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新高考高一上期中復習題型總結
第一章 集合與常用邏輯用語
題型一：集合關系
1.集合，，，，，之間的關系是　　
A． B． C． D．
2.，．
（1）當時，求；
（2）若，求的取值范圍．
題型二：子集個數
3.已知集合恰有兩個非空真子集，則實數的取值范圍是 　　．
4.含有有限個元素的數集，定義“交替和”如下：把集合中的數按從小到大的順序排列，然后從最大的數開始交替地加減各數．例如，6，的交替和是；而的交替和是5，則集合，2，3，4，5，的所有非空子集的交替和的總和為　　
A．32 B．64 C．80 D．192
題型三：集合運算
5.已知集合，集合，則　　
A．或 B．
C．或 D．
題型四：容斥原理
6. 某小學對小學生的課外活動進行了調查．調查結果顯示：參加舞蹈課外活動的有57人，參加唱歌課外活動的有82人，參加體育課外活動的有53人，三種課外活動都參加的有20人，只選擇兩種課外活動參加的有36人，不參加其中任何一種課外活動的有10人，問接受調查的小學生共有多少人？　　
A．116 B．126 C．146 D．160
題型五：充要條件——知范圍求條件、知條件求范圍
7.“”是“不等式對任意的恒成立”的　　條件．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
8.知集合，，．
（1）若，求；
（2）若存在正實數，使得“”是“”成立的_____，求的取值范圍．
從“①充分不必要條件；②必要不充分條件；③既不充分又不必要條件”中任選一個，補充在上面橫線處，并進行作答．
第二章 一元二次函數、方程和不等式
題型六：根的分布
9.于的方程的兩根都大于2，則的取值范圍是　　
A． B．
C． D．
題型七：解二次不等式
10.于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是　　
A．
B．不等式的解集為
C．不等式的解集為或
D．
11.（1）若命題“對任意實數，都有”為真命題，求實數的取值范圍；
（2）解關于的不等式．
題型八：不等式性質
12.若，，，，下列不等式一定成立的有　　
A． B． C． D．
題型九：基本不等式使用要求——一正二定三相等
13.下列結論正確的是　　
A．當時，
B．當時，的最小值是2
C．當時，的最大值是1
D．設，，且，則的最小值是
題型10：方算幾調
14.若，，且，則下列結論正確的是　　
A． B． C． D．
題型11：權方和不等式
15.若實數，滿足等式，，，且不等式恒成立，則實數的取值范圍為 　　．
題型12：整體法
16.已知實數，滿足，則　　
A． B． C． D．
題型13：因式分解
17.已知正實數，滿足，則的最小值為 　　．
題型14：分式的齊次化
18.已知，，是正實數，且，則最小值為 　　．
題型15：差值換元
19.已知實數，則的最小值是　　
A．6 B． C． D．
題型16：齊次式同除減元
20.若對任意實數，，不等式恒成立，則實數的最小值為　
A． B． C． D．
題型17：窮途末路——消元
21.若，則的最小值是_______
題型18：基本不等式應用題
22.為了提高某商品的銷售額，某廠商采取了“量大價優”“廣告促銷”的方法．市場調查發現，某件產品的月銷售量（萬件）與廣告促銷費用（萬元）滿足：，該產品的單價與銷售量之間的關系定為：萬元，已知生產一萬件該產品的成本為8萬元，設該產品的利潤為萬元．
（1）求與的函數關系式；（利潤銷售額成本廣告促銷費用）
（2）當廣告促銷費用定為多少萬元的時候，該產品的利潤最大？最大利潤為多少萬元？
第三章 函數的概念與性質
題型19：定義域
23.已知函數的定義域為，，則函數的定義域是　　
A．，， B．，， C．， D．，，
題型20：求解析式——換元法
24.已知．（1）求函數的解析式；
題型21：求解析式——方程組法
25．已知定義在上的函數滿足：．（1）求函數的表達式；
題型22：二次（復合）函數值域
26. 的值域是　　
A．， B．， C．， D．，
題型23：分式函數值域—— 變反比例 （對稱中心（-b,a））
27.函數的值域為 　　．
題型24：分式函數值域—— 變
28.已知函數，．
（2）若對于任意的，，不等式恒成立，求實數的取值范圍；
題型25：分式函數值域—— 變
29.函數的值域為　　．
題型26：分式函數值域——
30.已知x，，且滿足.（2）求的取值范圍.
