資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
專題02等差數(shù)列及前n項(xiàng)和
考點(diǎn)4： 等差數(shù)列基本量的求解
一、講
1.等差數(shù)列的概念
(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.
數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù)).
(2)等差中項(xiàng)：由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，這時(shí)A叫做a與b的等差中項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的定義可知2A＝a＋b.
2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式
(1)若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋＝.
3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想來(lái)解決問(wèn)題.
4.數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.
【典例1】（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列是等差數(shù)列，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．為定值 B．若，則時(shí)最大
C．若，使為負(fù)值的n值有3個(gè) D．若，則
【典例2】（多選）（2023·山東棗莊·統(tǒng)考二模）已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，，公差，則（ ）
A．
B．當(dāng)或6時(shí)，取得最小值為30
C．?dāng)?shù)列的前10項(xiàng)和為50
D．當(dāng)時(shí)，與數(shù)列共有671項(xiàng)互為相反數(shù)．
二、練
【訓(xùn)練1】（2023秋·天津河西·高三天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則
A． B． C． D．
【訓(xùn)練2】（2023春·河南許昌·高二禹州市高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列首項(xiàng)為1，且成等差數(shù)列，則前6項(xiàng)和為（ ）
A．31 B． C． D．63
三、測(cè)
【訓(xùn)練1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則 ．
【訓(xùn)練2】（2023·四川成都·成都七中校考模擬預(yù)測(cè)）用表示等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則m的值為 ．
【訓(xùn)練3】（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·校考模擬預(yù)測(cè)）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則 ．
考點(diǎn)5：等差數(shù)列的判定與證明
一、講
1.等差數(shù)列的判定與證明的常用方法
(1)定義法：對(duì)任意n∈N*，an＋1－an是同一常數(shù).
(2)等差中項(xiàng)法：2an＋1＝an＋an＋2 {an}為等差數(shù)列.
(3)通項(xiàng)公式法：an＝an＋b(a，b是常數(shù)) {an}為等差數(shù)列.
(4)前n項(xiàng)和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù)) {an}為等差數(shù)列.
2.若要判定一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需找出三項(xiàng)an，an＋1，an＋2，使得這三項(xiàng)不滿足2an＋1＝an＋an＋2即可.
【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并證明，，是等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
二、練
【訓(xùn)練1】（2022春·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，在①②，，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，解答下列問(wèn)題：
(1)求的通項(xiàng)公式：
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和
【訓(xùn)練2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且
(1)求，并證明數(shù)列是等差數(shù)列：
(2)若，求正整數(shù)的所有取值.
三、測(cè)
【訓(xùn)練1】（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）已知數(shù)列前n項(xiàng)積為，且．
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求證：．
【訓(xùn)練2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的公比為2，數(shù)列滿足，，．
(1)求和的通項(xiàng)公式；
(2)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：．
【訓(xùn)練3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，向量，，．
(1)令，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)求證：．
考點(diǎn)6：等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
一、講
等差數(shù)列的性質(zhì)
(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.
(4)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列.
(5)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列也為等差數(shù)列.
【典例1】（多選）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是（ ）．
A．若數(shù)列為等差數(shù)列，則恒成立
B．若數(shù)列為等差數(shù)列，則，，，…為等差數(shù)列
C．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則
D．若數(shù)列為等比數(shù)列，則，，，…為等比數(shù)列
【典例2】（多選）（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第一二二中學(xué)校校考一模）已知等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．的最大值為
C．的最小值為 D．
【典例3】（多選）（2023·遼寧沈陽(yáng)·沈陽(yáng)鐵路實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考二模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差．若，則（ ）
A． B． C． D．
二、練
【訓(xùn)練1】（2023秋·甘肅白銀·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，是方程的兩根，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為（ ）
A． B． C．15 D．30
【訓(xùn)練2】（2023春·遼寧大連·高二大連八中校考期中）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（ ）
A．0 B． C． D．
【訓(xùn)練3】（2022秋·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考期中）設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且滿足，.則當(dāng)取得最小值時(shí)，n的值為（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
三、測(cè)
【訓(xùn)練1】（2020春·四川成都·高三棠湖中學(xué)校考階段練習(xí)）記等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，若，則 .
【訓(xùn)練2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，已知，則 .
【訓(xùn)練3】（2023春·廣西南寧·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，則 .
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專題02等差數(shù)列及前n項(xiàng)和
考點(diǎn)4： 等差數(shù)列基本量的求解
一、講
1.等差數(shù)列的概念
(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.
