資源簡介

3．2．1 雙曲線及其標準方程
【題型歸納目錄】
題型一：雙曲線的定義
題型二：雙曲線的標準方程
題型三：雙曲線方程的充要條件
題型四：雙曲線中焦點三角形的周長與面積及其他問題
題型五：雙曲線上兩點距離的最值問題
題型六：雙曲線上兩線段的和差最值問題
題型七：求軌跡方程
【知識點梳理】
知識點一、雙曲線的定義
在平面內，到兩個定點、的距離之差的絕對值等于常數(shù)（大于0且）的動點的軌跡叫作雙曲線．這兩個定點、叫雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫作雙曲線的焦距．
知識點詮釋：
1、雙曲線的定義中，常數(shù)應當滿足的約束條件：，這可以借助于三角形中邊的相關性質“兩邊之差小于第三邊”來理解；
2、若去掉定義中的“絕對值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；若（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；
3、若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線（包括端點）；
4、若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡不存在；
5、若常數(shù)，則動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線．
知識點二、雙曲線的標準方程
標準方程的推導：
如何建立雙曲線的方程？根據求曲線方程的一般步驟，可分：（1）建系設點；（2）點的集合；（3）代數(shù)方程；（4）化簡方程等步驟．
（1）建系設點
取過焦點、的直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸
（2）建立直角坐標系．
設為雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距是（），那么F1、F2的坐標分別是、．又設點M與、的距離的差的絕對值等于常數(shù)．
（2）點的集合
由定義可知，雙曲線就是集合：
．
（3）代數(shù)方程
∵，
∴
（4）化簡方程
將這個方程移項，兩邊平方得：
化簡得：
兩邊再平方，整理得：
（以上推導完全可以仿照橢圓方程的推導．）
由雙曲線定義，即c＞a，所以．
設，代入上式得：
即，其中
這就是雙曲線的標準方程．
雙曲線的標準方程：
1、當焦點在軸上時，雙曲線的標準方程：，其中；
2、當焦點在軸上時，雙曲線的標準方程：，其中
橢圓、雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系：
橢圓 雙曲線
根據 根據
， ，
， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b）
（a最大） （c最大）
標準方程統(tǒng)一為：
方程（A、B、C均不為零）表示雙曲線的條件
方程可化為，即，
所以只有A、B異號，方程表示雙曲線．
當，時，雙曲線的焦點在x軸上；
當，時，雙曲線的焦點在y軸上．
知識點詮釋：
1、當且僅當雙曲線的對稱中心在坐標原點，對稱軸是坐標軸，雙曲線的方程才是標準方程形式．此時，雙曲線的焦點在坐標軸上．
2、雙曲線標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關，是由雙曲線本身所確定的，分別表示雙曲線的實半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關系為：，，且．
3、雙曲線的焦點總在實軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看、的系數(shù)，如果項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；如果項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上．
4、對于雙曲線，不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點在哪一條坐標軸上．
知識點三、求雙曲線的標準方程
①待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點的位置，從而確定方程的類型，設出標準方程，再由條件確定方程中的參數(shù)、、的值．其主要步驟是“先定型，再定量”；
②定義法：由題目條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據定義確定方程．
知識點詮釋：若定義中“差的絕對值”中的絕對值去掉，點的集合成為雙曲線的一支，先確定方程類型，再確定參數(shù)a、b，即先定型，再定量．若兩種類型都有可能，則需分類討論．
【方法技巧與總結】
求雙曲線中的焦點三角形面積的方法
（1）①根據雙曲線的定義求出；
②利用余弦定理表示出、、之間滿足的關系式；
③通過配方，利用整體的思想求出的值；
④利用公式求得面積。
（2）利用公式求得面積；
（3）若雙曲線中焦點三角形的頂角，則面積.
【典型例題】
題型一：雙曲線的定義
例1．（2023·陜西渭南·高二白水縣白水中學校考階段練習）如果雙曲線上一點到它的右焦點的距離是，那么點到它的左焦點的距離是（ ）
A． B． C．或 D．不確定
【答案】C
【解析】設雙曲線的左、右焦點為，則；
則，
由雙曲線定義可得，即，
所以或，由于，
故點到它的左焦點的距離是或，
故選：C
例2．（2023·全國·高二期中）若點在雙曲線上，雙曲線的焦點為，且，則等于（　　）
A．2 B．4 C．8 D．12
【答案】B
【解析】雙曲線中，得，則，
由雙曲線的定義可得，
因為，所以，解得，
故選：B
例3．（2023·全國·高二專題練面內到兩個定點的距離之差的絕對值等于的點的軌跡是（ ）
A．雙曲線 B．兩條射線 C．一條線段 D．一條直線
【答案】B
【解析】如圖：
設動點為，到兩個定點的距離之差的絕對值為，
則若在線段（不包含兩端點）上，有；
若在直線外，有；
若在線段的延長線上或線段的反向延長線上（均包含兩端點），
則有.
故選：B
變式1．（2023·高二課時練習）已知動點滿足，則動點P的軌跡是（　　）
A．雙曲線 B．雙曲線左支
C．雙曲線右支 D．一條射線
【答案】C
【解析】因為 的幾何意義是動點到點與的距離之差為2，
又因為，
所以由雙曲線的定義，知動點P的軌跡是雙曲線右支．
故選：C
變式2．（2023·全國·高二專題練習）雙曲線上的點P到一個焦點的距離為11，則它到另一個焦點的距離為（　　）
A．1或21 B．14或36 C．2 D．21
【答案】D
【解析】設雙曲線的左右焦點分別為，不妨設，
根據雙曲線的定義知|，所以或，
而，，
雙曲線右支上一點，，則，
則點到右焦點的距離為
，
當時，取得最小值，最小值為2，
故不成立，舍去，滿足要求，
所以點P到另一個焦點的距離為21，
故選：D
題型二：雙曲線的標準方程
例4．（2023·福建·高二上杭一中校考階段練習）分別求出滿合下列條件的圓錐曲線的標準方程：
（1）離心率為，且短軸長為6的橢圓；
（2）過點，且與橢圓有相同焦點的雙曲線.
【解析】（1）已知短軸長為6，則，
