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3.2直線與雙曲線的位置關(guān)系（第一課時）
班級 姓名
【學習目標】
1.能正熟練使用直接法、待定系數(shù)法、定義法求雙曲線的方程；
2.能熟練運用幾何性質(zhì)（如范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線）解決相關(guān)問題；
3.能夠把直線與雙曲線的位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為方程組解的問題，判斷位置關(guān)系及解決相關(guān)問題.
【自學天地】
知識點1 直線與雙曲線的位置關(guān)系
將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.
若即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；
若即，
①Δ＞ 直線和雙曲線相交直線和雙曲線相交，有兩個交點；
②Δ＝ 直線和雙曲線相切直線和雙曲線相切，有一個公共點；
③Δ＜ 直線和雙曲線相離直線和雙曲線相離，無公共點．
知識點2 等軸雙曲線
直線與雙曲線的相交弦
設(shè)直線交雙曲線于點兩點，則
P1P2 ==
這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：
問題：x1 x2 滿足什么樣的關(guān)系，直線與雙曲線相交于同一支？
題型 1　直線與雙曲線的公共點
例1．已知雙曲線，直線，試確定實數(shù)k的取值范圍，使：
(1)直線l與雙曲線有兩個公共點；
(2)直線l與雙曲線有且只有一個公共點；
(3)直線l與雙曲線沒有公共點．
題型2 交點與弦長
例2（1）已知直線y＝ax＋1與雙曲線3x2－y2＝1相交于A, B兩點，當a為何值時，點A, B在雙曲線的同一支上？當a為何值時，點A, B分別在雙曲線的兩支上？
過點且與雙曲線有且只有一個公共點的直線有幾條？分別求出它們的方程.
已知雙曲線，直線過右焦點，且傾斜角為，與雙曲線交于，兩點，試問，兩點是否位于雙曲線的同一支上？并求弦的長．
（4）已知雙曲線C：（a> 0，b> 0）的離心率為，實軸長為2.
(1)求雙曲線的焦點到漸近線的距離；
(2)若直線y=x+m被雙曲線C截得的弦長為，求m的值.
題型 3　中點弦問題
例3 已知雙曲線的方程為．
（1）求以為中點的雙曲線的弦所在直線的方程．
（2）過點能否作直線l，使直線l與所給雙曲線交于，兩點，且點B是弦的中點？如果直線l存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由.
【課堂小練】
已知雙曲線的右焦點為，左、右頂點分別為、，點是雙曲線上異于左、右頂點的一點，則下列說法正確的是（ ）
A．過點有且僅有條直線與雙曲線有且僅有一個交點
B．點關(guān)于雙曲線的漸近線的對稱點在雙曲線上
C．若直線、的斜率分別為、，則
D．過點的直線與雙曲線交于、兩點，則的最小值為
答案
例1．(1)或或；
(2)或
(3)或
【詳解】（1）聯(lián)立，
消整理得，（*）
因為直線l與雙曲線C有兩個公共點，
所以，整理得
解得： 或或.
（2）當即時，直線l與雙曲線的漸近線平行，
方程（*）化為，故方程（*）有唯一實數(shù)解，
即直線與雙曲線相交，有且只有一個公共點，滿足題意．
當時， 因為直線l與雙曲線C僅有一個公共點，
則，解得；
綜上，或.
（3）因為直線l與雙曲線C沒有公共點，
所以，
解得： 或.
例2（1）若點A, B在雙曲線的同一支上，或；若點A, B分別在雙曲線的兩支上，.
【詳解】聯(lián)立得.
由題意知
解得且.
若點A, B在雙曲線的同一支上，則>0，
解得或，
所以或
若點A, B分別在雙曲線的兩支上，則，
解得.
例2（2）兩條，和
【分析】若直線的斜率不存在，可得直線方程為滿足條件；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入到雙曲線方程，分二次項系數(shù)為0和判別式等于0討論可得答案.
【詳解】若直線的斜率不存在，
則直線方程為，此時僅有一個交點，滿足條件，
若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
則，代入到雙曲線方程，得，
所以，
當時，方程無解，不滿足條件；
當時，方程有一解，滿足條件；
當時，令，
化簡后知方程無解，所以不滿足條件.
所以滿足條件的直線有兩條，直線方程分別為和.

例2（3），兩點不在雙曲線的同一支上,
【詳解】解：雙曲線方程可化為，
故，，，∴.∴，
又直線的傾斜角為，∴直線的斜率，
∴直線的方程為，代入雙曲線方程，得.
設(shè)，，∵，
∴，兩點不在雙曲線的同一支上．
∵，，
∴
.
例2（4）．(1)
(2)
【詳解】（1）雙曲線離心率為，實軸長為2，
，，解得，，
，
所求雙曲線C的方程為；
∴雙曲線C的焦點坐標為，漸近線方程為，即為，
∴雙曲線的焦點到漸近線的距離為.
（2）設(shè),,
聯(lián)立，，，
，．
，
，
解得．
例3（1）；（2）不存在，理由見解析.
【詳解】（1）因為點在雙曲線內(nèi)，
所以過點A不與漸近線平行的直線一定與雙曲線有兩個交點．
設(shè)以為中點的弦的兩端點為，，
則有，．
根據(jù)雙曲線的對稱性知．由點，在雙曲線上，得
，，
兩式相減得，
所以，所以，
即以為中點的弦所在直線的斜率，
故所求中點弦所在直線的方程為，即．
（2）假定直線l存在，采用（1）的方法求出直線l的方程為，
即．由，消去y得，
，無實根，
因此直線l與雙曲線無交點，故滿足條件的直線l不存在．
課堂小練
BC
【分析】根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系可判斷出A選項；求出點關(guān)于雙曲線的漸近線的對稱點的坐標，再將點的坐標帶入雙曲線的方程，可判斷B選項；利用點差法可判斷C選項；求出當直線的斜率為時的值，可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，過點垂直于軸的直線、平行于漸近線的直線與雙曲線有且僅有一個交點，所以至少有條，故A錯誤；
對于B選項，易得，雙曲線的一條漸近線方程為，
設(shè)點關(guān)于的對稱點為，
則，解得，所以，
又，即點在雙曲線上，故B正確；
設(shè)，所以，即，
所以，故C正確；
當直線的斜率為時，，故D錯誤．
故選：BC.

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