資源簡介

1.在△ABC中,AB=AC,D、E分別是AB、AC的中點,則（ ）?
?A. 與共線 ?B. 與共線?
?C. 與相等 D. 與相等
2.下列命題正確的是（ ）?
A.向量與是兩平行向量? ?
B.若a、b都是單位向量,則a=b?
C.若=,則A、B、C、D四點構成平行四邊形?
?D.兩向量相等的充要條件是它們的始點、終點相同
3.在下列結論中,正確的結論為（ ）?
(1)a∥b且|a|=|b|是a=b的必要不充分條件?
(2)a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要條件?
(3)a與b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要條件?
(4)a與b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要條件??
?A.(1)(3) B.(2)(4) C.(3)(4) D.(1)(3)(4)??
4.把平行于某一直線的一切向量歸結到共同的始點,則終點所構成的圖形是 ;若這些向量為單位向量,則終點構成的圖形是 .?
5.已知||=1,| |=2,若∠BAC=60°,則||= .?
6.在四邊形ABCD中, =,且||=||,則四邊形ABCD是 .?
7.設在平面上給定了一個四邊形ABCD,點K、L、M、N分別是AB、BC、CD、DA的中點,
求證： =.??
8.某人從A點出發向西走了200m到達B點,然后改變方向向西偏北60°走了450m到達C
點,最后又改變方向,向東走了200m到達D點.?
(1)作出向量、、 (1 cm表示200 m)?.?
(2)求的模.????????
9.如圖5—2,已知四邊形ABCD是矩形,設點集M={A、B、C、D},求集合T={、Q∈M,且P、Q不重合}.???
參考答案：
1.B 2.A 3.D 4.一條直線兩點?5. 6.菱形 7.(略)?
8.(1)如圖所示?
(2)450 m?
9.{、、、、、、、}?
向量相關練習
1．有以下物理量：①質量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功，其中不能稱為向量的有（ ）
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
分析：確定一個量是不是向量，就是看它是否同時具備向量的兩個要素：大小和方向.由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向確定的，所以是向量，而質量、路程、密度、功只有大小而沒有方向，不能稱為向量.
2．討論以下問題（ ）
(1)平行向量是否一定方向相同？
(2)共線向量是否一定相等？
(3)起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是不是相等的向量？
(4)不相等的向量，則一定不平行
(5)非零向量的單位向量惟一
分析：（1）否，還可以方向相反；
（2）否，共線向量僅方向相同或相反，大小不一定相等；
（3）是，因為向量與起點位置無關；
（4）不對，因為a、b方向相同，但只要|a|≠|b|，則a≠b；
（5）否，任一非零向量a的單位向量為
3．為什么說平行向量就是共線向量？試說出共線向量a、b的四種不同情況.
分析：向量的共線與幾何中“共線”的含義不同，向量的共線可以是不重合的，平行向量也稱共線向量.
解：因為向量可以平行移動，兩個平行向量通過平移可以使之成為在同一條直線上的兩個向量，即共線向量.
共線向量a、b可有以下四種不同的情況：
（1）方向相同且模相等；（2）方向相同但模不等；（3）方向相反且模相等；（4）方向相反但模不等.
4．兩個長度相等的向量在什么情況下才一定相等？
分析：向量有兩個要素：一是大小，二是方向，兩個向量只有當它們的模相等，同時方向相同時，才稱為相等的向量.即a=b就意味著|a|=|b|且a和b的方向相同.零向量與零向量相等.
解：兩個長度相等的向量只有在它們的方向相同或兩個向量的長度都為零時，才是相等的向量.
1.下列各量中不是向量的是（ ）?
A.浮力? B.風速? ?C.位移 ?D.密度?
2.下列說法中錯誤的是（ ）
A.零向量是沒有方向的? ?B.零向量的長度為0?
C.零向量與任一向量平行? ?D.零向量的方向是任意的?
3.把平面上一切單位向量的始點放在同一點,那么這些向量的終點所構成的圖形是（ ）
A.一條線段? B.一段圓弧?
C.圓上一群孤立點? D.一個單位圓?
4.“兩個向量共線”是“這兩個向量方向相反”的 條件.?
5.已知非零向量a∥b,若非零向量c∥a,則c與b必定 .
6.已知a、b是兩非零向量,且a與b不共線,若非零向量c與a共線,則c與b必定 .
參考答案：1.D 2.A 3.D 4.必要非充分 5.c∥b 6.不共線?
相關練習
1．已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4，那么cosC的值為（ ）
A．－ B． C．－ D．
分析：先用正弦定理：可求出a∶b∶c=3∶2∶4，
所以可設a=3k,b=2k,c=4k,再用余弦定理：
即
答案：A
2．一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15°相距20里處，隨后貨輪按北偏西30°的方向航行，半小時后，又測得燈塔在貨輪的北偏東45°，求貨輪的速度.
分析：先畫圖，再利用正弦定理求解.
解：如圖所示，∠SMN=15°+30°=45°
∠SNM=180°－45°－30°=105°
∴∠NSM=180°－45°－105°=30°
答：貨輪的速度為里/小時.
3．△ABC中，a+b=10，而cosC是方程2x2－3x－2=0的一個根，求△ABC周長的最小值.
分析：由余弦定理可得，然后運用函數思想加以處理.
解：
又∵cosC是方程2x2－3x－2=0的一個根.
由余弦定理可得
則
當a=5時，c最小且c=
∴△ABC周長的最小值為.
4．在湖面上高h米處，測得云的仰角為α,而湖中云之影（即云在湖中的像）的俯角為β，試證：云高為米.
分析：因湖而相當于一平面鏡，故云C與它在湖中之影D關于湖面對稱，設云高為x=CM，則從△ADE，可建立含x的方程，解出x即可.
解：如圖所示，設湖面上高h米處為A，測得云的仰角為α，而C在湖中的像D的俯角為β，CD與湖面交于M，過A的水平線交CD于E，設云高CM=x.
則CE=x－h，DE=x+h

5．在某定點A測得一船初始位置B在A的北偏西α1處，十分鐘后船在A正北，又過十分鐘后船到達A的北偏東α2處.若船的航向與程度都不變，船向為北偏東θ，求θ的大小.(α1＞α2)
分析：根據題意畫示意圖，將求航向問題轉化為解三角形求角問題.
解：如圖所示，在△ABC中，由正弦定理可得：
①
在△ACD中，由正弦定理可得：
②
根據題意，有BC=CD
∴由①、②得：
即
（α1＞α2）
相關高考真題
在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，設a+c=2b,A－C=,求sinB的值.
（1998年全國高考題）
解：∵a+c=2b,∴sinA+sinC=2sinB
由和差化積公式得
1.某人朝正東方向走x km后，向右轉150°，然后朝新方向走3km，結果他離出發點恰
好km，那么x的值為?
?A. B.2 ?C.2或 ?D.3
? 2.在200米高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°、60°，則塔高為（ ）
?A.米? B.米 C.200米? D.200米
? 3.如圖5—22，為了測量障礙物兩測A、B間的距離，給定下列四組數據，測量時應當用數據
?A.α、A、B? B.α、β、A? ?C.A、B、γ? D.α、β、B
? 4.如圖5—23，為了測定河的寬度，在一岸邊選定兩點A、B，望對岸標記物C，測得
∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m，則河的寬度為 .? 5.如圖5—24，在山腳A測得山頂P的仰角為α，沿傾斜角為β的斜坡向上走A米到B，
又測得山頂P的仰角為γ，則山高為 .?
6.我艦在敵島A南50°西相距12nmile?的B處，發現敵艦正由島沿北10°西的方向
以10nmile/h的速度航行，我艦要用2小時追上敵艦，則需要速度的大小為 .
7.如圖5—25，河塘兩側有兩物A、B，不能直接量得它們間的距離，但可以測算出它們的距離，為此，在河塘邊選取C、D兩點，并測得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=
90°,CD=80米，試求A、B兩物間的距離（精確到0.1米）.? 8.甲船在A處，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B處，乙船以10海里/小時的速度
向正北方向行駛，而甲船同時以8海里/小時的速度由A處向北偏西60°方向行駛，問經過多少小時后，甲、乙兩船相距最近？????????
9.圖5—26是曲柄連桿裝示意圖，連桿AC=l，曲柄AB=r，曲柄AB和曲軸BL所成的角為α.?
（1）求連桿AC和曲軸BL間的夾角β的正弦.?
（2）當α取什么值時，β最大？?
（3）求滑塊C的位移x.??
參考答案：1.C 2.A 3.C 4. 60m
5.米?
6.14nmile/h 7.258.8米? 8.小時?
9.(1) (2)90° (3)r(1-cosα)+l(1-cosβ)?
1.從A處望B處的仰角為α,從B處望A處的俯角為β,則α、β的關系為（ ）?
?A.α＞β ?B.α=β ?C.α+β=90° ?D.α+β=180°
? 2.海上有A、B兩個小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B、C間的距離是?
?A.10海里 B.海里?
?C.5海里? D.5海里
? 3.一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續航行半小時后，看見一燈塔在船的南60°西，另一燈塔在船的南75°西，則這只船的速
度是每小時?
A.5海里? B.5海里? ?C.10海里? D.10海里
? 4.一樹干被臺風吹斷折成與地面成30°角，樹干底部與樹尖著地處相距20米，則樹干原來的高度為 .?
5.甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂的仰角為60°，從甲樓頂望乙樓頂的俯角為30°，則甲、乙兩樓的高分別是 .?
6.某艦艇在A處測得遇險漁船在北偏東45°距離為10海里的C處，此時得知，該漁船沿北偏東105°方向，以每小時9海里的速度向一小島靠近，艦艇時速21海里，則艦艇到達漁船的最短時間是 .?
參考答案：1.B 2.D 3.C 4.20米?
5.20米，米? 6.小時?
平面向量檢測題
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共6O分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.?
1.a與b是非零向量，下列結論正確的是( )?