又因為離心率為，則，
而，得，
所以橢圖的標準方程為或.
（2）已知雙曲線與橢圓，即有相同焦點，
所以焦點坐標為，又因為雙曲線過點，
由雙曲線的定義得出：
，
即，∴，
所以雙曲線的標準方程為.
例5．（2023·江西·高二校聯(lián)考期中）（1）求經過點、且焦點在坐標軸上的雙曲線的標準方程；
（2）求與雙曲線有公共焦點，且過點的雙曲線標準方程．
【解析】（1）依題意，設雙曲線的方程為，
雙曲線過點、兩點，，解得.
因此，雙曲線的標準方程為；
（2）雙曲線雙曲線的焦點為，
設所求雙曲線的方程為，則，
由雙曲線定義得，
，則，因此，所求雙曲線的標準方程為.
例6．（2023·全國·高二專題練習）在下列條件下求雙曲線標準方程
（1）經過兩點；
（2），經過點，焦點在軸上.
【解析】（1）由于雙曲線過點，故且焦點在軸上，設方程為，代入得，解得，故雙曲線的方程為.（2）由于雙曲線焦點在軸上，故設雙曲線方程為.將點代入雙曲線方程得，解得，故雙曲線的方程為.
變式3．（2023·高二課時練習）求適合下列條件的雙曲線標準方程：
（1）與雙曲線共焦點，經過點；
（2）經過點和；
【解析】（1）∵焦點相同，
∴設所求雙曲線的標準方程為，
∴，即.①
∵雙曲線經過點，∴.②
由①②得，，
雙曲線的標準方程為.
（2）設雙曲線的方程為
∵點P，Q在雙曲線上，
∴，解得.
∴雙曲線的標準方程為.
變式4．（2023·高二課時練習）設橢圓C1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標準方程為 ．
【答案】
【解析】根據題意可知橢圓方程中的a=13，
∵=
∴c=5
根據雙曲線的定義可知曲線C2為雙曲線，其中半焦距為5，實軸長為8
∴虛軸長為6
∴雙曲線方程為
變式5．（2023·江蘇揚州·高二統(tǒng)考期中）已知對稱軸是坐標軸的等軸雙曲線C經過點，則雙曲線C的標準方程為 .
【答案】
【解析】由題意，
在等軸雙曲線C中，對稱軸是坐標軸，圖像過，
當焦點在x軸時
設，則
∴解得：
∴，
當焦點在y軸時，不成立，
綜上，.
故答案為：.
變式6．（2023·高二課時練習）若雙曲線的一個焦點坐標為，實軸長為6，則它的標準方程是 .
【答案】
【解析】由焦點，可得，由實軸長為，即，可得，，
故雙曲線的標準方程為.
故答案為：.
題型三：雙曲線方程的充要條件
例7．（2023·全國·高二專題練習）對于常數(shù)a，b，“”是“方程對應的曲線是雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】可整理成，
當，則且或且，此時方程即表示的曲線為雙曲線，則充分性成立；
若方程表示的曲線為雙曲線，則即，則必要性成立，
故選：C
例8．（2023·全國·高二專題練習）設，則“方程表示雙曲線”的必要不充分條件為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，方程表示雙曲線，
則，所以，
根據選項，“方程表示雙曲線”的必要不充分條件為B.
故選：B.
例9．（2023·全國·高二專題練習）“”是“為雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】因為方程表示雙曲線，所以，
又當時，方程表示雙曲線，
因此“”是“方程表示雙曲線”的充要條件.
故選：C
變式7．（2023·安徽阜陽·高二阜陽市第三中學校考階段練習）已知曲線表示雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由題意知，，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是.
故選：D.
變式8．（2023·四川遂寧·高二射洪中學校考階段練習）已知方程表示的焦點在y軸的雙曲線，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方程可化為：，
由方程表示的焦點在y軸的雙曲線，得，
解得.
故選：C.
變式9．（2023·全國·高二專題練習）若方程表示雙曲線，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意得，解得.
故選：C
變式10．（2023·全國·高二專題練習）若，則“”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】因為方程表示雙曲線，
所以，
解得或，
因為由可推出或，但是由或不能推出，
所以“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件，
故選：A
題型四：雙曲線中焦點三角形的周長與面積及其他問題
例10．（2023·河北衡水·高二衡水市第二中學校考階段練習）已知，分別是雙曲線的左、右兩個焦點，點在雙曲線的右支上，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可得 ，
由雙曲線的定義得 ，而 ，
解得 ，
由余弦定理得
所以 .
故選：A.
例11．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線為坐標原點，為雙曲線的兩個焦點，點為雙曲線上一點，若，則雙曲線的方程可以為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】設為雙曲線的下焦點，為雙曲線的上焦點，
如圖所示，過點作于點.
因為，所以，
因為，
所以，所以，
故，得.
因為，所以，故點，
將代入雙曲線中，
即，化簡得，
，
解得或（舍去），故B項正確.
故選：B.
例12．（2023·全國·高二專題練習）已知分別是雙曲線的左、右焦點，是坐標原點，點是雙曲線上一點，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
在雙曲線中，，，則，
根據對稱性，不妨設點在雙曲線的右支上，則．
因為，
所，．
在中，，
①
在中，是中點,則，兩邊平方可得，
所以②
所以,,
．
故選：A.
變式11．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，直線經過且與的右支相交于A，B兩點，若，則的周長為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】雙曲線的實半軸長，
由雙曲線的定義，可得
所以，
則三角形的周長為.
故選：B
變式12．（2023·全國·高二專題練習）設雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上一點，，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據雙曲線的定義得，
又因為，所以，．
又因為，
所以在中結合余弦定理的推論得：
，
因為，得的大小為．
故選：C
變式13．（2023·全國·高二專題練習）設，是雙曲線C：的左、右焦點，過的直線與C的右支交于P，Q兩點，則（ ）
A．5 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【解析】雙曲線C：，則，，
由雙曲線的定義知：，，
，
所以
.
故選：C.
