資源簡介

高三數學第二輪專題復習測試—三角函數
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知則等于 （ ）
A．　　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．
2．將函數的圖象按向量平移，平移后的圖象如圖所示，則平
移后的圖象所對應函數的解析式是 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函數在區間上的最小值是，則的最小值等于 （ ）
A．　　　　　 B．　　　　　 C．2　　　　 D．3
4．設，對于函數，下列結論正確的是 （ ）
A．有最大值而無最小值 B．有最小值而無最大值
C．有最大值且有最小值 D．既無最大值又無最小值
5．已知非零向量與滿足且 則為 （ ）
A．等邊三角形　　　　　　　　　 B．直角三角形
C．等腰非等邊三角形　　　　　　 D．三邊均不相等的三角形
6．下列函數中,圖像的一部分如右圖所示的是 （ ）
A．y=sin(x+)
B．y=sin(2x－)
C．y=cos(4x－)
D．y=cos(2x－)
7．若△的內角滿足，則= （ ）
A． B． C． D．
8．△ABC的三內角所對邊的長分別為設向量,,若,則角的大小為 （ ）
A． 　　　 B． 　　 C． 　　　 D．
9．函數的最小正周期是 （ ）
A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．
10．設a b c分別是ΔABC的三個內角ABC所對的邊,則a2=b(b+c)是A=2B的 （ ）
A．充要條件 B．充分而不必要條件
C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件
11． 等式成立是成等差數列 的 （ ）
A．充分而不必要條件　　　　　　　 B．必要而不充分條件　
C．充分必要條件　　　　　　　　　　 D．既不充分又不必要條件
12．如果的三個內角的余弦值分別等于的三個內角的正弦值，則（ ）
A．和都是銳角三角形
B．和都是鈍角三角形
C．是鈍角三角形，是銳角三角形
D．是銳角三角形，是鈍角三角形
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上.
13．已知，sin()=－則=___ _．
14．給出下面的3個命題：（1）函數的最小正周期是；（2）函數在區間上單調遞增；（3）是函數的圖象的一條對稱軸.其中正確命題的序號是 ．
15． 的值為 ．
16．函數的圖象如圖所示，則的值等于 .
三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（本小題滿分12分）（2006年四川卷）已知是三角形三內角，向量，且．
（1）求角；
（2）若，求．
18．（本小題滿分12分）（2006年上海春卷）已知函數
.
（1）若，求函數的值；
（2）求函數的值域.
19．（本小題滿分12分）（2006年安徽卷）已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
20．（本小題滿分12分）有一塊半徑為R，中心角為45°的扇形鐵皮材料，為了獲取面積最大的矩形鐵皮，工人師傅常讓矩形的一邊在扇形的半徑上，然后作其最大內接矩形，試問：工人師傅是怎樣選擇矩形的四點的？并求出最大面積值.
21．（本小題滿分12分）設，函數的定義域為，且
，對定義域內任意的，滿足，求:
（1）及的值；
（2）函數的單調遞增區間；
（3）時，，求,并猜測時，的表達式.
22．（本小題滿分14分）（2006年福建卷）已知函數
（1）求函數的最小正周期和單調增區間；
（2）函數的圖象可以由函數的圖象經過怎樣的變換得到？
參考答案
1．B．∵，， ∴ ， ，
∴ ．
2．C.　將函數的圖象按向量平移，平移后的圖象所對應的解析式為，由圖象知，，所以，因此選C.
3．B．∵ 的最小值是時
∴ ∴且
∴ 故本題的答案為B.
4．B.　令，則函數的值域為函數的值域，又，所以是一個減函減，故選B.
5．A 向量和三角形之間的依賴關系，認識角平分線和高及夾角用兩向量數量積包裝的意義， 注意 知,角A的平分線和BC的高重合, 則，由知，夾角A為600,則為等邊三角形，選A．
6．D 由圖像可知,所求函數的周期為排除(A)(C)對于(B)其圖像不過(,0)點，所以應選D.
7．A.∵，∴.　∴，
=.應選A.
8．B.　，利用余弦定理可得，即，故選擇答案B.
9．D.　所以最小正周期為,故選D.
10．A 由余弦定理得a2=b2+c2－2bccosA,所以a2=b(b+c)+c2－bc－2bccosA中c2－bc－2bccosA=c(c－b－bcosA)=2Rc(sinC－sinB－2sinBcosA)=Rc(sin(A+B)－sinB－2sinBcosA)=Rc(sin(A－B)－sinB)(*),因為A=2B,所以(*)=0,即得a2=b(b+c);而當由余弦定理和a2=b(b+c)得bc=c2－2bccosA,l兩邊同時除以c后再用正弦定理代換得sinB=sinC－2sinBcosA,又在三角形中C=π－(A+B),所以sinB=sin(A+B)－2sinBcosA,展開整理得sinB=sin(A－B),所以B=A－B或A=π(舍去),即得A=2B,所以應選A．
11．B 若,則“，，成等差數列”不一定成立,反之必成立,選B．
12．D.　的三個內角的余弦值均大于0，則是銳角三角形，若是銳角三角形，由，得，那么，，所以是鈍角三角形.故選D.
13． 由于,所以,,故,,==.
14．①②．③中是的對稱中心．
15．．誘導公式變角，再逆用三角公式切入，
=
16．．由圖象知，其圖象關于點對稱知，
17．（1）∵ ∴ 即
, ，
∵ ∴ ∴．
（2）由題知，整理得．
∴ ∴，
∴或．
而使，舍去 ∴．
∴．
18．（1），
.
（2），
， ， ，
函數的值域為.
19．（1）由得，即，又，所以為所求.
（2）=
===.
20．如下圖，扇形AOB的內接矩形是MNPQ，連OP，則OP=R，設∠AOP=θ，則
∠QOP=45°－θ，NP=Rsinθ,在△PQO中，，
∴PQ=Rsin(45°－θ).
S矩形MNPQ=QP·NP=R2sinθsin(45°－θ)=R2·［cos(2θ－45°)－］
≤R2，當且僅當cos(2θ－45°)=1,即θ=22.5°時，S矩形MNPQ的值最大且最大值為R2.
工人師傅是這樣選點的，記扇形為AOB，以扇形一半徑OA為一邊，在扇形上作角AOP且使∠AOP=22.5°，P為邊與扇形弧的交點，自P作PN⊥OA于N，PQ∥OA交OB于Q，并作OM⊥OA于M，則矩形MNPQ為面積最大的矩形，面積最大值為R2.
21．（1），
，
，
，
，
.
（2）,
的增區間為.
（3），，
所以，
因此是首項為，公比為的等比數列，故，
猜測.
22．（1）
的最小正周期
由題意得
即　
的單調增區間為
（2）方法一：
先把圖象上所有點向左平移個單位長度，得到的圖象，再把所得圖象上所有的點向上平移個單位長度，就得到的圖象.
方法二：
把圖象上所有的點按向量平移，就得到的圖象.

高三數學第二輪復習專題測試—不等式
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．設，已知命題；命題，則 是成立的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
2．已知不等式對任意正實數恒成立，則正實數 的最小值為（ ）
Ａ．8　　　 　 Ｂ．6　　　 C．4　　　 　 D．2
3．（文）命題p：若a、b∈R，則|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要條件； 命題q：函數y=的定義域是（－∞，－1∪[3，+∞．則 （ ）
A．“p或q”為假 B．p假q真
C．p真q假 D．“p且q”為真
（理）設偶函數f (x)=loga|x－b|在(－∞，0)上遞增，則f (a+1)與f (b+2)的大小關系是（ ）
A．f(a+1)=f (b+2) B．f (a+1)>f (b+2)
C．f(a+1)4．（文）若，則下列不等式 ①；②③；④ 中，正確的不等式有 （ ）
A．０個 B．１個 C．2個 D．３個
（理）某汽車運輸公司，購買了一批豪華大客車投入營運，據市場分析每輛客車營運的總利潤y（單位：10萬元）與營運年數x的函數關系為則每兩客車營運多少年，其運營的年平均利潤最大 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（文）成立的 （ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條
（理）對于的一切值，則恒成立的 （ ）
A．充要條件 B．充分非必要條件
C．必要非充分條件 D．既不充分也不必要條件
6．若a,b,c＞0且a (a+b+c)+bc=4-2,則2a+b+c的最小值為 （ ）
A．-1 B． +1 C． 2+2 D． 2-2
7． 設a、b、c是互不相等的正數，則下列等式中不恒成立的是 （ ）
A．　　 　 B．
C．　　　　 　 D．
8．（文）實數滿足則的值為 （ ）
A．8 B．-8 C．8或-8 D．與無關
（理）已知之間的大小關系是（ ）
A． B． C． D．的關系隨c而定
9．（文）若函數是奇函數，且在（），內是增函數，，則不等式 的解集為 （ ）
A． B．
C． D．
（理）若是偶函數，且當的解集是（ ）
A．（－1，0） B．（－∞，0）∪（1，2）
C．（1，2） D．（0，2）
10．若不等式x2＋ax＋1(0對于一切x(（0，）成立，則a的取值范圍是 （ ）
A．0 B． –2 C．- D．-3
11．某商場的某種商品的年進貨量為1萬件，分若干次進貨，每次進貨的量相同，且需運費100元，運來的貨物除出售外，還需租倉庫存放，一年的租金按一次進貨時的一半來計算，每件2元，為使一年的運費和租金最省，每次進貨量應為 （ ）
A．200件 B．5000件 C．2500件 D．1000件
12．不等式對滿足恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上．
13．（文）b克鹽水中，有a克鹽（），若再添加m克鹽（m>0）則鹽水就變甜咸了，試根據這一事實提煉一個不等式 .
（理）已知三個不等式①ab>0 ② > ③bc>ad 以其中兩個作條件余下一個作結論，則可組 個正確命題.
14．若記號“*”表示求兩個實數a與b的算術平均數的運算，即a*b=，則兩邊均含有運算符號“*”和“+”，且對于任意3個實數，a、b、c都能成立的一個等式可以是_________.
15．設a＞0，n1，函數f (x) =alg(x2-2n+1) 有最大值.則不等式logn（x2-5x+7）＞0的解集為__ _.
16．已知則不等式≤5的解集是 ____ .
三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分12分）（文科做）比較下列兩個數的大小：
（1）
（2）；
（3）從以上兩小項的結論中，你否得出更一般的結論？并加以證明
（理科做）已知：
，
試比較M，N的大小：你能得出一個一般結論嗎？
18．（本小題滿分12分）已知實數P滿足不等式判斷方程 有
無實根,并給出證明.
19．（本小題滿分12分）（文科做）關于x的不等式組的整數解的集合為{－2}，求實質數k的取值范圍.
（理科做）若是定義在上的增函數，且對一切滿足.
（1）求的值;
（2）若解不等式.
20．（本小題滿分12分）某單位建造一間地面面積為12m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側面的長度x不得超過a米，房屋正面的造價為400元/m2,房屋側面的造價為150元/m2，屋頂和地面的造價費用合計為5800元，如果墻高為3m，且不計房屋背面的費用．
（1）把房屋總造價表示成的函數，并寫出該函數的定義域.
（2）當側面的長度為多少時，總造價最底？最低總造價是多少？
21．（本小題滿分12分）（文科做）設
求證：
（理科做）設
（1）證明A>;
（2）
22． （本小題滿分14分）（2006年廣東卷）A是由定義在上且滿足如下條件的函數 組成的集合：①對任意，都有 ； ②存在常數，使得對任意的，都有
（1）設，證明：;
（2）設,如果存在,使得,那么這樣的是唯一的;
（3）設,任取,令證明:給定正整數k,對任意的正整數p,成立不等式.
參考答案
1．B．命題是命題等號成立的條件，故選B．
2．C．恒成立的意義化為不等式求最值,
,驗證,2不滿足,4滿足,選C．
3．（文）B．命題p假,取a=-1,b=1可得；命題q真，由得
（理）B．由偶函數得，由函數遞增性得
又．
4．（文）Ｃ． ①正確,②錯誤,③錯誤,④正確．
（理）C．
5．（文）B．取x=2時不成立,充分性不正確,由可推得,必要性正確
（理）C． 取時取時充分性不成立,必要性成立由一次函數思想
6．D．因為,故＋4ab+4ac+2bc4+4ab+4ac+4bc
= 4[a（a+b+c）+bc]=4[4-2],又a,b,c>0,故上式兩邊開方得,2a+b+c=2=2-2,故選D．
7．C．因為，所以（A）恒成立；
在B兩側同時乘以得
所以B恒成立；
在C中，當a>b時，恒成立，a在D中，分子有理化得恒成立，故選C．
8．（文）A． 由條件取絕對值得8．
（理）C． x =,y=，∴x9．（文）D．由題意作的圖象由圖象易得
（理）D．由題意作的圖象由圖象易得
10．C．設f（x）＝x2＋ax＋1，則對稱軸為x＝,若(，即a(－1時，則f（x）在〔0，〕上是減函數，應有f（）(0(－(x(－1
若(0，即a(0時，則f（x）在〔0，〕上是增函數，應有f（0）＝1(0恒成立，故a(0
若0((，即－1(a(0，則應有f（）＝恒成立，故－1(a(0． 綜上，有－(a,故選C ．
11．D．設每次進x件費用為y由 時最小
12．D．變形則．
13．（文）．提示:由鹽的濃度變大得．
（理）3個，由不等式性質得：
,
14．a+(b*c)=(a+b)*(a+c)，(a*b)+c=(a*c)+(b*c)，
a*(b+c)=(a+b)*c=(b+c)*a=(a+c)*b(a*b)+c=(b*a)+c等．
填出任何一個都行． 答案 不唯一．
提示:∵a+(b*c)=a+=== (a+b )*( a+c),其余類似可得
15．.由于f（x）有最大值,故0,所以原不等式轉化為0-5x+7<1,
又因為恒成立,故只需1成立即可,
解之得, ．
16． ．分類⑴原式成立 ⑵化為綜上得
17．（文）（1）,（2）
（3）一般結論：若成立
證明 欲證成立
只需證
也就是 （）
故
（理）解先考查兩個變量的情形
（1-a）(1-b)=1-a-b+ab≥1-a-b 當且僅當a、b中至少有1個為零時,等號成立
∴(1-a)(1-b)(1-c) ≥(1-a-b)(1-c)=1-a-b-c+c(a+b) ≥1-a-b-c 當且僅當a、b、c中至少有2個為零時,等號成立 于是(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)≥1-a-b-c-d, 當且僅當a、b 、c、d 中至少有3個為零時,等號成立 ∴a、b、c、d至少有3個為0時,M=N,否則M>N ．
18．解由
方程的判別式
∴方程無實根
19．（文）解：不等式的解集為
不等式可化為
由題意可得
不等式組的整數解的集合為{－2} ．
（理）（1）
（2）
即上的增函數 ．
20．（1）由題意可得，
（2）=13000
當且僅當即時取等號。
若，時，有最小值13000。
若任取
在上是減函數
．
21．（文）
．
。
（理）（1）A
=
（2）

