資源簡(jiǎn)介

3．2．2 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
【題型歸納目錄】
題型一：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
題型二：雙曲線的漸近線
題型三：求雙曲線離心率的值
題型四：求雙曲線離心率的范圍
題型五：直線與雙曲線的位置關(guān)系
題型六：弦長(zhǎng)、面積問(wèn)題
題型七：中點(diǎn)弦問(wèn)題
題型八：定點(diǎn)定值問(wèn)題
題型九：最值問(wèn)題
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一、雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
雙曲線（a>0，b>0）的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
范圍
，即
或
雙曲線上所有的點(diǎn)都在兩條平行直線和的兩側(cè)，是無(wú)限延伸的．因此雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足或．
對(duì)稱性
對(duì)于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（，），把換成，或把換成，或把、同時(shí)換成、，方程都不變，所以雙曲線（a>0，b>0）是以軸、軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，且是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱中心稱為雙曲線的中心．
頂點(diǎn)
①雙曲線與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)稱為雙曲線的頂點(diǎn)．
②雙曲線（，）與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)即為雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為，，頂點(diǎn)是雙曲線兩支上的點(diǎn)中距離最近的點(diǎn)．
③兩個(gè)頂點(diǎn)間的線段叫作雙曲線的實(shí)軸；設(shè)，為y軸上的兩個(gè)點(diǎn)，則線段叫做雙曲線的虛軸．實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)度分別為，．叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)．
①雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆．
②雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上．
③實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線稱為等軸雙曲線．
離心率
①雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作．
②因?yàn)椋噪p曲線的離心率．
由，可得，所以決定雙曲線的開(kāi)口大小，越大，e也越大，雙曲線開(kāi)口就越開(kāi)闊．所以離心率可以用來(lái)表示雙曲線開(kāi)口的大小程度．
③等軸雙曲線，所以離心率．
漸近線
經(jīng)過(guò)點(diǎn)、作y軸的平行線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)、作x軸的平行線，四條直線圍成一個(gè)矩形（如圖），矩形的兩條對(duì)角線所在直線的方程是．
我們把直線叫做雙曲線的漸近線；雙曲線與它的漸近線無(wú)限接近，但永不相交．
知識(shí)點(diǎn)二、雙曲線兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖形
性質(zhì) 焦點(diǎn) ， ，
焦距
范圍 ， ，
對(duì)稱性 關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱
頂點(diǎn)
軸 實(shí)軸長(zhǎng)=，虛軸長(zhǎng)=
離心率
漸近線方程
知識(shí)點(diǎn)詮釋：雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看、的系數(shù)，如果項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上．
對(duì)于雙曲線，不一定大于，因此不能像橢圓那樣通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上．
知識(shí)點(diǎn)三、雙曲線的漸近線
（1）已知雙曲線方程求漸近線方程：
若雙曲線方程為，則其漸近線方程為
已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程．
（2）已知漸近線方程求雙曲線方程：
若雙曲線漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線方程為，根據(jù)已知條件，求出即可．
（3）與雙曲線有公共漸近線的雙曲線
與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上，，焦點(diǎn)在y軸上）
（4）等軸雙曲線的漸近線
等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為，因此等軸雙曲線可設(shè)為．
知識(shí)點(diǎn)四、雙曲線中，，的幾何意義及有關(guān)線段的幾何特征：
雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，、、三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由雙曲線本身的形狀大小所確定的，分別表示雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：，，且．
雙曲線，如圖：
（1）實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng)，焦距，
（2）離心率：；
（3）頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離：，；
（4）中結(jié)合定義與余弦定理，將有關(guān)線段、、和角結(jié)合起來(lái)．
（5）與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，常考慮到用雙曲線的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算與解題，將有關(guān)線段、、，有關(guān)角結(jié)合起來(lái)，建立、之間的關(guān)系．
知識(shí)點(diǎn)五、直線與雙曲線的位置關(guān)系判斷
將雙曲線方程與直線方程聯(lián)立消去
得到關(guān)于的一元二次方程，
1、當(dāng)，即時(shí)，直線 與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；
2、當(dāng)，即時(shí)，設(shè)該一元二次方程的判別式為，
若，直線與雙曲線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；
若，直線與雙曲線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；
若，直線與雙曲線相離，沒(méi)有公共點(diǎn)；
注意：直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，可能相交或相切．
知識(shí)點(diǎn)六、弦長(zhǎng)公式
若直線與雙曲線（，）交于，兩點(diǎn)，
則或（）．
【方法技巧與總結(jié)】
求離心率范圍的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲線的范圍建立不等關(guān)系．
2、利用線段長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系．，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上的任一點(diǎn)，．
3、利用角度長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系．
4、利用題目不等關(guān)系建立不等關(guān)系．
5、利用判別式建立不等關(guān)系．
6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系．
7、利用基本不等式，建立不等關(guān)系．
二、函數(shù)法：
1、根據(jù)題設(shè)條件，如曲線的定義、等量關(guān)系等條件建立離心率和其他一個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式；
2、通過(guò)確定函數(shù)的定義域；
3、利用函數(shù)求值域的方法求解離心率的范圍．
三、坐標(biāo)法：
由條件求出坐標(biāo)代入曲線方程建立等量關(guān)系．
【典型例題】
題型一：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
1．（多選題）（2023·河北衡水·高二衡水市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線的焦距為4，兩條漸近線的夾角為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．的離心率為 B．的標(biāo)準(zhǔn)方程為
C．的漸近線方程為 D．直線經(jīng)過(guò)的一個(gè)焦點(diǎn)
2．（多選題）（2023·江蘇宿遷·高二泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線C：，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2
B．若雙曲線C的兩條漸近線相互垂直，則
C．若是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，則
D．若，則雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離最小值為2
3．（多選題）（2023·廣西貴港·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)．若以為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)雙曲線的左頂點(diǎn)，則（ ）
A．雙曲線的漸近線方程為 B．雙曲線的漸近線方程為
C．雙曲線的離心率為 D．雙曲線的離心率為2
1．（多選題）（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線，則（ ）
A．雙曲線E的實(shí)軸長(zhǎng)為24 B．雙曲線E的焦距為26
C．雙曲線E的漸近線的斜率為 D．雙曲線E的漸近線的斜率為
2．（多選題）（2023·新疆昌吉·高二統(tǒng)考期中）關(guān)于雙曲線，下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．實(shí)軸長(zhǎng)為4 B．焦點(diǎn)為
C．右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為4 D．離心率為
3．（多選題）（2023·甘肅臨夏·高二校考期末）雙曲線方程為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．離心率為 B．離心率為
C．漸近線方程為 D．漸近線方程為
4．（多選題）（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線，則（ ）
A．的焦距為 B．的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的倍
C．雙曲線與有相同的漸近線 D．點(diǎn)到的一條漸近線的距離為
題型二：雙曲線的漸近線
4．（2023·陜西商洛·高二校考期末）如圖1，北京冬奧會(huì)火種臺(tái)以“承天載物”為設(shè)計(jì)理念，創(chuàng)意靈感來(lái)自中國(guó)傳統(tǒng)青銅禮器一尊的曲線造型，基座沉穩(wěn)，象征“地載萬(wàn)物”，頂部舒展開(kāi)闊，寓意迎接純潔的奧林匹克火種．如圖2，一種尊的外形近似為某雙曲線的一部分繞著虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，尊高63cm，上口直徑為40cm，底部直徑為26cm，最小直徑為24cm，則該雙曲線的漸近線與實(shí)軸所成銳角的正切值為 ．

5．（2023·江西九江·高二九江外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）雙曲線的漸近線方程為，則 ．
6．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線 的離心率為2，則它的一個(gè)焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為 .
5．（2023·四川遂寧·高二射洪中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的點(diǎn)為B，且滿足，，則該雙曲線的漸近線方程為 ．
6．（2023·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則a的值為 ．
7．（2023·江蘇連云港·高二校考階段練習(xí)）雙曲線的一條漸近線方程為，則的離心率為 .
8．（2023·貴州貴陽(yáng)·高二清華中學(xué)校考階段練習(xí)）漸近線方程為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
9．（2023·遼寧朝陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ．
10．（2023·福建三明·高二校聯(lián)考期中）若雙曲線與雙曲線：有相同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .
題型三：求雙曲線離心率的值
7．（2023·江蘇南通·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C:的左右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1且斜率存在的直線L與雙曲線C的漸近線相交于AB兩點(diǎn)，且點(diǎn)AB在x軸的上方，AB兩個(gè)點(diǎn)到x軸的距離之和為，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·湖南永州·高二永州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)是雙曲線的左 右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為.若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知為雙曲線：的右焦點(diǎn)，平行于軸的直線分別交的漸近線和右支于點(diǎn)，，且，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線（，），直線的斜率為，且過(guò)點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在的右支上，且滿足，則的離心率為（ ）
A． B．2
C． D．
13．（2023·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）雙曲線C：的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱.若直線AM，AN的斜率之積為，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·上海浦東新·高二上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)、分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)作直線與圓切于點(diǎn)，與雙曲線右支交于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·江西上饒·高二校考階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線的漸近線交于兩點(diǎn)（均異于點(diǎn)）．若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
16．（2023·江蘇南京·高二南京市秦淮中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）雙曲線：的右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)A到直線距離為，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·全國(guó)·高二期中）若過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂線交軸于點(diǎn)（為雙曲線的半焦距），則此雙曲線的離心率是（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·江西宜春·高二上高二中校考階段練習(xí)）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)A、B分別在雙曲線的左、右兩支上，，，且點(diǎn)C在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).若雙曲線的左 右焦點(diǎn)分別為，從發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)圖中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和D，且，則E的離心率為（ ）

