資源簡介

二．雙曲線
雙曲線的定義 我們把平面內與兩個定點 F1，F2 的距離的差的絕對值等于常數(小于 | F1F2 | )的點的軌
跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．
圖形
標準方程 x2 y2 2 2
2 2 1(a 0，b 0)
y x
2 2 1(a 0，b 0)a b a b
范圍 x ( ， a] [a， ) y R y ( ， a] [a， ) x R
頂點坐標
半軸長
離心率 e c
a
對稱性
a、b、c的關系
通徑
焦點三角形
與雙曲線有關的二級結論：
1. F1、F2 為雙曲線的焦點，P 為雙曲線上一點，則△PF1F2 為焦點三角形，∠F1PF2= 焦點三角形的面積：
S b
2
PF1F

2
tan
2
x2 y2 b2
2. 已知 A、B 是橢圓 2 2 1上兩個不重合的兩點，P 為弦 AB 的中點，則有 kOP ka b AB

a2

3. 設圓錐曲線 C 的焦點 F 在 x軸上，過點 F 且斜率為 k的直線 l交曲線 C 于 A、B 兩點，若AF FB( 0)，
則 e 1 k 2 | 1 |
1
1
x2 y2 xx yy
4. 過橢圓外一點 P(x0,y0)作橢圓 2 2 1的切線，則切點弦的方程為
0 02 1a b a b2
雙曲線基本運算
x2 2
例 1 焦點為(0,6),且與雙曲線 y 1有相同的漸近線的雙曲線方程是( )
2
x2 y2 y2 x2 2 2 2 2
A. 1 B. 1 y x x yC. 1 D. 1
12 24 12 24 24 12 24 12
x2 2
例 2 雙曲線 y 1的頂點到其漸近線的距離等于( )
4
2 4 2 5 4 5
A. B. C. D.
5 5 5 5
x2 y2 5
例 3 雙曲線 C： 2 2 1的離心率為 ，則 C 的漸近線方程為( )a b 2
1 1 1
A. y= x B. y= x C. y= x D.y= x
4 3 2
0 x
2 y2 y2 x2
例 4 已知 ,則雙曲線 C1： 2 1與 C2： 1的( )4 cos sin 2 sin 2 cos2
A.實軸長相等 B.虛軸長相等 C.焦距相等 D.離心率相等
離心率問題
x2 y2 3 x2 y2
例 1 若橢圓 2 2 1的離心率為 ，則雙曲線 2 2 1的離心率為( )a b 2 a b
5 5 3 5
A. B. C. D.
4 2 2 4
2
x2 y2
例 2 雙曲線 2 2 1的左右焦點分別為 F1、F2，過 F1 作傾斜角為 30°的直線交雙曲線右支于 M 點，若 MF2a b
垂直于 x軸，則雙曲線的離心率為( )
3
A. 6 B. 3 C. 2 D.
3
例 3 已知 F1、F2 是雙曲線的兩個焦點，以線段 F1F2 為邊作正三角形 MF1F2，若邊 MF1的中點在雙曲線上，則
雙曲線的離心率為( )
3 1
A. 4 2 3 B. 3 1 C. D. 3 1
2
2 2
例 4 設直線 x 3y m 0(m 0) x y與雙曲線 2 2 1兩條漸近線分別交于點 A、B，若點 P(m,0)滿足 PA=PB，a b
則該雙曲線的離心率為______
x2 y2
例 5 雙曲線 2 2 1的兩個焦點為 F1、F2，若 P 為其上一點，且 PF1=2PF2，則雙曲線離心率的取值范圍是( )a b
A. (1,3) B.(1,3] C.(3,+ ) D.[3,+ )
C x
2
6 F F ： +y 2例 如圖， 1、 2是橢圓 1 1與雙曲線 C2 的公共焦點，A、B 分別是 C1，C2 在第二、四象限的公4
共點，若四邊形 AF1BF2為矩形，則 C2 的離心率為( )
A. 2 B. 3
3 6
C. D.
2 2
3
例 7 已知 F1、F2是兩個定點，點 P 是以 F1 和 F2為公共焦點的橢圓和雙曲線的一個交點，并且 PF1⊥PF2，e1,e2
分別是上述橢圓和雙曲線的離心率，則有( )
1 1 1 1
A. 2 2 4 B. 2 e e e e2
2
1 2 1 2
C. e21 e
2
2 4 D. e
2
1 e
2
2 2

