資源簡介

帶電粒子在復合場（重力場、電場）中的運動（解析版）
由于需要考慮重力，所以此類粒子一般包括帶電小球、液滴、油滴、塵埃等。
題型一：直線類運動
技巧總結
在勻強電場中，一個帶電小球能沿直線從A點運動到B點：
若小球做運動勻速直線運動，它們的合力需滿足什么要求？那么受力情況如何？
若小球做運動勻加速直線運動，它們的合力需滿足什么要求？那么受力情況如何？
若小球做運動勻減速直線運動，它們的合力需滿足什么要求？那么受力情況如何？
拓展延伸
此類問題常常和電容器結合，從而容易造成與帶電粒子偏轉問題混淆。
下面列舉幾個常見運動情況，帶電體能夠沿虛線從容器間穿出，情分析粒子的電性，并分析粒子的在做什么運動？
（1） （2）
（3） （4）
跟蹤訓練
1、如圖所示，在某一真空中，只有水平向右的勻強電場和豎直向下的重力場，在豎直平面內有初速度為的帶電微粒，微粒恰能沿圖示虛線由A向B做直線運動.那么( )
A.微粒帶正、負電荷都有可能 B.微粒做勻減速直線運動
C.微粒做勻速直線運動 D.微粒做勻加速直線運動
1、答案：B
解析：微粒做直線運動的條件是速度方向和合外力的方向在同一條直線上，只有微粒受到水平向左的電場力，則重力與電場力的合力的方向才能與速度方向相反且在同一條直線上，由此可知微粒所受的電場力的方向與場強方向相反，則微粒必帶負電，且運動過程中微粒做勻減速直線運動，故ACD錯誤，B正確。
故選：B。
2、（多選）如圖所示，豎直平行金屬板帶等量異種電荷（A板帶正電，B板帶負電），一帶電顆粒沿圖中直線從A向B運動，則下列說法中正確的是( )
A.顆粒可能帶正電 B.顆粒機械能減小
C.顆粒電勢能減小 D.顆粒動能減小
2、答案：BD
解析：帶電微粒在電場中受到重力和電場力兩個力作用，電場力在水平方向，由微粒做直線運動可知，電場力方向必定水平向左，則微粒帶負電，故A錯誤；電場力做負功，機械能減小，電勢能增加，故B正確，C錯誤；微粒的合力方向與速度方向相反，對微粒做負功，則其動能減小，故D正確；故選BD.
3、如圖所示，一帶電液滴在重力和勻強電場對它的作用力作用下，從靜止開始由b沿直線運動到d，且bd與豎直方向所夾的銳角為45°，則下列結論正確的是 ( )
A.此液滴可能帶正電 B.液滴一定做勻加速直線運動
C.液滴的動能不變 D.液滴在d點的電勢能大于在b點的電勢能
3、答案：B
解析：A.據題帶電液滴沿直線從b運動到d，帶電液滴所受重力與電場力的合力一定與其運動方向在同一直線上，對液滴進行受力分析，其受力情況如圖所示
則電場力方向一定水平向右，與場強方向相反，所以該液滴帶負電。故A錯誤；
B.由于液滴受重力和電場力均為恒力，故合外力不變，加速度不變，液滴一定做勻加速直線運動，故B正確；
C.由于液滴從靜止開始做加速運動，故合力的方向與運動的方向相同，故合外力對物體做正功，液滴的動能增大，故C錯誤；
D.由于電場力所做的功，故電場力對液滴做正功，故液滴的電勢能減小，液滴在d點的電勢能小于在b點的電勢能，故D錯誤。
故選B。
題型二：圓周類運動
技巧總結
重力場
小球所受合力大小和方向
小球靜止時所處的位置
小球在什么位置速度最大？什么位置速度最小？
小球做圓周運動的向心力來源？
寫出小球在速度最大時的動力學方程
寫出小球在速度最小時的動力學方程
帶正點小球 重力場和電場平行
小球所受合力大小和方向
小球靜止時所處的位置
小球在什么位置速度最大？什么位置速度最小？
小球做圓周運動的向心力來源？
寫出小球在速度最大時的動力學方程
寫出小球在速度最小時的動力學方程
帶正點小球 重力場與電場垂直
小球所受合力大小和方向
