資源簡介

3．3．1 拋物線及其標準方程
【題型歸納目錄】
題型一：拋物線的定義
題型二：拋物線的標準方程
題型三：軌跡方程—拋物線
題型四：拋物線距離和與差的最值問題
題型五：拋物線的實際應用
【知識點梳理】
知識點一、拋物線的定義
定義：平面內與一個定點和一條定直線（不經過點）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線．
知識點詮釋：
（1）上述定義可歸納為“一動三定”，一個動點，一定直線；一個定值
（2）定義中的隱含條件：焦點不在準線上，若在上，拋物線變為過且垂直與的一條直線．
（3）拋物線定義建立了拋物線上的點、焦點、準線三者之間的距離關系，在解題時常與拋物線的定義聯系起來，將拋物線上的動點到焦點的距離與動點到準線的距離互化，通過這種轉化使問題簡單化．
知識點二、拋物線的標準方程
標準方程的推導
如圖，以過F且垂直于的直線為x軸，垂足為K．以F，K的中點O為坐標原點建立直角坐標系．
設（），那么焦點F的坐標為，準線l的方程為．
設點是拋物線上任意一點，點M到l的距離為d．由拋物線的定義，拋物線就是集合
，
將上式兩邊平方并化簡，得．①
方程①叫拋物線的標準方程，它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，坐標是它的準線方程是．
拋物線標準方程的四種形式：
根據拋物線焦點所在半軸的不同可得拋物線方程的的四種形式
，，，．
知識點詮釋：
①只有當拋物線的頂點是原點，對稱軸是坐標軸時，才能得到拋物線的標準方程；
②拋物線的焦點在標準方程中一次項對應的坐標軸上，且開口方向與一次項的系數的正負一致，比如拋物線的一次項為，故其焦點在軸上，且開口向負方向（向下）
③拋物線標準方程中一次項的系數是焦點的對應坐標的4倍，比如拋物線的一次項的系數為，故其焦點坐標是．
一般情況歸納：
方程 圖象的開口方向 焦點 準線
時開口向右
時開口向左
時開口向上
時開口向下
④從方程形式看，求拋物線的標準方程僅需確定一次項系數．用待定系數法求拋物線的標準方程時，首先根據已知條件確定拋物線的標準方程的類型（一般需結合圖形依據焦點的位置或開口方向定型），然后求一次項的系數，否則，應展開相應的討論．
⑤在求拋物線方程時，由于標準方程有四種形式，易混淆，可先根據題目的條件作出草圖，確定方程的形式，再求參數，若不能確定是哪一種形式的標準方程，應寫出四種形式的標準方程來，不要遺漏某一種情況．
【典型例題】
題型一：拋物線的定義
例1．（2023·全國·高二專題練習）拋物線上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是（ ）
A． B． C． D．0
例2．（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省射陽中學?？茧A段練習）若拋物線上的一點到它的焦點的距離為10，則（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
例3．（2023·全國·高二專題練習）拋物線：過點，則的焦點到準線的距離為（ ）
A． B． C． D．1
變式1．（2023·江西贛州·高二江西省龍南中學?？计谀佄锞€上一點的縱坐標為2，則點與拋物線焦點的距離為（ ）
A．2 B． C．3 D．4
變式2．（2023·全國·高二專題練習）若拋物線上的一點到坐標原點的距離為，則點到該拋物線焦點的距離為（ ）
A． B．1 C．2 D．3
變式3．（2023·高二課時練習）有一張長為8，寬為4的矩形紙片ABCD，按圖中所示的方法進行折疊，使折疊后的點B落在邊AD上，此時將B記為B′（注：圖中EF為折痕，點F也可能落在邊CD上）．過點B′ 作B′T∥CD交EF于點T，則點T的軌跡是以下哪種曲線的一部分（　　）

A．圓 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線
變式4．（2023·全國·高二專題練習）動點滿足方程，則點M的軌跡是（ ）
A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
題型二：拋物線的標準方程
例4．（2023·浙江嘉興·高二?？计谥校┮阎獟佄锞€的頂點是坐標原點，焦點是，則它的標準方程為 .
例5．（2023·高二課時練習）已知拋物線的頂點是原點，對稱軸為坐標軸，并且經過點，則該拋物線的標準方程為 ．
例6．（2023·高二課時練習）設拋物線（）的準線與直線的距離為3，則拋物線的標準方程為 ．
變式5．（2023·江蘇淮安·高二統考期中）已知拋物線的準線方程為，則拋物線的標準方程為 .
變式6．（2023·全國·高二專題練習）過點，且焦點在軸上的拋物線的標準方程是 .
變式7．（2023·全國·高二期中）求適合下列條件的拋物線的標準方程：
(1)頂點在原點，準線方程為；
(2)頂點在原點，且過點；
(3)頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在直線上；
(4)焦點在x軸上，且拋物線上一點到焦點的距離為5.
變式8．（2023·全國·高二隨堂練習）求適合下列條件的拋物線的標準方程：
(1)焦點為；
(2)準線方程為：；
(3)焦點到準線的距離為6.
題型三：軌跡方程—拋物線
例7．（2023·云南楚雄·高二?？茧A段練習）若點到點的距離比它到定直線的距離小1，則點滿足的方程為
例8．（2023·吉林遼源·高二遼源市第五中學校?？计谀┤酎c滿足方程，則點P的軌跡是 .（填圓錐曲線的類型，填方程不給分）
例9．（2023·高二課時練習）若動圓M經過雙曲線的左焦點且與直線x＝2相切，則圓心M的坐標滿足的方程是 ．
變式9．（2023·高二課時練習）若點滿足方程，則點P的軌跡是 ．
變式10．（2023·四川·高二雙流中學?？奸_學考試）已知動圓M與直線相切，且與定圓C：外切，那么動圓圓心M的軌跡方程為 .
