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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
專題01數(shù)列概念與表示
考點(diǎn)1：由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式
一、講
1.已知Sn求an的常用方法是利用an＝轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項(xiàng)公式.
2.Sn與an關(guān)系問(wèn)題的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解.
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解.
【典例1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）數(shù)列的前項(xiàng)為，已知，下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．為等差數(shù)列 B．可能為等比數(shù)列
C．為等差數(shù)列或等比數(shù)列 D．可能既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列
【答案】BD
【分析】利用來(lái)對(duì)進(jìn)行判斷，從而確定正確答案.
【詳解】依題意，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，，
兩式相減得，
，
，
當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
當(dāng)，交替成立時(shí)，既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列.
故選：BD
【典例2】（2023·高二單元測(cè)試）（多選）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則下列選項(xiàng)正確的為（ ）
A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列
C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為
D．
【答案】AC
【分析】由可得，，可判斷A,B的正誤，再求出，可判斷C的正誤，利用裂項(xiàng)相消法求，可判斷D的正誤.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，，
即，且，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故A正確，B錯(cuò)誤；
所以，即，故C正確；
因?yàn)椋?br/>所以，
故D錯(cuò)誤；
故選：AC.
二、練
【訓(xùn)練1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則實(shí)數(shù)的值是（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】C
【分析】先求出，由解得即可；
【詳解】等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，
當(dāng)時(shí)，可得，可得，
當(dāng)時(shí)，，則
所以
因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，
所以，即
解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.
故選：C．
【訓(xùn)練2】（2023秋·浙江杭州·高二杭州四中校考期末）已知數(shù)列滿足，設(shè)，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得到，再利用裂項(xiàng)法求和即可.
【詳解】由題知：數(shù)列滿足，設(shè)，
所以的前項(xiàng)和為，則.
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，符合.
所以.
令，前項(xiàng)和為.
則.
故選：D
三、測(cè)
【訓(xùn)練1】（2021·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .
【答案】
【分析】利用可計(jì)算數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】，而，
當(dāng)時(shí)，，
故.
填.
【點(diǎn)睛】數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和 的關(guān)系式，我們常利用這個(gè)關(guān)系式實(shí)現(xiàn)與之間的相互轉(zhuǎn)化.
【訓(xùn)練2】（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）已知在數(shù)列中，，，則 .
【答案】
【分析】將時(shí)的等式與條件中的等式做差整理可得，然后利用計(jì)算即可.
【詳解】①，
當(dāng)時(shí)，②，
①-②得，整理得，
當(dāng)時(shí)，，得，
.
故答案為：.
【訓(xùn)練3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .
【答案】
【分析】由構(gòu)造法和與關(guān)系求解
【詳解】由題意得，而，
所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.
，，當(dāng)時(shí)，，也滿足此式，
綜上，
故答案為：
考點(diǎn)2：累加、累乘、構(gòu)造求通項(xiàng)公式
一、講
累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an
累乘法——形如＝f(n)，求an
構(gòu)造法——形如an＋1＝pan＋q的遞推關(guān)系式可以化為(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，構(gòu)成新的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，求變量x是關(guān)鍵.
【典例1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則的最小值是（ ）
A．-15 B．-14 C．-11 D．-6
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件得出最小項(xiàng)為，利用迭代的思想即可求得.
【詳解】∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，顯然的最小值是.
又，∴
，即的最小值是.
故選：A
【典例2】（2022秋·寧夏銀川·高三校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依題意可得，再利用累乘法計(jì)算可得；
【詳解】解：由，得，
即，則，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故選：D．
【典例3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合變形，構(gòu)造數(shù)列，再求數(shù)列通項(xiàng)即可求解作答.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，于是得，
因此數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，首項(xiàng)，則，所以.
故選：D
二、練
【訓(xùn)練1】（2022秋·湖南益陽(yáng)·高二校考階段練習(xí)）（多選）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”（下圖所示的是一個(gè)4層的三角跺）.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，設(shè)第n層有個(gè)球，從上往下n層球的球的總數(shù)為，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)題意求得，進(jìn)而可得，利用累加法求出即可判斷選項(xiàng)A、C；計(jì)算前7項(xiàng)的和即可判斷B；利用裂項(xiàng)相消求和法即可判斷D.