．
∴
22．解：對任意,,,,所以,對任意的，
，
，所以
0<
,令=，，
,所以．
反證法:設存在兩個使得,則
由，得，所以，矛盾，故結論成立。
，所以
+…
．

高三數學第二輪專題復習測試—圓錐曲線
一、選擇題（本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的）
1．若橢圓經過原點,且焦點為,則其離心率為 （ ）
A． B． C． D．
2．若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為 （ ）
A． B． C． D．
3．已知雙曲線,則雙曲線右支上的點P到右焦點的距離與點P到右準線的距離
之比等于 （ ）
A． B． C． 2 D．4
4．與軸相切且和半圓內切的動圓圓心的軌跡方程是 （ ）
A． B．
C． D．
5．直線與曲線 的公共點的個數為 （ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
6．如果方程表示曲線,則下列橢圓中與該雙曲線共焦點的是 （ ）
A． B．
C． D．
7．曲線與曲線的 （ ）
A．焦距相等 B．離心率相等 C．焦點相同 D．準線相同
8．雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則 （ ）
A． B． C． D．
9．設過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于、 兩點，點與點
關于軸對稱，為坐標原點，若，且，則點的軌跡方程是 （ ）
A． B．
C． D．
10．拋物線上的點到直線距離的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
11．已知拋物線上一定點和兩動點當是,點的橫坐標的取值范圍是 （ ）
A． B． C． D．
12．橢圓上有個不同的點:,橢圓的右焦點為,數列是公差大于的等差數列,則的最大值為 （ ）
A．199 B．200 C．198 D．201
二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分.把答案填在題中的橫線上)
13．橢圓的兩個焦點為 ,點在橢圓上.如果線段的中點在軸上,那么是的______________倍.
14．如圖把橢圓的長軸AB分成8等
分,過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部
分于P1,P2,…,P7七個點,F是橢圓的焦點,則|P1F|+|P2F|+…+|P7F|= .
15．要建造一座跨度為16米,拱高為4米的拋物線拱橋,建橋時,每隔4米用一根柱支撐,兩邊的柱長應為____________.
16．已知兩點,給出下列直線方程:①;②;③.則在直線上存在點滿足的所有直線方程是_______.(只填序號)
三、解答題(本大題共6小題, 共74分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟)
17．（本小題滿分12分）學校科技小組在計算機上模擬航天器變軌返回試驗. 設計方案如圖：航天器運行（按順時針方向）的軌跡方程為，變軌（即航天器運行軌跡由橢圓變為拋物線）后返回的軌跡是以軸為對稱軸、 為頂點的拋物線的實線部分，降落點為. 觀測點同時跟蹤航天器.
（1）求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程；
（2）試問：當航天器在軸上方時，觀測點
測得離航天器的距離分別為多少時，應向航天
器發出變軌指令？
18．（本小題滿分12分）已知三點P（5，2）、（－6，0）、（6，0）。
（1）求以、為焦點且過點P的橢圓的標準方程；
（2）設點P、、關于直線y＝x的對稱點分別為、、，求以、為焦點且過點的雙曲線的標準方程.
19．（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在原點,離心率為,一個焦點是(為大于0的常數).
（1）求橢圓的方程;
（2）設是橢圓上一點,且過點的直線與軸交于點,若,求直線的斜率.
20．（本小題滿分12分）已知點分別是橢圓長軸的左、右端點,點是橢圓的右焦點.點在橢圓上,且位于軸的上方,.
（1）求點的坐標;
（2）設橢圓長軸上的一點, 到直線的距離等于,求橢圓上的點到點的距離的最小值.
21．（本小題滿分12分）已知拋物線,是否存在過點的弦,使恰被平分.若存在,請求所在直線的方程;若不存在,請說明理由.
22．（本小題滿分14分）設,為直角坐標平面內軸正方向上的單位向量,若向量,,且.
（1）求點的軌跡的方程;
（2）過點(0,3)作直線與曲線交于兩點,設,是否存在這樣的直線,使得四邊形是矩形?若存在,求出直線的方程;若不存在,試說明理由.
答案與解析
1．C . 原點到的距離之和是長軸長,又,所以橢圓的離心率.
2．D . 橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則，故選D．
3．答案選C 依題意可知 ，
，故選C．
4．A 設動圓圓心為,動圓與已知半圓相切的切點為,點到軸的距離為,則有,而,所以,化簡得.
5．D．將代入得：
，顯然該關于的方程有兩正解，即x有四解，所以交點有4 個，故選擇答案D．
6．D．由題意知,.若,則雙曲線的焦點在軸上,而在選擇支A,C中,橢圓的焦點都在軸上,而選擇支B,D不表示橢圓;
若,選擇支A,C不表示橢圓,雙曲線的半焦距平方,雙曲線的焦點在軸上,選擇支D的方程符合題意.
7．A．由知該方程表示焦點在x軸上的橢圓，由知該方程表示焦點在y軸上的雙曲線，故只能選擇答案A．
8．A . 一看帶參，馬上戒備：有沒有說哪個軸是實軸？沒說，至少沒有明說。分析一下，因為等號后為常數“+”，所以等號前為系數為“+”的對應實軸。y2的系數為“+”，所以這個雙曲線是“立”著的。接下來排除C、D兩過于扯淡的選項 —— 既然說是雙曲線，“x2”與“y2”的系數的符號就不能相同.在接下來是一個“坑兒”：雙曲線的標準形式是或（），題目中的雙曲線方程并不是標準形式，所以要變一下形兒，變成。由題意，半虛軸長的平方：半實軸長的平方 = 4.即，所以。選A．當然，我們也可以不算，只利用半虛軸比半實軸長即可直接把答案A圈出來
9．D．由及分別在軸的正半軸和軸的正半軸上知，，，由點與點關于軸對稱知，，=，則
10．A .拋物線上任意一點（，）到直線的距離.因為，所以恒成立.從而有，.選A．
11．D .由題意知,設,又因為,由知,,即,也就是,因為,所以上式化簡得,由基本不等式可得或.
12．D . 由題意知,要使所求的最大,應使最小,最大,又為橢圓的右焦點,設的橫坐標為故由第二定義可得,,其中,所以當時, ,當時, 最大.由等差數列的通項公式可得, ,即,又因為,解得.
13．7倍. 由已知橢圓的方程得.由于焦點
關于軸對稱,所以必垂直于軸.所以
,所以.
14．35. 設P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,P7(x7,y7),所以根據對稱關系x1+x2+…+x7=0,于是
|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=a+ex1+a+ex2+…+a+ex7=7a+e(x1+x2+…+x7)= 7a=35,所以應填35.
15．1米. 由題意知,設拋物線的方程為,又拋物線的跨度為16,拱高為4,所以點(8,-4)為拋物線上的點,所以.即拋物線方程為.所以當時,,所以柱子的高度為1米.
16．②③. 由可知點在雙曲線的右支上,故只要判斷直線與雙曲線右支的交點個數.因為雙曲線的漸近線方程為,直線①過原點且斜率,所以直線①與雙曲線無交點;直線②與直線①平行,且在軸上的截距為故與雙曲線的右支有兩個交點;直線③的斜率,故與雙曲線的右支有一個交點.
17．（1）設曲線方程為，
由題意可知，.
.
曲線方程為.
（2）設變軌點為，根據題意可知
得 ，
或（不合題意，舍去）. .
得 或（不合題意，舍去）. 點的坐標為，
.
答：當觀測點測得距離分別為時，應向航天器發出變軌指令.
18．（1）由題意，可設所求橢圓的標準方程為+，其半焦距。
， ∴，
，故所求橢圓的標準方程為+；
（2）點P（5，2）、（－6，0）、（6，0）關于直線y＝x的對稱點分別為：
、（0，-6）、（0，6）
設所求雙曲線的標準方程為-，由題意知半焦距，
， ∴，
，故所求雙曲線的標準方程為-.
19．（1）設所求橢圓方程為:.由已知得:,所以.故所求橢圓的方程為:.
（2）設,直線,則點.當時,由于.由定比分點坐標公式,得,.又點在橢圓上,所以,解得.當時,,.于是,解得.故直線的斜率為0或.
20．（1）由已知可得點, 設點,則,,由已知可得.則解得.由于,只能于是. 所以點P的坐標是.
（2）直線的方程是.設點,則到直線的距離是. 于是,又,解得. 橢圓上的點到點的距離有,由于,所以當時,取得最小值.
21．假設存在這樣的直線,則直線的斜率一定存在,設為,點在拋物線上,所以,兩式作差得,,即,解得,故直線方程為,即.經驗證,直線符合條件.
22．（1）由,得,設則動點滿足,所以點在橢圓上,且橢圓的.所以軌跡的方程為.
（2）設直線的斜率為,則直線方程為,聯立方程組消去 得:,恒成立,設,則.由,所以四邊形為平行四邊形.若存在直線,使四邊形為矩形,則,即,解得,所以直線的方程為,此時四邊形為矩形.