題型27：雙變量問題
31.已知函數．
（1）若對任意，，，不等式恒成立，求的取值范圍；
（2）若存在，對任意，，總存在唯一，，使得成立，求的取值范圍．
題型28：單調性的定義
32.下列命題正確的是　　
A．若對于，，，都有，則函數在上是增函數
B．若對于，，，都有，則函數在上是增函數
C．若對于，都有成立，則函數在上是增函數
D．若函數，都是上的增函數，則函數在上也是增函數
題型29：定義法證明具體函數單調性
33.已知函數．
（1）用單調性定義證明在，上單調遞減，并求出其最大值與最小值；
題型30：定義法證明抽象函數單調性——賦值
34.已知定義在上的函數滿足：
①（3）；
②，，；
③當時，．
求；（2）求證：函數在上單調遞增；
題型31：分段函數單調性
35.已知函數滿足對任意都有成立，那么實數的取值范圍是 　　．
題型32：復合函數單調性——同增異減
36.函數的單調增區間為　　
A． B．
C．和 D．
題型33：奇偶性的定義與判斷
37.（多選）若函數同時滿足：
（1）對于定義域內的任意，有；
（2）對于定義域內的任意，，當時，有，則稱函數為“理想函數”．
下列四個函數是“理想函數”的是　　
A． B．
C． D．
題型34：用奇偶性求值
38．設函數，若函數在上的最大值為，最小值為，則　　．
題型35：利用奇偶性求解析式——知一半求一半
39.已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則當時，的表達式是　
A． B． C． D．
題型36：奇函數+單調性綜合
40.已知函數為定義在，上的奇函數，則的解集為　　
A．， B．， C．， D．，
題型37：偶函數+單調性綜合
41.定義域為的奇函數在，上單調遞減．設，若對于任意，，都有，則實數的取值范圍為　　．
題型38：抽象函數奇偶性
42．已知函數的定義域是的一切實數，對定義域內的任意、都有，且當時，，（2）．
（1）判斷的奇偶性與單調性，并證明你的結論；
期中復習資料
參考答案與解析
1．集合，，，，，之間的關系是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，，，
，，，1，4，7，10，13，
，，，1，4，7，
，7，13，19，25，
故，
故選：．
2．，．
（1）當時，求；
（2）若，求的取值范圍．
【解答】解：（1）當時，，或，
則；
（2）因為，且，又，
當時，，符合題意，
當時，即，則，即，
當時，即，則，即，
綜上，的取值范圍為．
3．已知集合恰有兩個非空真子集，則實數的取值范圍是 　且　．
【解答】解：集合恰有兩個非空真子集，
關于的方程有兩個不等實數根，
，且，
實數的取值范圍是且．
故答案為：且．
4．含有有限個元素的數集，定義“交替和”如下：把集合中的數按從小到大的順序排列，然后從最大的數開始交替地加減各數．例如，6，的交替和是；而的交替和是5，則集合，2，3，4，5，的所有非空子集的交替和的總和為　　
A．32 B．64 C．80 D．192
【解答】解：設集合，2，3，，的所有非空子集的交替和的總和為，
則集合的所有非空子集的交替和的總和為，
集合，的非空子集為，，，；
其交替和的總和為；
集合，2，的非空子集為，，，，，，，，，，2，；
其交替和的總和為；
集合，2，3，的非空子集為，，，，，，，，，，2，，
，，，，，，2，，，，，3，，，3，，，2，3，；
其交替和的總和為；
集合，2，3，4，5，的所有非空子集的交替和的總和為；
故選：．
5．已知集合，集合，則　　
A．或 B．
C．或 D．
【解答】解：，且，
或．
故選：．
6．某小學對小學生的課外活動進行了調查．調查結果顯示：參加舞蹈課外活動的有57人，參加唱歌課外活動的有82人，參加體育課外活動的有53人，三種課外活動都參加的有20人，只選擇兩種課外活動參加的有36人，不參加其中任何一種課外活動的有10人，問接受調查的小學生共有多少人？　　
A．116 B．126 C．146 D．160
【解答】解：設選擇舞蹈和體育兩項課外活動的有人，參加舞蹈和唱歌兩項課外活動的人人，
作出韋恩圖：
接受調查的小學生共有：．
故選：．
7．“”是“不等式對任意的恒成立”的　　條件．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】解：對任意的恒成立，
①當時，，恒成立；
②當時，，解得，
綜上所述，，
，
