資源簡介

圓錐曲線復習資料
目錄
圓錐曲線復習資料 2
橢雙定義 2
焦點三角形 4
通徑 7
橢圓焦半徑公式 9
弦中點 11
第三定義 13
拋物線定義 15
拋物線焦半徑公式 16
定義法求解軌跡方程 18
相關點法求解軌跡方程 21
弦中點法求解軌跡方程 22
解析幾何條件翻譯 23
圓錐曲線復習資料
橢雙定義
橢圓第一定義：平面內與兩個定點，的距離之和等于常數（大于）的點的軌跡叫做橢圓。即：
雙曲線第一定義：平面內與兩個定點，的距離之差的絕對值等于常數（小于）的點的軌跡叫做雙曲線。即：
1
配套練習
例題1、點，是橢圓的左焦點，是橢圓上任意一點，則的取值范圍是　　
， B．， C． D．
練習1、已知定點，是橢圓的一個焦點，是橢圓上的點，求的最大值　 　．
例題2、已知雙曲線的左右焦點分別為，，定點，點在雙曲線的右支上運動，則的最小值等于　　．
練習2、若、是雙曲線的左右焦點，，，為雙曲線上的動點，求的最小值．
焦點三角形
橢圓：①周長
②面積
雙曲線：①面積
配套練習
例1．若過橢圓上焦點的直線交橢圓于點，，為橢圓下焦點，則三角形的周長為 　　．
練1．定義：橢圓上一點與兩焦點構成的三角形為橢圓的焦點三角形，已知橢圓的焦距為，焦點三角形的周長為，則橢圓的方程是　 　．
例2．橢圓與雙曲線有公共點，則與雙曲線兩焦點連線構成三角形的周長為 　　．
練2．橢圓與雙曲線有公共點，則與雙曲線的兩個焦點連線構成三角形面積為 　　．
例3．是橢圓上位于軸上方的一點，，是橢圓兩焦點，三角形內切圓半徑為，則的縱坐標為　　
A．2 B．4 C． D．
練3．我們把離心率為的橢圓稱為“最美橢圓”．已知橢圓為“最美橢圓”，且以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為4，則橢圓的方程為　　
A． B． C． D．
例4．已知橢圓的焦點、在軸上，它與軸的一個交點為，且△為正三角形，且焦點到橢圓上的點的最短距離為，則橢圓的方程為 　　．
練4．已知橢圓的半焦距為，原點到經過兩點，的直線的距離為，橢圓的長軸長為．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為，為橢圓的左焦點，求三角形的面積．
通徑
經過橢圓或雙曲線的焦點作軸的垂線，與橢圓或雙曲線交于點，弦為橢圓或雙曲線的通徑，通徑的長為：
配套練習
例1、橢圓的通徑長為_________.
練1．橢圓的通徑長為　　
A． B． C． D．1
例2．已知橢圓的左、右焦點分別為，，過的通徑（過焦點垂直于長軸的弦叫做通徑），則的內切圓方程為________
練2．雙曲線的左、右焦點分別為、，拋物線的準線過且與雙曲線的實軸垂直，若拋物線上的任意一點到的距離比它到軸的距離大3，過的直線與雙曲線的右支相交于、兩點，若弦長等于拋物線的通徑長的2倍，且的周長為56，求雙曲線和拋物線的方程．
例3．過雙曲線的一個焦點的直線與雙曲線相交于，兩點，當軸時，稱線段為雙曲線的通徑．若的最小值恰為通徑長，則此雙曲線的離心率的范圍為　　
A．， B． C． D．，
練3．過雙曲線的一個焦點的直線與雙曲線相交于，兩點，當軸，稱為雙曲線的通徑．若過焦點的所有焦點弦中，其長度的最小值為，則此雙曲線的離心率的范圍為　　
A． B．， C．， D．，
橢圓焦半徑公式
橫坐標版焦半徑公式：（為點橫坐標，點到左焦點距離為，右焦點距離為）
夾角版焦半徑公式：（為焦點和準線間的距離，為開口朝向就近定點的夾角）
夾角版焦點弦公式：
配套練習
例1．橢圓的左、右焦點分別為、，點P在橢圓上，則的取值范圍為_______.