A．｜a｜＋｜b｜＝｜a＋b｜?
B．｜a｜－｜b｜＝｜a－b｜?
C．｜a｜＋｜b｜＞｜a＋b｜?
D．｜a｜＋｜b｜≥｜a＋b｜?
解：在三角形中，兩邊之和大于第三邊，當a與b同向時，取“＝”號.?
答案：D?
2.在四邊形ABCD中，＝，且｜｜＝｜｜，那么四邊形ABCD為( )?
A．平行四邊形 B．菱形?
C．長方形 D．正方形?
解：由＝可得四邊形ABCD是平行四邊形，由｜｜＝｜｜得四邊形ABCD的一組鄰邊相等，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.?
答案：B?
3.已知?ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別為（－2，1）、（3，4）、（－1，3），則第四個頂點D的坐標為( )?
A．（2，2） B．（－6，O）?
C．（4，6） D．（－4，2）?
解：設D（x，y），則＝（5，3），＝（－1－x，3－y），＝（x＋2，y－1），＝（－4，－1）.?
又∵∥，∥，
∴5（3－y）＋3（1＋x）＝O，?
－（x＋2）＋4（y－1）＝O，?
解得x＝－6，y＝O.?
答案：B?
4.有下列命題：①＋＋＝O；②（a＋b）·c＝a·c＋b·c；③若a＝（ｍ，4），則｜a｜＝的充要條件是ｍ＝；④若的起點為A(2，1)，終點為B(－2，4)，則與x軸正向所夾角的余弦值是.其中正確命題的序號是( )?
A．①② B．②③?
C．②④ D．③④?
解：∵＋＋＝2，∴①錯.?
②是數量積的分配律，正確.?
當ｍ＝－時，｜a｜也等于，∴③錯.?
在④中，＝（4，－3）與x軸正向夾角的余弦值是，故④正確.?
答案：C?
5.已知a＝（－2，5），｜b｜＝2｜a｜，若b與a反向，則b等于( )?
A．(－1，) B．（1，－）?
C．（－4，1O） D．（4，－1O）?
解：b＝－2a＝（4，－1O），選D.?
答案：D?
6.已知｜a｜＝8，e是單位向量，當它們之間的夾角為時，a在e方向上的投影為( )?
A．4 B．4?
C．4 D．8＋2
解：由兩個向量數量積的幾何意義可知：a在e方向上的投影即：?
a·e＝｜a｜｜e｜cos＝8×1×＝4.?
答案：B?
7.若｜a｜＝｜b｜＝1，a⊥b且2a＋3b與ｋa－4b也互相垂直，則ｋ的值為( )?
A．－6 B．6? C．3 D．－3?
解：∵a⊥b?
∴a·b＝O?
又∵（2a＋3b）⊥（ｋa－4b）
∴（2a＋3b）·（ｋa－4b）＝O?
得2ｋa2－12b2＝O?
解得ｋ＝6.?
答案：B?
8.已知a＝（3，4），b⊥a，且b的起點為（1，2），終點為(x，3x)，則b等于( )?
A．（－，） B．（－，）?
C．（－，） D．（，）?
解：b＝（x－1，3x－2）?
∵a⊥b?
∴a·b＝O?
即3（x－1）＋4（3x－2）＝O，?
解得x＝.
答案：C?
9.等邊△ABC的邊長為1，＝a，＝b，＝c，那么a·b＋b·c＋c·a等于( )?
A．O B．1
C．－ D．－
解：由已知｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，?
∴a·b＋b·c＋c·a
＝cos12O°＋cos12O°＋cos12O°＝－.
答案：D?
1O.把函數y＝的圖象按a＝（－1，2）平移到F′，則F′的函數解析式為( )?
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
解：把函數y＝的圖象按a＝（－1，2）平移到Ｆ′，則Ｆ′的函數解析式為A，即按圖象向左平移1個單位，用(x＋1)換掉x，再把圖象向上平移2個單位，用（y－2）換掉y，可得y－2＝.
整理得y＝
答案：A?
11.已知向量e1、e2不共線，a＝ｋe1＋e2，b＝e1＋ｋe2，若a與b共線，則ｋ等于( )?
A．±1 B．1?
C．－1 D．O?
解：∵a與b共線?
∴a＝λb（λ∈Ｒ），
即ｋe1＋e2＝λ（e1＋ｋe2），?
∴（ｋ－λ)e1＋（1－λｋ）e2＝O?
∵e1、e2不共線?
∴
解得ｋ＝±1，故選A.?
答案：A?
12.已知a、b均為非零向量，則｜a＋b｜＝｜a－b｜是a⊥b的( )?
A．充分非必要條件?
B．必要非充分條件?
C．充要條件?
D．非充分非必要條件?
解：｜a＋b｜＝｜a－b｜?
（a＋b）2＝（a－b）2?
a·b＝O?
a⊥b.?
答案：C?
二、填空題：本大題共4小題；每小題4分，共16分.把答案寫在題中的橫線上.?
13.如圖，M、N是△ABC的一邊BC上的兩個三等分點，＝a，＝b，則＝ .
解：＝－＝b－a，?
∴＝＝（b－a）.?
答案：（b-a）
14.a、b、a－b的數值分別為2，3，，則a與b的夾角為 .?
解：∵（a－b）2＝7
∴a2－2a·b＋b2＝7
∴a·b＝3?
∴cosθ＝
∴θ＝.
答案：
15.把函數y＝－2x2，的圖象按a平移，得到y＝－2x2－4x－1的圖象，則a＝ .
解：y＝－2x2－4x－1＝－2（x＋1）2＋1?
∴y－1＝－2（x＋1）2
即原函數圖象向左平移1個單位，再向上平移1個單位，∴a＝（－1，1）.?
答案：（-1，1）
16.已知向量a、b的夾角為，｜a｜＝2，｜b｜＝1，則｜a＋b｜·｜a－b｜的值是 .
解：∵a·b＝｜a｜·｜b｜cos＝2×1×＝1?
∴｜a+b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×1＋12＝7，?
｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝22－2×1＋1＝3
∴｜a＋b｜2·｜a－b｜2＝3×7＝21?
∴｜a＋b｜·｜a－b｜＝.
答案：
三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或推演步驟.?
17.(本小題滿分1O分)?
已知A(4，1)，B(1，－)，C（x，－），若A、B、C共線，求x.?
解：∵＝（－3，－）?
＝（x－1，－1）?
又∵∥
∴根據兩向量共線的充要條件得：－（x－1）＝3
解得x＝－1.?
18.(本小題滿分12分)?
已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a與b的夾角為6O°，c＝3a＋5b，d＝ｍa－b，c⊥d，求ｍ的值.?
解：a·b＝｜a｜·｜b｜·cos6O°＝3?
∵c⊥d，?
∴c·d＝O?
即（3a＋5b）（ｍa－b）＝O?
∴3ｍa2＋（5ｍ－3）a·b－5b2＝O?
∴27ｍ＋3（5ｍ－3）－2O＝O?
解得ｍ＝.
19.(本小題滿分12分)?
已知a、b都是非零向量，且a＋3b與7a－5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，求a與b的夾角.?
解：由已知，（a＋3b）·（7a－5b）＝O，?
（a－4b）·（7a－2b）＝O，?
即7a2＋16a·b－15b2＝O①?
7a－3Oa·b＋8b2＝O②?
①－②得：2a·b＝b2代入①式得?
a2＝b2
∴cosθ＝，
故a與b的夾角為6O°.?
2O.(本小題滿分12分)?
已知：在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，AB上的中線CD＝ｍ，求證：a2＋b2＝c2＋2ｍ2.
證明：∵＝＋，
＝＋，
兩式平方相加可得?
a2＋b2＝c2＋2ｍ2＋2（·＋·）?
∵·＋·＝｜｜·｜｜·cosBDC＋｜｜｜｜cosCDA＝O
∴a2＋b2＝c2＋2ｍ2.
21.(本小題滿分14分)?
設ｉ、j分別是直角坐標系x軸、y軸上的單位向量，若在同一直線上有三點A、B、C，且＝
－2ｉ＋ｍj，＝ｎｉ＋j，＝5ｉ－j，⊥求實數ｍ、ｎ的值.?
解：∵⊥，
∴－2ｎ＋ｍ＝O①?
∵A、B、C在同一直線上，?
∴存在實數λ使＝λ，
＝－＝7ｉ＋［－（ｍ＋1）j］?
＝－
＝（ｎ＋2）ｉ＋（1－ｍ）j，?
∴7＝λ（ｎ＋2）?
ｍ＋1＝λ（ｍ－1）?
消去λ得ｍｎ－5ｍ＋ｎ＋9＝O②?
由①得ｍ＝2ｎ代入②解得?
ｍ＝6，ｎ＝3；?
或ｍ＝3，ｎ＝.
22.(本小題滿分14分)?
如圖，△ABC的頂點A、B、C所對的邊分別為a、b、c，A為圓心，直徑
PQ＝2ｒ，問：當Ｐ、Ｑ取什么位置時，·有最大值??
解：·＝（－）·（－）?
＝（－）·（－－）?
＝－ｒ2＋·＋·
設∠BAC＝α，PA的延長線與BC的延長線相交于b，∠PDB＝θ，則
·＝－r2＋cbcosθ＋racosθ?
∵a、b、c、α、ｒ均為定值，?
∴當cosθ＝1，即AP∥BC時，·有最大值.
1.人騎自行車的速度為v1，風速為v2，則逆風行駛的速度大小為( )?
?A.v1-v2 ?B.v1+v2 C.|v1|-|v2|? ?D.
? 2.用力F推動一物體水平運動sm，設F與水平面的夾角為θ，則對物體所做的功為
A.|F|·s B.Fcosθ·s? ?C.Fsinθ·s ?D.|F|cosθ·s
3.初速度v0,發射角為θ，則炮彈上升的高度y與v0之間的關系式(t是飛行時間)為?
?A.y=|v0|t ?B.y=|v0|sinθ·t-|g|t2?
