資源簡介

第一章 集合與常用邏輯用語
思維導(dǎo)圖
知識(shí)清單
1. 元素與集合
（1）集合中元素的特性：_______、_______、_______.
（2）元素與集合的關(guān)系：如果a是集合A的元素，就說a_______集合A，記作_______；如果a不是集合A中的元素，就說a_______集合A，記作_______.
（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法.
（4）常用數(shù)集及其記法：
數(shù)集 非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集） 正整 數(shù)集 整數(shù)集 有理 數(shù)集 實(shí)數(shù) 集 復(fù)數(shù) 集
符號(hào) _____________ N*或（N＋） Z Q R C
注：圖表中所列舉的字母符號(hào)均是集合的形式，不要加{}，這是因?yàn)閧R}不是實(shí)數(shù)集，它表示一個(gè)集合，該集合中只有一個(gè)元素R.
2. 集合間的基本關(guān)系
文字語言 符號(hào)語言 記法
子集 集合A中的任意一個(gè)元素____集合B中的元素 x∈A x∈B ___________ （或________）
真子集 集合A是集合B的子集，但B中存在元素________A A B，且 x0∈B，x0 A A____B （或B____A）
相等 集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素 A B，且B A _______
空集 不含任何元素的集合 x，x ， A， B（B≠ ） _______
注：（1）子集的傳遞性：A B，B C，則A C
（2）子集個(gè)數(shù)：對(duì)于有限集合A，其元素個(gè)數(shù)為n，則集合A的子集個(gè)數(shù)為2n，真子集個(gè)數(shù)為2n-1，非空真子集個(gè)數(shù)為2n-2.
3. 集合的基本運(yùn)算
文字語言 符號(hào)語言 圖形語言 記法
并 集 由所有屬于集合A_____集合B的元素組成的集合 {x|x∈A，或 x∈B} ______
交 集 由所有屬于集合A_____集合B的元素組成的集合 {x|x∈A，且 x∈B} ______
補(bǔ) 集 由全集U中______集合A的所有元素組成的集合 {x|x∈U，且 x A} ______
4. 集合運(yùn)算性質(zhì)
（1）并集運(yùn)算性質(zhì)：A∪B A；A∪B B；A∪A＝A；A∪ ＝A；A∪B＝B∪A.
（2）交集運(yùn)算性質(zhì)：A∩B A；A∩B B；A∩A＝A；A∩ ＝ ；A∩B＝B∩A.
（3）補(bǔ)集運(yùn)算性質(zhì)：A∩（ UA）=，A∪（ UA）=U， U（ UA）=A.
（4）重要等價(jià)關(guān)系：A∩B＝A A B A∪B＝B；A∩B＝A∪B A＝B.
5. 元素個(gè)數(shù)
記含有限個(gè)元素的集合A，B的元素個(gè)數(shù)為card（A），card（B），則：card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－card（A∩B）.
6. 德摩根定律
又稱反演律，即=（）∪（），=（）∩（）.
7. 五個(gè)關(guān)系式
A B，A∩B＝A，A∪B＝B，以及A∩（）＝ 是兩兩等價(jià)的.
4. 充分條件、必要條件與充要條件
如果p q，則稱p是q的______，q是p的______. 一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件；每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件；每一條數(shù)學(xué)定義都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充要條件
p是q的充分不必要條件 記作_______且_______
p是q的必要不充分條件 記作_______且_______
p是q的充分必要條件（簡稱充要條件） 記作_______
p是q既不充分又不必要條件 記作_______且_______
答案：
5. 全稱量詞與存在量詞
（1）全稱量詞：短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做_________，并用符號(hào)“ ”表示. 含有全稱量詞的命題，叫做_________. 全稱量詞命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，p（x）成立”可用符號(hào)簡記為_________.
（2）存在量詞：短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做_________，并用符號(hào)“ ”表示. 含有存在量詞的命題，叫做_________. 存在量詞命題“存在M中的元素x，p（x）成立”可用符號(hào)簡記為_________.
10. 全稱量詞命題和存在量詞命題的否定
（1）全稱量詞命題的否定
全稱量詞命題 否定 結(jié)論
x∈M，p（x） x∈M，p（x） 全稱量詞命題的否定是存在量詞命題
（2）存在量詞命題否定
存在量詞命題 否定 結(jié)論
x∈M，p（x） x∈M，p（x） 存在量詞命題的否定是全稱量詞命題
11. 充分、必要條件的傳遞性
若p是q的充分（必要）條件，q是r的充分（必要）條件，則p是r的充分（必要）條件.
12. 以下說法等價(jià)
p q；p是q的充分條件；q是p的必要條件；p的一個(gè)必要條件是q；q的一個(gè)充分條件是p.
13. 關(guān)鍵量詞的否定
（1）常用全稱量詞的否定
每一個(gè) 所有的 一個(gè)也沒有 任意
存在一個(gè) 有的 至少有一個(gè) 存在
（2）常用存在量詞的否定
至少有n個(gè) 至多有一個(gè) 存在
至多有n－1個(gè) 至少有兩個(gè) 任意
（3）一些常見判斷詞的否定
是 一定是 都是 大于 小于 不大于
不是 不一 定是 不都是 小于 或等于 大于 或等于 大于
14. 充分、必要條件與集合間的關(guān)系：
集合A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，則：
（1）若，則是的充分條件；
（2）若，則是的必要條件；
（3）若，則是的充分不必要條件；
（4）若，則是的必要不充分條件；
（5）若，則是的充要條件；
（6）若A B且A B，則是的既不充分也不必要條件.