A． B． C． D．
題型四：求雙曲線離心率的范圍
10．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，曲線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·陜西咸陽(yáng)·高二咸陽(yáng)彩虹學(xué)校校考階段練習(xí)）過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，為虛軸上的一個(gè)端點(diǎn)，且為鈍角，則此雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·江西上饒·高二江西省廣豐中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線：，是直線上任意一點(diǎn)，若圓與雙曲線的右支沒(méi)有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
20．（2023·浙江金華·高二校考階段練習(xí)）已知二次曲線，則當(dāng)時(shí)，該曲線的離心率的取值范圍是
A． B． C． D．
21．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的中點(diǎn)為點(diǎn)，若有且只有一對(duì)相交于點(diǎn)、所成的角為60°的直線和，使，其中和分別是這對(duì)直線與雙曲線的交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是
A． B．
C． D．
22．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)二中校考階段練習(xí)）已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為，且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為，是以為底邊的等腰三角形，若，橢圓與雙曲線的離心率分別為，則的取值范圍是
A． B．
C． D．
23．（2023·河南南陽(yáng)·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，若雙曲線上存在點(diǎn)，使得，則此雙曲線的離心率的取值范圍是
A． B． C． D．
24．（2023·重慶·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線的方程為，它的一個(gè)頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為，已知（為雙曲線的半焦距長(zhǎng)），則雙曲線的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
25．（2023·江西吉安·高二階段練習(xí)）設(shè)直線與雙曲線的兩條漸近線交于兩點(diǎn)，左焦點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)，則該雙曲線的離心率的取值范圍為
A． B． C． D．
題型五：直線與雙曲線的位置關(guān)系
13．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）判斷直線與雙曲線是否有公共點(diǎn)．如果有，求出公共點(diǎn)的坐標(biāo)．
14．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）討論直線與雙曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
15．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）討論直線與雙曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
26．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線與點(diǎn)，討論過(guò)點(diǎn)的直線的斜率的情況，使與雙曲線分別有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、沒(méi)有公共點(diǎn)．
27．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）當(dāng)取何值時(shí)，直線與雙曲線相交？
28．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線，討論直線與這條雙曲線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
題型六：弦長(zhǎng)、面積問(wèn)題
16．（2023·江蘇南京·高二南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）已知雙曲線，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，且離心率為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，求的值．
17．（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省射陽(yáng)中學(xué)校考階段練習(xí)）經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作斜率為2的弦AB，求：
(1)線段的長(zhǎng)；
(2)設(shè)點(diǎn)為右焦點(diǎn)，求的周長(zhǎng).
18．（2023·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知雙曲線的焦距為10，漸近線方程為.
(1)求的方程；
(2)已知過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的兩支分別交于、兩點(diǎn)，且與直線交于點(diǎn)，求的值.
29．（2023·全國(guó)·高二期中）經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn)，且為中點(diǎn)．
(1)求直線的方程．
(2)求線段的長(zhǎng)．
30．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦距為.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，且的面積為，求直線l的方程.
31．（2023·黑龍江佳木斯·高二佳木斯一中校考期末）已知雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸上，焦距為4，且它的一條漸近線方程為．
(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求．
32．（2023·新疆和田·高二校考期中）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，，且過(guò)點(diǎn)
(1)求雙曲線的方程；
(2)求的面積.
33．（2023·重慶九龍坡·高二重慶市育才中學(xué)校考期中）已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn).直線MA，MB的斜率之積為.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程:
(2)直線與點(diǎn)的軌跡的交點(diǎn)為C，求的面積（ 為坐標(biāo)原點(diǎn)）.
34．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）在直角坐標(biāo)系中,直線是雙曲線的一條漸近線,點(diǎn)在雙曲線上,設(shè)為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn),直線與軸相交于點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,直線與軸相交于點(diǎn).
(1)求雙曲線的方程;
(2)在軸上是否存在一點(diǎn),使得,若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由;
(3)求點(diǎn)的坐標(biāo),使得的面積最小.
35．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到的距離與它到直線的距離之比為2，記的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)過(guò)的直線交曲線于兩點(diǎn)（均位于軸右側(cè)），關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，求的面積的取值范圍.
題型七：中點(diǎn)弦問(wèn)題
19．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為，其一條漸近線斜率為．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)能否作直線，使直線與所給雙曲線交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)是弦的中點(diǎn)？如果直線存在，求出它的方程；如果不存在，說(shuō)明理由．
20．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）求過(guò)定點(diǎn)的直線被雙曲線截得的弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程.
21．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作直線與雙曲線相交于B，C兩點(diǎn)，且A為線段BC的中點(diǎn)，求這條直線的方程.
36．（2023·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）如圖1、2，已知圓方程為，點(diǎn)．M是圓上動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)記點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)點(diǎn)是否存在一條直線，使得直線與曲線交于兩點(diǎn)，且是線段中點(diǎn)．
37．（2023·寧夏銀川·高二校考階段練習(xí)）過(guò)雙曲線的弦，且為弦的中點(diǎn)，求直線的方程.
38．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考階段練習(xí)）雙曲線C的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，雙曲線C的一條準(zhǔn)線方程為.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若雙曲線C的一弦中點(diǎn)為，求此弦所在的直線方程.
39．（2023·上海·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的一條漸近線方程，原點(diǎn)到過(guò)、點(diǎn)的直線的距離為．
(1)求雙曲線方程；
(2)過(guò)點(diǎn)能否作直線，使與已知雙曲線交于兩點(diǎn)、，且是線段的中點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
題型八：定點(diǎn)定值問(wèn)題
22．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的離心率為2，過(guò)點(diǎn)、斜率為1的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)且，.
（1）求雙曲線方程．
（2）設(shè)為雙曲線右支上動(dòng)點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)，在軸負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
23．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的離心率為2，右焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，求證直線過(guò)定點(diǎn).
24．（2023·高二單元測(cè)試）動(dòng)圓與圓相內(nèi)切，且恒過(guò)點(diǎn).
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；
（2）已知垂直于軸的直線交于、兩點(diǎn)，垂直于軸的直線交于、兩點(diǎn)，與的交點(diǎn)為，且，證明：存在兩定點(diǎn)、，使得為定值，求出、的坐標(biāo).
40．（2023·廣東深圳·高二深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)在雙曲線上．
(1)點(diǎn)，為的左右頂點(diǎn)，為雙曲線上異于，的點(diǎn)，求的值；
(2)點(diǎn)，在上，且，，為垂足，證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．
41．（2023·陜西·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，一條漸近線方程為，右焦點(diǎn)，雙曲線的實(shí)軸為，為雙曲線上一點(diǎn)（不同于，），直線，分別與直線交于，兩點(diǎn)．
(1)求雙曲線的方程．
(2)證明為定值．
42．（2023·湖北武漢·高二統(tǒng)考期中）已知的兩個(gè)頂點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，，且，所在直線的斜率之積等于．
（1）求頂點(diǎn)的軌跡的方程，并判斷軌跡為何種曲線；
（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為曲線上點(diǎn)，且點(diǎn)為第一象限點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作兩條直線與曲線交于，兩點(diǎn)，直線，斜率互為相反數(shù)，則直線斜率是否為定值，若是，求出定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
43．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高二萍鄉(xiāng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．
(1)求雙曲線的離心率；
(2)過(guò)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且與平行的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，試問(wèn)是否為定值？若是定值，求該定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．
44．（2023·福建廈門·高二廈門一中校考期中）已知雙曲線：實(shí)軸長(zhǎng)為4（在的左側(cè)），雙曲線上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)到兩漸近線的距離之積為.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)過(guò)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，記直線，的斜率為，，請(qǐng)從下列的結(jié)論中選擇一個(gè)正確的結(jié)論，并予以證明.
①為定值；
②為定值；
③為定值
題型九：最值問(wèn)題
25．（2023·湖南岳陽(yáng)·高二岳陽(yáng)一中校考期末）已知雙曲線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率，點(diǎn)在雙曲線上.
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，且.求的最小值.
26．（2023·上海·高二專題練習(xí)）已知曲線，焦距長(zhǎng)為，右頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1．上有一動(dòng)點(diǎn)，和關(guān)于軸對(duì)稱，直線記為，直線為，而且，與軸的交點(diǎn)分別為，．
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知以線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，且為軸上一點(diǎn)，求的坐標(biāo)；
(3)記S為三角形的面積，當(dāng)S取最小值時(shí)．求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
27．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線E：的右焦點(diǎn)為F，離心率為2，且過(guò)點(diǎn)．
(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)過(guò)原點(diǎn)O的直線在第一、三象限內(nèi)分別交雙曲線E于A，C兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O的直線在第二、四象限內(nèi)分別交雙曲線E于B，D兩點(diǎn)，若直線AD過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F，求四邊形ABCD面積的最小值．
45．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)、的距離之和為定值，且的最小值為．
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
(2)若已知點(diǎn)，點(diǎn)M、N在動(dòng)點(diǎn)P的軌跡上且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
46．（2023·福建廈門·高二廈門大學(xué)附屬科技中學(xué)校考期中）已知橢圓上一點(diǎn)與它的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，的距離之和為，且它的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)．
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，點(diǎn)A為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（非長(zhǎng)軸端點(diǎn)），的延長(zhǎng)線與橢圓交于B點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與橢圓交于C點(diǎn)，求面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程．
47．（2023·四川宜賓·高二校考期末）如圖，已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且橢圓過(guò)點(diǎn)，若直線與直線平行且與橢圓相交于點(diǎn)．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求三角形面積的最大值.
48．（2023·江西宜春·高二校聯(lián)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)定點(diǎn)作一條動(dòng)直線與橢圓相交于為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值及取得最大值時(shí)直線的方程.
49．（2023·遼寧大連·高二大連八中校考階段練習(xí)）已知雙曲線的漸近線傾斜角分別為和，為其左焦點(diǎn)，為雙曲線右支上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
(1)求雙曲線方程．
(2)過(guò)點(diǎn)分別作兩漸近線的垂線，垂足分別為，求證：為定值．
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2023·江西南昌·高二校考階段練習(xí)）已知直線在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，則方程表示（ ）

