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專題03等比數列及前n項和
考點7：等比數列基本量的求解
一、講
1.等比數列的概念
(1)定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母q表示(顯然q≠0).
數學語言表達式：＝q(n≥2，q為非零常數).
(2)等比中項：如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項，則G2＝ab.
2. 等比數列的通項公式及前n項和公式
(1)若等比數列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝a1qn－1；
通項公式的推廣：an＝amqn－m.
(2)等比數列的前n項和公式：當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝＝.
3. 等比數列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解.
【典例1】（多選）（2023秋·江蘇徐州·高三校考開學考試）已知正項的等比數列中，，設其公比為，前項和為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】由，根據等比數列的通項公式的計算，求得，進而求得通項公式和的值，再由，，結合選項，即可求解.
【詳解】因為，可得，即，解得或，
又由正項的等比數列，可得，所以，所以A正確；
數列的通項公式為，所以B正確；
則，所以C不正確；
由，則，，所以，所以D正確.
故選：ABD.
【典例2】（多選）（2023·云南昆明·統考模擬預測）已知a，b，c為非零實數，則下列說法一定正確的是（ ）
A．若a，b，c成等比數列，則，，成等比數列
B．若a，b，c成等差數列，則，，成等差數列
C．若a2，b2，c2成等比數列，則a，b，c成等比數列
D．若a，b，c成等差數列，則，，成等比數列
【答案】AD
【分析】根據等差數列和等比數列的中項公式，即可判斷.
【詳解】A.若a，b，c成等比數列，則，則，所以，，成等比數列，故A正確；
B.數列1，2，3是等差數列，但數列，，不是等差數列，故B錯誤；
C.若a2，b2，c2成等比數列，則，或，若，則a，b，c不成等比數列，故C錯誤；
D.若a，b，c成等差數列，則，則成立，所以，，成等比數列，故D正確.
故選：AD
【典例3】（多選）（2023秋·湖南衡陽·高三衡陽市八中校考階段練習）設是公比為正數等比數列的前n項和，若，，則（ ）
A． B．
C．為常數 D．為等比數列
【答案】ACD
【分析】根據等比數列的性質可得公比，進而可得通項公式與，再逐個選項判斷即可.
【詳解】設公比為，則，解得，故，
則，.
對A，，故A正確；
對B，，故B錯誤；
對C，為常數，故C正確；
對D，，，故為等比數列，故D正確；
故選：ACD
二、練
【訓練1】（2023秋·廣東深圳·高三深圳市云頂學校校考階段練習）已知等比數列的前3項和為168，，則（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【分析】設等比數列的公比為，易得，根據題意求出首項與公比，再根據等比數列的通項即可得解.
【詳解】解：設等比數列的公比為，
若，則，與題意矛盾，
所以，
則，解得，
所以.
故選：D.
【訓練2】（2023春·海南儋州·高二海南省洋浦中學校考期中）等差數列的首項為1，公差不為0，若成等比數列，則前6項的和為（ ）
A． B． C．3 D．8
【答案】A
【分析】設等差數列的公差，由成等比數列求出，代入可得答案.
【詳解】設等差數列的公差，
∵等差數列的首項為1， 成等比數列，
∴，
∴，且，，
解得，
∴前6項的和為.
故選：A.
【訓練3】（2023秋·高二課時練習）已知各項均為正數的等比數列的前項和為，若，則的值為（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】設出公比根據題干條件列出方程，求出公比，從而利用等比數列通項的基本量計算求出答案.
【詳解】設數列的公比為，
則，得，
解得或（舍），
所以.
故選：A.
三、測
【訓練1】（2023·全國·高三專題練習）已知是等比數列的前項和，，，則 ．
【答案】/7.75
【分析】由條件結合等比數列通項公式求首項和公比，再利用求和公式求.
【詳解】設等比數列的公比為，
由，，
可得，，
解方程得，或，
當時，，
當時，，
所以.
故答案為：.
【訓練2】（2023·重慶·重慶南開中學校考模擬預測）是公差不為零的等差數列，前項和為，若，，，成等比數列，則 .
【答案】1012
【分析】根據等差數列的通項與求和公式以及等比中項的性質，代入即可求得.