核心考點(diǎn)1
用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明確集合類型，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型的集合，要知道{x|y＝f（x）}，{y|y＝f（x）}，{（x，y）|y＝f（x）}三者是不同的. 弄清代表元素的含義后，再依據(jù)元素特征構(gòu)造關(guān)系式解決問題.
【例題】
6. 給出下列關(guān)系：①；②；③；④.其中正確的個(gè)數(shù)為（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)m=（ ）
A 0 B. C. 0或 D. 0或1
【練習(xí)題】
8. 已知集合，用列舉法表示M＝______．
9. 已知集合A滿足，，若，則集合A所有元素之和為（ ）
A. 0 B. 1 C. D.
10. 已知集合的元素只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A. B. 0 C. 或0 D. 無解
【易錯(cuò)題小練習(xí)】
11. 集合中的三個(gè)元素分別表示某一個(gè)三角形的三邊長度，那么這個(gè)三角形一定不是（　　）
A. 等腰三角形 B. 銳角三角形
C. 直角三角形 D. 鈍角三角形
12. 已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. B.
C. D.
核心考點(diǎn)2
①判斷集合關(guān)系主要有兩種方法：一是化簡集合，二是列舉或數(shù)形結(jié)合. ②已知兩個(gè)集合之間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，要根據(jù)集合間的關(guān)系來確定元素之間的關(guān)系，須關(guān)注子集是否為空集. 一般地，當(dāng)集合為有限集時(shí)，往往通過列方程或方程組來處理，此時(shí)需注意集合中元素的互異性，當(dāng)集合為連續(xù)型無限集時(shí)，往往借助數(shù)軸列不等式或不等式組來求解，要注意運(yùn)用分類與整合、數(shù)形結(jié)合等思想方法，尤其需注意端點(diǎn)值能否取到.
【例題】
13. 已知集合，，若，則實(shí)數(shù)x的取值集合為（ ）
A. B. C. D.
14. 設(shè)，，則（ ）
A. B. C. D.
15. 集合，則的子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 4 B. 8 C. 15 D. 16
【練習(xí)題】
16. 已知集合，，若，則__________.
17. 已知集合滿足，那么這樣的集合M的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
18. 已知集合的所有非空真子集的元素之和等于9，則（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.
【易錯(cuò)題小練習(xí)】
19. 已知集合，且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________.
20. 已知集合，，若，則a的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
核心考點(diǎn)3
集合的運(yùn)算問題，一般要先研究集合中元素的構(gòu)成，能化簡的要先化簡，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合，即借助數(shù)軸、坐標(biāo)系、韋恩（Venn）圖等進(jìn)行運(yùn)算，還要注意延伸知識(shí)的考查.
集合運(yùn)算中的求參數(shù)問題，首先要會(huì)化簡集合，因?yàn)樵诟呖贾写祟悊栴}常與不等式等知識(shí)綜合考查，以體現(xiàn)綜合性，其次注意數(shù)形結(jié)合（包括用數(shù)軸、韋恩（Venn）圖等）及端點(diǎn)值的取舍.
（一）交、并、補(bǔ)運(yùn)算
【例題】
21. 已知集合，，，則（ ）
A. B. C. D.
【練習(xí)題】
22. 設(shè)集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
23. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
24. 已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.
25. 已知全集，集合，．求：
（1）；
（2）；
（3）.
（二）由集合的運(yùn)算求參數(shù)
【例題】
26. 已知集合，，，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. B. C. D.
27. 已知全集，或，.
（1）當(dāng)時(shí)，求，，；
（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【練習(xí)題】
28. 設(shè)全集 ，，．
（1）若 ，求 ．
（2）若 ，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．
29. 已知R為全集，集合，集合．
（1）求；
（2）若，求實(shí)數(shù)a的值．
【易錯(cuò)題小練習(xí)】
30. 已知集合，或 .
（1）若為非空集合，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
31. 已知，，全集
（1）若，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
核心考點(diǎn)4
韋恩（Venn）圖能更直觀地表示集合之間的關(guān)系，先分析集合關(guān)系，化簡集合，再由韋恩（Venn）圖所呈現(xiàn)的集合關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算.
【例題】
32. 已知集合，則下列Venn圖中陰影部分可以表示集合的是（ ）
A. B.
C. D.
33. 集合且，，，且，，，則（ ）
A. B. C. D.
【練習(xí)題】
34. 設(shè)全集及集合與，則如圖陰影部分所表示的集合為（ ）
A. B.
C. D.
35. 如圖,兩個(gè)區(qū)域分別對(duì)應(yīng)集合,其中.則陰影部分表示的集合為（ ）
A. B. C. D.
36. 向某50名學(xué)生調(diào)查對(duì)A，B兩事件的態(tài)度，其中有30人贊成A，其余20人不贊成A；有33人贊成B，其余17人不贊成B；且對(duì)A，B都不贊成的學(xué)生人數(shù)比對(duì)A，B都贊成的學(xué)生人數(shù)的三分之一多1人，則對(duì)A，B都贊成的學(xué)生人數(shù)為__________．
核心考點(diǎn)5
【例題】
37. 給定集合，對(duì)于，如果，那么x是S的一個(gè)“好元素”，由S的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________個(gè)．
38. 定義集合且，已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【練習(xí)題】
39. 定義集合，設(shè)集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
40. 定義集合且.已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 7
核心考點(diǎn)6
充要條件的三種判斷方法：①定義法：分三步進(jìn)行，第一步，分清條件與結(jié)論；第二步，判斷p q及q p的真假；第三步，下結(jié)論. ②集合法. ③等價(jià)轉(zhuǎn)化法：將命題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)等價(jià)且容易判斷真假的命題.