數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù)).
(2)等差中項(xiàng)：由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，這時(shí)A叫做a與b的等差中項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的定義可知2A＝a＋b.
2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式
(1)若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋＝.
3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想來(lái)解決問(wèn)題.
4.數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.
【典例1】（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列是等差數(shù)列，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．為定值 B．若，則時(shí)最大
C．若，使為負(fù)值的n值有3個(gè) D．若，則
【答案】AD
【分析】根據(jù)題意利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，可判斷A；利用結(jié)合，解得公差，判斷數(shù)列的單調(diào)性，可判斷B；求得等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，解不等式可判斷C；求出數(shù)列公差和首項(xiàng)，即可求得，判斷D.
【詳解】由數(shù)列是等差數(shù)列，，有，即，
由等差數(shù)列性質(zhì)得為定值，選項(xiàng)A正確．
當(dāng)時(shí)，，公差，則數(shù)列是遞減數(shù)列，
則，，故時(shí)，最大，選項(xiàng)B錯(cuò)誤．
當(dāng)時(shí)，由于，則，，
令得，又，
故為負(fù)值的值有2個(gè)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．
當(dāng)時(shí)，設(shè)公差為d，即，結(jié)合,即,
解得，，故，選項(xiàng)D正確．
故選：AD
【典例2】（多選）（2023·山東棗莊·統(tǒng)考二模）已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，，公差，則（ ）
A．
B．當(dāng)或6時(shí)，取得最小值為30
C．?dāng)?shù)列的前10項(xiàng)和為50
D．當(dāng)時(shí)，與數(shù)列共有671項(xiàng)互為相反數(shù)．
【答案】AC
【分析】根據(jù)等差數(shù)列基本量求出通項(xiàng)公式及，即可判斷A、B；判斷通項(xiàng)大于零時(shí)的取值，將的前10項(xiàng)和列出，利用和之間的關(guān)系及的公式代入即可判斷C；分析中的負(fù)項(xiàng)的性質(zhì)及大小，進(jìn)而判斷中項(xiàng)的性質(zhì)及大小，計(jì)算項(xiàng)數(shù)即可.
【詳解】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列，且，公差，
所以，
，
所以，，
所以選項(xiàng)A正確；
因?yàn)椋?br/>根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性及開(kāi)口向下可知：
取得最大值為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
記的前10項(xiàng)和為，
因?yàn)椋?dāng)時(shí)，解得，
當(dāng)時(shí)，解得，
所以
，
因?yàn)椋裕?br/>所以，故選項(xiàng)C正確；
記，因?yàn)椋?br/>所以，所以當(dāng)時(shí)，，
由，，可知為偶數(shù)，
若與互為相反數(shù)，則，且為偶數(shù)，
由，所以為偶數(shù)，即為偶數(shù)，即為偶數(shù)，
即，即，且為偶數(shù)，所以，且為偶數(shù)，
故這樣的有670個(gè)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：AC
二、練
【訓(xùn)練1】（2023秋·天津河西·高三天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】分析：首先設(shè)出等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的求和公式，得到公差所滿足的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)果，之后應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，從而求得正確結(jié)果.
詳解：設(shè)該等差數(shù)列的公差為，
根據(jù)題中的條件可得，
整理解得，所以，故選B.
點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，在解題的過(guò)程中，需要利用題中的條件，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到與的關(guān)系，從而求得結(jié)果.
【訓(xùn)練2】（2023春·河南許昌·高二禹州市高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列首項(xiàng)為1，且成等差數(shù)列，則前6項(xiàng)和為（ ）
A．31 B． C． D．63
【答案】C
【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.
【詳解】∵成等差數(shù)列，
∴，
∴，即，解得 或 ，
又∵，∴，
∴，
故選：C.
三、測(cè)
【訓(xùn)練1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意得，，再由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式解決即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
又因?yàn)椋?br/>所以，，
所以，
所以．
故答案為：
【訓(xùn)練2】（2023·四川成都·成都七中校考模擬預(yù)測(cè)）用表示等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則m的值為 ．
【答案】
【分析】利用等差中項(xiàng)性質(zhì)有，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式有，即可求參數(shù)值.
【詳解】由，則，
由，則，
所以.
故答案為：
【訓(xùn)練3】（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·校考模擬預(yù)測(cè)）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則 ．
【答案】
【分析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，根據(jù)已知條件，求出公差，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和，即可求得答案.
【詳解】是等差數(shù)列，且，
設(shè)等差數(shù)列的公差
根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式：
可得：
.
