．綜上，滿足條件的直線有條．
例5．（2023·全國·高二課堂例題）已知拋物線，直線過定點.討論直線與拋物線的公共點的情況.
【解析】
若直線斜率不存在，此時為軸，與拋物線有且僅有一個交點；
若直線的斜率存在，記為，則可設(shè)直線的方程為：，
由得：；
①當(dāng)時，，解得：，此時，
直線與拋物線有且僅有一個公共點
②當(dāng)時，方程的判別式；
若，即，方程無實根，則直線與拋物線無交點；
若，即，方程有兩個相等實根，則直線與拋物線相切，有且僅有一個公共點；
若，即且時，方程有兩個不等實根，則直線與拋物線有兩個不同交點；
綜上所述：當(dāng)直線斜率不存在或直線斜率或時，直線與拋物線有且僅有一個公共點；當(dāng)直線斜率時，直線與拋物線無公共點；當(dāng)直線斜率且時，直線與拋物線有兩個公共點.
例6．（2023·高二課時練習(xí)）當(dāng)k為何值時，直線與拋物線有兩個公共點？僅有一個公共點？無公共點？
【解析】由，得.
當(dāng)時，方程化為一次方程，
該方程只有一解，原方程組只有一組解，
∴直線與拋物線只有一個公共點；
當(dāng)時，二次方程的判別式，
當(dāng)時，得，，
∴當(dāng)或時，直線與拋物線有兩個公共點；
由得，此時直線與拋物線相切，只有一個公共點；
由得或，此時直線與拋物線無公共點．
綜上，當(dāng)或時，直線與拋物線僅有一個公共點；
當(dāng)或時，直線與拋物線有兩個公共點；
當(dāng)或時，直線與拋物線無公共點．
變式5．（2023·全國·高二課堂例題）（1）求過定點，且與拋物線只有一個公共點的直線l的方程.
（2）若直線l：與曲線C：（）恰好有一個公共點，試求實數(shù)a的取值集合.
【解析】（1）由題意知，直線的斜率存在.
設(shè)直線斜率為，則切線方程為，
由消去x，得.
當(dāng)時，此時直線，與拋物線只有一個公共點；
當(dāng)時，所以，解得，即過M點的切線有兩條.
所求直線l的方程為或.
綜上所述，所求直線l的方程為，或，或.
（2）因為直線l與曲線C恰好有一個公共點，
所以方程組只有一組實數(shù)解，
消去y，得，即①.
當(dāng)，即時， 直線為，直線與曲線恰一個公共點；
當(dāng)，即時，
由，解得（舍去）或.
當(dāng)時，由方程①化為，解得，
代入直線方程為，解得，即此時直線與曲線恰一個公共點.
綜上，實數(shù)a的取值集合是.
變式6．（2023·甘肅嘉峪關(guān)·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點到點的距離比它到軸的距離多1，記點的軌跡為.
(1)求軌跡為的方程
(2)設(shè)斜率為的直線過定點，求直線與軌跡恰好有一個公共點時的相應(yīng)取值范圍.
【解析】（1）設(shè)是軌跡上的任意一點，
因為點到點的距離比它到的距離多，可得，
即，整理得，
所以點的軌跡的方程為.
（2）在點軌跡中，記，
因為斜率的直線過定點，不妨設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
當(dāng)時，，此時，可得直線與軌跡恰好有一個公共點；
當(dāng)時，可得，不妨設(shè)直線與軸的交點為，
令，解得，
若直線與軌跡恰好有一個公共點，則滿足，
解得或，
綜上，當(dāng)時，直線與軌跡恰好有一個公共點.
題型三：中點弦問題
例7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線與過焦點的一條直線相交于A，B兩點，若弦的中點M的橫坐標(biāo)為，則弦的長
【答案】
【解析】由題意拋物線焦點，且直線斜率不為0，設(shè)，
聯(lián)立拋物線得，，故，，
所以，即，
則.
故答案為：
例8．（2023·高二課時練習(xí)）已知拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，準(zhǔn)線為，直線與拋物線交于兩點，若線段的中點為，則直線的方程為 ．
【答案】
【解析】因為拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，準(zhǔn)線為，
所以易得拋物線的方程為，
設(shè)，
因為線段的中點為，
故，
則，由，
兩式相減得，所以，
故直線的方程為，即．
故答案為：.
例9．（2023·安徽阜陽·高二阜陽市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線，過的直線交拋物線于兩點，且，則直線的方程為 .
【答案】
【解析】因為在拋物線內(nèi)部，又，所以是的中點.
設(shè)，所以，即，
又在拋物線上，所以，兩式作差，得，所以，
所以直線的方程為，即.
故答案為：
變式7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線頂點在原點，焦點為，過作直線交拋物線于、兩點，若線段的中點橫坐標(biāo)為2，則線段的長為
【答案】6
【解析】是拋物線的焦點，
準(zhǔn)線方程，
設(shè)，線段的中點橫坐標(biāo)為2, .
