資源簡介

集合的含義與表示
元素與集合的概念
一般地，把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構成的集合(或集)，構成集合的每個對象叫做這個集合的元素(或成員).
集合的元素特征
① 確定性：給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了.
Eg：街上叫聲帥哥，是男的都回個頭，帥哥沒有明確的標準，故帥哥不能組成集合.
② 互異性：一個集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重復出現的.
Eg：兩個學生名字都是“熊濤”，老師也要給他們起小名，以視區別.
若集合，就意味且.
③ 無序性：集合中的元素無順序，可以任意排列、調換.
Eg：高一(1)班每月都換座位也改變不了它是(1)班的事實，.
元素與集合的關系
若是集合的元素，則稱屬于集合，記作；
若不是集合的元素，則稱不屬于集合，記作.
Eg：菱形，.
腦筋急轉彎 你能證明上帝不是萬能的么？
答案：如果上帝萬能，他能否創造一塊他舉不起來的石頭么？(這跟集合有什么關系呢？)
常用數集
自然數集(或非負整數集)，記作；正整數集，記作或；整數集，記作；
有理數集，記作；實數集，記作.
集合的分類
有限集，無限集，空集.
Eg：奇數集屬于無限集，.
集合的表示方法
① 列舉法
把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號括起來表示集合的方法叫列舉法.
② 描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，稱為描述法.
方法：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：.
用符號描述法表示集合時應注意：
弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是數還是點、還是集合、還是其他形式？
元素具有怎么的屬性？當題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性時，要去偽存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.
Eg：
———方程的解，即；
———不等式的解集，即；
———函數的定義域，即；
———函數的值域，即；
———函數的圖像，它是個點集.
【典題1】下列說法正確的是 ( )
某個村子里的高個子組成一個集合；
所有小的正數組成的集合；
集合和表示同一個集合；
這些數組成的集合有五個元素.
【典題2】設集合，若則 .
【典題3】用列舉法表示集合　 　.
【典題4】 若集合至多有一個元素，則的取值范圍是　　．
鞏固練習
1 (★) 下列各組對象能構成集合的是(　　)
A．充分接近的所有實數 B．所有的正方形
C．著名的數學家 D．1，2，3，3，4，4，4，4
2(★) 以實數為元素所組成的集合最多含有(　　)個元素．
A．0 B．1 C．2 D．3
3(★) 下面有四個命題：
(1)集合中最小的數是； (2)是自然數；
(3)是不大于的自然數組成的集合；(4)，則不小于. .
其中正確的命題的個數是 ( )
A．１個 B．2個 C．3個 D．4個
(★★) 設集合，，，若，則 (　　)
5(★★) 已知為非零實數，代數式的值所組成的集合是，則下列判斷正確的是(　　)
A． B． C． D．
6(★★) 點的集合是指(　　)
A．第一象限內的點集 B．第三象限內的點集
C．第一、第三象限內的點集 D．不在第二、第四象限內的點集
7(★★) 已知含有三個實數的集合既可表示成，又可表示成則　 　．
(★★) 若集合中只有一個元素，則實數的值為 ．
(★★) 用列舉法表示集合　 ．
10 (★★) 集合的元素個數為
11 (★★) 用列舉法表示下列集合
(1)以內偶數的集合；
(2)方程的所有實數根組成的集合；
(3)一次函數與的圖象的交點組成的集合．
12 (★★★) 已知集合
1)若是空集，求的取值范圍；
2)若中只有一個元素，求的值，并把這個元素寫出來；
3)若中至多只有一個元素，求的取值范圍.
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)集合的含義與表示
元素與集合的概念
一般地，把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構成的集合(或集)，構成集合的每個對象叫做這個集合的元素(或成員).
集合的元素特征
① 確定性：給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了.
Eg：街上叫聲帥哥，是男的都回個頭，帥哥沒有明確的標準，故帥哥不能組成集合.
② 互異性：一個集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重復出現的.
Eg：兩個學生名字都是“熊濤”，老師也要給他們起小名，以視區別.
若集合，就意味且.
③ 無序性：集合中的元素無順序，可以任意排列、調換.
Eg：高一(1)班每月都換座位也改變不了它是(1)班的事實，.
元素與集合的關系
若是集合的元素，則稱屬于集合，記作；
若不是集合的元素，則稱不屬于集合，記作.
Eg：菱形，.
腦筋急轉彎 你能證明上帝不是萬能的么？
答案：如果上帝萬能，他能否創造一塊他舉不起來的石頭么？(這跟集合有什么關系呢？)
常用數集
自然數集(或非負整數集)，記作；正整數集，記作或；整數集，記作；
有理數集，記作；實數集，記作.
集合的分類
有限集，無限集，空集.
Eg：奇數集屬于無限集，.
集合的表示方法
① 列舉法
把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號括起來表示集合的方法叫列舉法.
② 描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，稱為描述法.
方法：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：.
用符號描述法表示集合時應注意：
弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是數還是點、還是集合、還是其他形式？
元素具有怎么的屬性？當題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性時，要去偽存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.