“”是“不等式對任意的恒成立”的充分不必要條件．
故選：．
8．已知集合，，．
（1）若，求；
（2）若存在正實數，使得“”是“”成立的_____，求的取值范圍．
從“①充分不必要條件；②必要不充分條件；③既不充分又不必要條件”中任選一個，補充在上面橫線處，并進行作答．
【解答】解：（1）若，則集合，，
又集合，，所以，；
（2）因為，則集合，，
若選①：則，，，所以，且等號不能同時成立，解得，即為，；
若選②：則，，，所以，且等號不能同時成立，解得，即為，；
若選③：由題意可得，解得，即為．
9．關于的方程的兩根都大于2，則的取值范圍是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：關于的方程的兩根都大于2，令，
可得，即，求得，
故選：．
10．已知關于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是　　
A．
B．不等式的解集為
C．不等式的解集為或
D．
【解答】解：關于的不等式的解集為或，
二次函數的開口方向上，即，選項正確；
方程的兩個實數根為，4，
，解得，則等價于，
又，，選項錯誤；
不等式等價于，即，解得或，
所以不等式的解集為或，選項正確；
因為，選項錯誤．
故選：．
11．（1）若命題“對任意實數，都有”為真命題，求實數的取值范圍；
（2）解關于的不等式．
【解答】解：（1）若命題“對任意實數，都有”為真命題，
即對任意實數，恒成立，
①當時，恒成立，符合題意，
②當時，則，解得，
綜上所述，實數的取值范圍為，．
（2），
①當時，，即，
②當時，不等式可化為，
令得，，，
當時，，開口向上，
此時不等式的解集為，
當時，，開口向下，
此時不等式的解集為，
當時，，開口向下，
此時不等式的解集為或，
當時，，開口向下，
此時不等式的解集為或，
綜上所述，當時，解集為；當時，解集為；時，解集為或；時，解集為；當時，解集為或．
12．若，，，，下列不等式一定成立的有　　
A． B． C． D．
【解答】解：對于，因為，所以，又，所以，故正確；
對于，因為，所以，故錯；
對于，因為，所以①，可得②，，可得，所以，故正確；
對于，，分母符合不確定，故錯；
故選：．
13．下列結論正確的是　　
A．當時，
B．當時，的最小值是2
C．當時，的最大值是1
D．設，，且，則的最小值是
【解答】解：選項，，當且僅當，即時，等號成立，故選項正確；
選項，在上單調遞增，，即選項錯誤；
選項，設，
令，則，當且僅當，即時，等號成立，
的最大值為1，即選項正確；
選項，，
當且僅當，即，時，等號成立，
的最小值為，即選項錯誤．
故選：．
14．若，，且，則下列結論正確的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：對于，，，且，，當且僅當時，等號成立，
，當且僅當時，等號成立，故正確，
對于，，，且，，當且僅當時，等號成立，故錯誤，
對于，，，，且，，當且僅當時，等號成立，
，
，當且僅當時，等號成立，故正確，
對于，，，且，
，當且僅當，即時，等號成立，故錯誤，
故選：．
15．若實數，滿足等式，，，且不等式恒成立，則實數的取值范圍為 　　．
【解答】解：因為，，，
即，
所以，
當且僅當且即，時取等號，此時取得最小值，
因為不等式恒成立，
所以，
解得，，
故答案為：為．
16．已知實數，滿足，則　　
A． B． C． D．
【解答】解：因為，且，
當且僅當時取“”，
所以，所以，選項錯誤；
因為，
所以，選項、錯誤；
因為，
當且僅當時取“”，所以選項正確．
故選：．
17．已知正實數，滿足，則的最小值為 　　．
【解答】解：因為正實數，滿足，
可得，
則，
當且僅當且時取等號，此時取得最小值．
故答案為：．
18．已知，，是正實數，且，則最小值為 　　．
【解答】解：，
其中，
當且僅當時取等號，
故．
當且僅當時取等號．
故答案為：．
19．已知實數，則的最小值是　　
A．6 B． C． D．
【解答】解：，可得，
則
，
當且僅當，，即時，上式取得等號，
所以的最小值為．
故選：．
20．若對任意實數，，不等式恒成立，則實數的最小值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：對任意實數，，不等式可化為，
，
令，，
令，
函數取得最大值為，
，
實數的最小值為，
故選：．
21．下列說法正確的有　　
A．若，則的最大值是
