資源簡介

解析幾何
直線與圓 學案
思維導學
夯實基礎
【核心知識整合】
考點1：直線的傾斜角與斜率
1.當直線l與x軸相交時，以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.
2.直線的傾斜角的取值范圍為.
3.一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率.斜率常用小寫字母k表示，即.傾斜角是90°的直線沒有斜率.
4.如果直線經過兩點，那么斜率公式為.
5.若直線l的斜率為k，它的一個方向向量的坐標為（x，y），則.
6.對于斜率分別為，的兩條直線，，有（1）；（2）.
考點2：直線的方程
1.直線的點斜式方程
（1）方程叫做直線的點斜式方程，簡稱點斜式.
當直線l的傾斜角為0°時，直線l的方程是.
當直線l的傾斜角為90°時，直線l的方程是.
（2）方程叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式.其中，k是直線的斜率，b是直線在y軸上的截距.
（3）對于直線，，且；.
2.直線的兩點式方程
（1）直線的兩點式方程：直線l經過兩點，（其中，），則，這就是直線的兩點式方程，簡稱兩點式.
（2）直線的截距式方程：方程叫做直線的截距式方程，簡稱截距式. 其中a叫做直線在x軸上的截距，b是直線在y軸上的截距.
3.直線的一般式方程
關于x，y的二元一次方程（其中A，B不同時為0）叫做直線的一般式方程，簡稱一般式.
考點3：直線的交點坐標與距離公式
1.兩條直線的交點坐標
設這兩條直線的交點為P，則點P既在直線上，也在直線上.點P的坐標是方程組的解.解這個方程組就可以得到這兩條直線的交點坐標.
2.兩點間的距離公式
（1），兩點間的距離公式.
（2）原點與任一點間的距離.
3.點到直線的距離公式
點到直線的距離
4.兩條平行直線間的距離
（1）兩條平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的公垂線段的長.
（2）兩條平行直線與間的距離為.
考點4：圓的方程
1.圓的標準方程：圓心為，半徑為r的圓的標準方程為.
圓心在坐標原點，半徑為r的圓的標準方程為.
2.點與圓的位置關系：點在圓內，則；在圓外，則.
3.圓的一般方程：. 其中.
考點5：直線與圓的位置關系
1.直線與圓的位置關系的判定
設直線l：，圓C：，d為圓心到直線l的距離，聯立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為.
位置關系 圖形 判斷方法 公共點個數
代數法 幾何法
相交 2
相切 1
相離 0
2.與圓的切線有關的結論
（1）過圓上一點的切線方程為；
（2）過圓上一點的切線方程為；
（3）過圓外一點作圓的兩條切線，切點為A,B,則過A,B兩點的直線方程為；
（4）過圓外一點引圓的切線，切點為T,則切線長.
3.直線與圓相交
直線與圓相交時，若l為弦長，d為弦心距，r為半徑，則有，即，即，求弦長或已知弦長求其他量時，一般用此公式.
考點6：圓與圓的位置關系
1.圓與圓的位置關系
設兩圓的圓心距為d，兩圓的半徑分別為，則
位置關系 外離 外切 相交 內切 內含
圖形
公共點個數 0 1 2 1 0
D，R，r的關系
公切線條數 4 3 2 1 0
2.兩圓相交時，公共弦所在直線的方程
設圓:,圓：，若兩圓相交，則有一條公共弦，兩圓方程相減得，即圓與的公共弦所在直線的方程.
探究訓練
[典型例題]
1.點到直線的距離為( )
A.2 B. C.1 D.
[答案]B
[解析]由點到直線的距離公式，得.故選B.
2.設圓，圓，則圓，的公切線有( )
A.1條 B.2條 C.3條 D.4條
[答案]B
[解析]由題意得，圓，則圓心為；圓，則圓心為.，圓與相交，圓，有2條公切線.故選B.