A．焦點(diǎn)在軸上的雙曲線 B．焦點(diǎn)在軸上的雙曲線
C．焦點(diǎn)在軸上的橢圓 D．焦點(diǎn)在軸上的橢圓
2．（2023·湖北襄陽(yáng)·高二襄陽(yáng)市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）是雙曲線上一點(diǎn)，點(diǎn)分別是雙曲線左右焦點(diǎn)，若，則（ ）
A．9或1 B．1 C．9 D．9或2
3．（2023·四川遂寧·高二射洪中學(xué)校考階段練習(xí)）已知方程表示的焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·四川遂寧·高二射洪中學(xué)校考期中）設(shè)是雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，分別為左右焦點(diǎn)，則（ ）
A． B． C．4 D．
5．（2023·陜西渭南·高二白水縣白水中學(xué)校考階段練習(xí)）如果雙曲線上一點(diǎn)到它的右焦點(diǎn)的距離是，那么點(diǎn)到它的左焦點(diǎn)的距離是（ ）
A． B． C．或 D．不確定
6．（2023·河北衡水·高二衡水市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，分別是雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·江西上饒·高二上饒市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓的圓心為，過(guò)點(diǎn)的直線交圓于、兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡為（ ）
A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線
8．（2023·安徽滁州·高二校考期末）雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)為雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，且周長(zhǎng)的最小值為，則為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2023·江蘇南通·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若方程所表示的曲線為，則下列命題正確的是（ ）
A．若曲線為雙曲線，則或
B．若曲線為橢圓，則
C．曲線可能是圓
D．若曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則
10．（2023·安徽阜陽(yáng)·高二安徽省潁上第一中學(xué)校考期末）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，是雙曲線第一象限上的一點(diǎn)（不包括軸上的點(diǎn)），且，的角平分線交x軸于點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．G的軌跡是雙曲線的一部分 B．的最小值是1
C．取值范圍是 D．
11．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，分別是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且位于第一象限，，則（ ）
A．P的縱坐標(biāo)為 B．
C．的周長(zhǎng)為 D．的面積為4
12．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）雙曲線的方程為，左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)作直線與雙曲線的右半支交于點(diǎn)，，使得，則（ ）
A． B．點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
C．直線的斜率為或 D．的內(nèi)切圓半徑是
三、填空題
13．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）如圖所示，已知定圓：，定圓：，動(dòng)圓M與定圓，都外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為 .

14．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，分別為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，.以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)A，雙曲線C的一條漸近線的傾斜角為，則直線的斜率為 .
15．（2023·湖北恩施·高二利川市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）從某個(gè)角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個(gè)對(duì)稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線的一部分，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長(zhǎng)八等分，且，視所在直線為x軸，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程方程為 ．

16．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）從雙曲線的左焦點(diǎn)引圓的切線，切點(diǎn)為，延長(zhǎng)交雙曲線右支于點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值是 .
四、解答題
17．（2023·江蘇徐州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)為實(shí)數(shù)，已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)．
(1)求的值；
(2)若點(diǎn)在上，且，求的面積．
18．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）如圖，在矩形中，把邊AB分成n等份．在邊的延長(zhǎng)線上，的n分之一為單位長(zhǎng)度連續(xù)取點(diǎn)．過(guò)邊AB上各分點(diǎn)和作直線，過(guò)延長(zhǎng)線上的對(duì)應(yīng)分點(diǎn)和點(diǎn)A作直線，這兩條直線的交點(diǎn)為P，P在什么曲線上運(yùn)動(dòng)？

19．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)M在雙曲線上，且軸，求到直線的距離.
20．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(1)焦點(diǎn)在軸上，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)；
(2)經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)．
(3)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有相同焦點(diǎn)雙曲線方程.
21．（2023·福建泉州·高二校考期中）已知圓： ，圓： ，圓，圓．
(1)若動(dòng)圓與圓內(nèi)切與圓外切. 求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；
(2)若動(dòng)圓與圓、圓都外切. 求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程．3．2．2 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
【題型歸納目錄】
題型一：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
題型二：雙曲線的漸近線
題型三：求雙曲線離心率的值
題型四：求雙曲線離心率的范圍
題型五：直線與雙曲線的位置關(guān)系
題型六：弦長(zhǎng)、面積問(wèn)題
題型七：中點(diǎn)弦問(wèn)題
題型八：定點(diǎn)定值問(wèn)題
題型九：最值問(wèn)題
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一、雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
雙曲線（a>0，b>0）的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
范圍
，即
或
雙曲線上所有的點(diǎn)都在兩條平行直線和的兩側(cè)，是無(wú)限延伸的．因此雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足或．
對(duì)稱性
對(duì)于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（，），把換成，或把換成，或把、同時(shí)換成、，方程都不變，所以雙曲線（a>0，b>0）是以軸、軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，且是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱中心稱為雙曲線的中心．
頂點(diǎn)
①雙曲線與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)稱為雙曲線的頂點(diǎn)．
②雙曲線（，）與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)即為雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為，，頂點(diǎn)是雙曲線兩支上的點(diǎn)中距離最近的點(diǎn)．
③兩個(gè)頂點(diǎn)間的線段叫作雙曲線的實(shí)軸；設(shè)，為y軸上的兩個(gè)點(diǎn)，則線段叫做雙曲線的虛軸．實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)度分別為，．叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)．
①雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆．
②雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上．
③實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線稱為等軸雙曲線．
離心率
①雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作．
②因?yàn)椋噪p曲線的離心率．
由，可得，所以決定雙曲線的開(kāi)口大小，越大，e也越大，雙曲線開(kāi)口就越開(kāi)闊．所以離心率可以用來(lái)表示雙曲線開(kāi)口的大小程度．
③等軸雙曲線，所以離心率．
漸近線
經(jīng)過(guò)點(diǎn)、作y軸的平行線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)、作x軸的平行線，四條直線圍成一個(gè)矩形（如圖），矩形的兩條對(duì)角線所在直線的方程是．
我們把直線叫做雙曲線的漸近線；雙曲線與它的漸近線無(wú)限接近，但永不相交．
知識(shí)點(diǎn)二、雙曲線兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖形
性質(zhì) 焦點(diǎn) ， ，
焦距
范圍 ， ，
對(duì)稱性 關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱
頂點(diǎn)
軸 實(shí)軸長(zhǎng)=，虛軸長(zhǎng)=
離心率
漸近線方程
知識(shí)點(diǎn)詮釋：雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看、的系數(shù)，如果項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上．
對(duì)于雙曲線，不一定大于，因此不能像橢圓那樣通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上．
知識(shí)點(diǎn)三、雙曲線的漸近線
（1）已知雙曲線方程求漸近線方程：
若雙曲線方程為，則其漸近線方程為
已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程．
（2）已知漸近線方程求雙曲線方程：
若雙曲線漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線方程為，根據(jù)已知條件，求出即可．
（3）與雙曲線有公共漸近線的雙曲線
與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上，，焦點(diǎn)在y軸上）
（4）等軸雙曲線的漸近線
等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為，因此等軸雙曲線可設(shè)為．
知識(shí)點(diǎn)四、雙曲線中，，的幾何意義及有關(guān)線段的幾何特征：
雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，、、三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由雙曲線本身的形狀大小所確定的，分別表示雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：，，且．
雙曲線，如圖：
（1）實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng)，焦距，
（2）離心率：；
（3）頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離：，；
（4）中結(jié)合定義與余弦定理，將有關(guān)線段、、和角結(jié)合起來(lái)．
（5）與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，常考慮到用雙曲線的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算與解題，將有關(guān)線段、、，有關(guān)角結(jié)合起來(lái)，建立、之間的關(guān)系．
知識(shí)點(diǎn)五、直線與雙曲線的位置關(guān)系判斷
將雙曲線方程與直線方程聯(lián)立消去
得到關(guān)于的一元二次方程，
1、當(dāng)，即時(shí)，直線 與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；
2、當(dāng)，即時(shí)，設(shè)該一元二次方程的判別式為，
若，直線與雙曲線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；
若，直線與雙曲線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；
若，直線與雙曲線相離，沒(méi)有公共點(diǎn)；
注意：直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，可能相交或相切．
知識(shí)點(diǎn)六、弦長(zhǎng)公式
若直線與雙曲線（，）交于，兩點(diǎn)，
則或（）．
【方法技巧與總結(jié)】
求離心率范圍的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲線的范圍建立不等關(guān)系．
2、利用線段長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系．，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上的任一點(diǎn)，．
3、利用角度長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系．
4、利用題目不等關(guān)系建立不等關(guān)系．
5、利用判別式建立不等關(guān)系．
6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系．
7、利用基本不等式，建立不等關(guān)系．
二、函數(shù)法：
1、根據(jù)題設(shè)條件，如曲線的定義、等量關(guān)系等條件建立離心率和其他一個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式；
2、通過(guò)確定函數(shù)的定義域；
3、利用函數(shù)求值域的方法求解離心率的范圍．
三、坐標(biāo)法：
由條件求出坐標(biāo)代入曲線方程建立等量關(guān)系．
【典型例題】
題型一：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
例1．（多選題）（2023·河北衡水·高二衡水市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線的焦距為4，兩條漸近線的夾角為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．的離心率為 B．的標(biāo)準(zhǔn)方程為
C．的漸近線方程為 D．直線經(jīng)過(guò)的一個(gè)焦點(diǎn)
【答案】AD
【解析】依題意得，則，因?yàn)閮蓷l漸近線的夾角為，
所以兩條漸近線的傾斜角分別為，所以，所以，
所以雙曲線方程為，
所以離心率，漸近線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為、，
顯然直線過(guò)點(diǎn)；
故選：AD
例2．（多選題）（2023·江蘇宿遷·高二泗陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線C：，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2
B．若雙曲線C的兩條漸近線相互垂直，則
C．若是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，則
D．若，則雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離最小值為2
【答案】BC
【解析】由雙曲線C：且，則實(shí)軸長(zhǎng)為，A錯(cuò)；
由漸近線為，若相互垂直，則，B對(duì)；
由為焦點(diǎn)，則，則，C對(duì)；
若，則雙曲線C：，故雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離最小值為，D錯(cuò).
故選：BC
例3．（多選題）（2023·廣西貴港·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)．若以為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)雙曲線的左頂點(diǎn)，則（ ）
A．雙曲線的漸近線方程為 B．雙曲線的漸近線方程為
C．雙曲線的離心率為 D．雙曲線的離心率為2
【答案】BD
【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線的左頂點(diǎn)為，
因?yàn)橐詾橹睆降膱A恰好經(jīng)過(guò)雙曲線的左頂點(diǎn)，可得為等腰直角三角形，
又因?yàn)檫^(guò)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，可得，
所以，因?yàn)椋裕獾茫?br/>所以雙曲線的離心率為，所以D正確；
由，可得雙曲線的漸近線方程為，所以B正確．
故選：BD.
變式1．（多選題）（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線，則（ ）
A．雙曲線E的實(shí)軸長(zhǎng)為24 B．雙曲線E的焦距為26
C．雙曲線E的漸近線的斜率為 D．雙曲線E的漸近線的斜率為
【答案】BD
【解析】設(shè)雙曲線E的焦距為，
因?yàn)椋裕?br/>所以雙曲線E的實(shí)軸長(zhǎng)，焦距，故A錯(cuò)誤，B正確；
漸近線的斜率為，故C錯(cuò)誤，D正確．
故選：BD
變式2．（多選題）（2023·新疆昌吉·高二統(tǒng)考期中）關(guān)于雙曲線，下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．實(shí)軸長(zhǎng)為4 B．焦點(diǎn)為
C．右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為4 D．離心率為
【答案】AC
【解析】由雙曲線，可得，則，
所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，所以A正確；
焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以B錯(cuò)誤；
又由雙曲線的右焦點(diǎn)為，其中一條漸近線的方程為，即，
所以到漸近線的距離為，所以C正確；
由雙曲線的離心率的定義，可得雙曲線的離心率為，所以D錯(cuò)誤.
故選：AC.
變式3．（多選題）（2023·甘肅臨夏·高二校考期末）雙曲線方程為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．離心率為 B．離心率為
C．漸近線方程為 D．漸近線方程為
【答案】AD
【解析】雙曲線方程為，所以，
所以離心率，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
漸近線方程為，D選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AD
變式4．（多選題）（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線，則（ ）
A．的焦距為 B．的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的倍
C．雙曲線與有相同的漸近線 D．點(diǎn)到的一條漸近線的距離為
【答案】BCD
【解析】雙曲線的實(shí)半軸、虛半軸長(zhǎng)分別為，則半焦距，
對(duì)于，的焦距為，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，的虛軸長(zhǎng)，實(shí)軸長(zhǎng)，則的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的倍，B正確；
對(duì)于C，雙曲線的漸近線方程為，的漸近線方程為， C正確；
對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，點(diǎn)到直線的距離為，D正確；
故選：BCD
題型二：雙曲線的漸近線
例4．（2023·陜西商洛·高二校考期末）如圖1，北京冬奧會(huì)火種臺(tái)以“承天載物”為設(shè)計(jì)理念，創(chuàng)意靈感來(lái)自中國(guó)傳統(tǒng)青銅禮器一尊的曲線造型，基座沉穩(wěn)，象征“地載萬(wàn)物”，頂部舒展開(kāi)闊，寓意迎接純潔的奧林匹克火種．如圖2，一種尊的外形近似為某雙曲線的一部分繞著虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，尊高63cm，上口直徑為40cm，底部直徑為26cm，最小直徑為24cm，則該雙曲線的漸近線與實(shí)軸所成銳角的正切值為 ．