高三數學第二輪專題復習測試—平面向量
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．如圖1所示，D是△ABC的邊AB上的中點，
則向量（ ）
A． B．
C． D．
2．與向量a=的夾解相等，且模為1的向量是 （ ）
A． B．或
C． D．或
3．設與是兩個不共線向量，且向量與共線，則= （ ）
A．0 B．－1 C．－2 D．0.5
4．已知向量，是不平行于軸的單位向量，且，則= （ ）
A． B． C． D．（1，0）
5．如圖,已知正六邊形P1P2P3P4P5P6,下列向量
的數量積中最大的是（ ）
A． B．
C． D．
6．在中，，，是邊上的高，若，則實數等
于 （ ）
A． B． C． D．
7．設，，則滿足條件，的動點P的
變化范圍（圖中陰影部分含邊界）是 （ ）
A． B． C． D．
8．將函數f(x)=tan(2x+)+1按向量a平移得到奇函數g(x)，要使|a|最小，則a=（ ）
A．（） B．（） C．（） D．（）
9．已知向量、、且，，，.設與的夾角為，
與的夾角為，與的夾角為，則它們的大小關系是 （ ）
A． B． C． D．
10．已知向量，，其中.若，則當恒成立時實數的取值范圍是 （ ）
A．或 B．或
C． D．
11．已知，，，點C在內，且，設 ，則等于 （ ）
A．　 B．3 C． D．
12．對于直角坐標平面內的任意兩點，，定義它們之間的一種“距離”：給出下列三個命題：
①若點C在線段AB上，則
②在中，若則
③在中，
其中真命題的個數為 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上.
13．在 ABCD中，，M為BC的中點，則_______.（用表示）
14．已知為坐標原點，動點滿足，其中且，則的軌跡方程為 .
15．在ΔABC中，O為中線AM上的一個動點，若AM=2，則的最小值為
.
16．已知向量，若點A、B、C能構成三角形，則實數m滿足的條件是 .
三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（本小題滿分12分）已知向量，.（1）若，試判斷與能否平行？（2）若，求函數的最小值.
18．（本小題滿分12分）（2006年湖北卷）設函數，其中向量
，.
（1）求函數的最大值和最小正周期；
（2）將函數的圖像按向量平移，使平移后得到的圖像關于坐標原點成中心對稱，求長度最小的.
19．（本小題滿分12分）（2006年全國卷II）已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，
－＜θ＜．
（1）若a⊥b，求θ；
（2）求｜a＋b｜的最大值．
20.（本小題滿分12分）在中，．
（1）求的值；
（2）當的面積最大時，求的大小．
21．（本小題滿分12分）（2006陜西卷）如圖，三定點A(2,1)，B(0,－1)，C(－2,1); 三動點D，E，M滿足
（1）求動直線DE斜率的變化范圍;
（2）求動點M的軌跡方程.
22．（本小題滿分14分）已知點是圓上的一個動點，過點作軸于點，設.
（1）求點的軌跡方程；
（2）求向量和夾角的最大值，并求此時點的坐標
參考答案
1．，故選A．
2．B 設所求向量=（cos,sin）,則由于該向量與的夾角都相等,故
3cos=-4sin,為減少計算量,可將選項代入驗證,可知B選項成立,故選B．
3．D 依題意知向量與共線，設（），則有，所以，解得，選D．
4．解選B．設，則依題意有
5．解析:利用向量數量積的幾何意義:數量積等于的長度與在的方向上的投影的乘積.顯然由圖可知在方向上的投影最大.所以應選(A).
6．B 即得又是邊上的高，即，整理可得即得，故選B．
7．A 設P點坐標為，則.由，得，在平面直角坐標系中畫出該二元一次不等式組表示的平面區域即可，選A．
8．A 要經過平移得到奇函數g(x)，應將函數f(x)=tan(2x+)+1的圖象向下平移1個單位，再向右平移個單位.即應按照向量進行平移.要使|a|最小，應取a=（），故選A．
9．B 由得，兩邊平方得，將，，代入得，所以；同理，由得，可得，，所以.
10． B 由已知得，所以，因此，由于恒成立，所以，解得或.
11．答案B∵ ，，
∴△ABC為直角三角形，其中
∴
∴ 即 故本題的答案為B．
12．答案B取特殊值、數形結合
在中， ，不妨取A（0，1）， C（0，0），B（0，1），則
∵ ∴ 、、
此時、 、；
即命題②、③是錯誤的.
設如圖所示共線三點，，，則
＝
＝
∴ 即命題①是正確的.
綜上所述，真命題的個數1個，故本題的答案為B．
13．解：，，所以.
14． 設，則，又，所以由得，于是，由消去m, n得的軌跡方程為：.
15． 如圖，設，則，所以
，
故當時，取最小值-2.
16． 因為，所以.由于點A、B、C能構成三角形，所以與不共線，而當與共線時，有，解得，故當點A、B、C能構成三角形時實數m滿足的條件是.
17．解析：（1）若與平行，則有，因為，，所以得，這與相矛盾，故與不能平行.
（2）由于，又因為，所以， 于是，當，即時取等號.故函數的最小值等于.
18．解：（Ⅰ）由題意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx)
＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).
所以，f(x)的最大值為2+，最小正周期是＝.
（Ⅱ）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z，
于是d＝（，－2），k∈Z.
因為k為整數，要使最小，則只有k＝1，此時d＝（―，―2）即為所求.
19．解析：解：（Ⅰ）若a⊥b，則sinθ＋cosθ＝0，
由此得 tanθ＝－1(－＜θ＜)，所以 θ＝－；
（Ⅱ）由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)得
｜a＋b｜＝＝
＝，
當sin(θ＋)＝1時，|a＋b|取得最大值，即當θ＝時，|a＋b|最大值為＋1．
20．解：（Ⅰ）由已知得： 因此，．
（Ⅱ），

．（當且僅當時，取等號），
當的面積取最大值時，，所以.
解：（I）由條件知： 且
，
設夾角為，則，
，故的夾角為 ，
（Ⅱ）令的夾角為
，
的夾角為.
21．解析：如圖，（Ⅰ）設D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由=t,  = t ,
知(xD－2,yD－1)=t(－2,－2). ∴ 同理  .
∴kDE =  =  = 1－2t.
∴t∈[0,1] , ∴kDE∈[－1,1].
（Ⅱ） 如圖, =+ = + t
= + t(－) = (1－t) +t,
=+ = +t = +t(－)
=(1－t) +t,
 = += + t= +t(－)=(1－t) + t
= (1－t2)  + 2(1－t)t+t2 .
設M點的坐標為(x,y),由=(2,1), =(0,－1), =(－2,1)得
 消去t得x2=4y, ∵t∈[0,1], x∈[－2,2].
故所求軌跡方程為: x2=4y, x∈[－2,2]
22．解析：（1）設，，則，，
.
（2）設向量與的夾角為，則，
令，則，
當且僅當時，即點坐標為時，等號成立.
與夾角的最大值是.