小球靜止時所處的位置
小球在什么位置速度最大？什么位置速度最小？
小球做圓周運動的向心力來源？
寫出小球在速度最大時的動力學方程
寫出小球在速度最小時的動力學方程
跟蹤訓練
1.如圖：質量為m,帶電量為+q的小球在光滑絕緣的軌道內做圓周運動，勻強電場場強方向向左。回答下列問題：
（1）若沒有電場力則小球在什么位置速度最大？什么位置速度最小？
（2）若沒有重力，僅受電場力，則小球在什么位置速度最大？什么位置速度最小？
（3）若重力與電場力的合力方向沿OD方向，則小球在什么位置速度最大？
答案：（1）C A (2)左側 右側 （3）D
2、在水平向右、場強為E的勻強電場中，有一質量為m、帶正電的小球，用長為L的絕緣細線懸掛于O點，當小球靜止時，細線與豎直方向夾角為θ，小球位于B點，如圖所示，現給小球一個垂直于懸線的初速度，小球恰能在豎直平面內做圓周運動，求：
（1）小球的電荷量q；
（2）小球在做圓周運動的過程中，速度最小值；
（3）小球在做圓周運動的過程中，速度最大值。
2、（1）答案：
解析：當小球靜止時，細線與豎直方向夾角為θ，小球位于B點，則
解得
（2）答案：
解析：小球恰好做圓周運動，在平衡位置的反方向上的圓周位置上速度最小，如圖所示的A點
由牛頓第二定律得
解得小球的最小速度為
（3）答案：
解析：小球在A點時速度最小，拉力最小為零，當在B點時拉力最大，由動能定理可得
解得
3、一長為L的細線一端固定于O點，另一端拴一質量為m、帶電荷量為的小球，處于如圖所示的水平向右的勻強電場中。開始時，將細線與小球拉成水平伸直狀態，小球靜止在A點，釋放后小球由靜止開始向下擺動，當細線轉動到O點左側且與豎直方向夾角時，小球速度恰好為零，重力加速度大小為g，求：
（1）勻強電場的電場強度大小E；
（2）小球運動過程中的最大速度；
（3）若想讓小球做完整的圓周運動，則小球在A點釋放瞬間至少要獲得多大的豎直向下的初速度。
3、答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）根據題意，從初始位置到B點，有
解得
如下圖所示，從圓心作一條重力與電場力合力方向的有向線段，交AB圓弧于C點，則C點為等效最低點；當小球運動到等效最低點C時，速度達到最大，且當小球位于等效最低點時，繩與水平方向的夾角為60°，
從初始位置到等效最低點C，根據動能定理得
解得
（3）若讓小球恰能做完整的圓周運動，即小球恰好能通過等效最高點D，
有由圖可知，重力與電場力的合力為
在等效最高點，根據牛頓第二定律
從初始位置到D，根據動能定理得
聯立解得
4．如圖所示，位于豎直平面內的光滑絕緣的圓形軌道，處于豎直向下，場強大小為 的勻強電場中。有一質量為0.12kg、帶負電的小球（可視為質點），電荷量大小為，小球在圓軌道內壁做圓周運動，當小球運動到最低點M時，速度大小為6m/s，與軌道壓力恰好為零，重力加速度g取，求：
(1)光滑絕緣圓形軌道的半徑；
(2)小球運動到最高點N時對軌道的壓力大小與其重力大小的比值。
4．答案：(1)1.2m；(2)18
解析：(1)小球重力
小球受到的電場力
在M點，有
代入數據解得軌道的半徑
(2)設小球在N點的速度大小為，從M到N，由動能定理有
在N點，設軌道對小球彈力為，則有
由牛頓第三定律有
代入數據解得
故小球運動到最高點N時對軌道的壓力大小與其重力大小的比值為
鞏固練習題
一、選擇題
1、真空中某豎直平面內存在一水平向右的勻強電場，一質量為m的帶電微粒恰好能沿圖示虛線(與水平方向成θ角)由A向B做直線運動，已知重力加速度為g，微粒的初速度為，則( )