【答案】
【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因?yàn)樽钚≈睆綖椋傻茫矗?br/>又因?yàn)樽鸶撸峡谥睆綖椋撞恐睆綖椋?br/>設(shè)點(diǎn)，
所以且，解得，即，
可得雙曲線的漸近線為，
所以漸近線與實(shí)軸所成銳角的正切值為.
故答案為：.
例5．（2023·江西九江·高二九江外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）雙曲線的漸近線方程為，則 ．
【答案】3
【解析】的漸近線方程為，所以，
故答案為：3
例6．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線 的離心率為2，則它的一個(gè)焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為 .
【答案】
【解析】由雙曲線方程知，焦點(diǎn)在軸上，且，
又，則，，
所以雙曲線的一條漸近線方程為，即：.
其中一個(gè)焦點(diǎn)為，
則焦點(diǎn)F到漸近線的距離.
故答案為：.
變式5．（2023·四川遂寧·高二射洪中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的點(diǎn)為B，且滿足，，則該雙曲線的漸近線方程為 ．
【答案】
【解析】由可得，
由于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以四邊形為矩形，故，
由于又，
所以，因此，
故，進(jìn)而可得，
所以漸近線方程為：
故答案為：
變式6．（2023·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則a的值為 ．
【答案】4
【解析】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程特征知，
雙曲線的漸近線方程為，
由已知可得漸近線與直線垂直，
所以，
所以．
故答案為：.
變式7．（2023·江蘇連云港·高二校考階段練習(xí)）雙曲線的一條漸近線方程為，則的離心率為 .
【答案】/
【解析】雙曲線，則，
雙曲線的一條漸近線方程為，
即，所以，所以，
所以雙曲線的離心率為.
故答案為：
變式8．（2023·貴州貴陽(yáng)·高二清華中學(xué)校考階段練習(xí)）漸近線方程為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)漸近線方程為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線的方程為，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，
所以，所求雙曲線的方程為，其標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.
變式9．（2023·遼寧朝陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ．
【答案】
【解析】由雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，
可設(shè)雙曲線C的方程為，又C過(guò)點(diǎn)，
所以，，
整理得雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
故答案為：
變式10．（2023·福建三明·高二校聯(lián)考期中）若雙曲線與雙曲線：有相同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .
【答案】
【解析】由雙曲線：，則雙曲線的漸近線方程為，
設(shè)雙曲線，由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，可得，
則雙曲線，將代入上式，可得，解得，
即雙曲線；
設(shè)雙曲線，由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，可得，
則雙曲線，將代入上式，可得，解得，
不符合題意；
故答案為：.
題型三：求雙曲線離心率的值
例7．（2023·江蘇南通·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下圖所示：
根據(jù)題意可設(shè)，易知；
由余弦定理可知，可得；
即，
由雙曲線定義可知可知，即；
所以離心率.
故選：A
例8．（2023·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C:的左右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1且斜率存在的直線L與雙曲線C的漸近線相交于AB兩點(diǎn)，且點(diǎn)AB在x軸的上方，AB兩個(gè)點(diǎn)到x軸的距離之和為，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè),，設(shè)的中點(diǎn)為，
由于，故,因此為直角三角形，故，
由于，所以，進(jìn)而可得，
故或，由在雙曲線漸近線上，
所以，
進(jìn)而，
當(dāng)時(shí)，,，
所以，
當(dāng)時(shí)，,，所以不符合題意，舍去，
綜上：故離心率為.
故選：A
例9．（2023·湖南永州·高二永州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)是雙曲線的左 右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為.若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由雙曲線，可得，漸近線方程為，
如圖所示，則焦點(diǎn)到漸近線的距離為，
在直角中，可得，
在中，由余弦定理得，
即，所以，
又由，所以，可得，
所以雙曲線的離心率為.
故選：A.
變式11．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知為雙曲線：的右焦點(diǎn)，平行于軸的直線分別交的漸近線和右支于點(diǎn)，，且，，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】雙曲線：的漸近線方程為.
設(shè)，聯(lián)立方程組，解得.
因?yàn)椋裕矗傻?
又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，
將代入，可得，
由，所以，所以，即，
化簡(jiǎn)得，則，所以雙曲線的離心率為.
故選：B.
變式12．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線（，），直線的斜率為，且過(guò)點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在的右支上，且滿足，則的離心率為（ ）
A． B．2
C． D．
【答案】D
【解析】由題意知直線的方程為，令，得，所以．
又因?yàn)椋环猎O(shè)，所以有，
解得，所以，將其代入雙曲線方程，
化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），
所以的離心率．
故選：D.
變式13．（2023·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）雙曲線C：的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱.若直線AM，AN的斜率之積為，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依題意，設(shè)，則，
且，
而，
，，
所以.
故選：A
變式14．（2023·上海浦東新·高二上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)、分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)作直線與圓切于點(diǎn)，與雙曲線右支交于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)橹本€與圓切于點(diǎn)，則，
又，所以，
所以為的中點(diǎn)，而為中點(diǎn)，于是，有，
且，則，令雙曲線焦距為，由，
得，即，所以，
所以雙曲線的離心率.
故選：A
變式15．（2023·江西上饒·高二校考階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線的漸近線交于兩點(diǎn)（均異于點(diǎn)）．若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】如下圖所示：
連接、，設(shè)，
由對(duì)稱性可知，為的中點(diǎn)，，
因?yàn)椋瑒t線段是以為直徑的圓的一條直徑，則為圓心，
故為的中點(diǎn)，
又因?yàn)椋摇⒒ハ啻怪鼻移椒郑?br/>所以，四邊形為正方形，則，所以，，
所以，該雙曲線的離心率為.
故選：A.
變式16．（2023·江蘇南京·高二南京市秦淮中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）雙曲線：的右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)A到直線距離為，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知可得，，
且，所以.
又，所以，，
所以，.
故選：C.
變式17．（2023·全國(guó)·高二期中）若過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂線交軸于點(diǎn)（為雙曲線的半焦距），則此雙曲線的離心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不妨設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，漸近線為，
則過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，
令，則，
則，所以，
所以此雙曲線的離心率是.
故選：C.
變式18．（2023·江西宜春·高二上高二中校考階段練習(xí)）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)A、B分別在雙曲線的左、右兩支上，，，且點(diǎn)C在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題設(shè)，令且，，則，且①，
由，即②，
由，即，
又C在雙曲線上，則③，
由①得：，代入③并整理得：，
由①②及得：，
所以，即，
顯然，則.
故選：B
變式19．（2023·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).若雙曲線的左 右焦點(diǎn)分別為，從發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)圖中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和D，且，則E的離心率為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意知延長(zhǎng)則必過(guò)點(diǎn),如圖：
由雙曲線的定義知，
又因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋裕?br/>設(shè)，則，因此，
從而由得，所以，
則，，，
又因?yàn)椋裕?br/>即，即，
故選：B.
題型四：求雙曲線離心率的范圍
例10．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，曲線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由橢圓及雙曲線定義得，所以，
因?yàn)椋?br/>由余弦定理得，
同時(shí)除以得，
因?yàn)椋?br/>所以，則，
故選：B.
例11．（2023·陜西咸陽(yáng)·高二咸陽(yáng)彩虹學(xué)校校考階段練習(xí)）過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，為虛軸上的一個(gè)端點(diǎn)，且為鈍角，則此雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，
令，得，
可設(shè)
由對(duì)稱性，不妨設(shè)，可得，，
由題意知三點(diǎn)不共線，
所以∠ADB為鈍角，
即為，
將代入化簡(jiǎn)得，
由，可得，
又，解得，則，
綜上，離心率的取值范圍為．
故選：D.
例12．（2023·江西上饒·高二江西省廣豐中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線：，是直線上任意一點(diǎn)，若圓與雙曲線的右支沒(méi)有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】雙曲線的一條漸近線方程為，即，
則直線與直線的距離為
，
因?yàn)辄c(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，
且圓與雙曲線的右支沒(méi)有公共點(diǎn)，
所以，即，得離心率，
因?yàn)椋噪p曲線的離心率的取值范圍為，
故選：A.
變式20．（2023·浙江金華·高二校考階段練習(xí)）已知二次曲線，則當(dāng)時(shí)，該曲線的離心率的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由當(dāng)時(shí)，二次曲線為雙曲線，雙曲線即為，且，則，即有，故選C.
考點(diǎn)：1、雙曲線的方程；2、雙曲線的離心率.
變式21．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的中點(diǎn)為點(diǎn)，若有且只有一對(duì)相交于點(diǎn)、所成的角為60°的直線和，使，其中和分別是這對(duì)直線與雙曲線的交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】不妨設(shè)雙曲線方程為，畫(huà)出圖象如下圖所示，當(dāng)直線與夾角為時(shí)，雙曲線的漸近線與軸的夾角大于，當(dāng)直線與夾角為時(shí)，雙曲線的漸近線與軸的夾角大于，當(dāng)夾角恰為時(shí)，符合題意，故，代入，求得.
考點(diǎn)：直線與雙曲線的位置關(guān)系.
【思路點(diǎn)晴】本題主要考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查特殊位置分析的方法.先畫(huà)出圓錐曲線和直線的圖象，先取特殊角，當(dāng)直線與夾角為時(shí)，雙曲線的漸近線與軸的夾角大于，此時(shí)存在唯一解.然后將角度變大到，此時(shí)恰好存在唯一解，符合題意，但當(dāng)交點(diǎn)大于時(shí)，有兩個(gè)解，不符合題意，由此求得漸近線斜率的取值范圍，進(jìn)而求得離心率的取值范圍.
變式22．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)二中校考階段練習(xí)）已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為，且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為，是以為底邊的等腰三角形，若，橢圓與雙曲線的離心率分別為，則的取值范圍是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)橢圓方程為，雙曲線方程為，由橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)可得，，依題意可知，，代入可得，.故，三角形兩邊的和大于第三邊，故，，故故.
故選：B.
變式23．（2023·河南南陽(yáng)·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，若雙曲線上存在點(diǎn)，使得，則此雙曲線的離心率的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
故選C.
考點(diǎn)：雙曲線離心率
變式24．（2023·重慶·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線的方程為，它的一個(gè)頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為，已知（為雙曲線的半焦距長(zhǎng)），則雙曲線的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由雙曲線對(duì)稱性，不妨令雙曲線的頂點(diǎn)為，漸近線為，
于是得，即，而，有，又，
因此有，解得，又，解得，
所以雙曲線的離心率的取值范圍為.
故選：B
變式25．（2023·江西吉安·高二階段練習(xí)）設(shè)直線與雙曲線的兩條漸近線交于兩點(diǎn)，左焦點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)，則該雙曲線的離心率的取值范圍為
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意得，雙曲線的漸近線的方程為，準(zhǔn)線方程為，
所以，，
又左焦點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)，
所以，即，
所以，
所以，
所以，雙曲線離心率的范圍是.
故選：B．
題型五：直線與雙曲線的位置關(guān)系
例13．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）判斷直線與雙曲線是否有公共點(diǎn)．如果有，求出公共點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解析】聯(lián)立直線與雙曲線的方程，可得方程組
消去y，可得，由此可解得．此時(shí)，．
因此直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的坐標(biāo)為．
例14．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）討論直線與雙曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【解析】聯(lián)立直線和雙曲線方程，消去y得．
整理得，
若，則方程①變?yōu)椋瑹o(wú)解，此時(shí)直線與雙曲線無(wú)公共點(diǎn)．
事實(shí)上，此時(shí)直線為，就是雙曲線的漸近線，自然與雙曲線無(wú)公共點(diǎn)．
若，即直線平行于兩條漸近線中的一條，方程①成為一元一次方程，有唯一解，
原方程組有唯一一組解，此時(shí)直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)．