練1．設、為橢圓的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限，若為等腰三角形，則M的坐標為_______.
例2．已知橢圓的左焦點為F，過F且傾斜角為45°的直線l交橢圓C于A、B兩點，則______；若，則=______.
練2．已知橢圓的左焦點為F，過F且斜率為2的直線l交橢圓C于A、B兩點，則______.
弦中點
1、橢圓
直線l與橢圓交于A、B兩點，M為AB中點，則OM的斜率與AB的斜率滿足：
2、雙曲線
直線l與雙曲線交于A、B兩點，M為AB中點，則OM的斜率與AB的斜率滿足：
配套練習
例1．若橢圓的動弦斜率為1，則弦中點坐標可能是　　
A． B．， C． D．，
練1．已知雙曲線被直線截得的弦，弦的中點為，則直線的斜率為　　
A．1 B． C． D．2
例2．已知橢圓的一個焦點為，該橢圓被直線所截得弦的中點的橫坐標為2，則該橢圓的標準方程為 　　．
練2．已知中心在原點，焦點在軸上，焦距為4的橢圓被直線截得的弦的中點的橫坐標為，則此橢圓的方程為　　
A． B． C． D．
例3．已知點是橢圓某條弦的中點，則此弦所在的直線的一般方程為 　　．
練3．直線被雙曲線所截得的弦的中點坐標是　　
A． B． C． D．
第三定義
橢圓
為橢圓上關于原點對稱的兩點，橢圓上任一點（與不重合）與橢圓上兩點的連線的斜率之積為定值:
雙曲線
為橢圓上關于原點對稱的兩點，雙曲線上任一點（與不重合）與橢圓上兩點的連線的斜率之積為定值:
配套練習
例1、 已知橢圓，，是橢圓上關于原點對稱的兩點，是橢圓上的動點，且直線，的斜率分別為，，，若的最小值為，則橢圓的離心率為　　
A． B． C． D．
例2、 已知橢圓，，是橢圓上關于原點對稱的兩點，是橢圓上任意一點，且直線，的斜率分別為，，若橢圓的離心率為，則的最小值為　 　．
例3 、已知橢圓上點到點的最大距離為，離心率為．
（1）求此橢圓方程；
（2）若、為橢圓上關于原點的對稱的兩點，為橢圓上異于、的一點，且、都不垂直于軸，求．
練1、已知，是橢圓上關于原點對稱的兩點，是該橢圓上不同于，的一點，若直線的斜率的取值范圍為，，則直線的斜率的取值范圍為　　
A． B． C． D．
練2、已知橢圓，，是橢圓上關于原點對稱的兩點，是橢圓上任意一點，且直線，的斜率分別為，，若橢圓的離心率為，則　　．
拋物線定義
1、定義：平面內與一個定點和一條定直線（不經過點）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。點叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線。即：
2、方程
例1、已知，為拋物線焦點，為拋物線上動點，則的最小值為　　
A．5 B．4.5 C．3.5 D．不能確定
練習1、若點的坐標為，點在拋物線上移動，為拋物線的焦點，則的最小值為　　
A．3 B．4 C．5 D．
拋物線焦半徑公式
橫坐標版焦半徑公式：
開口向右：，
開口向左：
開口向上：
開口向左：
橫坐標版焦點弦公式：
夾角版焦半徑公式：
（為開口朝向原點的夾角）
夾角版焦點弦公式：
（當焦點弦垂直于對稱軸時為通徑）
拋物線焦點三角形面積
例1．直線經過拋物線的焦點，且與拋物線相交于，兩點，連接點和坐標原點的直線交拋物線準線于點，則　　
A．坐標為 B．最小值為4
C．一定平行于軸 D．可能為直角三角形
例2．設點為拋物線的焦點，過點斜率為的直線與拋物線交于，兩點（點在第一象限），直線交拋物線的準線于點，若，則下列說法正確的是　　
A． B．
C． D．的面積為為坐標原點）
例3．已知拋物線上有兩點，、，，焦點為，下列選項中是“直線經過焦點”的必要不充分條件的是　　
A． B． C． D．
定義法求解軌跡方程
圓：
第一定義：平面內一動點到定點的距離為定值的點的軌跡，即（）；
第二定義（阿波羅尼斯圓）：平面內一動點到定點與到定點的距離之比為一定值的點的軌跡，即（）；
橢圓:
定義：平面內一動點到定點和定點的距離之和為定值的點的軌跡，即（）；
雙曲線:
定義：平面內一動點到定點和定點的距離之差的絕對值為定值的點的軌跡，即；
拋物線:平面內一動點到定點的距離等于到定直線的距離的點的軌跡，即
配套練習
例1、已知動圓與圓外切，同時與圓內切，求動圓圓心的軌跡的方程，并說明它是什么曲線
練1、設圓的圓心為，直線過點且與軸不重合，交圓于兩點，過點作的平行線且交于點．證明為定值，并寫出點的軌跡方程．
例2、已知圓，直線（與軸不重合）過點交圓于兩點，過點作直線的平行線交直線于點．
證明：為定值，并求點的軌跡方程；
練2、已知一動圓與圓、圓都外切，求動圓圓心的軌跡方程.
