資源簡介

集合間的關(guān)系
子集
① 概念
對于兩個集合，如果集合的任何一個元素都是集合的元素，我們說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合是集合的子集().
記作：(或)，讀作：包含于，或包含.
當(dāng)集合不包含于集合時，記作(或).
② 圖
真子集
概念：若集合，但存在元素且，則稱集合是集合的真子集.
記作：(或)
讀作：真包含于(或真包含)
類比 與的關(guān)系就好比與小于的關(guān)系，是小于或等于，是真包含或相等；
Eg：是對的，而是錯的，若，則也成立；
對比下，是對的，但是錯的，若，則也成立.
集合相等
如果是集合的子集，且集合是集合的子集，則集合與集合相等．
即 且.
幾個結(jié)論
① 空集是任何集合的子集：；
② 空集是任何非空集合的真子集；
③ 任何一個集合是它本身的子集；
④ 對于集合，如果且，那么；
⑤ 集合中有個元素，則子集的個數(shù)為，真子集的個數(shù)為.
【典題1】求集合的子集個數(shù).
【典題2】已知集合若則的取值范圍　 　．
【典題3】已知且則的取值范圍為　　．
鞏固練習(xí)
1 (★★) 設(shè)是兩個集合，有下列四個結(jié)論：
若，則對任意，有；②若，則集合中的元素個數(shù)多于集合中的元素個數(shù)；
③若，則； ④若，則一定存在，有．
其中正確結(jié)論的個數(shù)為(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
2 (★★) 已知集合，，則集合的大小關(guān)系是(　　)
3 (★★) 已知集合則滿足的集合的個數(shù)為(　　)
A．4 B．8 C．7 D．16
4 (★★) 已知集合，，則集合的關(guān)系是(　　)
A． B． C． D．
5 (★★) 已知集合正奇數(shù)和集合若則中的運算“ ”是(　　)
A．加法 B．除法 C．乘法 D．減法
6 (★★) 已知集合，且中至少含有一個奇數(shù)，則這樣的集合有 個.
7 (★★) 定義集合且，若，，則的子集個數(shù)為 ．
8 (★★) 集合的真子集的個數(shù)是 ．
9 (★★) 集合，，若，則由實數(shù)組成的集合為 ．
10(★★) 已知集合若則實數(shù)的取值范圍 　．
11 (★★★) 已知集合．
(Ⅰ)若，求實數(shù)的取值范圍；
(Ⅱ)若求實數(shù)的取值范圍．
12(★★★) 已知集合若求實數(shù)的取值范圍．
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21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)集合間的關(guān)系
子集
① 概念
對于兩個集合，如果集合的任何一個元素都是集合的元素，我們說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合是集合的子集().
記作：(或)，讀作：包含于，或包含.
當(dāng)集合不包含于集合時，記作(或).
② 圖
真子集
概念：若集合，但存在元素且，則稱集合是集合的真子集.
記作：(或)
讀作：真包含于(或真包含)
類比 與的關(guān)系就好比與小于的關(guān)系，是小于或等于，是真包含或相等；
Eg：是對的，而是錯的，若，則也成立；
對比下，是對的，但是錯的，若，則也成立.
集合相等
如果是集合的子集，且集合是集合的子集，則集合與集合相等．
即 且.
幾個結(jié)論
① 空集是任何集合的子集：；
② 空集是任何非空集合的真子集；
③ 任何一個集合是它本身的子集；
④ 對于集合，如果且，那么；
⑤ 集合中有個元素，則子集的個數(shù)為，真子集的個數(shù)為.
【典題1】求集合的子集個數(shù).
【解析】集合，(先化簡集合)
則其子集有共個．
【點撥】
① 討論集合的子集，不要漏了空集與自身；
② 集合中有個元素，則子集的個數(shù)為，真子集的個數(shù)為.