變式11．（2023·全國·高二專題練習）已知動點的坐標滿足，則動點的軌跡方程為 ．
變式12．（2023·高二單元測試）已知動點到定點與定直線的距離的差為1．則動點的軌跡方程為 ．
題型四：拋物線距離和與差的最值問題
例10．（2023·河南周口·高二校聯考階段練習）已知拋物線上有一動點，則與點距離的最小值為 ．
例11．（2023·陜西渭南·高二統考期末）設是拋物線上的一個動點，為拋物線的焦點，點，則的最小值為 .
例12．（2023·全國·高二假期作業）已知拋物線的焦點為F，定點，點P是拋物線上一個動點，則的最小值為 .
變式13．（2023·全國·高二假期作業）已知M為拋物線上的動點，F為拋物線的焦點，點，則的最小值為 ．
變式14．（2023·全國·高二假期作業）已知點P到直線與到點的距離相等，點Q在圓上，則的最小值為 .
變式15．（2023·陜西延安·高二校考期末）已知點為拋物線上任意一點，點為圓上任意一點，點，則的最小值為 .
變式16．（2023·全國·高二專題練習）已知是拋物線上的動點，點在軸上的射影是點，點的坐標是，則的最小值為 ．
變式17．（2023·西藏日喀則·高二統考期末）若點的坐標為，F為拋物線的焦點，點在拋物線上移動，為使最小，點的坐標應為 ．
變式18．（2023·上海靜安·高二上海市回民中學校考期中）已知點在拋物線上，那么點到點的距離與點到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點的坐標為
變式19．（2023·湖北荊州·高二沙市中學校考階段練習）已知點P為拋物線C：上的動點，直線l：，點為圓M：上的動點，設點P到直線l的距離為d，則的最小值為 ．
變式20．（2023·貴州貴陽·高二統考期末）已知拋物線的準線是直線，為上一點，，垂足為，點的坐標是，則的最小值為 .
變式21．（2023·江西宜春·高二江西省銅鼓中學?？奸_學考試）已知拋物線，圓，點，若分別是，上的動點，則的最小值為 .
變式22．（2023·全國·高二專題練習）已知點 是坐標平面內一定點， 若拋物線的焦點為， 點是拋物線上的一動點， 則的最小值是 .
題型五：拋物線的實際應用
例13．（2023·全國·高二專題練習）距離拱頂4米時，水面的寬度是8米，則拋物線C的焦點到準線的距離是（ ）

A．1米 B．2米 C．4米 D．8米
例14．（2023·全國·高二專題練習）清代青花瓷蓋碗是中國傳統茶文化的器物載體，具有“溫潤”“淡遠”“清新”的特征．如圖，已知碗體和碗蓋的內部均近似為拋物線形狀，碗蓋深為，碗蓋口直徑為，碗體口直徑為，碗體深，則蓋上碗蓋后，碗蓋內部最高點到碗底的垂直距離為（碗和碗蓋的厚度忽略不計）（ ）

A． B． C． D．
例15．（2023·全國·高二專題練習）圖中是拋物線形拱橋，當水面在時，拱頂距離水面2米，水面寬度為8米，則當水面寬度為10米時，拱頂與水面之間的距離為（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
變式23．（2023·全國·高二專題練習）南宋晚期的龍泉窯粉青釉刻花斗笠盞如圖1所示，忽略杯盞的厚度，這只杯盞的軸截面如圖2所示，其中光滑的曲線是拋物線的一部分，已知杯盞盛滿茶水時茶水的深度為3cm，則該拋物線的焦點到準線的距離為（ ）
A． B． C． D．
變式24．（2023·全國·高二專題練習）探照燈 汽車前燈的反光曲面 手電筒的反光鏡面 太陽灶的鏡面等都是拋物鏡面.燈泡放在拋物線的焦點位置，通過鏡面反射就變成了平行光束，如圖所示，這就是探照燈 汽車前燈 手電筒的設計原理.已知某型號探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處，燈口直徑是，燈深，則光源到反射鏡頂點的距離為（ ）
A． B． C． D．
變式25．（2023·全國·高二專題練習）數學與建筑的結合造就建筑藝術，如圖，吉林大學的校門是一拋物線形水泥建筑物，若將校門輪廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成拋物線的一部分，其焦點坐標為．校門最高點到地面距離約為18.2米，則校門位于地面寬度最大約為（ ）
A．18米 B．21米 C．24米 D．27米
變式26．（2023·全國·高二專題練習）截至2023年2月，“中國天眼”發現的脈沖星總數已經達到740顆以上．被稱為“中國天眼”的500米口徑球面射電望遠鏡（FAST），是目前世界上口徑最大，靈敏度最高的單口徑射電望遠鏡（圖1）．觀測時它可以通過4450塊三角形面板及2225個觸控器完成向拋物面的轉化，此時軸截面可以看作拋物線的一部分．某學?？萍夹〗M制作了一個FAST模型，觀測時呈口徑為4米，高為1米的拋物面，則其軸截面所在的拋物線（圖2）的頂點到焦點的距離為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
變式27．（2023·福建莆田·高二莆田一中?？计谥校┤鐖D1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉形成的曲面）反射器和位于焦點上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應用于微波和衛星通訊等領域，具有結構簡單、方向性強、工作頻帶寬等特點．圖2是圖1的軸截面，A，B兩點關于拋物線的對稱軸對稱，F是拋物線的焦點，∠AFB是饋源的方向角，記為，焦點F到頂點的距離f與口徑d的比值稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等．如果某拋物面天線饋源的方向角滿足，，則其焦徑比為（ ）
A． B． C． D．
【過關測試】
一、單選題
1．（2023·江蘇南通·高二統考階段練習）已知拋物線的焦準距(焦點到準線的距離)為2，則拋物線的焦點坐標為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·高二期中）已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為3，則（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2023·河南周口·高二統考期中）已知點是拋物線上的一點，過點作直線的垂線，垂足為，若，則的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線上任意一點到焦點F的距離比到y軸的距離大1，則拋物線的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·高二課時練習）設拋物線上一點到軸的距離是，則點到該拋物線焦點的距離是（ ）
A．8 B．6
C．4 D．2
6．（2023·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學?？茧A段練習）已知拋物線的頂點為O，焦點為F，準線為直線l，點E在拋物線上．若E在直線l上的射影為Q，且Q在第四象限，，則直線FE的傾斜角為（ ）
A． B． C．或 D．或
7．（2023·江蘇南京·高二校聯考階段練習）已知拋物線的焦點為F，點，若點A為拋物線任意一點，當取最小值時，點A的坐標為（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全國·高二期中）若點在焦點為的拋物線上，且，點為直線上的動點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．4
二、多選題
9．（2023·海南省直轄縣級單位·高二嘉積中學?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點為，頂點為，點在拋物線上，若，則下列各選項正確的是（ ）
A． B．以MF為直徑的圓與軸相切
C． D．
10．（2023·高二課時練習）已知拋物線C：的焦點為F，準線為l，點，線段AF交拋物線C于點B，過點B作l的垂線，垂足為H，若，則（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023·高二課時練習）（多選）設斜率為2的直線l過拋物線的焦點F，且和y軸交于點A，若（O為坐標原點）的面積為4，則拋物線方程為（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023·高二課時練習）（多選）點到拋物線的準線的距離為6，那么拋物線的標準方程是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
13．（2023·江蘇南京·高二南京外國語學校?？茧A段練習）若動點到點的距離比它到直線的距離大1，則的軌跡方程是 ．
14．（2023·河南南陽·高二南陽中學校考階段練習）已知，若點P是拋物線上任意一點，點Q是圓上任意一點，則的最小值為 .