高三數學第二輪專題復習測試—
排列、組合、二項式、概率與統計
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中。只有一項是符合題目要求的．
1．(理)下列隨機變量中，不是離散型隨機變量的是 （ ）
A．從10只編號的球(0號到9號)中任取一只，被取出的球的號碼ξ
B．拋擲兩個骰子，所得的最大點數ξ
C．[0，10]區間內任一實數與它四舍五人取整后的整數的差值ξ
D．一電信局在未來某日內接到的電話呼叫次數ξ
(文)現有10張獎票，只有1張可中獎，第一人與第十人抽中獎的概率為 （ ）
A．， B．， C．， D．，
2．為了讓人們感知丟棄塑料袋對環境造成的影響，某班環保小組的六名同學記錄了自己家中一周內丟的塑料袋的數量，結果如下(單位：個)：33、25、28、26、25、31．如果該班有45名學生，那么根據提供的數據估計本周全班同學各家共丟棄塑料袋 （ ）
A．900個 B．1080個 C．1260個 D．1800個
3．假定有一排蜂房，形狀如圖，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受了點
傷，只能爬，不能飛，而且只能永遠向右方(包括右上，右下)爬行，
從一間蜂房爬到與之相鄰的右方蜂房中去，從最初位置爬到4號蜂房
中，則不同的爬法有 （ ）
A．4種 　 B．6種 　 C．8種 　 D．10種
4．A與A的大小關系是 （ ）
A．A > A B．A < A C．A = A D．大小關系不定
5．(理)若f(m)=，則等于 （ ）
A．2 B． C．1 D．3
（文）某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區支教(每地1人),其中甲和乙不同去,則不同的選派方案共有 種
A．1320 B．288 C．1530 D．670
6．(理)在二項式(x-)6的展開式中(其中=－1)，各項系數的和為 （ ）
A．64 B．－64 C．64 D．－64
（文）已知(2a3+)n的展開式的常數項是第7項，則正整數n的值為 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．右圖中有一個信號源和五個接收器。接收器與信號源在同一個串聯線路中時，就能接收
到信號，否則就不能接收到信號。若將圖中左端
的六個接線點隨機地平均分成三組，將右端的六
個接線點也隨機地平均分成三組，再把所有六組
中每組的兩個接線點用導線連接，則這五個接收
器能同時接收到信號的概率是 （ ）
A．　　　　　 B．
C．　　　　　 D．
8．（理）同時拋擲4枚均勻的硬幣3次，設4枚硬幣正好出現2枚正面向上，2枚反面向上的次數為ξ，則 ξ的數學期望是 （ ）
A． B． C． D．1
(文)已知兩組數據x1，x2，…，xn與y1，y2，…，yn，它們的平均數分別是和，則新的一組數據2x1-3y1+1，2x2-3y2+1，…，2xn-3yn+1的平均數是 （ ）
A．2-3 B．2-3+1 C．4-9 D．4-9+1
9．的展開式中含x的正整數指數冪的項數是 （ ）
A．0　　　　　 B．2　　　　　 C．4　　　　　 D．6
10．從0到9這10個數字中任意取3個數字組成一個沒有重復數字的三位數,這個數不能被3整除的概率為 （ ）
A． B． C． D．
11．設集合。選擇I的兩個非空子集A和B，要使B中最小的數大于A中最大的數，則不同的選擇方法共有 （ ）
A． B． C． D．
12．某射手射擊1次，擊中目標的概率是0.9．他連續射擊4次，且各次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響．有下列結論：
①他第3次擊中目標的概率是0.9 ②他恰好擊中目標3次的概率是0.93×0.1
③他至少擊中目標1次的概率是1—0.14
其中正確結論的是 （ ）
A．①③ B．①② C．③ D．①②③
二、填空題：本大題共4小題。每小題4分。共16分 把答案填在題中橫線上．
13．二項式(1+sinx)n的展開式中，末尾兩項的系數之和為7，且二項式系數最大的一項的值為，則x在(0，2)內的值為___________．
14．(理)一射手對靶射擊，直到第一次中靶為止．他每次射擊中靶的概率是0.9，他有3顆子彈，射擊結束后剩余子彈數目ξ的數學期望Eξ=______________.
(文)已知某天一工廠甲、乙、丙三個車間生產的產品件數分別是1500、1300、1200，現用分層抽樣方法抽取了一個樣本容量為n的樣本，進行質量檢查，已知丙車間抽取了24件產品，則n=____________.
15．某幢樓從二樓到三樓的樓梯共11級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，若規定從二樓到三樓用7步走完，則上樓梯的方法有___________種．
16．關于二項式(x-1)2005有下列命題：
④該二項展開式中非常數項的系數和是1：
②該二項展開式中第六項為Cx1999；
⑧該二項展開式中系數最大的項是第1002項：
④當x=2006時，(x-1)2005除以2006的余數是2005．
其中正確命題的序號是__________．(注：把你認為正確的命題序號都填上)
三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．(本小題滿分12分)某人手中有5張撲克牌，其中2張為不同花色的2，3張為不同花色的A，他有5次出牌機會，每次只能出一種點數的牌，但張數不限，此人有多少種不同的出牌方法?
18．(本小題滿分12分)求二項式(-)15的展開式中：
（1）常數項；
（2）有幾個有理項；
（3）有幾個整式項．
19．(本小題滿分12分)(理)在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對各種不同的搭配方式作比較。在試制某種牙膏新品種時，需要選用兩種不同的添加劑。現有芳香度分別為0，1，2，3，4，5的六種添加劑可供選用。根據試驗設計原理，通常首先要隨機選取兩種不同的添加劑進行搭配試驗。用表示所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和。
（1）寫出的分布列；（以列表的形式給出結論，不必寫計算過程）
（2）求的數學期望。（要求寫出計算過程或說明道理）
（文）在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對各種不同的搭配方式作比較。在試制某種牙膏新品種時，需要選用兩種不同的添加劑。現有芳香度分別為0，1，2，3，4，5的六種添加劑可供選用。根據試驗設計原理，通常首先要隨機選取兩種不同的添加劑進行搭配試驗。
（1）求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4的概率；
（2）求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3的概率；
20．(本小題滿分12分)袋中裝有m個紅球和n個白球，m≥n≥2，這些紅球和白球除了顏色不同以外，其余都相同．從袋中同時取出2個球．
（1）若取出是2個紅球的概率等于取出的是一紅一白的2個球的概率的整數倍，試證：m 必為奇數；
（2）在肌n的數組中，若取出的球是同色的概率等于不同色的概率，試求m+n≤40的所有數組(m，n)．
21．(本小題滿分12分)(理)東方莊家給游人準備了這樣一個游戲，他制作了“迷尼游戲板”：在一塊傾斜放置的矩形膠合板上釘著一個形如“等腰三角形”的八行鐵釘，釘子之間留有空隙作為通道，自上而下第1行2個鐵釘之間有1個空隙，第2行3個鐵釘之間有2個空隙，…，第8行9個鐵釘之間有8個空隙(如圖所示)．東方莊家的游戲規則是：游人在迷尼板上方口放人一球，每玩一次(放入一球就算玩一次)先付給莊家2元．若小球到達①②③④號球槽，分別獎4元、2元、0元、-2元．(一個玻璃球的滾動方式：通過第1行的空隙向下滾動，小球碰到第二行居中的鐵釘后以相等的概率滾入第2行的左空隙或右空隙．以后小球按類似方式繼續往下滾動，落入第8行的某一個空隙后，最后掉入迷尼板下方的相應球槽內)．恰逢周末，某同學看了一個小時，留心數了數，有80人次玩．試用你學過的知識分析，這一小時內莊家是贏是賠；通過計算，你想到了什么?
(文)甲、乙二人做射擊游戲，甲、乙射擊擊中與否是相互獨立事件．規則如下：若射擊一次擊中，則原射擊人繼續射擊；若射擊一次不中，就由對方接替射擊．已知甲、乙二人射擊一次擊中的概率均為，且第一次由甲開始射擊．
（1）求前3次射擊中甲恰好擊中2次的概率；
（2）求第4次由甲射擊的概率．
22．(本小題滿分14分)規定A=x(x-1)…(x-m+1)，其中x∈R，m為正整數，且A=1，這是排列數A(n，m是正整數，且m≤n)的一種推廣．
（1）求A的值；
（2）排列數的兩個性質：①A=nA，②A+mA=A(其中m，n是正整數)．是否都能推廣到A(x∈R，m是正整數)的情形?若能推廣，寫出推廣的形式并給予證明；若不能，則說明理由；
（3）確定函數A的單調區間．
參考答案
1．(理)C 僅C選項中的差值不是離散型隨機變量．
(文)C 無論誰抽中獎的概率均為P==,則第一人與第十人抽中獎的概率均為，故應選C．
2．C 由已知抽樣數據可得平均數為=28個，據此可以估計本周全班同學各家共丟棄塑料袋的數量約為28×45=l260個．
3．C 路線為134；124；1234；0134；0124；01234；024；0234.
4．D 當n≥3時，得-=(n+1)n-n(n-1)(n-2)=-n(n2-4n+1)，當n=3時,-=6>0，得>；當n≥4時，-<0，得<. 即與的關系不定．故應選D．
5．(理)A ∵f(m)=，∴f(3)==(1+3)n=4n，f(1)= =(1+1)n=2n. ==2,故應選A.
(文)A 用間接法求解簡單 ；也可直接法分3類求解；
6．(理)D 令x=l得，各項系數和為(-)6=26×(-)6=-26=-64．
(文)B T7=(2a3)n-6·a-6=·2n-6·a3n-24，當3n-24=O時，此項為常數項，即n=8時第7項是常數．
7．D　由題意，左端的六個接線點隨機地平均分成三組有種分法，同理右端的六個接線點也隨機地平均分成三組有種分法；要五個接收器能同時接收到信號，則需五個接收器與信號源串聯在同一個線路中，即五個接收器的一個全排列，再將排列后的第一個元素與信號源左端連接，最后一個元素與信號源右端連接，所以符合條件的連接方式共有種，所求的概率是，故選D．
8．(理)B 4枚硬幣正好出現2枚正面向上，2枚反面向上的概率為P=C·()4=，
由此可得P(=0)=C·(1-)3=()3，P(=1)=·．(1-)2=，P(=2)=·()2．(1-)=，P(=3)=·()3=，由此可得E=0×()3+1×+2×+3×=．故應選B．
(文)B (2x1-3yl+1+2x2-3y2+l+…+2xn-3yn+1)／n=2(x1+x2+…+xn)／n-3(y1+y2+…+yn)／n+1=2-3+l，故應選B．
9．B 展開式通項為，若展開式中含x的正整數指數冪，即所以，選（B）
10．B將這10個數字按被3除所得的余數分成三個集合A={0,3,6,9},B={1,4,7},C={2,5,8},所以能被3整除的分以下四種情況①三個數都從A中取,共有個數能被3整除;②三個數都從B中取,共有個數能被3整除;③三個數都從C中取,共有個數能被3整除;④分別從ABC中各取一個數,共有個數能被3整除.所以所有能被3整除的數共有228個.而從0到9這10個數字中任意取3個數組成的三位數共有個,所以能被3整除的概率為,于是這個數不能被3整除的概率為,因選B．
11．B 顯然，設，則C是I的非空子集，且C中元素不少于2個（當然，也不多于5個）.另一方面，對I的任何一個k（）元子集C，我們可以將C中元素從小到大排列.排好后，相鄰數據間共有k1個空檔。在任意一個空擋間插入一個隔板，隔板前的元素組成集合A，隔板后元素組成集合B。這樣的A、B一定符合條件，且集合對{A，B}無重復.綜合以上分析，所求為：.選B.
12．A　恰好擊中目標3次的概率是O.93×0.1，即得②錯誤，而①③正確，故應選A．
13．或 由已知可得+=n+1=7，即得n=6，二項式系數最大的一項為·sin3x=20sm3x=，解得sinx=，又x∈(0，2)，∴x=或．
14．(理)1.89 P(=2)=O.9，P(=1)=0.1×0.9=0.09，P(=0)=O.13+0.12×0.9=0.0l，由此可得E=2×O.9+l×O.09+O×O.01=1.89．
(文)80　每個個體被抽取的概率P==, ∴n=(1500+1300+1200)×=80
15．35 從二樓到三樓用7步走完，共走11級，則必有4步每步走兩級，其余3步每步1級，因此共有=35種方法．
16．①④ 二項式(x-1)2005所有項的系數和為O，其常數項為-l，非常數項的系數和是1，即得①正確；二項展開式的第六項為x2000，即得②錯誤；二項展開式中系數絕對值最大的項為=，-=-，得系數最大的項是第1003項·x1003，即③錯誤；當x=2006時，(x-1)2005除以2 006的余數是2006-l=2005，即④正確．故應填①④．
17．由于張數不限，2張2，3張A可以一起出，亦可分幾次出，故考慮按此分類． (2分)
出牌的方法可分為以下幾類：
(1)5張牌全部分開出，有A種方法； (3分)
(2)2張2一起出，3張A一起出，有A種方法； (4分)
(3)2張2一起出，3張A分開出，有A種方法； (5分)
(4)2張2一起出，3張A分兩次出，有種方法； (7分)
(5)2張2分開出，3張A一起出，有A種方法； (8分)
(6)2張2分開出，3張A分兩次出，有種方法； (10分)
因此共有不同的出牌方法A+ A+ A++ A+=860種． (12分)
18．展開式的通項為：Tr+1= =
(1)設Tr+1項為常數項，則=0，得r=6，即常數項為T7=26； (4分)
(2)設Tr+1項為有理項，則=5-r為整數，∴r為6的倍數，又∵0≤r≤15，∴r可取0，6，12三個數，故共有3個有理項． (8分)
(3) 5-r為非負整數，得r=0或6，∴有兩個整式項． (12分)
19．(理)解：（１）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
P
（２）
(文)設“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4”的事件為A，“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3”的事件為B
（１）芳香度之和等于4的取法有2種：、，故。
（２）芳香度之和等于1的取法有1種：；芳香度之和等于2的取法有1種：，故。
20．(1)設取出2個球是紅球的概率是取出的球是一紅一白2個球的概率的k倍(k為整數)，
則有 (2分)
∴-kmn=2kn+1． (4分)
∵k∈Z，n∈Z，∴m=2kn+1為奇數． (6分)
(2)由題意,有，∴=mn,
∴m2-m+n2-n-2mn=0即(m-n)2=m+n，1． (8分)
∴m≥n≥2，所以m+n≥4，∴2≤m-n≤<7，
∴m-n的取值只可能是2，3，4，5，6，相應的m+n的取值分別是4，9，16，25，36，
即或或或或
解得或或或或 (10分)
注意到m≥n≥2．
∴(m，n)的數組值為(6，3)，(10，6)，(15，10)，(21，15)． (12分)
21．(理)游人每玩一次，設東方莊家獲利為隨機變量(元)；游人每放一球，小球落入球槽，相當于做7次獨立重復試驗，設這個小球落入鐵釘空隙從左到右的次序為隨機變量+1，則～B(7，)．
因為P(=-4)=P(=0或=7)=P(=0)+P(=7)=+=
P(=-2)=P(=1或=6)=P(=1)+P(=6)=+=
P(=0)=P(=2或=5)=P(=2)+P(=5)=+=
P(=2)=P(=3或=4)=P(=3)+P(=4)=+=
2+E=2+(-4)×+(-2)×+0×+2×=2+，
一小時內有80人次玩．剛東方莊家通常獲純利為(2+×)80=225(元)
答：莊家當然是贏家!我們應當學會以所學過的知識為武器，勸說人們不要被這類騙子的騙術所迷惑． (12分)
(文)假設甲射擊命中目標為事件A，乙射擊命中目標為事件B．
(1)“前3次射擊中甲恰好擊中2次”其實隱含的條件是：第一次(甲射擊)命中、甲在第二次射擊也命中、在第三次射擊中沒有命中，即事件AA發生．事實上，因為第一次(由甲射擊)如果出現，則第二次由乙射擊，出現B(第三次仍由乙射擊)或(第三次改由甲射擊)，出現的事件分別為BB，B或A，，都不滿足“前3次射擊中甲恰好擊中2次”，因此第一次(甲射擊)命中；再考慮第二次射擊，甲如果沒有擊中，則出現的事件為AB，A也都不滿足“前3次射擊中甲恰好擊中2次”，因此甲在第二次射擊也命中；這樣第三次不能再命中，否則結果為AAA．前3次射擊中甲恰好擊中2次可列舉為上面事件AA，所求的概率為P=××=；
(2)第4次由甲射擊隱含條件為：第三次若由甲射擊，則必擊中；若由乙射擊，則必未擊中．逆推，可以將問題列舉為下列事件：AAA、A、A、B．第4次由甲射擊的概率P=()3+()2×+×()2+××=
22．(1)=(-15)(-16)(-17)=4080； (3分)
(2)性質①、②均可推廣，推廣的形式分別是
①，②(x∈R，m∈N+)
事實上，在①中，當m=1時，左邊==x，右邊=x=x，等式成立； (4分)
當m≥2時，左邊=x(x-1)(x-2)…(x-m+1)=x{(x-1)(x-2)…[(x-1)-(m-1)+1]}=x，
因此，①成立； (5分)
在②中，當m=l時，左邊=+=x+l==右邊，等式成立；
當m≥2時，左邊=x(x-1)(x-2)…(x-m+1)+mx(x-1)(x-2)…(x-n+2)
=x(x-1)(x-2)…(x-m+2)[(x-m+1)+m]
=(x+1)x(x-1)(x-2)…[(x+1)-m+1]==右邊， (6分)
因此②(x∈R，m∈N+)成立． (8分)
(3)先求導數，得()/=3x2-6x+2．令3x2-6x+2>0，解得x<或x>
因此，當x∈(-∞，)時，函數為增函數，當x∈(，+∞)時，函數也為增函數． (11分)
令3x2-6x+2≤0, 解得≤x≤，因此,當x∈[,]時,函數為減函數． (12分)
∴函數的增區間為(-∞，),(，+∞)；減區間為[,]．