變式14．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線，直線l過其上焦點，交雙曲線上支于A，B兩點，且，為雙曲線下焦點，的周長為18，則m值為（ ）
A．8 B． C．10 D．
【答案】D
【解析】由題意知.
又，所以.
根據雙曲線的定義可知，
所以，
解得，所以.
故選：D
變式15．（2023·全國·高二專題練習）設F1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，且，則的面積等于（ ）
A．24 B．15 C．12 D．30
【答案】A
【解析】，根據雙曲線定義：，
，，，
根據余弦定理：，
則，.
故選：A
題型五：雙曲線上兩點距離的最值問題
例13．（2023·全國·高二專題練習）已知，分別是雙曲線的左右焦點，且C上存在點P使得，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】因為，雙曲線，
又，
所以，，
又，
解得，
即a的取值范圍是.
故答案為：.
例14．（2023·高二課時練習）已知點，點在曲線上運動，點在曲線上運動，則的最小值是 ．
【答案】
【解析】如下圖所示：
在雙曲線中，，，，
圓的圓心為，半徑長為，
所以，雙曲線的左、右焦點分別為、，
由雙曲線的定義可得，，
所以，，
當且僅當為射線與圓的交點，且時，等號成立，
故的最小值是.
故答案為：.
例15．（2023·高二課時練習）已知定點，且，動點滿足，則的最小值是 .
【答案】6
【解析】因為動點滿足，
所以點P的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的一支，
則，即，
不妨設焦點在x軸上，則雙曲線方程為，
左焦點為，右焦點為，
設，則，
所以，
所以的最小值是6，
故答案為：6
變式16．（2023·高二單元測試）設雙曲線，是它的左焦點，直線l通過它的右焦點，且與雙曲線的右支交于A，B兩點，則的最小值為 .
【答案】
【解析】雙曲線的右焦點為
當直線的斜率存在時，設直線的方程為
代入雙曲線方程，消去y 得
設
由韋達定理得
根據雙曲線的第二定義得：
當直線的斜率不存在時，
根據雙曲線的第一定義得：
綜上：的最小值為
故答案為：
變式17．（2023·全國·高二隨堂練習）設雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點，則|BF2|＋|AF2|的最小值為 ．
【答案】10
【解析】根據雙曲線的定義轉換求解即可.由雙曲線的標準方程得a＝2,由雙曲線的定義可得|AF2|－|AF1|＝4,|BF2|－|BF1|＝4,所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因為|AF1|＋|BF1|＝|AB|,當直線l過點F1,且垂直于x軸時,|AB|最小,所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝
故答案為：10.
變式18．（2023·高二單元測試）平面內，線段的長度為10，動點滿足，則的最小值為 ．
【答案】2
【解析】因為，所以，
因此動點在以為焦點的雙曲線的靠近點的一支上，且，
從而的最小值為
故答案為：2.
題型六：雙曲線上兩線段的和差最值問題
例16．（2023·江西宜春·高二上高二中校考期末）是雙曲線的右支上一點，分別是圓和上的點，則的最大值為 ．
【答案】9
【解析】由題意，圓的圓心為，半徑為2，的圓心為，半徑為1，故雙曲線焦點即為兩圓圓心.
所以的最大值即：的最大值減去的最小值. 的最大值為，的最小值為，根據雙曲線的定義可得兩者相減得.
故答案為：9
例17．（2023·全國·高二專題練習）P為雙曲線右支上一點，M，N分別是圓和上的點，則的最大值為 .
【答案】5
【解析】雙曲線的兩個焦點，分別為兩圓的圓心，
兩圓的半徑分別為，，易知，，
故的最大值為.
故答案為：5
例18．（2023·全國·高二專題練習）已知點，點P是雙曲線左支上的動點，為其右焦點，N是圓的動點，則的最小值為 ．
【答案】/
【解析】因為雙曲線的焦點為,
圓的圓心,恰好為雙曲線的左焦點,
，
(當且僅當三點共線時取等號)，
(當且僅當,,三點共線時取等號),
，
的最小值為.
故答案為：.
變式19．（2023·全國·高二專題練習）已知點是雙曲線的左焦點，點是該雙曲線右支上的任一點，，則的最大值為 ．
【答案】/
【解析】如圖，設雙曲線的右焦點為，由題知，
因為，所以，
因為，，當且僅當三點共線時等號成立，
所以，，當且僅當三點共線時等號成立.
所以，的最大值為
故答案為：
變式20．（2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知，動點M滿足，則△MNB周長的最小值為 .
【答案】10
【解析】動點M的軌跡為雙曲線的左支，，△MNB的周長最小時，最小，，又，
當且僅當N，M，A三點共線且M在線段AN上時，等號成立，
∴△MNB的周長為.
故答案為：10
變式21．（2023·江蘇南京·高二南京外國語學校校考階段練習）已知雙曲線方程為，焦距為8，左 右焦點分別為，，點A的坐標為，P為雙曲線右支上一動點，則的最小值為 .
【答案】
【解析】如圖所示，
由雙曲線為等軸雙曲線，且焦距為8，
所以，，
即，，
所以雙曲線的方程為：，
所以，，，
由雙曲線定義得，
所以
，
當三點共線時，最小為
故.
故答案為：.
變式22．（2023·全國·高二專題練習）已知、分別是雙曲線的左、右焦點，動點在雙曲線的左支上，點為圓上一動點，則的最小值為 .
【答案】6
【解析】雙曲線，，，
圓的圓心為，半徑，
在雙曲線的左支上，，
所以，
根據圓的幾何性質可知，的最小值是，
所以的最小值是.
故答案為：
變式23．（2023·全國·高二專題練習）設雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線交雙曲線左支于，兩點，則的最小值為 ．
【答案】22
【解析】根據雙曲線，得，，
由雙曲線的定義可得： ①，
②，
①+②可得：，
由于過雙曲線的左焦點的直線交雙曲線的左支于，兩點，
可得，即有．
則，當是雙曲線的通徑時最小，
故.
故答案為：22
變式24．（2023·高二課時練習）.已知雙曲線的一條漸近線的方程為，左、右焦點分別為，，直線過定點P，且在雙曲線C上，M為雙曲線上的動點，則的最小值為 .
【答案】
【解析】將直線，變形為，可得，解得：，所以定點為P(4，1).
由雙曲線的一條漸近線的方程為，及在雙曲線上，可得：解得：，
所以，
所以左、右焦點分別為，.
如圖示，要求的最小值，點M需在雙曲線的右支上.
由雙曲線的定義可得：，
所以，
所以.
所以當三點共線時，即M落在點G處，最小，
所以的最小值為.
故答案為：
變式25．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線：，，是其左右焦點.圓：，點為雙曲線右支上的動點，點為圓上的動點，則的最小值是 .
【答案】/
【解析】由題設知，，，，圓的半徑
由點為雙曲線右支上的動點知
∴
∴.
故答案為：
題型七：求軌跡方程
例19．（2023·全國·高二課堂例題）如圖，在中，已知，且三內角A，B，C滿足，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担瑒t頂點C的軌跡方程為 .