綜上可知，時(shí)，無(wú)公共點(diǎn)；時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)．
例15．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）討論直線與雙曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【解析】聯(lián)立方程組，整理得，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，具體為：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；此時(shí)直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可得，
由，即，可得且，此時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)；
由，即，可得，此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；
由，即，可得或，此時(shí)直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)；
綜上可得：
當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)或時(shí)，直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn).
變式26．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線與點(diǎn)，討論過(guò)點(diǎn)的直線的斜率的情況，使與雙曲線分別有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、沒(méi)有公共點(diǎn)．
【解析】①當(dāng)垂直于軸時(shí)，直線與雙曲線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)．
②當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，
代入雙曲線的方程中，有．
當(dāng)，即或時(shí)，方程有一個(gè)解．
當(dāng)時(shí)，，
令，可得；令，可得；令，可得．
綜上所述，當(dāng)直線的斜率或直線的斜率不存在時(shí)，
直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)直線的斜率時(shí)，
直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)直線的斜率時(shí)，直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)．
變式27．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）當(dāng)取何值時(shí)，直線與雙曲線相交？
【解析】由雙曲線，可得，其漸近線方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
若時(shí)，即，直線方程為，
此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行，所以與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；
若時(shí)，即，可得，
當(dāng)時(shí)，即，解得且時(shí)，
此時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，即，解得且時(shí)，
此時(shí)直線與雙曲線相切，只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，即，解得或時(shí)，
此時(shí)直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，
綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
變式28．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線，討論直線與這條雙曲線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【解析】由方程組，
消去，可得（*），
（i）當(dāng)，即時(shí)，
方程（*）為，
此時(shí)直線與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)．
（ii）當(dāng)，即時(shí)，
，
①若，
即且時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)．
②若，
即時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)．
③若，
即或時(shí)，直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)．
由以上討論可知，當(dāng)且時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)或時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)或時(shí)，直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)．
題型六：弦長(zhǎng)、面積問(wèn)題
例16．（2023·江蘇南京·高二南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）已知雙曲線，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，且離心率為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，求的值．
【解析】（1）由雙曲線方程知：漸近線方程為，設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
焦點(diǎn)到漸近線的距離，
又離心率，，解得：，
雙曲線的方程為：.
（2）由得：，
則，解得：且，
設(shè)，則，，
，
即，解得：或，均滿足且，
或.
例17．（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省射陽(yáng)中學(xué)校考階段練習(xí)）經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作斜率為2的弦AB，求：
(1)線段的長(zhǎng)；
(2)設(shè)點(diǎn)為右焦點(diǎn)，求的周長(zhǎng).
【解析】（1）由題意得直線AB的方程為,
代入雙曲線方程可得,
設(shè)，則
即的長(zhǎng)為
（2）由雙曲線的定義得=，
則的周長(zhǎng)為
=.
.
例18．（2023·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知雙曲線的焦距為10，漸近線方程為.
(1)求的方程；
(2)已知過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的兩支分別交于、兩點(diǎn)，且與直線交于點(diǎn)，求的值.
【解析】（1）由題可得，，解得，
所以的方程：
（2）由于雙曲線的漸近線方程為，可設(shè)直線的方程為，且，，則
聯(lián)立直線與雙曲線，
所以，
則
.
變式29．（2023·全國(guó)·高二期中）經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn)，且為中點(diǎn)．
(1)求直線的方程．
(2)求線段的長(zhǎng)．
【解析】（1）設(shè)，
代入雙曲線方程得，
兩式相減得，即，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
所以，所以直線的斜率為
所以的方程為，即，
經(jīng)驗(yàn)證符合題意，
所以直線的方程為；
（2）將代入中得，
故，
所以
.
變式30．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦距為.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，且的面積為，求直線l的方程.
【解析】（1）由題意得：，，，
解得：，，，
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由題意可知，直線的斜率一定存在，
設(shè)直線的方程為，，，，，
聯(lián)立方程組，消去整理得，
則，
原點(diǎn)到直線的距離為 ，
所以，
解得或，故 或，
故直線方程為或
變式31．（2023·黑龍江佳木斯·高二佳木斯一中校考期末）已知雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸上，焦距為4，且它的一條漸近線方程為．
(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求．
【解析】（1）因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由題意得，
所以，①
又雙曲線的一條漸近線為，
所以，②
又，③
聯(lián)立上述式子解得，，
故所求方程為；
（2）設(shè)，，
聯(lián)立，整理得，
由，
所以，，
即
變式32．（2023·新疆和田·高二校考期中）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，，且過(guò)點(diǎn)
(1)求雙曲線的方程；
(2)求的面積.
【解析】（1）由且，則，
又點(diǎn)在雙曲線上，則，
綜上，，即雙曲線的方程為.
（2）由（1）知：，而到軸距離為，
所以的面積為.
變式33．（2023·重慶九龍坡·高二重慶市育才中學(xué)校考期中）已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn).直線MA，MB的斜率之積為.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程:
(2)直線與點(diǎn)的軌跡的交點(diǎn)為C，求的面積（ 為坐標(biāo)原點(diǎn)）.
【解析】（1），
化簡(jiǎn)得，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是．
（2）聯(lián)立直線與曲線的方程，消元得，
解得或，由于，所以這組解舍去，故，
由于在軸上，所以
變式34．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）在直角坐標(biāo)系中,直線是雙曲線的一條漸近線,點(diǎn)在雙曲線上,設(shè)為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn),直線與軸相交于點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,直線與軸相交于點(diǎn).
(1)求雙曲線的方程;
(2)在軸上是否存在一點(diǎn),使得,若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由;
(3)求點(diǎn)的坐標(biāo),使得的面積最小.
【解析】（1）由已知得,解得,所以雙曲線的方程為.
（2）設(shè),如圖:
根據(jù)題意得:,令得,
因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,所以,
則,令得,
因?yàn)?平方可得,
因?yàn)?
則,
因?yàn)?所以,
則,即,
所以存在或滿足條件;
（3）如圖:
因?yàn)?
由（2）知,即,代入上式得:
,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,
此時(shí),
所以的坐標(biāo)是或或或時(shí),的面積最小.
變式35．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到的距離與它到直線的距離之比為2，記的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)過(guò)的直線交曲線于兩點(diǎn)（均位于軸右側(cè)），關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，求的面積的取值范圍.
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，
依題意有，
即，
化簡(jiǎn)得.
（2）設(shè)，，
由題意，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立直線與雙曲線的方程，
整理可得，
則，.
由已知可得，，
所以，
所以.
又，
所以.
設(shè)，則，且，所以.
，
當(dāng)時(shí)，該式有最小值，
所以的面積的取值范圍是.
題型七：中點(diǎn)弦問(wèn)題
例19．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為，其一條漸近線斜率為．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)能否作直線，使直線與所給雙曲線交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)是弦的中點(diǎn)？如果直線存在，求出它的方程；如果不存在，說(shuō)明理由．
【解析】（1）因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因?yàn)樵撾p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，一條漸近線斜率為，則，解得，
因此，該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）假定直線存在，設(shè)以為中點(diǎn)的弦的兩端點(diǎn)為、，
則有，．
根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性知．由點(diǎn)、在雙曲線上，
得，，
兩式相減得，
所以，所以，
即以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率，
故直線的方程為，即．
聯(lián)立，消去得，
，
因此直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，故滿足條件的直線不存在．
例20．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）求過(guò)定點(diǎn)的直線被雙曲線截得的弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程.
【解析】因?yàn)樵撝本€的斜率不存在時(shí)與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，故可設(shè)直線的方程為，且設(shè)該直線被雙曲線截得的弦AB對(duì)應(yīng)的中點(diǎn)為，，.
由得.
則，即，且，所以，即，，且，，
所以，.
由，即，，代入消去k得.
又，且，，故或.
故弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程為（或）.
例21．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作直線與雙曲線相交于B，C兩點(diǎn)，且A為線段BC的中點(diǎn)，求這條直線的方程.
【解析】若過(guò)點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)必在軸上，這與矛盾，
當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率存在時(shí)，設(shè)該直線方程為，，，
聯(lián)立方程，消去可得，
，
當(dāng)時(shí)，，
整理為恒成立，
有，，
因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，得，成立，
所以所求直線方程為，即.
變式36．（2023·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）如圖1、2，已知圓方程為，點(diǎn)．M是圓上動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)記點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)點(diǎn)是否存在一條直線，使得直線與曲線交于兩點(diǎn)，且是線段中點(diǎn)．
【解析】（1）由中垂線性質(zhì)知，
所以
所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線
設(shè)此雙曲線方程為，則
所以點(diǎn)的軌跡方程為．
（2）設(shè)可得
兩式相減得
由題意，所以
直線方程為，
由，得
∵．∴不存在這樣的直線．
變式37．（2023·寧夏銀川·高二校考階段練習(xí)）過(guò)雙曲線的弦，且為弦的中點(diǎn)，求直線的方程.
【解析】設(shè)，，因?yàn)闉橄业闹悬c(diǎn)，所以，，
因?yàn)橹本€與雙曲線的相交于，兩點(diǎn)，
所以，兩式相減得，
即
所以，
故直線的方程為，
即.
經(jīng)驗(yàn)證該直線與雙曲線相交.
變式38．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考階段練習(xí)）雙曲線C的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，雙曲線C的一條準(zhǔn)線方程為.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若雙曲線C的一弦中點(diǎn)為，求此弦所在的直線方程.
【解析】（1）∵橢圓的焦點(diǎn)為， ∴
∵一條準(zhǔn)線方程為，，解得，∴，
∴雙曲線的方程為．
（2）設(shè)弦的兩端分別為，．則有：
．
弦中點(diǎn)為，．
故直線的斜率．
則所求直線方程為：．
變式39．（2023·上海·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的一條漸近線方程，原點(diǎn)到過(guò)、點(diǎn)的直線的距離為．
(1)求雙曲線方程；
(2)過(guò)點(diǎn)能否作直線，使與已知雙曲線交于兩點(diǎn)、，且是線段的中點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）因?yàn)橹本€過(guò)、兩點(diǎn)，所以方程為，
