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專題04數列求和
考點10：分組、并項、倒序求和
一、講
1.分組轉化法
把數列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數列，再求解.
常見類型：
分段型(如①an＝②an＝2n＋3n－1)，周期型.
2.并項轉化法
一個數列的前n項和中，可兩兩或幾個相結合求解，則稱之為并項求和.
常見類型：
形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解.
3. 倒序相加法
如果一個數列{an}中，與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和可用倒序相加法求解.
【典例1】（多選）（2023春·湖南岳陽·高二校考開學考試）已知數列滿足，則下列結論正確的有（　　）
A．為等比數列
B．的通項公式為
C．為遞增數列
D．的前n項和
【答案】ABD
【分析】根據已知證明為定值即可判斷A；由A選項結合等比數列的通項即可判斷B；作差判斷的符號即可判斷C；利用分組求和法即可判斷D.
【詳解】因為，
所以+3，所以，
又因為，
所以數列是以4為首項，2為公比的等比數列，故A正確；
，即，故B正確；
因為，
因為，所以，
所以，所以為遞減數列，故C錯誤；
，
則，故D正確.
故選：ABD.
【典例2】（多選）（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，則下列結論中正確的是（ ）
A． B．為等比數列
C． D．
【答案】AC
【分析】利用遞推式可求得 的值，可判斷A，B，利用并項求和法結合等比數列的求和公式判斷C，D.
【詳解】因為，
所以，，，又，
所以，，，故A正確；
因為，，所以不是等比數列，故B錯誤；
，故C正確；
，故D錯誤.
故選：AC.
【典例3】（多選）（2022秋·廣東梅州·高三大埔縣虎山中學校考階段練習）已知數列滿足，，則下列結論中正確的是（ ）
A．
B．為等比數列
C．
D．
【答案】AD
【分析】利用遞推式可求得 的值，可判斷A,B;將變為，利用等比數列的求和公式，求得結果，判斷C; 將變為，利用等比數列的求和公式，求得結果，判斷D;
【詳解】，則 ，又 ，
同理 ，故A正確；
而 ，故不是等比數列，B錯誤；
，故C錯誤；
，故D正確，
故選：AD
二、練
【訓練1】（2023·四川遂寧·統考模擬預測）已知數列是以為首項，為公差的等差數列，是以為首項，為公比的等比數列，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由等差和等比數列通項公式可推導得到的通項公式，利用分組求和法，結合等比數列求和公式可求得結果.
【詳解】是以為首項，為公比的等比數列，，
是以為首項，為公差的等差數列，，，
.
故選：A.
【訓練2】（2023·四川雅安·校考模擬預測）若數列的前項和為，且，則（ ）
A．684 B．682 C．342 D．341
【答案】B
【分析】根據等比數列求和公式以及并項求和法得出結果.
【詳解】，，，，，
所以.
故選：B.
【訓練3】（2023·上海普陀·上海市宜川中學校考模擬預測）德國數學家高斯是近代數學奠基者之一，有“數學王子”之稱，在歷史上有很大的影響.他幼年時就表現出超人的數學天賦，10歲時，他在進行的求和運算時，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數據前后對應項的和呈現一定的規律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法.已知某數列通項，則（ ）
A．98 B．99 C．100 D．101
【答案】C
【分析】觀察要求解的式子，根據給的數列的通項公式，計算是否為定值，然后利用倒序相加的方法求解即可.
【詳解】由已知，數列通項，所以，
所以，
所以.
故選：C.
三、測
【訓練1】（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第三十二中學校校考期中）已知等差數列的前項和為，且，．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設等差數列公差為d，首項為a1，根據已知條件列出方程組求解a1，d，代入通項公式即可得答案；
（2）根據等差、等比數列的前n項和公式，利用分組求和法即可求解．
【詳解】（1）解：設等差數列公差為d，首項為a1，
由題意，有，解得，
所以；
（2）解：，所以．
【訓練2】（2022秋·廣東惠州·高三校考階段練習）已知數列的前n項和為，滿足，.
