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人教版八年級數學上冊 15.2.2 分式的加減 導學案
【知識清單】
1.加減運算
；同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.
；異分母的分式相加減，先通分，變為同分母的分式，再加減.
2.分式的混合運算順序
　先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號先算括號里面的.
【典型例題】
考點1：同分母分式加減法
例1．已知，，其中，則P、Q的大小關系是（　?。?br/>A． B． C． D．不能確定
【答案】B
【分析】作差比較，將化簡之后，結合即可判斷．
【詳解】∵，，
∴
，
∵，
∴，，
∴，
即，
∴．
故選：B．
【點睛】本題考查分式的化簡，作差比較兩個數的大小等，正確對分式進行化簡是解題的關鍵．
考點2：異分母分式加減法
例2．計算的結果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】．D
【分析】根據異分母分式加法計算法則求解即可．
【詳解】解：
，
故選D．
【點睛】本題主要考查了異分母分式加法計算，正確把分母進行通分是解題的關鍵．
考點3：整式與分式相加減
例3．已知．則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】．A
【分析】先把等式變形為，然后兩邊平方，即可得出結論．
【詳解】解：∵，
∴，
兩邊除以，得：，
∴，
兩邊平方，得：，
∴．
故選：A．
【點睛】本題考查分式的混合運算，求代數式的值，應用了恒等變形的思想．掌握完全平方公式是解題的關鍵．
考點4：分式加減混合運算及應用
例4．為整數，符合條件的整數的個數是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】．B
【分析】當時，去掉絕對值后利用分離常數法得到，再根據題意可得為整數，由此可得或；同理當時，可得為整數，求出（舍去）；由此即可得到答案．
【詳解】解：當時，
，
∵為整數，
∴為整數，
∴或，
∴或；
當時，
，
∵為整數，
∴為整數，
∴，
∴（舍去）；
綜上所述，或；
故選B．
【點睛】本題主要考查了根據分式值的情況求未知數，熟知分離常數法和分式的運算法則是解題的關鍵．
考點5：分式加減乘除混合運算
例5．計算的結果是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】．A
【分析】根據分式的混合運算法則進行計算，先算乘除，后算加減，如果有小括號先算小括號里面的．
【詳解】解：原式
．
故選：A．
【點睛】本題考查分式的混合運算，掌握運算順序和計算法則準確計算是解題關鍵．
考點6：分式化簡求值
6．如果，那么代數式的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】．D
【分析】先根據分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，結合已知條件即可求解．
【詳解】解：原式
，
，即，
原式，
故選：．
【點睛】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握分式的混合運算順序和運算法則．
【鞏固提升】
選擇題
1．計算的結果是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，則的值為（ ）
A． B． C．4 D．
3．下列計算正確的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
4．對于任意的值都有，則，值為（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．若代數式，都有意義，比較二者的數量關系，下列說法正確的為（ ）
A．不相等 B．相等 C．前者較大 D．后者較大
6．某輪船在靜水中的速度為30千米/時，港、港之間的航行距離為千米，水流速度為千米/時．如果該輪船從港駛往港，接著返回港，航行所用時間為小時，假設該輪船在靜水中航行千米所用時間為小時，那么與的大小關系為（ ）
A． B． C． D．不確定
7．小明在化簡分式時，發現最終結果是整式，則表示的式子可以是（ ）
A． B． C．m D．
8．若，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空題
9．化簡的結果是 ．
10．照相機成像應用了一個重要原理，用公式表示，其中f表示照相機鏡頭的焦距，u表示物體到鏡頭的距離，v表示膠片（像）到鏡頭的距離．若已知f、v，則 ．
11．計算： ．
12．甲、乙兩港口分別位于長江的上、下游，相距50千米，一艘輪船在靜水中的速度為a千米/時，水流的速度為b千米/時，輪船往返兩個港口一次共需 小時.
13．若，則= ．
三、解答題
14．計算：
(1)；
(2)．
15．計算：
(1)
(2)
16．計算：
(1)；
(2)．
17．已如是恒等式，請分別求的a、b的值．
18．觀察下列式子，并探索它們的規律：
；
．
(1)填空：
①________；②________；
(2)當取哪些正整數時，分式的值為整數？
19．數學來源于生活，生活離不開數學．開水中加入適量的糖沖泡成甜糖水很受一些人的喜愛，人們常用糖水中糖與糖水的比表示糖水的甜度．
(1)若在a克糖水里面含糖b克，則該糖水的甜度為______；
(2)現向（1）中的糖水中再加入適量的糖，充分攪勻后，感覺糖水更甜了．請用所學的數學知識解釋這一現象．
20．化簡：．
21．先化簡，再求值：，其中．
參考答案
1．A
【分析】根據同分母的分式相加減的法則求出即可．
【詳解】解：
，
故選：A．
【點睛】本題主要考查了同分母分式減法計算，能靈活運用法則進行化簡是解此題的關鍵．
2．C
【分析】已知等式左邊兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，變形后即可得到結果．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故選：C．
【點睛】本題考查了分式的化簡求值，化簡求值的方法有直接代入法，整體代入法等常用的方法，解題時可根據題目具體條件選擇合適的方法，當未知的值沒有明確給出時，所選取的未知數的值必須使原式的各分式都有意義，且除數不能為0．