高三數學第二輪專題復習測試— 數列
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．若互不相等的實數、、成等差數列，、、成等比數列，且，
則= （ ）
A．4 B．2 C．－2 D．－4
2．已知等差數列共有10項，其中奇數項之和15，偶數項之和為30，則其公差是 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．在等差數列中，已知則等于 （ ）
A．40　　　　　　 B．42　　　　　　 C．43　　　　　 D．45
4．在等差數列｛an｝中，若aa+ab=12，SN是數列｛an｝的前n項和，則SN的值為 （ ）
A．48 　 B．54 　 C．60 　 D．66
5．設Sn是等差數列｛an｝的前n項和，若＝，則＝ （ ）
A． B． C． D．
6．設是公差為正數的等差數列，若，，則
（ ）
A． B． C． D．
7．已知等差數列｛an｝的前n項和為Sn，若，且A、B、C三點共線
（該直線不過原點O），則S200＝ （ ）
A．100 B．101 C．200 D．201
8．在等比數列中，，前項和為，若數列也是等比數列，則等于
（ ）
A． B． C． D．
9．設，則等于 （ ）
A． 　 B． 　 C． D．
10．彈子跳棋共有60棵大小相同的球形彈子，現在棋盤上將它疊成正四面體球垛，使剩下的彈子盡可能的少，那么剩下的彈子有 （ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
11．設數列的前n項和為，令，稱為數列，，……，的“理想數”，已知數列，，……，的“理想數”為2004，那么數列2， ，，……，的“理想數”為 （ ）
A．2002 B．2004 C．2006 D．2008
12．一給定函數的圖象在下列圖中，并且對任意，由關系式得到的數列滿足，則該函數的圖象是
A B C D
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上.
13．數列｛an｝中，若a1=1，an+1=2an+3 （n≥1），則該數列的通項an= .
14． .
15．在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某
商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干準“正
三棱錐”形的展品，其中第一堆只有一層，
就一個乒乓球；第2、3、4、…堆最底層（第
一層）分別按圖4所示方式固定擺放.從第一
層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，
第n堆第n層就放一個乒乓球，以表示第n堆的乒乓球總數，則
； （答案用n表示）.
16．已知整數對排列如下，
則第60個整數對是_______________.
三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（本小題滿分12分）
數列{an}的前n項和記為Sn，
（1）求{an}的通項公式;
（2）等差數列{bn}的各項為正，其前n項和為Tn，且，又成等比數列，求Tn
18．（本小題滿分12分）
設數列、、滿足：，（n=1，2，3，…），
證明：為等差數列的充分必要條件是為等差數列且（n=1，2，3，…）
19．（本小題滿分12分）
已知數列，其中是首項為1，公差為1的等差數列；是公差為的等差數列；是公差為的等差數列（）.
（1）若，求；
（2）試寫出關于的關系式，并求的取值范圍；
（3）續寫已知數列，使得是公差為的等差數列，……，依次類推，把已知數列推廣為無窮數列. 提出同（2）類似的問題（（2）應當作為特例），并進行研究，你能得到什么樣的結論？
20．（本小題滿分12分）
某市去年11份曾發生流感，據統計，11月1日該市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于該市醫療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到控制，從某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者減少30人，到11月30日止，該市在這30日內感染該病毒的患者總共8670人，問11月幾日，該市感染此病毒的新患者人數最多？并求這一天的新患者人數.
21．（本小題滿分12分）
等差數列中，，公差是自然數，等比數列中，．
（Ⅰ）試找出一個的值，使的所有項都是中的項；再找出一個的值，使 的項不都是中的項（不必證明）；
（Ⅱ）判斷時，是否所有的項都是中的項， 并證明你的結論；
（Ⅲ）探索當且僅當取怎樣的自然數時，的所有項都是中的項，并說明理由．
22．（本小題滿分14分）
已知數列{}中，（n≥2，），
（1）若，數列滿足（），求證數列{}是等差數列；
（2）若，求數列{}中的最大項與最小項，并說明理由；
（3）（理做文不做）若，試證明：．
參考答案
1．D．依題意有
2．C．　，故選C．
3．B． ∵等差數列中， ∴公差．
∴＝＝42．
4．B．　因為，所以=54，故選B．
5．A．　由等差數列的求和公式可得且
所以，故選A．
6．B．，，
將代入，得，從而.選B．
7．A．　依題意，a1＋a200＝1，故選A．
8．C．因數列為等比，則，因數列也是等比數列，則

即，所以，故選擇答案C．
9．D．　f（n）=，選D．
10．B．　正四面體的特征和題設構造過程，第k層為k個連續自然數的和，化簡通項再裂項用公式求和.依題設第k層正四面體為則前k層共有，k最大為6，剩4，選B．
11．A．認識信息，理解理想數的意義有，
，選A．
12．A．函數認識數列 ，則函數在上為凸函數，選A．
13．由，即=2，所以數列｛＋3｝是以（+3）為首項，以2為公比的等比數列，故＋3=（+3），=－3.
14．由，整體求和所求值為5．
15．
的規律由，所以

所以

16．觀察整數對的特點，整數對和為2的1個，和為3的2個，和為4的3個，和為5的4個，和n為的
n－1個，于是，借助估算，取n=10，則第55個整數對為，注意橫
坐標遞增，縱坐標遞減的特點，第60個整數對為
17．（1）由可得，兩式相減得
又 ∴ 故{an}是首項為1，公比為3得等比數列 ∴.
（2）設{bn}的公差為d，由得，可得，可得，
故可設
又由題意可得解得
∵等差數列{bn}的各項為正，∴，∴ ∴
18．必要性：設數列是公差為的等差數列，則：
==－=0，
∴（n=1，2，3，…）成立；
又=6（常數）（n=1，2，3，…）
∴數列為等差數列.
充分性：設數列是公差為的等差數列，且（n=1，2，3，…），
∵……① ∴……②
①－②得：=
∵
∴……③ 從而有……④
④－③得：……⑤
∵，，，
∴由⑤得：（n=1，2，3，…），
由此，不妨設（n=1，2，3，…），則（常數）
故……⑥
從而……⑦
⑦－⑥得：，
故（常數）（n=1，2，3，…），
∴數列為等差數列.
綜上所述：為等差數列的充分必要條件是為等差數列且（n=1，2，3，…）.
19．（1）.
（2）， ，
當時，.
（3）所給數列可推廣為無窮數列，其中是首項為1，公差為1的等差數列，當 時，數列是公差為的等差數列.
研究的問題可以是：試寫出關于的關系式，并求的取值范圍.
研究的結論可以是：由，
依次類推可得
當時，的取值范圍為等.
20．設第n天新患者人數最多，則從n+1天起該市醫療部門采取措施，于是，前n天流感病毒感染者總人數，構成一個首項為20，公差為50的等差數列的n項和，，而后30－n天的流感病毒感染者總人數，構成一個首項為，公差為30，項數為30－n的等差數列的和，依題設構建方程有，化簡，或（舍），第12天的新的患者人數為 20+（12－1）·50=570人.故11月12日，該市感染此病毒的新患者人數最多，新患者人數為570人.
21．（1）時，的項都是中的項；（任一非負偶數均可）;
時，的項不都是中的項．（任一正奇數均可）;
（2） 時，
的項一定都是中的項
（3）當且僅當取（即非負偶數）時，的項都是中的項．
理由是：①當時，時，
，其中
是的非負整數倍，設為（），只要取即（為正整數）即可得，
即的項都是中的項；②當時，不是整數，也不可能
是的項．
22．（1），而，∴．
∴{}是首項為，公差為1的等差數列．
（2）依題意有，而，
∴.對于函數，在x＞3.5時，y＞0，，在（3.5，）
上為減函數.　故當n＝4時，取最大值3. 而函數在x＜3.5時，y＜0，
，在（，3.5）上也為減函數．故當n＝3時，取最小值，＝－1.
（3）先用數學歸納法證明，再證明. ①當時，成立；
②假設當時命題成立，即，當時，
故當時也成立，
綜合①②有，命題對任意時成立，即.
（也可設（1≤≤2），則，
故）.
下證：　
.