(1)求數列的通項公式；
(2)記，求數列的前100項的和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用，整理可得數列是等比數列，求其通項公式即可；
（2）求出，然后分組求和.
【詳解】（1）當時，，
整理得，
又，得
則數列是以-2為首項，-2為公比的等比數列.
則，
（2）當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
則
考點11：裂項相消求和
一、講
裂項相消法
把數列的通項拆成兩項（或多項）之差，在求和時，中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和. 消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數第幾項.
常見類型：
(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝－.
(4)
【典例1】（多選）（2023秋·重慶長壽·高二重慶市長壽中學校校考期末）已知數列中，，，則關于數列的說法正確的是（ ）
A．
B．數列為遞增數列
C．
D．數列的前n項和小于
【答案】BCD
【分析】根據遞推關系求得數列的通項公式，從而對選項ABC一一判斷即可；利用裂項相消法求數列的前n項和，即可判斷D.
【詳解】由，
得，即，又，
所以是以2為首項，1為公差的等差數列，
所以，即，
所以，故A錯誤，C正確；
，所以為遞增數列，故B正確；
，
所以數列的前n項和為
，故D正確.
故選：BCD．
【典例2】（多選）（2023·江蘇連云港·統考模擬預測）利用“”可得到許多與n（且）有關的結論，則正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】先證明出，當且僅當時，等號成立，A選項，令，得到，累加后得到A正確；B選項，推導出，，當且僅當時等號成立，令，可得，累加后得到B正確；C選項，推導出，累加后得到C錯誤；D選項，將中的替換為，推導出，故，當且僅當時，等號成立，累加后得到D正確.
【詳解】令，則，
當時，，當時，，
故在上單調遞減，在上單調遞增，
故在處取得極小值，也時最小值，，
故，當且僅當時，等號成立，
A選項，令，所以，
故，
其中
，
所以，A正確；
B選項，將中的替換為，可得，，
當且僅當時等號成立，
令，可得，
所以，
故，
其中
所以，B正確；
C選項，將中的替換為，顯然，
則，
故，
故，C錯誤；
D選項，將中的替換為，其中，，則，
則，故，當且僅當時，等號成立，
則，D正確.
故選：ABD
【點睛】導函數證明數列相關不等式，常根據已知函數不等式，用關于正整數的不等式代替函數不等式中的自變量，通過多次求和（常常用到裂項相消法求和）達到證明的目的.
二、練
【訓練1】（2023·陜西寶雞·校聯考模擬預測）已知數列滿足，則數列的前2022項的和為 .
【答案】
【分析】利用累加法求數列的通項公式，再利用裂項相消法求數列的前2022項的和即可.
【詳解】由題意可知，滿足，
當時，，
，以上各式累加得，
.
，
當時，也滿足上式，∴，則.
∴數列的前n項和為，
∴.
故答案為：.
【訓練2】（2023·全國·高三專題練習）已知數列的前n項和為，且，則數列的前n項和 .
【答案】
【分析】根據給定的遞推公式求出數列的通項，再利用裂項相消法求解作答.
【詳解】數列的前n項和為，，，當時，，
兩式相減得：，即，而，解得，
因此數列是首項為2，公比為2的等比數列，，
，
所以.
故答案為：
三、測
【訓練1】（2023秋·江西上饒·高三上饒市第一中學校考階段練習）等比數列的各項均為正數，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）設bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數列的前項和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據題意列出方程組，求出首項與公比，即可求出等比數列的通項公式即可；
（2）由an＝化簡bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，可得到bn的通項公式，求出的通項公式，利用裂項相消法求和.
【詳解】（1）設數列{an}的公比為q,
由＝9a2a6得＝9,
所以q2＝.由條件可知q＞0,故q＝.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝.
故數列{an}的通項公式為an＝.
（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－.
故.
所以數列的前n項和為
【訓練2】（2023·廣東肇慶·校考模擬預測）設數列的前n項和為，滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)記，求數列的前n項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據與的關系即可求出數列的通項公式
（2），利用裂項相消法即可求出數列的和.