【詳解】設等差數列的公差為，因為，則，所以，
因為，，成等比數列，所以，即
解得或(不合題意，舍去)，所以，解得，
所以，所以.
故答案為：1012
【訓練3】（2023春·遼寧沈陽·高二沈陽二中校考階段練習）對于一個給定的數列，把它的連續兩項與的差記為，得到一個新數列，把數列稱為原數列的一階差數列.若數列為原數列的一階差數列，數列為原數列的一階差數列，則稱數列為原數列的二階差數列.已知數列的二階差數列是等比數列，且，則數列的通項公式 .
【答案】
【分析】運用等比數列通項公式及累加法可求得結果.
【詳解】設數列為原數列的一階差數列，為原數列的二階差數列.
則由題意可知.
又為等比數列，故公比，所以，即.
當時，，
將代入得，符合，
所以，.
所以，
當時，，
將代入得，符合，
所以，.
故答案為：.
考點8：等比數列的判定與證明
一、講
1.證明一個數列為等比數列常方法
①定義法(作比法): ＝q(n≥2，q為非零常數).
②等比中項法:.
③其他方法(通項公式，前n項和公式)只用于選擇題、填空題中的判定；
若證明某數列不是等比數列，則只要證明存在連續三項不成等比數列即可.
2.在利用遞推關系判定等比數列時，要注意對n＝1的情形進行驗證.
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）設數列前n項和滿足，．
(1)證明：數列為等比數列；
(2)記，求數列的前n項和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據條件以及消去，結合等比數列的定義可得答案；
（2）先求出的通項公式，得到的通項公式，利用裂項相消法可求答案.
【詳解】（1）證明：∵，且，
∴，
∴，
∴，令，可得，
∴，
所以數列是首項為，公比為的等比數列．
（2）由（1）可得，
∴，
∴；
∴
；
∴.
【典例2】（2023·山東煙臺·校聯考三模）已知數列滿足，.
(1)證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；
(2)若，數列的前項和，求證：.
【答案】(1)證明見解析，
(2)證明見解析
【分析】（1）根據遞推公式證明為定值，即可證明數列為等比數列，再根據等比數列得通項即可得解；
（2）由，得，則，則，再利用裂項相消法求出數列的前項和，即可得證.
【詳解】（1）因為，所以，
則，
又，
所以數列是以為首項，為公比的等比數列，
則，
所以；
（2）由，得，
則，
所以，
所以，
所以
，
因為，所以，
所以.
二、練
【訓練1】（2023·全國·高二隨堂練習）已知數列的首項，且滿足．
（1）求證：數列為等比數列．
（2）若，求滿足條件的最大整數n．
【答案】（1）證明見解析； （2）.
【分析】（1）由，化簡得到，結合等比數列的定義，即可求解；
（2）由（1）求得，根據等比數列的求和公式和常數列的求和公式，求得，根據，即可求解.
【詳解】（1）由題意，數列滿足，可得，
可得，即，
又由，所以，
所以數列表示首項為，公比為的等比數列.
（2）由（1）可得，所以
設數列的前項和為，
則
，
若，即，
因為函數為單調遞增函數，
所以滿足的最大整數的值為.
【訓練2】（2023·江蘇南通·統考三模）已知數列滿足，，．
(1)證明：是等比數列；
(2)證明：存在兩個等比數列，，使得成立．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由構造出，用等比數列定義證明即可；
（2）通過兩次構造等比數列，求出的通項公式，根據通項公式得出結論即可.
【詳解】（1）由已知，，∴，
∴，
顯然與，矛盾，∴，
∴，
∴數列是首項為，公比為的等比數列.
（2）∵，∴，
∴，
顯然與，矛盾，∴，
∴∴，
∴數列是首項為，公比為的等比數列，
∴，①，
又∵由第（1）問，，②，
∴②①得，，
∴存在，，兩個等比數列，， 使得成立．
三、測
【訓練1】（2023秋·江西·高三校聯考階段練習）記數列的前n項和為，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)設m為整數，且對任意，，求m的最小值．
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）由數列與的關系可得，再結合等比數列的通項可得解；
（2）利用錯位相減法求出，結合范圍即可得解.