A．微粒一定帶正電 B．微粒一定做勻速直線運動
C．可求出勻強電場的電場強度 D．可求出微粒運動的加速度
1、答案：D
解析：因微粒在重力和電場力作用下做直線運動，而重力豎直向下，由微粒做直線運動條件知電場力必水平向左，微粒帶負電，A錯誤；其合外力必與速度反向，大小為，即微粒一定做勻減速直線運動，加速度為，B錯誤，D正確；電場力，但不知微粒的電荷量，所以無法求出其電場強度，C錯誤。
2、如圖，真空中只有水平向右的勻強電場和豎直向下的重力場，在豎直平面內有初速度為的帶電微粒，恰能沿圖示虛線由A向B做直線運動。那么( )
A.微粒帶正電荷
B.微粒一定做勻減速直線運動
C.僅改變初速度的方向微粒仍做直線運動
D.運動中微粒的電勢能保持不變
2、答案：B
解析：微粒做直線運動的條件是速度方向和合外力的方向在同一條直線上，只有微粒受到水平向左的靜電力才能使得合力方向與速度方向在同一條直線上且相反，由此可知微粒所受的靜電力的方向與場強方向相反，則微粒必帶負電，且運動過程中微粒做勻減速直線運動，故A錯誤，B正確；僅改變初速度的方向微粒所受合力方向不變，則微粒做曲線運動，C錯誤；運動中靜電力做負功，則微粒的電勢能增加，D錯誤。
3、（多選）如圖，平行板電容器的兩個極板與水平地面成一角度，兩極板與一直流電源相連。若一帶電粒子恰能沿圖中所示水平直線通過電容器，則在此過程中，該粒子( )
A．電勢能逐漸增加 B．所受重力與電場力平衡
C．動能逐漸增加 D．做勻變速直線運動
3、答案：AD
解析：BD、帶電粒子在電場中受到電場力與重力，根據題意可知，粒子做直線運動，力和速度一定在同一直線上，則可知，電場力必定垂直極板向上，電場力與重力的合力必定與速度方向反向，粒子做勻減速直線運動，故B錯誤，D正確；
A.電場力垂直于極板向上，電場力做負功，則電勢能增加，故A正確；
C.因重力不做功，電場力做負功，則電勢能增加，導致動能減小，故C錯誤。
故選：AD。
4、（多選）如圖所示，水平放置的平行金屬板充電后板間形成勻強電場，板間距離為d，一個帶負電的液滴帶電量大小為q，質量為m，從下板邊緣射入電場，沿直線從上板邊緣射出，則（ ）
A．液滴做的是勻速直線運動 B．液滴做的是勻減直線運動
C．兩板的電勢差為mgd/q D．液滴的電勢能減少了mgd
4、答案：ACD
二、解答題
5、如圖所示，在豎直平面內固定的圓形絕緣軌道的圓心為、半徑為r、內壁光滑，兩點分別是圓軌道的最低點和最高點。該區間存在方向水平向右的勻強電場，一質量為的帶電小球(可視為質點)恰好能靜止在點。若在點給小球一個初速度使它在軌道內側恰好能做完整的圓周運動（小球的電荷量不變）。已知在同一直線上，它們的連線與豎直方向的夾角，重力加速度為g。求：
(1)小球所受的電場力的大小；
(2)小球做圓周運動，在點的速度大小及在點對軌道壓力的大小。
5、答案：(1)
(2)
解析：(1)小球在C點靜止，受力如圖所示
由平衡條件得①
解得：②
(2)小球在軌道內側恰好做完整的圓周運動，在D點小球速度最小，對軌道的壓力為零，則③
解得小球在D點的速度④
小球由軌道上A點運動到D點的過程，根據動能定理得⑤
解得小球在A點的速度⑥
小球在A點，根據牛頓第二定律得：⑦
解得：⑧
根據牛頓第三定律得：小球對軌道的壓力大小為
6、如圖所示，半徑的絕緣光滑圓弧軌道豎直放置，在A點右側空間存在水平向右大小為的電場，質量為、帶電荷量為的小球從點以4m/s初速度做平拋運動，恰好與圓弧軌道A點相切進入，已知A與圓心連線與豎直方向夾角。不考慮邊緣電場的影響，不計空氣阻力，試回答以下問題（，，重力加速度取）
（1）求小球拋出點位置相對A點的水平距離；