【例題】
41. 下列命題中是假命題的有（ ）
A. “”是“”的充分但不必要條件
B. “”是“”的必要但不充分條件
C. “”是“”的既不充分也不必要的條件
D. “”是“不等式在上恒成立”的充要條件
42. 若關(guān)于的方程至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則它成立的必要條件可以是（ ）
A. B. C. D.
43. “”的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A. B. C. D.
【練習(xí)題】
44. 設(shè)，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
45. 設(shè)，，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
核心考點(diǎn)7
①求解充要條件的應(yīng)用問題常根據(jù)相應(yīng)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的方程（組）或不等式（組）求解；②求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，一定要注意對(duì)區(qū)間端點(diǎn)值進(jìn)行檢驗(yàn).
【例題】
46. 已知非空集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【練習(xí)題】
47. 設(shè)，已知集合，．
（1）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的范圍；
（2）設(shè)；，若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的范圍．
48. 設(shè)集合，命題，命題
（1）若是的充要條件，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若是的充分不必要條件，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.
核心考點(diǎn)8
1、①否定全稱（存在）量詞命題，一是改變量詞，二是否定結(jié)論，沒有量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞. ②否定全稱量詞命題，常舉一反例即可，但否定存在量詞命題，往往要進(jìn)行嚴(yán)格證明，因?yàn)槠浞穸ㄊ侨Q量詞命題.
2、已知命題真假求參數(shù)范圍，可根據(jù)命題的含義，利用函數(shù)值域（或最值）求解，另外注意轉(zhuǎn)換，如本例，將存在量詞命題為假命題轉(zhuǎn)換為全稱量詞命題為真命題，從而轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題.
（一）全稱、存在量詞命題的否定
【例題】
49. 命題“”的否定是（ ）
A. B.
C D.
50. 命題“”否定為（ ）
A. B.
C. D.
【練習(xí)題】
51. 命題“”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D.
52. 命題“，．”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
（二）依據(jù)命題真假求參數(shù)取值范圍
【例題】
53. 已知命題：“，”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【練習(xí)題】
54. 已知命題：，為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
55. 若“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【易錯(cuò)題小練習(xí)】
56. 已知命題p：，，，則（ ）
A. p是假命題，p否定是，，
B. p是假命題，p否定是，，
C. p是真命題，p否定是，，
D. p是真命題，p否定是，，
57. 已知命題，則的否定是（ ）
A. B.
C. D.
素養(yǎng)提升
58. 王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽(yù)為“七絕圣手”，其詩作《從軍行》中的詩句“青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān)．黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”傳誦至今．由此推斷，其中最后一句“返回家鄉(xiāng)”是“攻破樓蘭”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
59. 某國近日開展了大規(guī)模COVID-19核酸檢測(cè)，并將數(shù)據(jù)整理如圖所示，其中集合S表示（ ）
A. 無癥狀感染者 B. 發(fā)病者 C. 未感染者 D. 輕癥感染者
60. 中國古代數(shù)學(xué)專著《孫子算經(jīng)》中有一問題“今有三女，長女五日一歸，中女四日一歸，少女三日一歸，問：三女幾何日相會(huì)？”，則此三女前三次相會(huì)經(jīng)過的天數(shù)組成的集合用列舉法可表示為______，此三女相會(huì)經(jīng)過的天數(shù)組成的集合用描述法可表示為______.
61. 中國古代重要的數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng)下卷有題：今有物，不知其數(shù)三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二問：物幾何？現(xiàn)有如下表示：已知，，，若，則下列選項(xiàng)中符合題意的整數(shù)為
A. B. C. D.第一章 集合與常用邏輯用語
思維導(dǎo)圖
知識(shí)清單
1. 元素與集合
（1）集合中元素的特性：_______、_______、_______.
（2）元素與集合的關(guān)系：如果a是集合A的元素，就說a_______集合A，記作_______；如果a不是集合A中的元素，就說a_______集合A，記作_______.
（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法.
（4）常用數(shù)集及其記法：
數(shù)集 非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集） 正整 數(shù)集 整數(shù)集 有理 數(shù)集 實(shí)數(shù) 集 復(fù)數(shù) 集
符號(hào) _____________ N*或（N＋） Z Q R C
注：圖表中所列舉的字母符號(hào)均是集合的形式，不要加{}，這是因?yàn)閧R}不是實(shí)數(shù)集，它表示一個(gè)集合，該集合中只有一個(gè)元素R.
【答案】 ①. 確定性 ②. 互異性 ③. 無序性 ④. 屬于 ⑤. ⑥. 不屬于 ⑦. ⑧. N
【解析】
【分析】略
【詳解】略
故答案為：確定性；互異性；無序性；屬于；；不屬于；；N.
2. 集合間的基本關(guān)系
文字語言 符號(hào)語言 記法
子集 集合A中的任意一個(gè)元素____集合B中的元素 x∈A x∈B ___________ （或________）
真子集 集合A是集合B的子集，但B中存在元素________A A B，且 x0∈B，x0 A A____B （或B____A）
相等 集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素 A B，且B A _______
空集 不含任何元素的集合 x，x ， A， B（B≠ ） _______
注：（1）子集的傳遞性：A B，B C，則A C
（2）子集個(gè)數(shù)：對(duì)于有限集合A，其元素個(gè)數(shù)為n，則集合A的子集個(gè)數(shù)為2n，真子集個(gè)數(shù)為2n-1，非空真子集個(gè)數(shù)為2n-2.
【答案】 ①. 都是 ②. A B ③. B A ④. 不屬于 ⑤. ⑥. ⑦. A＝B ⑧.
【解析】
【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系即可求解.
【詳解】集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，記為A B或B A；
集合A是集合B子集，但B中存在元素不屬于A，記為 B或B A；
集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，記為A＝B；
不含任何元素的集合，記為 .