【詳解】（1）因為，所以，
當時，，故，
且不滿足上式，
故數列的通項公式為
（2）設，則，
當時，，
故，
于是．
整理可得，所以，
又，所以符合題設條件的m的最小值為7．
【訓練2】（2023·江蘇常州·校考一模）已知數列的首項，前項和為，，，（）總是成等差數列.
(1)證明數列為等比數列；
(2)求滿足不等式的正整數的最小值.
【答案】(1)證明見解析
(2)3
【分析】（1）由已知可得，化簡得（），則有，兩式相減化簡可證得結論，
（2）由（1）將不等式化為，然后分為奇數和偶數兩種情況求解即可.
【詳解】（1）因為，，（）總是成等差數列，
所以（），
整理得（），
所以，
所以，
所以，
所以，
因為，
所以數列是以2為首項，為公比的等比數列，
（2）由（1）可得，
因為，
所以，
所以，
當為奇數時，，得，解得，
當為偶數時，，得，解得，此時無解
綜上得正整數n的最小值為3.
【訓練3】（2023秋·廣東佛山·高三佛山市南海區桂城中學校考階段練習）已知數列的首項，且滿足，設.
(1)求證：數列為等比數列；
(2)若，求滿足條件的最小正整數.
【答案】(1)證明見解析
(2)140
【分析】（1）利用等比數列的定義證明即可；
（2）利用分組求和的方法得到，然后利用的增減性解不等式即可.
【詳解】（1）
，
，所以數列為首項為，公比為等比數列.
（2）由（1）可得
，
即
∴
而隨著的增大而增大
要使，即，則，
∴的最小值為140.
考點9：等比數列的性質
一、講
等比數列的性質
已知{an}是等比數列，Sn是數列{an}的前n項和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數列，公比為qm.
(3)當q≠－1，或q＝－1且n為奇數時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數列，其公比為qn.
(4)當q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0時，{an}是遞增數列；當q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0時，{an}是遞減數列.
【典例1】（2023秋·山東臨沂·高三校考階段練習）已知數列的前項和為，且，（，為常數），則下列結論正確的有（ ）
A．一定是等比數列 B．當時，
C．當時， D．
【答案】ABC
【分析】對于A，利用數列的遞推關系得和當時，，再利用，結合等比數列的概念對A進行判斷；對于B，利用A的結論，結合等比數列的通項公式得，當時，利用等比數列的求和，計算出；對于C，當時，利用指數冪的運算，對C進行判斷；對于D，利用，計算得，對D進行判斷.
【詳解】對于A，在數列中，因為， 為非零常數，
所以當時，，解得，
當時，，
由得，即，又因為，
所以數列是首項為，公比為的等比數列，故A正確；
對于B，由得，因此當時，，
所以，故B正確；
對于C，由得，因此當時，，
所以，故C正確；
對于D，由得，
因此，
，
所以，故D錯誤．
故選：ABC．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知數列的前n項和是，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則是等差數列
B．若，，則是等比數列
C．若是等差數列，則，，成等差數列
D．若是等比數列，則，，成等比數列
【答案】ABC
【分析】求出通項公式判斷AB；利用數列前n項和的意義、結合等差數列推理判斷C；舉例說明判斷D作答.
【詳解】對于A，，時，，解得，因此，，是等差數列，A正確；
對于B，，，則，而，是等比數列，B正確；
對于C，設等差數列的公差為，首項是，
，
，
因此，則 ，成等差數列，C正確；
對于D，若等比數列的公比，則 不成等比數列，D錯誤.
故選：ABC
【典例3】（2023春·山西晉城·高二晉城市第一中學校校考階段練習）設等比數列的公比為q，其前n項和為，前n項積為，并滿足條件，，，下列結論正確的是（ ）
A．
B．
C．是數列中的最大值
D．若，則n最大為4038．
【答案】ABD
【分析】先根據題意可確定，根據可判斷A；根據等比數列的性質結合可判斷B；根據數列是遞減數列，且，判斷C；再根據的公式，結合，判斷D即可.