【答案】
【解析】以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，則，.
由正弦定理，得，，（R為的外接圓半徑）.
∵，
∴，即.
由雙曲線的定義知，點C的軌跡為雙曲線的右支（除去與x軸的交點）.
由題意，設所求軌跡方程為，
∵，，∴.
故所求軌跡方程為.
故答案為：
例20．（2023·全國·高二課堂例題）如圖所示，已知定圓：，定圓：，動圓M與定圓，都外切，則動圓圓心M的軌跡方程為 .

【答案】
【解析】圓：，圓心，半徑，
圓：，圓心，半徑.
設動圓M的半徑為R，則有，，
∴，
∴點M的軌跡是以，為焦點的雙曲線的左支，且，，于是.
故動圓圓心M的軌跡方程為.
故答案為：.
例21．（2023·高二課時練習）點P到點的距離與它到點的距離的差等于16的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】根據題意，軌跡為焦點在軸的雙曲線的右支，，，，
故，故軌跡方程為：.
故答案為：
變式26．（2023·湖北恩施·高二校考階段練習）已知橢圓的方程為，其左 右頂點分別為，一條垂直于軸的直線交橢圓于兩點，直線與直線相交于點，則點的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】由題意知，
設直線為，，
由三點共線及三點共線，
得，
兩式相乘化簡，得，
又，
所以，即，
又，即，
所以點的軌跡方程為.
故答案為：
變式27．（2023·全國·高二專題練習）設P為雙曲線上一動點，O為坐標原點，M為線段的中點，則點M的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】設，，
則，即，
又，則，
整理得，
即點M的軌跡方程為.
故答案為：
變式28．（2023·江蘇徐州·高二校考階段練習）數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微．”事實上，很多代數(shù)問題可以轉化為幾何問題加以解決，例如，與相關的代數(shù)問題，可以轉化為點與點 之間的距離的幾何問題．結合上述觀點，可得方程 的解為
【答案】
【解析】由，
可得 ，
其幾何意義為平面內一點與兩定點 距離之差的絕對值為6，
平面內與兩定點距離之差的絕對值為6的點的軌跡是雙曲線，
設該雙曲線的方程為 ，則得，
所以該雙曲線的方程是，
令 ，解得 ，
故答案為：．
變式29．（2023·高二課時練習）如圖，圓，點，動圓P過點F，且與圓E內切于點M，則動圓P的圓心P的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】圓的方程為，圓心為，半徑．
設動圓圓心為，
動圓與圓內切于點，
，
的軌跡是以、為焦點的雙曲線的左支，其中，得，
而，，
故所求軌跡方程為．
故答案為：
變式30．（2023·高二課時練習）已知橢圓，作垂直于x軸的直線l交橢圓于A，B兩點，作垂直于y軸的直線m交橢圓于C，D兩點，且，直線l與直線m交于P點，則點P的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】設直線l的方程為，直線m的方程為，
所以，
不妨設點，，，，
所以，，
因為，
所以，
所以，
即．
故答案為：
變式31．（2023·安徽滁州·高二校考開學考試）設，則動點P的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】因為，所以動點P的軌跡是焦點為A，B，實軸長為4的雙曲線的上支．因為，所以，所以動點P的軌跡方程為．
故答案為：.
變式32．（2023·上海楊浦·高二上海市楊浦高級中學校考期末）一個動圓P與兩個定圓，均內切，那么動圓P的圓心的軌跡方程是 .
【答案】
【解析】設，圓的半徑為，
因為圓，圓心，半徑為，
圓，圓心，半徑為，
因為圓與圓，圓都內切，
所以圓，，即.
所以的軌跡是雙曲線的右支.
雙曲線的中心為，，，所以，
所以的軌跡為方程為：.
故答案為：.
變式33．（2023·黑龍江大慶·高二大慶實驗中學校考階段練習）已知，為坐標原點，動點滿足，其中，且，則的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】設，由向量的坐標運算，用表示出，代入等式后化簡即可得的軌跡方程.設，
則，
∴，
又，消去得.
故答案為：.
變式34．（2023·湖北孝感·高二校聯(lián)考期中）如圖所示：在圓C：(x＋1)2＋y2＝16內有一點A(1，0)，點Q為圓C上一動點，線段AQ的垂直平分線與直線CQ的連線交于點M，根據橢圓定義可得點M的軌跡方程為；利用類比推理思想：在圓C：(x＋3)2＋y2＝16外有一點A(3，0)，點Q為圓C上一動點，線段AQ的垂直平分線與直線CQ的連線交于點M，根據雙曲線定義可得點M的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】連結，，
點在線段的垂直平分線上，
所以點的軌跡為雙曲線的左支，，所以
所以雙曲線的軌跡方程為
變式35．（2023·湖北孝感·高二統(tǒng)考期中）孝感某地施行禁鞭政策，現(xiàn)有兩監(jiān)控點相距1000米，處聽到炮竹聲與處相差2秒，設聲速為300米/秒，現(xiàn)要找出炮竹燃放點的大概位置，以所在的直線為軸，以線段的中垂線為軸建立直角坐標系，燃放點的軌跡方程為
【答案】
【解析】設燃放點的坐標為，，
那么,所以點形成的軌跡是以定點為焦點的雙曲線，
所以設點的軌跡為，
所以，，那么，，
所以燃放點的軌跡方程為：，
故答案為：
【過關測試】
一、單選題
1．（2023·湖北襄陽·高二襄陽市第一中學校考階段練習）是雙曲線上一點，點分別是雙曲線左右焦點，若，則（ ）
A．9或1 B．1 C．9 D．9或2
【答案】C
【解析】是雙曲線上一點，所以，所以，
由雙曲線定義可知，
所以或者，又，所以，
故選：C
2．（2023·江西南昌·高二校考階段練習）已知直線在直角坐標系中的位置如圖所示，則方程表示（ ）