，
線段的長為6.
故答案為：6.
變式8．（2023·云南昆明·高二安寧中學(xué)校考階段練習(xí)）已知A，B為拋物線C:上的兩點，，若M為線段AB的中點，則直線AB的方程為 .
【答案】
【解析】設(shè)，由題意，，
因為A，B是拋物線上的兩點，則易知在拋物線內(nèi)部，
所以，兩式相減得，，整理得，
因為線段AB的中點為，
所以，即，
又，所以，
所以直線AB的方程為，即.
故答案為：.
變式9．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點，若拋物線的一條弦AB恰好是以P為中點，則弦AB所在直線方程是 ．
【答案】
【解析】時，，在拋物線內(nèi)部（含焦點的部分），
設(shè)，，
由，相減得，
∴，即，
直線方程為，即，
故答案為：．
變式10．（2023·吉林長春·高二統(tǒng)考期末）過點作直線與拋物線相交于A，B兩點，若點P是線段的中點，則直線的方程是 ．
【答案】
【解析】設(shè)，，
，兩式作差可得，
即，
點P是線段的中點，，且，
，
直線的方程是，即.經(jīng)檢驗滿足題意，
故答案為：.
題型四：焦半徑問題
例10．（2023·高二課時練習(xí)）直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線交于，兩點．若，則（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】C
【解析】拋物線的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，
設(shè)，，，，
因為，所以，得，①
因為，所以，即，②
由方程①②可得，，
所以.
故選：C
例11．（2023·云南昭通·高二校考期中）如圖，設(shè)拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過點的直線交拋物線于兩點，交于點，且是的中點，則（ ）

A．2 B． C．5 D．
【答案】D
【解析】如圖，過點作垂直于準(zhǔn)線，由拋物線定義得.
因為是的中點，所以，所以，焦點，
則直線的方程為，聯(lián)立
消去得.設(shè)，
所以，得，
故選：D.
例12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)拋物線焦點為，準(zhǔn)線與對稱軸交于點，過的直線交拋物線于，兩點，對稱軸上一點滿足，若的面積為，則到拋物線準(zhǔn)線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】假設(shè)焦點在軸上，不妨設(shè)拋物線方程為，
由題意得，，
若過點的直線斜率為0時，與拋物線只有1個交點，不合要求，舍去，
設(shè)過點的直線方程為，，
與拋物線聯(lián)立得，
設(shè)，
則，
因為，設(shè)，
則，即，
將代入中得，，
如圖所示，可知，，
因為∽，所以，故，
即，解得，
則到拋物線準(zhǔn)線的距離為，
假設(shè)焦點在軸上，不妨設(shè)拋物線方程為
同理可得，故到拋物線準(zhǔn)線的距離為，
綜上，到拋物線準(zhǔn)線的距離為.
故選：B
變式11．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線交拋物線于兩點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖，當(dāng)點在第一象限時，過點分別向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，作，垂足為，
則軸，設(shè)，則，，
由拋物線的定義得，則有，
在中，等于直線的傾斜角，其正切值即為值，
，，∴，
于是直線l的傾斜角為，斜率．
當(dāng)點在第四象限時，根據(jù)拋物線的對稱性可得斜率為.
故選：D．
變式12．（2023·廣東珠海·高二珠海市第一中學(xué)校考期末）已知拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于、兩點，若，則的中點到準(zhǔn)線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由拋物線的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的定義求解即可．
已知拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于、兩點，
設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交軸于點，的中點為，
過作準(zhǔn)線的垂線使得，，，軸于，
設(shè)，又，則，，
則，又，則，
又，則，即，
則，
故選：C．
變式13．（2023·全國·高二專題練習(xí)）拋物線的焦點為，過焦點的直線與拋物線相交于兩點，則下列說法一定正確的是（ ）
A．的最小值為2
B．線段為直徑的圓與直線軸相切
C．為定值
D．若，則
【答案】D
【解析】對于A選項：
拋物線，焦點為，準(zhǔn)線方程為，
由題意知直線斜率存在，設(shè)直線所在的直線方程為，
由，消去可得，
所以，
則，
當(dāng)時，，故A、C錯誤；
對于B選項：
如圖：設(shè)線段的中點為，過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，
由拋物線的定義可得，
所以，
所以以線段為直徑的圓與直線相切，故B錯誤；
對于D選項：
已知：，
故
，故D正確；
故選：D
變式14．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線及其準(zhǔn)線分別交于兩點，，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖，
過點作準(zhǔn)線，垂足為點，則，
由，得，
則，
則，
則，
根據(jù)拋物線的對稱性可得直線的斜率為.