【詳解】對A，∵，，，且數列為等比數列，
∴，，∴，
因為，∴，故A正確；
對B，∵，∴，故B正確；
對C，因為等比數列的公比，，所以數列是遞減數列，
因為，，所以是數列中的最大項，故C錯誤；
對D，，因為，，故，，故，即，故n最大為4038，故D正確．
故選：ABD．
二、練
【訓練1】（2023春·河南南陽·高二南陽中學校考階段練習）已知數列為遞減的等比數列，，且，，則的公比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由等比數列下標和性質，結合數列單調性可求得，根據等比數列通項公式可求得結果.
【詳解】為遞減的等比數列，，解得：（舍）或，
的公比.
故選：A.
【訓練2】（2023·廣西·統考模擬預測）已知正項等比數列滿足，則取最大值時的值為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】利用等比數列的通項公式及函數的單調性，結合數列的單調性即可求解.
【詳解】設等比數列的公比為，有，
由函數單調遞增，且，可得.
有，由數列單調遞減，
所以取得最大值時的值為9，
故選：B.
【訓練3】（2023·內蒙古通遼·校考模擬預測）已知等比數列的各項均為正數，且，則（ ）
A．7 B．9 C．81 D．3
【答案】D
【分析】根據等比數列的性質以及對數的運算性質可求出結果.
【詳解】依題意可得，
又，所以，
所以.
故選：D
三、測
【訓練1】（2023春·廣西南寧·高二校聯考開學考試）等比數列是遞減數列，前n項的積為，若，則 ．
【答案】2
【分析】由題意可得，且，由條件可得，化簡得，再由，求得的值．
【詳解】解：等比數列是遞減數列，其前項的積為，若，設公比為，
則由題意可得，且．
，．
又由等比數列的性質可得，．
故答案為：2．
【訓練2】（2023·全國·高三專題練習）已知數列中，，，則的前200項和 .
【答案】
【解析】當時，可知，進而可知，即，從而可知的奇數項和偶數項都是等比數列，進而分奇偶兩部分，可求出.
【詳解】由，，得.
當時，，所以，即，
所以的奇數項是以1為首項，2為公比的等比數列；其偶數項是以2為首項，2為公比的等比數列.
則.
故答案為：.
【點睛】本題考查數列求和，考查等比數列前項和公式的應用，注意分奇偶項進行討論，屬于中檔題.
【訓練3】（2022春·四川攀枝花·高一攀枝花七中校考階段練習）設等比數列的前n項和為，若，，則 ．
【答案】81
【分析】根據等比數列的性質可得，，，，…成等比數列，并設其公比為，又，由等比數列的性質，即可求出結果.
【詳解】因為數列為等比數列，
由等比數列的性質可得，，，，…成等比數列，并設其公比為．
又由題意可得，，，所以，
所以．
故答案為：.
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專題03等比數列及前n項和
考點7：等比數列基本量的求解
一、講
1.等比數列的概念
(1)定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母q表示(顯然q≠0).
數學語言表達式：＝q(n≥2，q為非零常數).
(2)等比中項：如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項，則G2＝ab.
2. 等比數列的通項公式及前n項和公式
(1)若等比數列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝a1qn－1；
通項公式的推廣：an＝amqn－m.
(2)等比數列的前n項和公式：當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝＝.
3. 等比數列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解.
【典例1】（多選）（2023秋·江蘇徐州·高三校考開學考試）已知正項的等比數列中，，設其公比為，前項和為，則（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（多選）（2023·云南昆明·統考模擬預測）已知a，b，c為非零實數，則下列說法一定正確的是（ ）
A．若a，b，c成等比數列，則，，成等比數列
B．若a，b，c成等差數列，則，，成等差數列
C．若a2，b2，c2成等比數列，則a，b，c成等比數列
D．若a，b，c成等差數列，則，，成等比數列
【典例3】（多選）（2023秋·湖南衡陽·高三衡陽市八中校考階段練習）設是公比為正數等比數列的前n項和，若，，則（ ）
A． B．
C．為常數 D．為等比數列
二、練
【訓練1】（2023秋·廣東深圳·高三深圳市云頂學校校考階段練習）已知等比數列的前3項和為168，，則（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【訓練2】（2023春·海南儋州·高二海南省洋浦中學校考期中）等差數列的首項為1，公差不為0，若成等比數列，則前6項的和為（ ）
A． B． C．3 D．8
【訓練3】（2023秋·高二課時練習）已知各項均為正數的等比數列的前項和為，若，則的值為（ ）
A．4 B． C．2 D．
三、測
【訓練1】（2023·全國·高三專題練習）已知是等比數列的前項和，，，則 ．
【訓練2】（2023·重慶·重慶南開中學校考模擬預測）是公差不為零的等差數列，前項和為，若，，，成等比數列，則 .
