資源簡介

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4.5.2用二分法求方程的近似解
班級 姓名
學習目標
1、根據具體函數圖象，能夠借助計算器用二分法求相應方程的近似解；
2、通過用二分法求方程的近似解，使學生體會函數零點與方程根之間的聯系，初步形成用函數觀點處理問題的意識.
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊的內容 知識點1　二分法的定義對于在區間[a，b]上圖象 且 的函數y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所在區間 ，使所得區間的兩個端點逐步逼近 ，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．【即時訓練1】(1)已知函數f(x)的圖象如圖所示，其中零點的個數與可以用二分法求解的個數分別為(　　)A．4,4　　 　 B．3,4　　 　C．5,4　　 　 D．4,3(2)下列函數中不能用二分法求零點近似值的是(　　)A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ln x
閱讀教材，完成右邊的內容 知識點2　二分法求函數零點近似值的步驟(1)確定零點x0的初始區間[a，b]，驗證f(a)f(b)＜0.(2)求區間(a，b)的中點c.(3)計算f(c)，并進一步確定零點所在的區間：①若f(c)＝0(此時x0＝c)，則c就是函數的零點；②若f(a)f(c)＜0(此時x0∈(a，c))，則令b＝c；③若f(c)f(b)＜0(此時x0∈(c，b))，則令a＝c.(4)判斷是否達到精確度ε：若|a－b|＜ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復步驟(2)～(4)．【即時訓練2】(1)用二分法求函數f(x)＝x3＋5的零點可以取的初始區間是(　　)A．[－2，－1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2](2)在用“二分法”求函數f(x)零點近似值時，第一次所取的區間是[－2,4]，則第三次所取的區間可能是( )A．[1,4] B．[－2,1]C. D.
二分法的運用 【即時訓練3】若函數f(x)＝x3＋x2－2x－2的一個正數零點附近的函數值用二分法計算，其參考數據如下：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.437 5)＝0.162f(1.406 25)＝－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一個近似根(精確度為0.05)可以是(　　)A．1.25 B．1.375C．1.42 D．1.5
用二分法求方程的近似解 【即時訓練4】用二分法求2x＋x＝4在區間(1,2)內的近似解(精確度為0.2)．參考數據：x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67【變式訓練】用二分法求方程x2－2x－1＝0的一個大于零的近似解(精確度為0.1)．
課后作業
一、基礎訓練題
1．下列圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求函數零點的是(　　)
2．下列函數不宜用二分法求零點的是(　　)
A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝ln x＋3
C．f(x)＝x2＋2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1
3．設f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方 ( http: / / www.21cnjy.com )程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)內近似解的過程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，則方程的根落在區間(　　)2·1·c·n·j·y
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)w C．(1.5,2) D．不能確定
4．已知函數y＝f(x)的圖象是連續不間斷的，x，f(x)對應值表如下：
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 12.04 13.89 －7.67 10.89 －34.76 －44.67
則函數y＝f(x)存在零點的區間有(　　)
A．區間[1,2]和[2,3] B．區間[2,3]和[3,4]
C．區間[2,3]和[3,4]和[4,5] D．區間[3,4]和[4,5]和[5,6]
5．某方程在區間(2,4)內有一實根，若用二分法求此根的近似值，將此區間分(　　)次后，所得近似值的精確度可達到0.1.21·世紀*教育網
A．2 B．3
C．4 D．5
6．若函數f(x)的圖象是連續不間斷的，根據下面的表格，可以斷定f(x)的零點所在的區間為________．(只填序號)m
①(－∞，1]　②[1,2]　③[2,3]　④[3,4] ⑤[4,5]　⑥[5,6]　⑦[6，＋∞)
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 136.123 15.542 －3.930 10.678 －50.667 －305.678
7．用“二分法”求方程x3－2x－5＝0在區間[2,3]內的實根，取區間中點為x0＝2.5，那么下一個有根的區間是________．21cnjy.com
8．在用二分法求方程f(x)＝0在[ ( http: / / www.21cnjy.com )0,1]上的近似解時，經計算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一個近似解為____________(精確度為0.1)．
9．已知方程2x＋2x＝5.
(1)判斷該方程解的個數以及所在區間；
(2)用二分法求出方程的近似解(精確度0.1)．
參考數值：
x 1.187 5 1.125 1.25 1.312 5 1.375 1.5
2x 2.278 2.181 2.378 2.484 2.594 2.83
10．已知函數f(x)＝x|x－4|.