【詳解】由題意得，
，
以上n個(gè)式子累加可得
，
又滿足上式，所以，故A錯(cuò)誤；
則，
得，故B正確；
有，故C正確；
由，
得，
故D正確.
故選：BCD.
【訓(xùn)練2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）對(duì)于數(shù)列，把它連續(xù)兩項(xiàng)與的差記為得到一個(gè)新數(shù)列，稱數(shù)列為原數(shù)列的一階差數(shù)列.若，則數(shù)列是的二階差數(shù)列，以此類推，可得數(shù)列的p階差數(shù)列.如果某數(shù)列的p階差數(shù)列是一個(gè)非零的常數(shù)列，則稱此數(shù)列為p階等差數(shù)列，如數(shù)列1，3，6，10.它的前后兩項(xiàng)之差組成新數(shù)列2，3，4.新數(shù)列2，3，4的前后兩項(xiàng)之差再組成新數(shù)列1，1，1，新數(shù)列1，1，1為非零常數(shù)列，則數(shù)列1，3，6，10稱為二階等差數(shù)列.已知數(shù)列滿足，且，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．?dāng)?shù)列為二階等差數(shù)列
B．?dāng)?shù)列為三階等差數(shù)列
C．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為
D．若數(shù)列為k階等差數(shù)列，則的前n項(xiàng)和為階等差數(shù)列
【答案】ABD
【分析】根據(jù)前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系可得，利用累積法可得.對(duì)于A、B、D：根據(jù)題意分析運(yùn)算即可；對(duì)于C：利用裂項(xiàng)相消法運(yùn)算即可.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，
兩式相減得：，整理得，
注意到，則，
當(dāng)時(shí)，則；
顯然當(dāng)，符合上式；
故.
對(duì)于A：，
為非零常數(shù)，
故數(shù)列為二階等差數(shù)列，故A正確；
對(duì)于B：對(duì)數(shù)列，它的一階差數(shù)列為為二階等差數(shù)列，故為三階等差數(shù)列，故B正確；
對(duì)于C：因?yàn)椋?br/>故的前項(xiàng)和為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：對(duì)數(shù)列，它的一階差數(shù)列為，
若為階等差數(shù)列，故為階等差數(shù)列，故D正確.
故選：ABD.
【訓(xùn)練3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是等比數(shù)列 B．是等比數(shù)列
C． D．
【答案】BC
【分析】由條件變形，先求的通項(xiàng)公式，再判斷選項(xiàng)
【詳解】由題意得，故是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
，則．故B，C正確，A錯(cuò)誤
,
,
兩式相減得：，故D錯(cuò)誤．
故選：BC
三、測(cè)
【訓(xùn)練1】（2023秋·吉林·高二吉林市田家炳高級(jí)中學(xué)校考期末）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前100項(xiàng)和 ．
【答案】
【分析】疊加法求解，再裂項(xiàng)相消法求和即可.
【詳解】∵，∴時(shí)，．
∴（），
當(dāng)時(shí)也滿足上式，∴（）
∴，（）
∴數(shù)列的前項(xiàng)和
（）
所以數(shù)列的前100項(xiàng)和．
故答案為：．
【訓(xùn)練2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式 .
【答案】n
【分析】先利用累乘法將的通項(xiàng)公式求出，再利用與的關(guān)系，求出的通項(xiàng)公式即可.
【詳解】解：∵，∴
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，成立，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，滿足上式，
∴.
故答案為：n
【訓(xùn)練3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .
【答案】
【分析】將整理為，即可得到數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，然后求即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，解得，不滿足，所以，同理，
由可得，當(dāng)時(shí)，，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，
所以.
故答案為：.
考點(diǎn)3：數(shù)列的周期性、單調(diào)性、最值
一、講
1.解決數(shù)列單調(diào)性問(wèn)題的三種方法
(1)用作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號(hào)判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或常數(shù)列.