高三數學第二輪專題復習測試—極限、導數
一、選擇題:本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一
個選項正確
1．（理）若復數滿足方程，則 （ ）
A． B． C． D．
(文)曲線y=4x－x3在點(－1,－3)處的切線方程是 （ ）
A．　y=7x+4 B．　y=7x+2 C．　y=x－4 D．　y=x－2
2．函數y=x2(－≤x≤)圖象上一點P,以點P為切點的切線為直線l,則直線l的傾斜角
的范圍是 （ ）
A．［0,］∪［,π］ B．［0,π］
C．［,］ D．［0,］∪(,)
3．（理）若,則a的值為 （ ）
A．0 B．1 C．－1 D．
（文）在曲線y=x2+1的圖象上取一點（1,2）及鄰近一點（1+Δx,2+Δy）,則為（ ）
A．Δx++2 B．Δx－－2
C．Δx+2 D．2+Δx－
4．曲線y=x5+3x2+4x在x=－1處的切線的傾斜角是 （ ）
A．－ B． C． D．
5．函數f(x)=x3－ax2－bx+a2在x=1時,有極值10,則a、b的值為 （ ）
A． B．
C． D．以上皆錯
6．（理）已知，下面結論正確的是 （ ）
A．在處連續 B．
C． D．
（文）設f（x）=ax3+3x2+2,若f′（－1）=4,則a的值等于
A． B． C． D．
7．函數f(x)=x3－3x+1,x∈［－3,0］的最大值、最小值分別是 （ ）
A．1,－1 B．1,－17 C．3, －17 D．9,－19
8．（理）數列{an}中，a1=1,Sn 是前n項和.當n≥2時，an=3Sn,則的值是（ ）
A．－ B．－2 C．1 D．－
（文）曲線y=x3－3x2+1在點（1，－1）處的切線方程為 （ ）
A．y=3x－4 B．y=－3x+2 C．y=－4x+3 D．y=4x－5
9．（理）2+2i的平方根是 （ ）
A．+i B．±i C．±+i D．±(+i)
（文）已知f（x）=2x3－6x2+m（m為常數）在［－2，2］上有最大值3，那么此函數在［－2，2］上的最小值是 （ ）
A．－37 B．－29 C．－5 D．以上都不對
10．已知函數的圖象如右圖所示（其中 是函數的導函數），下面四個圖象中的圖象大致是
11．設f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數,當x＜0時, ＞0.且g(3)=0.則不等式f(x)g(x)＜0的解集是 （ ）
A．（－3,0)∪(3,+∞) B．(－3,0)∪(0, 3)
C．(－∞,- 3)∪(3,+∞) D．(－∞,－ 3)∪(0, 3)
12．已知兩點O（0,0），Q（,b）,點P1是線段OQ的中點，點P2是線段QP1的中點，P3是線段P1P2的中點，┅，是線段的中點，則點的極限位置應是（ ）
A．（,） B．() C．() D． ()
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上)
13．垂直于直線2x－6y+1=0且與曲線y=x3+3x2－1相切的直線方程的一般式是__________.
14．(理) （2006年安徽卷）設常數，展開式中的系數為，則_____.
(文)(2006福建高考)已知直線與拋物線相切，則
15．函數f(x)=2x3+3x2－12x－5,則函數f(x)的單調增區間是______.
16．（理）用數學歸納法證
的過程中，當n=k到n=k+1時，左邊所增加的項為_______________.
（文）若函數f（x）=x3+x2+mx+1是R上的單調遞增函數，則m的取值范圍是______________．
三、解答題(本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．（本小題滿分12分）
（理）設函數
（1）畫出函數的圖象；
（2）在x=0，x=3處函數是否連續；
（3）求函數的連續區間.
（文）已知函數.
（1）討論函數的單調性；
（2）若曲線上兩點A、B處的切線都與y軸垂直，且線段AB與x軸有公共點，求實數a的取值范圍.
18．（本題滿分12分）
（理）已知復數z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求| z1·z2|的最大值和最小值.
（文）(2006福建高考)已知是二次函數，不等式的解集是且 在區間上的最大值是12。
（1）求的解析式；
（2）是否存在實數使得方程在區間內有且只有兩個不等的實數根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．
19．（本小題滿分12分）
已知有極大值和極小值.
（1）求+的值；
（2）設曲線的極值點為A、B，求證：線段AB的中點在上.
20．（本小題滿分12分）
（理）函數的定義域為R，且
（1）求證：
（2）若上的最小值為，
求證：.
（文）(2006安徽高考)設函數，已知 是奇函數。
（1）求、的值．
（2）求的單調區間與極值．
21．（本小題滿分12分）
（理）如圖，在平面直角坐標系xOy中，射線上依次有點列A1，A2…，An，…；B1，B2，…，Bn，….其
中，
（1）用含有n的式子表示；
（2）用含有n的式子表示點An、Bn的坐標；
（3）求四邊形面積的最大值.
（文）(2006陜西高考)已知函數f(x)=kx3－3x2+1(k≥0).
（1）求函數f(x)的單調區間;
（2）若函數f(x)的極小值大于0, 求k的取值范圍.
22．（本大題滿分14分）
自然狀態下的魚類是一種可再生資源，為持續利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響. 用xn表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N*，且x1＞0.不考慮其它因素，設在第n年內魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，這些比例系數依次為正常數a，b，c.
（1）求xn+1與xn的關系式；
（2）猜測：當且僅當x1，a，b，c滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）
（3）(只理科做)設a＝2，b＝1，為保證對任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，則捕撈強度b的最大允許值是多少？證明你的結論.
參考答案
1．（理）設，由，得，得。所以.答案:D
（文）,所以k切=4－3×(－1)2=1,運用直線的點斜式方程得y=4x－x3在點(－1,－3)處的切線方程是y=x－2,所以應選D.
2．y′=2x.∵－≤x≤,∴－1≤y′≤1,即－1≤tanα≤1.又∵0≤α＜π,∴0≤α≤ 或≤α＜π.答案:A
3．（理）∵存在，而把x=2代入分母時，分母為零，∴分子、分母應有(x－2)這一公因式，化簡以后，再求極限.∴分子x2+ax－2可分解成(x－2)(x+1)，即x2+ax－2=(x－2)(x+1)=x2－x－2.∴a=－1.答案: C
（文）==Δx+2.答案:C
4．y′=x4+6x+4,∴y′|=(－1)4+6(－1)+4=－1.由tanα=－1,0≤α＜π,得α=π.
答案:C
5．f′(x)=3x2－2ax－b.∵函數f(x)在x=1處有極值10,∴解得答案:A
6．（理） 當x=1 時，2x+3=52,故A、B錯誤；而=5，故選D.
（文）f′（x）=3ax2+6x,f′（－1）=3a－6=4,所以a=.答案:D
7．f′(x)=3x2－3=3(x－1)(x+1).令f′(x)=0得x=－1或x=1(舍去).
列表如下:
x
－3
(－3, －1)
－1
(－1,0)
0
f(x)
－17
↗
3
↘
1
∴f(x)max=3,f(x)min=－17.答案:C
8．(理)當n≥2時，an=Sn－Sn－1=3Sn,∴Sn=－Sn－1.又S1=a1=1，∴{Sn}是以1為首項，－ 為公比的等比數列.∴= =－.答案: A
(文)y′=3x2－6x,∴y′|x=1=－3.∴在（1,－1）處的切線方程為y+1=－3（x－1）.答案:B
9．(理)設2+2i的平方根是a+bi(a、b∈R),
則(a+bi)2=2+2i,即a2－b2+2abi=2+2i.由復數相等的定義,得
解得或即2+2i的平方根是±(+i).答案:D
(文)（x）=6x（x－2），f（x）在（－2，0）上為增函數，在（0，2）上為減函數的，x=0時，f（x）=m最大.∴m=3，f（－2）=－37，f（2）=－5.答案：A
10．由函數的圖象可知：當時， <0，>0，此時增,當時，>0，<0，此時減,當時，<0，<0，此時減,當時，>0，>0，此時增.答案:C
11．∵當x＜0時,＞0 ，即,∴當x＜0時，f(x)g(x)為增函數，又g(x)是偶函數且g(3)=0，∴g(-3)=0，∴f(-3)g(-3)=0,故當時，f(x)g(x)＜0,又f(x)g(x)是奇函數，當x>0時，f(x)g(x)為減函數，且f(3)g(3)=0,故當時，f(x)g(x)＜0,故選D
12.∵點的位置應是(,∴點的極限位置應是().答案:C
13.∵所求直線與2x－6y+1=0垂直，∴k=－3.又由y=x3+3x2－1,得y′=3x2+6x=－3.∴x=－1,切點為(－1，1).∴直線方程為y－1=－3(x+1),即3x+y+2=0.答案: 3x+y+2=0
14．(理) ，由，所以，所以為1.
(文)∵ 直線與拋物線相切,切線的斜率,∴切點,而切點又在拋物線上,∴ 故.
15．分析:本題考查用導數求函數的單調區間,但要注意單調區間的寫法.解:f′(x)=6x2+6x－12,令f′(x)＞0,得6x2+6x－12＞0,解得x＜－2或x＞1,即函數f(x)的單調增區間是(－∞,－2)或(1,+∞).答案:(－∞,－2)或(1,+∞)
16．（理)當n=k到n=k+1時，左邊增加了兩項,減少了一項,左邊所增加的項為 －=.答案:
(文)f′（x）=3x2+2x+m.∵f（x）在R上是單調遞增函數,∴f′（x）＞0在R上恒成立，即3x2+2x+m＞0.由Δ=4－4×3m＜0,得m＞.答案:m＞
17．(理)⑴圖略；
⑵，
，處連續 ， 同理處連續；
⑶連續區間為(－∞，+∞).
(文)（1）由題設知.
令.
當（i）a>0時，
若，則，所以在區間上是增函數；
若，則，所以在區間上是減函數；
若，則，所以在區間上是增函數；
（i i）當a＜0時，
若，則，所以在區間上是減函數；
若，則，所以在區間上是減函數；
若，則，所以在區間上是增函數；
若，則，所以在區間上是減函數.
（２）由（Ⅰ）的討論及題設知，曲線上的兩點A、B的縱坐標為函數的極值，且函數在處分別是取得極值，.
因為線段AB與x軸有公共點，所以.
即.所以.
故.
解得　－1≤a＜0或3≤a≤4.
即所求實數a的取值范圍是[-1，0]∪[3，4].
18．(理)
故的最大值為最小值為.
(文)（1）是二次函數，且的解集是
可設在區間上的最大值是
由已知，得
（2）方程等價于方程
設則
當時，是減函數；
當時，是增函數。
方程在區間內分別有惟一實數根，而在區間 內沒有實數根，
所以存在惟一的自然數使得方程在區間內有且只有兩個不同的實數根.
19．（1），由于有極大值和極小值，
、的兩根，
則
（2）設
知AB的中點在上
20．(理)解：⑴定義域為R，
⑵由⑴知
(文)（1）∵，∴.從而＝
是一個奇函數，所以得，由奇函數定義得；
（2）由（Ⅰ）知，從而，由此可知，
和是函數是單調遞增區間；
是函數是單調遞減區間；
在時，取得極大值，極大值為，在時，取得極小值，極小值為.
21．(理)⑴由已知得，
所以，是首項為，
公比為的等比數列，

⑵設
是首項為公差為的等差數列，



設. 所以
⑶設四邊形的面積是，則


∴數列單調遞減.∴四邊形的面積的最大值為
(文)（1）當k=0時,f(x)=－3x2+1,∴f(x)的單調增區間為(－∞,0),單調減區間[0,+∞].
當k>0時 , f '(x)=3kx2－6x=3kx(x－)．
∴f(x)的單調增區間為(－∞,0) , [ , +∞], 單調減區間為[0, ].
（2）當k=0時, 函數f(x)不存在最小值.
當k>0時, 依題意 f()=  －  +1>0 ,
即k2>4 , 由條件k>0, 所以k的取值范圍為(2,+∞).
22．（1）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為
（2）若每年年初魚群總量保持不變，則xn恒等于x1， n∈N*，從而由（*）式得

因為x1>0，所以a>b.
猜測：當且僅當a>b，且時，每年年初魚群的總量保持不變.
（3）若b的值使得xn>0，n∈N*
由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知
0 而x1∈(0, 2)，所以
由此猜測b的最大允許值是1.
下證 當x1∈(0, 2) ，b=1時，都有xn∈(0, 2), n∈N*
①當n=1時，結論顯然成立.
②假設當n=k時結論成立，即xk∈(0, 2),
則當n=k+1時，xk+1=xk(2－xk)>0.
又因為xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,
所以xk+1∈(0, 2)，故當n=k+1時結論也成立.
由①、②可知，對于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).
綜上所述，為保證對任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，則捕撈強度b的最大允許值是1.

高三數學第二輪專題復習測試—直線與圓的方程
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．圓的切線方程中有一個是 （ ）
A．x－y＝0　　　 B．x＋y＝0　　　 C．x＝0　　　 D．y＝0
2．若直線與直線互相垂直，那么的值等于 （ ）
A．1 B． C． D．
3．設直線過點其斜率為1，且與圓相切，則的值為 （ ）
Ａ．　　　　 Ｂ．　　　　Ｃ．　　　　 Ｄ．
4．平面的斜線交于點，過定點的動直線與垂直，且交于點，則動點的軌跡是 （ ）
A．一條直線 B．一個圓 C．一個橢圓 D．雙曲線的一支
5．參數方程（為參數）所表示的曲線是 （ ）
A．圓 B．直線 C．兩條射線 D．線段
6．如果直線的斜率分別為二次方程的兩個根，那么與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，若，則 （ ）
A． B．
C． D．
8．一束光線從點出發，經x軸反射到圓上的最短路徑是
（ ）
A．4 B．5 C． D．
9．若直線始終平分圓的周長，則
的最小值為 （ ）
A．1 B．5 C． D．
10．已知平面區域由以、、為頂點的三角形內部和邊界組成.若在區域 上有無窮多個點可使目標函數取得最小值，則 （ ）
A． B． C． D．4
11．設圓上有且僅有兩個點到直線的距離等于1，則圓半徑r的取值范圍是 （ ）
A． B． C． D．
12．（2006年安徽卷）如果實數滿足條件 ，那么的最大值為
A． B． C． D．
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上.
13．已知直線，，若，則 ．
14．若圓與圓相交，則m的取值范圍是 ．
15．已知直線與圓相切，則的值為________.
16．已知圓M：（x＋cos(）2＋（y－sin(）2＝1，
直線l：y＝kx，下面四個命題：
（A）對任意實數k與(，直線l和圓M相切；
（B）對任意實數k與(，直線l和圓M有公共點；
（C）對任意實數(，必存在實數k，使得直線l與和圓M相切;
（D）對任意實數k，必存在實數(，使得直線l與和圓M相切.
其中真命題的代號是______________（寫出所有真命題的代號）.
三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（本小題滿分12分）已知的頂點A為（3，－1），AB邊上的中線所在直線方程為，的平分線所在直線方程為，求BC邊所在直線的方程．
18．（本小題滿分12分）設圓滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長之比為3：1；③圓心到直線的距離為，求該圓的方程．
19．（本小題滿分12分）設M是圓上的動點，O是原點，N是射線OM上的點，若，求點N的軌跡方程。
20．（本小題滿分12分）已知過A（0，1）和且與x軸相切的圓只有一個，求的值及圓的方程．
21．（本小題滿分12分）實系數方程的一個根在（0，1）內，另一個根在（1，2）內，求：
（1）的值域；
（2）的值域；
（3）的值域．
22．（本小題滿分14分）已知定點A（0，1），B（0，-1），C（1，0）．動點P滿足：.
（1）求動點P的軌跡方程，并說明方程表示的曲線類型；
（2）當時，求的最大、最小值．
參考答案
1．C．圓心為（1，），半徑為1，故此圓必與y軸（x=0）相切，選C.
2．D．由可解得．
3．C．直線和圓相切的條件應用， ,選C;
4．A．過點A且垂直于直線AB的平面與平面的交線就是點C的軌跡，故是一條直線.
5．C．原方程
6．A．由夾角公式和韋達定理求得．
7．C．數形結合法，注意等價于．
8．A．先作出已知圓C關于x軸對稱的圓，問題轉化為求點A到圓上的點的最短路徑，即．
9．D．已知直線過已知圓的圓心（2，1），即．
所以．
10．C．由、、的坐標位置知，所在的區域在第一象限，故.由得，它表示斜率為.
（1）若，則要使取得最小值，必須使最小，此時需，即1；
（2）若，則要使取得最小值，必須使最小，此時需，即2，與矛盾.綜上可知，1.
11．B．注意到圓心到已知直線的距離為
，
結合圖形可知有兩個極端情形：
其一是如圖7-28所示的小圓，半徑為4；
其二是如圖7-28所示的大圓，其半徑為6，故．
12．B．當直線過點(0，-1)時，最大，故選B.
13．．時不合題意；
時由，
這時．
14．．由解之得．
15．8或－18.,解得=8或－18.
16．（B）（D）.圓心坐標為（－cos(，sin(）d＝
故填（B）（D）
17．設，由AB中點在上，
可得：，y1 = 5，所以．
設A點關于的對稱點為，
則有.故．
18．設圓心為，半徑為r，由條件①：，由條件②：，從而有：．由條件③：，解方程組可得：或，所以．故所求圓的方程是或．
19．設，．由可得：，
由.故，因為點M在已知圓上．
所以有，
化簡可得：為所求．
20．設所求圓的方程為．因為點A、B在此圓上，所以，① ，② ③④又知該圓與x軸（直線）相切，所以由，③ 由①、②、③消去E、F可得：， ④ 由題意方程④有唯一解，當時，；當時由可解得，
這時．
綜上可知，所求的值為0或1，當時圓的方程為；當時，圓的方程為．
21．由題意：，畫出可行域是由A（-3，1）、B（-2，0）、C（-1，0）所構成的三角形區域，利用各式的幾何意義分別可得值域為：
（1） （2）（8，17） （3）．
22．（1）設動點坐標為，則，，．因為，所以
．．
若，則方程為，表示過點（1，0）且平行于y軸的直線．
若，則方程化為．表示以為圓心，以 為半徑的圓．
（2）當時，方程化為，
因為，所以．
又，所以．
因為，所以令，
則．
所以的最大值為，
最小值為．