3．C
【分析】根據分式的基本性質和運算法則，逐一判斷，即可解答．
【詳解】解：，故A錯誤；
，故B錯誤；
，故C正確；
，故D錯誤，
故選：C．
【點睛】本題考查了分式的基本性質和運算法則，熟知該法則是解題的關鍵．
4．B
【分析】對等式右邊通分并進行加法運算，再根據對應項系數相等列方程組求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
解得：．
故選：B．
【點睛】本題考查分式的加法，二元一次方程組．掌握分式的加減運算法則是解題的關鍵．
5．A
【分析】通過作差法比較即可．
【詳解】解：
，
故二者不相等；
當時，，前者較大；
當時，，后者較大．
故選：A．
【點睛】本題考查了分式運算，掌握作差法，分式的加減運算是解題的關鍵．
6．B
【分析】利用速度公式求差法比較大小即可．
【詳解】解：由題意可得：，，,
，
故選：B．
【點睛】本題考查了列代數式，分式的加減運算，把問題中與數量有關的詞語，用含有數字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數式． 解決本題的關鍵是表示輪船順水和逆水中的速度．
7．A
【分析】設里的式子為，然后代入進行計算，最后根據整式的定義結合選項，確定和的值即可．
【詳解】解：設里的式子為
∴
令為整式，則有，即
令，則
∴里的式子為
故選：A．
【點睛】本題考查了分式的運算和整式的定義，設里的式子為，根據整式的定義結合選項確定和的值是解答本題的關鍵．
8．B
【分析】先根據異分母分式減法計算法則將所求式子化簡為，再推出，然后代入求解即可．
【詳解】解：
，
∵，
∴，
∴原式，
故選B．
【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值，正確將所求式子進行化簡是解題的關鍵．
9．/
【分析】先進行分式加減運算，然后利用完全平方公式對分子部分進行變形后約分即可．
【詳解】解：．
【點睛】本題主要考查了分式的化簡，解題關鍵是熟練運用分式加減法則以及完全平方公式．
10．
【分析】利用分式的基本性質，把等式變形即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了分式的加減，掌握異分母分式的加減是解題的關鍵．
11．/
【分析】根據分式的加減法進行計算即可求解．
【詳解】解：原式＝
．
故答案為：．
【點睛】本題考查了分式與整式的加減運算，掌握分式的運算法則是解題的關鍵．
12．
【分析】分別求出順流和逆流時的速度，利用路程、時間、速度之間的關系即可列式求解．
【詳解】解：輪船在靜水中的速度為a千米/時，水流的速度為b千米/時，
順流速度為千米/時，逆流速度為千米/時，
甲、乙兩港口分別位于長江的上、下游，相距50千米，
輪船往返兩個港口一次共需時間為：，
故答案為：．
【點睛】本題考查分式加減的應用，解題的關鍵是計算出輪船順流和逆流時的速度，根據路程、時間、速度之間的關系列出分式．
13．
【分析】根據已知條件可得，代入代數式，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了分式的加減與化簡求值，熟練掌握分式的加減法是解題的關鍵．
14．(1)；
(2)
【分析】（1）根據同分母分式的減法法則計算即可；
（2）先將分子、分母因式分解，再將除法化為乘法，最后再約分即可；
【詳解】（1）原式
；
（2）原式
【點睛】此題考查了分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
15．(1)
(2)
【分析】根據分式的加減運算法則，先通分，然后再把分子部分合并同類項．
【詳解】（1）
（2）
【點睛】本題考查了分式的加減運算，解題的關鍵是用最簡公分母進行“通分”．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根據同分母分式的加減法運算法則進行運算即可．
（2）利用分式的除法法則進行運算再進行加減運算，注意要先因式分解．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
【點睛】本題考查了分式的混合運算，解題的關鍵是正確使用分式的運算法則，如同分母分式相減，分母不變，分子相減，除以一個分式等于乘以這個分式的倒數．
17．
【分析】先把分式恒等式去分母可得，再利用恒等建立方程組即可．
【詳解】解：，
∴去分母可得：，
∴，
由恒等式可得：
，
解得：．
【點睛】本題考查的是分式的恒等，掌握“分式的恒等的含義”是解本題的關鍵．
18．(1)①；②
(2)為1或3
【分析】（1）①先把原式化為，再根據分式的除法計算；
②先把原式化為，再根據分式的除法計算；
（2）先把原式化為，再根據分式的除法計算得，根據分式的值為整數得，或，計算即可．
【詳解】（1）；
；
故答案為：①；②；
（2），
當為正整數，且為5的約數時，的值為整數，
即或時，的值為整數．
或，
即當為1或3時，的值為整數．
【點睛】本題考查了分式的加減法、規律型數字的變化類、整式的加減，掌握分式的加減法運算方法，其中數字的變化規律是解題關鍵．
19．(1)
(2)理由見解析
【分析】（1）用糖水中糖與糖水的比表示即可；
（2）設往杯中加入克糖，則此時糖水的甜度為：，再利用作差法比較與的大小即可．
【詳解】（1）解：∵糖水中糖與糖水的比表示糖水的甜度，
∴在a克糖水里面含糖b克，則該糖水的甜度為；
（2）設往杯中加入克糖，則此時糖水的甜度為：，
∵
，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴向（1）中的糖水中再加入適量的糖，充分攪勻后，糖水更甜．
【點睛】本題考查的是列代數式，分式的加減運算，分式的值的大小比較，理解題意，選擇合適的方法解題是關鍵．
20．
【分析】先計算括號內分式的減法運算，再把除法化為乘法運算，約分后可得答案．
【詳解】解：
．
【點睛】本題考查的是分式的混合運算，熟記混合運算的運算順序是解本題的關鍵．
21．，
【分析】先根據分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把x的值代入進行計算即可．
【詳解】解∶
，
當時，原式．
【點睛】本題考查了分式的化簡求值，分式的混合運算，正確掌握分式的混合運算是解題的關鍵．
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