例3、已知點到點的距離比點到直線的距離小1，求點的軌跡方程.
練3、已知曲線上的任意一點到定點的距離與到定直線的距離相等，求曲線的方程；
相關點法求解軌跡方程
例1、已知點為橢圓上的任意一點，為原點，M滿足，求點的軌跡方程．
練1、已知點P在圓上運動，點P在x軸上的投影為Q，動點M滿足,求動點M的軌跡方程E；
例2、已知圓，為圓上任一點，為定點，的中點為．求：
動點的軌跡方程；
練2、已知線段的端點的坐標是，端點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程；
弦中點法求解軌跡方程
弦中點模型
直線與橢圓交于兩點，為中點，則有
例1.過點的直線與橢圓相交于，兩點，且恰為，中點，則直線的方程為 　　．
練1、已知橢圓，若直線與橢圓相交于，兩點，橢圓內一點是線段的中點，求直線的方程；
解析幾何條件翻譯
設直線與曲線C相交于點，，點A、B不與原點O重合，點，將下列信息轉化為關于的表達式：
1．或，即
2．
3．
4．
．直線MA與直線MB的斜率之和為－1
．銳角
7．為直角
8．為鈍角
9．點M在以為直徑的圓內為鈍角，同8
10．點在以為直徑的圓上為直角，同7
11．點在以為直徑的圓外為銳角，同6
12．，或垂直與軸
13． 大角對大邊，即
14．為直角或，同1
A、B、M三點共線，，，
17．A、B、M三點共線或，即（亦可轉化為直線過定點的證明）
18．四邊形為平行四邊形，即
19．△ABM為等邊三角形或AB中點為N，
20．△ABM是以M為頂點的等腰三角形，同3
21．以M為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點同20
22．點M為△OAB的重心
圓錐曲線復習資料
橢雙定義
例1．點，是橢圓的左焦點，是橢圓上任意一點，則的取值范圍是　　
A．， B．， C． D．
【解答】解：，
那么，
所以，
當點位于時，的差最小，其值為
此時，也得到最小值，其值為．
當點位于時，的差最大，其值為此時，
也得到最大值，其值為．
故選：．
練1．已知定點，是橢圓的一個焦點，是橢圓上的點，求的最大值　　．
【解答】解：是橢圓的一個焦點，
，
，
橢圓，
根據橢圓的第一定義：
取得最大值時，
即最大，
如圖所示：，
當，，共線時取得最大值．
的最大值為：，
故答案為：．
例2．已知雙曲線的左右焦點分別為，，定點，點在雙曲線的右支上運動，則的最小值等于　11　．
【解答】解：在雙曲線的右支上，
，
，又，雙曲線右焦點，
（當且僅當、、三點共線時取“” ．
故答案為：11．
練2．若、是雙曲線的左右焦點，，，為雙曲線上的動點，求的最小值．
【解答】解：雙曲線，
，，雙曲線右焦點為，，
由雙曲線定義可得：，
而，
當且僅當、、三點共線時等號成立．
的最小值：．
第23頁（共56頁）
焦點三角形
例1．若過橢圓上焦點的直線交橢圓于點，，為橢圓下焦點，則三角形的周長為 　16　．
【解答】解：由橢圓知，所以，
根據橢圓的定義，可得，
，
，
的周長為．
故答案為：16．
練1．定義：橢圓上一點與兩焦點構成的三角形為橢圓的焦點三角形，已知橢圓的焦距為，焦點三角形的周長為，則橢圓的方程是　　．
【解答】解：由題意可知：焦點，，
則，，
由橢圓的定義可知：，
焦點三角形周長，
則，
，
橢圓的標準方程為：，
故答案為：，
例2．橢圓與雙曲線有公共點，則與雙曲線兩焦點連線構成三角形的周長為 　24　．
【解答】解：由已知得橢圓與雙曲線具有共同的焦點，，
由橢圓定義可知：，
故與雙曲線兩焦點的距離之和為14，
又，