故答案為： 都是 A B B A 不屬于 A＝B .
3. 集合的基本運(yùn)算
文字語言 符號(hào)語言 圖形語言 記法
并 集 由所有屬于集合A_____集合B的元素組成的集合 {x|x∈A，或 x∈B} ______
交 集 由所有屬于集合A_____集合B的元素組成的集合 {x|x∈A，且 x∈B} ______
補(bǔ) 集 由全集U中______集合A的所有元素組成的集合 {x|x∈U，且 x A} ______
【答案】 ①. 或?qū)儆? ②. A∪B ③. 且屬于 ④. A∩B ⑤. 不屬于 ⑥.
【解析】
【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系和集合的運(yùn)算即可求解.
【詳解】由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，記為A∪B；
由所有屬于集合且屬于集合B的元素組成的集合，記為A∩B；
由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合，記為.
故答案為：或?qū)儆? A∪B 且屬于 A∩B 不屬于 .
4. 集合運(yùn)算性質(zhì)
（1）并集運(yùn)算性質(zhì)：A∪B A；A∪B B；A∪A＝A；A∪ ＝A；A∪B＝B∪A.
（2）交集運(yùn)算性質(zhì)：A∩B A；A∩B B；A∩A＝A；A∩ ＝ ；A∩B＝B∩A.
（3）補(bǔ)集運(yùn)算性質(zhì)：A∩（ UA）=，A∪（ UA）=U， U（ UA）=A.
（4）重要等價(jià)關(guān)系：A∩B＝A A B A∪B＝B；A∩B＝A∪B A＝B.
5. 元素個(gè)數(shù)
記含有限個(gè)元素的集合A，B的元素個(gè)數(shù)為card（A），card（B），則：card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－card（A∩B）.
6. 德摩根定律
又稱反演律，即=（）∪（），=（）∩（）
7. 五個(gè)關(guān)系式
A B，A∩B＝A，A∪B＝B，以及A∩（）＝ 是兩兩等價(jià)的.
4. 充分條件、必要條件與充要條件
如果p q，則稱p是q的______，q是p的______. 一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件；每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件；每一條數(shù)學(xué)定義都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充要條件
p是q的充分不必要條件 記作_______且_______
p是q的必要不充分條件 記作_______且_______
p是q的充分必要條件（簡稱充要條件） 記作_______
p是q的既不充分又不必要條件 記作_______且_______
【答案】 ①. 充分條件 ②. 必要條件 ③. p q ④. qp ⑤. pq ⑥. q p ⑦. p q ⑧. pq ⑨. qp
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可求解.
【詳解】p q,則稱p是q的充分條件,q是p的必要條件；
p是q的充分不必要條件，記作p q且qp；
p是q的必要不充分條件，記作pq且q p ；
p是q的充分必要條件（簡稱充要條件），記作p q；
p是q的既不充分又不必要條件，記作pq且qp.
故答案為：充分條件 必要條件 p q qp pq q p p q pq qp.
答案：
5. 全稱量詞與存在量詞
（1）全稱量詞：短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做_________，并用符號(hào)“ ”表示. 含有全稱量詞的命題，叫做_________. 全稱量詞命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，p（x）成立”可用符號(hào)簡記為_________.
（2）存在量詞：短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做_________，并用符號(hào)“ ”表示. 含有存在量詞的命題，叫做_________. 存在量詞命題“存在M中的元素x，p（x）成立”可用符號(hào)簡記為_________.
【答案】 ①. 全稱量詞 ②. 全稱量詞命題 ③. x∈M，p（x） ④. 存在量詞 ⑤. 存在量詞命題 ⑥. x∈M，p（x）
【解析】
【分析】根據(jù)全稱量詞和存在量詞的定義即可求解.
【詳解】全稱量詞：短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“ ”表示. 含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題. 全稱量詞命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，p（x）成立”可用符號(hào)簡記為 x∈M，p（x）；
存在量詞：短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“ ”表示. 含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題. 存在量詞命題“存在M中的元素x，p（x）成立”可用符號(hào)簡記為 x∈M，p（x）.
故答案為：
全稱量詞 全稱量詞命題 x∈M，p（x） 存在量詞 存在量詞命題 x∈M，p（x）.
10. 全稱量詞命題和存在量詞命題的否定
（1）全稱量詞命題的否定
全稱量詞命題 否定 結(jié)論
x∈M，p（x） x∈M，p（x） 全稱量詞命題的否定是存在量詞命題
（2）存在量詞命題的否定
存在量詞命題 否定 結(jié)論
x∈M，p（x） x∈M，p（x） 存在量詞命題的否定是全稱量詞命題
11. 充分、必要條件的傳遞性
若p是q的充分（必要）條件，q是r的充分（必要）條件，則p是r的充分（必要）條件.
12. 以下說法等價(jià)
p q；p是q的充分條件；q是p的必要條件；p的一個(gè)必要條件是q；q的一個(gè)充分條件是p.
13. 關(guān)鍵量詞的否定
（1）常用全稱量詞的否定
每一個(gè) 所有的 一個(gè)也沒有 任意
存在一個(gè) 有的 至少有一個(gè) 存在
（2）常用存在量詞的否定
至少有n個(gè) 至多有一個(gè) 存在
至多有n－1個(gè) 至少有兩個(gè) 任意
（3）一些常見判斷詞的否定
是 一定是 都是 大于 小于 不大于
不是 不一 定是 不都是 小于 或等于 大于 或等于 大于
14. 充分、必要條件與集合間的關(guān)系：
集合A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，則：
（1）若，則是的充分條件；
（2）若，則是的必要條件；
（3）若，則是的充分不必要條件；
（4）若，則是的必要不充分條件；
（5）若，則是的充要條件；
（6）若A B且A B，則是的既不充分也不必要條件.