B．若，，都是正數，且，則的最小值是3
C．若，，，則的最小值是2
D．若，則的最小值是4
【解答】解：對于，若，則，所以，故的最大值是，故正確；
對于，若，，都是正數，且，則，當且僅當，即時等號成立，故正確；
對于，若，，，所以，解得，當且僅當，即，時等號成立，故錯誤；
對于，若，所以，
則，當且僅當，即時取等號，故正確．
故選：．
22．為了提高某商品的銷售額，某廠商采取了“量大價優”“廣告促銷”的方法．市場調查發現，某件產品的月銷售量（萬件）與廣告促銷費用（萬元）滿足：，該產品的單價與銷售量之間的關系定為：萬元，已知生產一萬件該產品的成本為8萬元，設該產品的利潤為萬元．
（1）求與的函數關系式；（利潤銷售額成本廣告促銷費用）
（2）當廣告促銷費用定為多少萬元的時候，該產品的利潤最大？最大利潤為多少萬元？
【解答】解：（1）因為銷售額銷售量單價，
又因為，
所以銷售額，
成本，
所以；
（2）因為．
當，即時，等號成立．
所以當廣告促銷費用定為萬元的時候，該產品的利潤最大，最大利潤為萬元．
23．已知函數的定義域為，，則函數的定義域是　　
A．，， B．，， C．， D．，，
【解答】解：函數的定義域為，，
由，解得且．
函數的定義域是，，．
故選：．
24．已知．
（1）求函數的解析式；
（2）若是定義在上的奇函數，且時，，求函數的解析式；
（3）求關于的不等式．
【解答】解：（1）因為，
設，則，；
所以函數的解析式，，，；
（2）若是定義在上的奇函數，
時，，
時，，，所以，
函數的解析式為；
（3）不等式可化為，
因為是定義域上的減函數，所以，
即，
所以，解得或；
所以不等式的解集為，，．
25．已知定義在上的函數滿足：．
（1）求函數的表達式；
（2）若不等式在，上恒成立．求實數的取值范圍．
【解答】解：（1）已知定義在上的函數滿足：，
將的替換為得，
聯立，
解得；
（2）不等式為，化簡得，
要使其在，上恒成立，則，解得．
所以實數的取值范圍為，．
26．的值域是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：令，，則，
則，，圖象開口向下，對稱軸，
所以當時，函數取得最大值為2，
所以函數的值域是，．
故選：．
27．函數的值域為 　，　．
【解答】解：由，
又，則，則，所以，
故函數的值域為，．
故答案為：，．
28．已知函數，．
（1）若不等式的解集為，，求不等式的解集；
（2）若對于任意的，，不等式恒成立，求實數的取值范圍；
（3）已知，若方程在有解，求實數的取值范圍．
【解答】解：（1）若不等式的解集為，，
即1，2是方程的兩個根，
則，即，
則，由得，
即得，得或，
即不等式的解集為，，．
（2）不等式恒成立，
即在，恒成立，
令，，，
則，
令，解得：，
故在，遞增，在，遞減，
故（1）或，
而（1），，
故．
（3）由得，
，即，
若方程在，有解，等價為有解，
設，
，，，，
即，即，則，
即實數的取值范圍是，．
29．函數的值域為　，　．
【解答】解：函數，
令，
當時，可得，
當時，
可得：．
當時，可得，當且僅當時取等號．
則．
當時，可得，當且僅當時取等號．
則．
故得函數的值域為，．
故答案為，．
30．已知，，且滿足．
（1）求的取值范圍；
（2）求的取值范圍．
【解答】解：（1）因為，
所以，解得，當且僅當，即時取到最大值，時取到最小值．
所以的取值范圍是．
（2）①當時，，所以；
②當時，，
令，，
令，．
（Ⅰ）當時，，
當且僅當，即時，取等號，所以；
（Ⅱ）當時，；
（Ⅲ）當時，，當且僅當，
即時，等號成立，所以；
綜上，的取值范圍是．
31．已知函數．
（1）若對任意，，，不等式恒成立，求的取值范圍；
（2）若存在，對任意，，總存在唯一，，使得成立，求的取值范圍．
【解答】解：（1）因為，，所以，，
所以，
要使，，不等式恒成立，只需，
所以，即，
記（a），因為，，
所以只需，即，
解得或或．
（2）當時，，當時，，，
所以函數的值域為，．
其次，由題意知，，，
且對任意，，總存在唯一，，使得．
以下分三種情況討論：
①當時，則，解得；
②當時，則，解得；
③當時，則或，解得．
綜上，或．
32．下列命題正確的是　　
A．若對于，，，都有，則函數在上是增函數
B．若對于，，，都有，則函數在上是增函數
C．若對于，都有成立，則函數在上是增函數
D．若函數，都是上的增函數，則函數在上也是增函數
【解答】解：對，等價于，
