資源簡介

解析幾何
橢圓 學案
思維導圖
基礎夯實
【核心知識整合】
考點1：橢圓的定義及標準方程
1.定義
平面內與兩個定點的距離的和等于常數（大于）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.
注意：若，則動點的軌跡是線段，若，則動點的軌跡不存在.
2.標準方程
（1）中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓的標準方程為.
（2）中心在坐標原點，焦點在y軸上的橢圓的標準方程為.
3.焦點三角形
（1）P是橢圓上不同于長軸兩端點的任意一點，為橢圓的兩焦點，則，其中
（2）P是橢圓上不同于長軸兩端點的任意一點，為橢圓的兩焦點，則的周長為.
（3）過焦點的弦AB與橢圓另一個焦點構成的的周長為4a.
考點2：橢圓的幾何性質
標準方程
焦點位置及坐標 焦點在x軸上 ， 焦點在y軸上 ，
圖形
范圍 ， ，
對稱性 關于x軸、y軸對稱，關于原點對稱
頂點坐標 ，， ， ，， ，
長、短軸長 長軸長，短軸長
離心率
考點3：直線與橢圓的位置關系
1.直線與橢圓的位置關系的判斷
把橢圓方程與直線方程聯立消去y，整理成的形式，則：
直線與橢圓的位置關系
直線與橢圓相交，有兩個公共點
直線與橢圓相切，有一個公共點
直線與橢圓相離，無公共點
2.弦長公式
設直線l：與橢圓交于.
則，，
.
探究訓練
[典型例題]
1.已知橢圓的左、右焦點分別為，，P為橢圓C上一點，若的周長為18，長半軸長為5，則橢圓C的離心率為( )
A. B. C. D.
2.已知過原點O的直線l與橢圓相交于點A，B，點P是橢圓C上異于點A，B的動點，直線PA，PB的斜率分別為，，則的值為( )
A. B.
C. D.與點P的位置有關
3.過橢圓的右焦點F的直線l與橢圓交于P，Q兩點，點B為橢圓的右頂點，直線PB，QB分別交直線于M，N兩點，則( )
A.3 B.-3 C.-5 D.5
4.已知橢圓的焦距是2，則m的值是___________.
[變式訓練]
1.設，為橢圓的兩個焦點，若在橢圓C上存在點P，滿足，則實數n的取值范圍為( )
A. B. C. D.
2.已知點P是橢圓上非頂點的動點，分別是橢圓的左、右焦點，O是坐標原點，若M是的平分線上一點，且，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
3.已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為.過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是__________.
素養提升
【規律總結】
1.與橢圓性質有關的最值或取值范圍的求解方法
（1）利用數形結合、幾何意義，尤其是橢圓的性質，求最值或取值范圍.
（2）利用函數，尤其是二次函數求最值或取值范圍.
（3）利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍.
（4）利用一元二次方程的根的判別式求最值或取值范圍.
2.直線與橢圓相交的弦長問題的求法
（1）直線斜率不存在時的弦長問題：若直線斜率不存在，可以直接將直線方程
（一般方程中帶有字母參數）代人橢圓方程，得交點坐標，進而求相交弦問題.直接求解此類問題的情況較少，一般是在求直線方程的有關問題中，分類討論此種情況.注意在解答時不要漏解，同時注意檢驗是否符合題意.
（2）直線斜率存在時的弦長公式：若直線斜率存在，直線方程為，與橢圓的兩個交點為，，則相交弦長[其中A為的系數].解析幾何
橢圓 學案
思維導圖
基礎夯實
【核心知識整合】
考點1：橢圓的定義及標準方程
1.定義
平面內與兩個定點的距離的和等于常數（大于）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.
注意：若，則動點的軌跡是線段，若，則動點的軌跡不存在.
2.標準方程
（1）中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓的標準方程為.
（2）中心在坐標原點，焦點在y軸上的橢圓的標準方程為.
3.焦點三角形
（1）P是橢圓上不同于長軸兩端點的任意一點，為橢圓的兩焦點，則，其中
（2）P是橢圓上不同于長軸兩端點的任意一點，為橢圓的兩焦點，則的周長為.