?C.y=|v0|sinθ·t ?D.y=|v0|cosθ·t
? 4.已知兩個力F1、F2的夾角為90°，它們合力的大小為10N，合力與F1的夾角為60°，那么F1的大小為 .?
5.用兩條成60°的繩索拉船，每條索上的拉力是12N,則合力為 .（精確到0.1N）?
6.一艘船從A點出發以2km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為
2km/h，則船實際航行速度的大小和方向為 .?
7.兩人共提一桶水，試問兩人所用力的大小與其夾角大小之間的關系.?
8.某人在靜水中游泳，速度為4km/h，??
（1）如果他徑直游向河對岸，水流速度為4公里/小時，他實際沿什么方向前進？速度大小為多少？
（2）他必須朝哪個方向游才能沿與水流垂直的方向前進？實際前進的速度大小為多少？?
9.平面上三個力F1、F2、F3同作用于一點而處于平衡狀態，|F1|=1N，|F2|=N,F1與F2的夾角為45°，試求F3的大小及F3與F1夾角的大小.?
參考答案：1.C 2.D 3.B 4. 5N 5. 20.8 N?
6.大小為4km/h，方向與水流方向的夾角為60°?
7.θ增大時，|F1|也增大，θ減小時，|F1|也減小?
8.(1)此人沿與沿岸夾角60°順著水流方向前進，速度大小為8公里/小時?
（2）此人沿與河岸夾角arccos逆著水流方向前進，實際前進速度的大小為4公里/小時?
9.F3的大小為（1+）N, F3與F1的夾角為150°?
期末練習題
一、選擇題
1.已知：a、b、c為三個向量，下列命題中正確的是( )?
A．如果｜a｜＝｜b｜，那么a＝b?
B．a－b＝b－a?
C．｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜?
D．（a·b）·c＝a·（b·c)?
答案：C?
2.如果α、β都是第二象限的角，且α＞β，那么sinα與sinβ的大小關系是( )?
A．sinα＞sinβ?
B．sinα＜sinβ?
C．sinα＝sinβ?
D．大小關系不定?
答案：D?
3.tan x＝2，則的值是( )?
A． B． C． D．
答案：C?
4.已知a＝（－2，5），｜b｜＝2｜a｜，且b與a反向，則b等于( )?
A．（－4，1O） B．（4，－1O）?
C．（－1，） D．（1，－）?
答案：B?
5.直線上有A、B、C三點，如果B分有向線段AC的比為－，則( )?
A．B是線段AC的中點?
B．A是線段BC的中點?
C．C是線段AB的中點?
D．B是線段AC的三等分點?
答案：B?
6.下面四個關系式中，正確的項的個數是( )?
①O·a＝O?、?a＋b)＋c＝a＋（b＋c） ③a·b＝b·a ④｜a·b｜＝｜a｜·｜b｜
A．4 B．3 C．2 D．1?
答案：C?
7.將函數y＝ｆ（x）圖象上的點P(1，O)平移變為Ｐ′（2，O），平移后函數的新解析式為( )?
A．y＝ｆ（x＋1） B．y＝ｆ（x－1）?
C．y＝ｆ（x）＋1 D．y＝ｆ（x）－1?
答案：B?
8.在△ABC中，若acosA－bcosB＝O，則三角形的形狀是( )?
A．等腰三角形?
B．直角三角形?
C．等腰直角三角形?
D．等腰三角形或直角三角形?
答案：D?
9.已知a＝（x，3），b＝（3，－1），且a∥b，則x等于( )?
A．－1 B．9 C．－9 D．1?
答案：C?
1O.已知a＝（λ，2），b＝（－3，5），且a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是( )?
A．λ＞ B．λ＜? C．λ＞－ D．λ＜－
答案：A?
二、填空題?
11.已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，若向量a＋ｋb與向量a－ｋb互相垂直，則實數ｋ＝ .
答案：±
12.設e1，e2是不共線的向量，e1－4e2與λe1＋e2共線，則實數λ的值為 .?
答案：－
13.已知a＝（2，－1），b＝（－1，3），則2a－3b的坐標是 .?
答案：(7，－11)?
14.把一個函數圖象按向量a＝（，2）平移后，函數的解析式為y＝sin（x＋）＋2，則原來函數的解析式為 .?
答案：y＝cosx?
15.點P（4，3）關于點Q（5，－3）的對稱點的坐標是 .?
答案：（6，－9）?
三、解答題
16.已知點A(O，2)、B(1，－1)、C（2，－4），求證：A、B、C三點共線.
證明：∵＝（1－O，－1－2）＝（1，－3）.?
＝（2－O，－4－2）＝（2，－6）?
又1×（－6）－2×（－3）＝O ∴∥
又直線AB、直線AC有公共點A
∴A、B、C三點共線.?
17.已知?ABCD的頂點A的坐標為（－2，1），一組對邊AB、CD的中點分別為Ｍ（3，O）、Ｎ（－1，
－2）.求?ABCD的其余頂點坐標.?
解：略?
18.已知a＝（2x－y＋1，x＋y－2），b＝（2，－2），當x，y為何值時①a＝b?、赼∥b?
解：(1)由題意可知：?
解得
(2)由向量共線條件知：?
－2（2x－y＋1）－2（x＋y－2）＝O?
化簡得：3x－1＝O?
∴
19.如圖，已知△ABC中，D、Ｅ、Ｆ分別是BC、CA、AB的中點，求證：
(1) ∥
(2) ＋＋＝O?
證明：(1) ＝＋
＝＋
＝(＋)?
＝＝－
∴∥
(2)＝＋ ＝＋
∴2＝＋＋＋＝＋
同理可得：2＝＋
2＝＋
∴＋＋
＝(＋＋＋＋＋)＝O
2O.已知a、b都是非零向量，且a＋3b與7a－5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，求a與b的夾角.?
解：由題意可知?
（a＋3b）（7a－5b）＝O①?
（a－4b）（7a－2b）＝O②?
化簡得：7｜a｜2＋16a·b＋8｜b｜2＝O③?
7｜a｜2－3Oa·b＋8｜b｜2＝O④?
③－④得：46a·b＝23｜b｜2?
即：a·b＝｜b｜2代入③得｜a｜2＝｜b｜2?
∴｜a｜＝｜b｜?
設a與b的夾角為θ，則cosθ＝
∴θ＝6O°?
即a與b的夾角為6O°?
21.一船在海面A處望見兩燈塔P、Q在北15°西的一條直線上.該船沿東北方向航行4海里到達B處，望見燈塔P在正西方向，燈塔Q在西北方向，求兩燈塔距離.?
解：如圖，由題意可知：?
∠A＝45°＋15°=6O°，?
∠ABP＝45°，∠PBQ＝45°?
∴∠ABQ＝9O° ∴∠AQB＝3O° ∠APB＝75°?
sin75°＝sin（45°＋3O°）＝
在△ABP中，AB＝4，由正弦定理知?
∴AP＝4（－1）?
在△ABQ中，∠ABQ＝9O° AB＝4?
∴AQ＝8?
∴PQ＝AQ－AP＝8－4（－1）＝12－4
故兩燈塔P、Q的距離為12－4海里.
1.若a=(x1,y1),b=(x2,y2)且a∥b,坐標滿足條件( )?
?A.x1x2-y1y2=0 ?B.x1y1-x2y2=0? ?C.x1y2+x2y1=0 ?D.x1y2-x2y1=0
? 2.若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且a⊥b,坐標滿足條件( )?
?A.x1x2-y1y2=0 ?B.x1y1-x2y2=0? C.x1x2+y1y2=0 ?D.x1y2+x2y1=0
? 3.若|a|=2，|b|=,a·b=，則a與b的夾角( )?
?A.30°? B.45° ?C.60° ?D.120°
? 4.兩點P1(-1,-6),P2(3,0)，點P（-，y）分有向線段的比為λ,則λ，y的值為( )??A.-，8 ?B. ，-8? ?C.- ，-8 ?D.4，?
5.若AM、BN、CP是三角形ABC的三條中線，則| |等于( )
?A.0 ?B. ?C.1 ?D. ?
6.設M是平行四邊形ABCD的中心，O為任意一點，則等于( )??A. ?B.2 ?C.3 D.4
? 7.若向量a、b、c兩兩所成的角相等，且|a|=1，|b|=1,|c|=3,則|a+b+c|等于( )?
?A.2? B.5? ?C.2或5? D.
? 8.已知△ABC，A=5,B=8,C=60°，則= .
? 9.若點B分有向線段的比為2∶1，則點C分的比是 .
? 10.三角形△ABC的頂點A（2，3），B（-4，-2）和重心G（2，-1）,則C點坐標 .
? 11.設|a|=,|b|=1,a與b的夾角為30°,則a+b與a-b的夾角余弦 .?
? 12.已知a=(1,2),b=(-2,3)且（a-λb）⊥(a+b)，則λ= .
? 13.將拋物線y=x2+6x+11的圖象經過向量a平移得到y=x2，則a= .
? 14.在△ABC中，B=,C=3,B=30°，則A= .
? 15.在△ABC中，a2=b2+c2+bc,2b=3c,a=3，求△ABC的面積.
16.已知a=（1，1），b=(0,-2)，?
（1）當實數k為何值時，ka-b與a+b反向？?
（2）若ka-b與a+b的夾角為120°,求k的值.???????
17.在△ABC中，,試判斷△ABC的形狀.
18.如圖5—29，已知=a, =b，對任意點M，M點關于A點的對稱點為S，S點關于B點的對稱點為N，用a、b表示向量.
??19.在△ABC中，設=a, =b, =c,且|a|=3,|b|=2,|c|=4，求a·b+b·c+c·a的值.
20.某艦艇在A處測得遇險漁船在北偏東45°距離為10海里的C處，此時得知，該漁船沿北偏東105°方向，以每小時9海里的速度向一個小島靠攏，艦艇時速21海里，問艦艇朝什么方向前進可最快營救漁船？所需時間是多少？
參考答案：1.D 2.C 3.C 4.C 5.A 6.D 7.C 8.-20?
