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人教版八年級數(shù)學上冊 15.3 分式方程 導學案
【知識清單】
1．分式方程的概念
分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
解分式方程的關鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡公分母將分式方程轉化為整式方程．
3．分式方程的增根問題
增根的產(chǎn)生：分式方程本身隱含著分母不為0的條件，當把分式方程轉化為整式方程后，方程中未知數(shù)允許取值的范圍擴大了，如果轉化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值為0，那么就會出現(xiàn)不適合原方程的根－－－增根.
細節(jié)剖析
因為解分式方程可能出現(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗根．驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解.
4：分式方程的應用
　　列分式方程解應用題與列一元一次方程解應用題類似，但要稍復雜一些．解題時應抓住“找等量關系、恰當設未知數(shù)、確定主要等量關系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關鍵環(huán)節(jié)，從而正確列出方程，并進行求解.
【典型例題】
考點1：分式方程的定義
例1．已知關于的方程的解是正數(shù)，那么的取值范圍是（ ）
A．且 B． C．且 D．
【答案】．A
【分析】先求解分式方程，根據(jù)“方程無增根”和“解是正數(shù)”即可求出的取值范圍．
【詳解】解：去分母：
解得：
∵
∴
∵方程的解是正數(shù)
∴
∴
綜上：且
故選：A
【點睛】本題考查根據(jù)分式方程的解求解參數(shù)．正確解出分式方程是求解此題的前提．
考點2：解分式方程
例2．若分式和的值互為相反數(shù)，則的值為（ ）
A．3 B．7 C． D．
【答案】．D
【分析】解分式方程即可求解．
【詳解】解：由題意得：
解得：
經(jīng)檢驗：是方程的解
故選：D
【點睛】本題考查了相反數(shù)的應用、分式方程的求解．根據(jù)題意列出分式方程是解題關鍵．
考點3：根據(jù)分式方程解的情況求值
例3．關于x的方程的解是正數(shù)，則a的取值范圍是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】．D
【分析】先解關于的分式方程，求得的值，然后再依據(jù)“解是正數(shù)”建立不等式求的取值范圍．
【詳解】解：去分母得，，
，
方程的解是正數(shù)，
即，
又因為，
，
則的取值范圍是且，
故選：D．
【點睛】本題考查了分式方程的解，由于我們的目的是求的取值范圍，根據(jù)方程的解列出關于的不等式，另外，解答本題時，易漏掉，這是因為忽略了這個隱含的條件而造成的，這應引起同學們的足夠重視．
考點4：分式方程無解問題
例4．關于x的分式方程有增根，則m的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】．B
【分析】去分母，分式方程化為整式方程，由增根的定義，則整式方程根為，代入求解參數(shù)值．
【詳解】解：分式方程變形，得，
把代入，得；
故選：B．
【點睛】本題考查分式方程的求解，增根的定義；理解增根的定義是解題的關鍵．
考點5：列分式方程
例5．《九章算術》中有一道關于古代驛站送信的題目，其白話譯文為：一份文件，若用慢馬送到800里遠的城市，所需時間比規(guī)定時間多1天：若改為快馬派送，則所需時間比規(guī)定時間少2天，已知快馬的速度是慢馬的倍，求規(guī)定時間．設規(guī)定時間為x天，則下列列出的分式方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】．B
【分析】根據(jù)題意先求得快馬的速度和慢馬的速度，根據(jù)快馬的速度是慢馬的倍列分式方程即可．
【詳解】解：設規(guī)定時間為x天，
根據(jù)題意得慢馬的速度為，快馬的速度為，
∵快馬的速度是慢馬的倍，
∴，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了分式方程的實際應用，解題的關鍵是正確理解題意，根據(jù)題意找出等量關系列出方程是解題的關鍵．