3.（多選）已知動直線與圓相交于A，B兩點，則下列說法正確的是( )
A.直線l過定點 B.圓C的圓心坐標為
C.弦AB的最小值為 D.弦AB的最大值為4
[答案]ACD
[解析]對于A，直線，即.令解得則直線l過定點，故A正確.對于B，圓，即，圓心坐標為，故B錯誤.對于C，因為，所以直線l所過定點在圓的內部.因為，所以弦AB的最小值為，故C正確.對于D，弦AB的最大值為圓C的直徑4，故D正確.選ACD.
[變式訓練]
1.在中，已知點，，且AC邊的中點M在y軸上，BC邊的中點N在x軸上，則直線MN的方程為( )
A. B.
C. D.
[答案]A
[解析]設，，.因為，，所以且解得，，，，則，，，所以直線MN的方程為，即.故選A.
2.直線分別與x軸、y軸交于A，B兩點，點P在圓上，則面積的取值范圍是( )
A. B. C. D.
[答案]A
[解析]由直線得，，所以.因為圓的圓心為，所以圓心到直線的距離為，所以點P到直線的距離的取值范圍為，即，所以.故選A.
3.已知圓，圓，則兩圓的公共弦長為__________.
[答案]
[解析]將兩圓方程相減，得兩圓公共弦所在的直線方程為.易知圓的圓心坐標為，半徑.又點到公共弦的距離，所以兩圓的公共弦長為.
素養提升
【規律總結】
1.與圓有關的軌跡方程問題的求解方法
（1）直接法：當題目條件中含有與動點有關的等式時，可設出動點的坐標，用坐標表示等式，直接求解軌跡方程.
（2）定義法：當題目條件符合圓的定義時，可直接利用定義確定其圓心和半徑，寫出圓的方程.
（3）代入法：當題目條件中已知某動點的軌跡方程，而要求的點與該動點有關時，常找出要求的點與動點的關系，代入動點滿足的關系式求軌跡方程.
2.圓與圓有關問題的解題方法
（1）判斷兩圓位置關系的方法：常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差的絕對值的關系，一般不用代數法.
（2）兩圓公共弦長的求法：兩圓公共弦長，在其中一圓中，由弦心距d，半弦
長，半徑r所在線段構成直角三角形，利用勾股定理求解.
（3）兩圓的公切線問題的求法：在求兩圓的公切線方程時，首先要判斷兩圓的位置關系，以確定公切線的條數，從而防止漏解；其次，應注意公切線的幾何性質，得出最佳解法.解析幾何
直線與圓 學案
思維導學
夯實基礎
【核心知識整合】
考點1：直線的傾斜角與斜率
1.當直線l與x軸相交時，以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.
2.直線的傾斜角的取值范圍為.
3.一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率.斜率常用小寫字母k表示，即.傾斜角是90°的直線沒有斜率.
4.如果直線經過兩點，那么斜率公式為.
5.若直線l的斜率為k，它的一個方向向量的坐標為（x，y），則.
6.對于斜率分別為，的兩條直線，，有（1）；（2）.
考點2：直線的方程
1.直線的點斜式方程
（1）方程叫做直線的點斜式方程，簡稱點斜式.
當直線l的傾斜角為0°時，直線l的方程是.
當直線l的傾斜角為90°時，直線l的方程是.
（2）方程叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式.其中，k是直線的斜率，b是直線在y軸上的截距.
（3）對于直線，，且；.
2.直線的兩點式方程
（1）直線的兩點式方程：直線l經過兩點，（其中，），則，這就是直線的兩點式方程，簡稱兩點式.
（2）直線的截距式方程：方程叫做直線的截距式方程，簡稱截距式. 其中a叫做直線在x軸上的截距，b是直線在y軸上的截距.
3.直線的一般式方程
關于x，y的二元一次方程（其中A，B不同時為0）叫做直線的一般式方程，簡稱一般式.