故選：C
變式15．（2023·全國·高二期中）過拋物線的焦點，作傾斜角為的直線交于，兩點，交的準(zhǔn)線于點，若（為坐標(biāo)原點），則線段的長度為（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】D
【解析】拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，
直線的方程為，
聯(lián)立可得，即點，
所以，因為，所以，
所以直線的方程為，拋物線，設(shè)點，，
聯(lián)立可得，
由韋達(dá)定理可得，則
故選：D
變式16．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，，線段的中點為，過點作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最小值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】設(shè)，
因為，所以，
過點分別作準(zhǔn)線于點，，
由拋物線定義可知，
由梯形中位線可知，
因為，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
故，
故，的最小值為.
故選：B
變式17．（2023·高二課時練習(xí)）O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線的焦點，M為C上一點，若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．8
【答案】C
【解析】設(shè)點，,所以，得，,
所以的面積.
故選：C
變式18．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線，F(xiàn)為拋物線的焦點，P為拋物線上一點，過點P作PQ垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為Q，若，則△PFQ的面積為（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝－1，焦點為，
設(shè)點P的坐標(biāo)為，則點Q的坐標(biāo)為，，
由拋物線的定義知，因為，
所以△PFQ為等邊三角形，所以，又，
所以，n＝3，所以點P的坐標(biāo)為，
所以，所以．
故選：C．
題型五：弦長、面積問題
例13．（2023·浙江嘉興·高二校考期中）傾斜角為的直線過拋物線的焦點，且與交于A，兩點
(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程；
(2)求的面積（為坐標(biāo)原點）.
【解析】（1）由已知可得，，焦點在軸上，
所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為.
（2）∵拋物線的方程為，∴拋物線的焦點F坐標(biāo)為.
又∵傾斜角為的直線，所以斜率為，
∴直線AB的方程為：.
代入拋物線方程消去y并化簡得.
解法一：解得，
所以．
又點到直線的距離為，
所以.
解法二：，設(shè)，則，
過分別作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足分別為如圖所示．
．
點到直線的距離為，
所以.
例14．（2023·高二課時練習(xí)）已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為4，過其焦點作傾斜角為的直線交拋物線于點，求的長．
【解析】不妨設(shè)拋物線方程為，焦點到準(zhǔn)線的距離為，則，
拋物線為：，焦點，準(zhǔn)線方程為，直線的方程為，
由消去整理得，即，解得，，
則，，
所以直線與拋物線的交點為和，
所以或.
例15．（2023·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期末）已知直線：恒過拋物線的焦點F，
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線l與拋物線C交于A，B兩點，且，求直線l的方程．
【解析】（1）因為直線恒過點，即拋物線C的焦點為，
所以，解得，
所以拋物線C的方程為．
（2）聯(lián)立方程組，整理得，
則，設(shè)，
則，
因為，
所以
，
即所以，解得，
所以直線l的方程為或．
變式19．（2023·高二課時練習(xí)）已知F為拋物線的焦點，過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A，B兩點，直線與C交于D，E兩點，求的最小值.
【解析】由題意知拋物線的焦點為，焦準(zhǔn)距，
過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A，B兩點，直線與C交于D，E兩點，
則，的斜率都存在且不為0，
故設(shè)，則直線，設(shè)，
聯(lián)立，則，，
則，同理，
故，
同理可得,
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
故的最小值為16.
變式20．（2023·高二課時練習(xí)）已知點在拋物線上，傾斜角為的直線l經(jīng)過拋物線C的焦點F.
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求線段AB的長及的面積.
【解析】（1）由題意可知，將點代入拋物線方程，可得，解得，
則拋物線方程為.
（2）由（1）可知，拋物線方程為，則，則直線的方程為，
即，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，
消去可得，化簡可得，則，
由拋物線焦半徑公式可得，；
由點到直線的距離公式可知，點到直線的距離，
則.
變式21．（2023·陜西西安·高二校考開學(xué)考試）已知拋物線的準(zhǔn)線方程是.
(1)求拋物線的方程；
(2)設(shè)直線與拋物線相交于，兩點，若，求實數(shù)k的值.
【解析】（1）因為拋物線的準(zhǔn)線方程為，
所以 ， 解得，
所以拋物線的方程為.
（2）如圖，
設(shè)，.
將代入，
消去整理得 .
當(dāng)時，
， .
，
化簡得：，解得，
經(jīng)檢驗，此時，故.
變式22．（2023·高二單元測試）已知拋物線的焦點為F.
(1)過點F且斜率為的直線交拋物線C于P，Q兩點，若，求拋物線C的方程；
(2)過點F的直線交拋物線C于A，B兩點，直線AO，BO分別與直線相交于M，N兩點，試判斷與的面積之比是否為定值，并說明理由．
【解析】（1）設(shè)過點F且斜率為的直線方程為，代入
得，若，
則，
所以，則，
即拋物線C的方程為.
（2）當(dāng)直線垂直于x軸時，與相似，
所以.