Eg：
———方程的解，即；
———不等式的解集，即；
———函數的定義域，即；
———函數的值域，即；
———函數的圖像，它是個點集.
【典題1】下列說法正確的是 ( )
某個村子里的高個子組成一個集合；
所有小的正數組成的集合；
集合和表示同一個集合；
這些數組成的集合有五個元素.
【解析】由于高個子、小的沒有一個明確的標準，的對象不具備確定性；
中的三個數相等，相等，故集合只有個元素；
集合具有無序性，所以是正確的；故選.
【點撥】本題考核集合元素的三要素.
【典題2】設集合，若則 .
【解析】 或，
若則此時；
若則或
時，；
時則不符合集合的互異性，故.
綜上 或．
【點撥】 本題考核集合元素的特征和元素與集合的關系；
當時此時不符合集合的互異性，故.
故求出集合后最好做下檢查.
【典題3】用列舉法表示集合　 　.
【解析】根據，且可得：
時，；時，；時，；
時，； 時，； 時，；
．
【點撥】
① 看集合先確定元素類型(本題中元素是，而不是)，再看元素需要滿足的條件；
② 集合若能化簡先化簡，用最簡潔的形式表示能讓我們更好理解集合.
【典題4】 若集合至多有一個元素，則的取值范圍是　　．
【解析】集合至多有一個元素，
或解得或
的取值范圍是．
【點撥】注意二次項系數是否等于，先確認函數類型.
鞏固練習
1 (★) 下列各組對象能構成集合的是(　　)
A．充分接近的所有實數 B．所有的正方形
C．著名的數學家 D．1，2，3，3，4，4，4，4
【答案】 B
【解析】 選項不滿足集合的確定性；集合正方形是確定的，
故能構成集合；選項不滿足集合的互異性．
故選：．
2(★) 以實數為元素所組成的集合最多含有(　　)個元素．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】
【解析】當時此時集合共有2個元素；
當時此時集合共有1個元素；
當時此時集合共有2個元素，
故由以實數為元素所組成的集合最多含有元素的個數為2個．
故選：．
3(★) 下面有四個命題：
(1)集合中最小的數是； (2)是自然數；
(3)是不大于的自然數組成的集合；(4)，則不小于. .
其中正確的命題的個數是 ( )
A．１個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】
【解析】 (1)集合中最小的數是0，(2)對，(3)不大于的自然數組成的集合是，(4)因為，所以可能小于，因此只有(2)是對的，故選A.
(★★) 設集合，，，若，則 (　　)
【答案】
5(★★) 已知為非零實數，代數式的值所組成的集合是，則下列判斷正確的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根據題意，分4種情況討論；
①、全部為負數時，則xyz也為負數，則，
②、中有一個為負數時，則xyz為負數，則，
③、中有兩個為負數時，則xyz為正數，則，
④、全部為正數時，則也正數，則；
則；
分析選項可得符合．
6(★★) 點的集合是指(　　)
A．第一象限內的點集 B．第三象限內的點集
C．第一、第三象限內的點集 D．不在第二、第四象限內的點集
【答案】
【解析】 指和同號或至少一個為零，故為第一或第三象限內的點或坐標軸上的點．故選
7(★★) 已知含有三個實數的集合既可表示成，又可表示成則　 　．
【答案】
【解析】根據題意，由可得或，
又由的意義，則必有0
則，
則有即或
集合中則必有
則
故答案為：
(★★) 若集合中只有一個元素，則實數的值為 ．
【答案】或
【解析】由集合中只有一個元素，
當時即成立；
當時解得．成立．
綜上或．
(★★) 用列舉法表示集合　 ．
【答案】 ．
【解析】根據題意，，
又因，，且是的整數倍，
或或，或或，
集合．
故答案為：．
10 (★★) 集合的元素個數為
【答案】
【解析】由題意，集合中的元素滿足是整數，且是整數，
由此可得，，，，，，，，，，，；
此時的值分別為：，
符合條件的共有個，
11 (★★) 用列舉法表示下列集合
(1)以內偶數的集合；
(2)方程的所有實數根組成的集合；
(3)一次函數與的圖象的交點組成的集合．
【解析】(1)；
(2)解方程，得，
故方程的所有實數根組成的集合為；
(3)解方程組得，
因此一次函數與的圖象的交點為，故所求的集合為．
12 (★★★) 已知集合
1)若是空集，求的取值范圍；
2)若中只有一個元素，求的值，并把這個元素寫出來；
3)若中至多只有一個元素，求的取值范圍
【答案】 1) ; 2) 若，則有；若 ，則有；3) 或.
【解析】 1)若是空集，則方程無解，此時且，即.
2)若中只有一個元素
則方程有且只有一個實根
當時，方程為一元一次方程，滿足條件；
當，此時，解得.
或
若，則有；若 ，則有；
3)若中至多只有一個元素，
則為空集，或有且只有一個元素
由(1)，(2)得滿足條件的的取值范圍是：或.
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