因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，所以，
因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程，
所以，解得，，
所以雙曲線方程為；
（2）假設(shè)直線存在，設(shè)是線段的中點(diǎn)，且，，
則，，
因?yàn)椤⒃陔p曲線上，
則，兩式相減整理得，
所以，所以，
所以直線的方程為，即，
聯(lián)立，消得，
因?yàn)椋?br/>所以直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，所以直線不存在．
題型八：定點(diǎn)定值問(wèn)題
例22．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的離心率為2，過(guò)點(diǎn)、斜率為1的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)且，.
（1）求雙曲線方程．
（2）設(shè)為雙曲線右支上動(dòng)點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)，在軸負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）由雙曲線離心率為2知，.
于是，雙曲線方程可化為.
又直線，與雙曲線方程聯(lián)立得
①
設(shè)點(diǎn)，.則
，. ②
因?yàn)椋裕?br/>.故.
結(jié)合，解得，.
代入式②得
又
，
從而，.
此時(shí)，，代入式①并整理得
.
顯然，該方程有兩個(gè)不同的實(shí)根.
因此，符合要求.故雙曲線的方程為
（2）假設(shè)點(diǎn)存在.由（1）知雙曲線右焦點(diǎn)為.
設(shè)為雙曲線右支上一點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，，.
因?yàn)椋裕?
將代入上式并整理得
.
當(dāng)時(shí)，，而時(shí)，，符合.
所以，滿足條件的點(diǎn)存在.
例23．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的離心率為2，右焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，求證直線過(guò)定點(diǎn).
【解析】（1）由題意，設(shè)右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，
雙曲線的漸近線方程為：，
右焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為，可得，
又因?yàn)椋獾茫?br/>故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)，則
聯(lián)立方程組，得
整理得：.
，且
，,
，令得，
，
直線過(guò)定點(diǎn).
當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)直線:，此時(shí)均在軸上，故直線過(guò)定點(diǎn).
綜上：直線過(guò)定點(diǎn).
例24．（2023·高二單元測(cè)試）動(dòng)圓與圓相內(nèi)切，且恒過(guò)點(diǎn).
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；
（2）已知垂直于軸的直線交于、兩點(diǎn)，垂直于軸的直線交于、兩點(diǎn)，與的交點(diǎn)為，且，證明：存在兩定點(diǎn)、，使得為定值，求出、的坐標(biāo).
【解析】（1）設(shè)圓的半徑為.
因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)，且與圓相內(nèi)切，所以，
所以，即：，
所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，
其中，，所以，，
所以曲線的方程為.
（2）證明：設(shè)，，，，，，，，
則，，，，，
消去，，得，
所以點(diǎn)在雙曲線上，
因?yàn)榈膬蓚€(gè)焦點(diǎn)為，，實(shí)軸長(zhǎng)為，
所以存在兩定點(diǎn)，，使得為定值.
變式40．（2023·廣東深圳·高二深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)在雙曲線上．
(1)點(diǎn)，為的左右頂點(diǎn)，為雙曲線上異于，的點(diǎn)，求的值；
(2)點(diǎn)，在上，且，，為垂足，證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．
【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，
所以，解得，
所以雙曲線，則．
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
所以．
因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，
所以，
所以，
所以的值為．
（2）證明：依題意，直線的斜率存在，
故設(shè)其方程為，設(shè)，
聯(lián)立，消得，
顯然，否則不可能有兩個(gè)交點(diǎn)，
，
由韋達(dá)定理得，
因?yàn)橹本€的斜率之積為，
所以，
所以，
即，
所以有，
將韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)得，
而當(dāng)，此時(shí)直線為，
易知恒過(guò)定點(diǎn)，故舍去，
所以，此時(shí)滿足且直線過(guò)定點(diǎn)，（如圖所示）
又因?yàn)闉榇棺悖詾橹苯侨切危瑸橹苯牵?br/>所以當(dāng)點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)時(shí)，為定值．
綜上所述，存在定點(diǎn)，使得為定值．
變式41．（2023·陜西·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，一條漸近線方程為，右焦點(diǎn)，雙曲線的實(shí)軸為，為雙曲線上一點(diǎn)（不同于，），直線，分別與直線交于，兩點(diǎn)．
(1)求雙曲線的方程．
(2)證明為定值．
【解析】（1）依題意可設(shè)雙曲線方程為：，
則，
解得，
∴所求雙曲線方程為；
（2）由題可得、、，
設(shè)，，則，，
∵、、三點(diǎn)共線，
∴，
∴，即，
同理得，
所以，，
則，
∵，
∴，
∴，
即（定值）．
變式42．（2023·湖北武漢·高二統(tǒng)考期中）已知的兩個(gè)頂點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是，，且，所在直線的斜率之積等于．
（1）求頂點(diǎn)的軌跡的方程，并判斷軌跡為何種曲線；
（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為曲線上點(diǎn)，且點(diǎn)為第一象限點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作兩條直線與曲線交于，兩點(diǎn)，直線，斜率互為相反數(shù)，則直線斜率是否為定值，若是，求出定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）令點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率，直線的斜率，
因?yàn)閮芍本€的斜率之積為，所以有，化簡(jiǎn)得到，
所以當(dāng)時(shí)，軌跡表示以為圓心，為半徑的圓，且除去，兩點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且除去，兩點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且除去，兩點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，且除去，兩點(diǎn)；
（2）由題意曲線為，點(diǎn)，
設(shè)，，，，令直線，
聯(lián)立橢圓方程，得，
則，，
同理，，
．
故直線斜率為定值
變式43．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高二萍鄉(xiāng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．
(1)求雙曲線的離心率；
(2)過(guò)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且與平行的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，試問(wèn)是否為定值？若是定值，求該定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）將點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)代入，
得，解得
所以雙曲線的離心率．
（2）依題意可得直線的斜率存在，設(shè)：．
聯(lián)立得，
設(shè)，，則，，
所以．
，直線：．設(shè)，．
聯(lián)立得，
則且，
則
，
所以，所以為定值，定值為．
變式44．（2023·福建廈門·高二廈門一中校考期中）已知雙曲線：實(shí)軸長(zhǎng)為4（在的左側(cè)），雙曲線上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)到兩漸近線的距離之積為.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)過(guò)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，記直線，的斜率為，，請(qǐng)從下列的結(jié)論中選擇一個(gè)正確的結(jié)論，并予以證明.
①為定值；
②為定值；
③為定值
【解析】（1）設(shè)是上的一點(diǎn)，與是的兩條漸近線，
到兩條漸近線的距離之積，
依題意，，故，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）正確結(jié)論：③為定值.
證明如下：由（1）知，，設(shè)，，
因?yàn)椋慌c，重合，所以可設(shè)直線：，
與聯(lián)立：，消去整理可得：
故，，，
所以，
，，
①，
，不是定值，
②，
，不是定值，
③，
所以是定值.
題型九：最值問(wèn)題
例25．（2023·湖南岳陽(yáng)·高二岳陽(yáng)一中校考期末）已知雙曲線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率，點(diǎn)在雙曲線上.
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，且.求的最小值.
【解析】（1）由，可得，∴，∴雙曲線方程為，
∵點(diǎn)在雙曲線上，∴，解得，
∴雙曲線的方程為.
（2）設(shè)，，
直線的方程為，，，直線的方程為，易知k不為0
化簡(jiǎn)得，，，，
設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．
的最小值為．
例26．（2023·上海·高二專題練習(xí)）已知曲線，焦距長(zhǎng)為，右頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1．上有一動(dòng)點(diǎn)，和關(guān)于軸對(duì)稱，直線記為，直線為，而且，與軸的交點(diǎn)分別為，．
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知以線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，且為軸上一點(diǎn)，求的坐標(biāo)；
(3)記S為三角形的面積，當(dāng)S取最小值時(shí)．求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解析】（1）因?yàn)榻咕嚅L(zhǎng)為，即，
且右頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，則，
所以，
所以雙曲線的方程為；
（2）已知，由于和關(guān)于軸對(duì)稱，可知，，則，
直線，令，可得，則，
直線，令，可得，則，
所以，則以線段為直徑的圓的半徑為，
所以以線段為直徑的圓的方程為，
令，得，
又，
所以，即；
（3）因?yàn)椋?br/>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，
此時(shí)M的坐標(biāo)是或或或.
例27．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線E：的右焦點(diǎn)為F，離心率為2，且過(guò)點(diǎn)．
(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)過(guò)原點(diǎn)O的直線在第一、三象限內(nèi)分別交雙曲線E于A，C兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O的直線在第二、四象限內(nèi)分別交雙曲線E于B，D兩點(diǎn)，若直線AD過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F，求四邊形ABCD面積的最小值．
【解析】（1）由雙曲線E的離心率為2，得 ①．
因?yàn)殡p曲線E過(guò)點(diǎn)，所以 ②．
又③，
聯(lián)立①②③式，解得，．
故雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由雙曲線的對(duì)稱性，知四邊形ABCD為平行四邊形，所以．
由題意知直線AD的斜率不為零，設(shè)AD的方程為．
聯(lián)立消去x，得．
，設(shè)，，則，．
因?yàn)锳，D均在雙曲線右支，所以
所以解得．
所以，
．
令，則．
所以．
令函數(shù)，易得在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，．
所以四邊形ABCD面積的最小值為24．
變式45．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)、的距離之和為定值，且的最小值為．
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
(2)若已知點(diǎn)，點(diǎn)M、N在動(dòng)點(diǎn)P的軌跡上且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）雙曲線的焦距為，
由題意知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以、為焦點(diǎn)的橢圓，
設(shè)橢圓的半焦距為，由已知得．
設(shè)．
由余弦定理得，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，
此時(shí)取得最小值．
則得，又，
∴，故所求P點(diǎn)的軌跡方程為．
（2）設(shè)．由得，∴
∵點(diǎn)M、N在上，
∴消去s得或．
∵，∴，解得．
變式46．（2023·福建廈門·高二廈門大學(xué)附屬科技中學(xué)校考期中）已知橢圓上一點(diǎn)與它的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，的距離之和為，且它的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)．
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，點(diǎn)A為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（非長(zhǎng)軸端點(diǎn)），的延長(zhǎng)線與橢圓交于B點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與橢圓交于C點(diǎn)，求面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程．
【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為c
因?yàn)殡p曲線的離心率為，
所以橢圓的離心率為，即．
由題意，得．解得
于是，．
故橢圓的方程為．
（2）設(shè)直線的方程為，，．
由消去并整理，得，
所以，，
，
，
點(diǎn)到直線的距離．
因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線的距離為．
．
令，則．
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，亦即時(shí)，面積的最大值為．
此時(shí)直線的方程為．
變式47．（2023·四川宜賓·高二校考期末）如圖，已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且橢圓過(guò)點(diǎn)，若直線與直線平行且與橢圓相交于點(diǎn)．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求三角形面積的最大值.
【解析】（1）由題意得，
解得，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）∵，直線與直線平行，
∴設(shè)直線方程為
代入得：
∴當(dāng)，即時(shí)，
設(shè)，則,
∴，
∴
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）
∴的最大值為.
變式48．（2023·江西宜春·高二校聯(lián)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)定點(diǎn)作一條動(dòng)直線與橢圓相交于為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值及取得最大值時(shí)直線的方程.
【解析】（1）雙曲線的焦點(diǎn)為，即，將代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由此解得；（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式和三角形面積公式寫(xiě)出面積的表達(dá)式，利用換元法求得面積最大值和直線的方程.
試題解析：
（1）可解得雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)為,設(shè)方程為
可得到： , 解得 所以橢圓的方程為
（2）設(shè)直線AB方程為 則
得到
解得:
則
令,則