【典題2】已知集合若則的取值范圍　 　．
【解析】由題得因為則或或或，
①當(dāng)所以解得；
②當(dāng)則無解；(不要漏了)
③當(dāng)則解得；
④當(dāng)則無解．
綜上．
【點撥】若，注意不能忽略了這種情況.
【典題3】已知且則的取值范圍為　 　．
【解析】由題意：
(分或兩種情況討論)
當(dāng)時，無解，
即 解得．
當(dāng)時，要使成立，
令，
要滿足題意，由二次函數(shù)的圖像可知，解得，
(如圖所示)
綜上可得：.
【點撥】本題涉及到二次函數(shù)零點的分布問題，注意利用數(shù)形結(jié)合的方法進行求解.
鞏固練習(xí)
1 (★★) 設(shè)是兩個集合，有下列四個結(jié)論：
①若，則對任意，有；
②若，則集合中的元素個數(shù)多于集合中的元素個數(shù)；
③若，則；
④若，則一定存在，有．
其中正確結(jié)論的個數(shù)為(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】
【解析】對于①，不一定，比如.故錯誤；
②若，不一定，比如.故錯誤；
③若，則，但不成立，故錯誤；
④若，則一定存在，有，故正確．
故正確結(jié)論的個數(shù)為個，
故選：
2 (★★) 已知集合，，則集合的大小關(guān)系是(　　)
【答案】
【解析】集合，
當(dāng)時，
當(dāng)時，
又集合，，
又集合，
集合比集合多一個元素，即，
綜上所求：，
故選：．
3 (★★) 已知集合則滿足的集合的個數(shù)為(　　)
A．4 B．8 C．7 D．16
【答案】
【解析】集合，
，
滿足的集合有：，，，，，，，，共個．
故選：．
4 (★★) 已知集合，，則集合的關(guān)系是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)或，，
則有．
又，．
5 (★★) 已知集合正奇數(shù)和集合若則中的運算“ ”是(　　)
A．加法 B．除法 C．乘法 D．減法
【答案】
【解析】由于集合正奇數(shù)且集合是集合的子集，
則可設(shè)
，
，而其它運算均不使結(jié)果屬于集合，
故選．
6 (★★) 已知集合，且中至少含有一個奇數(shù)，則這樣的集合有 個.
【答案】
【解析】集合，
，，，，，，．
中至少含有一個奇數(shù)，，，．
這樣的集合有個．
7定義集合且，若，，則的子集個數(shù)為
【答案】4
【解析】由題意：，故其子集為，，，，個數(shù)為
8 (★★) 集合的真子集的個數(shù)是
【答案】7
【解析】時，；時，；時，；時，；
函數(shù)在上是減函數(shù)，
當(dāng)時，；，共個元素，
根據(jù)公式可得其真子集的個數(shù)為個
9 (★★) 集合，，若，則由實數(shù)組成的集合為
【答案】
【解析】集合，，，
或或
．
由實數(shù)組成的集合為：．
10(★★) 已知集合若則實數(shù)的取值范圍 　
【答案】
【解析】已知集合，
若，則集合包含集合的所有元素，
解集合時，當(dāng)時，不滿足題設(shè)條件，
當(dāng)時，無實數(shù)解，集合為空集，滿足條件，
當(dāng)0時，則，即，
綜上則實數(shù)的取值范圍為
11 (★★★) 已知集合．
(Ⅰ)若，求實數(shù)的取值范圍；
(Ⅱ)若求實數(shù)的取值范圍．
【答案】 (1) (2)
【解析】集合，
(Ⅰ)，
解得：，
實數(shù)的取值范圍為；
(Ⅱ)，
①當(dāng)時，，即，
②當(dāng)時解得：，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為：．
12(★★★) 已知集合若求實數(shù)的取值范圍．
【答案】.
【解析】集合，，
若，一定非空，
若，得，，成立，
若，即或者，設(shè)，
1)．，
即，對稱軸所以，
2)．，
即，對稱軸，不成立，
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綜上，. 21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

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