考點6：分式方程的實際應用
例6．某班學生去距學校的博物館參觀，一部分學生騎自行車先走，過了后，其余學生乘汽車出發(fā)，結果他們同時到達．已知汽車的速度是騎車學生速度的2倍，設騎車學生的速度為，下列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】．D
【分析】根據(jù)汽車的速度和騎車學生速度之間的關系，可得出汽車的速度為，利用時間＝路程÷速度，結合汽車比騎車學生少用，即可得出關于x的分式方程，此題得解．
【詳解】解：∵騎車學生的速度為，且汽車的速度是騎車學生速度的2倍，
∴汽車的速度為．
依題意得：，
即．
故選：D．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．
【鞏固提升】
選擇題
1．在①，②，③，④中，其中關于的分式方程的個數(shù)為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．在正數(shù)范圍內定義一種運算 “”，共規(guī)則為，如，根據(jù)這個規(guī)則，則方程的解為（ ）
A． B． C． D．
3．方程有增根，則m的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．分式方程無解，則a的值是( )
A．3或2 B．或3 C．-或3 D．或2
5．嘉淇一家自駕游去某地旅行，導航系統(tǒng)推薦了兩條線路，線路一全程75km，線路二全程90km，汽車在線路二上行駛的平均速度是線路一的1.8倍，線路二的用時預計比線路一少半小時．設汽車在線路一上行駛的平均速度為xkm/h，則下面所列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
6．某市為了解決城市擁堵問題，決定修建一條高架道路．為盡量減少施工對城市造成的影響，實際施工時工作效率比原計劃提高了，結果提前4個月完成這一任務．設原計劃個月完成這一任務，根據(jù)題意可列方程為（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
7．在方程，，，中，分式方程有 個．
8．關于x的分式方程的解小于1，則a的取值范圍是 ．
9．關于x的分式方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是 ．
10．當 時，關于x的分式方程無解．
11．某車間計劃在一定時間內生產(chǎn)240套零配件，生產(chǎn)3天后改進了技術，結果每天比原計劃多生產(chǎn)4套并提前6天完成生產(chǎn)任務．設原計劃每天生產(chǎn)x套零配件，則可列方程為 ．
12．中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的“根”和“魂”，是我們必須世代傳承的文化根脈、文化基因，為傳承優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校為各班購進《三國演義》和《水滸傳》連環(huán)畫若干套，其中每套《三國演義》連環(huán)畫的價格比每套《水滸傳》連環(huán)畫的價格貴60元，用4800元購買《水滸傳》連環(huán)畫的套數(shù)是用3600元購買《三國演義》連環(huán)畫套數(shù)的2倍，求每套《水滸傳》連環(huán)畫的價格. 設每套《水滸傳》連環(huán)畫的價格為元，則所列方程是 ．
三、解答題
13．解方程：．
14．解方程：
(1)；
(2)．
15．已知關于的分式方程有增根，求的值．
16．關于的分式方程．
(1)若此方程有增根，求的值
(2)若此方程解為正數(shù)，求的取值范圍．
17．某學校舉行運動會，從商場購買一定數(shù)量的筆袋和筆記本作為獎品．若每個筆袋的價格比每個筆記本的價格多3元，且用200元購買筆記本的數(shù)量與用350元購買筆袋的數(shù)量相同，求筆袋和筆記本的價格．
18．金師傅近期準備換車，看中了價格相同的兩款國產(chǎn)車．
燃油車 油箱容積：40升 油價：9元/升 續(xù)航里程：a千米 每千米行駛費用：元 新能源車 電池電量：60千瓦時 電價：0.6元/千瓦時 續(xù)航里程：a千米 每千米行駛費用：______元