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào),即時(shí)，此時(shí)面積最大值為
此時(shí)直線方程為.
變式49．（2023·遼寧大連·高二大連八中校考階段練習(xí)）已知雙曲線的漸近線傾斜角分別為和，為其左焦點(diǎn)，為雙曲線右支上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
(1)求雙曲線方程．
(2)過(guò)點(diǎn)分別作兩漸近線的垂線，垂足分別為，求證：為定值．
【解析】（1）雙曲線漸近線方程為，又，所以，
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)，兩漸近線方程為，
則
又，即，所以為定值．
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2023·江西南昌·高二校考階段練習(xí)）已知直線在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，則方程表示（ ）

A．焦點(diǎn)在軸上的雙曲線 B．焦點(diǎn)在軸上的雙曲線
C．焦點(diǎn)在軸上的橢圓 D．焦點(diǎn)在軸上的橢圓
【答案】B
【解析】將直線的方程化為，可知，即，
將方程化為，由可得，
故方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線.
故選：B
2．（2023·湖北襄陽(yáng)·高二襄陽(yáng)市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）是雙曲線上一點(diǎn)，點(diǎn)分別是雙曲線左右焦點(diǎn)，若，則（ ）
A．9或1 B．1 C．9 D．9或2
【答案】C
【解析】是雙曲線上一點(diǎn)，所以，所以，
由雙曲線定義可知，
所以或者，又，所以，
故選：C
3．（2023·四川遂寧·高二射洪中學(xué)校考階段練習(xí)）已知方程表示的焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方程可化為：，
由方程表示的焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，得，
解得.
故選：C.
4．（2023·四川遂寧·高二射洪中學(xué)校考期中）設(shè)是雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，分別為左右焦點(diǎn)，則（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【解析】由，得解得．
因?yàn)槭请p曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，
所以.
由雙曲線的定義可知．
故選：A.
5．（2023·陜西渭南·高二白水縣白水中學(xué)校考階段練習(xí)）如果雙曲線上一點(diǎn)到它的右焦點(diǎn)的距離是，那么點(diǎn)到它的左焦點(diǎn)的距離是（ ）
A． B． C．或 D．不確定
【答案】C
【解析】設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，則；
則，
由雙曲線定義可得，即，
所以或，由于，
故點(diǎn)到它的左焦點(diǎn)的距離是或，
故選：C
6．（2023·河北衡水·高二衡水市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，分別是雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可得 ，
由雙曲線的定義得 ，而 ，
解得 ，
由余弦定理得
所以 .
故選：A.
7．（2023·江西上饒·高二上饒市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓的圓心為，過(guò)點(diǎn)的直線交圓于、兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡為（ ）
A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線
【答案】D
【解析】，即圓，故，，
因?yàn)槠叫信c，，所以，故，
故點(diǎn)的軌跡為雙曲線.
故選：D
8．（2023·安徽滁州·高二校考期末）雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)為雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，且周長(zhǎng)的最小值為，則為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如下圖所示：
設(shè)該雙曲線的左焦點(diǎn)為點(diǎn)，由雙曲線的定義可得，
，又，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.
所以，的周長(zhǎng)為，
當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，的周長(zhǎng)取得最小值，即，解得．
故選：D．
二、多選題
9．（2023·江蘇南通·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若方程所表示的曲線為，則下列命題正確的是（ ）
A．若曲線為雙曲線，則或
B．若曲線為橢圓，則
C．曲線可能是圓
D．若曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，方程表示雙曲線，則，解得或，故A正確；
對(duì)于B，方程表示橢圓，則，解得且，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，方程表示圓，故C正確；
對(duì)于D，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，故D正確；
故選：ACD
10．（2023·安徽阜陽(yáng)·高二安徽省潁上第一中學(xué)校考期末）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，是雙曲線第一象限上的一點(diǎn)（不包括軸上的點(diǎn)），且，的角平分線交x軸于點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．G的軌跡是雙曲線的一部分 B．的最小值是1
C．取值范圍是 D．
【答案】ACD
【解析】設(shè)，又，，，即，又是雙曲線上一點(diǎn)，
∴，即，故A正確；
∵G的軌跡是雙曲線的一部分，實(shí)半軸長(zhǎng)為，∴，故B錯(cuò)誤；
根據(jù)內(nèi)角平分線定理可知，，
又，∴，故C正確；
同樣利用內(nèi)角平分線定理與焦半徑公式，由可知，，
∴，故D正確.
故選：ACD.
11．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，分別是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且位于第一象限，，則（ ）
A．P的縱坐標(biāo)為 B．
C．的周長(zhǎng)為 D．的面積為4
【答案】ABD
【解析】依題意，
因?yàn)椋?
由雙曲線的定義可得①，兩邊平方得，
即，解得，
故的面積為，D正確.
設(shè)P的縱坐標(biāo)為h，的面積，解得，A正確.
，解得②，
的周長(zhǎng)為，C錯(cuò)誤.
①＋②可得，B正確.
故選：ABD
12．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）雙曲線的方程為，左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)作直線與雙曲線的右半支交于點(diǎn)，，使得，則（ ）
A． B．點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
C．直線的斜率為或 D．的內(nèi)切圓半徑是
【答案】BCD
【解析】如圖所示，由題意知，解得，故A不正確；
在中，由等面積法知，解得，
代入雙曲線方程得，又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲右支上，故，故B正確；
由圖知，，
由對(duì)稱性可知，若點(diǎn)在第四象限，則，故C正確；
的內(nèi)切圓半徑
，故D正確．
故選：BCD．
三、填空題
13．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）如圖所示，已知定圓：，定圓：，動(dòng)圓M與定圓，都外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為 .