(1)畫出函數f(x)＝x|x－4|的圖象；(2)求函數f(x)在區間[1,5]上的最大值和最小值；
(3)當實數a為何值時，方程f(x)＝a有三個解？
二、綜合訓練題
11．已知x0是函數f(x)＝2x＋的一個零點．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，則(　　)
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>02 1 C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0紀*教育網
12．某同學在借助計算器求“方程lgx＝2－x的近似解(精確度為0.1)”時，設f(x)＝lgx＋x－2，算得f(1)＜0，f(2)＞0；在后邊過程中，他又用“二分法”取了四個x的值，計算了其函數值的正負，并得出判斷：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的四個值依次是 w
13．利用計算器，列出自變量和函數值的對應值如下表：
x －1.6 －1.4 －1.2 －1 －0.8 －0.6 －0.4 －0.2 0 …
y＝2x 0.3298 0.3789 0.4352 0.5 0.5743 0.6597 0.7578 0.8705 1 …
y＝x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0 …
若方程2x＝x2有一個根位于區間(a，a＋0.4)(a在表格中第一欄里的數據中取值)，則a的值為________．21世紀教育網版權所有
三、能力提升題
14．當a取何值時，方程ax2－2x＋1＝0的一個根在(0,1)上，另一個根在(1,2)上．
4.5.2用二分法求方程的近似解
參考答案
1、[答案]　A　
[解析]　由選項A中的圖象可知，不存在一個區間(a，b)，使f(a)·f(b)<0，即A選項中的零點不是變號零點，不符合二分法的定義．
2、[答案]　C
[解析]　因為f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0，不存在小于0的函數值，所以不能用二分法求零點．
3、[答案]　B　
[解析]　∵f(1)·f(1.5)<0，x1＝＝1.25.又∵f(1.25)<0，∴f(1.25)·f(1.5)<0，
則方程的根落在區間(1.25,1.5)內．
4、[答案]　C
5、[答案]　D
[解析]　等分1次，區間長度為1，等 ( http: / / www.21cnjy.com )分2次，區間長度變為0.5，…，等分4次，
區間長度變為0.125，等分5次，區間長度為0.0625<0.1，符合題意，故選D.
6．[答案]　③④⑤
7、[答案]　[2,2.5)
[解析]　令f(x)＝x3－2x－5，則f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，
f(2.5)＝15.625－10＝5.625>0.
∵f(2)·f(2.5)<0，∴下一個有根的區間為[2,2.5)．
8、[答案]　0.75或0.687 5
[解析]　因為|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，
所以0.75或0.687 5都可作為方程的近似解．
9、解　(1)令f(x)＝2x＋2x－5.因為函數f(x)＝2x＋2x－5在R上是增函數，
所以函數f(x)＝2x＋2x－5至多有一個零點．
因為f(1)＝21＋2×1－5＝－1<0，f(2)＝22＋2×2－5＝3>0，
所以函數f(x)＝2x＋2x－5的零點在(1,2)內．
(2)用二分法逐次計算，列表如下：
區間 中點的值 中點函數值符號
(1,2) 1.5 f(1.5)>0
(1,1.5) 1.25 f(1.25)<0
(1.25,1.5) 1.375 f(1.375)>0
(1.25,1.375) 1.312 5 f(1.312 5)>0
(1.25,1.312 5)
因為|1.375－1.25|＝0.125>0.1，且|1.312 5－1.25|＝0.062 5<0.1，
所以函數的零點近似值為1.312 5，即方程2x＋2x＝5的近似解可取為1.312 5.
10、解　(1)f(x)＝x|x－4|＝
圖象如右圖所示．
(2)當x∈[1,5]時，f(x)≥0且當x＝4時f(x)＝0，故f(x)min＝0；
又f(2)＝4，f(5)＝5，故f(x)max＝5.
(3)由圖象可知，當0方程f(x)＝a有三個解．
11、[答案]　B　
[解析]　∵f(x)＝2x－，f(x)由兩部分組成，2x在(1，＋∞)上單調遞增，
－在(1，＋∞)上單調遞增，
∴f(x)在(1，＋∞)上單調遞增．
∵x1又∵x2>x0，∴f(x2)>f(x0)＝0.]
12、[答案]　1.5,1.75,1.875,1.8125
[解析]　第一次用二分法計算得區間( ( http: / / www.21cnjy.com )1.5,2)，第二次得區間(1.75,2)，
第三次得區間(17.5,1.875)，第四次得區間(1.75,1.8125)．
13、[答案]　－1或－0.8
[解析]　令f(x)＝2x－x2，由表中的數據可得f(－1)＜0，f(－0.6)＞0；
f(－0.8)＜0，f(－0.4)＞0，com
∴根在區間(－1，－0.6)與(－0.8，－0.4)內，
∴a＝－1或a＝－0.8.
14、解　①當a＝0時，方程即為－2x＋1＝0，只有一根，不符合題意．
②當a>0時，設f(x)＝ax2－2x＋1，
∵方程的根分別在區間(0,1)，(1,2)上，
∴，即，解得③當a<0時，設方程的兩根為x1，x2，
則x1x2＝<0，x1，x2一正一負不符合題意．
綜上，a的取值范圍為21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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