因此與雙曲線兩焦點連線構成三角形的周長為．
故答案為：24．
練2．橢圓與雙曲線有公共點，則與雙曲線的兩個焦點連線構成三角形面積為 　3　．
【解答】解：由雙曲線可得，，
所以可得可得雙曲線的左右焦點，，
聯立消整理可得，
解得：，
所以，
故答案為：3．
例3．是橢圓上位于軸上方的一點，，是橢圓兩焦點，三角形內切圓半徑為，則的縱坐標為　　
A．2 B．4 C． D．
【解答】解：橢圓中，，，
，可得焦點坐標為，．
根據橢圓的定義，可得，，
設△的圓心為，
△的內切圓半徑為，
，
又設的縱坐標為，可得，
，解得，即的縱坐標為4．
故選：．
練3．我們把離心率為的橢圓稱為“最美橢圓”．已知橢圓為“最美橢圓”，且以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為4，則橢圓的方程為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由已知，得，故，
，即，
，得，故，
所以橢圓的方程為．
故選：．
例4．已知橢圓的焦點、在軸上，它與軸的一個交點為，且△為正三角形，且焦點到橢圓上的點的最短距離為，則橢圓的方程為 　　．
【解答】解：橢圓與軸的一個交點為，且△為正三角形，可得，
再由焦點到橢圓上的點的最短距離為，則，而，
所以，可得，即，，，
所以橢圓的方程為：；
故答案為：．
練4．已知橢圓的半焦距為，原點到經過兩點，的直線的距離為，橢圓的長軸長為．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為，為橢圓的左焦點，求三角形的面積．
【解答】解：（1）經過兩點，的直線為：，即，
由已知原點到直線的距離，
可得，又，
所以，，
所以橢圓的標準方程為：；
（2）由（1）可得，
設，，，，
由題意可得，，
代入，作差可得，
可得，即直線的斜率，
所以直線的方程為，即，
所以到直線的距離；
聯立，整理可得：，
可得，，
所以弦長，
所以．
通徑
例1．橢圓的通徑長為　3　．
【解答】解：由橢圓，可得，，
所以橢圓的通徑長：．
故答案為：3．
練1．橢圓的通徑長為　　
A． B． C． D．1
【解答】解：由橢圓的方程，，
所以橢圓的通徑長：．
故選：．
例2．已知橢圓的左、右焦點分別為，，過的通徑（過焦點垂直于長軸的弦叫做通徑），則的內切圓方程為 　　．
【解答】解：設內切圓的半徑為，
橢圓，
其中，，，則，
與軸垂直，
則有，，
解得：，，
的周長，
其面積，
由內切圓的性質可知，有，解得．
圓心橫坐標為，即圓心坐標為，，
則的內切圓方程是，
故答案為：．
練2．雙曲線的左、右焦點分別為、，拋物線的準線過且與雙曲線的實軸垂直，若拋物線上的任意一點到的距離比它到軸的距離大3，過的直線與雙曲線的右支相交于、兩點，若弦長等于拋物線的通徑長的2倍，且的周長為56，求雙曲線和拋物線的方程．
【解答】解：依題可知拋物線的焦點為，所以，
拋物線上的任意一點到的距離比它到軸的距離大3，
由拋物線的定義可知，，所以，
所以拋物線的方程為，
其通徑長為，從而，
由雙曲線的定義可知，，，
所以，
所以的周長為，
解得，又因為，所以，
所以雙曲線的方程為．
綜上所述，雙曲線的方程為，
拋物線的方程為．
例3．過雙曲線的一個焦點的直線與雙曲線相交于，兩點，當軸時，稱線段為雙曲線的通徑．若的最小值恰為通徑長，則此雙曲線的離心率的范圍為　　
A．， B． C． D．，
【解答】解：當經過焦點的直線與雙曲線的交點在同一支上，
可得雙曲線的通徑最小，令，可得，
即有最小值為；