(2)用作商比較法，根據(jù)(an＞0或an＜0)與“1”的大小關(guān)系進(jìn)行判斷.
(3)結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷.
2.求數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的常用方法
(1)函數(shù)法，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值.
(2)利用(n≥2)確定最大項(xiàng)，利用(n≥2)確定最小項(xiàng).
3.解決數(shù)列周期性問(wèn)題的方法
先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.
【典例1】已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，，則（ ）
A．0 B．1 C．675 D．2023
【答案】B
【分析】利用函數(shù)計(jì)算可得，再利用數(shù)列的周期性可求.
【詳解】的定義域?yàn)椋遥?br/>故為上的奇函數(shù).
而，
因在上為增函數(shù)，在為增函數(shù)，
故為上的增函數(shù).
又即為，故，
因?yàn)椋蕿橹芷跀?shù)列且周期為3.
因?yàn)椋?br/>所以.
故選：B.
【典例2】已知數(shù)列滿足，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件求出數(shù)列通項(xiàng)，再由數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列列出不等式并分離參數(shù)即可推理計(jì)算作答
【詳解】由可得，
兩式相減可得，則，
當(dāng)時(shí)，可得滿足上式，故，
所以，
因數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，即，
則
整理得，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
于是得是數(shù)列的最大項(xiàng)，即當(dāng)時(shí)，取得最大值，從而得，
所以的取值范圍為．
故選：A
【典例3】已知數(shù)列滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)的值為（ ）
A．2020 B．2024 C．2022 D．2023
【答案】A
【分析】利用作商法可得，討論n的取值判斷與1的大小關(guān)系，即可得最大時(shí)的值.
【詳解】∵，
∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴根據(jù)選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，取得最大值.
故選：A．
二、練
【訓(xùn)練1】（多選）在無(wú)窮數(shù)列中，若，總有，此時(shí)定義為“階梯數(shù)列”.設(shè)為“階梯數(shù)列”，且，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】根據(jù)“階梯數(shù)列”的性質(zhì)，結(jié)合題中條件，確定數(shù)列以為周期，進(jìn)而可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)闉椤半A梯數(shù)列”，由可得，，，，，…，
觀察可得，，，
即數(shù)列以為周期，
又，，所以，即，
綜上，，，，
故A正確，B錯(cuò)；
，即C正確；
，即D正確.
故選：ACD.
【訓(xùn)練2】（多選）分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)，分形幾何具有自身相似性，從它的任何一個(gè)局部經(jīng)過(guò)放大，都可以得到一個(gè)和整體全等的圖形.如下圖的雪花曲線，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖2，如此繼續(xù)下去，得圖（3）...記為第個(gè)圖形的邊長(zhǎng)，記為第個(gè)圖形的周長(zhǎng)，為的前項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A． B．
C．若為中的不同兩項(xiàng)，且，則最小值是1 D．若恒成立，則的最小值為
【答案】ACD
【分析】對(duì)于A，從前后兩個(gè)圖之間的關(guān)系可求出，對(duì)于B，由題意可知，數(shù)列是1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而可求出，對(duì)于C，由結(jié)合，可得，而，從而可求出的值，則可求出的值，進(jìn)而可求得最小值，對(duì)于D，由在上遞增和在上遞增，可求得結(jié)果.
【詳解】解：對(duì)于A，由題意可知，下一個(gè)圖形的邊長(zhǎng)是上一個(gè)圖邊長(zhǎng)的，邊數(shù)是上一個(gè)圖形的4倍，則周長(zhǎng)之間的關(guān)系為，所以數(shù)列是公比為，首項(xiàng)為3的等比數(shù)列，所以，所以A正確，
對(duì)于B，由題意可知，從第2個(gè)圖形起，每一個(gè)圖形的邊長(zhǎng)均為上一個(gè)圖形邊長(zhǎng)的，所以數(shù)列是1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，由，，得，所以，所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以最小值是1，所以C正確，
對(duì)于D，因?yàn)樵谏线f增，所以，即，
令，則在上遞增，
所以，即，即，
因?yàn)楹愠闪ⅲ缘淖钚≈禐椋訢正確，
故選：ACD
【典例3】（多選）已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，則下列敘述正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為 B．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為
C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列
【答案】ABC
【分析】分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況下，根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)和的正負(fù)得到最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，知AB正誤；利用和可知CD正誤.