（3）過焦點的弦AB與橢圓另一個焦點構成的的周長為4a.
考點2：橢圓的幾何性質
標準方程
焦點位置及坐標 焦點在x軸上 ， 焦點在y軸上 ，
圖形
范圍 ， ，
對稱性 關于x軸、y軸對稱，關于原點對稱
頂點坐標 ，， ， ，， ，
長、短軸長 長軸長，短軸長
離心率
考點3：直線與橢圓的位置關系
1.直線與橢圓的位置關系的判斷
把橢圓方程與直線方程聯立消去y，整理成的形式，則：
直線與橢圓的位置關系
直線與橢圓相交，有兩個公共點
直線與橢圓相切，有一個公共點
直線與橢圓相離，無公共點
2.弦長公式
設直線l：與橢圓交于.
則，，
.
探究訓練
[典型例題]
1.已知橢圓的左、右焦點分別為，，P為橢圓C上一點，若的周長為18，長半軸長為5，則橢圓C的離心率為( )
A. B. C. D.
[答案]B
[解析]設焦距為2c.因為的周長為18，所以，所以.因為長半軸長為5，即，所以，所以橢圓C的離心率.故選B.
2.已知過原點O的直線l與橢圓相交于點A，B，點P是橢圓C上異于點A，B的動點，直線PA，PB的斜率分別為，，則的值為( )
A. B.
C. D.與點P的位置有關
[答案]A
[解析]設點，，則點，
，，.
又由題意得，，兩式作差，得，
即，，即.故選A.
3.過橢圓的右焦點F的直線l與橢圓交于P，Q兩點，點B為橢圓的右頂點，直線PB，QB分別交直線于M，N兩點，則( )
A.3 B.-3 C.-5 D.5
[答案]C
[解析]設，顯然直線l的斜率不為0，
設直線l的方程為，代入整理得，
易得恒成立，則，.
由題意得，則直線PB的方程為，
令，可得點，同理可得直線QB的方程得點，所以，
所以
，故選C.
4.已知橢圓的焦距是2，則m的值是___________.
[答案]5
[解析]在橢圓中，，，所以，解得.
[變式訓練]
1.設，為橢圓的兩個焦點，若在橢圓C上存在點P，滿足，則實數n的取值范圍為( )
A. B. C. D.
[答案]A
[解析]由題意，知當點P在橢圓左、右頂點處時最大，所以若橢圓C上存在一點P使，則只需點P在橢圓左、右頂點處時，此時，，即.又，，所以，解得.又，所以.故選A.
2.已知點P是橢圓上非頂點的動點，分別是橢圓的左、右焦點，O是坐標原點，若M是的平分線上一點，且，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
[答案]B
[解析]如圖，延長交的延長線于點G，
，.又PM為的平分線，，M為的中點.又為的中點，.，
，易知，且，.故選B.
3.已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為.過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是__________.
[答案]13
[解析]如圖，連接，，，
因為C的離心率為，所以，所以，所以.因為，所以為等邊三角形，又，所以直線DE為線段的垂直平分線，所以，，且，所以直線DE的方程為，代入橢圓C的方程，得.設，則，則，，所以，解得，所以，所以的周長為.
素養提升
【規律總結】
1.與橢圓性質有關的最值或取值范圍的求解方法
（1）利用數形結合、幾何意義，尤其是橢圓的性質，求最值或取值范圍.
（2）利用函數，尤其是二次函數求最值或取值范圍.
（3）利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍.
（4）利用一元二次方程的根的判別式求最值或取值范圍.
2.直線與橢圓相交的弦長問題的求法
（1）直線斜率不存在時的弦長問題：若直線斜率不存在，可以直接將直線方程
（一般方程中帶有字母參數）代人橢圓方程，得交點坐標，進而求相交弦問題.直接求解此類問題的情況較少，一般是在求直線方程的有關問題中，分類討論此種情況.注意在解答時不要漏解，同時注意檢驗是否符合題意.
（2）直線斜率存在時的弦長公式：若直線斜率存在，直線方程為，與橢圓的兩個交點為，，則相交弦長[其中A為的系數].

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