當(dāng)直線與x軸不垂直時，設(shè)直線AB方程為
設(shè)
由得，
所以，且，則，
所以，
綜上，＝.
變式23．（2023·高二單元測試）已知拋物線與直線相交于A、B兩點．
(1)求證：；
(2)當(dāng)?shù)拿娣e等于時，求k的值．
【解析】（1）由方程與聯(lián)立，消去后，整理得．
由題意易知，且，
設(shè)，由韋達(dá)定理，，
在拋物線上，，
則，.
∴．
（2）
設(shè)直線與軸交于N，又顯然，令，則，即，
又，
，且，
則，解得.
題型六：定點定值問題
例16．（2023·高二單元測試）已知O為坐標(biāo)原點，拋物線，點，設(shè)直線l與C交于不同的兩點P，Q.
(1)若直線軸，求直線的斜率的取值范圍；
(2)若直線l不垂直于x軸，且，證明：直線l過定點．
【解析】（1）
當(dāng)點在第一象限時，設(shè)，
則，（當(dāng)時取等號），∴，
同理，當(dāng)點在第四象限時，.
綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.
（2）設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程 得，
設(shè)，則，
∵
，
即 ，
即，
即，
即 ，
∴，滿足，
∴，
∴直線過定點.
例17．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校校考期末）已知F是拋物線C：的焦點，是拋物線上一點，且.
(1)求拋物線C的方程；
(2)直線l與拋物線C交于A，B兩點，若（O為坐標(biāo)原點），則直線l否會過某個定點？若是，求出該定點坐標(biāo).
【解析】（1）由知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，而是該拋物線的焦點，
又，因此，解得，
所以拋物線C的方程為.
（2）顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線l：，，，
由消去x并整理得，，即，
于是，，，
由，得，則有，
即，因此，
則，解得，滿足，直線過定點，
所以直線恒過定點.
例18．（2023·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知定點，定直線，動圓過點，且與直線相切．
(1)求動圓的圓心所在軌跡的方程；
(2)已知點是軌跡上一點，點是軌跡上不同的兩點（點均不與點重合），設(shè)直線的斜率分別為，且滿足，證明：直線過定點，并求出定點的坐標(biāo)．
【解析】（1）設(shè)點，圓與直線的切點為，
因為動圓過點，且與直線相切，則，
所以點的軌跡是以原點為頂點，以點為焦點的拋物線，
則動圓的圓心軌跡的方程為．
（2）若直線的斜率為0，則直線與拋物線只有1個交點，不合要求，
設(shè)直線的方程為
，消去可得：，
則，
因為為拋物線上一點，所以，解得，
，
解得，代入，
解得或，
結(jié)合點均不與點重合，則，則，解得，
故且或，
所以直線即
所以直線恒過定點.
變式24．（2023·江蘇南京·高二校考階段練習(xí)）已知拋物線C：，P是C上縱坐標(biāo)為2的點，以點P為圓心，PO為半徑的圓（O為原點）交C的準(zhǔn)線l于A，B兩點，且.
(1)求拋物線C的方程.
(2)過點P作直線PM，PN分別交C于M，N兩點，且使∠MPN的平分線與y軸垂直，問：直線MN的斜率是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，試說明理由.
【解析】（1）將點的縱坐標(biāo)代入中，
解得，
所以，則點到準(zhǔn)線的距離為，
所以，
所以，解得，
所以拋物線的方程為；
（2）由題意可知直線的斜率存在且不為0，
傾斜角互補，則斜率互為相反數(shù)，
易知，
設(shè)，直線，
則直線，
由整理得，
其中，解得，
已知此方程一個根為1，
所以，即，
同理，
所以，，
所以
，
所以，
所以直線的斜率為定值.
變式25．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過點且傾斜角為的直線交拋物線于點（M在第一象限），，垂足為，直線交軸于點，
(1)求的值.
(2)若斜率不為0的直線與拋物線相切，切點為，平行于的直線交拋物線于兩點，且，點到直線與到直線的距離之比是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.
【解析】（1）如圖所示，過點作，垂足為交軸于點，
由題得，所以，
因為，所以△是等邊三角形，
因為是的中點，所以，
故，
所以，，所以，所以，即.
（2）由（1）可知拋物線的方程是，
設(shè)直線的方程為，，
因為，所以，
即，即.
又，所以，故.
聯(lián)立，消去，得，其中，
則，
所以，所以.
設(shè)點到直線和直線的距離分別為，
則由得，
所以點到直線與到直線的距離之比是定值，定值為3.
