資源簡介

第一部分 集合與簡易邏輯與不等式（學案）
1．研究集合問題，一定要理解集合的意義――抓住集合的代表元素。（最好將集合都表示成區間）元素是函數關系中自變量的取值？還是因變量的取值？還是曲線上的點？… ；
2． 集合元素具有 性、無序性和
3．注意補集思想、數形結合：
借助 、直角坐標系或韋恩圖等工具
4．對集合，“極端”情況： ；“極端”情況： ；
5．四種命題：
⑴原命題：若p則q； ⑵逆命題：若q則p；
⑶否命題：若p則q；⑷逆否命題：若q則p
注：1。原命題與 等價；逆命題與否命題等價。判斷命題真假時常常借助判斷其 的真假。
2．命題的否定是“P命題的非P命題，也就是‘ 不變，
僅否定 ’所得命題”，但否命題是“既否定原命題的 ，又否定原命題的 ”
6．充要條件的判斷：
（1）定義法----正、反方向推理。關鍵是分清條件和結論（劃主謂賓），由條件可推出結論，條件是結論成立的充分條件；由結論可推出條件，則條件是結論成立的必要條件。；
（2）集合解釋，滿足條件滿足條件，
若 ；則是的充分非必要條件 ；
若 ；則是的必要非充分條件 ；
若 ；則是的充要條件 ；
若 ；則是的既非充分又非必要條件
7．判斷命題的真假
“或命題”的真假特點是“一真即真，要假全假”；
“且命題”的真假特點是“一假即假，要真全真”；
“非命題”的真假特點是“一真一假”
8．全稱量詞與存在量詞
⑴全稱量詞-------“所有的”、“任意一個”等，用 表示；
全稱p：；全稱p的否定p：
⑵存在量詞--------“存在一個”、“至少有一個”等，用 表；
特稱p：；特稱p否定p： ；
9.不等式的性質：
（1）若，則
（2）若，則
（3）不等式兩邊同號時，不等式兩邊取倒數，不等號方向要改變：若，，取倒數則 ；
若，，取倒數則 。
10. 不等式大小比較的常用方法：
（1）作差；（2）作商；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數的單調性；（7）尋找中間量或放縮法 ； (8)圖象法。
11重要不等式（求函數最值時，要“一 二 三 ，和定積最 ，積定和最 ”）
12.簡單的一元高次不等式的解法：標根法：其步驟是：
（1）分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數為正；
（2）將每一個一次因式的根標在數軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；
（3）根據曲線顯現的符號變化規律，寫出不等式的解集。
13.含絕對值不等式的性質：
同號或有；
異號或有.
復數：
向量：
14.不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題：常應用函數方程思想和“分離變量法”轉化為最值問題，也可抓住所給不等式的結構特征，利用數形結合法
1).恒成立問題
若不等式在區間上恒成立,則等價于 ；
若不等式在區間上恒成立,等價于。
2).能成立問題
若在區間上存在實數使不等式成立,則等價于在區間上；
若在區間上存在實數使不等式成立,則等價于在區間上的 .
3).恰成立問題
若不等式在區間上恰成立, 則等價于不等式的解集為；若不等式在區間上恰成立, 則等價于不等式的解集為.
15.二元一次不等式表示平面區域:
在平面直角坐標系中，已知直線Ax+By+C=0，坐標平面內的點P（x0，y0）B＞0時，
①Ax0+By0+C＞0，則點P（x0，y0）在直線的 ；
②Ax0+By0+C＜0，則點P（x0，y0）在直線的
對于任意的二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0），無論B為正值還是負值，我們都可以把y項的系數變形為正數
當B＞0時，①Ax+By+C＞0表示直線Ax+By+C=0 的區域；②Ax+By+C＜0表示直線Ax+By+C=0 的區域
注意：當兩個點位于直線Ax+By+C=0的兩側，則滿足
16.線性規劃:
求線性目標函數在線性約束條件下的 的問題，統稱為線性規劃問題 其步驟如下：
（1）設出變量x、y； （2）找線性約束條件；
（3）確定目標函數z=f（x，y）； （4）畫出可行域；
（5）利用線性目標函數作平行直線系f（x，y）=t（t為參數）；
（6）觀察圖形，找到直線f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以確定最優解
[自測題]
1.A、B是非空集合，定義，若,，則= ．
2：設集合，則等于（ ）（A） (B) (C) (D)
3：在上存在的值，求的取值范圍
4：若集合，，，則實數=
5：函數的定義域是
6：命題“”的否命題是

7. 命題“，有”的否定是
8．下列四個命題：①； ②；
③；④．
其中真命題的序號是 ．
9. 已知命題與命題
都是真命題,則實數
的取值范圍是
10. 已知函數f (x)= 在區間[－1，2 ]上函數值恒為非正數，那么b＋c最大值
11. 如果實數滿足不等式組，則的最小值為 .
12：正數滿足，則的最小值為______
13. 若函數()在上的最大值為,則的值為
14．已知復數，那么的最大值是
15.設集合A=，B=，若，求實數的范圍。
16．關于的方程的兩根滿足
，求的范圍
17．若關于的不等式的解集為正實數集，則字母a的取值范圍。