高三數學第二輪專題復習測試— 立體幾何
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1．給出下列四個命題
①垂直于同一直線的兩條直線互相平行.②垂直于同一平面的兩個平面互相平行.③若直線與同一平面所成的角相等,則互相平行.④若直線是異面直線,則與都相交的兩條直線是異面直線.其中假命題的個數是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．將正方形ABCD沿對角線BD折成一個120°的二面角，點C到達點C1，這時異面直線AD與BC1所成角的余弦值是 （ ）
A． B． C． D．
3．一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是、、，這個長方體對角線的長為（ ）
A．2 B．3 C．6 D．
4．已知二面角α－l－β的大小為600,m、n為異面直線,且m⊥α,n⊥β,則m、n所成的角為
（ ）
A．300 B．600 C．900 D．1200
5．如圖，在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點，
G、H、I、J分別為AF、AD、BE、DE的中點.將△ABC
沿DE、EF、DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度
數為 （ ）
A．90° B．60°
C．45° D．0°
6．兩相同的正四棱錐組成如圖所示的幾何體，可放棱長
為1的正方體內，使正四棱錐的底面ABCD與正方
體的某一個平面平行，且各頂點均在正方體的面上，
則這樣的幾何體體積的可能值有 （ ）
A．1個　　　　 　 B．2個
C．3個　　　 　 D．無窮多個
7．正方體A′B′C′D′—ABCD的棱長為a，EF在AB上滑動，且|EF|=b（b＜a＝，Q點在D′C′上滑動，則四面體A′—EFQ的體積為 （ ）
A．與E、F位置有關 B．與Q位置有關
C．與E、F、Q位置都有關 D．與E、F、Q位置均無關，是定值
8．（理）高為5，底面邊長為4的正三棱柱形容器（下有底），可放置最大球的半徑是（ ）
A． B．2 C． D．
（文）三個兩兩垂直的平面，它們的三條交線交于一點O，點P到三個平面的距離比為1∶
2∶3，PO=2，則P到這三個平面的距離分別是 （ ）
A．1，2，3 B．2，4，6 C．1，4，6 D．3，6，9
9．如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經過四
面體的內切球（與四個面都相切的球）球心O，
且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四
面體分成體積相等的兩部分，設四棱錐A－
BEFD與三棱錐A－EFC的表面積分別是S1，
S2，則必有 （ ）
A．S1(S2
B．S1(S2
C．S1=S2
D．S1，S2的大小關系不能確定
10．已知球o的半徑是1,ABC三點都在球面上,AB兩點和AC兩點的球面距離都是,BC兩點的球面距離是,則二面角B－OA－C的大小是 （ ）
A． B． C． D．
11．條件甲：四棱錐的所有側面都是全等三角形，條件乙：這個四棱錐是正四棱錐，則條件甲是條件乙的 （ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
12．已知棱錐的頂點為P，P在底面上的射影為O，PO=a，現用平行于底面的平面去截這個棱錐，截面交PO于點M，并使截得的兩部分側面積相等，設OM=b，則a與b的關系是 （ ）
A．b=（－1）a B．b=（+1）a
C．b= D．b=
二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分.把答案填在題中的橫線上)
13．已知正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為，則側面與底面所成的二面角等于_______________.
14．若一條直線與一個正四棱柱各個面所成的角都為,則=______．
15．若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為___________.
16．多面體上，位于同一條棱兩端的頂點稱為相鄰的，
如圖，正方體的一個頂點A在平面內，其余頂
點在的同側，正方體上與頂點A相鄰的三個頂
點到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其
余四個頂點中的一個，則P到平面的距離可能
是： （ ）
①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7
以上結論正確的為______________．（寫出所有正
確結論的編號）
三、解答題(本大題共6小題, 共74分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟)
17．（本小題滿分12分）在長方體中，已知，求異面直線與所成角的大小（結果用反三角函數值表示）.
18．（本小題滿分12分）如圖，、是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段。點A、B在上，C在上，.
（1）證明⊥；
（2）若，求與平面ABC所成角的余弦值.
19．（本小題滿分12分）如圖，在棱長為1的正方體中，是側棱 上的一點，.
（1）試確定，使得直線與平面所成角的正切值為；
（2）在線段上是否存在一個定點，使得對任意的，在平面上的射影垂直于.并證明你的結論.
20．（本小題滿分12分）（理）如圖，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點，設AB=a，BC=b，PA=c.
（1）建立適當的空間直角坐標系，寫出A、B、M、N點的坐標，并證明MN⊥AB；
（2）平面PDC和平面ABCD所成的二面角為θ，當θ為何值時（與a、b、c無關），MN是直線AB和PC的公垂線段.
（文）正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分別為棱AB、BC、DD1的中點.
（1）求證：PB⊥平面MNB1；
（2）設二面角M—B1N—B為α，求cosα的值.
21．（本小題滿分12分）已知正方形.、分別是、的中點,將ADE沿折起,如圖所示,記二面角的大小為.
（1）證明平面;
（2）若為正三角形,試判斷點在平面內的射影是否在直線上,證明你的結論,并求角的余弦值.

22．（本小題滿分14分）如圖,在長方體ABCD─A1B1C1D1中,E、P分別是BC、A1D1的中點,M、N分別是AE、CD1的中點,AD=AA1=a,AB=2a.
（1）求證:MN∥面ADD1A1;
（2）求二面角P─AE─D的大小;
（3）求三棱錐P─DEN的體積.
參考答案
1. D．利用特殊圖形正方體我們不難發現①、②、③、④均不正確，故選擇答案D.
2. D．由題意易知∠ABC1是AD與BC1所成的角，解△ABC1，得余弦為.答案：D．
3. D．設長寬高為a、b、c，則l=，答案：D．
4. B.　作圖可知滿足條件的m、n所成的角1200為故應選B.
5. B．平面圖形折疊后為正三棱錐.如圖，取EF的中點M，連結IM、MJ，則MJFD，GHFD，∴MJ∥GH，∠IJM為異面直線GH與JI所成的角.
由已知條件易證△MJI為正三角形.∴∠IJM=60°.答案：B．
6. D． 法一：本題可以轉化為一個正方形可以有多少個內接正方形，顯然有無窮多個
法二：通過計算，顯然兩個正四棱錐的高均為，考查放入正方體后，面ABCD所在的截面，顯然其面積是不固定的，取值范圍是，所以該幾何體的體積取值范圍是
7. D．VA′－EFQ=VQ－A′EF.
8.（理）B．過球心作平行于底的截面，R=2tan30°=2.
（文）B．
9. C ．連OA、OB、OC、OD則VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD
VA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC而每個三棱錐的高都是原四面體的內切球的半徑，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，故選C
10. 如圖,由題可知∠AOB=∠AOC=,而∠BOC=,因為OA=OB=OC=1,所以BC=1,且分別過B C作OA的垂線,垂足為同一點M,于是∠BMC為二面角B－OA－C的平面角,所以BM=CM=,從而∠BMC=,應選C.
11. B．乙甲，但甲乙，例如四棱錐S—ABCD
的底面ABCD為菱形，但它不是正四棱錐.
12. C．由平行錐體底面的截面性質，知=，∴=.∴= .∴b=a.答案：C．
13. ．底面正方形面積，底面邊長，高，二面角的余切值.代入數據，得：.又必為銳角，所以 .
14.．不妨認為一個正四棱柱為正方體,與正方體的所有面成角相等時,為與相交于同一頂點的三個相互垂直的平面所成角相等,即為體對角線與該正方體所成角.故.
15.．
16. ①③④⑤． 如圖，B、D、A1到平面的距離分別為
1、2、4，則D、A1的中點到平面的距離為3，所
以D1到平面的距離為6；B、A1的中點到平面的
距離為，所以B1到平面的距離為5；則D、B的
中點到平面的距離為，所以C到平面的距離
為3；C、A1的中點到平面的距離為，所以C1到平面的距離為7；而P為C、
C1、B1、D1中的一點，所以填①③④⑤．
17.法一：連接，
為異面直線與所成的角.
連接，在△中，
，
則
.
異面直線與所成角的大小為.
法二：以為坐標原點，分別以、、所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系.
則 ，
得 .
設與的夾角為，
則，
與的夾角大小為，
即異面直線與所成角的大小為
.
18.（１）AM = MB = MN，說明NM是△ANB的中線且為邊AB的一半，所以△ANB是直
角三角形，其中ANB為直角。所以BNNA。①
且MN面ABNBN。②
由①、②可推出BN面NAC。所以ACBN。
（２）MNAB且M為AB中點AN = MN ③
由（１）知，AN、BN、CN兩兩垂直 ④
由③、④ AC = BC，又ACB = ，所以△ABC
是等邊三角形。
設BN長度為1，則AB = ，
三棱錐的體積為：；
三棱錐的體積為：
由可得 點N到面ABC的距離
記NB與平面ABC所成角為，則。
從而
實際上，這個題的命題背景是是正方體的一個“角”。如圖3.
19. 法一：（１）連AC，設AC與BD相交于點O,AP與平面
相交于點，,連結OG，因為PC∥平面，
平面∩平面APC＝OG,
故OG∥PC，所以，OG＝PC＝.
又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面，
故∠AGO是AP與平面所成的角.
在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝.
所以，當m＝時，直線AP與平面所成的角的正切值為.
（２）可以推測，點Q應當是AICI的中點O1，因為
D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ，所以 D1O1⊥平面ACC1A1，
又AP平面ACC1A1，故 D1O1⊥AP.
那么根據三垂線定理知，D1O1在平面APD1的射影與AP垂直。
法二：(１)建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)
所以
又由知，為
平面的一個法向量.
設AP與平面所成的角為，則依題意有解得．故當時，直線AP與平面所成的角的正切值為．
（２）若在A1C1上存在這樣的點Q，設此點的橫坐標為，則Q(x，1－，1)，。依題意，對任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等價于D1Q⊥AP即Q為A1C1的中點時，滿足題設要求.
20. （理）（1）證明：以A為原點，分別以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系.
則A（0，0，0），B（a，0，0），M（，0，0），N（，，）.
=（a，0，0），=（0，，）.
·=0AB⊥MN.
（2）P（0，0，c），C（a，b，0），=（a，b，－c），若MN是PC、AB的公垂線段，則·=0，即－+=0b=c.
又∵AP⊥面ABCD
CD⊥DA
∴∠PDA是二面角P—CD—A的平面角.
∴∠PDA=45°，
即二面角P—CD—A是45°.
（文）（1）如圖，以D為原點，DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，取正方體棱長為2，則P（0，0，1）、M（2，1，0）、B（2，2，0）、B1（2，2，2）.
∵· =（2，2，－1）·（0，1，2）=0，
∴MB1⊥PB，同理，知NB1⊥PB.
∵MB1∩NB1=B1，∴PB⊥平面MNB1.
（2）∵PB⊥平面MNB1，BA⊥平面B1BN，∴=（2，2，－1）與=（0，2，0）所夾的角即為α，cosα==.
21. (１)EF分別為正方形ABCD得邊AB、CD的中點,EB//FD,且EB=FD,
四邊形EBFD為平行四邊形.BF//ED
平面.
（2）法一:如右圖,點A在平面BCDE內的射影G在直線EF上,
過點A作AG垂直于平面BCDE,垂足為G,連結GC,GD.ACD為正三角形,
AC=ADCG=GD G在CD的垂直平分線上,
點A在平面BCDE內的射影G在直線EF上,
過G作GH垂直于ED于H,連結AH,則,所以為二面角A-DE-C的平面角.即
設原正方體的邊長為2a,連結AF
在折后圖的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,
即AEF為直角三角形,
在RtADE中,
.
法二:點A在平面BCDE內的射影G在直線EF上
連結AF,在平面AEF內過點作,垂足為.
ACD為正三角形,F為CD的中點,
又因, 所以
又且
為A在平面BCDE內的射影G.
即點A在平面BCDE內的射影在直線EF上
過G作GH垂直于ED于H,連結AH,則,所以為二面角A-DE-C的平面角.即 設原正方體的邊長為2a,連結AF
在折后圖的AEF中, AF=,EF=2AE=2a,
即AEF為直角三角形,
在RtADE中,
.
法三: 點A在平面BCDE內的射影G在直線EF上
連結AF,在平面AEF內過點作,垂足為.
ACD為正三角形, F為CD的中點,
又因, 所以