A．焦點在軸上的雙曲線 B．焦點在軸上的雙曲線
C．焦點在軸上的橢圓 D．焦點在軸上的橢圓
【答案】B
【解析】將直線的方程化為，可知，即，
將方程化為，由可得，
故方程表示焦點在軸上的雙曲線.
故選：B
3．（2023·四川遂寧·高二射洪中學校考期中）設是雙曲線左支上的動點，分別為左右焦點，則（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【解析】由，得解得．
因為是雙曲線左支上的動點，
所以.
由雙曲線的定義可知．
故選：A.
4．（2023·江西上饒·高二上饒市第一中學校考階段練習）已知圓的圓心為，過點的直線交圓于、兩點，過點作的平行線，交直線于點，則點的軌跡為（ ）
A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線
【答案】D
【解析】，即圓，故，，
因為平行與，，所以，故，
故點的軌跡為雙曲線.
故選：D
5．（2023·浙江嘉興·高二校考期中）從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經過橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點；從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.如圖①，一個光學裝置由有公共焦點、的橢圓與雙曲線構成，現(xiàn)一光線從左焦點發(fā)出，依次經與反射，又回到了點，歷時秒；若將裝置中的去掉，如圖②，此光線從點發(fā)出，經兩次反射后又回到了點，歷時秒：若，則的長軸長與的實軸長之比為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，
在圖①中，由橢圓的定義知，，
由雙曲線的定義知，，
兩式相減得,，
所以的周長為，
在圖②中，由橢圓的定義知，所以的周長為，
因為光線的速度相同，且，
所以，解得，
故，
即的長軸長與的實軸長之比為，
故選：D.
6．（2023·高二單元測試）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點，左右頂點分別為，離心率為，點為雙曲線C上一點，直線的斜率之和為，的面積為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為離心率為，則，則，所以雙曲線方程為，
設，則①，
因為，所以，
所以②，
又因為的面積為，所以，即，
所以③，由②③得④，
將④③代入①得，，所以.
故選：D.
7．（2023·高二課時練習）已知雙曲線的左右焦點分別為，過的直線分別交雙曲線的左右兩支于兩點，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由雙曲線得出.
因為，所以.
作于C，則C是AB的中點.
設，則由雙曲線的定義，
可得.
故，
又由余弦定理得，
所以，解得.
故選：C
8．（2023·全國·高二專題練習）設雙曲線的左焦點為，點為雙曲線右支上的一點，且與圓相切于點，為線段的中點，為坐標原點，則（ ）
A． B．-1 C． D．2
【答案】B
【解析】由題意可知：雙曲線焦點在軸上，，
設雙曲線的右焦點，左焦點，
由為中位線，則，
由與圓相切于點，則為直角三角形，
∴，
則，,
∵
，
∴=-1.
故選：B.
二、多選題
9．（2023·高二課時練習）已知關于的方程 (其中為參數(shù))表示曲線，下列說法正確的是（ ）
A．若，則曲線表示圓
B．若，則曲線表示橢圓
C．若，則曲線表示雙曲線
D．若，，則曲線表示四條直線
【答案】ACD
【解析】若，則，表示圓，故A正確；
若，滿足，方程無解，
故不表示任何曲線，故B錯誤；
若，則表示焦點在x軸或y軸上的雙曲線，故C正確；
若，，則或，
則或，表示四條直線，故D正確.
故選：ACD.
10．（2023·湖北孝感·高二校聯(lián)考期中）已知圓的半徑為定長是圓所在平面內一個定點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線和直線相交于點，當點在圓上運動時，關于點的軌跡，下列命題正確的是（ ）
A．若是圓內的一個定點（非點）時，點的軌跡是橢圓
B．若是圓外的一個定點時，點的軌跡是雙曲線的一支
C．若與點重合時，點的軌跡是圓
D．若是圓上的一個定點時，點的軌跡不存在
【答案】AC
【解析】如下圖，若是圓內的一個定點（非點）時， ，，的軌跡是以為焦點的橢圓，所以A項正確；
如下圖，若是圓外的一個定點時，，，的軌軌跡是以為焦點的雙曲線，所以項錯誤；
如下圖，若與點重合時，的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，所以項正確；
如下圖，若是圓上的一個定點時，點的軌跡為點構成的集合，所以項錯誤
.
故選：AC.
11．（2023·安徽阜陽·高二安徽省潁上第一中學校考期末）雙曲線的左、右焦點分別是，是雙曲線第一象限上的一點（不包括軸上的點），且，的角平分線交x軸于點，下列說法正確的有（ ）
A．G的軌跡是雙曲線的一部分 B．的最小值是1
C．取值范圍是 D．
【答案】ACD
【解析】設，又，，，即，又是雙曲線上一點，
∴，即，故A正確；
∵G的軌跡是雙曲線的一部分，實半軸長為，∴，故B錯誤；
根據內角平分線定理可知，，
又，∴，故C正確；
同樣利用內角平分線定理與焦半徑公式，由可知，，
∴，故D正確.
故選：ACD.
12．（2023·全國·高二專題練習）已知，分別是雙曲線C：的左、右焦點，P是C上一點，且位于第一象限，，則（ ）
A．P的縱坐標為 B．
C．的周長為 D．的面積為4
【答案】ABD
【解析】依題意，
因為，所以.
由雙曲線的定義可得①，兩邊平方得，
即，解得，
故的面積為，D正確.
設P的縱坐標為h，的面積，解得，A正確.
，解得②，
的周長為，C錯誤.
①＋②可得，B正確.
故選：ABD
三、填空題
13．（2023·寧夏銀川·高二校考期中）與橢圓有相同焦點且實軸長4的雙曲線的方程為 .
【答案】
【解析】由橢圓可知雙曲線中，，且焦點在軸，
又，，，
所以雙曲線方程為.
故答案為：
14．（2023·全國·高二課堂例題）已知雙曲線的方程是，點P在雙曲線上，且到其中一個焦點的距離為10，點N是的中點，O為坐標原點，則 .
【答案】1或9/9或1
【解析】設雙曲線的另一個焦點為，連接，
易得ON是的中位線，
所以，
因為，，所以或，
故或.
故答案為：1或9.
15．（2023·湖北恩施·高二利川市第一中學校聯(lián)考期末）從某個角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標軸和雙曲線的一部分，若坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，且，視所在直線為x軸，則雙曲線的標準方程方程為 ．

【答案】
【解析】設所求雙曲線方程為：，
如圖，因為，易知，
又坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分點，所以在雙曲線上，得到，整理得到，
故所求曲線方程為.
故答案為：.
16．（2023·全國·高二專題練習）已知點F1，F(xiàn)2分別是雙曲線=1的左、右焦點，若點P是雙曲線左支上的點，且，則△的面積為 .
【答案】16
【解析】雙曲線，所以，，所以，，
是雙曲線左支上的點，，，
在△中，由余弦定理得，
，
△的面積為.
故答案為：.
四、解答題
17．（2023·寧夏銀川·高二校考期中）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)，焦點在軸上，且過點；
(2)經過兩點，.
【解析】（1）由于雙曲線的焦點在軸上，
可設其標準方程為：，
因為雙曲線過點，
所以，
又因為，所以，
解得：，，
故所求雙曲線的標準方程為：.
（2）設雙曲線方程為，
把點與點代入，
有，解得：，
故所求雙曲線的標準方程為：.
18．（2023·江蘇徐州·高二統(tǒng)考階段練習）設為實數(shù)，已知雙曲線與橢圓有相同的焦點．
(1)求的值；
(2)若點在上，且，求的面積．
【解析】（1）根據題意，顯然，且雙曲線的焦點在軸上，
故，即，，
解得或，又，故；
（2）由（1）可得雙曲線方程為：，
設其左右焦點分別為，故可得；
根據雙曲線的對稱性，不妨設點在雙曲線的左支上，
設，
由雙曲線定義可得：，即；
又三角形為直角三角形，則，
即，即，；
故△的面積.
19．（2023·全國·高二隨堂練習）如圖，在矩形中，把邊AB分成n等份．在邊的延長線上，的n分之一為單位長度連續(xù)取點．過邊AB上各分點和作直線，過延長線上的對應分點和點A作直線，這兩條直線的交點為P，P在什么曲線上運動？

【解析】設，取所在的直線為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系，
設第組對應直線與的交點為，且點在第一象限，
則，，，，
直線的方程為，①
直線的方程為，②
點坐標滿足方程①②，
①②相乘得，即（點在第一象限），
所以點在雙曲線的右支上半部分上運動.
.
20．（2023·全國·高二專題練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)兩個焦點的坐標分別是，雙曲線上的點與兩焦點的距離之差的絕對值等于；
(2)焦點在軸上，經過點和點．
(3)經過點和．
(4)已知與橢圓共焦點的雙曲線過點
【解析】（1）由已知得，，即，∵，∴，
∵焦點在軸上，∴所求的雙曲線的標準方程是；
（2）設雙曲線的方程為，則，所以，
∴雙曲線方程為；
（3）設雙曲線方程為，將兩點代入可得，
解得，所以雙曲線的標準方程為；
（4）設橢圓的半焦距為，則，∴，
所以橢圓的焦點坐標為，，
所以雙曲線的焦點坐標為，，
設所求雙曲線的標準方程為，則，
故所求雙曲線方程可寫為，∵點在所求雙曲線上，
∴代入有，化簡得，解得或；
當時， ，不合題意，舍去；
∴，
∴所求雙曲線的標準方程為.
21．（2023·全國·高二隨堂練習）如圖，某綠色蔬菜種植基地在A處，現(xiàn)要把此處生產的蔬菜沿道路或運送到農貿市場中去，已知，，，能否在農貿市場中確定一條界線，使位于界線一側的點沿道路運送蔬菜較近，而另一側的點沿道路運送蔬菜較近？如果能，說出這條界線是一條什么曲線，并求出該曲線的方程.