15．（2023·全國·高二專題練習）已知點是曲線上任意一點，，連接并延長至，使得，求動點Q的軌跡方程 ．
16．（2023·高二課時練習）已知為拋物線：的焦點，，，為上的三點，若，則 .
四、解答題
17．（2023·全國·高二期中）求適合下列條件的拋物線的標準方程：
(1)頂點在原點，準線方程為；
(2)頂點在原點，且過點；
(3)頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在直線上；
(4)焦點在x軸上，且拋物線上一點到焦點的距離為5.
18．（2023·全國·高二隨堂練習）一種衛星接收天線的軸截面如圖所示.衛星波束呈近似平行狀態射入軸截面為拋物線的接收天線，經反射聚集到焦點處.已知接收天線的口徑（直徑）為4.8m，深度為0.5m.

(1)試建立適當的坐標系，求拋物線的標準方程和焦點坐標；
(2)為了增強衛星波束的接收，擬將接收天線的口徑增大為5.2m，求此時衛星波束反射聚集點的坐標.
19．（2023·全國·高二課堂例題）如圖，探照燈反射鏡由拋物線的一部分繞對稱軸旋轉而成，光源位于拋物線的焦點處，這樣可以保證發出的光線經過反射之后平行射出.已知燈口圓的直徑為60cm，燈的深度為40cm.

(1)將反射鏡的旋轉軸與鏡面的交點稱為反射鏡的頂點.光源應安置在旋轉軸上與頂點相距多遠的地方？
(2)為了使反射的光更亮，增大反射鏡的面積，將燈口圓的直徑增大到66cm，并且保持光源與頂點的距離不變.求探照燈的深度.
20．（2023·云南·高三云南師大附中?？茧A段練面上一點P滿足：P點到的距離比P點到y軸的距離大2，且點P不在一條射線上，記點P的軌跡方程為曲線C.
(1)求曲線C的方程；
(2)點Q為y軸左側一點，曲線C上存在兩點A，B，使得線段，的中點均在曲線C上，設線段的中點為M，證明：垂直于y軸.
21．（2023·江蘇南京·高二南京市第九中學?？茧A段練習）已知拋物線的焦點為，拋物線的焦點為，且.
(1)求的值；
(2)若直線與交于兩點，與交于兩點，在第一象限，在第四象限，且，求的值.
22．（2023·河北邯鄲·高二?？茧A段練習）設拋物線C：的焦點為F，過F且斜率為k（）的直線l與C交于A，B兩點，．
(1)求l的方程；
(2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程．3．3．1 拋物線及其標準方程
【題型歸納目錄】
題型一：拋物線的定義
題型二：拋物線的標準方程
題型三：軌跡方程—拋物線
題型四：拋物線距離和與差的最值問題
題型五：拋物線的實際應用
【知識點梳理】
知識點一、拋物線的定義
定義：平面內與一個定點和一條定直線（不經過點）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線．
知識點詮釋：
（1）上述定義可歸納為“一動三定”，一個動點，一定直線；一個定值
（2）定義中的隱含條件：焦點不在準線上，若在上，拋物線變為過且垂直與的一條直線．
（3）拋物線定義建立了拋物線上的點、焦點、準線三者之間的距離關系，在解題時常與拋物線的定義聯系起來，將拋物線上的動點到焦點的距離與動點到準線的距離互化，通過這種轉化使問題簡單化．
知識點二、拋物線的標準方程
標準方程的推導
如圖，以過F且垂直于的直線為x軸，垂足為K．以F，K的中點O為坐標原點建立直角坐標系．
設（），那么焦點F的坐標為，準線l的方程為．
設點是拋物線上任意一點，點M到l的距離為d．由拋物線的定義，拋物線就是集合
，
將上式兩邊平方并化簡，得．①
方程①叫拋物線的標準方程，它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，坐標是它的準線方程是．
拋物線標準方程的四種形式：
根據拋物線焦點所在半軸的不同可得拋物線方程的的四種形式
，，，．
知識點詮釋：
①只有當拋物線的頂點是原點，對稱軸是坐標軸時，才能得到拋物線的標準方程；
②拋物線的焦點在標準方程中一次項對應的坐標軸上，且開口方向與一次項的系數的正負一致，比如拋物線的一次項為，故其焦點在軸上，且開口向負方向（向下）
③拋物線標準方程中一次項的系數是焦點的對應坐標的4倍，比如拋物線的一次項的系數為，故其焦點坐標是．
一般情況歸納：
方程 圖象的開口方向 焦點 準線
時開口向右
時開口向左
時開口向上
時開口向下
④從方程形式看，求拋物線的標準方程僅需確定一次項系數．用待定系數法求拋物線的標準方程時，首先根據已知條件確定拋物線的標準方程的類型（一般需結合圖形依據焦點的位置或開口方向定型），然后求一次項的系數，否則，應展開相應的討論．
⑤在求拋物線方程時，由于標準方程有四種形式，易混淆，可先根據題目的條件作出草圖，確定方程的形式，再求參數，若不能確定是哪一種形式的標準方程，應寫出四種形式的標準方程來，不要遺漏某一種情況．
【典型例題】
題型一：拋物線的定義
例1．（2023·全國·高二專題練習）拋物線上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【解析】設，
由拋物線方程化為，
得焦點，準線，
由拋物線定義可得，解得，
故選：B.