變式26．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且滿足，其中為坐標(biāo)原點．
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線與拋物線相交于、兩點，以為直徑的圓過點，作，為垂足．是否存在定點，使得為定值？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義可得，
將點的坐標(biāo)代入拋物線方程可得，
所以，，
所以，，因為，解得，
因此，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）若直線軸，則直線與拋物線只有一個公共點，不合乎題意，
設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，
聯(lián)立可得，，則，
由韋達(dá)定理可得，，
，，
因為以為直徑的圓過點，則，
所以，，
顯然且，所以，，
即，即，可得，
所以，直線的方程為，
由可得，，所以，直線過定點，
所以，，
因為，當(dāng)點為線段的中點時，即當(dāng)點的坐標(biāo)為時，
為定值.
因此，存在定點，且當(dāng)點的坐標(biāo)為時，為定值.
變式27．（2023·新疆昌吉·高二統(tǒng)考期中）已知動圓P過點且與直線相切，圓心P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程；
(2)若A，B是曲線C上的兩個點，且直線AB過的外心，其中O為坐標(biāo)原點，求證:直線過定點.
【解析】（1）設(shè)點，則=，平方并整理得，
∴曲線C的方程為.
（2）證明:由題意可知直線的斜率一定存在，否則不與曲線C有兩個交點.
設(shè)的方程為，，聯(lián)立
得，其中，則， ，
由，得， .
∴.
∵直線過的外心，∴.
∴·，即，解得或（舍去）.
當(dāng)時，滿足.
∴直線的方程為，
∴直線過定點.
變式28．（2023·四川綿陽·高二鹽亭中學(xué)校考期中）已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為 軸，且經(jīng)過點 .
(1)求拋物線方程;
(2)若直線 與拋物線交于 兩點，且滿足 ，求證: 直線 恒過定點，并求出定點坐標(biāo).
【解析】（1）由題可知，拋物線的開口向右，
設(shè)拋物線方程為 ，
因為經(jīng)過點 ，
所以 ，解得
所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為: .
（2）如圖，
設(shè)直線 的方程為: ，
聯(lián)立方程
消 有：
由于交于 兩點，設(shè) ，
則 ，即 ，
，
由 .
則 .
解得: ，驗證滿足條件.
所以直線 的方程為 ，
即證直線 恒過定點.
變式29．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高二萍鄉(xiāng)市安源中學(xué)校考期末）已知是拋物線上一點，且M到C的焦點的距離為5.

(1)求拋物線C的方程及點M的坐標(biāo)；
(2)如圖所示，過點的直線l與C交于A，B兩點，與y軸交于點Q，設(shè)，，求證：是定值.
【解析】（1）由拋物線的定義，得，解得p＝2.
所以拋物線C的方程為，M的坐標(biāo)為或.
（2）由題意知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)l的方程為x＝ty＋1（t≠0），則.將x＝ty＋1代入得.設(shè)，，則，.
由，得；由，得.
所以，故是定值1.
題型七：最值問題
例19．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知O是平面直角坐標(biāo)系的原點，F(xiàn)是拋物線的焦點，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，且的重心G在曲線上.
(1)求拋物線C的方程；
(2)記曲線與y軸的交點為D，且直線AB與x軸相交于點E，弦AB的中點為M，求四邊形DEMG面積的最小值.
【解析】（1）由題知，焦點，顯然直線的斜率存在，
設(shè)直線，，，，
聯(lián)立消去得，則△，
則，所以，
所以且，
故，
即，
整理得對任意的恒成立，故，
故所求拋物線的方程為．
（2）由題知，，，，，，則.
又弦AB的中點為M，的重心為G，則，故，所以.
點D到直線AB的距離，
，
所以四邊形DEMG的面積
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
此時四邊形DEMG面積的最小值為.
例20．（2023·高二課時練習(xí)）如圖所示，P是拋物線上的動點，點B，C在y軸上，圓內(nèi)切于，求的面積的最小值.

【解析】設(shè)，，，不妨設(shè).則直線PB：，即.又因為圓心到PB的距離為1，所以，即，易知，化簡得.
同理可得.所以，，則
.
因為是拋物線上的點，所以，，即.
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值8.
例21．（2023·全國·高二期中）設(shè)點P是拋物線上的一個動點.
(1)求點到的距離與點到直線的距離之和的最小值；
(2)若，求的最小值.
【解析】（1）如圖，易知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，由拋物線的定義知點到直線的距離等于點到焦點的距離.
于是，問題轉(zhuǎn)化為在曲線上求一點，使點到點的距離與點到的距離之和最小.
顯然，連接與拋物線的交點即為所求點，故最小值為＝.
（2）如圖，過點作垂直于準(zhǔn)線于點，過點作垂直準(zhǔn)線于點，交拋物線于點，
　
此時，，那么,即最小值為4.