考點3：直線的交點坐標與距離公式
1.兩條直線的交點坐標
設這兩條直線的交點為P，則點P既在直線上，也在直線上.點P的坐標是方程組的解.解這個方程組就可以得到這兩條直線的交點坐標.
2.兩點間的距離公式
（1），兩點間的距離公式.
（2）原點與任一點間的距離.
3.點到直線的距離公式
點到直線的距離
4.兩條平行直線間的距離
（1）兩條平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的公垂線段的長.
（2）兩條平行直線與間的距離為.
考點4：圓的方程
1.圓的標準方程：圓心為，半徑為r的圓的標準方程為.
圓心在坐標原點，半徑為r的圓的標準方程為.
2.點與圓的位置關系：點在圓內，則；在圓外，則.
3.圓的一般方程：. 其中.
考點5：直線與圓的位置關系
1.直線與圓的位置關系的判定
設直線l：，圓C：，d為圓心到直線l的距離，聯立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為.
位置關系 圖形 判斷方法 公共點個數
代數法 幾何法
相交 2
相切 1
相離 0
2.與圓的切線有關的結論
（1）過圓上一點的切線方程為；
（2）過圓上一點的切線方程為；
（3）過圓外一點作圓的兩條切線，切點為A,B,則過A,B兩點的直線方程為；
（4）過圓外一點引圓的切線，切點為T,則切線長.
3.直線與圓相交
直線與圓相交時，若l為弦長，d為弦心距，r為半徑，則有，即，即，求弦長或已知弦長求其他量時，一般用此公式.
考點6：圓與圓的位置關系
1.圓與圓的位置關系
設兩圓的圓心距為d，兩圓的半徑分別為，則
位置關系 外離 外切 相交 內切 內含
圖形
公共點個數 0 1 2 1 0
D，R，r的關系
公切線條數 4 3 2 1 0
2.兩圓相交時，公共弦所在直線的方程
設圓:,圓：，若兩圓相交，則有一條公共弦，兩圓方程相減得，即圓與的公共弦所在直線的方程.
探究訓練
[典型例題]
1.點到直線的距離為( )
A.2 B. C.1 D.
2.設圓，圓，則圓，的公切線有( )
A.1條 B.2條 C.3條 D.4條
3.（多選）已知動直線與圓相交于A，B兩點，則下列說法正確的是( )
A.直線l過定點 B.圓C的圓心坐標為
C.弦AB的最小值為 D.弦AB的最大值為4
[變式訓練]
1.在中，已知點，，且AC邊的中點M在y軸上，BC邊的中點N在x軸上，則直線MN的方程為( )
A. B.
C. D.
2.直線分別與x軸、y軸交于A，B兩點，點P在圓上，則面積的取值范圍是( )
A. B. C. D.
3.已知圓，圓，則兩圓的公共弦長為__________.
素養提升
【規律總結】
1.與圓有關的軌跡方程問題的求解方法
（1）直接法：當題目條件中含有與動點有關的等式時，可設出動點的坐標，用坐標表示等式，直接求解軌跡方程.
（2）定義法：當題目條件符合圓的定義時，可直接利用定義確定其圓心和半徑，寫出圓的方程.
（3）代入法：當題目條件中已知某動點的軌跡方程，而要求的點與該動點有關時，常找出要求的點與動點的關系，代入動點滿足的關系式求軌跡方程.
2.圓與圓有關問題的解題方法
（1）判斷兩圓位置關系的方法：常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差的絕對值的關系，一般不用代數法.
（2）兩圓公共弦長的求法：兩圓公共弦長，在其中一圓中，由弦心距d，半弦
長，半徑r所在線段構成直角三角形，利用勾股定理求解.
（3）兩圓的公切線問題的求法：在求兩圓的公切線方程時，首先要判斷兩圓的位置關系，以確定公切線的條數，從而防止漏解；其次，應注意公切線的幾何性質，得出最佳解法.

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