例2．（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省射陽中學校考階段練習）若拋物線上的一點到它的焦點的距離為10，則（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】
由拋物線上點到焦點的距離為，則點到拋物線的準線的距離為，
由拋物線，則其準線為直線，
所以，解得.
故選：B.
例3．（2023·全國·高二專題練習）拋物線：過點，則的焦點到準線的距離為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】因為拋物線：過點，所以，故拋物線：，
所以的焦點到準線的距離為.
故選：B.
變式1．（2023·江西贛州·高二江西省龍南中學?？计谀佄锞€上一點的縱坐標為2，則點與拋物線焦點的距離為（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】B
【解析】由拋物線的準線方程為，焦點，
因為拋物線上一點的縱坐標為2，
根據拋物線的定義，可得點與拋物線焦點的距離為.
故選：B.
變式2．（2023·全國·高二專題練習）若拋物線上的一點到坐標原點的距離為，則點到該拋物線焦點的距離為（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】設點，，
，
或（舍去），
，
到拋物線的準線的距離，
點到該拋物線焦點的距離等于點到拋物線的準線的距離，
點到該拋物線焦點的距離為．
故選：C.
變式3．（2023·高二課時練習）有一張長為8，寬為4的矩形紙片ABCD，按圖中所示的方法進行折疊，使折疊后的點B落在邊AD上，此時將B記為B′（注：圖中EF為折痕，點F也可能落在邊CD上）．過點B′ 作B′T∥CD交EF于點T，則點T的軌跡是以下哪種曲線的一部分（　?。?br/>
A．圓 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線
【答案】B
【解析】
由于B′T∥CD，故B′T⊥AD，連接TB，由折疊關系，知|B′T|＝|TB|，即動點T到直線AD 的距離等于到定點B的距離．由拋物線的定義，知動點T的軌跡是以B為焦點，以AD為準線的拋物線在矩形ABCD內的部分．
故選：B．
變式4．（2023·全國·高二專題練習）動點滿足方程，則點M的軌跡是（ ）
A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
【答案】D
【解析】由得，
等式左邊表示點和點的距離，等式的右邊表示點到直線的距離，整個等式表示的意義是點到點的距離和到直線的距離相等，且點不在直線上，所以其軌跡為拋物線.
故選：D.
題型二：拋物線的標準方程
例4．（2023·浙江嘉興·高二?？计谥校┮阎獟佄锞€的頂點是坐標原點，焦點是，則它的標準方程為 .
【答案】
【解析】由已知可設拋物線的標準方程為，
，所以.
所以，拋物線的標準方程為.
故答案為：.
例5．（2023·高二課時練習）已知拋物線的頂點是原點，對稱軸為坐標軸，并且經過點，則該拋物線的標準方程為 ．
【答案】或
【解析】設拋物線方程為，或.將代入，分別得方程為或.
故答案為：或.
例6．（2023·高二課時練習）設拋物線（）的準線與直線的距離為3，則拋物線的標準方程為 ．
【答案】或
【解析】可化為，
其準線方程為.
由題意知或，解得或，
故所求拋物線的標準方程為或.
故答案為：或
變式5．（2023·江蘇淮安·高二統考期中）已知拋物線的準線方程為，則拋物線的標準方程為 .
【答案】
【解析】若拋物線的準線方程為，則拋物線開口向下，
設拋物線方程為，則，故
所以拋物線方程為.
故答案為：.
變式6．（2023·全國·高二專題練習）過點，且焦點在軸上的拋物線的標準方程是 .
【答案】
【解析】設方程為，則有，
解得，即有.
故答案為：.
變式7．（2023·全國·高二期中）求適合下列條件的拋物線的標準方程：
(1)頂點在原點，準線方程為；
(2)頂點在原點，且過點；
(3)頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在直線上；
(4)焦點在x軸上，且拋物線上一點到焦點的距離為5.
【解析】（1）由題意頂點在原點，準線方程為，
可知拋物線焦點在y軸負半軸上，且，
故拋物線標準方程為；
（2）由題意頂點在原點，且過點，則拋物線焦點可能在y軸正半軸或x軸負半軸上，
則設拋物線標準方程為或，
分別將代入，求得，
故拋物線標準方程為或；
（3）由于直線與x軸的交點為，
由題意可知拋物線焦點為，則，
故拋物線標準方程為；
（4）由題意拋物線焦點在x軸上，且拋物線上一點到焦點的距離為5，
則設拋物線方程為，焦點為，準線為，
故，
故拋物線標準方程為.
變式8．（2023·全國·高二隨堂練習）求適合下列條件的拋物線的標準方程：
(1)焦點為；
(2)準線方程為：；
(3)焦點到準線的距離為6.
【解析】（1）因為焦點為，故拋物線焦準距為，
則拋物線標準方程為；
（2）拋物線準線方程為：，則，
焦點在y軸正半軸上，則拋物線標準方程為；
（3）焦點到準線的距離為6，即，
焦點位置不確定，
故拋物線標準方程為或或或.