變式30．（2023·上海·高二期末）在平面直角坐標(biāo)系中，一動圓經(jīng)過點且與直線相切，設(shè)該動圓圓心的軌跡為曲線K，P是曲線K上一點．
(1)求曲線K的方程；
(2)過點A且斜率為k的直線l與曲線K交于B、C兩點，若且直線OP與直線交于Q點．求的值；
(3)若點D、E在y軸上，的內(nèi)切圓的方程為，求面積的最小值．
【解析】（1）由題意可知圓心到的距離等于到直線的距離，
由拋物線的定義可知，曲線K的軌跡方程為，
（2）設(shè)直線l的方程為，
聯(lián)立，消y得，
∴，∴，
設(shè)，∴,
又，
∴
∵，∴設(shè)直線OP的方程為，
聯(lián)立，消y得，
∴，∴，∴，
令，則，∴，∴，
∴，
故的值為，
（3）設(shè)，
直線PD的方程為，
又圓心到PD的距離為1，即，
整理得，
同理可得，
所以，可知b，c是方程的兩根，
所以，，
依題意，即，則，
因為，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時上式取等號，
所以面積的最小值為8．
變式31．（2023·江蘇南京·高二金陵中學(xué)校考階段練習(xí)）已知直線與拋物線交于兩點，且．
(1)求的值；
(2)設(shè)為拋物線的焦點，為拋物線上兩點，，求面積的最小值．
【解析】（1）設(shè)，
由，可得，
由，則，
所以，
所以
，
化簡得，
所以或，
因為，所以．
（2）因為，顯然直線的斜率存在，
設(shè)直線：，，
由可得，，
所以，
，
因為，所以，
即，
亦即，
將代入得，
，，
所以，且，解得或．
設(shè)點到直線的距離為，所以，
因為，
所以
，
所以的面積，
而或，所以，
當(dāng)時，的面積
變式32．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點為，過軸正半軸上一點的直線與拋物線交于、兩點，為坐標(biāo)原點，且.
(1)求點的坐標(biāo)；
(2)設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，求四邊形面積的最小值.
【解析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，
可得，需滿足，設(shè)，
則，由于，
由可得，
解得或（舍去），
則過軸正半軸上一點，
即點的坐標(biāo)為.
（2）由題意知，結(jié)合（1）知，
不妨設(shè)，
則，
由于關(guān)于對稱，故，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，
故四邊形面積的最小值為.
變式33．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點為，為上一點，為準(zhǔn)線上一點，，
(1)求的方程；
(2)，，是上的三點，若，求點到直線距離的最大值．
【解析】（1）如圖所示：
由題意可知，因為，，
由，，可得，
由拋物線的定義可知，，解得．
則的方程為.
（2）如圖所示：
在拋物線上，所以，
設(shè)直線的方程為，，，
將代入，得
則，
，同理
整理得，，
直線的方程為，所以直線過定點.
當(dāng)時，點到直線距離最大，
且最大距離為，
經(jīng)檢驗符合題意.
變式34．（2023·黑龍江·高二統(tǒng)考期中）如圖，已知拋物線：的焦點為，過點的直線與拋物線交于，兩點，為拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點.
（1）若，求直線的斜率；
（2）求的最大值.
【解析】（1）因為拋物線的焦點為，.
當(dāng)軸時，，，此時，與矛盾，
所以可設(shè)直線的方程為，，
代入，得，
則，，①
所以，所以.②
因為，所以，
將①②代入并整理得，，所以.
（2）因為，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，
所以的最大值為.
變式35．（2023·陜西延安·高二階段練習(xí)）已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點，且點．
(1)求的值；
(2)求的最大值．
【解析】（1）由拋物線方程和焦點坐標(biāo)可得：，解得：.
（2）由題意知：直線斜率存在，設(shè)，，，
由得：，則，
，；
，，
；
當(dāng)時，取得最大值.
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2023·遼寧撫順·校考模擬預(yù)測）設(shè)O為坐標(biāo)原點，P是以F為焦點的拋物線上任意一點，M是線段PF上的點，且，則直線OM的斜率的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，設(shè)，顯然當(dāng)時，，當(dāng)時，，
要想求解直線OM的斜率的最大值，此時．
設(shè)，，，則，即，
解得．
，故，即，
，故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故直線OM的斜率的最大值為．
故選：B.
2．（2023·云南紅河·高二開遠(yuǎn)市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知拋物線C：，點M在C上，直線l：與x軸、y軸分別交于A，B兩點，若面積的最小值為，則（ ）
A．44 B．4 C．4或44 D．1或4
【答案】B
【解析】不妨設(shè)，，由，，
知．設(shè)，
則，
故，故.
故選：B．
3．（2023·四川成都·高三石室中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線：的準(zhǔn)線為直線，直線與交于，兩點（點在軸上方），與直線交于點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題可得拋物線方程為，所以，
如圖所示，則，解得，
聯(lián)立方程，消去y得：．
可知，解得，
所以．
故選：C．
4．（2023·廣東江門·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓與軸相交于E，F(xiàn)兩點，與拋物線相交于A，B兩點，若拋物線的焦點為，直線與拋物線的另一個交點為，則（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】圓與軸相交于E，F(xiàn)兩點，且拋物線開口向右，
所以，則，即．
如圖，過點和點分別作和垂直于拋物線的準(zhǔn)線，
易知，．
設(shè)，則，
則，
即，，
解得（舍），或，
所以；
，
則，
解得，
所以.