【詳解】（1）當時，，解得，
當時，，，
即，即，
所以數列是首項為2，公比為2的等比數列，所以.
（2）由（1）知，
，
所以
.
【訓練3】（2023春·黑龍江大慶·高二肇州縣第二中學校考期中）已知數列的前項和為，，，．
(1)求數列的通項公式；
(2)求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據公式得到是常數列，確定，計算得到通項公式.
（2）放縮，根據裂項相消法計算得到證明.
【詳解】（1），則，
整理得到，故，
故是常數列，故，即，
當時，，
驗證時滿足，故
（2），
故
.
考點12：錯位相減求和
一、講
錯位相減法
如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，這個數列的前n項和可用錯位相減法求解.
萬能公式：
.
等差，等比，化為. ,
+ .
.
注意：公式一定要記牢，不然就會計算錯誤分會被扣完.
【典例1】（2023·湖南岳陽·湖南省平江縣第一中學校考模擬預測）數列滿足，，數列的前n項和為，且，則下列正確的是（ ）
A．
B．數列的前n項和
C．數列的前n項和
D．
【答案】BCD
【分析】求得數列的通項公式判斷選項A；求得數列的前n項判斷選項B；求得數列的前n項和，進而判斷選項C；求得數列的前項和進而判斷選項D.
【詳解】由，有，又
所以是首項為，公差為的等差數列，則，
則，則，A錯誤；
由，可得，解之得
又時，，則，整理得
則數列是首項為3公比為3 的等比數列，則，
則數列的前項和
，B正確；
，則數列的前項和
，C正確；
設數列的前項和，
則，，
兩式相減得
整理得，則當時，，D正確.
故選：BCD.
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）設和分別為數列和的前n項和.已知，，則（ ）
A．是等比數列 B．是遞增數列
C． D．
【答案】ACD
【分析】由已知結合的關系及等比數列的定義判斷數列即可確定A、C正誤，應用作差法比較的大小關系判斷B正誤，利用錯位相減法求，再由作差法判斷的大小判斷D.
【詳解】由，當時，，即，又，
∴，即，
∴是首項為，公比為的等比數列，故，A正確；
由，則，即是遞減數列，B錯誤；
又，則，C正確；
①，②，
①-②得：，
∴，則，
∴，D正確.
故選：ACD.
【點睛】關鍵點點睛：利用及等比數列的定義求的通項公式，綜合運用作差法、錯位相減法比較大小判斷數列單調性、求前n項和，進而判斷各選項的正誤.
二、練
【訓練1】（2023·江蘇徐州·江蘇省沛縣中學校考模擬預測）數列滿足，，則
【答案】
【分析】由已知整理得，先利用累乘法求數列的通項，再利用錯位相減法求其前2021項的和，從而得到結果.
【詳解】由得：，
；
設，
則，
，
，
，即，
，，
.
故答案為：.
【訓練2】（2023·全國·高三專題練習）歐拉是瑞士數學家和物理學家，近代數學先驅之一，在許多數學的分支中經常可以見到以他的名字命名的重要函數、公式和定理．如著名的歐拉函數：對于正整數n，表示小于或等于n的正整數中與n互質的數的個數，如，．那么，數列的前n項和為 ．
【答案】
【分析】利用錯位相減法求和.
【詳解】在中，與不互質的數有，共有個，
所以，
所以，
設數列的前項和為，
所以，
，
兩式相減可得,
所以,
即,
故答案為：.
三、測
【訓練1】（2022·全國·高三專題練習）已知數列的前n項和，記，則數列的前n項和 .
【答案】
【分析】先根據求出，進而求出，再利用錯位相減法求和.