題型三：軌跡方程—拋物線
例7．（2023·云南楚雄·高二校考階段練習）若點到點的距離比它到定直線的距離小1，則點滿足的方程為
【答案】
【解析】點到點的距離比它到直線的距離少1，
所以點到點的距離與到直線的距離相等，
所以其軌跡為拋物線，焦點為，準線為，
所以方程為，
故答案為：．
例8．（2023·吉林遼源·高二遼源市第五中學校?？计谀┤酎c滿足方程，則點P的軌跡是 .（填圓錐曲線的類型，填方程不給分）
【答案】拋物線
【解析】由，得，
所以等式左邊表示點到點的距離，右邊表示點到直線的距離，即點到點的距離與到直線的距離相等，
又因為點不在直線上，由拋物線的定義知，點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線.
故答案為：拋物線.
例9．（2023·高二課時練習）若動圓M經過雙曲線的左焦點且與直線x＝2相切，則圓心M的坐標滿足的方程是 ．
【答案】
【解析】雙曲線的左焦點為F（－2，0），動圓M經過F且與直線x＝2相切，
則圓心M到點F的距離和到直線x＝2的距離相等，
由拋物線的定義知圓心的軌跡是焦點為F，準線為x＝2的拋物線，
其方程為．
故答案為：.
變式9．（2023·高二課時練習）若點滿足方程，則點P的軌跡是 ．
【答案】拋物線
【解析】由得，
等式左邊表示點和點的距離，等式的右邊表示點到直線的距離.
整個等式表示的意義是點到點的距離和到直線的距離相等，
其軌跡為拋物線.
故答案為：拋物線
變式10．（2023·四川·高二雙流中學?？奸_學考試）已知動圓M與直線相切，且與定圓C：外切，那么動圓圓心M的軌跡方程為 .
【答案】
【解析】方法一：由題意知，設，
則，
，
解得.
方法二：由題意知，動點M到的距離比到的距離多1，
則動點M到的距離與到的距離相等，
根據拋物線的定義，為準線，為焦點，
設拋物線為，，，
故.
故答案為：.
變式11．（2023·全國·高二專題練習）已知動點的坐標滿足，則動點的軌跡方程為 ．
【答案】
【解析】設直線，則動點到點的距離為，動點到直線的距離為，又因為，
所以動點M的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，其軌跡方程為．
故答案為：
變式12．（2023·高二單元測試）已知動點到定點與定直線的距離的差為1．則動點的軌跡方程為 ．
【答案】，（注：也算對）
【解析】由題意，若時，問題等價于，
則，化簡得，
若，也滿足題意.
所以動點的軌跡方程為，.
或者根據題意有，則，化簡整理得：.
所以動點的軌跡方程為.
故答案為：，（注：也算對）
題型四：拋物線距離和與差的最值問題
例10．（2023·河南周口·高二校聯考階段練習）已知拋物線上有一動點，則與點距離的最小值為 ．
【答案】
【解析】設，
則，
當時，取得最小值12，
故．
例11．（2023·陜西渭南·高二統考期末）設是拋物線上的一個動點，為拋物線的焦點，點，則的最小值為 .
【答案】5
【解析】拋物線，所以焦點為，準線方程為，
當時，所以，因為，所以點在拋物線內部，
如圖，
過作準線的垂線垂足為，交拋物線于，
由拋物線的定義，可知，
故．
即當、、三點共線時，距離之和最小值為．
故答案為：．
例12．（2023·全國·高二假期作業）已知拋物線的焦點為F，定點，點P是拋物線上一個動點，則的最小值為 .
【答案】5
【解析】拋物線的準線方程為，
根據拋物線的定義可知，的最小值是到準線的距離，
即的最小值為.
故答案為：
變式13．（2023·全國·高二假期作業）已知M為拋物線上的動點，F為拋物線的焦點，點，則的最小值為 ．
【答案】2
【解析】設點在準線上的射影為，根據拋物線的定義可知,
所以,要使最小，只需要最小即可，
由于在拋物線內，故當三點共線時，此時最小，故最小值為，
故答案為：2
變式14．（2023·全國·高二假期作業）已知點P到直線與到點的距離相等，點Q在圓上，則的最小值為 .
【答案】3
【解析】設，因為點P到直線與到點的距離相等，
所以P點軌跡是以為焦點的拋物線，即；
設圓的圓心為M，則，
，
當且僅當時等號成立，所以，
即，
故答案為：3.
變式15．（2023·陜西延安·高二?？计谀┮阎c為拋物線上任意一點，點為圓上任意一點，點，則的最小值為 .
【答案】/2.5
【解析】拋物線，即，其焦點為，拋物線的準線為，
圓變形為，
則圓心為拋物線的焦點，半徑為.
點為拋物線上任意一點，當三點共線，取最小值時，最小值為.
如圖，過點作于點，由拋物線定義可知，
所以取最小值時，即取最小值，
，
當三點共線，當時，等號成立.
.
則的最小值為.
故答案為：.
變式16．（2023·全國·高二專題練習）已知是拋物線上的動點，點在軸上的射影是點，點的坐標是，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】拋物線的焦點為，準線方程為，
延長交準線于點，如圖所示．
根據拋物線的定義知，，
所以，
當且僅當點為線段與拋物線的交點時，等號成立．
故答案為：.
變式17．（2023·西藏日喀則·高二統考期末）若點的坐標為，F為拋物線的焦點，點在拋物線上移動，為使最小，點的坐標應為 ．
【答案】
【解析】由以及拋物線可知，點在拋物線內部，如下圖所示：
拋物線的焦點坐標，準線方程為；
作垂直于準線，垂足為，
由拋物線定義可得，則，
當且僅當三點共線時，取最小值，
此時三點縱坐標相同，所以點的縱坐標為，
代入拋物線方程可得.
