資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
4.5.1函數的零點與方程的解（二）
班級 姓名
學習目標
熟練運用零點存在的判定定理；
掌握利用函數的圖像解決方程的根的問題。
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
復習 復習1、函數零點的定義對于函數y＝f(x) (x∈D)，把使 的實數x叫做函數y＝f(x) (x∈D)的零點．復習2、幾個等價關系方程f(x)＝0有實數根 函數y＝f(x)的圖象與 有交點 函數y＝f(x)有 復習3、函數零點的判定(零點存在性定理)如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有 ，那么，函數y＝f(x)在區間 內有零點，即存在c∈(a，b)，使得 ，這個 也就是方程f(x)＝0的根．
函數零點存在定理的運用 【例1】(1)已知函數，則下列區間中含零點的是( )A． B． C． D．(2)函數的一個零點在區間內，則實數的取值范圍是( )A． B． C． D．(3)若則函數的兩個零點分別位于區間( ) A．和內 B． 和內 C．和內 D．和內
函數零點個數的判定 【例2】(1)函數零點的個數為( )A． B． C． D．(2)已知函數是定義在上的奇函數，且當時，，則函數的零點個數是( )A．1 B．2 C．3 D．4
零點中的參數問題 【例3】(1)若函數的圖象與x軸有公共點，則m的取值范圍是( ) m≤－1 B．－1≤m<0 C．m≥1 D．0思考探究 【思考題】若函數，函數的零點個數是___________.
課后作業
一、基礎訓練題
1．(多選題)下列函數不存在零點的是(　　)
A．y＝x－ B．y＝
C．y＝logax2(a>0且a≠1) D．y＝
2．函數f(x)＝log3x－8＋2x的零點一定位于區間(　　)
A．(5,6) B．(3,4)
C．(2,3) D．(1,2)
3．已知函數y＝f(x)的圖象是連續不斷的曲線，且有如下的對應值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6
則函數y＝f(x)在區間[1,6]上的零點至少有(　　)
A．2個 B．3個
C．4個 D．5個
4．設函數f(x)＝x－ln x，則函數y＝f(x)(　　)
A．在區間，(1，e)內均有零點 B．在區間，(1，e)內均無零點
C．在區間內有零點，在區間(1，e)內無零點
D．在區間內無零點，在區間(1，e)內有零點
5．函數f(x)＝的零點個數為(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
6．若函數f(x)＝x＋(a∈R)在區間(1,2)上有零點，則a的值可能是(　　)
A．－2　　　　　 B．0
C．1 D．3
7．函數f(x)＝的零點是________．
8．函數f(x)＝x2－2x在R上的零點個數是________．
9．已知函數.
(1)用單調性的定義證明：f(x)在定義域上是單調函數；
(2)證明：f(x)有零點；
(3)設f(x)的零點x0落在區間內，求正整數n的值．
二、綜合訓練題
10．設函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f(x)＝ex＋x－3，則f(x)的零點個數為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
11．若函數f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點，則實數b的取值范圍是________．
12．函數f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四個不同的零點，實數a的取值范圍是________．
三、能力提升題
13．已知函數f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個零點，則a的取值范圍是(　　)
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
14．已知函數f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)當a＝1時，求函數f(x)的零點；
(2)若函數f(x)有零點，求實數a的取值范圍．
4.5.1函數的零點與方程的解（二）
參考答案
1、【答案】BD
【解析】令y＝0，得選項A和C中的函數的零點均為1和－1；只有BD中函數無零點．
2、【答案】B
【解析】f(3)＝log33－8＋2×3＝－1<0，f(4)＝log34－8＋2×4＝log34>0.