【詳解】當時，，
當時，，
當時，，
綜上：，，
所以，
所以①，①×得：
②，
兩式相減得：，
所以
故答案為：
【訓練2】（2023秋·江蘇連云港·高三江蘇省海頭高級中學校聯考階段練習）設是公比不為1的等比數列，為，的等差中項．
（1）求的公比；
（2）若，求數列的前項和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由已知結合等差中項關系，建立公比的方程，求解即可得出結論；
（2）由（1）結合條件得出的通項，根據的通項公式特征，用錯位相減法，即可求出結論.
【詳解】（1）設的公比為，為的等差中項，
，
；
（2）設的前項和為，，
，①
，②
①②得，
，
.
【點睛】本題考查等比數列通項公式基本量的計算、等差中項的性質，以及錯位相減法求和，考查計算求解能力，屬于基礎題.
【訓練3】（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區新豐中學校考期末）設是首項為1的等比數列，數列滿足．已知，，成等差數列．
（1）求和的通項公式；
（2）記和分別為和的前n項和．證明：．
【答案】（1），；（2）證明見解析.
【分析】（1）利用等差數列的性質及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、錯位相減法分別求出，再作差比較即可.
【詳解】（1）因為是首項為1的等比數列且，，成等差數列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用錯位相減法求和
，
，
．
設， ⑧
則． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最優解】：公式法和錯位相減求和法
證明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：構造裂項法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通過等式左右兩邊系數比對易得，所以．
則，下同方法二．
[方法四]：導函數法
設，
由于，
則．
又，
所以
，下同方法二．
【整體點評】本題主要考查數列的求和，涉及到等差數列的性質，錯位相減法求數列的和，考查學生的數學運算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時采用作差法，或者作商法要根據式子得結構類型靈活選擇，關鍵是要看如何消項化簡的更為簡潔.
（2）的方法一直接作差后利用錯位相減法求其部分和，進而證得結論；
方法二根據數列的不同特點，分別利用公式法和錯位相減法求得,然后證得結論,為最優解；
方法三采用構造數列裂項求和的方法，關鍵是構造，使，求得的表達式，這是錯位相減法的一種替代方法，
方法四利用導數方法求和，也是代替錯位相減求和法的一種方法.
【訓練4】（2023春·河南焦作·高二博愛縣第一中學校考階段練習）設數列的前n項和為．已知，，．
(1)求證：數列是等差數列；
(2)設數列的前n項和為，且，令，求數列的前n項和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】(1)應用,結合等差數列定義證明即可;
(2)先求等比數列的通項公式,再兩次應用錯位相減或裂項相消
【詳解】（1）①，
當時，②，
①－②得：,
即，
所以，且，
所以是以1為公差的等差數列．
（2）由（1）得，．
當時，；當時，；
又滿足上式，所以．
所以，記數列的前n項和為．
方法一：（兩次錯位相減）
，①
，②
①－②得，③
則，④
③－④得
，
所以．
方法二：（裂項）
因為，
所以
．
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專題04數列求和
考點10：分組、并項、倒序求和
一、講
1.分組轉化法
把數列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數列，再求解.
常見類型：
分段型(如①an＝②an＝2n＋3n－1)，周期型.
2.并項轉化法
一個數列的前n項和中，可兩兩或幾個相結合求解，則稱之為并項求和.
常見類型：
形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解.
3. 倒序相加法
如果一個數列{an}中，與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和可用倒序相加法求解.
【典例1】（多選）（2023春·湖南岳陽·高二校考開學考試）已知數列滿足，則下列結論正確的有（　　）
A．為等比數列
B．的通項公式為
C．為遞增數列
D．的前n項和
【典例2】（多選）（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，則下列結論中正確的是（ ）
A． B．為等比數列
C． D．
【典例3】（多選）（2022秋·廣東梅州·高三大埔縣虎山中學校考階段練習）已知數列滿足，，則下列結論中正確的是（ ）
A．
B．為等比數列
C．
D．
二、練
【訓練1】（2023·四川遂寧·統考模擬預測）已知數列是以為首項，為公差的等差數列，是以為首項，為公比的等比數列，則（ ）
A． B． C． D．
【訓練2】（2023·四川雅安·校考模擬預測）若數列的前項和為，且，則（ ）
A．684 B．682 C．342 D．341
【訓練3】（2023·上海普陀·上海市宜川中學校考模擬預測）德國數學家高斯是近代數學奠基者之一，有“數學王子”之稱，在歷史上有很大的影響.他幼年時就表現出超人的數學天賦，10歲時，他在進行的求和運算時，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數據前后對應項的和呈現一定的規律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法.已知某數列通項，則（ ）
A．98 B．99 C．100 D．101
三、測
【訓練1】（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第三十二中學校校考期中）已知等差數列的前項和為，且，．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
【訓練2】（2022秋·廣東惠州·高三校考階段練習）已知數列的前n項和為，滿足，.