9.- 10.(8,-4) 11.
12. 13.(3,-2) 14. 或2?
15. 16.(1)-1 (2)-1±
17.直角三角形 18.2b-2a 19.-
20.艦艇沿北偏東方向航行，所需時間為小時
1.當兩人提重為|G|的書包時，夾角為θ，用力為|F|，則三者的關系式為( )?
?A.|F|=? B.|F|=
?C.F=? D.|F|=
2.在上題中θ為何值時，|F|最小( )?
A. ?B.0 ?C.π ?D. ?
3.在1題中所用力|F|=|G|時，θ為多大( )?
A. ?B. C. D. ?
4.一條河的寬度為d，一船從A出發航行垂直到達河的正對岸B處，船速為v1，水速為v2,則船行到B處時，行駛速度的大小為 .
5.在上題中,v1與v2的夾角為θ，則船由A到B所用的時間T= .（用d、θ、|v1|表示）?
6.某人以時速Akm向東行走，此時正刮著時速Akm的南風，那么此人感到的風向為 ，風速為 .?
參考答案：
1.D 2.B 3.C 4. 5. 6.東北風akm/h?
1.在ABCD中, ++等于（ ）
?A. B. C. ? D. ?
2.已知正方形ABCD的邊長為1, =a, =b, =c,則|a+b+c|等于（ ）?
?A.0 ? B.3? C.? D.2
? 3.若a、b均不為零,則|a+b|=|a|+|b|是a∥b的（ ）
?A.充分不必要條件? ?B.必要不充分條件?
C.充要條件? ?D.既不是充分條件也不是必要條件?
4.已知向量a、b滿足a+b=b且|b|=1,則|a|+|a+b|= .??
5.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,||=1,則|+|= .?
6. ++=0是“A、B、C是三角形三個頂點”的 條件.?
7.已知正六邊形ABCDEF,O是它中心,若=a, =b,試用a、b表示向量 .??? 8.一條漁船距對岸4km,以2 km/h的速度向垂直于對岸的方向劃去,到達岸時,船的實際航程為8km,求河水的流速.
9.在平行四邊形ABCD的對角線BD的延長線上,取點E、F,使BE=DF,用向量方法證明四邊
形AECF也是平行四邊形.?
參考答案：
1.A 2.D 3.A 4. 1 5. 6.必要不充分?7.a+b 8.2 km/h 9.(略)?
1.在△ABC中, =a, =b,則等于( )?
?A.a+b? B.-a+(-b)? C.a-b? D.b-a?
2.已知ABCD是平行四邊形,O為平面上任一點,設=a, =b, =c, =d,則
??A.a+b+c+d=0 ?B.a-b+c-d=0? ?C.a+b-c-d=0 ?D.a-b-c+d=0
? 3.在下列各題中,正確的命題個數為( )?
(1)若向量a與b方向相反,且|a|＞|b|,則a+b與a方向相同?
(2)若向量a與b方向相反,且|a|＞|b|,則a-b與a+b方向相同?
(3)若向量a與b方向相同,且|a|＜|b|,則a-b與a方向相反?
(4)若向量a與b方向相同,且|a|＜|b|,則a-b與a+b方向相反?
?A.1 B.2 C.3 D.4?
4.如圖5—10,在四邊形ABCD中,根據圖示填空:?
a+b= ,b+c= ,c-d= ,a+b+c-d= .?
5.一艘船從A點出發以2km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛,而船實際行駛速度的大小為4 km/h,則河水的流速的大小為 .
? 6.若a、b共線且|a+b|＜|a-b|成立,則a與b的關系為 .
? 7.在五邊形ABCDE中,設=a, =b, =c, =d,用a、b、c、d表示.
8.如圖5—11所示，O是四邊形ABCD內任一點，試根據圖中給出的向量，確定a、b、c、d的方向（用箭頭表示）,使a+b=,c-d=,并畫出b-c和a+d.
9.已知O是□ABCD的對角線AC與BD的交點,若=a, =b, =c,試證明:
c+a-b=.
參考答案：1.B 2.B 3.D 4.-f -e f 0?
5.2 km/h 6.a與b的方向相反且都不為零向量?
7.b+d-a-c?
8.?
9.(略)?
相關練習
1．化簡
分析：根據向量加法的交換律使各向量首尾相連，再動身向量加法的結合律調整向量順序相加.
解：∵=
∴
2．如圖所示， ABCD中，等于（ ）
A. B. C. D.
分析：從圖上可看出而.
答案：C
3．已知兩個向量a與b, 求證|a+b|=|a–b|的充要條件是：a的方向與b的方向垂直.
分析：分充分性和必要性兩個部分來證明.
證明：（1）充分性
設a, b,使
以OA、OB為鄰邊作矩形OBCA，則|a+b|=|a-b|=
∵四邊形OBCA為矩形 ∴ ∴|a+b|=|a-b|
（2）必要性
設 a，b,以OA、OB為鄰邊作平行四邊形，則|a+b|=|a-b|=
∵|a+b|=|a–b| ∴
又∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴四邊形OBCA為矩形
∴a的方向與b的方向垂直.
4．化簡
分析：公式可以直接運用，也可以逆向運用.還可以利用將加、減法統一成加法進行計算.
解法一：（統一成加法）
解法二：（利用）
解法三：（利用）
設O為平面內任意一點，則

相關高考真題
1．設a=(m+1)i–3j,b=i+(m–1)j,(a+b)⊥(a–b),則m= .
(1997年上海高考題)
分析：本題考查向量的和與差及兩向量垂直的充要條件，只要求出a+b，a–b，由（a+b）⊥（a–b）構造方程求m.因a=（m+1,–3）,b=(1,m–1),所以a+b=（m+2,m–4）, a–b=(m,–2–m);又因（a+b）⊥（a–b），所以m(m+2)+(m–4)(–2–m)=0解得m=–2.
答案：–2
1.下列等式不正確的是（ ）?
A.a+0=a ? B.a+b=b+a?
C. +≠0? D. =++
2.向量(+)+(+)+)]化簡后等于（ ）
?A. ?B. ? C. ?D.
3.在平行四邊形ABCD中,若|+|=|+|,則必有（ ）
A.ABCD是菱形? B.ABCD是矩形?
C.ABCD是正方形? D.以上皆錯?
4. = +.?
5.已知a表示“向東走3km”,b表示“向南走3km”，則a+b表示 .?
6.已知:|a|=1,|b|=2,|c|=3,則|a+b+c|的最大值為 .?
參考答案：1.C 2.C 3.B 4. 5.向東南走3km 6. 6?
1.下列等式:①a+0=a ②b+a=a+b ③-(-a)=a ④a+(-a)=0 ⑤a+(-b)=a-b?
正確的個數是( )?
? A.2 ?B.3 ?C.4? D.5
? 2.下列等式中一定能成立的是( )?
?A. +=? B. -=
?C.?+= ?D. -=
? 3.化簡-++的結果等于( )
A. ?B. ? C. ? D.
4.已知=a, =b,若||=12,||=5,且∠AOB=90°,則|a-b|= .
? 5.在正六邊形ABCDEF中, =m, =n,則= .
? 6.已知a、b是非零向量,則|a-b|=|a|+|b|時,應滿足條件 .?
參考答案：1.C 2.D 3.B 4. 13?5.m-n 6.a與b反向?
1.下列各式計算正確的有（ ）?
(1)(-7)6a=-42a? （2）7(a+b)-8b=7a+15b
(3)a-2b+a+2b=2a? (4)若a=m+n,b=4m+4n,則a∥b?
?A.1個 ?B.2個 ?C.3個? D.4個
? 2.下列各式敘述不正確的是（ ）
A.若a≠λb,則a、b不共線(λ∈R)?
? B.b=3a(a為非零向量),則a、b共線?
?C.若m=3a+4b,n=a+2b,則m∥n?
?D.若a+b+c=0,則a+b=-c
? 3.若O為□ABCD的中心, =4e1, =6e2,則3e2-2e1等于（ ）?
?A. ? B. C. ? D.
4.a-［2b-3a-( )］=5a-3b
? 5.若|a|=3,b與a的方向相反,且|b|=5,則a= b.
? 6.已知三角形ABC三邊=a, =b, =c,三邊中點分別為D、E、F,則++= .?
7.計算:(1)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c)
(2)(m+n)(a-b)-(m+n)(a+b)?
8.設e1、e2是兩不共線的非零向量,若向量=3e1-2e2, =-2e1+4e2, =-2e1-4e2,?試證:A、C、D三點共線.
9.在四邊形ABCD中, =a+2b, =-4a-b, =-5a-3b,求證ABCD為梯形.?
參考答案：1.C 2.A 3.B 4.a-b?
5.- 6. 0 7.(1)6a+2b (2)-2(m+n)b?
8.(略) 9.(略)?
1.下面向量a、b共線的有（ ）
(1)a=2e1,b=-2e2? (2)a=e1-e2,b=-2e1+2e2?
(3)a=4e1-e2,b=e1-e2? (4)a=e1+e2,b=2e1-2e2.(e1、e2不共線)?
?A.(2)(3) ?B.(2)(3)(4)? ?C.(1)(3)(4) ?D.(1)(2)(3)(4)
? 2.設一直線上三點A、B、P滿足=λ(λ≠±1),O是空間一點,則用 、表示式為（ ）?
?A. =+λ? B. =λ+(1-λ)
?C. = ?D.
3.若a、b是不共線的兩向量,且=λ1a+b, =a+λ2b(λ1、λ2∈R),則A、B、C三點共線的充要條件為（ ）
?A.λ1=λ2=-1? B.λ1=λ2=1? C.λ1λ2+1=0 ?D.λ1λ2-1=0
? 4.若a=-e1+3e2,b=4e1+2e2,c=-3e1+12e2,則向量a寫為λ1b+λ2c的形式是 .