又因為f(x)在(0，＋∞)上為增函數，所以其零點一定位于區間(3,4)．
3、【答案】B　
【解析】∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，故函數f(x)在區間[1,6]內至少有3個零點．
4、【答案】D
【解析】法一：(圖象法)令f(x)＝0得x＝ln x．
作出函數y＝x和y＝ln x的圖象，
如圖，顯然y＝f(x)在內無零點，在(1，e)內有零點．
法二：(定理法)當x∈時，函數圖象是連續的，且在上單調遞減．
又f＝＋1＞0，f(1)＝＞0，f(e)＝e－1＜0，
所以函數有唯一的零點在區間(1，e)內．
5、【答案】D　
【解析】畫出函數y＝ln x與y＝x2－2x的圖象(如圖)，
可知兩個函數的圖象有兩個交點，
當x≤0時，函數f(x)＝2x＋1與x軸只有一個交點，
綜上，函數f(x)有3個零點.
6、【答案】A
【解析】f(x)＝x＋(a∈R)的圖象在(1,2)上是連續不斷的，逐個選項代入驗證，
當a＝－2時，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在區間(1,2)上有零點，
同理，其他選項不符合.
7、【答案】1或2
【解析】令f(x)＝0，即＝0，即x－2＝0或ln x＝0，∴x＝2或x＝1.
8、【答案】3
【解析】函數f(x)＝x2－2x的零點個數，等價于函數y＝2x，y＝x2的圖象交點個數．
如圖，畫出函數y＝2x，y＝x2的大致圖象．
由圖象可知有3個交點，即f(x)＝x2－2x有3個零點．
9、解 (1)證明：顯然，f(x)的定義域為(0，＋∞)．
任取x1，x2∈(0，＋∞)，不妨設x10，x1x2>0，
則－＝>0，logx1>logx2，則logx1－logx2>0，
所以f(x1)－f(x2)＝(logx1－logx2)＋>0，所以f(x1)>f(x2)．
故f(x)在定義域(0，＋∞)上是減函數．
(2)證明：因為f(1)＝0＋－＝－8<0，f＝4＋8－＝>0，所以f(1)·f<0，
又因為f(x)在區間上是連續的，所以f(x)有零點．
(3)f ＝log＋－＝log211－3>log28－3＝0，
f ＝log＋5－＝log210－＝log25－＝log2－log2<0，
所以f f <0，所以f(x)的零點x0落在區間內．故n＝10.
10、【答案】C
【解析】因為函數f(x)是定義域為R的奇函數，所以f(0)＝0，
即x＝0是函數f(x)的1個零點．
當x＞0時，令f(x)＝ex＋x－3＝0，則ex＝－x＋3，
分別畫出函數y＝ex和y＝－x＋3的圖象，
如圖所示，兩函數圖象有1個交點，所以函數f(x)有1個零點．
根據對稱性知，當x＜0時，函數f(x)也有1個零點．
綜上所述，f(x)的零點個數為3.
11、【答案】0【解析】由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝B．
在同一平面直角坐標系中畫出y＝|2x－2|與y＝b的圖象，
如圖所示，則當0從而函數f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點．
12、【答案】1【解析】由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，
因為函數f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四個不同的零點，
所以函數y＝a－1與y＝2|x|－x2的圖象有四個交點，
畫出函數y＝2|x|－x2的圖象，如圖所示，
觀察圖象可知，013、【答案】C
【解析】函數g(x)＝f(x)＋x＋a存在2個零點，
即關于x的方程f(x)＝－x－a有2個不同的實根，
即函數f(x)的圖象與直線y＝－x－a有2個交點，
作出直線y＝－x－a與函數f(x)的圖象，
如圖所示，由圖可知，－a≤1，解得a≥－1，故選C.
14、【解析】 (1)當a＝1時，f(x)＝2·4x－2x－1.
令f(x)＝0，即2·(2x)2－2x－1＝0，解得2x＝1或2x＝－(舍去)．
所以x＝0.所以函數f(x)的零點為0.
(2)若f(x)有零點，則方程2a·4x－2x－1＝0有解．
于是2a＝＝＋＝－.
因為x>0，所以2a>－＝0，即a>0.
故實數a的取值范圍為(0，＋∞)．
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