故選：D.
5．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知直線交拋物線于軸異側(cè)兩點，過向作垂線，垂足為，若點在以為圓心，半徑為3的圓上，則（ ）
A．48 B．24 C．12 D．36
【答案】B
【解析】如圖，因為點在以為圓心，半徑為3的圓上，所以直線經(jīng)過點．
設(shè)方程為，
由得，
設(shè)，則．
所以．
故選：B．
6．（2023·四川宜賓·高三四川省興文第二中學(xué)校校考開學(xué)考試）已知拋物線的焦點為F，過點P（2，0）的直線交拋物線于A，B兩點，直線AF，BF分別于拋物線交于點C，D．設(shè)直線AB，CD的斜率分別為，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】
由題意得，設(shè)直線的方程為，，，，,
聯(lián)立得，，
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，，同理可得，
所以.
故選：B.
7．（2023·河北保定·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知拋物線：的焦點為，準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于點，過點的直線與及準(zhǔn)線依次相交于，，三點（點在點，之間），若，，則的面積等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖，過作于，過作于，連接
拋物線：的焦點為，準(zhǔn)線方程為，則
由拋物線定義可得，所以，則，故，
又有，由拋物線定義得，所以為正三角形，則，
所以，則，所以，故
故，所以，則，所以，則，不妨由圖取，
又，所以，則，不妨由圖取，
所以.
故選：D.
8．（2023·河北石家莊·高三校聯(lián)考期中）已知拋物線的焦點為，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，則的面積為（ ）
A． B． C．12 D．
【答案】A
【解析】如圖所示，
設(shè)，，過點且與拋物線相切的直線方程為，
聯(lián)立，消去，得，
則，即．
設(shè)方程的兩解為，，則，，
則，．
易知，則，，
．
故選：A.
二、多選題
9．（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：的焦點為，過點的傾斜角為的直線與相交于，兩點，且點在第一象限，的面積是，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由題意得，設(shè)直線：即，
則點到直線的距離是，
所以，得，所以，
，，所以AC正確，
故選：AC.
10．（2023·江蘇徐州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知點在拋物線的準(zhǔn)線上，過拋物線的焦點作直線交于、兩點，則（ ）
A．拋物線的方程是 B．
C．當(dāng)時， D．
【答案】BCD
【解析】對于A選項，拋物線的準(zhǔn)線方程為，
因為點在拋物線的準(zhǔn)線上，則，可得，
所以，拋物線的方程為，A錯；
對于B選項，拋物線的焦點為，
若直線與軸重合，此時，直線與拋物線只有一個公共點，不合乎題意，
所以，直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，可得，，則，
所以，，B對；
對于C選項，因為，即，則，
因為，可得，
則，則，
此時，
，C對；
對于D選項，，同理可得，
所以，
，所以，，D對.
故選：BCD.
11．（2023·云南曲靖·高三校考階段練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點，為拋物線的焦點，過點的直線交于、兩點，直線、分別交于、，則（ ）
A．的準(zhǔn)線方程為 B．
C．的最小值為 D．的最小值為
【答案】ABD
【解析】對于A選項，對于拋物線，，可得，
所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為，A對；
對于B選項，若直線與軸重合，此時，直線與拋物線只有一個公共點，不合乎題意，
設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，
聯(lián)立，可得，，
所以，，，
則，則，B對；
對于C選項，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故的最小值為，C錯；
對于D選項，設(shè)點、，
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，
判別式為，由韋達(dá)定理可得，，同理可得，
，同理可得，，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，
所以，的最小值為，D對.
故選：ABD.
12．（2023·高二課時練習(xí)）已知拋物線的焦點為，頂點為，點在拋物線上，若，則下列選項正確的是（ ）
A． B．以MF為直徑的圓與軸相切
C． D．
【答案】ABD
【解析】依題意，拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，
對于A，由，得，A正確；
對于B，顯然的中點的橫坐標(biāo)為，則該點到軸的距離，
所以以為直徑的圓與軸相切，B正確；
對于C，當(dāng)時，，解得，即，則，C錯誤；
對于D，，D正確.
故選：ABD
三、填空題
13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點和拋物線C：，過C的焦點且斜率為的直線與C交于A，B兩點．若，則 ．
【答案】2
【解析】因為拋物線C：的焦點為，所以直線AB的方程為，
由可得，其中，
此時.
設(shè)，，則，，
所以，
．
因為，所以，，
因為，所以，所以，
整理可得，
所以，得，所以．
故答案為：.
14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線上三點，若直線AB，AC的斜率互為相反數(shù)，則直線BC的斜率為
【答案】/-0.5
【解析】將代人，得，則拋物線方程為.