故答案為：.
考點(diǎn)5：等差數(shù)列的判定與證明
一、講
1.等差數(shù)列的判定與證明的常用方法
(1)定義法：對(duì)任意n∈N*，an＋1－an是同一常數(shù).
(2)等差中項(xiàng)法：2an＋1＝an＋an＋2 {an}為等差數(shù)列.
(3)通項(xiàng)公式法：an＝an＋b(a，b是常數(shù)) {an}為等差數(shù)列.
(4)前n項(xiàng)和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù)) {an}為等差數(shù)列.
2.若要判定一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需找出三項(xiàng)an，an＋1，an＋2，使得這三項(xiàng)不滿足2an＋1＝an＋an＋2即可.
【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)．
【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；
（2）法一：由（1）及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可得到的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．
【詳解】（1）因?yàn)椋储伲?br/>當(dāng)時(shí)，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以為公差的等差數(shù)列．
（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，當(dāng)或時(shí)，．
[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號(hào)法
由（1）可得，，，
又，，成等比數(shù)列，所以，
即，解得，
所以，即有.
則當(dāng)或時(shí)，．
【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，適用于可以求出的表達(dá)式；
法二：根據(jù)鄰項(xiàng)變號(hào)法求最值，計(jì)算量小，是該題的最優(yōu)解．
【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并證明，，是等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)，證明見(jiàn)解析；
(2)．
【分析】(1)利用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而求出，從而求出.證明即可證明，，是等差數(shù)列；
(2)根據(jù)通項(xiàng)公式的特征，分n為奇數(shù)和偶數(shù)討論其前n項(xiàng)和．
【詳解】（1）①，，
當(dāng)時(shí)，，∴或(舍)，
當(dāng)時(shí)，②，
①－②：，∴，
∵，∴，
∴是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴，，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為－2，公比為2的等比數(shù)列，
∴．
∵
，
∴，，成等差數(shù)列；
（2），
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
．
綜上可知．
二、練
【訓(xùn)練1】（2022春·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，在①②，，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，解答下列問(wèn)題：
(1)求的通項(xiàng)公式：
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若選①，由已知得， ，當(dāng)時(shí)，兩式相減有，再驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，是否滿足，可得數(shù)列的通項(xiàng)；
若選②，由已知得，，當(dāng)時(shí)，兩式相減，得，再驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，是否滿足，可得數(shù)列的通項(xiàng)；
若選③，由已知得，，
當(dāng)時(shí)，兩式相減，得，再驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，是否滿足，可得數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）由（1）得，由等差數(shù)列的定義得數(shù)列是以0為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可求得.
【詳解】（1）解：若選①，，則，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，符合上式，
所以；
若選②，，
當(dāng)時(shí)，
兩式相減，得，即，
又，，所以，所以，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為等比數(shù)列，所以；
若選③，數(shù)列滿足，
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減，可得，所以，
當(dāng)時(shí)，符合上式，
所以；
（2）解：，
，又，
所以數(shù)列是以0為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以.
【訓(xùn)練2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且
(1)求，并證明數(shù)列是等差數(shù)列：
(2)若，求正整數(shù)的所有取值.
【答案】(1)，證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)證明為定值即可；
（2）先根據(jù)（1）求出，再利用錯(cuò)位相減法求出，從而可得，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.
【詳解】（1）由，得，
當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得，即，
所以，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）得，所以，
，
，
兩式相減得，
所以，
則，
由，
得，
即，
令，
因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，
所以函數(shù)在上是增函數(shù)，
由，
，
則當(dāng)時(shí)，，
所以若，正整數(shù)的所有取值為.
三、測(cè)
【訓(xùn)練1】（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）已知數(shù)列前n項(xiàng)積為，且．
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求證：．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由已知得，，兩式相除整理得，從而可證得結(jié)論，
（2）由（1）可得，再利用累乘法求，從而，然后利用放縮法可證得結(jié)論
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br/>所以，
兩式相除，得，整理為，
再整理得，．
所以數(shù)列為以2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列．
（2）因?yàn)椋裕?br/>由（1）知，，故，
所以．
所以
．
又因?yàn)椋?br/>所以．
【訓(xùn)練2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的公比為2，數(shù)列滿足，，．
(1)求和的通項(xiàng)公式；
(2)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：．
【答案】(1)；
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）先計(jì)算出，從而得到的通項(xiàng)公式，再得到，即是等差數(shù)列，從而求出的通項(xiàng)公式；
（2）利用錯(cuò)位相減法求和得到，再判斷出是遞增數(shù)列，結(jié)合得到.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
又，解得．
所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故．
則，即．
所以是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，故．
（2）由（1）可得，，所以．
則①，
②，
①-②可得，
所以．
因?yàn)椋允沁f增數(shù)列．
則，故．
【訓(xùn)練3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，向量，，．
(1)令，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)求證：．
【答案】(1)證明見(jiàn)詳解
(2)證明見(jiàn)詳解
【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，進(jìn)而可得，結(jié)合等差數(shù)列的定義分析證明；
（2）利用裂項(xiàng)相消法分析證明.