【詳解】對(duì)于A，由題意知：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，最大；
綜上所述：數(shù)列的最大項(xiàng)為，A正確；
對(duì)于B，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，最小；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；
綜上所述：數(shù)列的最小項(xiàng)為，B正確；
對(duì)于C，，，
，
，，，
數(shù)列為遞增數(shù)列，C正確；
對(duì)于D，，，
；
，，，又，
，數(shù)列為遞減數(shù)列，D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
三、測(cè)
【訓(xùn)練1】已知數(shù)列對(duì)任意的，都有，且，當(dāng)時(shí)， .
【答案】4
【分析】通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)數(shù)列從第三項(xiàng)起為周期數(shù)列，則得到，計(jì)算出即可.
【詳解】根據(jù)題意知
是偶數(shù)，
是偶數(shù)，
是偶數(shù)，
是偶數(shù)，
是奇數(shù)，
是偶數(shù)，
是偶數(shù)，
是奇數(shù)，
從第三項(xiàng)開(kāi)始，正整數(shù)數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，
，
，
故答案為：4.
【訓(xùn)練2】已知數(shù)列滿足：，若，且數(shù)列為遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，兩邊同時(shí)取倒數(shù)，然后變形即可得到數(shù)列是等比數(shù)列，從而得到，再根據(jù)其為遞增數(shù)列，列出不等式，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋瑑蛇吶〉箶?shù)可得：，
變形可得，所以數(shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為，所以，
則，又，數(shù)列為遞增數(shù)列，
所以，即.
當(dāng)時(shí)，，即，解得.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為:.
【訓(xùn)練3】已知數(shù)列滿足則的最小值為_(kāi)_________.
【答案】
【分析】先利用累加法求出an＝33+n2﹣n，所以，設(shè)f（n），由此能導(dǎo)出n＝5或6時(shí)f（n）有最小值．借此能得到的最小值．
【詳解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+33＝n2﹣n+33
且對(duì)n＝1也適合，所以an＝n2﹣n+33．
從而
設(shè)f（n），令f′（n），
則f（n）在上是單調(diào)遞增，在上是遞減的，
因?yàn)閚∈N+，所以當(dāng)n＝5或6時(shí)f（n）有最小值．
又因?yàn)椋?br/>所以的最小值為
故答案為
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專題01數(shù)列概念與表示
考點(diǎn)1：由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式
一、講
1.已知Sn求an的常用方法是利用an＝轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項(xiàng)公式.
2.Sn與an關(guān)系問(wèn)題的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解.
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解.
【典例1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）數(shù)列的前項(xiàng)為，已知，下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．為等差數(shù)列 B．可能為等比數(shù)列
C．為等差數(shù)列或等比數(shù)列 D．可能既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列
【典例2】（2023·高二單元測(cè)試）（多選）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則下列選項(xiàng)正確的為（ ）
A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列
C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為
D．
二、練
【訓(xùn)練1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則實(shí)數(shù)的值是（ ）
A． B．3 C． D．1
【訓(xùn)練2】（2023秋·浙江杭州·高二杭州四中校考期末）已知數(shù)列滿足，設(shè)，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為（ ）
A． B． C． D．
三、測(cè)
【訓(xùn)練1】（2021·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .
【訓(xùn)練2】（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）已知在數(shù)列中，，，則 .
【訓(xùn)練3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .
考點(diǎn)2：累加、累乘、構(gòu)造求通項(xiàng)公式
一、講
累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an
累乘法——形如＝f(n)，求an
構(gòu)造法——形如an＋1＝pan＋q的遞推關(guān)系式可以化為(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，構(gòu)成新的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，求變量x是關(guān)鍵.