其中，燃油車的每千米行駛費用比新能源車多元，如果燃油車和新能源車每年的其它費用分別為4800元和7500元，且金師傅平均每年都能行駛5100千米．為了節(jié)省開支，哪款國產(chǎn)車更適合金師傅，請通過計算說明．（年費用＝年行駛費用＋年其它費用）
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試卷第1頁，共3頁
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參考答案
1．A
【分析】直接根據(jù)分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程進行判斷即可得到答案．
【詳解】解：①，是分式，不是分式方程，故①錯誤，不符合題意；
②是關于的分式方程，故②錯誤，不符合題意；
③，是一元一次方程，不是分式方程，故③錯誤，不符合題意；
④，是關于的分式方程，故④正確，符合題意；
關于的分式方程的個數(shù)為1個，
故選：A．
【點睛】本題考查了分式方程的定義，熟練掌握分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程是解題的關鍵．
2．A
【分析】根據(jù)新定義列出方程，再計算即可．
【詳解】∵，
∴，
，
解得，
經(jīng)檢驗是原方程的根，
故選：A．
【點睛】本題除了定義運算外，還規(guī)定了解分式方程，需要注意檢驗．
3．B
【分析】首先把所給的分式方程化為整式方程，然后根據(jù)分式方程有增根，得到，據(jù)此求出的值，代入整式方程求出的值即可．
【詳解】解：去分母，得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程，可得：．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了分式方程的增根，解答此題的關鍵是要明確：（1）化分式方程為整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．
4．A
【分析】分兩種情況討論：①分式方程的分母為0時，無解；②分式方程化為形如的整式方程后，如果且，亦無解．據(jù)此即可解答．
【詳解】解：將化為整式方程得：
整理得：
①∵分式方程無解，
∴
將代入得：
∴．
②整式方程中，
當時，方程無解，
此時，
綜合①②兩種情況可知，a的值為3或2．
故選：A．
【點睛】本題主要考查分式方程無解的情況，分情況討論分式方程無解的條件是解題關鍵．
5．D
【分析】設汽車在線路一上行駛的平均速度為xkm/h，則在線路二上行駛的平均速度為km/h，根據(jù)線路二的用時預計比線路一用時少半小時，列方程即可．
【詳解】設汽車在線路一上行駛的平均速度為xkm/h，則在線路二上行駛的平均速度為km/h，
由題意得：，
故選：D．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關鍵是，讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關系，列出方程．
6．B
【分析】根據(jù)實際施工時工作效率比原計劃提高了列式求解即可得到答案．
【詳解】解：由題意可得，
，
故選B；
【點睛】本題考查分式方程的實際應用，解題的關鍵四找到等量關系式．
7．3
【分析】根據(jù)分式方程的定義：分母里含有字母的方程叫做分式方程進行判斷．
【詳解】解：在方程，，，中，
分式方程有，，，一共有3個．
故答案為：3．
【點睛】本題考查了分式方程的定義，熟記相關定義是解本題的關鍵．
8．
【分析】先將方程兩邊都乘以，將分式方程化為整式方程，再根據(jù)分式有意義的條件得出，以及該分式方程的解小于1，列出不等式，即可求解．
【詳解】解：兩邊都乘以，得，
移項，得：，
合并同類項，得：，
化系數(shù)為1，得：，
∵，
∴，解得：，
∵該分式方程的解小于1，
∴，解得：，
綜上：a的取值范圍是．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了解分式方程，解一元一次不等式，解題的關鍵是掌握解分式方程的方法和步驟，以及分式有意義的條件：分母不為0．
9．且
【分析】先去分母，將分式方程化為整式方程求解，根據(jù)解為正數(shù)和分式有意義的條件，列出不等式求出解集即可．
【詳解】解：，
去分母，得：，
移項，得：，
化系數(shù)為1，得：，
∵方程解為正數(shù)，
∴，解得：，
∵，解得：，
∴，解得：，
∴m的取值范圍為且．
故答案為∶且．