核心考點(diǎn)1
用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明確集合類型，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型的集合，要知道{x|y＝f（x）}，{y|y＝f（x）}，{（x，y）|y＝f（x）}三者是不同的. 弄清代表元素的含義后，再依據(jù)元素特征構(gòu)造關(guān)系式解決問題.
【例題】
6. 給出下列關(guān)系：①；②；③；④.其中正確的個(gè)數(shù)為（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定信息，利用元素與集合的關(guān)系判斷作答.
【詳解】顯然都是實(shí)數(shù)，①正確，②錯(cuò)誤；
是自然數(shù)，③正確；是無理數(shù)，不是有理數(shù)，④錯(cuò)誤，
所以正確的個(gè)數(shù)為2.
故選：B
7. 設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)m=（ ）
A. 0 B. C. 0或 D. 0或1
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分別討論和兩種情況，求解并檢驗(yàn)集合的互異性，可得到答案.
【詳解】設(shè)集合，若，
，或，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
所以或.
故選：C
【練習(xí)題】
8. 已知集合，用列舉法表示M＝______．
【答案】
【解析】
【分析】由直接求解.
【詳解】根據(jù)題意，應(yīng)該為6 的因數(shù)，故可能取值為1，2，3，6，其對(duì)應(yīng)的值分別為：4，3，2，.
又，所以的值分別為：4，3，2.
故集合.
故答案為：
9. 已知集合A滿足，，若，則集合A所有元素之和為（ ）
A. 0 B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)，，代入元素依次計(jì)算得到答案.
【詳解】集合A滿足，，，故，，，
，故，
則集合A所有元素之和為：
故選：C
10. 已知集合的元素只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A. B. 0 C. 或0 D. 無解
【答案】C
【解析】
【分析】集合有一個(gè)元素，即方程有一解，分， 兩種情況討論，即可得解.
【詳解】集合有一個(gè)元素，即方程有一解，
當(dāng)時(shí)，，符合題意，
當(dāng)時(shí)，有一解，
則，解得：，
綜上可得：或，
故選：C.
【易錯(cuò)題小練習(xí)】
11. 集合中的三個(gè)元素分別表示某一個(gè)三角形的三邊長度，那么這個(gè)三角形一定不是（　　）
A. 等腰三角形 B. 銳角三角形
C. 直角三角形 D. 鈍角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)集合中元素的互異性可得答案.
【詳解】根據(jù)集合中元素的互異性得，
故三角形一定不是等腰三角形.
故選：A.
12. 已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由集合與集合的關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)依次辨析即可.
【詳解】對(duì)于A，時(shí)，，有，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B，時(shí)，，有，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C，時(shí)，，有，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D，時(shí)，，集合不滿足集合元素的互異性，故選項(xiàng)D不正確.
故選：ABC.
核心考點(diǎn)2
①判斷集合關(guān)系主要有兩種方法：一是化簡集合，二是列舉或數(shù)形結(jié)合. ②已知兩個(gè)集合之間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，要根據(jù)集合間的關(guān)系來確定元素之間的關(guān)系，須關(guān)注子集是否為空集. 一般地，當(dāng)集合為有限集時(shí)，往往通過列方程或方程組來處理，此時(shí)需注意集合中元素的互異性，當(dāng)集合為連續(xù)型無限集時(shí)，往往借助數(shù)軸列不等式或不等式組來求解，要注意運(yùn)用分類與整合、數(shù)形結(jié)合等思想方法，尤其需注意端點(diǎn)值能否取到.
【例題】
13. 已知集合，，若，則實(shí)數(shù)x的取值集合為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)集合元素的唯一性分類討論即可.
【詳解】因?yàn)椋?
當(dāng)時(shí)，，得；
當(dāng)時(shí)，則.
故實(shí)數(shù)x的取值集合為.
故選：B
14. 設(shè)，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分別分析兩個(gè)集合中的元素所代表的意思即可判斷選項(xiàng).
【詳解】解：因?yàn)椋驗(yàn)椋?br/>所以集合是由所有奇數(shù)的一半組成，
而集合是由所有整數(shù)的一半組成，故 .
故選：B
15. 集合，則的子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 4 B. 8 C. 15 D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】先求出，再找出中6的正約數(shù)，可確定集合，進(jìn)而得到答案．
【詳解】集合，,
，
故有個(gè)子集.
故選：D．
【練習(xí)題】
16. 已知集合，，若，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用集合相等即可得出結(jié)果.
【詳解】由元素的互異性可得，
當(dāng)時(shí)，，解得，舍去；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，
此時(shí)需要滿足，即；
.
故答案為：.
17. 已知集合滿足，那么這樣的集合M的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系一一列舉出來即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以集合可以為：，
共8個(gè)，
故選：C.
18. 已知集合的所有非空真子集的元素之和等于9，則（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.
【答案】C
【解析】
【分析】先寫出集合的非空真子集，從而得到方程，計(jì)算出結(jié)果.
【詳解】集合的非空真子集為，
所以，解得：.
故選：C
【易錯(cuò)題小練習(xí)】
19. 已知集合，且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】分B為空集和不是空集兩種情況，根據(jù)集合建的包含關(guān)系得到不等式（組）求解.
【詳解】解：分兩種情況考慮：
①若B不為空集，可得：，
解得：，
，
且，
解得：，所以,
②若B為空集，符合題意，可得：，
解得：.
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
故答案為：.
20. 已知集合，，若，則a的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)定義域求出，由得到a的取值范圍.
【詳解】由題意得，解得，故，
因?yàn)椋?