故答案為：
變式18．（2023·上海靜安·高二上海市回民中學?？计谥校┮阎c在拋物線上，那么點到點的距離與點到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點的坐標為
【答案】
【解析】拋物線的焦點為，準線為，
過點作，垂足為點，如下圖所示：
由拋物線的定義，可得，則，
當、、三點共線，即當時，取最小值，
此時直線的方程為，聯立，解得，即點.
因此，點到點的距離與點到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點的坐標為.
故答案為：.
變式19．（2023·湖北荊州·高二沙市中學校考階段練習）已知點P為拋物線C：上的動點，直線l：，點為圓M：上的動點，設點P到直線l的距離為d，則的最小值為 ．
【答案】/
【解析】由題意可得：拋物線的焦點為，準線為直線l：，
圓M：的圓心，半徑，
由拋物線的定義知，，則，
當P，F，M三點共線時，取最小值為．
故答案為：.
變式20．（2023·貴州貴陽·高二統考期末）已知拋物線的準線是直線，為上一點，，垂足為，點的坐標是，則的最小值為 .
【答案】
【解析】拋物線的焦點為，準線為，如圖所示：
由拋物線的定義可得，所以，，
當且僅當為線段與拋物線的交點時，等號成立，
因此，的最小值為.
故答案為：.
變式21．（2023·江西宜春·高二江西省銅鼓中學校考開學考試）已知拋物線，圓，點，若分別是，上的動點，則的最小值為 .
【答案】
【解析】由拋物線得焦點，準線為，
由圓，得，
所以圓是以為圓心，以為半徑的圓，
所以，
所以當取得最小值時，取得最小值，
又根據拋物線的定義得等于點到準線的距離，
所以過點作準線的垂線，垂足為，且與拋物線相交，當點為此交點時，取得最小值，最小值為，
所以此時，
所以的最小值為.
故答案為：.
變式22．（2023·全國·高二專題練習）已知點 是坐標平面內一定點， 若拋物線的焦點為， 點是拋物線上的一動點， 則的最小值是 .
【答案】/
【解析】
拋物線的準線方程為，
過點作垂直準線于點，
顯然，當平行于軸時，
取得最小值，此時，
此時
故答案為:.
題型五：拋物線的實際應用
例13．（2023·全國·高二專題練習）距離拱頂4米時，水面的寬度是8米，則拋物線C的焦點到準線的距離是（ ）

A．1米 B．2米 C．4米 D．8米
【答案】B
【解析】建立如圖所示的直角坐標系，設拋物線方程為，
將代入可得，
所以焦點到準線的距離為，即為2，
故選：B
例14．（2023·全國·高二專題練習）清代青花瓷蓋碗是中國傳統茶文化的器物載體，具有“溫潤”“淡遠”“清新”的特征．如圖，已知碗體和碗蓋的內部均近似為拋物線形狀，碗蓋深為，碗蓋口直徑為，碗體口直徑為，碗體深，則蓋上碗蓋后，碗蓋內部最高點到碗底的垂直距離為（碗和碗蓋的厚度忽略不計）（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以碗體的最低點為原點，向上方向為軸，建立直角坐標系，如圖所示．
設碗體的拋物線方程為（），將點代入，得，
解得，則，
設蓋上碗蓋后，碗蓋內部最高點到碗底的垂直距離為，
則兩拋物線在第一象限的交點為，代入到，解得，解得．
故選：C
例15．（2023·全國·高二專題練習）圖中是拋物線形拱橋，當水面在時，拱頂距離水面2米，水面寬度為8米，則當水面寬度為10米時，拱頂與水面之間的距離為（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【解析】以拱頂為坐標原點，建立直角坐標系，
可設拱橋所在拋物線的方程為，
又拋物線過點，則，解得，
則拋物線的方程為，當時，，
故當水面寬度為米時，拱頂與水面之間的距離為米.
故選：D
變式23．（2023·全國·高二專題練習）南宋晚期的龍泉窯粉青釉刻花斗笠盞如圖1所示，忽略杯盞的厚度，這只杯盞的軸截面如圖2所示，其中光滑的曲線是拋物線的一部分，已知杯盞盛滿茶水時茶水的深度為3cm，則該拋物線的焦點到準線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，
依題意可得的坐標為．
設拋物線的標準方程為，則，解得．
故該拋物線的焦點到準線的距離為．
故選：C
變式24．（2023·全國·高二專題練習）探照燈 汽車前燈的反光曲面 手電筒的反光鏡面 太陽灶的鏡面等都是拋物鏡面.燈泡放在拋物線的焦點位置，通過鏡面反射就變成了平行光束，如圖所示，這就是探照燈 汽車前燈 手電筒的設計原理.已知某型號探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處，燈口直徑是，燈深，則光源到反射鏡頂點的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在縱斷面內，以反射鏡的頂點（即拋物線的頂點）為坐標原點，過頂點垂直于燈口直徑的直線為軸，建立直角坐標系，如圖所示，
由題意可得.
設拋物線的標準方程為，于是，解得.
所以拋物線的焦點到頂點的距離為，即光源到反射鏡頂點的距離為.
故選：B.
變式25．（2023·全國·高二專題練習）數學與建筑的結合造就建筑藝術，如圖，吉林大學的校門是一拋物線形水泥建筑物，若將校門輪廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成拋物線的一部分，其焦點坐標為．校門最高點到地面距離約為18.2米，則校門位于地面寬度最大約為（ ）
A．18米 B．21米 C．24米 D．27米
【答案】C
【解析】依題意知，拋物線，即，
因為拋物線的焦點坐標為，所以，所以，
所以拋物線方程為，
令，則，解得，
所以校門位于地面寬度最大約為米.
故選：C.