設(shè)，
聯(lián)立，
得.
由于A，B，C三點的縱坐標(biāo)為該方程的三個根，
所以B，C兩點縱坐標(biāo)滿足.
又，所以.
故直線BC的斜率為.
故答案為：
15．（2023·浙江·模擬預(yù)測）過拋物線的焦點的直線與交于兩點，從點分別向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，線段的中點為，則弦的長為 .
【答案】5
【解析】由已知得拋物線的準(zhǔn)線方程為，，
設(shè)，
所以的中點的坐標(biāo)為，所以，
設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立
可得，所以，可得，
所以，
所以.
故答案為：5.
16．（2023·高二課時練習(xí)）設(shè)是拋物線上任意一點，是直線上任意一點，記，則 .
【答案】
【解析】易求得與直線平行，且與拋物線相切的直線的方程為，
切點為，直線與直線l交于點，
由曼哈頓距離的幾何意義可得．
四、解答題
17．（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且．
(1)求拋物線的方程；
(2)已知直線交拋物線于兩點，且點為線段的中點，求直線的方程．
【解析】（1）點在拋物線上，
由拋物線定義可得，解得，
故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)，如下圖所示：
則，兩式相減可得，
即，
又線段的中點為，可得；
則，故直線的斜率為4，
所以直線的方程為，
即直線的方程為．
18．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）有一條光線沿直線從右向左射到拋物線上的一點，經(jīng)拋物線反射后，反射光線與拋物線的另一個交點是，是拋物線的頂點，是拋物線的焦點，求弦的斜率和的面積.
【解析】
由得：，，
由拋物線的光學(xué)性質(zhì)知：反射光線必經(jīng)過拋物線的焦點，
由拋物線方程知：，
弦的斜率；.
19．（2023·高二課時練習(xí)）已知拋物線，p為方程的根.
(1)求拋物線的方程；
(2)若拋物線與直線無公共點，求此拋物線的通徑（通徑：過拋物線的焦點且與對稱軸垂直的直線被拋物線所截得的線段）.
【解析】（1）由題意得，解得或6.
或.
（2）聯(lián)立與可得，
即，由，
故拋物線與直線有公共點，不合要求，舍去；
聯(lián)立與可得，
即，由，
故拋物線與直線無公共點，
∴焦點，中令，可得，解得，
.
20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：，坐標(biāo)原點為，焦點為，直線：.
(1)若直線與拋物線只有一個公共點，求的值；
(2)過點作斜率為的直線交拋物線于,兩點，求的面積．
【解析】（1）依題意，聯(lián)立，消去，得：，即：，
①當(dāng)時，有：，顯然方程只有一個解，滿足條件；
②當(dāng)時，要使得直線與拋物線只有一個公共點，
則方程只有一個解，
所以，解得：；
綜上所述，當(dāng)或時，直線與拋物線只有一個公共點．
（2）由于拋物線：的焦點的坐標(biāo)為，
所以過點且斜率為的直線方程為：，
設(shè)，，
聯(lián)立，消去，得：，
則由韋達(dá)定理得：，，
所以，
所以.
21．（2023·河南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線，直線垂直于軸，與交于兩點，為坐標(biāo)原點，過點且平行于軸的直線與直線交于點，記動點的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)點在直線上運動，過點作曲線的兩條切線，切點分別為，在平面內(nèi)是否存在定點，使得？若存在，請求出定點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）設(shè)，則，
由題意線垂直于軸，與交于兩點，知，
過點且平行于軸的直線方程為：，
直線的方程為：，
令，得，即，
由得，
因為在拋物線上，即，
則，化簡得，
由題意知不重合，故，
所以曲線的方程為
（2）由（1）知曲線的方程為，
點在直線上運動， 當(dāng)點在特殊位置時，
兩個切點關(guān)于軸對稱，
故要使得，則點在軸上．
故設(shè)，
曲線的方程為，求導(dǎo)得，
所以切線的斜率，
直線的方程為，
又點在直線上，
所以，
整理得，
同理可得，
故和是一元二次方程的根，
由韋達(dá)定理得，
，
當(dāng)時，恒成立，
所以存在定點，使得恒成立．
五、證明題
22．（2023·江蘇徐州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線過拋物線的焦點，與拋物線交于兩點．
(1)若線段中點的橫坐標(biāo)為2，求線段的長；
(2)若直線交拋物線的準(zhǔn)線于點，求證：直線平行于拋物線的對稱軸．
【解析】（1）設(shè)，由題意，拋物線中，
焦點弦長；
（2）由已知準(zhǔn)線方程為，焦點為,直線的斜率顯然存在，設(shè)直線的方程為，
由得，∴，
直線方程為，令得，
又，，所以，，
，顯然異號，所以，
所以與軸平行，即與拋物線的對稱軸平行．

展開更多......

收起↑