【解析】以所在直線為軸，以的中垂線為軸建立平面直角坐標系，如上圖所示：
在中，由余弦定理可得，可得；
設是邊界上任一點，則滿足，所以；
由雙曲線定義可知，點所在的界線是以為焦點，實軸長為的雙曲線靠近的一支，并且在農貿市場內的部分；
由可得，
所以雙曲線方程為，即.
22．（2023·福建泉州·高二校考期中）已知圓： ，圓： ，圓，圓．
(1)若動圓與圓內切與圓外切. 求動圓圓心的軌跡的方程；
(2)若動圓與圓、圓都外切. 求動圓圓心的軌跡的方程．
【解析】（1）設動圓的半徑為，
∵動圓與圓內切，與圓外切，
∴，且.
于是，
所以動圓圓心的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓.
從而，
所以.
故動圓圓心的軌跡的方程為．
（2）圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，
因為，則圓與圓外離，
設圓的半徑為，由題意可得，所以，，
所以，圓心的軌跡是以點、分別為左右焦點的雙曲線的右支，
設圓心的軌跡方程為，
由題意可得，則，，
因此，圓心的軌跡方程為.3．2．1 雙曲線及其標準方程
【題型歸納目錄】
題型一：雙曲線的定義
題型二：雙曲線的標準方程
題型三：雙曲線方程的充要條件
題型四：雙曲線中焦點三角形的周長與面積及其他問題
題型五：雙曲線上兩點距離的最值問題
題型六：雙曲線上兩線段的和差最值問題
題型七：求軌跡方程
【知識點梳理】
知識點一、雙曲線的定義
在平面內，到兩個定點、的距離之差的絕對值等于常數(shù)（大于0且）的動點的軌跡叫作雙曲線．這兩個定點、叫雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫作雙曲線的焦距．
知識點詮釋：
1、雙曲線的定義中，常數(shù)應當滿足的約束條件：，這可以借助于三角形中邊的相關性質“兩邊之差小于第三邊”來理解；
2、若去掉定義中的“絕對值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；若（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；
3、若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線（包括端點）；
4、若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡不存在；
5、若常數(shù)，則動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線．
知識點二、雙曲線的標準方程
標準方程的推導：
如何建立雙曲線的方程？根據求曲線方程的一般步驟，可分：（1）建系設點；（2）點的集合；（3）代數(shù)方程；（4）化簡方程等步驟．
（1）建系設點
取過焦點、的直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸
（2）建立直角坐標系．
設為雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距是（），那么F1、F2的坐標分別是、．又設點M與、的距離的差的絕對值等于常數(shù)．
（2）點的集合
由定義可知，雙曲線就是集合：
．
（3）代數(shù)方程
∵，
∴
（4）化簡方程
將這個方程移項，兩邊平方得：
化簡得：
兩邊再平方，整理得：
（以上推導完全可以仿照橢圓方程的推導．）
由雙曲線定義，即c＞a，所以．
設，代入上式得：
即，其中
這就是雙曲線的標準方程．
雙曲線的標準方程：
1、當焦點在軸上時，雙曲線的標準方程：，其中；
2、當焦點在軸上時，雙曲線的標準方程：，其中
橢圓、雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系：
橢圓 雙曲線
根據 根據
， ，
， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b）
（a最大） （c最大）
標準方程統(tǒng)一為：
方程（A、B、C均不為零）表示雙曲線的條件
方程可化為，即，
所以只有A、B異號，方程表示雙曲線．
當，時，雙曲線的焦點在x軸上；
當，時，雙曲線的焦點在y軸上．
知識點詮釋：
1、當且僅當雙曲線的對稱中心在坐標原點，對稱軸是坐標軸，雙曲線的方程才是標準方程形式．此時，雙曲線的焦點在坐標軸上．
2、雙曲線標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關，是由雙曲線本身所確定的，分別表示雙曲線的實半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關系為：，，且．
3、雙曲線的焦點總在實軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看、的系數(shù)，如果項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；如果項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上．
4、對于雙曲線，不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點在哪一條坐標軸上．
知識點三、求雙曲線的標準方程
①待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點的位置，從而確定方程的類型，設出標準方程，再由條件確定方程中的參數(shù)、、的值．其主要步驟是“先定型，再定量”；
②定義法：由題目條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據定義確定方程．
知識點詮釋：若定義中“差的絕對值”中的絕對值去掉，點的集合成為雙曲線的一支，先確定方程類型，再確定參數(shù)a、b，即先定型，再定量．若兩種類型都有可能，則需分類討論．
【方法技巧與總結】
求雙曲線中的焦點三角形面積的方法
（1）①根據雙曲線的定義求出；
②利用余弦定理表示出、、之間滿足的關系式；
③通過配方，利用整體的思想求出的值；
④利用公式求得面積。
（2）利用公式求得面積；
（3）若雙曲線中焦點三角形的頂角，則面積.
【典型例題】
題型一：雙曲線的定義
例1．（2023·陜西渭南·高二白水縣白水中學校考階段練習）如果雙曲線上一點到它的右焦點的距離是，那么點到它的左焦點的距離是（ ）
A． B． C．或 D．不確定
例2．（2023·全國·高二期中）若點在雙曲線上，雙曲線的焦點為，且，則等于（　　）
A．2 B．4 C．8 D．12
例3．（2023·全國·高二專題練面內到兩個定點的距離之差的絕對值等于的點的軌跡是（ ）
A．雙曲線 B．兩條射線 C．一條線段 D．一條直線
變式1．（2023·高二課時練習）已知動點滿足，則動點P的軌跡是（　　）
A．雙曲線 B．雙曲線左支
C．雙曲線右支 D．一條射線
變式2．（2023·全國·高二專題練習）雙曲線上的點P到一個焦點的距離為11，則它到另一個焦點的距離為（　　）
A．1或21 B．14或36 C．2 D．21
題型二：雙曲線的標準方程