變式26．（2023·全國·高二專題練習）截至2023年2月，“中國天眼”發現的脈沖星總數已經達到740顆以上．被稱為“中國天眼”的500米口徑球面射電望遠鏡（FAST），是目前世界上口徑最大，靈敏度最高的單口徑射電望遠鏡（圖1）．觀測時它可以通過4450塊三角形面板及2225個觸控器完成向拋物面的轉化，此時軸截面可以看作拋物線的一部分．某學校科技小組制作了一個FAST模型，觀測時呈口徑為4米，高為1米的拋物面，則其軸截面所在的拋物線（圖2）的頂點到焦點的距離為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【解析】如圖，以拋物線的頂點為原點，對稱軸為軸，建立平面直角坐標系，
則設拋物線的方程為，
由題可得拋物線上一點，代入拋物線方程可得，所以，
即拋物線方程為，則拋物線的焦點坐標為，故頂點到焦點的距離為.
故選：A.
變式27．（2023·福建莆田·高二莆田一中?？计谥校┤鐖D1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉形成的曲面）反射器和位于焦點上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應用于微波和衛星通訊等領域，具有結構簡單、方向性強、工作頻帶寬等特點．圖2是圖1的軸截面，A，B兩點關于拋物線的對稱軸對稱，F是拋物線的焦點，∠AFB是饋源的方向角，記為，焦點F到頂點的距離f與口徑d的比值稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等．如果某拋物面天線饋源的方向角滿足，，則其焦徑比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖所示，建立直角坐標系，
設拋物線的標準方程為：，，
，代入拋物線方程可得：，解得，
由于，得或（舍）
又，化為：，
解得或（舍）
.
故選：C.
【過關測試】
一、單選題
1．（2023·江蘇南通·高二統考階段練習）已知拋物線的焦準距(焦點到準線的距離)為2，則拋物線的焦點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為拋物線的焦點為，準線為，
由題意可知：焦準距，
所以拋物線的焦點坐標為.
故選：C.
2．（2023·全國·高二期中）已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為3，則（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】如下圖所示：
根據題意可得拋物線的準線方程為，
若到直線的距離為，則到拋物線的準線的距離為，
利用拋物線定義可知.
故選：A
3．（2023·河南周口·高二統考期中）已知點是拋物線上的一點，過點作直線的垂線，垂足為，若，則的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】由拋物線可知其焦點為，準線方程為
記拋物線的焦點為，
所以，
當且僅當點在線段上時等號成立，
所以的最小值為3．
故選：A．
4．（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線上任意一點到焦點F的距離比到y軸的距離大1，則拋物線的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意拋物線上任意一點到焦點F的距離與它到直線的距離相，因此，，拋物線方程為．
故選：C．
5．（2023·高二課時練習）設拋物線上一點到軸的距離是，則點到該拋物線焦點的距離是（ ）
A．8 B．6
C．4 D．2
【答案】A
【解析】∵拋物線的方程為，
∴其準線的方程為，
設點到其準線的距離為，則，
即，
∵點到軸的距離是，∴，
∴.
故選：A
6．（2023·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學校考階段練習）已知拋物線的頂點為O，焦點為F，準線為直線l，點E在拋物線上．若E在直線l上的射影為Q，且Q在第四象限，，則直線FE的傾斜角為（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】如圖所示，易知，
所以，
故,
又由拋物線定義可知，
故直線的傾斜角為.
故選：B.
7．（2023·江蘇南京·高二校聯考階段練習）已知拋物線的焦點為F，點，若點A為拋物線任意一點，當取最小值時，點A的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設點A在準線上的射影為D，如圖，
則根據拋物線的定義可知，
求的最小值，即求的最小值，
顯然當D，B，A三點共線時最小，
此時點的橫坐標為1，代入拋物線方程可知.
故選：B.
8．（2023·全國·高二期中）若點在焦點為的拋物線上，且，點為直線上的動點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【解析】拋物線的焦點，準線，
，則，不妨設，
關于直線的對稱點為，
由于，所以當三點共線時最小，
所以的最小值為.
故選：A
二、多選題
9．（2023·海南省直轄縣級單位·高二嘉積中學校考期末）已知拋物線的焦點為，頂點為，點在拋物線上，若，則下列各選項正確的是（ ）
A． B．以MF為直徑的圓與軸相切
C． D．
【答案】ABD
【解析】對A：由題意可知，由，可得，故A正確；
對B：∵的中點的橫坐標為，則到軸的距離
∴以為直徑的圓與軸相切，故B正確；
對C：當時，，解得，即
則，故C錯誤；
對D：，故D正確；
故選：ABD．
10．（2023·高二課時練習）已知拋物線C：的焦點為F，準線為l，點，線段AF交拋物線C于點B，過點B作l的垂線，垂足為H，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】拋物線C：的焦點，準線為，
設準線與軸交于點，
∵，由與△相似得：，
∵，∴，即，故A錯誤；
由拋物線定義得，∴，
即，，故BC正確，D錯誤．
故選：BC．
11．（2023·高二課時練習）（多選）設斜率為2的直線l過拋物線的焦點F，且和y軸交于點A，若（O為坐標原點）的面積為4，則拋物線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】拋物線焦點坐標為，直線l的方程為.
令，得，故的面積為，
故.
故選：BD.
12．（2023·高二課時練習）（多選）點到拋物線的準線的距離為6，那么拋物線的標準方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】拋物線的標準方程為，
當時，開口向上，準線方程為，
則點M到準線的距離為，解得.
因此，拋物線方程為，即.
當時，開口向下，準線方程為，
則點M到準線的距離為，
解得.
因此，拋物線方程為，即.
故選：BD.
三、填空題
13．（2023·江蘇南京·高二南京外國語學校?？茧A段練習）若動點到點的距離比它到直線的距離大1，則的軌跡方程是 ．
【答案】
【解析】將化為，
動點到點的距離比它到直線的距離大1，
則動點到點的距離與它到直線的距離相等，
由拋物線定義可知動點的軌跡為拋物線，
該拋物線以為焦點，以為準線，開口向右，
設，
所以，解得，
所以拋物線方程為，
故答案為：.