例 8 已知 F1、F2 是橢圓和雙曲線的公共焦點，P 是他們的一個公共點，且∠F1PF2= ，則橢圓和雙曲線的離心
3
率的倒數之和的最大值為( )
4 3 2 3
A. B. C.3 D.2
3 3
x2 y2
例 9 已知雙曲線 2 2 1的右焦點為 F，若過點 F 且傾斜角為 60°的直線與雙曲線的右支有且只一個交點，a b
則此雙曲線的離心率的取值范圍是( )
A.(1,2] B.(1,2) C.[2,+ ) D.(2,+ )
x2 y2
例 10 斜率為 2 的直線 l 過雙曲線 2 2 1的右焦點 F 且與雙曲線的左右兩支分別相交，則雙曲線離心率的a b
取值范圍是( )
A.(1,2) B.(1, 3 ) C.(1, 5 ) D.( 5 ,+ )
x2 y2
例 11 F1、F2 是雙曲線 C： 2 2 1的兩個焦點，P 是 C 上一點，若 PF1+PF2=6a,且△PF1F2的最小內角為 30°，a b
則 C 的離心率為________
4
雙曲線有關的最值
y2
例 1 2若點 A 坐標為(2,2),F2是雙曲線 x 1的右焦點，點 P 為雙曲線的動點，則
3
(1)P 在雙曲線右支，則 PA-PF2 的范圍是_____________
(2)P 在雙曲線左支，則 PA+PF2 的最大值是____________
x2 y2
例 2 已知 F是雙曲線 1的左焦點，P是雙曲線右支上的動點，若 A(1， 4)，則 | PF | | PA | 的最小值
4 12
是__________．
x2 y2
例 3 2 2已知點 P為雙曲線 1右支上的一點，M，N分別是圓 (x 5) y 4 和 (x 5)2 y2 1上的點，
9 16
則 | PM | | PN |的最大值為__________．
多選壓軸題
x2 y2
（多選）1．已知 F1，F2 分別為雙曲線 2 2 1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過點 F2 的直線與雙曲線的a b
右支交于 A，B兩點，記△AF1F2 的內切圓 O1 的半徑為 r1，△BF1F2 的內切圓 O2 的半徑為 r2.若雙曲線的離
心率 e＝2，則下列說法正確的是（ ）
A．以 O1O2 為直徑的圓與直線 AB相切
B．r1r2＝a2
C．O1，O2 在直線 x＝a上
D．r1+r2 的范圍是[2a,2 3a)
5
y22
（多選）2．如圖，O為坐標原點，F1，F2 分別為雙曲線 C： x 2 1的左、右焦點，過雙曲線 C右支上一b
點 P作雙曲線的切線 l分別交兩漸近線于 A、B兩點，交 x軸于點 D，則下列結論正確的是（ ）
A．|AB|min＝2b
B．S△AOB＝2S△AOP
C．S△AOB＝2b

D．若存在點 P，使得S PF F 15 ，且F1D 2DF2 ，1 2
6
則雙曲線 C的離心率為 2 或
2
x2 y2
（多選）3．已知 F1，F2 分別為雙曲線 C： 2 2 1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，P為雙曲線 C的漸近線a b
在第一象限部分上的一點，線段 PF2 與雙曲線交點為 Q，且|F1P|＝|F1F2|＝2|PF2|，O為坐標原點，則下列結
論正確的是（ ）
2 3
A．|OP|＝2a B．雙曲線 C的離心率 e＝
3
12 6 x2 y2
C．|QF1|＝ a D．若△QF1F2 的內心的橫坐標為 3，則雙曲線 C的方程為 1
3 9 15
6
x2 y2
（多選）4．已知雙曲線Γ： 2 2 1（a＞0，b＞0），左焦點為 F，左右頂點分別為 A1、A2，B（0，b），a b
P是Γ右支上一動點，且|PF|+|PB|的最小值為( 3 +2)a，P關于 x軸的對稱點為 Q，則下列結論正確的是
（ ）
A．Γ的離心率為 2 B．PA2⊥A1Q
C．sin∠QPA1＝sin∠QA2A1 D．4|PB|≥ 6 |PQ|
x2 y2 15 1 2 3
（多選）5．已知 F1，F2 是雙曲線 C: 2 2 1的左、右焦點，A( ， )是 C上一點，若 C的離心率為 ，a b 2 2 3
連結 AF2 交 C于點 B，則（ ）
x2
A 2．C的方程為 y 1
3
B．∠F1AF2＝90°
C．△F1AF2 的周長為 2 5 2
D．△ABF1 的內切圓半徑為 5 3
x2 y2
（多選）6．雙曲線 C： 1的左、右焦點分別為 F1，F2，過點 F2 的直線與雙曲線右支交于 A、B兩點，
4 5
△AF1F2 和△BF1F2 內切圓半徑分別為 r1 和 r2，則（ ）
A．雙曲線 C的漸近線方程為 2x± 5 y＝0
B．△AF1B面積的最小值為 15
C．△AF1F2 和△BF1F2 內切圓圓心的連線與 x軸垂直
D．r1 r2 為定值 1
7
x2 y2
（多選）7．雙曲線 C： 2 2 1的左、右焦點分別為 F1，F2，傾斜角為 60°的直線 l過雙曲線 C的右焦點a b

F2，與雙曲線 C右支交于 A，B兩點，且AF2 5F2B，則（ ）
A．雙曲線 C的離心率為 2
B．△AF1F2 與△BF1F2 內切圓半徑比為 3：1
C．△AF1F2 與△BF1F2 周長之比為 4：1
D．△AF1F2 與△BF1F2 面積之比為 5：1
x2 y2
（多選）8．若雙曲線 C： 1，F1，F2 分別為左、右焦點，設點 P在雙曲線上且在第一象限的動點，
4 5
點 I為△PF1F2 的內心，點 G為△PF1F2 的重心，則下列說法正確的是（ ）
3
A．雙曲線 C的離心率為
2
B．點 I的運動軌跡為雙曲線的一部分
2
C．若|PF1|＝2|PF2|，PI xPF1 yPF2 ，則 y﹣x＝ 9
D．存在點 P，使得 IG∥F1F2
8
參考答案
雙曲線基本運算
1. B 2.C 3.C 4.C
離心率問題
5
1. B 2.B 3.D 4. 5.B 6.D 7.B 8.A 9.C 10.D 11. 3
2
雙曲線有關的最值
1. (1)[-1,2] (2)2 5 +4 2.9 3.9
多選壓軸
1.ABC 2.AB 3.ACD 4.BCD 5.ABD 6.BCD 7.BD 8.ACD
9

展開更多......

收起↑