? 5.已知兩向量e1、e2不共線,a=2e1+e2,b=3e1-2λe2,若a與b共線,則實數λ= .
? 6.設平面內有四邊形ABCD和點O, =a, =b, =c, =d,a+c=b+d,則四邊形ABCD的形狀是 .
? 7.設、不共線,點P在O、A、B所在的平面內,且=(1-t) +t(t∈R),求證A、B、P三點共線.????????
8.當不為零的兩個向量a、b不平行時,求使pa+qb=0成立的充要條件.????????
9.已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1、e2不共線,向量c=2e1-9e2,問是否存在這樣的實數λ、μ,使d=λa+μb與c共線??
參考答案：1.A 2.C 3.D 4.- b+c ?5.- 6.平行四邊形
7.(略) 8.p=q=0? 9.存在,λ=-2μ能使d與c共線
相關練習
1．若=3 e1，=5 e1，且與模相等，則四邊形ABCD是（ ）
A.平行四邊形 B.梯形
C.等腰梯形 D.菱形
分析：由=3 e1與=5 e1可得，∥，且||≠||，所以ABCD是梯形，AB、CD為底，則AD、BC為腰，由||=||可得腰長相等.
2．設兩個非零向量e1和e2不共線，如果：=2 e1+3 e2，=6 e1+23 e2，=4 e1–8 e2.
求證：A、B、D三點共線.
分析：要證A、B、D三點共線，只需證明與共線即可.
證明：∵2 e1+3 e2+6 e1+23 e2+4 e1–8 e2=12 e1+18 e2=6（2 e1–3 e2）=6
∴向量與向量共線.
又∵和有共同的起點A，∴A、B、D三點共線.
3．已知ABCD為矩形，且AD=2AB，又△ADE為等腰直角三角形，F為ED的中點，= e1，=e2，以e1，e2為基底，試表示向量、、及.
分析：借助平面幾何中的等量關系轉化為向量中的有關知識進行求解.
解：如圖所示：∵= e1，=e2
∴= e2–e1
依題意有：AD=2AB=DE，且F為DE的中點
∴四邊形ABDF為平行四邊形
∴= e2–e1 e2
∴= e2–e1+ e2=2 e2–e1.
4．如圖所示，平行四邊形ABCD中，M、N分別為DC、BC的中點，已知= c, = d,試用c、d表示和.
分析：要直接用c、d表示和比較困難，利用“正難則反”的原則，可以先用、表示c、d，再來解關于和的方程組.
解：設=a, =b，則由M、N分別為DC、BC的中點可得：b, a
從△ABN和△ADM中可得：

①×2–②，得
②×2–①，得
即：
5．梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分別是、的中點，且設=e1, =e2,以e1、e2為基底表示向量、、
分析：易求，利用，求得，再由，可求出
解：如圖所示 ∵= e2，且
∴=k=k e2
∵
∴e1+(k–1)e2
又∵
且
∴e2.
相關高考真題
若向量a=(1,1),b=(1,–1),c=(–1,2),則c等于（ ）
A. B.
C. D.
(2001年全國高考題)
分析：實數與向量的乘積是此題考查的內容，但主要考查坐標運算，可設c=xa+yb,然后再用坐標對應相等可列方程組，即
解得
答案：B
1.下列各式計算正確的是（ ）?
?A.2(a+b)+c=2a+b+c? ?B.3(a+b)+3(b-a)=0
?C. +=2 D.a+b+3a-5b=4a-4b
? 2.λ、μ∈R,下列關系式中正確的是（ ）?
?A.若λ=0,則λa=0 ?B.若a=0,則λa=0?
?C.|λa|=|λ|a ?D.|λa|=λ|a|
? 3.在△ABC中,E、F分別是AB、AC的中點,若=a, =b,則等于（ ）?
?A. (a+b)? B. (a-b)?
?C. (b-a)? D.- (a+b)
? 4.a-［(2a-b)-a］= ;-3a+2b-c=2b- .
? 5.若a=-e,b=-e,則a= b.
? 6.在△ABC中,設=e1, =e2,D、E是邊BC的三等分點,D靠近點B,則= , = .
參考答案：1.Ｄ ２．B 3.C 4.b 3a+c 5. 6. e1+e2 e1+e2
1.設e1、e2是同一平面內的兩個向量,則有（ ）?
?A.e1、e2一定平行?
B.e1、e2的模相等?
C.同一平面內的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R)?
?D.若e1、e2不共線,則同一平面內的任一向量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)
2.已知矢量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1、e2不共線,則a+b與c=6e1-2e2的關系（ ）
?A.不共線 ?B.共線? ?C.相等 ?D.無法確定
? 3.已知向量e1、e2不共線,實數x、y滿足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,則x-y的值等于??A.3? B.-3 ?C.0 ?D.2
? 4.若a、b不共線,且λa+μb=0(λ,μ∈R)則λ= ,μ= .
? 5.已知a、b不共線,且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c與b共線,則λ1= .
? 6.已知λ1＞0,λ2＞0,e1、e2是一組基底,且a=λ1e1+λ2e2,則a與e1,a與e2(填共線或不共線).
參考答案：1.D 2.B 3.A 4. 0 0 5. 0 6.不共線 不共線?
1.若向量a=(x-2,3)與向量b=(1,y+2)相等，則（ ）
?A.x=1,y=3 ?B.x=3,y=1
?C.x=1,y=-5 ?D.x=5,y=-1
? 2.已知點B的坐標為(m,n)，的坐標為(i,j)，則點A的坐標為( )?
?A.(m-i,n-j) ?B.(i-m,j-n)
?C.(m+i,n+j) ?D.(m+n,i+j)
? 3.□ABCD三個頂點A、B、C的坐標分別為(-2,1),(-1,3),(3,4)，則頂點D的坐標為( )? ?A.(2，1) ?B.(2，2) ?C.(1，2) ?D.(2，3)
? 4.若A(2，3)，B(x,4),C(3,y)，且=2,則x= ,y= .
5.已知=(2,-1), =(-4,1),則= .
? 6.已知向量a=(3,-2),b=(-2,1),c=(7,-4),若c=λa+μb,則λ＝ ，μ＝ ．
? 7.已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(1,0)、B(-1,2)、C(-2，-1)，求、、
的坐標，并用基底i、j分別表示出來.(i、j分別為與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量)
8.已知A(-2,4)、B(3，-1)、C(-3，-4)且=3,=2 ,試求點M、N和的坐標.??????
9.已知平面上三點的坐標分別為A(x１，y１)、Ｂ（ｘ２，ｙ２）、Ｃ（ｘ３，ｙ３），求點D的坐標，使得這四個點構成平行四邊形的四個頂點.?
參考答案：1.B 2.A 3.B 4.4 5.(-6,2) 6.1-2
7. =(-2,2)=-2i+2j

? =(-1,-3)=-i-3j?
=(3,1)=3i+j?
8.點M、N的坐標分別為(0，20)，(9，2)，的坐標為(9，-18)?
9.(1)當平行四邊形為ABCD時，D(ｘ１＋ｘ３－ｘ２，ｙ１＋ｙ３－ｙ２)?
（2）當平行四邊形為ACDB時，D（ｘ２＋ｘ３－ｘ１，ｙ２＋ｙ３－ｙ１）?
（3）當平行四邊形為ADBC時，D（ｘ１＋ｘ２－ｘ３，ｙ１＋ｙ２－ｙ３）
1.若a=(x１,y１)，b=(x２，y２)，且a∥b,則坐標滿足的條件為（ ）
? ?A.x１x２－ｙ１ｙ２＝０ ?B.ｘ１ｙ１－ｘ２ｙ２＝０?
?C.ｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１＝０ ?D.ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝０
2.設a=(，sinα)，b=(ｃｏｓα，)，且a∥b，則銳角α為（ ）
A.30° ?B.60° ?C.45° ?D.75°
? 3.設k∈Ｒ，下列向量中，與向量a=(1,-1)一定不平行的向量是（ ）?
?A.(k,k) ?B.(-k,-k)
?C.(k２＋１，ｋ２＋１) ?D.（ｋ２－１，ｋ２－１）
? 4.若A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)三點共線，則x= .
? 5.已知a=(3,2),b=(2,-1),若λa+b與a+λb（λ∈Ｒ）平行，則λ＝ .
? 6.若a=(-1,x)與b=(-x,2)共線且方向相同，則x= .
? 7.已知a=(1,2),b=(-3,2)，當k為何值時ka+b與a-3b平行??????
8.已知A、B、C、D四點坐標分別為A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2)，試證明：四邊形ABCD是梯形.??????
9.已知A、B、C三點坐標分別為(-1,0)、(3，-1)、(1，2)，=,求證：∥.
參考答案：1.D 2.C 3.C 4. 2 5.±1 6. 7.- 8.(略) 9.(略)?
相關練習
1．已知M（3，－2），N（－5，－1），則的坐標為（ ）
A．（8，1） B．（－8，1） C．（－8，－1） D．（－4，）
分析：根據一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標可知的坐標為（－8，1），再由實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘以原來向量的相應坐標可得的坐標為（－4，）
答案：D
2．如圖，已知點A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC和BO的交點P的坐標.
分析：由于共線，所以可設
再利用A、P、C三點共線解出S的值.
解：∵與共線，故設
∵A、P、C三點共線
則有（4S－4）·6－4S·（－2）=0
解得
即P點坐標是（3，3）.
3．已知三個非零向量a、b、c中的每兩個均不共線。若a+b與c共線，且b+c與a共線，求a+b+c
分析：每題從已給向量a、b、c的字母表示難以下手，可以考慮用向量的坐標形式.