14．（2023·河南南陽·高二南陽中學校考階段練習）已知，若點P是拋物線上任意一點，點Q是圓上任意一點，則的最小值為 .
【答案】4
【解析】如圖所示：
拋物線的焦點，準線，
圓的圓心為，半徑，
過點作垂直準線，垂直為點，
由拋物線的定義可知，
則，
當且僅當三點共線時，等號成立,
綜上所述：的最小值為4.
故答案為：4.
15．（2023·全國·高二專題練習）已知點是曲線上任意一點，，連接并延長至，使得，求動點Q的軌跡方程 ．
【答案】
【解析】設動點的坐標，點P坐標，，
因為，所以，，
可得，，
代入，得，整理得，
所以動點Q的軌跡方程為．
故答案為：
16．（2023·高二課時練習）已知為拋物線：的焦點，，，為上的三點，若，則 .
【答案】
【解析】由題意知，設，，的橫坐標分別為，，，
由，得，所以，
由拋物線的定義得.
故答案為：
四、解答題
17．（2023·全國·高二期中）求適合下列條件的拋物線的標準方程：
(1)頂點在原點，準線方程為；
(2)頂點在原點，且過點；
(3)頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在直線上；
(4)焦點在x軸上，且拋物線上一點到焦點的距離為5.
【解析】（1）由題意頂點在原點，準線方程為，
可知拋物線焦點在y軸負半軸上，且，
故拋物線標準方程為；
（2）由題意頂點在原點，且過點，則拋物線焦點可能在y軸正半軸或x軸負半軸上，
則設拋物線標準方程為或，
分別將代入，求得，
故拋物線標準方程為或；
（3）由于直線與x軸的交點為，
由題意可知拋物線焦點為，則，
故拋物線標準方程為；
（4）由題意拋物線焦點在x軸上，且拋物線上一點到焦點的距離為5，
則設拋物線方程為，焦點為，準線為，
故，
故拋物線標準方程為.
18．（2023·全國·高二隨堂練習）一種衛星接收天線的軸截面如圖所示.衛星波束呈近似平行狀態射入軸截面為拋物線的接收天線，經反射聚集到焦點處.已知接收天線的口徑（直徑）為4.8m，深度為0.5m.

(1)試建立適當的坐標系，求拋物線的標準方程和焦點坐標；
(2)為了增強衛星波束的接收，擬將接收天線的口徑增大為5.2m，求此時衛星波束反射聚集點的坐標.
【解析】（1）建立如圖所示的直角坐標系，
設拋物線的方程為：，把代入方程中，得
，
所以拋物線的標準方程為，焦點的坐標為；
（2）設拋物線的方程為，
把代入方程中，得，
所以焦點的坐標為：.
19．（2023·全國·高二課堂例題）如圖，探照燈反射鏡由拋物線的一部分繞對稱軸旋轉而成，光源位于拋物線的焦點處，這樣可以保證發出的光線經過反射之后平行射出.已知燈口圓的直徑為60cm，燈的深度為40cm.

(1)將反射鏡的旋轉軸與鏡面的交點稱為反射鏡的頂點.光源應安置在旋轉軸上與頂點相距多遠的地方？
(2)為了使反射的光更亮，增大反射鏡的面積，將燈口圓的直徑增大到66cm，并且保持光源與頂點的距離不變.求探照燈的深度.
【解析】（1）如圖，在反射鏡的軸截面上建立平面直角坐標系，
以拋物線的頂點為原點，以旋轉軸為x軸（拋物線開口方向是x軸的正方向），以1cm為單位長度，
則可設拋物線的標準方程為.
燈口圓與軸截面在第一象限內的交點A的坐標為，
代入拋物線方程得，
解得，則焦點坐標為.
故光源應安置在與頂點相距處；
（2）由（1）可得拋物線方程為.
燈口圓與軸截面在第一象限的交點的縱坐標變為.
故將代入拋物線方程求得.
此時，探照燈的深度為48.4cm.
20．（2023·云南·高三云南師大附中?？茧A段練面上一點P滿足：P點到的距離比P點到y軸的距離大2，且點P不在一條射線上，記點P的軌跡方程為曲線C.
(1)求曲線C的方程；
(2)點Q為y軸左側一點，曲線C上存在兩點A，B，使得線段，的中點均在曲線C上，設線段的中點為M，證明：垂直于y軸.
【解析】（1）設點，根據題意，解得
由于點不在一條射線上，
故點的軌跡方程為：.
（2）設線段，的中點分別為，，
設，，因為點在曲線上，則，
因為點在曲線上，所以：
同理，
故是方程的兩個解，
由韋達定理知，所以，
即點的縱坐標與點的縱坐標相同，故垂直于軸.
21．（2023·江蘇南京·高二南京市第九中學?？茧A段練習）已知拋物線的焦點為，拋物線的焦點為，且.
(1)求的值；
(2)若直線與交于兩點，與交于兩點，在第一象限，在第四象限，且，求的值.
【解析】（1）由拋物線的方程可知焦點的坐標為，
由拋物線的方程可知焦點的坐標為，
因為，
所以；
（2）由（1）可知兩個拋物線的方程分別為，
設直線，，
根據題意結合圖形可知：，且，
聯立，則，
同理聯立，則，
由，
所以，
即，
又因為，所以，
由，
聯立，所以，
故.
22．（2023·河北邯鄲·高二?？茧A段練習）設拋物線C：的焦點為F，過F且斜率為k（）的直線l與C交于A，B兩點，．
(1)求l的方程；
(2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程．
【解析】（1）
由題意得，l的方程為．
設，．由，消y得．
，故．
所以．
由題設知解得（舍去），．因此l的方程為．
（2）由（1）得AB的中點坐標為，且，
，則中點坐標為，
所以AB的垂直平分線方程為，即．
設所求圓的圓心坐標為，則，解得或
當圓心為時，；
當圓心為時，．
因此所求圓的方程為或．

展開更多......

收起↑