例4．（2023·福建·高二上杭一中校考階段練習）分別求出滿合下列條件的圓錐曲線的標準方程：
（1）離心率為，且短軸長為6的橢圓；
（2）過點，且與橢圓有相同焦點的雙曲線.
例5．（2023·江西·高二校聯(lián)考期中）（1）求經過點、且焦點在坐標軸上的雙曲線的標準方程；
（2）求與雙曲線有公共焦點，且過點的雙曲線標準方程．
例6．（2023·全國·高二專題練習）在下列條件下求雙曲線標準方程
（1）經過兩點；
（2），經過點，焦點在軸上.
變式3．（2023·高二課時練習）求適合下列條件的雙曲線標準方程：
（1）與雙曲線共焦點，經過點；
（2）經過點和；
變式4．（2023·高二課時練習）設橢圓C1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標準方程為 ．
變式5．（2023·江蘇揚州·高二統(tǒng)考期中）已知對稱軸是坐標軸的等軸雙曲線C經過點，則雙曲線C的標準方程為 .
變式6．（2023·高二課時練習）若雙曲線的一個焦點坐標為，實軸長為6，則它的標準方程是 .
題型三：雙曲線方程的充要條件
例7．（2023·全國·高二專題練習）對于常數(shù)a，b，“”是“方程對應的曲線是雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
例8．（2023·全國·高二專題練習）設，則“方程表示雙曲線”的必要不充分條件為（ ）
A． B．
C． D．
例9．（2023·全國·高二專題練習）“”是“為雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
變式7．（2023·安徽阜陽·高二阜陽市第三中學校考階段練習）已知曲線表示雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式8．（2023·四川遂寧·高二射洪中學校考階段練習）已知方程表示的焦點在y軸的雙曲線，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式9．（2023·全國·高二專題練習）若方程表示雙曲線，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
變式10．（2023·全國·高二專題練習）若，則“”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
題型四：雙曲線中焦點三角形的周長與面積及其他問題
例10．（2023·河北衡水·高二衡水市第二中學校考階段練習）已知，分別是雙曲線的左、右兩個焦點，點在雙曲線的右支上，且，則（ ）
A． B． C． D．
例11．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線為坐標原點，為雙曲線的兩個焦點，點為雙曲線上一點，若，則雙曲線的方程可以為（ ）
A． B．
C． D．
例12．（2023·全國·高二專題練習）已知分別是雙曲線的左、右焦點，是坐標原點，點是雙曲線上一點，且，則（ ）
A． B． C． D．
變式11．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，直線經過且與的右支相交于A，B兩點，若，則的周長為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
變式12．（2023·全國·高二專題練習）設雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上一點，，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
變式13．（2023·全國·高二專題練習）設，是雙曲線C：的左、右焦點，過的直線與C的右支交于P，Q兩點，則（ ）
A．5 B．6 C．8 D．12
變式14．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線，直線l過其上焦點，交雙曲線上支于A，B兩點，且，為雙曲線下焦點，的周長為18，則m值為（ ）
A．8 B． C．10 D．
變式15．（2023·全國·高二專題練習）設F1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，且，則的面積等于（ ）
A．24 B．15 C．12 D．30
題型五：雙曲線上兩點距離的最值問題
例13．（2023·全國·高二專題練習）已知，分別是雙曲線的左右焦點，且C上存在點P使得，則a的取值范圍是 ．
例14．（2023·高二課時練習）已知點，點在曲線上運動，點在曲線上運動，則的最小值是 ．
例15．（2023·高二課時練習）已知定點，且，動點滿足，則的最小值是 .
變式16．（2023·高二單元測試）設雙曲線，是它的左焦點，直線l通過它的右焦點，且與雙曲線的右支交于A，B兩點，則的最小值為 .
變式17．（2023·全國·高二隨堂練習）設雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點，則|BF2|＋|AF2|的最小值為 ．
變式18．（2023·高二單元測試）平面內，線段的長度為10，動點滿足，則的最小值為 ．
題型六：雙曲線上兩線段的和差最值問題
例16．（2023·江西宜春·高二上高二中校考期末）是雙曲線的右支上一點，分別是圓和上的點，則的最大值為 ．
例17．（2023·全國·高二專題練習）P為雙曲線右支上一點，M，N分別是圓和上的點，則的最大值為 .
例18．（2023·全國·高二專題練習）已知點，點P是雙曲線左支上的動點，為其右焦點，N是圓的動點，則的最小值為 ．
變式19．（2023·全國·高二專題練習）已知點是雙曲線的左焦點，點是該雙曲線右支上的任一點，，則的最大值為 ．
變式20．（2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知，動點M滿足，則△MNB周長的最小值為 .
變式21．（2023·江蘇南京·高二南京外國語學校校考階段練習）已知雙曲線方程為，焦距為8，左 右焦點分別為，，點A的坐標為，P為雙曲線右支上一動點，則的最小值為 .
變式22．（2023·全國·高二專題練習）已知、分別是雙曲線的左、右焦點，動點在雙曲線的左支上，點為圓上一動點，則的最小值為 .
變式23．（2023·全國·高二專題練習）設雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線交雙曲線左支于，兩點，則的最小值為 ．
變式24．（2023·高二課時練習）.已知雙曲線的一條漸近線的方程為，左、右焦點分別為，，直線過定點P，且在雙曲線C上，M為雙曲線上的動點，則的最小值為 .
變式25．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線：，，是其左右焦點.圓：，點為雙曲線右支上的動點，點為圓上的動點，則的最小值是 .
題型七：求軌跡方程
例19．（2023·全國·高二課堂例題）如圖，在中，已知，且三內角A，B，C滿足，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担瑒t頂點C的軌跡方程為 .