【答案】
【解析】圓：，圓心，半徑，
圓：，圓心，半徑.
設(shè)動(dòng)圓M的半徑為R，則有，，
∴，
∴點(diǎn)M的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且，，于是.
故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為.
故答案為：.
14．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，分別為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，.以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)A，雙曲線C的一條漸近線的傾斜角為，則直線的斜率為 .
【答案】
【解析】,,
又一條漸近線的傾斜角為，所以，結(jié)合，
可解的
所以雙曲線的方程為①，
又線段為直徑的圓的方程為②，
聯(lián)立①②，結(jié)合點(diǎn)在第一象限，可得,
又,則
故答案為：.
15．（2023·湖北恩施·高二利川市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）從某個(gè)角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個(gè)對(duì)稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線的一部分，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長(zhǎng)八等分，且，視所在直線為x軸，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程方程為 ．

【答案】
【解析】設(shè)所求雙曲線方程為：，
如圖，因?yàn)椋字?br/>又坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長(zhǎng)八等分點(diǎn)，所以在雙曲線上，得到，整理得到，
故所求曲線方程為.
故答案為：.
16．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）從雙曲線的左焦點(diǎn)引圓的切線，切點(diǎn)為，延長(zhǎng)交雙曲線右支于點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值是 .
【答案】/
【解析】
不妨將點(diǎn)置于第一象限. 設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，連接. 分別為的中點(diǎn)，故.
又由雙曲線定義得，
故.
故答案為：
四、解答題
17．（2023·江蘇徐州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)為實(shí)數(shù)，已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)．
(1)求的值；
(2)若點(diǎn)在上，且，求的面積．
【解析】（1）根據(jù)題意，顯然，且雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，
故，即，，
解得或，又，故；
（2）由（1）可得雙曲線方程為：，
設(shè)其左右焦點(diǎn)分別為，故可得；
根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線的左支上，
設(shè)，
由雙曲線定義可得：，即；
又三角形為直角三角形，則，
即，即，；
故△的面積.
18．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）如圖，在矩形中，把邊AB分成n等份．在邊的延長(zhǎng)線上，的n分之一為單位長(zhǎng)度連續(xù)取點(diǎn)．過(guò)邊AB上各分點(diǎn)和作直線，過(guò)延長(zhǎng)線上的對(duì)應(yīng)分點(diǎn)和點(diǎn)A作直線，這兩條直線的交點(diǎn)為P，P在什么曲線上運(yùn)動(dòng)？

【解析】設(shè)，取所在的直線為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)第組對(duì)應(yīng)直線與的交點(diǎn)為，且點(diǎn)在第一象限，
則，，，，
直線的方程為，①
直線的方程為，②
點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程①②，
①②相乘得，即（點(diǎn)在第一象限），
所以點(diǎn)在雙曲線的右支上半部分上運(yùn)動(dòng).
.
19．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)M在雙曲線上，且軸，求到直線的距離.
【解析】
由題可得，，
所以,
設(shè)，則，解得,
由于對(duì)稱性，不妨取，所以
根據(jù)雙曲線的定義可得，，解得，
設(shè)到直線的距離為，
在直角三角形中，，
所以.
20．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(1)焦點(diǎn)在軸上，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)；
(2)經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)．
(3)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有相同焦點(diǎn)雙曲線方程.
【解析】（1）因?yàn)椋译p曲線的焦點(diǎn)在軸上，
可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程得，解得，
因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)雙曲線的方程為，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程可得，解得，
因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（3）由題意知，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以可設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，
代入點(diǎn)可得，聯(lián)立解得；
所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為.
21．（2023·福建泉州·高二校考期中）已知圓： ，圓： ，圓，圓．
(1)若動(dòng)圓與圓內(nèi)切與圓外切. 求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；
(2)若動(dòng)圓與圓、圓都外切. 求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程．
【解析】（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，
∵動(dòng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切，
∴，且.
于是，
所以動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓.
從而，
所以.
故動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為．
（2）圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，
因?yàn)椋瑒t圓與圓外離，
設(shè)圓的半徑為，由題意可得，所以，，
所以，圓心的軌跡是以點(diǎn)、分別為左右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，
設(shè)圓心的軌跡方程為，
由題意可得，則，，
因此，圓心的軌跡方程為.

展開(kāi)更多......

收起↑