解：設三個向量的坐標分別為a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，c=(x3,y3)，則
a+b=(x1+x2,y1+y2)
b+c=(x2+x3,y2+y3)
a+b+c=(x1+x2+x3,y1+y2+y3)
∵a+b與c共線，b+c與a共線

∵a、b、c為非零向量
∴由①得 ③
把③代入②，得（x1y2－x2y1）(x1+x2+x3)=0
∵a與b不共線
∴x1y2≠x2y1
則x1+x2+x3=0
又由①得：,代入②整理，
有（x3y2－x2y3）(y1+y2+y3)=0
同理，x3y2－x2y3≠0
∴y1+y2+y3=0
故a+b+c=0
4．已知點A（－1，2），B（2，8）及，，求點C、D和的坐標.
分析：可設C（x1,y1）,D(x2,y2)，再利用這兩個相等關系得關于x1、y1及x2、,y2的方程組，即可解得.
解：設C、D的坐標分別為（x1,y1）,(x2,y2)
∴C、D的坐標分別為（0，4）和（－2，0）
因此
5．已知ABCD為正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延長線交BA的延長線于F，求證：AF=AE.
分析：可借助于向量的坐標，即需首先建立一適當的坐標系，再想辦法求出E、F的坐標，最后求向量的模.
證明：如圖所示，以C點為原點，以正方形ABCD的DC所在直線為x軸建立直角坐標系，設正方形的邊長為1，則A、B的坐標分別為A（－1，－1），B（0，1），設E點坐標為（x,y）(x＞0)
∵∥
∴x·（－1）－1·（y－1）=0即x+y－1=0 ①
又∵ ②
由①、②可得E點坐標為
設F點的坐標為（x′，1）
相關高考真題
若向量a=(1,1),b=(1,－1),c=(－1,2)，則c等于（ ）
A．－a+b B． a－b
C．a－b D．－a+b
（2001年全國高考題）
分析：此題考查平面向量的坐標運算，可設c=xa+yb，然后再用坐標對應相等可列方程組，即
答案：B
1.已知a=(-1,2),b=(1,-2),則a+b與a-b的坐標分別為（ ）
?A.(0，0)，(-2,4) ?B.(0，0)，(2,-4)
?C.(-2,4),(2,-4) ?D.(1,-1),(-3,3)
? 2.若O(0，0)，B(-1,3)，且＝3，則Ｂ′點坐標( )?
?A.(3，9) ?B.(-3,9)? ?C.(-3,3) ?D.(3,-3)
? 3.已知=(x,y),點B的坐標為(-2,1)，則的坐標為( )?
?A.(x-2,y+1) ?B.(x+2,y-1) ?C.(-2-x,1-y) ?D.(x+2,y+1)
4.若a=(2,1),b=(-3,4),則3a+4b的坐標為 .
5.若A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),D(2,2)，則與的關系是 .
? 6.已知□ABCD中，A(0，0)，B(5，0)，D(2，4)，對角線AC、BD交于M，則的坐標為 .
參考答案：1.A 2.B 3.C 4.(-6,19)? 5.相等 6.( ,-2)?
1.若a=(2,3),b=(4,-1+y)，且a∥b，則y=（ ）
?A.6 ?B.5 ?C.7 ?D.8
2.若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三點共線，則x的值為（ ）?
?A.-3 ?B.-1 ?C.1 ?D.3
? 3.若=i+2j, =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為
單位向量). 與共線，則x、y的值可能分別為（ ）
? ?A.1，2 ?B.2，2 ?C.3，2 ?D.2，4
? 4.已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b，則y= .
? 5.已知a=(1,2),b=(x,1),若a+2b與2a-b平行,則x的值為 .
? 6.已知□ABCD四個頂點的坐標為A(5，7)，B(3,x),C(2,3),D(4,x)，則x= .
參考答案：1.C 2.B 3.B 4. 3 5. 6. 5?
1.已知點A分有向線段的比為2，則在下列結論中錯誤的是（ ）
? A.點C分的比是-?
?B.點C分的比是-3?
C.點C分的比是-?
?D.點A分的比是2
?
2.已知兩點P１（－１，－６）、Ｐ２（３，０），點P（－，ｙ）分有向線段所成的比為λ，則λ、ｙ的值為（ ）
? ?A.－，８ ?B.，－８? ?C.－，－８ ? D.４，
3.△ABC的兩個頂點A(3，7)和B(-2，5)，若AC的中點在x軸上，BC的中點在y軸上，
則頂點C的坐標是（ ）
? ?A.(2，-7) ?B.(-7，2)? C.(-3，-5) ?D.(-5，-3)
? 4.已知點A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一條直線上，那么x= .
? 5.△ABC的頂點A(2，3)，B(-4，-2)和重心G(2，-1)，則C點坐標為 .
? 6.已知M為△ABC邊AB上的一點，且Ｓ△ＡＭＣ＝Ｓ△ＡＢＣ，則M分所成的比為 .
? 7.已知點A(-1,-4)、B(5,2)，線段AB上的三等分點依次為P１、Ｐ２，求Ｐ１、Ｐ２點的坐標以及A、B分所成的比λ．
8.過P１（１，３）、Ｐ２（７，２）的直線與一次函數的圖象交于點P，求P分所成的比值.??????
9.已知平行四邊形ABCD一個頂點坐標為A(-2,1)，一組對邊AB、CD的中點分別為M(3，0)、N(-1，-2)，求平行四邊形的各個頂點坐標.???
參考答案：1.D 2.C 3.A 4.2或 5.(8,-4) 6.
7.P1(1,-2),P2(3,0),A、B分所成的比λ1、λ2分別為-,-2
8. 9.Ｂ（８，－１），Ｃ（４，－３），Ｄ（－６，－１）?
相關練習
1．若點P分所成的比為，則A分所成的比是（ ）
A． B． C．－ D．－
分析：根據P分所成的比的概念，即，則P在線段AB上，
且，因為，
而A在線段BP的延長線上，有方向相反，λ為負值.
答案：C
2．已知A（－1，2），B（3，4）.連結A、B并延長至P，使|PA|=3|BP|，求點P坐標.
分析：由P在線段AB的延長線上，且|PA|=3|BP|,有.
解：點P分AB所成的比為
∴由定比分點公式，P點的坐標為
即P點坐標為（5，5）.
3．已知兩點P1（3，2），P2（－8，3），求點P（）分所成的比λ及y的值.
分析：可直接由定比分點橫坐標公式求出λ，再求y，也可用向量的坐標運算求λ的值，再求y.
解法一：由定比分點橫坐標公式可得
解法二：由P分所成的比為λ，可得
由向量相等可得
∴λ值為，y值為.
4．已知兩點A（－2，0）、B（2，3），P（x,y）在線段AB上，且有，求P點坐標.
分析：先用已知條件求出定比λ，再用分點公式即可求出點P的坐標.
即P點坐標為
5．如圖所示，已知點A（1，4），點B（－3，1），點C（2，4）三點坐標，求△ABC中∠A的平分線AD的長.
分析：要求出點D的坐標，需求出點D分的比λ.而由平面幾何知因為A、B、C三點坐標已知，可求出這樣即可求出λ.
解：由角平分線性質可知：
∵點D在線段BC上
∴點D為內分點
設點D分所成的比為λ（λ＞0）
則λ=5
相關高考真題
已知O（0，0）和A（6，3）兩點，若點P在直線OA上，且，又P是線段OB的中點，則點B的坐標是 .
（1996年上海高考題）
分析：本題考查定比分點公式和中點公式這兩個基本概念.
設P（x1,y1）、B（x2,y2），因P分所成的比λ=
即P（2，1），又因P是OB的中點，所以，所以x2=4,y2=2
答案：（4，2）
1.向量a與b(b≠0)共線的充要條件是（ ）
? ?A.a=b ?B.a-b=0 C.a2-ｂ２＝０ ?D.a+λb=0(λ∈Ｒ)
? 2.已知||=10,| |=7，則||的取值范圍是?
?A.［３，１７］ ?B.（３，１７）?
?C.［３，１０］ ?D.（３，１０）
? 3.已知=(2,8), =(-7,2),則等于（ ）
??A.(3，2) ?B.() ?C.(-3,-2) ?D.?(-,4)
? 4.已知點A(x,5)關于點C(1，y)的對稱點是B(-2,-3)，則點P(x,y)到原點的距離為（ ）
??A.4 ?B.? C.? D.?
5.與向量a平行的單位向量的個數是 .
? 6.已知a、b是非零向量，|a+b|與|a|+|b|是否一定相等 .
? 7.若a=(-3,6),b=(1,-2)，則向量a與b的大小和方向的關系是 .
? 8.直線l上有三點A、B、P，若=3，則P分有向線段所成的比是 .
9.如圖5—14，在矩形ABCD中，O是對角線AC、BD的交點，若=a, =b, =c，試證明：a-(b+c)=-?????
10.已知e1=(1,2)，e2=(-2,3),a=(-1,2),以e1、e2為基底，將a分解為λ１e1＋λ２e2的形式.
11.已知點A(-2,3)、B(2,6)，P在直線AB上，且=,求點P關于原點的對稱點Q的坐標.
12.如圖5—15，設O是坐標原點，A、B、C是坐標平面上三個不同的點，若=a,=b, =c,
求證：A、B、C三點共線的充要條件是存在三個都不為零的實數l、m、n，使得la+mb+nc=0且l+m+n=0.
參考答案：1.D 2.A 3.C 4.D 5.2個或無數個?
6.不一定 7.a與b的方向相反且a的大小是b的3倍?
8. –4 9.(略) 10.a=e1+e2?
11.Q(-6,-0) 12.(略)?
1.已知P點分有向線段所成的比為，則點B分有向線段所成的比為（ ）
? ?A.? B. ? C.- ?D.- ?
2.點A(m,n)關于點B(a,b)對稱點的坐標（ ）?
? A.(-m,-n) ?B.(a-m,b-n) ?C.(a-2m,b-2n) ?D.(2a-m,2b-m)
? 3.已知Ｐ１（４，-３），Ｐ２（－２，６）且｜｜＝２｜｜，點P在線段Ｐ１Ｐ２上，則P點坐標為（ ）
??A.(0，3) ?B.(3，0) ?C.(3，3) ?D.(1，3)
? 4.若點B分有向線段的比為2∶１，則點C與的比為 .