設，則，根據單調性的定義可知，函數在上是增函數，正確；
對，設，原不等式等價于，根據單調性的定義可知，
函數在上是增函數，正確；
對，若，滿足對于，都有成立，
但是函數在上不是增函數，錯誤；
對，設，都是上的增函數，
但是在上不是增函數，錯誤．
故選：．
33．已知函數．
（1）用單調性定義證明在，上單調遞減，并求出其最大值與最小值；
（2）若在，上的最大值為，且，求的最小值．
【解答】解：（1）證明：因為，
任取，，使，
則，
即有，
所以在，上單調遞減，
所以（1），；
（2）由（1）可得，
所以，
當且僅當，即時，等號成立．
34．已知定義在上的函數滿足：
①（3）；
②，，；
③當時，．
（1）求；
（2）求證：函數在上單調遞增；
（3）若實數，在上恒成立，求的取值范圍．
【解答】解：（1）取得，（9）（3），
取得，（1）（1），（1），
取得，，．
（2）證明：任取，令，得：，
因為，所以，
所以，故函數在上單調遞增．
（3）方法一：（9），所以，
所以，
由（2）知單調遞增，則，
定義域，，此時也為正，
由題，在上有定義，則，
令，，，則，
所以，，
式可化為即在恒成立，
設，只需，解得，
綜上，．
方法二：，
★在恒成立即可，
由題，在上有定義，則，，
下證：當時，★式在區間上均成立，
，
，
又，且單調遞增，
，即時，★式成立．
綜上，．
35．已知函數滿足對任意都有成立，那么實數的取值范圍是 　，　．
【解答】解：由題，對任意都有成立，可得函數在上為增函數．
，解得，
實數的取值范圍是，．
故答案為：，．
36．函數的單調增區間為　　
A． B．
C．和 D．
【解答】解：設，則有且；，，，
所以函數的定義域為：且，
由二次函數的性質可知的單調遞增區間為，，；單調遞減區間為：，，；
又因為在和，上單調遞減，
由復合函數的單調性可知：函數的單調增區間為：，和．
故選：．
37．若函數同時滿足：
（1）對于定義域內的任意，有；
（2）對于定義域內的任意，，當時，有，則稱函數為“理想函數”．
下列四個函數是“理想函數”的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由題意可得“理想函數”既是奇函數，又是增函數．
對于選項既是奇函數又是增函數，所以正確，
對于選項，是奇函數，但不是增函數，所以選項錯誤．
故選：．
38．設函數，若函數在上的最大值為，最小值為，則　2　．
【解答】解：函數，定義域為，
令，
則，所以是奇函數，
因為函數在上的最大值為，最小值為，
所以在上的最大值為，最小值為，
由奇函數的性質可得，所以．
故答案為：2．
39．已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則當時，的表達式是　　
A． B． C． D．
【解答】解：當時，則，
則，
是奇函數，
，
即，
則，
故選：．
40．已知函數為定義在，上的奇函數，則的解集為　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：函數為定義在，上的奇函數，
，得到，
函數為奇函數，滿足，
則，，，
，即函數的定義域為，，
則等價于，，
，
函數在，上單調遞增，
，解得，
原不等式的解集為．
故選：．
41．定義域為的奇函數在，上單調遞減．設，若對于任意，，都有，則實數的取值范圍為　，　．
【解答】解：由題意得，
所以，即為偶函數，
因為奇函數在，上單調遞減且，
根據奇函數對稱性可知，恒成立，
當時，，
故在上單調遞增，
根據偶函數對稱性可知，在上單調遞減，
因為對于任意，，都有，
所以在，上恒成立，
所以，
所以在，上恒成立，
所以．
故答案為：，．
42．已知函數的定義域是的一切實數，對定義域內的任意、都有，且當時，，（2）．
（1）判斷的奇偶性與單調性，并證明你的結論；
（2）解不等式：．
【解答】解：（1）由題意知，對定義域內的任意，都有，
令，，代入上式得（1），解得（1），
令，，得，（1），解得，
令，代入上式，，
是偶函數．
在上單調遞增，上單調遞減，
證明：設，是任意兩個變量，且，設，，
則
當時，；
，即，
，
即在上的單調遞增，又因為偶函數的圖象關于軸對稱，故在上單調遞減．
（2）（2），（4）（2）．
，
（4），
又是偶函數，且在上是增函數，
，
解得或且．
不等式的解集是：或且．

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