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數 列
（江蘇省木瀆高級中學 王雪元）
1.（填空題）已知等差數列的前項和為某三角形三邊之比為，則該三角形最大角為 ____
分析與解答: 因為數列是等差數列, , ，，設三角形最大角為，由余弦定理，得，。
2.在等差數列中, ，其前項的和為,若,則.
分析與解答：設公差是，由，得，，
3．已知是等差數列的前n項和，且，有下列四個命題：⑴；⑵；
⑶；⑷ 數列中的最大項為，其中正確命題的序號是 _______________.
分析與解答：由，得，，，，所以⑴正確；又，所以（2）也正確；而，所以（3）不正確；由上知，數列中的最大項應為，所以（4）也不正確，所以正確命題的序號是（1），（2）。
4．已知數列是公差為1 的等差數列，數列的前100項的和等于100，則數列的前200項的和等于____________________.
分析與解答：由已知，得，，所以數列是以2為公比的等比數列，數列的前100項的和等于100，由定義得，數列的前200項的和等于。
5. 已知等比數列的首項為8，是其前n項和，某同學經計算得，，，后來該同學發現其中一個數算錯了，則算錯的那個數是__________，該數列的公比是________.
分析與解答：設等比數列的公比為，若計算正確，則有，但此時，與題設不符,故算錯的就是,此時, 由可得,且也正確.
6. 定義在R上的函數，對任意實數，都有和，且，記，則
分析與解答：由，得，又，，
又由得，由得，
，所以，從而有，。
7．數列{an}中，（t>0且t≠1）．是函數的一個極值點．
（1）證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；
（2）記，當t=2時，數列的前n項和為Sn，求使Sn>2008的n的最小值；
（3）當t=2時，是否存在指數函數g（x），使得對于任意的正整數n有成立？若存在，求出滿足條件的一個g（x）；若不存在，請說明理由．
分析：利用是函數的一個極值點求出與的關系式，從而加以證明第（1）問，而第（2）問的解決關鍵在于運用等比數列的求和公式，再利用函數的單調性得出n的最小值。第（3）問中先將拆項并求和，通過觀察與分析得出指數函數g（x）的表達式。
（1）．由題意，即
，∴，
∵且，∴數列是以為首項，t為公比的等比數列，
以上各式兩邊分別相加得，∴，
當時，上式也成立，∴
（2）當t=2時，


由，得，，
當，
因此n的最小值為1005．
（3）∵
令，則有：
則

即存在函數滿足條件．
說明：數列綜合題一般都以等差、等比數列為基礎，往往可以通過化歸將所求解的問題化為為等差與等比數列的有關問題來解；對于數列中的探索型問題，往往運用“特殊到一般”的歸納推理思想，必要時要能夠有依據的猜想，然后加以證明。
8、已知分別以和為公差的等差數列和滿足，．
（1）若=18，且存在正整數，使得，求證：；
（2）若，且數列，，…，，，，…，的前項和滿足，求數列和的通項公式；
（3）在（2）的條件下，令，，，且，問不等式≤ 是否對一切正整數恒成立？請說明理由．
分析：本題第（1）問中，先由得出與的關系式，然后運用基本不等式加以證明；第（2）問是利用條件求出兩個等差數列的公差求出來，然后寫出數列的通項公式。第（3）問利用指數函數的性質結合分類討論進行不等式的證明。
解答：（1）依題意，，
即，即；
等號成立的條件為，即 ，，等號不成立，原命題成立
（2）由得：，即：，
則，得 ，，，
則，；
（3）在（2）的條件下，，，
要使≤，即要滿足≤0，
當時，，數列單調減；單調增
當正整數時，，，；
當正整數時，，，；
當正整數時，，，，
則不等式≤對一切的正整數恒成立；
同理，當時，也有不等式≤對一切的正整數恒成立．
綜上所述，不等式≤對一切的正整數恒成立．
說明：本題以較新的角度考查數列與不等式問題，處理這類問題時，要充分利用條件，運用通性通法加以解決，必要時往往要結合函數的性質。

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