故選：A
核心考點(diǎn)3
集合的運(yùn)算問題，一般要先研究集合中元素的構(gòu)成，能化簡的要先化簡，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合，即借助數(shù)軸、坐標(biāo)系、韋恩（Venn）圖等進(jìn)行運(yùn)算，還要注意延伸知識(shí)的考查.
集合運(yùn)算中的求參數(shù)問題，首先要會(huì)化簡集合，因?yàn)樵诟呖贾写祟悊栴}常與不等式等知識(shí)綜合考查，以體現(xiàn)綜合性，其次注意數(shù)形結(jié)合（包括用數(shù)軸、韋恩（Venn）圖等）及端點(diǎn)值的取舍.
（一）交、并、補(bǔ)運(yùn)算
【例題】
21. 已知集合，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算，即可求解.
【詳解】，且，
所以.
故選：C
【練習(xí)題】
22. 設(shè)集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)交集定義直接求解即可.
【詳解】，，.
故選：B.
23. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)描述法表示的集合可得，再利用并集運(yùn)算即可得出結(jié)果.
【詳解】由題可知而；
根據(jù)并集運(yùn)算可得，
故選：C．
24. 已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判斷集合的元素類型，根據(jù)集合交集運(yùn)算的含義，可得答案.
【詳解】由題意可知集合為數(shù)集，集合表示點(diǎn)集，
二者元素類型不同，所以，
故選：D.
25. 已知全集，集合，．求：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)交集概念進(jìn)行計(jì)算；
（2）根據(jù)并集概念進(jìn)行計(jì)算；
（3）先求出，進(jìn)而求出答案.
【小問1詳解】
；
【小問2詳解】
.
【小問3詳解】
，
故，，.
（二）由集合的運(yùn)算求參數(shù)
【例題】
26. 已知集合，，，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題設(shè)知，討論、求a值，結(jié)合集合的性質(zhì)確定a值即可.
【詳解】由知：，
當(dāng)，即，則，與集合中元素互異性有矛盾，不符合；
當(dāng)，即或，
若，則，與集合中元素互異性有矛盾，不符合；
若，則，，滿足要求.
綜上，.
故選：A
27. 已知全集，或，.
（1）當(dāng)時(shí)，求，，；
（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1），或，
（2）或
【解析】
【分析】（1）代入，再根據(jù)交，并，補(bǔ)的定義求解即可；
（2）由得到，根據(jù)集合的關(guān)系可得實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，或，
，又，
，或，；
【小問2詳解】
若，則，
或，
或.
【練習(xí)題】
28. 設(shè)全集 ，，．
（1）若 ，求 ．
（2）若 ，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用集合的補(bǔ)集和交集的運(yùn)算知識(shí)即可求解.
（2）求出，，分，兩種情況討論，根據(jù)集合的運(yùn)算求解即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，，
所以或，；
【小問2詳解】
全集 ，，
或，
，
分，兩種情況討論.
（1）當(dāng)時(shí)，如圖可得，或，
或；
（2）當(dāng)時(shí)，應(yīng)有：，解得；
綜上可知，或，
故得實(shí)數(shù) 的取值范圍.
29. 已知R為全集，集合，集合．
（1）求；
（2）若，求實(shí)數(shù)a的值．
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】(1)根據(jù)補(bǔ)集的定義求解即可；
(2)根據(jù)交集的定義求解即可.
【小問1詳解】
解：因?yàn)镽為全集，集合，
所以或；
【小問2詳解】
解：因?yàn)椋希?br/>所以，解得.
【易錯(cuò)題小練習(xí)】
30. 已知集合，或 .
（1）若為非空集合，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由條件可知，，即可求解不等式；
（2）分和兩種情況，列不等式求解.
【小問1詳解】
若為非空集，則，解得：；
【小問2詳解】
若，則，
當(dāng)時(shí)，，解得：，
當(dāng)時(shí)， ，解得：
或，解得：
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或
31. 已知，，全集
（1）若，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)交集與補(bǔ)集的運(yùn)算求解即可；
（2）分與由條件列不等式求范圍即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
所以或，又，
所以.
【小問2詳解】
由題可得：當(dāng)時(shí)，有，
解得a的取值范圍為；
當(dāng)時(shí)有，解得a的取值范圍為，
綜上所述a的取值范圍為.
核心考點(diǎn)4
韋恩（Venn）圖能更直觀地表示集合之間的關(guān)系，先分析集合關(guān)系，化簡集合，再由韋恩（Venn）圖所呈現(xiàn)的集合關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算.
【例題】
32. 已知集合，則下列Venn圖中陰影部分可以表示集合的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)的Venn圖逐一判斷即可.
【詳解】，
選項(xiàng)A中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意；
選項(xiàng)B中Venn圖中陰影部分表示，符合題意；
選項(xiàng)C中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意；
選項(xiàng)D中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意，
故選：B
33. 集合且，，，且，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件利用Venn圖進(jìn)行求解即可．
【詳解】作出Venn圖如圖所示，
則，．
故選：C．
【練習(xí)題】
34. 設(shè)全集及集合與，則如圖陰影部分所表示的集合為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)集合并集，補(bǔ)集的定義即可判斷．
【詳解】依題意圖中陰影部分所表示的集合為．
故選：D．
35. 如圖,兩個(gè)區(qū)域分別對(duì)應(yīng)集合,其中.則陰影部分表示的集合為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意表示出集合,將集合中元素還原到圖形中,即可得到結(jié)果.
【詳解】解:由題意知,,
陰影部分表示的集合為,
因?yàn)?
所以.