? 5.已知A(m,-n),B(-m,n)，點C分所成的比為-2，那么C的坐標為 .
? 6.已知O(0，0)和A(6，3)兩點，若點P在直線OA上，且，又P是OB的中點，則點B的坐標為 .
參考答案：1.C 2.D 3.A 4.- 5.(-3m,3n) 6.(4,2)?
1.設|a|=12,|b|=9,a·b=-54,則a與b的夾角θ為（ ）?
?A.45° ?B.１３５° ?C.６０° ?D.１２０°
? 2.邊長為的正三角形ABC中，設=c, =a, =b,則a·b+b·c+c·a等于
? ?A.0 ? B.1 ?C.3 ? D.-3
? 3.a、b是非零向量，a·b=|a||b|是a、b共線的（ ）?
?A.充分非必要條件? ?B.必要非充分條件?
?C.充要條件? D.既不必要也不充分條件
? 4.已知a、b的同向單位向量分別為ａ０、ｂ０，向量a、b的夾角為，則ａ０·ｂ０＝
.
? 5.若a∥b，則a·b= .
? 6.在△ABC中，已知|=||=4，且·=8，這個三角形的形狀為 .
? 7.已知：b∥a,c∥a且a、b、c方向相同，求證：＝b·c(若a、b、c的方向不同時，請思考).
??8.已知：|a|=6,|b|=4,a與b的夾角為．?
求：(1)a·b (2)a２ (3)b２??????
9.試證明：若四邊形ABCD滿足+=0,且·=0,則四邊形ABCD為矩形.?
參考答案：1.B 2.D 3.A 4.- 5.±|a||b|
6.等邊三角形? 7.(略) 8.(1)１２ (2)36 (3)16?9.(略)?
1.已知|a|=1,|b|=,且(a-b)與a垂直，則a與b的夾角是（ ）
??A.60° ?B.30° ?C.135° ?D.４５°
? 2.已知|a|=2,|b|=1,a與b之間的夾角為，那么向量m=a-4b的模為（ ）
??A.2 ?B.2? C.6 ?D.12
? 3.已知a、b是非零向量，則|a|=|b|是(a+b)與(a-b)垂直的（ ）
??A.充分但不必要條件 ?B.必要但不充分條件?
?C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
? 4.已知向量a、b的夾角為，|a|=2,|b|=1,則|a+b|·|a-b|= .
? 5.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐標系中x軸、y軸正方向上的單位
向量，那么a·b= .
? 6.已知a⊥b、c與a、b的夾角均為60°，且|a|=1,|b|=2,|c|=3,則(a+2b-c)２＝ .
? 7.已知|a|=1,|b|=,
(1)若a∥b,求a·b;
(2)若a、b的夾角為６０°，求|a+b|；?
(3)若a-b與a垂直，求a與b的夾角.
??8.設m、n是兩個單位向量，其夾角為６０°，求向量a=2m+n與b=2n-3m的夾角.???9.對于兩個非零向量a、b，求使|a+tb|最小時的t值，并求此時b與a+tb的夾角.
參考答案：1.D 2.B 3.C 4. 5. –63 6. 11?
7.(1)- (2) (3)45°? 8. 120° 9. 90°?
相關練習
1．對任意向量a、b,|a|·|b|與a·b的大小關系是（ ）
A．|a|?·|b|＜a·b B．|a|?·|b|＞a·b
C．|a|?·|b|≥a·b D．兩者大小不確定
分析：由a·b=|a|?·|b|·cosθ，且θ為a,b的夾角知，a·b≤|a|?·|b|，因為cosθ∈[－1,1].
答案：C
2．設向量a和b的長度分別為4和3，夾角是60°，則|a+b|等于（ ）
A．37 B．13 C． D．
分析：如圖所示，a與b是下列位置關系，則a+b在圖中也可畫出，且由余弦定理可求|a+b|2=|a|2+|b|2－2·|a|·|b|·cos120°=32+42+12=37
答案：C
3．有四個式子：① b·a=0;②0·a=0;③0④|a·b|=|a|·|b|，其中正確的個數為（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
分析：o·a表示零向量與任意向量a的數量積，數量積是一個數，而不是向量；o·a表示實數與向量a的積，其結果應為零向量，而不是零；對a,b數量積的定義式兩邊取絕對值，得|a·b|=|a|·|b||cosθ|，只有θ=0，π時，|a·b|=|a|·|b|才成立，只有o–正確.
答案：D
4．求證：直徑上的圓周角為直角.
已知：如圖所示，AC為⊙O的一條直徑，∠ABC是圓周角.
求證：∠ABC=90°
分析：證∠ABC=90°，既要證，可用平面向量的數量積證
證明：設
=a+b, =a－b
(a+b)(a－b)
=|a|2－|b|2
又∵|a|=|b|，∴
即∠ABC=90°
5．已知（a+b）⊥(2a－b),(a－2b)⊥(2a+b)，求a、b的夾角的余弦值.
分析：要求cosθ的值，只需計算的值即可.
解：∵（a+b）⊥(2a－b),(a－2b)⊥(2a+b)
∴
則
①×3+②,得
a2=b2，∴|a|2=|b|2
由①得：a·b=b2－2a2
=|b|2－2×|b|2
=－|b|2
∴cosθ==
相關高考真題
設a+b=2i－8j，a－b=－8i+16j,那么a·b= .
（1996年上海高考題）
分析：本題由已知條件告知兩向量的和與差，要求這兩向量的積，考查平面向量的數量積的概念及方程思想.
解：∵a+b=2i－8j ①
a－b=－8i+16j ②
①+②,得a=(－3,4)
①－②，得b=(5,－12)
∴a·b=（－3）×5+4×(－12)=－63
答案：－63
1.已知a、b為兩個單位向量，下列四個命題正確的是（ ）
? ?A.a=b ?B.a·b=0 ?C.|a·b|＜１ ?D.a２＝b２
? 2.若|a|=2,|b|=,a與b的夾角為60°，則a·b等于（ ）
? ?A. ?B. ?C.1 ?D.2
? 3.已知△ABC，=a, =b，當a·b＜０時，△ABC為（ ）
?A.鈍角三角形 ?B.直角三角形?
?C.銳角三角形 ?D.等腰直角三角形
? 4.對任意向量a、b，|a·b|與|a||b|的大小關系為 .
? 5.已知|a|=6,e為單位向量，它們之間的夾角為45°，則a在e方向上的投影為 .
? 6.在△ABC中，a=5,b=8,C=60°，則·= .
參考答案：1.D 2.A 3.A 4.|a·b|≤｜a｜|b|?5. 3 6.－２ ０?
1.下列敘述不正確的是（ ）
?A.向量的數量積滿足交換律? ?B.向量的數量積滿足分配律?
?C.向量的數量積滿足結合律? D.a·b是一個實數
2.已知|a|=6,|b|=4,a與b的夾角為６０°，則(a+2b)·(a-3b)等于（ ）
?A.72 ?B.-72 ?C.36 ?D.-36
? 3.|a|=3,|b|=4,向量a+b與a-b的位置關系為（ ）
?A.平行 ?B.垂直? ?C.夾角為 ?D.不平行也不垂直
? 4.已知|a|=3,|b|=4,且a與b的夾角為150°，則(a+b)２＝ .
? 5.已知|a|=2,|b|=5,a·b=-3,則|a+b|=,|a-b|= .
? 6.設|a|=3,|b|=5,且a+λb與a－λb垂直，則λ＝ .
參考答案：1.C 2.B 3.B 4.２ ５－１ ２ 5. 6.±
1.已知a=(2,3),b=(-4,7),則a在b方向上的投影為（ ）
??A.? B.? C.? D.?
2.已知a=(λ，２)，b=(-3,5)且a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是（ ）
? ?A.λ＞? B.λ≥ ?C.λ＜ ?D.λ≤?
3.給定兩個向量a=(3,4),b=(2,-1)且(a+xb)⊥(a-b),則x等于（ ）
? ?A.23 ? B. ?C. ?D. ?
4.已知|a|=,b=(1,2)且a∥b,則a的坐標為 .
? 5.已知a=(1,2),b(1,1),c=b-ka,若c⊥a，則c＝ .
? 6.已知a=(3,0),b=(k,5)且a與b的夾角為，則k的值為 .
? 7.已知a=(3,-1),b=(1,2),求滿足條件x·a=9與x·b=-4的向量x.????
8.已知點A(1，2)和B(4，-1)，問能否在y軸上找到一點C，使∠ＡＣＢ＝９０°，若不能，說明理由；若能，求C點坐標.?????
9.四邊形ABCD中=(6,1), =(x,y)，=(-2,-3),
(1)若∥，求x與y間的關系式；?
(2)滿足(1)問的同時又有⊥,求x,y的值及四邊形ABCD的面積.??
參考答案：1.C 2.A 3.C?4.（，２）或（-，－２）
? 5.()? 6.-5 7.(2,-3) 8.不能(理由略)?
9.(1)x+2y=0 (2) S四邊形ABCD=16?
相關練習
1．已知a=(－2,3),b=(3,2)，則a·b、（a+b）·（a－b）、（a+b）2、a (a+b)、b(a+b)的大小關系是 .
分析：用數量積的坐標表示公式，由a=(－2,3),b=(3,2)可得：
a·b=(－2)·3+3·2=0，a+b=(1,5),a－b=(－5,1) (a+b)·(a－b)=(－5)·1+5·1=0
(a+b)2=12+52=26，a(a+b)=(－2)·1+3·5=13,
b(a+b)=1·3+5·2=13.
答案：(a+b)2＞a(a+b)=b(a+b)＞(a+b)·(a－b)=a·b
2．已知A、B、C是坐標平面上的三點，其坐標公別為A（1，2），B（4，1），C（0，－1），求和∠ACB的大小，并判斷△ABC的形狀.