（2）求小球在圓弧軌道上運動的最大速度，及此時小球對軌道的壓力。
6、答案：（1）1.2m（2），25N
解析：（1）設小球從點到A點的時間為t，有
解得
小球拋出點位置相對A點的水平距離
（2）小球運動到A點的速度為
小球在電場中所受電場力為
電場力與重力的合力為
則合力方向與速度方向平行，如圖所示
則小球運動到B點時速度最大，由動能定理可得
解得
此時小球對軌道的壓力為
7．一長為l的絕緣細線，上端固定，下端拴一質量為m、電荷量為q的帶正電的小球，處于如圖所示水平向右的勻強電場中。先將小球拉至A點，使細線水平。然后釋放小球，當細線與水平方向夾角為時，小球到達B點，且速度恰好為零，重力加速度為g，求：
（1）勻強電場A、B兩點間的電勢差的大小；
（2）小球速度最大時細線拉力的大小。

7、答案：（1）；（2）
解析：（1）由小球由A點到B點過程，根據動能定理得
可得電勢差
（2）勻強電場強度的大小為
可得
小球所受的重力與電場力合力大小為
由對稱性得小球由A點到B點過程在與水平方向夾角為時速度最大，此時合力的方向恰好沿著繩子延長線方向，設此時速度為v，根據動能定理得
可得最大速度
根據牛頓第二定律得
得速度最大時細線拉力大小
8、如圖所示，在的豎直勻強電場中，有一光滑半圓形絕緣軌道與一水平絕緣軌道在N點平滑相接，半圓形軌道平面與電場線平行，其半徑為半圓形軌道最低點，P為圓弧的中點，一電荷量為的帶負電小滑塊的質量，與水平軌道間的動摩擦因數，位于N點右側1.5 m的M處，求:
（1）要使小滑塊恰能運動到半圓形軌道的最高點Q，則小滑塊應以多大的初速度向左運動？
（2）這樣運動的小滑塊通過P點時對軌道的壓力是多大？
8、答案：（1）（2）（3）0.6N
解析：（1）設小滑塊恰能到達Q點時速度為v由牛頓第二定律得
小滑塊從開始運動至到達Q點過程中，由動能定理得
聯立解得
（2）設小滑塊到達P點時速度為，則從開始運動至到達P點過程中，由動能定理得
在P點時，由牛頓第二定律得
聯立解得由牛頓第三定律得，小滑塊通過P點時對軌道的壓力。
9、如圖所示，豎直向下的電場強度大小為E的勻強電場中有一個絕緣的光滑豎直圓軌道ABC。一個質量為m，帶電荷量為的小球以某一初速度從P點水平拋出，恰好從A點沿切線方向進入圓軌道。已知圓軌道的圓心是O，半徑為R，BC為圓的豎直直徑，為θ，小球到達A點時的速度大小為，重力加速度為g。求：
（1）小球做平拋運動的初速度；
（2）小球在B點時對軌道的壓力；
（3）小球從P點到B點過程中電勢能的變化量。
9、答案：（1）（2）見解析（3）見解析
解析：（1）小球恰從A點無碰撞地進入圓軌道，說明小球在A點的速度與水平方向的夾角為θ，即有
（2）小球從A點到B點，由動能定理有
小球在B點時，由牛頓第二定律有
解得
由牛頓第三定律知，小球在B點時對軌道的壓力大小為
方向豎直向下。
（3）設小球的拋出點P到A點的高度差為h，則由動能定理有
解得
則小球從P點到B點過程中，電場力做功為
電勢能的變化量帶電粒子在復合場（重力場、電場）中的運動（解析版）
由于需要考慮重力，所以此類粒子一般包括帶電小球、液滴、油滴、塵埃等。
題型一：直線類運動
技巧總結
在勻強電場中，一個帶電小球能沿直線從A點運動到B點：
若小球做運動勻速直線運動，它們的合力需滿足什么要求？那么受力情況如何？
若小球做運動勻加速直線運動，它們的合力需滿足什么要求？那么受力情況如何？
若小球做運動勻減速直線運動，它們的合力需滿足什么要求？那么受力情況如何？
拓展延伸
此類問題常常和電容器結合，從而容易造成與帶電粒子偏轉問題混淆。