故選:D
36. 向某50名學(xué)生調(diào)查對(duì)A，B兩事件的態(tài)度，其中有30人贊成A，其余20人不贊成A；有33人贊成B，其余17人不贊成B；且對(duì)A，B都不贊成的學(xué)生人數(shù)比對(duì)A，B都贊成的學(xué)生人數(shù)的三分之一多1人，則對(duì)A，B都贊成的學(xué)生人數(shù)為__________．
【答案】21
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件利用集合并結(jié)合Venn圖列出方程求解作答.
【詳解】記贊成A的學(xué)生組成集合A，贊成B的學(xué)生組成集合B，50名學(xué)生組成全集U，則集合A有30個(gè)元素，集合B有33個(gè)元素.
設(shè)對(duì)A，B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x，則集合的元素個(gè)數(shù)為，如圖，
由Venn圖可知，，即，解得，
所以對(duì)A，B都贊成的學(xué)生有21人.
故答案為：21.
核心考點(diǎn)5
【例題】
37. 給定集合，對(duì)于，如果，那么x是S的一個(gè)“好元素”，由S的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________個(gè)．
【答案】6
【解析】
【分析】根據(jù)題意，要使S的三個(gè)元素構(gòu)成的集合中不含好元素，只要這三個(gè)元素相連即可，所以找出相連的三個(gè)數(shù)構(gòu)成的集合即可．
【詳解】若不含好元素，則集合S中的3個(gè)元素必須為連續(xù)的三個(gè)數(shù)，
故不含好元素的集合共有，
共有6個(gè)
故答案為：6．
38. 定義集合且，已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)集合新定義即可求解.
【詳解】因?yàn)榧锨遥?br/>所以
故選：C
【練習(xí)題】
39. 定義集合，設(shè)集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)集合的新定義求得，從而確定正確答案.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
故中元素的個(gè)數(shù)為.
故選：B.
40. 定義集合且.已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)集合新定義求解即可.
【詳解】根據(jù)題意，因?yàn)椋?br/>所以.
故選：C.
核心考點(diǎn)6
充要條件的三種判斷方法：①定義法：分三步進(jìn)行，第一步，分清條件與結(jié)論；第二步，判斷p q及q p的真假；第三步，下結(jié)論. ②集合法. ③等價(jià)轉(zhuǎn)化法：將命題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)等價(jià)且容易判斷真假的命題.
【例題】
41. 下列命題中是假命題的有（ ）
A. “”是“”的充分但不必要條件
B. “”是“”的必要但不充分條件
C. “”是“”的既不充分也不必要的條件
D. “”是“不等式在上恒成立”的充要條件
【答案】AC
【解析】
【分析】利用特例及充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】對(duì)于A：若，滿足，但不滿足，
反之，若，例如，令，，顯然不滿足，
所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，由得不到，即充分性不成立，
反之，若，可得，即必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分條件，故B正確；
對(duì)于C：，可得，，因?yàn)?，
所以“”是“”的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：在上恒成立，則，，
則“”是“不等式在上恒成立”的充要條件，故D正確．
故選：AC．
42. 若關(guān)于的方程至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則它成立的必要條件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用的判別式，求出的范圍，再利用必要條件的定義即可求得.
【詳解】因?yàn)榉匠讨炼嘤幸粋€(gè)實(shí)數(shù)根，
所以方程的判別式，
即：，解得，
利用必要條件的定義，結(jié)合選項(xiàng)可知，成立的必要條件可以是選項(xiàng)B和選項(xiàng)C.
故選：BC.
43. “”的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)充分不必要條件的定義，將問題轉(zhuǎn)化為集合問題即所求結(jié)果為的真子集，再根據(jù)選項(xiàng)判斷即可.
【詳解】根據(jù)題意可得，所求結(jié)果為的真子集，根據(jù)選項(xiàng)可得和這兩個(gè)選項(xiàng)都是的真子集，即通過這兩個(gè)條件都可推出，滿足充分條件，但不能推出這兩個(gè)條件，不滿足必要條件，所以和都是的充分不必要條件.
故選：BD.
【練習(xí)題】
44. 設(shè)，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，故充分性成立，
由可得或，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
45. 設(shè)，，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】利用作差法結(jié)合得出的等價(jià)條件，即可得出結(jié)論.
【詳解】因?yàn)椋煽傻茫瑒t，即，
因此，若，，則“”是“”的充要條件.
故選：C.
核心考點(diǎn)7
①求解充要條件的應(yīng)用問題常根據(jù)相應(yīng)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的方程（組）或不等式（組）求解；②求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，一定要注意對(duì)區(qū)間端點(diǎn)值進(jìn)行檢驗(yàn).
【例題】
46. 已知非空集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先將代入集合化簡，再利用集合間的交集，補(bǔ)集的運(yùn)算即可求解；
（2）根據(jù)充分條件、必要條件的定義，轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系后，列關(guān)系式即可求解.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，，
則，
所以.
【小問2詳解】
由題意得是的真子集，而是非空集合，
則且與不同時(shí)成立，解得，
故的取值范圍是.
【練習(xí)題】
47. 設(shè)，已知集合，．
（1）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的范圍；
（2）設(shè)；，若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意知，4是集合B的元素，代入可得答案；
（2）由題可得是的真子集，分類討論為空集和不為空集合兩種情況，即可求得m的取值范圍.
【小問1詳解】
由題可得，則；
【小問2詳解】
由題可得是的真子集，
當(dāng)，則；
當(dāng)，，則（等號(hào)不同時(shí)成立），解得
綜上：.
48. 設(shè)集合，命題，命題
（1）若是的充要條件，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若是的充分不必要條件，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)是的充要條件轉(zhuǎn)化為求解即可；
（2）根據(jù)是的充分不必要條件，得真包含于，列出不等式求解即可.