當直線與雙曲線的交點在兩支上，可得直線的斜率為0時，
即為實軸，最小為．
由題意可得，
即為，
即有，
則離心率，，
故選：．
練3．過雙曲線的一個焦點的直線與雙曲線相交于，兩點，當軸，稱為雙曲線的通徑．若過焦點的所有焦點弦中，其長度的最小值為，則此雙曲線的離心率的范圍為　　
A． B．， C．， D．，
【解答】解：當經過焦點的直線與雙曲線的交點在同一支上，
可得雙曲線的通徑最小，令，可得，
即有最小值為；
當直線與雙曲線的交點在兩支上，可得直線的斜率為0時，
即為實軸，最小為．
由題意可得，
即為，
即有，
則離心率，．
故選：．
橢圓焦半徑公式
例1 橢圓的左、右焦點分別為、，點P在橢圓上，則的取值范圍為_______.
【解析】由題意，，，，設，其中，
則，，所以
練1 設、為橢圓的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限，若為等腰三角形，則M的坐標為_______.
【解析】為等腰三角形，
點在M第一象限，且，
又，所以，故只能，
設，由橢圓焦半徑公式知，
解得：，代入橢圓方程得，故
例2 已知橢圓的左焦點為F，過F且傾斜角為45°的直線l交橢圓C于A、B兩點，則______；若，則=______.
【解析】如圖，設，則
由焦點弦公式，，
由焦半徑公式，，
，所以.
練2 已知橢圓的左焦點為F，過F且斜率為2的直線l交橢圓C于A、B兩點，則______
【解析】設直線l的傾斜角為，則，所以，
由焦點弦公式，.
弦中點
例1．若橢圓的動弦斜率為1，則弦中點坐標可能是　　
A． B．， C． D．，
【解答】解：設，，，，，，
，，，．
由，①
，②
①②整理可得：，
即，
，又，
故選：．
練1．已知雙曲線被直線截得的弦，弦的中點為，則直線的斜率為　　
A．1 B． C． D．2
【解答】解：設，，，，由題意可得，，
代入雙曲線的方程：，作差可得，
可得，
即直線的斜率為1，
故選：．
例2．已知橢圓的一個焦點為，該橢圓被直線所截得弦的中點的橫坐標為2，則該橢圓的標準方程為 　　．
【解答】解：因為橢圓的一個焦點為，所以該橢圓的焦點在縱軸上，
因此可設該橢圓的標準方程為：，且，
設該橢圓被直線所截得弦為，設，，，，
把代入直線方程中，得，即的中點坐標為，
因此有，，
由，
因為，在橢圓上，
所以有，②①，得，
由，，
所以該橢圓的標準方程為，
故答案為：．
練2．已知中心在原點，焦點在軸上，焦距為4的橢圓被直線截得的弦的中點的橫坐標為，則此橢圓的方程為　　
A． B． C． D．
【解答】解：由直線與橢圓的中點的橫坐標可得縱坐標，
即弦的中點坐標為，設交點，，，，
由直線的方程可知，，，
設橢圓的方程為，
將交點的坐標代入，作差可得，
所以可得，
所以，
即，
由題意可得，即，
而，
所以，，
所以橢圓的方程為：，
故選：．
例3．已知點是橢圓某條弦的中點，則此弦所在的直線的一般方程為 　　．
【解答】解：設過的直線與橢圓的交點為，，，，由題意可得，，
代入橢圓的方程：，整理可得：，
可得，
即直線的斜率，
所以直線的方程為：，整理可得：，
故答案為：．
練3．直線被雙曲線所截得的弦的中點坐標是　　
A． B． C． D．
【解答】解：聯立，得．
設直線被雙曲線所截得的弦的兩端點分別為，，，，
則，，即中點的橫坐標為，代入，可得中點的縱坐標為，
則直線被雙曲線所截得的弦的中點坐標是．
故選：．
第三定義
例1．已知橢圓，，是橢圓上關于原點對稱的兩點，是橢圓上的動點，且直線，的斜率分別為，，，若的最小值為，則橢圓的離心率為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設，，，，，