例20．（2023·全國·高二課堂例題）如圖所示，已知定圓：，定圓：，動圓M與定圓，都外切，則動圓圓心M的軌跡方程為 .

例21．（2023·高二課時練習）點P到點的距離與它到點的距離的差等于16的軌跡方程為 ．
變式26．（2023·湖北恩施·高二校考階段練習）已知橢圓的方程為，其左 右頂點分別為，一條垂直于軸的直線交橢圓于兩點，直線與直線相交于點，則點的軌跡方程為 .
變式27．（2023·全國·高二專題練習）設P為雙曲線上一動點，O為坐標原點，M為線段的中點，則點M的軌跡方程為 ．
變式28．（2023·江蘇徐州·高二校考階段練習）數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微．”事實上，很多代數(shù)問題可以轉化為幾何問題加以解決，例如，與相關的代數(shù)問題，可以轉化為點與點 之間的距離的幾何問題．結合上述觀點，可得方程 的解為
變式29．（2023·高二課時練習）如圖，圓，點，動圓P過點F，且與圓E內切于點M，則動圓P的圓心P的軌跡方程為 ．
變式30．（2023·高二課時練習）已知橢圓，作垂直于x軸的直線l交橢圓于A，B兩點，作垂直于y軸的直線m交橢圓于C，D兩點，且，直線l與直線m交于P點，則點P的軌跡方程為 ．
變式31．（2023·安徽滁州·高二校考開學考試）設，則動點P的軌跡方程為 ．
變式32．（2023·上海楊浦·高二上海市楊浦高級中學校考期末）一個動圓P與兩個定圓，均內切，那么動圓P的圓心的軌跡方程是 .
變式33．（2023·黑龍江大慶·高二大慶實驗中學校考階段練習）已知，為坐標原點，動點滿足，其中，且，則的軌跡方程為 .
變式34．（2023·湖北孝感·高二校聯(lián)考期中）如圖所示：在圓C：(x＋1)2＋y2＝16內有一點A(1，0)，點Q為圓C上一動點，線段AQ的垂直平分線與直線CQ的連線交于點M，根據橢圓定義可得點M的軌跡方程為；利用類比推理思想：在圓C：(x＋3)2＋y2＝16外有一點A(3，0)，點Q為圓C上一動點，線段AQ的垂直平分線與直線CQ的連線交于點M，根據雙曲線定義可得點M的軌跡方程為 ．
變式35．（2023·湖北孝感·高二統(tǒng)考期中）孝感某地施行禁鞭政策，現(xiàn)有兩監(jiān)控點相距1000米，處聽到炮竹聲與處相差2秒，設聲速為300米/秒，現(xiàn)要找出炮竹燃放點的大概位置，以所在的直線為軸，以線段的中垂線為軸建立直角坐標系，燃放點的軌跡方程為
【過關測試】
一、單選題
1．（2023·湖北襄陽·高二襄陽市第一中學校考階段練習）是雙曲線上一點，點分別是雙曲線左右焦點，若，則（ ）
A．9或1 B．1 C．9 D．9或2
2．（2023·江西南昌·高二校考階段練習）已知直線在直角坐標系中的位置如圖所示，則方程表示（ ）

A．焦點在軸上的雙曲線 B．焦點在軸上的雙曲線
C．焦點在軸上的橢圓 D．焦點在軸上的橢圓
3．（2023·四川遂寧·高二射洪中學校考期中）設是雙曲線左支上的動點，分別為左右焦點，則（ ）
A． B． C．4 D．
4．（2023·江西上饒·高二上饒市第一中學校考階段練習）已知圓的圓心為，過點的直線交圓于、兩點，過點作的平行線，交直線于點，則點的軌跡為（ ）
A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線
5．（2023·浙江嘉興·高二校考期中）從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經過橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點；從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.如圖①，一個光學裝置由有公共焦點、的橢圓與雙曲線構成，現(xiàn)一光線從左焦點發(fā)出，依次經與反射，又回到了點，歷時秒；若將裝置中的去掉，如圖②，此光線從點發(fā)出，經兩次反射后又回到了點，歷時秒：若，則的長軸長與的實軸長之比為（ ）

A． B． C． D．
6．（2023·高二單元測試）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點，左右頂點分別為，離心率為，點為雙曲線C上一點，直線的斜率之和為，的面積為，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·高二課時練習）已知雙曲線的左右焦點分別為，過的直線分別交雙曲線的左右兩支于兩點，且，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全國·高二專題練習）設雙曲線的左焦點為，點為雙曲線右支上的一點，且與圓相切于點，為線段的中點，為坐標原點，則（ ）
A． B．-1 C． D．2
二、多選題
9．（2023·高二課時練習）已知關于的方程 (其中為參數(shù))表示曲線，下列說法正確的是（ ）
A．若，則曲線表示圓
B．若，則曲線表示橢圓
C．若，則曲線表示雙曲線
D．若，，則曲線表示四條直線
10．（2023·湖北孝感·高二校聯(lián)考期中）已知圓的半徑為定長是圓所在平面內一個定點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線和直線相交于點，當點在圓上運動時，關于點的軌跡，下列命題正確的是（ ）
A．若是圓內的一個定點（非點）時，點的軌跡是橢圓
B．若是圓外的一個定點時，點的軌跡是雙曲線的一支
C．若與點重合時，點的軌跡是圓
D．若是圓上的一個定點時，點的軌跡不存在
11．（2023·安徽阜陽·高二安徽省潁上第一中學校考期末）雙曲線的左、右焦點分別是，是雙曲線第一象限上的一點（不包括軸上的點），且，的角平分線交x軸于點，下列說法正確的有（ ）
A．G的軌跡是雙曲線的一部分 B．的最小值是1
C．取值范圍是 D．
12．（2023·全國·高二專題練習）已知，分別是雙曲線C：的左、右焦點，P是C上一點，且位于第一象限，，則（ ）
A．P的縱坐標為 B．
C．的周長為 D．的面積為4
三、填空題
13．（2023·寧夏銀川·高二校考期中）與橢圓有相同焦點且實軸長4的雙曲線的方程為 .
14．（2023·全國·高二課堂例題）已知雙曲線的方程是，點P在雙曲線上，且到其中一個焦點的距離為10，點N是的中點，O為坐標原點，則 .
15．（2023·湖北恩施·高二利川市第一中學校聯(lián)考期末）從某個角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標軸和雙曲線的一部分，若坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，且，視所在直線為x軸，則雙曲線的標準方程方程為 ．

16．（2023·全國·高二專題練習）已知點F1，F(xiàn)2分別是雙曲線=1的左、右焦點，若點P是雙曲線左支上的點，且，則△的面積為 .
四、解答題
17．（2023·寧夏銀川·高二校考期中）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)，焦點在軸上，且過點；
(2)經過兩點，.
18．（2023·江蘇徐州·高二統(tǒng)考階段練習）設為實數(shù)，已知雙曲線與橢圓有相同的焦點．
(1)求的值；
(2)若點在上，且，求的面積．
19．（2023·全國·高二隨堂練習）如圖，在矩形中，把邊AB分成n等份．在邊的延長線上，的n分之一為單位長度連續(xù)取點．過邊AB上各分點和作直線，過延長線上的對應分點和點A作直線，這兩條直線的交點為P，P在什么曲線上運動？

20．（2023·全國·高二專題練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)兩個焦點的坐標分別是，雙曲線上的點與兩焦點的距離之差的絕對值等于；
(2)焦點在軸上，經過點和點．
(3)經過點和．
(4)已知與橢圓共焦點的雙曲線過點
21．（2023·全國·高二隨堂練習）如圖，某綠色蔬菜種植基地在A處，現(xiàn)要把此處生產的蔬菜沿道路或運送到農貿市場中去，已知，，，能否在農貿市場中確定一條界線，使位于界線一側的點沿道路運送蔬菜較近，而另一側的點沿道路運送蔬菜較近？如果能，說出這條界線是一條什么曲線，并求出該曲線的方程.

22．（2023·福建泉州·高二校考期中）已知圓： ，圓： ，圓，圓．
(1)若動圓與圓內切與圓外切. 求動圓圓心的軌跡的方程；
(2)若動圓與圓、圓都外切. 求動圓圓心的軌跡的方程．

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