【小問1詳解】
由條件， 是的充要條件，
得，即，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【小問2詳解】
由是的充分不必要條件，得真包含于，
所以，或，解得，
綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是.
核心考點(diǎn)8
1、①否定全稱（存在）量詞命題，一是改變量詞，二是否定結(jié)論，沒有量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞. ②否定全稱量詞命題，常舉一反例即可，但否定存在量詞命題，往往要進(jìn)行嚴(yán)格證明，因?yàn)槠浞穸ㄊ侨Q量詞命題.
2、已知命題真假求參數(shù)范圍，可根據(jù)命題的含義，利用函數(shù)值域（或最值）求解，另外注意轉(zhuǎn)換，如本例，將存在量詞命題為假命題轉(zhuǎn)換為全稱量詞命題為真命題，從而轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題.
（一）全稱、存在量詞命題的否定
【例題】
49. 命題“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】全稱量詞命題否定為存在量詞命題即可.
【詳解】命題“”的否定是“”.
故選：A
50. 命題“”的否定為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題來得答案.
【詳解】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題可得
命題“”的否定為.
故選：C.
【練習(xí)題】
51. 命題“”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用全稱量詞的命題的否定求解作答.
【詳解】命題“”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，
所以命題“”的否定是：.
故選：D
52. 命題“，．”否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定形式，直接判斷選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定是全稱存在量詞命題，
所以命題“，．”的否定是“，”.
故選：B
（二）依據(jù)命題真假求參數(shù)取值范圍
【例題】
53. 已知命題：“，”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)全稱量詞命題的真假性以及一元二次不等式恒成立的知識(shí)列不等式，由此求得的取值范圍.
【詳解】因?yàn)椤埃睘檎婷}，
所以，解得．
故選：A
【練習(xí)題】
54. 已知命題：，為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【答案】或
【解析】
【分析】利用給定條件為假命題，說明有解，結(jié)合二次函數(shù)圖象可得答案.
【詳解】因?yàn)椋瑸榧倜}，所以有解，
所以，解得或.
故答案為：或
55. 若“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】求出給定命題的否定，再由所得命題為真命題，求解作答.
【詳解】命題“，”的否定是：，，
依題意，命題“，”為真命題，
當(dāng)時(shí)，成立，則，
當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則，解得，
綜上得：，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
【易錯(cuò)題小練習(xí)】
56. 已知命題p：，，，則（ ）
A. p是假命題，p否定是，，
B. p是假命題，p否定是，，
C. p是真命題，p否定是，，
D. p是真命題，p否定是，，
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定的知識(shí)確定正確答案.
【詳解】由于是整數(shù)，是偶數(shù)，所以是假命題.
原命題是存在量詞命題，
其否定是全稱量詞，注意到要否定結(jié)論，
所以的否定是“，，”.
故選：A
57. 已知命題，則的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)含有量詞的命題否定方法來求解.
【詳解】因?yàn)槊}，所以的否定是.
故選：D.
素養(yǎng)提升
58. 王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽(yù)為“七絕圣手”，其詩作《從軍行》中的詩句“青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān)．黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”傳誦至今．由此推斷，其中最后一句“返回家鄉(xiāng)”是“攻破樓蘭”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】由題意，“不破樓蘭”可以推出“不還”，但是反過來“不還”的原因有多種，按照充分條件、必要條件的定義即可判斷
【詳解】由題意，“不破樓蘭終不還”即“不破樓蘭”是“不還”的充分條件，即“不破樓蘭”可以推出“不還”，但是反過來“不還”的原因有多種，比如戰(zhàn)死沙場(chǎng)；
即如果已知“還”，一定是已經(jīng)“破樓蘭”，所以“還”是“破樓蘭”的充分條件
故選：A
59. 某國近日開展了大規(guī)模COVID-19核酸檢測(cè)，并將數(shù)據(jù)整理如圖所示，其中集合S表示（ ）
A. 無癥狀感染者 B. 發(fā)病者 C. 未感染者 D. 輕癥感染者
【答案】A
【解析】
【分析】由即可判斷S的含義.
【詳解】解：由圖可知，集合S是集合A與集合B的交集，
所以集合S表示：感染未發(fā)病者，即無癥狀感染者，
故選：A.
60. 中國古代數(shù)學(xué)專著《孫子算經(jīng)》中有一問題“今有三女，長女五日一歸，中女四日一歸，少女三日一歸，問：三女幾何日相會(huì)？”，則此三女前三次相會(huì)經(jīng)過的天數(shù)組成的集合用列舉法可表示為______，此三女相會(huì)經(jīng)過的天數(shù)組成的集合用描述法可表示為______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)集合元素為5，4，3的公倍數(shù)，進(jìn)而應(yīng)用列舉法、描述法分別寫出集合即可.
【詳解】因?yàn)槿鄷?huì)經(jīng)過的天數(shù)是5，4，3的公倍數(shù)，且它們的最小公倍數(shù)為60，
所以三女前三次相會(huì)經(jīng)過的天數(shù)組成的集合用列舉法可表示為.
此三女相會(huì)經(jīng)過的天數(shù)組成的集合用描述法可表示為.
故答案為：，
61. 中國古代重要的數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng)下卷有題：今有物，不知其數(shù)三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二問：物幾何？現(xiàn)有如下表示：已知，，，若，則下列選項(xiàng)中符合題意的整數(shù)為
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
將選項(xiàng)中的數(shù)字逐一代入集合、、的表達(dá)式，檢驗(yàn)是否為、、的元素，即可選出正確選項(xiàng)．
【詳解】因?yàn)椋瑒t，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
，則，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
，則，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
，故；，故；，故，則，選項(xiàng)D正確.
故選：D．

展開更多......

收起↑