下面列舉幾個常見運動情況，帶電體能夠沿虛線從容器間穿出，情分析粒子的電性，并分析粒子的在做什么運動？
（1） （2）
（3） （4）
跟蹤訓練
1、如圖所示，在某一真空中，只有水平向右的勻強電場和豎直向下的重力場，在豎直平面內有初速度為的帶電微粒，微粒恰能沿圖示虛線由A向B做直線運動.那么( )
A.微粒帶正、負電荷都有可能 B.微粒做勻減速直線運動
C.微粒做勻速直線運動 D.微粒做勻加速直線運動
2、（多選）如圖所示，豎直平行金屬板帶等量異種電荷（A板帶正電，B板帶負電），一帶電顆粒沿圖中直線從A向B運動，則下列說法中正確的是( )
A.顆粒可能帶正電 B.顆粒機械能減小
C.顆粒電勢能減小 D.顆粒動能減小
3、如圖所示，一帶電液滴在重力和勻強電場對它的作用力作用下，從靜止開始由b沿直線運動到d，且bd與豎直方向所夾的銳角為45°，則下列結論正確的是 ( )
A.此液滴可能帶正電 B.液滴一定做勻加速直線運動
C.液滴的動能不變 D.液滴在d點的電勢能大于在b點的電勢能
題型二：圓周類運動
技巧總結
重力場
小球所受合力大小和方向
小球靜止時所處的位置
小球在什么位置速度最大？什么位置速度最小？
小球做圓周運動的向心力來源？
寫出小球在速度最大時的動力學方程
寫出小球在速度最小時的動力學方程
帶正點小球 重力場和電場平行
小球所受合力大小和方向
小球靜止時所處的位置
小球在什么位置速度最大？什么位置速度最小？
小球做圓周運動的向心力來源？
寫出小球在速度最大時的動力學方程
寫出小球在速度最小時的動力學方程
帶正點小球 重力場與電場垂直
小球所受合力大小和方向
小球靜止時所處的位置
小球在什么位置速度最大？什么位置速度最小？
小球做圓周運動的向心力來源？
寫出小球在速度最大時的動力學方程
寫出小球在速度最小時的動力學方程
跟蹤訓練
1.如圖：質量為m,帶電量為+q的小球在光滑絕緣的軌道內做圓周運動，勻強電場場強方向向左。回答下列問題：
（1）若沒有電場力則小球在什么位置速度最大？什么位置速度最小？
（2）若沒有重力，僅受電場力，則小球在什么位置速度最大？什么位置速度最小？
（3）若重力與電場力的合力方向沿OD方向，則小球在什么位置速度最大？
2、在水平向右、場強為E的勻強電場中，有一質量為m、帶正電的小球，用長為L的絕緣細線懸掛于O點，當小球靜止時，細線與豎直方向夾角為θ，小球位于B點，如圖所示，現給小球一個垂直于懸線的初速度，小球恰能在豎直平面內做圓周運動，求：
（1）小球的電荷量q；
（2）小球在做圓周運動的過程中，速度最小值；
（3）小球在做圓周運動的過程中，速度最大值。
3、一長為L的細線一端固定于O點，另一端拴一質量為m、帶電荷量為的小球，處于如圖所示的水平向右的勻強電場中。開始時，將細線與小球拉成水平伸直狀態，小球靜止在A點，釋放后小球由靜止開始向下擺動，當細線轉動到O點左側且與豎直方向夾角時，小球速度恰好為零，重力加速度大小為g，求：
（1）勻強電場的電場強度大小E；
（2）小球運動過程中的最大速度；
（3）若想讓小球做完整的圓周運動，則小球在A點釋放瞬間至少要獲得多大的豎直向下的初速度。
4．如圖所示，位于豎直平面內的光滑絕緣的圓形軌道，處于豎直向下，場強大小為 的勻強電場中。有一質量為0.12kg、帶負電的小球（可視為質點），電荷量大小為，小球在圓軌道內壁做圓周運動，當小球運動到最低點M時，速度大小為6m/s，與軌道壓力恰好為零，重力加速度g取，求：
(1)光滑絕緣圓形軌道的半徑；
(2)小球運動到最高點N時對軌道的壓力大小與其重力大小的比值。
鞏固練習題
一、選擇題