【訓練3】（2023春·遼寧沈陽·高二沈陽二中校考階段練習）對于一個給定的數列，把它的連續兩項與的差記為，得到一個新數列，把數列稱為原數列的一階差數列.若數列為原數列的一階差數列，數列為原數列的一階差數列，則稱數列為原數列的二階差數列.已知數列的二階差數列是等比數列，且，則數列的通項公式 .
考點8：等比數列的判定與證明
一、講
1.證明一個數列為等比數列常方法
①定義法(作比法): ＝q(n≥2，q為非零常數).
②等比中項法:.
③其他方法(通項公式，前n項和公式)只用于選擇題、填空題中的判定；
若證明某數列不是等比數列，則只要證明存在連續三項不成等比數列即可.
2.在利用遞推關系判定等比數列時，要注意對n＝1的情形進行驗證.
【典例1】（2023·全國·高三專題練習）設數列前n項和滿足，．
(1)證明：數列為等比數列；
(2)記，求數列的前n項和．
【典例2】（2023·山東煙臺·校聯考三模）已知數列滿足，.
(1)證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；
(2)若，數列的前項和，求證：.
二、練
【訓練1】（2023·全國·高二隨堂練習）已知數列的首項，且滿足．
（1）求證：數列為等比數列．
（2）若，求滿足條件的最大整數n．
【訓練2】（2023·江蘇南通·統考三模）已知數列滿足，，．
(1)證明：是等比數列；
(2)證明：存在兩個等比數列，，使得成立．
三、測
【訓練1】（2023秋·江西·高三校聯考階段練習）記數列的前n項和為，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)設m為整數，且對任意，，求m的最小值．
【訓練2】（2023·江蘇常州·校考一模）已知數列的首項，前項和為，，，（）總是成等差數列.
(1)證明數列為等比數列；
(2)求滿足不等式的正整數的最小值.
【訓練3】（2023秋·廣東佛山·高三佛山市南海區桂城中學校考階段練習）已知數列的首項，且滿足，設.
(1)求證：數列為等比數列；
(2)若，求滿足條件的最小正整數.
考點9：等比數列的性質
一、講
等比數列的性質
已知{an}是等比數列，Sn是數列{an}的前n項和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數列，公比為qm.
(3)當q≠－1，或q＝－1且n為奇數時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數列，其公比為qn.
(4)當q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0時，{an}是遞增數列；當q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0時，{an}是遞減數列.
【典例1】（2023秋·山東臨沂·高三校考階段練習）已知數列的前項和為，且，（，為常數），則下列結論正確的有（ ）
A．一定是等比數列 B．當時，
C．當時， D．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知數列的前n項和是，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則是等差數列
B．若，，則是等比數列
C．若是等差數列，則，，成等差數列
D．若是等比數列，則，，成等比數列
【典例3】（2023春·山西晉城·高二晉城市第一中學校校考階段練習）設等比數列的公比為q，其前n項和為，前n項積為，并滿足條件，，，下列結論正確的是（ ）
A．
B．
C．是數列中的最大值
D．若，則n最大為4038．
二、練
【訓練1】（2023春·河南南陽·高二南陽中學校考階段練習）已知數列為遞減的等比數列，，且，，則的公比為（ ）
A． B． C． D．
【訓練2】（2023·廣西·統考模擬預測）已知正項等比數列滿足，則取最大值時的值為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【訓練3】（2023·內蒙古通遼·校考模擬預測）已知等比數列的各項均為正數，且，則（ ）
A．7 B．9 C．81 D．3
三、測
【訓練1】（2023春·廣西南寧·高二校聯考開學考試）等比數列是遞減數列，前n項的積為，若，則 ．
【訓練2】（2023·全國·高三專題練習）已知數列中，，，則的前200項和 .
【訓練3】（2022春·四川攀枝花·高一攀枝花七中校考階段練習）設等比數列的前n項和為，若，，則 ．
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