18．若存在a∈[1，3]，使得不等式ax2＋（a-2）x-2>0成立，則實數x的取值范圍．
19．已知，的定義域是Q，若，求字母的取值范圍。

20．已知函數。若，對于任意的，恒成立，試確定實數的取值范圍。
21．已知函數，當時，恒有，求m的取值范圍．
22．已知向量，向量．已知常數滿足≤≤2，求使不等式≥成立的的解集；求使不等式≥對于一切恒成立的實數取值集合．
23. 知.（1）若,求的單調區間；
（2）若當時,恒有,求實數的取值范圍.
第一部分集合與簡易邏輯與不等式（教案）
1．研究集合問題，一定要理解集合的意義――抓住集合的代表元素。（最好將集合都表示成區間）元素是函數關系中自變量的取值？還是因變量的取值？還是曲線上的點？… ；
2． 集合元素具有確定性、無序性和互異性
3．注意補集思想、數形結合：
借助數軸、直角坐標系或韋恩圖等工具
4．對集合，“極端”情況：或；“極端”情況：；
求集合的子集：是任何集合的子集
5．四種命題：
1。原命題與逆否命題等價；逆命題與否命題等價。判斷命題真假時常常借助判斷其逆否命題的真假。
2．命題的否定是“命題的非命題，也就是‘條件不變，僅否定結論’所得命題”，但否命題是“既否定原命題的條件作為條件，又否定原命題的結論作為結論的所得命題”
6．充要條件的判斷：
（1）定義法
（2）從集合角度解釋，若，則A是B的充分條件；
若，則A是B必要條件；若A=B，則A是B充要條件。
7．判斷命題的真假
關鍵是“抓住關聯字詞”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”。 “或命題”的真假特點是“一真即真，要假全假”；“且命題”的真假特點是“一假即假，要真全真”；“非命題”的真假特點是“一真一假”
8．全稱量詞與存在量詞
⑴全稱量詞-------“所有的”、“任意一個”等，用表示；
全稱p：；全稱p的否定p：⑵存在量詞--------“存在一個”、“至少有一個”等，用表；
特稱p：；特稱p否定p：；
9.不等式的性質：
（1）若，則
（2）若，則
（3）若，，取倒數；若，，則。
10. 不等式大小比較的常用方法：
（1）作差；（2）作商；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數的單調性；（7）尋找中間量或放縮法 ； (8)圖象法。
11利用重要不等式求函數最值時，要“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”。
12.簡單的一元高次不等式的解法：標根法：
13.含絕對值不等式的性質：
同號或有；
異號或有.
復數：
向量：
14.不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題：常應用函數方程思想和“分離變量法”轉化為最值問題，也可抓住所給不等式的結構特征，利用數形結合法
1).恒成立問題
若不等式在區間上恒成立,則等價于在區間上；若不等式在區間上恒成立,則等價于在區間上
2).能成立問題
若在區間上存在實數使不等式成立,則等價于在區間上；若在區間上存在實數使不等式成立,則等價于在區間上的.
3).恰成立問題
若不等式在區間上恰成立, 則等價于不等式的解集為；若不等式在區間上恰成立, 則等價于不等式的解集為.
15.二元一次不等式表示平面區域:
在平面直角坐標系中，已知直線Ax+By+C=0，坐標平面內的點P（x0，y0）B＞0時，
①Ax0+By0+C＞0，則點P（x0，y0）在直線的上方；
②Ax0+By0+C＜0，則點P（x0，y0）在直線的下方
對于任意的二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0），無論B為正值還是負值，我們都可以把y項的系數變形為正數
當B＞0時，①Ax+By+C＞0表示直線Ax+By+C=0上方的區域；②Ax+By+C＜0表示直線Ax+By+C=0下方的區域
16.線性規劃:
求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問題
使目標函數取得最大值或最小值的可行解叫做最優解
[自測題]
1：答案：。解析：，。，。所以=。
2：解析：正確理解集合P和集合Q的意義,數集不是點集..
前者是指函數的值域，后者指函數的自變量的取值范圍。答案：（D）
3：錯解：，則。的取值范圍。錯因分析：上述解法中把問題當成：“在上恒成立，求的取值范圍。”而本題僅僅是存在的值，能使得成立，，的取值范圍。
4：-1（0舍去）；5： 不是 ；
6： ；7. 8．④；9. ；10. 解析：，兩式相加，得，。答案：有最大值－
11.答案：5。；12：（答：）；13.