(1)求數列的通項公式；
(2)記，求數列的前100項的和.
考點11：裂項相消求和
一、講
裂項相消法
把數列的通項拆成兩項（或多項）之差，在求和時，中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和. 消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數第幾項.
常見類型：
(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝－.
(4)
【典例1】（多選）（2023秋·重慶長壽·高二重慶市長壽中學校校考期末）已知數列中，，，則關于數列的說法正確的是（ ）
A．
B．數列為遞增數列
C．
D．數列的前n項和小于
【典例2】（多選）（2023·江蘇連云港·統考模擬預測）利用“”可得到許多與n（且）有關的結論，則正確的是（ ）
A． B．
C． D．
二、練
【訓練1】（2023·陜西寶雞·校聯考模擬預測）已知數列滿足，則數列的前2022項的和為 .
【訓練2】（2023·全國·高三專題練習）已知數列的前n項和為，且，則數列的前n項和 .
三、測
【訓練1】（2023秋·江西上饒·高三上饒市第一中學校考階段練習）等比數列的各項均為正數，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）設bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數列的前項和.
【訓練2】（2023·廣東肇慶·校考模擬預測）設數列的前n項和為，滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)記，求數列的前n項和.
【訓練3】（2023春·黑龍江大慶·高二肇州縣第二中學校考期中）已知數列的前項和為，，，．
(1)求數列的通項公式；
(2)求證：．
考點12：錯位相減求和
一、講
錯位相減法
如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，這個數列的前n項和可用錯位相減法求解.
萬能公式：
.
等差，等比，化為. ,
+ .
.
注意：公式一定要記牢，不然就會計算錯誤分會被扣完.
【典例1】（2023·湖南岳陽·湖南省平江縣第一中學校考模擬預測）數列滿足，，數列的前n項和為，且，則下列正確的是（ ）
A．
B．數列的前n項和
C．數列的前n項和
D．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習）設和分別為數列和的前n項和.已知，，則（ ）
A．是等比數列 B．是遞增數列
C． D．
二、練
【訓練1】（2023·江蘇徐州·江蘇省沛縣中學校考模擬預測）數列滿足，，則
【訓練2】（2023·全國·高三專題練習）歐拉是瑞士數學家和物理學家，近代數學先驅之一，在許多數學的分支中經常可以見到以他的名字命名的重要函數、公式和定理．如著名的歐拉函數：對于正整數n，表示小于或等于n的正整數中與n互質的數的個數，如，．那么，數列的前n項和為 ．
三、測
【訓練1】（2022·全國·高三專題練習）已知數列的前n項和，記，則數列的前n項和 .
【訓練2】（2023秋·江蘇連云港·高三江蘇省海頭高級中學校聯考階段練習）設是公比不為1的等比數列，為，的等差中項．
（1）求的公比；
（2）若，求數列的前項和．
【訓練3】（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市大豐區新豐中學校考期末）設是首項為1的等比數列，數列滿足．已知，，成等差數列．
（1）求和的通項公式；
（2）記和分別為和的前n項和．證明：．
【訓練4】（2023春·河南焦作·高二博愛縣第一中學校考階段練習）設數列的前n項和為．已知，，．
(1)求證：數列是等差數列；
(2)設數列的前n項和為，且，令，求數列的前n項和．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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