資源簡介

3.2.2雙曲線的簡單幾何性質（第二課時）
班級 姓名
【學習目標】
熟練掌握雙曲線的幾何性質
2能解決簡單的直線與雙曲線問題
基礎知識
雙曲線的幾何性質
標準方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
性 質 圖形
焦點 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范圍 x≤－a或　x≥a y∈R 　y≤－a或　y≥a x∈R
對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
軸 實軸：線段A1A2，長：____2a____；虛軸：線段B1B2，長：____2b____；半實軸長：___a_____，半虛軸長：____b____
離心率 e＝∈(1，＋∞)
漸近線 y＝±x y＝±x
將y＝kx＋m與＝1聯立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0.
Δ的取值 位置關系 交點個數
k＝±且m≠0時 相交 只有___1_____交點
k≠±且Δ＞0 有____2____交點
k≠±且Δ＝0 相切 只有___1_____交點
k≠±且Δ＜0 相離 ____0____公共點
雙曲線中的幾個常用結論
(1)焦點到漸近線的距離為b.
(2)實軸長和虛軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線．
(3)雙曲線為等軸雙曲線 雙曲線的離心率e＝ 雙曲線的兩條漸近線互相垂直(位置關系)．
(4)過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為，
(5)過雙曲線焦點F1的弦AB與雙曲線交在同支上，則AB與另一個焦點F2構成的△ABF2的周長為4a＋2|AB|.
(6)雙曲線的離心率公式可表示為e＝.
典型例題
例1　已知定點，，動點到兩定點、距離之差的絕對值為．
（1）求動點對應曲線的軌跡方程；
（2）過點作直線與曲線交于、兩點，若點恰為的中點，求直線的方程．
例2 已知橢圓的焦點在x軸上，滿足短軸長等于焦距，且長軸兩端點與上頂點構成的三角形面積為.
（1）求橢圓的標準方程及離心率；
（2）若雙曲線與（1）中橢圓有相同的焦點，且過點，求雙曲線的標準方程.
例3已知雙曲線，O為坐標原點，離心率，點在雙曲線上．
（1）求雙曲線的方程
（2）如圖，若直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點Q，P，且，求的最小值．
例4 過雙曲線Γ：的左焦點F1的動直線l與Γ的左支交于A，B兩點，設Γ的右焦點為F2.
(1)若是邊長為4的正三角形，求此時Γ的標準方程；
(2)若存在直線l，使得，求Γ的離心率的取值范圍.
【課堂檢驗】
1．已知雙曲線的右焦點為，過的直線交雙曲線的漸近線于兩點，且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍，若，則該雙曲線的離心率為
A． B． C． D．
2．已知點F是雙曲線（）的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
參考答案
例1．（1）；（2）．
【詳解】解：（1）由題意知：，
故動點的軌跡為焦點在軸上的雙曲線，且，，
∴，故曲線的方程為：；
（2）設，，滿足，
兩式相減得，即，
因為點為的中點，故，
∴，即直線的斜率為，又過點，
故直線的方程為：，即．
例2 （1）橢圓的標準方程為，離心率為；（2）.
【詳解】（1）由題意得：在橢圓中，，且.
根據，解得，，
所以橢圓的標準方程為.
橢圓的離心率為.
（2）由題意，橢圓的焦點為和.
因為雙曲線過點，根據雙曲線的定義，
得，
所以，又因為，
所以，
所以雙曲線的標準方程為.
例3 （1）；（2）24.
【詳解】因為，所以，．
所以雙曲線的方程為，即．
因為點在雙曲線上，所以，所以．
所以所求雙曲線的方程為．
設直線OP的方程為，則直線OQ的方程為，
由，得，
所以．
同理可得，，
所以．
設，
則，
所以，即當且僅當時取等號．
所以當時，取得最小值24．
例4 (1)；
(2).
【詳解】（1）依題意，結合雙曲線的對稱性得，，
所以2a＝|AF2|－|AF1|＝2，a＝1，，，b2＝c2－a2＝2，
此時Γ的標準方程為.
（2）依題意知直線l的斜率不為0，設l的方程為x＝my－c，
聯立，消去，得，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，，
由AF2⊥BF2得，故(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(my1－2c)(my2－2c)＋y1y2＝0，
整理得，即(m2＋1)b4－4m2c2b2＋4c2(b2m2－a2)＝0，
則(m2＋1)b4＝4a2c2，所以，故4a2c2≥(c2－a2)2，
所以c4＋a4－6a2c2≤0，兩邊除以，得e4－6e2＋1≤0，解得，
又因為e>1，所以，故，
又A，B在左支且l過F1，所以y1y2<0，即，故，
所以，所以，
即4a25，即，
綜上：，即.
課堂檢驗
1．B
【詳解】雙曲線1（a＞b＞0）的漸近線方程為y＝±x，
∵直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍，
∴kl，
∴直線l的方程為y（x﹣c），
與y＝±x聯立，可得y或y，
∵，
∴2 ，
∴ab，
∴c＝2b，
∴e．
故選B．
2．B
【詳解】由題意可知即為等腰三角形，

故是銳角三角形，只需，
將代入可得，
故在中，，，
則，化簡整理，得，
∴，∴，
又，∴，
故選：B.

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