又
為A在平面BCDE內的射影G.
即點A在平面BCDE內的射影在直線EF上
過G作GH垂直于ED于H,連結AH,則,所以為二面角A-DE-C的平面角.即 設原正方體的邊長為2a,連結AF
在折后圖的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,
即AEF為直角三角形,
在RtADE中,
, .
22. 法一：以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別
為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系D─xyz,
則A(a,0,0)、B(a,2a,0)、C(0,2a,0)、A1(a,0,a)、
D1(0,0,a) ∵E、P分別是BC、A1D1的中點,M、
N分別是AE、CD1的中點,
∴E(),P(),M() ,N()
(1) ,取,顯然⊥面ADD1A1而,∴.又∴MN面ADD1A1, ∴MN∥面ADD1A1;
(2)過P作PH⊥AE,交AE于H.取AD的中點F,則F,設H(x,y,0),
則,.
又,由以及H在直線AE上可得:
解得x=,y=.∴ ,
所以即,∴與所夾的角等于二面角P─AE─D的大小.,
所以二面角P─AE─D的大小.
(３)設為平面DEN的法向量,
又,,
∴P點到平面DEN的距離為d=
∵,,
.
所以.
法二:　(１)證明:取的中點,連結
∵分別為的中點
∵
∴面,面
∴面面
∴面
(2)設為的中點
∵為的中點 ∴
∴面
作,交于,連結,則由三垂線定理得
從而為二面角的平面角.
在中,,從而
.
在中,
故:二面角的大小為
（3）.
作,交于,由,得,∴.
在中,,
∴.

高三數學第二輪專題復習測試—集合與函數
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．設集合,則滿足的集合B的個數是 （ ）
A．1 B．3 C．4 D．8
2．已知集合M＝｛x|｝，N＝｛y|y＝3x2＋1，x(R｝，則M(N＝ （ ）
A．( B．{x|x(1} C．｛x|x(1｝ D．{x| x(1或x(0}
3．有限集合中元素個數記作card，設、都為有限集合，給出下列命題：
①的充要條件是card= card+ card；
②的必要條件是cardcard；
③的充分條件是cardcard；
④的充要條件是cardcard.
其中真命題的序號是
A．③、④ B．①、② C．①、④ D．②、③
4．已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|log2x＞1｝，則M∩N＝ （ ）
A． B．｛x|0＜x＜3｝ C．｛x|1＜x＜3｝ D．｛x|2＜x＜3｝
5．函數的反函數是 （ ）
A．　　　　 B．
C．　　　　 D．
6．函數的定義域是 （ ）
A． B． C． D．
7．下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是減函數的是 （ ）
A． B．
C． D．
8．函數的反函數的圖象與y軸交于點
（如圖2所示），則方程的根是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．已知函數若則 （ ）
A．　　　　　　　 B．
C．　　　　　　　 D．與的大小不能確定
10．為確保信息安全，信息需加密傳輸，發送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密規則為：明文對應密文例如，明文對應密文當接收方收到密文時，則解密得到的明文為 （ ）
A．　 B．　 C．　　 D．
11．如圖所示，單位圓中弧AB的長為x，f（x）表示弧AB與弦AB所
圍成的弓形面積的2倍，則函數y=f（x）的圖象是（ ）
12．關于的方程，給出下列四個命題：
①存在實數，使得方程恰有2個不同的實根；
②存在實數，使得方程恰有4個不同的實根；
③存在實數，使得方程恰有5個不同的實根；
④存在實數，使得方程恰有8個不同的實根.
其中假命題的個數是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上.
13．函數對于任意實數滿足條件，若則_______.
14．設f（x）＝log3（x＋6）的反函數為f－1（x），若〔f－1（m）＋6〕〔f－1（n）＋6〕＝27，則f（m＋n）＝___________________．
15．設則__________．
16．設，則的定義域為_____________ ．
三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（本小題滿分12分）
已知函數滿足且對于任意, 恒有成立.
（1）求實數的值;
（2）解不等式.
18（本小題滿分12分）
20個下崗職工開了50畝荒地，這些地可以種蔬菜、棉花、水稻，如果種這些農作物每畝地所需的勞力和預計的產值如下：

每畝需勞力
每畝預計產值
蔬 菜
1100元
棉 花
750元
水 稻
600元
問怎樣安排，才能使每畝地都種上作物，所有職工都有工作，而且農作物的預計總產值達到最高？
19．（本小題滿分12分）
已知函數
（1）若且函數的值域為,求的表達式;
（2）在（1）的條件下, 當時, 是單調函數, 求實數k的取值范圍;
（3）設, 且為偶函數, 判斷＋能否大于零?
20．（滿分12分）
已知定義域為R的函數f（x）滿足f（f（x）－x2+y_=f（x）－x2+x.
（1）若f（2）－3,求f（1）;又若f（0）=a,求f（a）;
（2）設有且僅有一個實數x0,使得f（x0）= x0,求函數f（x）的解析表達式.
21．（本小題滿分12分）
設函數.
（1）在區間上畫出函數的圖像；
（2）設集合. 試判斷集合和 之間的關系，并給出證明；
（3）當時，求證：在區間上，的圖像位于函數圖像的
上方.
22．（本小題滿分14分）
設a為實數，記函數的最大值為g（a）.
（1）設t＝，求t的取值范圍，并把f（x）表示為t的函數m（t）；
（2）求g（a）；
（2）試求滿足的所有實數a．
參考答案
1．C．，，則集合B中必含有元素3，即此題可轉化為求集合的子集
個數問題，所以滿足題目條件的集合B共有個.故選擇答案C．
2．C．M＝｛x|x(1或x(0｝，N＝｛y|y(1｝故選C
3．B．選由card= card+ card+ card知card= card+
cardcard=0.由的定義知cardcard.
4．D．　,用數軸表示可得答案D．
5．A．∵ ∴ 即
∵ ∴ 即
∴函數的反函數為.
6．B．由，故選B．
7．B．在其定義域內是奇函數但不是減函數;C在其定義域內既是奇函數又是增函數;D在其定義域內不是奇
函數,是減函數;故選A．
8．C．利用互為反函數的圖象關于直線y=x對稱，得點（2，0）在原函數的圖象上，即，
所以根為x=2.故選C
9． B．取特值，選B；或二次函數其函數值的大小關系，分類研究對
成軸和區間的關系的方法， 易知函數的對成軸為,開口向上的拋物線, 由, x1+x2=0，需
分類研究和對成軸的關系,用單調性和離對成軸的遠近作判斷,故選B;
10．B．理解明文密文（加密），密文明文（解密）為一種變換或為一種對應關系，構建方程組求解，依提意用明文表示密文的變換公式為，于是密文14，9，23，28滿足，即有 ，選B；
11．D．當x=時,陰影部分面積為個圓減去以圓的半徑為腰的等腰直角三角形的面積,故此時,即點（）在直線y=x的下方,故應在C、D中選;而當x=時, ,陰影部分面積為個圓加上以圓的半徑為腰的等腰直角三角形的面積,即,即點（）在直線y=x的上方,故選D．
12．B．本題考查換元法及方程根的討論，要求考生具有較強的分析問題和解決問題的能力；據題意可令①，則方程化為②，作出函數的圖象，結合函數的圖象可知：（1）當t=0或t>1時方程①有2個不等的根；（2）當0 故當t=0時，代入方程②，解得k=0此時方程②有兩個不等根t=0或t=1,故此時原方程有5個根；當方程②有兩個不等正根時，即此時方程②有兩根且均小于1大于0，故相應的滿足方程的解有8個，即原方程的解有8個；當時，方程②有兩個相等正根t＝，相應的原方程的解有4個；故選B．
13．由得，所以，則.
14．f－1（x）＝3x－6故〔f－1（m）＋6〕(〔f－1（x）＋6〕＝3m(3n＝3m ＋n＝27
(m＋n＝3(f（m＋n）＝log3（3＋6）＝2．
15．．
16．由得，的定義域為。故，解得.
故的定義域為.
17． （1） 由知, …① ∴…②又恒成立, 有恒成立,故．
將①式代入上式得:, 即故．
即, 代入② 得,．
（2） 即 ∴
解得:　　　, ∴不等式的解集為．
18．設種蔬菜、棉花、水稻分別為x畝，y畝，z畝，總產值為u，
依題意得x+y+z=50，，則u=1100x+750y+600z=43500+50x.
∴ x0,y=90－3x0,z=wx－400,得20x30,∴當x=30時，u取得大值43500，此時y=0,z=20.
∴安排15個職工種30畝蔬菜，5個職工種20畝水稻，可使產值高達45000元．
19 （1） ∵, ∴又恒成立,
∴, ∴, ∴.
∴
（2） 則
,
當或時, 即或時, 是單調函數.
（3） ∵是偶函數∴,
∵設則.又
∴＋
,∴＋能大于零.
20．（1）因為對任意xεR，有f（f（x）－ x2 + x）=f（x）－ x2 +x，所以f（f（2）－ 22+2）=f（2）－ 22+2.
又由f（2）=3，得f（3－22+2）－3－22+2，即f（1）=1.
若f（0）=a，則f（a－02+0）=a－02+0，即f（a）=A．
（2）因為對任意xεR，有f（f（x））－ x2 +x）=f（x）－ x2 +x.
又因為有且只有一個實數x0,使得f（x0）－ x0. 所以對任意xεR，有f（x）－ x2 +x= x0.
在上式中令x= x0,有f（x0）－x + x0= x0, 又因為f（x0）－ x0，所以x0－ x=0，故x0=0或x0=1.
若x0=0，則f（x）－ x2 +x=0，即f（x）= x2 –x. 但方程x2 –x=x有兩上不同實根，與題設條件矛質，
故x2≠0. 若x2=1,則有f（x）－ x2 +x=1，即f（x）= x2 –x+1.易驗證該函數滿足題設條件.
綜上，所求函數為f（x）= x2 –x+1（xR）.
21．（1）
（2）方程的解分別是和，
由于在和上單調遞減，
在和上單調遞增，因此
.
由于.
（3）[解法一] 當時，.
，
. 又，
① 當，即時，取，
.
， 則.
② 當，即時，取， ＝.
由 ①、②可知，當時，，.
因此，在區間上，的圖像位于函數圖像的上方.
[解法二] 當時，.
由 得，
令 ，解得 或，
在區間上，當時，的圖像與函數的圖像只交于一點；
當時，的圖像與函數的圖像沒有交點.
如圖可知，由于直線過點，當時，直線是由直線
繞點逆時針方向旋轉得到. 因此，在區間上，的圖像
位于函數圖像的上方.
22．（1）∵，∴要使有意義，必須且，即
∵，且……① ∴的取值范圍是。
由①得：，∴，。
（2）由題意知即為函數，的最大值，
∵直線是拋物線的對稱軸，∴可分以下幾種情況進行討論：
1）當時，函數，的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由知在上單調遞增，故；
2）當時，，，有=2；
3）當時，，函數，的圖象是開口向下的拋物線的一段，
若即時，，
若即時，，
若即時，．
綜上所述，有=．
（3）當時，；
當時，，，∴，
，故當時，；
當時，，由知：，故；
當時，，故或，從而有或，
要使，必須有，，即，
此時，。
綜上所述，滿足的所有實數a為：或．

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