【詳解】（1）由題意可得：，
則，可得，
故數(shù)列是以首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列.
（2）由（1）可得：，
則，
∵，故.
考點(diǎn)6：等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
一、講
等差數(shù)列的性質(zhì)
(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.
(4)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列.
(5)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列也為等差數(shù)列.
【典例1】（多選）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是（ ）．
A．若數(shù)列為等差數(shù)列，則恒成立
B．若數(shù)列為等差數(shù)列，則，，，…為等差數(shù)列
C．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則
D．若數(shù)列為等比數(shù)列，則，，，…為等比數(shù)列
【答案】BD
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)判定AB選項(xiàng)，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)判定CD選項(xiàng).
【詳解】若數(shù)列為等差數(shù)列，不妨設(shè)其公差為d,則,
顯然當(dāng)才相等，故A錯(cuò)誤，
而，作差可得成立，故B正確；
若數(shù)列為等比數(shù)列，且，，設(shè)其公比為q，
則，作商可得或所以 或，故C錯(cuò)誤；
由題意得各項(xiàng)均不為0，而實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，，
即且，結(jié)合選項(xiàng)B的計(jì)算可得，故D正確.
故選：BD.
【典例2】（多選）（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第一二二中學(xué)校校考一模）已知等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．的最大值為
C．的最小值為 D．
【答案】ACD
【分析】先由數(shù)列為等差數(shù)列，得再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可.
【詳解】對(duì)于A,數(shù)列為等差數(shù)列，，
數(shù)列為遞減的等差數(shù)列，
故A正確，
對(duì)于B, 數(shù)列為遞減的等差數(shù)列，
的最大值為，
故B錯(cuò)，
對(duì)于C,
由得
的最小值為,即，
故C正確，
對(duì)于D,
故D正確.
故選：ACD
【典例3】（多選）（2023·遼寧沈陽(yáng)·沈陽(yáng)鐵路實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考二模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差．若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的二次函數(shù)性質(zhì)求得且，進(jìn)而判斷各項(xiàng)的正誤即可.
【詳解】由題意，又，
結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)知：對(duì)稱軸，且，即，
所以，，.
綜上，A、B、D對(duì)，C錯(cuò).
故選：ABD
二、練
【訓(xùn)練1】（2023秋·甘肅白銀·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，是方程的兩根，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為（ ）
A． B． C．15 D．30
【答案】D
【分析】根據(jù)韋達(dá)定理得到，利用等差數(shù)列求和公式及等差數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.
【詳解】，是方程的兩根，
所以，
又是等差數(shù)列，
所以其前20項(xiàng)和為．
故選：D
【訓(xùn)練2】（2023春·遼寧大連·高二大連八中校考期中）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)可得：，，也成等差數(shù)列，即可得出．
【詳解】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)可得：，，也成等差數(shù)列，
，
，解得．
故選：C.
【訓(xùn)練3】（2022秋·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考期中）設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且滿足，.則當(dāng)取得最小值時(shí)，n的值為（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【分析】設(shè)出公差d，由可得，從而得到公差大于0，得到，從而得到答案.
【詳解】設(shè)公差為d，由于，即，即， 即，由于，所以，從而可得，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，n的值為6
故選：B
三、測(cè)
【訓(xùn)練1】（2020春·四川成都·高三棠湖中學(xué)校考階段練習(xí)）記等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，若，則 .
【答案】
【分析】結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,可得,求解即可.
【詳解】由題意,,,
因?yàn)?所以.
故答案為:.
【訓(xùn)練2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，已知，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可化簡(jiǎn)得到，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得答案.
【詳解】由題意在等差數(shù)列中，設(shè)公差為d,
則
所以，于是，
故答案為：10
【訓(xùn)練3】（2023春·廣西南寧·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，則 .
【答案】4.
【分析】根據(jù)已知求出和的關(guān)系，再結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求得結(jié)果.
【詳解】因，所以，即，
所以．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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