則，．
又、、都在橢圓上，
，，
，
．
，即．
又．
，即，
，即，
，即，
．
故選：．
例2．已知橢圓，，是橢圓上關于原點對稱的兩點，是橢圓上任意一點，且直線，的斜率分別為，，若橢圓的離心率為，則的最小值為　1　．
【解答】解：設，，，
則有，，
兩式相減得，，
則有，
由于橢圓的離心率為，
則，即有，
即有，
即有，
，
則有．
當且僅當，取得最小值1．
故答案為：1．
例3．已知橢圓上點到點的最大距離為，離心率為．
（1）求此橢圓方程；
（2）若、為橢圓上關于原點的對稱的兩點，為橢圓上異于、的一點，且、都不垂直于軸，求．
【解答】解：（1），
，
，即，
橢圓方程可表示為：，
設，則，
，
當時，取到最大值，
，即，
橢圓方程為：；
（2）依題意，設，，，
則，，
兩式相減得：，
，
又，，
．
練1．已知，是橢圓上關于原點對稱的兩點，是該橢圓上不同于，的一點，若直線的斜率的取值范圍為，，則直線的斜率的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設，，由題意可得，，，，
則，作差可得：，
，
所以，
又因為率，，所以，，
所以，
所以，，
故選：．
練2．已知橢圓，，是橢圓上關于原點對稱的兩點，是橢圓上任意一點，且直線，的斜率分別為，，若橢圓的離心率為，則　　．
【解答】解：橢圓的離心率為，可得，
可得，
設，，，
可得，，
相減可得，
即有．
故答案為：．
拋物線定義
例1．已知，為拋物線焦點，為拋物線上動點，則的最小值為　　
A．5 B．4.5 C．3.5 D．不能確定
【解答】解：如圖所示，過作準線，垂足為．
則，
當且僅當，，三點共線時，取得最小值為，
故選：．
練1．若點的坐標為，點在拋物線上移動，為拋物線的焦點，則的最小值為　　
A．3 B．4 C．5 D．
【解答】解：拋物線的焦點的坐標是 1，0 ；
設點在準線上的射影為，則根據拋物線的定義可知
要求取得最小值，即求取得最小
當，，三點共線時最小，為
故選：．
拋物線焦半徑公式
例1．直線經過拋物線的焦點，且與拋物線相交于，兩點，連接點和坐標原點的直線交拋物線準線于點，則　　
A．坐標為 B．最小值為4
C．一定平行于軸 D．可能為直角三角形
【解答】解：對選項，，，，即，故錯誤；
對選項，設直線方程為，，，，，
聯立拋物線得，則，
，
兩式相乘得，，
當且僅當時等號成立，故，故正確；
對選項，，
令，則，故，因為，故一定平行于軸，故正確；
對選項，因為，故不為直角；
兩式作差得，故，
即，
，故不為直角，同理
故不為直角，故錯誤，
故選：．
例2．設點為拋物線的焦點，過點斜率為的直線與拋物線交于，兩點（點在第一象限），直線交拋物線的準線于點，若，則下列說法正確的是　　
A．
B．
C．
D．的面積為為坐標原點）
【解答】解：如圖，
設，，，，
，，
，，
，，
又，
，解得，故選項不正確；
由上述分析可知，，，，
又容易知，，
則，，，故成立，故選項正確；
，故選項正確；
，故選項不正確．
故選：．
例3．已知拋物線上有兩點，、，，焦點為，下列選項中是“直線經過焦點”的必要不充分條件的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：設直線的方程為，
則直線交軸于點，且拋物線的焦點的坐標為，，
將直線的方程與拋物線的方程聯立，得，
得，
則，，
對于，
即，解得或，
所以“，”是“直線經過焦點”的必要不充分條件；