【點睛】本題主要考查了解分式方程，解題的關鍵是掌握解分式方程的方法和步驟，以及分式有意義的條件：分母不為0．
10．或
【分析】根據(jù)分式方程無解的兩種情況①分母為0，②未知數(shù)系數(shù)為0的得出答案．
【詳解】解：分式方程去分母得：
，
當時，分母為零，原分式方程無解，故；
當時，原分式方程無解，故．
故答案為或．
【點睛】本題考查了分式方程無解的內容，其中對分式方程未知數(shù)系數(shù)為0也是無解的一種情況是解題的關鍵．
11．
【分析】設原計劃每天生產(chǎn)x套零配件，根據(jù)“生產(chǎn)3天后改進了技術，結果每天比原計劃多生產(chǎn)4套并提前6天完成生產(chǎn)任務”列出方程即可．
【詳解】解：設原計劃每天生產(chǎn)x套零配件，根據(jù)題意可得，
，
故答案為：
【點睛】此題考查了分式方程的應用，讀懂題意，找到等量關系正確列出方程是解題的關鍵．
12．
【分析】根據(jù)兩種連環(huán)畫單價間的關系，可得出每套《三國演義》連環(huán)畫的價格為元，利用數(shù)量=總價÷單價，結合用4800元購買《水滸傳》連環(huán)畫的套數(shù)是用3600元購買《三國演義》連環(huán)畫套數(shù)的2倍，即可得出關于x的分式方程，此題得解．
【詳解】根據(jù)題意得：．
故答案為：．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．
13．
【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
【詳解】解：去分母，得
．
解得．
經(jīng)檢驗，是原方程的解．
所以原方程的解是．
【點睛】本題考查解分式方程，掌握解方程的步驟正確計算是解題關鍵，注意分式方程的結果要進行檢驗．
14．(1)；
(2)分式方程無解．
【分析】（）方程兩邊同時乘以，化為整式方程，求出方程的根并檢驗即可得出答案；
（）去分母化為整式方程，求出方程的根并檢驗即可得出答案．
【詳解】（1）解：，
，
，
，
檢驗：當 時，，
∴原分式方程的解是：；
（2）解：，
，
，
，
檢驗：當時，，
∴原分式方程無解．
【點睛】此題考查了解分式方程，熟練掌握分式方程的解法，切勿遺漏對根的檢驗是解題的關鍵．
15．或
【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，由分式方程增根求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【詳解】解：，
去分母得，
當，即或時，分式方程有增根，
當時，，解得；
當時，，解得；
故m的值是或，
故答案為：或．
【點睛】此題考查了分式方程的解，弄清分式方程增根的條件是解本題的關鍵．
16．(1)；
(2)且．
【分析】（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，把分式方程化為整式方程，再根據(jù)分式方程的增根就是使最簡公分母等于0的未知數(shù)的值求出的x的值，然后代入進行計算即可求出的值；
（2）解分式方程得，根據(jù)方程的解為正數(shù)得出，且，解不等式即可得出答案．
【詳解】（1）解：方程兩邊都乘以得，
，
分式方程有增根，
，
解得，
，
解得；
（2）解：方程兩邊都乘以得，
，
解得，
方程的根為正數(shù)，
，且
∴且．
【點睛】本題考查了分式方程解的情況，將分式方程化為整式方程是解題的關鍵．
17．筆袋和筆記本的價格分別為7元和4元
【分析】設每個筆記本的價格為元，則每個筆袋的價格為元，根據(jù)題意用200元購買筆記本的數(shù)量與用350元購買筆袋的數(shù)量相同，列出方程求解即可．
【詳解】解：設每個筆記本的價格為元，則每個筆袋的價格為元．
由題意得，解得，
經(jīng)檢驗，是分式方程的解，
所以，，
故筆袋和筆記本的價格分別為7元和4元．
【點睛】本題主要考查了分式方程的應用，讀懂題意找到等量關系列出方程是解題關鍵．
18．選擇新能源，見解析
【分析】根據(jù)燃油車的每千米行駛費用比新能源車多元建立方程，解方程可得的值，據(jù)此計算比較即可得．
【詳解】解：新能源車的每千米行駛費用為元，
依題意得，
解得，
經(jīng)檢驗，是原方程的解且符合題意，
燃油車：元/千米，元，
新能源：元/千米，元，
∵，
∴選擇新能源．
【點睛】本題考查了分式方程的應用，正確建立方程是解題關鍵．
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