【典例1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則的最小值是（ ）
A．-15 B．-14 C．-11 D．-6
【典例2】（2022秋·寧夏銀川·高三校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A． B． C． D．
二、練
【訓(xùn)練1】（2022秋·湖南益陽(yáng)·高二校考階段練習(xí)）（多選）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”（下圖所示的是一個(gè)4層的三角跺）.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，設(shè)第n層有個(gè)球，從上往下n層球的球的總數(shù)為，則（ ）
A． B．
C． D．
【訓(xùn)練2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）對(duì)于數(shù)列，把它連續(xù)兩項(xiàng)與的差記為得到一個(gè)新數(shù)列，稱數(shù)列為原數(shù)列的一階差數(shù)列.若，則數(shù)列是的二階差數(shù)列，以此類推，可得數(shù)列的p階差數(shù)列.如果某數(shù)列的p階差數(shù)列是一個(gè)非零的常數(shù)列，則稱此數(shù)列為p階等差數(shù)列，如數(shù)列1，3，6，10.它的前后兩項(xiàng)之差組成新數(shù)列2，3，4.新數(shù)列2，3，4的前后兩項(xiàng)之差再組成新數(shù)列1，1，1，新數(shù)列1，1，1為非零常數(shù)列，則數(shù)列1，3，6，10稱為二階等差數(shù)列.已知數(shù)列滿足，且，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．?dāng)?shù)列為二階等差數(shù)列
B．?dāng)?shù)列為三階等差數(shù)列
C．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為
D．若數(shù)列為k階等差數(shù)列，則的前n項(xiàng)和為階等差數(shù)列
【訓(xùn)練3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是等比數(shù)列 B．是等比數(shù)列
C． D．
三、測(cè)
【訓(xùn)練1】（2023秋·吉林·高二吉林市田家炳高級(jí)中學(xué)校考期末）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前100項(xiàng)和 ．
【訓(xùn)練2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式 .
【訓(xùn)練3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .
考點(diǎn)3：數(shù)列的周期性、單調(diào)性、最值
一、講
1.解決數(shù)列單調(diào)性問(wèn)題的三種方法
(1)用作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號(hào)判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或常數(shù)列.
(2)用作商比較法，根據(jù)(an＞0或an＜0)與“1”的大小關(guān)系進(jìn)行判斷.
(3)結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷.
2.求數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的常用方法
(1)函數(shù)法，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值.
(2)利用(n≥2)確定最大項(xiàng)，利用(n≥2)確定最小項(xiàng).
3.解決數(shù)列周期性問(wèn)題的方法
先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.
【典例1】已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，，則（ ）
A．0 B．1 C．675 D．2023
【典例2】已知數(shù)列滿足，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】已知數(shù)列滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)的值為（ ）
A．2020 B．2024 C．2022 D．2023
二、練
【訓(xùn)練1】（多選）在無(wú)窮數(shù)列中，若，總有，此時(shí)定義為“階梯數(shù)列”.設(shè)為“階梯數(shù)列”，且，，，則（ ）
A． B． C． D．
【訓(xùn)練2】（多選）分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)，分形幾何具有自身相似性，從它的任何一個(gè)局部經(jīng)過(guò)放大，都可以得到一個(gè)和整體全等的圖形.如下圖的雪花曲線，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖2，如此繼續(xù)下去，得圖（3）...記為第個(gè)圖形的邊長(zhǎng)，記為第個(gè)圖形的周長(zhǎng)，為的前項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A． B．
C．若為中的不同兩項(xiàng)，且，則最小值是1 D．若恒成立，則的最小值為
【典例3】（多選）已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，則下列敘述正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為 B．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為
C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列
三、測(cè)
【訓(xùn)練1】已知數(shù)列對(duì)任意的，都有，且，當(dāng)時(shí)， .
【訓(xùn)練2】已知數(shù)列滿足：，若，且數(shù)列為遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【訓(xùn)練3】已知數(shù)列滿足則的最小值為_(kāi)_________.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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