對于，
解得，
所以“”是“直線經過焦點”的必要不充分條件；
對于，得，
此時直線過拋物線的焦點，
所以“”是“直線經過焦點”的充要條件；
對于
，
化簡得，得，
所以“”是“直線經過焦點”的必要不充分條件．
故選：．
定義法求解軌跡方程
例1．已知動圓與圓外切，同時與圓內切．
（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡的方程，并說明它是什么曲線；
【解答】解：設動圓的半徑為，
由動圓與圓外切可知：，
由動圓與圓，內切可知：，
則，
所以動圓的軌跡是以，，為焦點，長軸長為10，焦距為8的橢圓，
動圓圓心的軌跡方程為．
練1．設圓的圓心為，直線過點且與軸不重合，交圓于，兩點，過點作的平行線且交于點．證明為定值，并寫出點的軌跡方程．
【解答】證明：因為，，
所以，
所以，
所以，
又圓的標準方程為，
所以，
所以，
由題設，，
所以，
由橢圓的定義可得點的軌跡方程為．
例2．已知圓，直線（與軸不重合）過點交圓于、兩點，過點作直線的平行線交直線于點．
（1）證明：為定值，并求點的軌跡方程；
【解答】解：（1）圓可化為，點，
因為，所以，
因為，所以，所以，
所以點在以、為焦點，實軸為2的雙曲線上，
設雙曲線的方程為，所以，解得，
所以點的軌跡方程為；
練2．已知一動圓與圓、圓都外切．
（1）求動圓圓心的軌跡方程；
【解答】解：（1）由題意設動圓半徑為，則，，，
故圓心的軌跡是以為焦點的雙曲線的左支（去掉頂點），
其方程為．
例3．已知點到點的距離比點到直線的距離小1．
（1）求點的軌跡方程；
【解答】解：（1）由題可知，點到點的距離與到直線的距離相等，
所以動點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，
點的軌跡方程為：．
練3．已知曲線上的任意一點到定點的距離與到定直線的距離相等．
（Ⅰ）求曲線的方程；
【解答】解：（1）曲線上任意一點到點的距離與到直線的距離相等．
曲線的軌跡是以為焦點的拋物線，且，
曲線的方程為；
相關點法求解軌跡方程
例1．已知點為橢圓上的任意一點，為原點，滿足，求點的軌跡方程．
【解答】解：設，，，
由，得，所以，，
因為，在橢圓上，
所以點的軌跡的方程為．
練1．已知點在圓上運動，點在軸上的投影為，動點滿足．
（1）求動點的軌跡方程；
【解答】解：（1）設，，，
由，得，即，
軸，，
點，在圓上，，即，
可得動點的軌跡的方程為；
例2．已知圓，為圓上任一點，為定點，的中點為．求：
（1）動點的軌跡方程；
【解答】解：（1）設，，，
為定點，的中點為，
，得，
圓，為圓上任一點，
，即，
動點的軌跡方程為；
練2．已知線段的端點的坐標是，端點在圓上運動．
（1）求線段的中點的軌跡方程；
【解答】解：（1）設，，，由中點公式得，，則，，
因為在圓上，所以，即，
所以線段的中點的軌跡方程為．
弦中點法求解軌跡方程
例1．過點的直線與橢圓相交于，兩點，且恰為，中點，則直線的方程為 　　．
【解答】解：橢圓，化簡為，設，，，，則，
恰為，中點，，，
，，在橢圓上，
，①
，②
②①得：，即，
又，故．
則直線的方程為，即．
故答案為：．
練1．已知橢圓．
（1）若直線與橢圓相交于，兩點，橢圓內一點是線段的中點，求直線的方程；
【解答】解：（1）設，，，，
由題意可得，，
將，的坐標代入橢圓的方程，作差可得，
可得，
所以直線的方程為，
即；

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