1、真空中某豎直平面內存在一水平向右的勻強電場，一質量為m的帶電微粒恰好能沿圖示虛線(與水平方向成θ角)由A向B做直線運動，已知重力加速度為g，微粒的初速度為，則( )
A．微粒一定帶正電 B．微粒一定做勻速直線運動
C．可求出勻強電場的電場強度 D．可求出微粒運動的加速度
2、如圖，真空中只有水平向右的勻強電場和豎直向下的重力場，在豎直平面內有初速度為的帶電微粒，恰能沿圖示虛線由A向B做直線運動。那么( )
A.微粒帶正電荷
B.微粒一定做勻減速直線運動
C.僅改變初速度的方向微粒仍做直線運動
D.運動中微粒的電勢能保持不變
3、（多選）如圖，平行板電容器的兩個極板與水平地面成一角度，兩極板與一直流電源相連。若一帶電粒子恰能沿圖中所示水平直線通過電容器，則在此過程中，該粒子( )
A．電勢能逐漸增加 B．所受重力與電場力平衡
C．動能逐漸增加 D．做勻變速直線運動
4、（多選）如圖所示，水平放置的平行金屬板充電后板間形成勻強電場，板間距離為d，一個帶負電的液滴帶電量大小為q，質量為m，從下板邊緣射入電場，沿直線從上板邊緣射出，則（ ）
A．液滴做的是勻速直線運動 B．液滴做的是勻減直線運動
C．兩板的電勢差為mgd/q D．液滴的電勢能減少了mgd
二、解答題
5、如圖所示，在豎直平面內固定的圓形絕緣軌道的圓心為、半徑為r、內壁光滑，兩點分別是圓軌道的最低點和最高點。該區間存在方向水平向右的勻強電場，一質量為的帶電小球(可視為質點)恰好能靜止在點。若在點給小球一個初速度使它在軌道內側恰好能做完整的圓周運動（小球的電荷量不變）。已知在同一直線上，它們的連線與豎直方向的夾角，重力加速度為g。求：
(1)小球所受的電場力的大小；
(2)小球做圓周運動，在點的速度大小及在點對軌道壓力的大小。
6、如圖所示，半徑的絕緣光滑圓弧軌道豎直放置，在A點右側空間存在水平向右大小為的電場，質量為、帶電荷量為的小球從點以4m/s初速度做平拋運動，恰好與圓弧軌道A點相切進入，已知A與圓心連線與豎直方向夾角。不考慮邊緣電場的影響，不計空氣阻力，試回答以下問題（，，重力加速度取）
（1）求小球拋出點位置相對A點的水平距離；
（2）求小球在圓弧軌道上運動的最大速度，及此時小球對軌道的壓力。
7．一長為l的絕緣細線，上端固定，下端拴一質量為m、電荷量為q的帶正電的小球，處于如圖所示水平向右的勻強電場中。先將小球拉至A點，使細線水平。然后釋放小球，當細線與水平方向夾角為時，小球到達B點，且速度恰好為零，重力加速度為g，求：
（1）勻強電場A、B兩點間的電勢差的大小；
（2）小球速度最大時細線拉力的大小。

8、如圖所示，在的豎直勻強電場中，有一光滑半圓形絕緣軌道與一水平絕緣軌道在N點平滑相接，半圓形軌道平面與電場線平行，其半徑為半圓形軌道最低點，P為圓弧的中點，一電荷量為的帶負電小滑塊的質量，與水平軌道間的動摩擦因數，位于N點右側1.5 m的M處，求:
（1）要使小滑塊恰能運動到半圓形軌道的最高點Q，則小滑塊應以多大的初速度向左運動？
（2）這樣運動的小滑塊通過P點時對軌道的壓力是多大？
9、如圖所示，豎直向下的電場強度大小為E的勻強電場中有一個絕緣的光滑豎直圓軌道ABC。一個質量為m，帶電荷量為的小球以某一初速度從P點水平拋出，恰好從A點沿切線方向進入圓軌道。已知圓軌道的圓心是O，半徑為R，BC為圓的豎直直徑，為θ，小球到達A點時的速度大小為，重力加速度為g。求：
（1）小球做平拋運動的初速度；
（2）小球在B點時對軌道的壓力；
（3）小球從P點到B點過程中電勢能的變化量。

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