14．答案：。應用幾何意義：
15.正確答案：。忽視B=
16．解；，
可行域如圖AED，的幾何意義相當于點到AED內的任意連線的斜率，等價于點A、D在直線的兩側，解得。
17．解：，若該不等式的解集是，
則 即恒成立，。所以，
18．解析：“存在”不同于“任意”， 存在a∈[1，3]，使得關于的一次不等式能夠成立，
或。
19．解：若，不等式在上不成立，即不等式在上恒立，分離參數，在上恒立。令，，則。
所以，字母的取值范圍。
20．已知函數。若，對于任意的，恒成立，試確定實數的取值范圍。
解析：（法一）任意的，恒成立等價于恒成立，也即恒成立，從而問題轉化為求在上的最小值，。所以實數的取值范圍。
（法二）任意的，恒成立等價于恒成立，等價于的圖象在上總是在的上方覆蓋，只需求出直線與曲線相切時的斜率即可。于是，問題進一步轉化成求過點（0，0）曲線的切線的斜率。容易求出此時，所以實數的取值范圍。
21．已知函數，當時，恒有，求m的取值范圍．
解:。當即時,當即時,.綜上得:或.
22．已知向量，向量．
（1）已知常數滿足≤≤2，求使不等式≥成立的的解集；
（2）求使不等式≥對于一切恒成立的實數取值集合．
解：∵，，∴
∴
（1）∵，
則∴恒成立．
∴∴所求的不等式的解集為 （2）∵，∴，當且僅當時等號成立，∴函數有最小值2．要使恒成立恒成立，所以．∴的取值集合為．
23. 知.（1）若,求的單調區間；
（2）若當時,恒有,求實數的取值范圍.
解：（1）
當,單調遞增區間和,單調遞減區間
（2）(i)當時,顯然成立;
(ii)當時,由,可得,
令,則有
.由單調遞增,可知.又是單調減函數,故,故所求的取值范圍是.
第一部分 集合與簡易邏輯與不等式（備用）[自測題]
1：答案：。解析：，。，。所以=。
2：解析：正確理解集合P和集合Q的意義,數集不是點集..
前者是指函數的值域，后者指函數的自變量的取值范圍。答案：（D）
3：在上存在的值，求的取值范圍。
錯解：，則。的取值范圍。
錯因分析：上述解法中把問題當成：“在上恒成立，求的取值范圍。”而本題僅僅是存在的值，能使得成立，，的取值范圍。
4： 集合，，若，則實數的值-1（0舍去）
5：函數的定義域是不是
6：
7. 命題“，有”的否定是 ．
8．④
9. 已知命題與命題
都是真命題,則實數
的取值范圍是
10. 已知函數f (x)= 在區間[－1，2 ]上函數值恒為非正數，那么b＋c最大值
解析：，兩式相加，得，。答案：有最大值－
11. 如果實數滿足不等式組，則的最小值為 .
答案：5。
12：正數滿足，則的最小值為______
（答：）；
13. 若函數()在上的最大值為,則的值為
14．已知復數，那么的最大值是
答案：。應用幾何意義：
15. 設集合A=，B=，若，求實數的范圍。
正確答案：。忽視B=
16．關于的方程的兩根滿足
，求的范圍
解；，，
可行域如圖AED，的幾何意義相當于點到AED內的任意連線的斜率，等價于點A、D在直線的兩側，解得。
17．若關于的不等式的解集為正實數集，則字母a的取值范圍。
解：，若該不等式的解集是，
則 即恒成立，。所以，
18．若存在a∈[1，3]，使得不等式ax2＋（a-2）x-2>0成立，則實數x的取值范圍．
解析：“存在”不同于“任意”， 存在a∈[1，3]，使得關于的一次不等式能夠成立，
或。
19．已知，的定義域是Q，若，求字母的取值范圍。
解：若，不等式在上不成立，即不等式在上恒立，分離參數，在上恒立。令，，則。
所以，字母的取值范圍。
20．已知函數。若，對于任意的，恒成立，試確定實數的取值范圍。
解析：（法一）任意的，恒成立等價于恒成立，也即恒成立，從而問題轉化為求在上的最小值，。所以實數的取值范圍。
（法二）任意的，恒成立等價于恒成立，等價于的圖象在上總是在的上方覆蓋，只需求出直線與曲線相切時的斜率即可。于是，問題進一步轉化成求過點（0，0）曲線的切線的斜率。容易求出此時，所以實數的取值范圍。
21．已知函數，當時，恒有，求m的取值范圍．
解:。當即時,當即時,.綜上得:或.
22．已知向量，向量．
（1）已知常數滿足≤≤2，求使不等式≥成立的的解集；
（2）求使不等式≥對于一切恒成立的實數取值集合．
解：∵，，∴
∴
（1）∵，
則∴恒成立．
∴∴所求的不等式的解集為 （2）∵，∴，當且僅當時等號成立，∴函數有最小值2．要使恒成立恒成立，所以．∴的取值集合為．
23. 知.（1）若,求的單調區間；
（2）若當時,恒有,求實數的取值范圍.
解：（1）
當,單調遞增區間和,單調遞減區間
（2）(i)當時,顯然成立;
(ii)當時,由,可得,
令,則有
.由單調遞增,可知.又是單調減函數,故,故所求的取值范圍是.

展開更多......

收起↑