分析：判斷三角形形狀，一般從角（是否直角或等角）或邊長（是否相等）的角度來考慮.
解：∵A（1，2）、B（4，1）、C（0，－1）
∴△ABC是等腰三角形.
∴△ABC是等腰直角三角形.
3．已知A（1，2）、B（4，0）、C（8，6）、D（5，8）四點，則對四邊形ABCD描述最準確的是（ ）
A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
分析：首先應當判斷四邊形是否是平行四邊形，然后再判斷鄰邊是否垂直或相等.另一個方法是判斷對角線是否相等或垂直.，則四邊形ABCD為平行四邊形.
答案：B
4．已知A（3，－2）、B（5，2）、C（－1，4），試用向量計算△ABC的面積.
分析：設∠BAC=θ，S△ABC=
解：∵A（3，－2）、B（5，2）、C（－1，4）
則
5．已知a、b是兩個非零向量，且|a|=|b|=|a－b|，求a與a+b的夾角.
分析：由于向量的表示形式不同，有下面三種解法：
解法一：由|a|=|b|有|a|2=|b|2
又∵|b|=|a－b|
∴|b|2=|a|2－2a·b+|b|2
則a·b=|a|2
而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2
∴|a+b|=|a|
設a與a+b的夾角為θ，則
解法二：設向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)
∵|a|=|b |
∴x12+y12=x22+y22
∵|b|=|a－b|
∴x22+y22=(x1－x2)2+(y1－y2)2
即x1x2+y1y2=
∵|a+b|2=2
=
∴|a+b|=
設a與a+b的夾角為θ，則
解法三：由向量的幾何意義，可作圖如圖所示：
在平面內任取一點O，作
以、為鄰邊作平行四邊形OACB.
∵|a|=|b|，∴||=||
∴OACB為菱形，OC平分∠AOB
則=a+b, =a－b
而|a|=|b|=|a－b|
即
∴△AOB為正三角形，則∠AOB=60°
∴∠AOC=30°，即a與a+b的夾角為30°.
相關高考真題
設a=(m+1)i－3j,b=i+(m－1)j,(a+b)⊥(a－b)，則m= .
(1997年上海高考題)
分析：本題考查向量的和與差及兩向量垂直的充要條件，只要求出a+b,a－b,由（a+b）⊥(a－b)，
即（a+b）·(a－b)=0，可求出m.
解：∵a=(m+1,－3),b=(1,m－1)
∴a+b=(m+2,m－4),a－b=(m,－2－m)
∵(a+b)⊥(a－b)
∴m(m+2)+(m－4)(－2－m)=0
解得m=－2
1.若a=(-4,3),b=(5,6),則3|a|２－４a·b＝（ ）?
??A.23 ?B.57 ?C.63 ?D.83
? 2.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，則△ABC為（ ）
? A.直角三角形 ?B.銳角三角形?
?C.鈍角三角形 ?D.不等邊三角形
? 3.已知a=(4,3),向量b是垂直a的單位向量，則b等于（ ）
??A.或? B.或??
?C.或? ?D.或?
4.a=(2,3),b=(-2,4),則(a+b)·(a-b)= .
? 5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若點P(x,-)在線段AB的中垂線上，則x= .
? 6.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=,b=,則a與b的夾角為 .
參考答案：1.D 2.A 3.D 4. –7 5. 6.45°?
向量及其運算單元復習題
一、選擇題
1.若a、b是兩個非零向量，則下列命題正確的是( )
A.a⊥ba·b＝０ B.a·b＝｜a｜·｜b｜
C.a·b＝－b·a D.a·b＝－｜a｜·｜b｜
解析：由a·b＝｜a｜·｜b｜·ｃｏｓα，其中α為向量a與b的夾角，當α＝90°時，a·b＝０.
答案：A
2.設A(1，3)，B(－２，－３)，Ｃ（x，７），若∥，則x的值為( )
A.0 B.3 C.15 D.18
解析：根據兩向量共線的充要條件求解，
∵＝（－２－１，－３－３）＝（－３，－６）
＝（x－（－２），７－（－３））＝（x＋２，１０）
由∥可得－３×１０＝－６（x＋２），解得x＝３.
答案：B
3.已知｜a｜＝３，｜b｜＝４，(a＋b)·（a＋３b）＝３３，則a與b的夾角為( )
A.30° B.６0° C.１２0° D.１５0°
解析：（a＋b）（a＋３b）＝a２＋３b·a＋b·a＋３b２＝３２＋４a·b＋３×４２＝33
∴a·b＝－６，∴｜a｜｜b｜ｃｏｓα＝－６
∴cosα＝－，∴α＝１２０°.
答案：C
4.設兩點A(－１，－２)和B（６，１）按向量a平移后的坐標分別為（－３，ｍ）和（ｎ，４），則向量a的坐標是( )
A.（－２，３） B.（２，－３）
C.（－３，２） D.（３，－２）
解析：由題意a＝（－３－（－１），ｍ－２）＝（ｎ－６，４－１）
∴由向量相等的定義可得：
解得ｍ＝５，ｎ＝４，∴a＝（－２，３）.
答案：A
5.若｜a｜＝｜b｜=１，a⊥b，且2a＋３b與ka-4b也互相垂直，則k的值為( )
A.－６ B.６ C.３ D.－３
解析：由a⊥b可得a·b＝０，由（２a＋３b）⊥(ka-4b)得
(2a+3b)·(ka-4b)=0
∴2ka２＋（３ｋ－８）a·b－１２b２＝０，
∴２ｋ－１２＝０，∴ｋ＝６.
答案：B
6.設命題p:向量b與a共線，命題q:有且只有一實數λ使得b＝λa，則p是q的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析：∵ｑｐ而ｐ≠ｑ，原因是若a，b中有一個是0，則滿足b＝λa的λ不惟一.
故p是q的必要不充分條件.
答案：B
7.把函數y＝ (cos３x－sin3x)的圖象適當平移可得到函數y＝sin（－３x）的圖象，這種平移是( )
A.沿x軸向右平移 B.沿x軸向左平移
C.沿x軸向右平移 D.沿x軸向左平移
解析：y＝cos３x－sin３x＝sincos３x－cossin３x＝sin（－３x）
假設用x+k替換x可得y＝sin（－３x），
即－３（x＋ｋ）＝－３x，解得ｋ＝，
所以把原函數圖象沿x軸向左平移個單位即可得到y＝sin（－３x）的圖象.
答案：B
8.已知點Ｐ（４，－９），Ｑ（－２，３），則y軸與直線PQ的交點分有向線段所成的比是( )
A. B. C.２ D.３
解析：設交點R（０，y），R分所成比為λ，由定比分點坐標公式得０＝，
解得λ＝２.
答案：C
9.設a＝（－１，２），b＝（１，－１），с＝（３，－２）且с＝ｐa＋qb,則實數p、q的值為( )
A.p=4,q=1 B.p=１,q=４
C.p=０,q=1 D.p=１,q=－４
解析：由題意pa=(-p,2p),qb＝（q,-q）
∴pa+qb=(-p+q,2p-q)=(3,-2)
∴
解得ｐ＝１，ｑ＝４
答案：B
10.若＝a，＝b，則∠AOB的平分線上的向量為( )
A.
B.λ（），λ由確定
C.
D.
答案：B
二、填空題
11?一個函數的圖象按向量a＝（１，－２）平移后圖象的解析式y＝２x－１－２，則原來函數圖象的解析式為 .
解析：可以逆向思維，即把y＝２x－１－２的圖象按－a＝（－１，２）平移可得原函數解析式.
函數圖象向左平移1個單位，用x＋１替換x，再向上平移2個單位，用y-2替換-y，
∴y－２＝２（x＋１）－１－２，即y＝２x.
答案：y=2x
12.已知下列命題：
①＋＋＝０；②若向量＝（－３，４），則按向量a＝（－２，１）平移后的坐標仍是（－３，４）；③向量b與向量a的方向相反，是b是a的相反向量的充分不必要條件；④已知點M是△ABC的重心，則＋＋=0
其中正確命題的序號是 .
解析：①＋＝，＋＝0≠0，故命題①錯誤.
②向量平移后雖起點、終點的坐標發生變化，但向量的大小、方向不發生改變，所以向量的坐標不變，故命題②正確.
③由b是a的相反向量可以推出兩向量的方向相反，但兩向量方向相反卻不一定是相反向量，所以向量b與向量a的方向相反是b是a的相反向量的必要不充分條件.
故命題③錯誤?
④命題④可證為正確命題.
故正確命題序號為：②④
答案：②④
三、解答題
13?設兩個非零向量ｅ1與ｅ２不共線，
(1)若＝ｅ1＋ｅ２，＝２ｅ1＋８ｅ２，＝３（ｅ1－ｅ２），求證A、B、D共線
(2)試確定實數k的值，使kｅ1+ｅ２和ｅ1+kｅ２共線.
(1)證明：∵＝２ｅ1＋８ｅ２，＝３（ｅ1－ｅ２）
∴＝＋＝５ｅ1＋５ｅ２＝５（ｅ1＋ｅ２）＝５
故根據兩向量共線的充要條件可得∥
又與有一公共點B，
∴A、B、D三點共線.
(2)解：若(kｅ1+ｅ２)∥(ｅ1+kｅ２)，則存在一實數λ，使ｋｅ1＋ｅ２=λ（ｅ1＋ｋｅ２）
整理可得（ｋ－λ）ｅ1＋（１－λｋ）ｅ２＝0
又∵ｅ1，ｅ２為非零不共線向量，
∴可得
解得ｋ＝λ＝±１
所以，當k=1或k=-1時，可以使kｅ1+ｅ２和ｅ1+kｅ２共線.
二、相關練習
1．把y=2x2+x+3的圖象C按a=（3，－1）平移到C′，則C′的函數解析式是（ ）
分析：根據平移公式
再把所得公式代入原函數解析式，有
答案：B
2．一個向量a把點（2，－1）平移到（－2，1），它把點（－2，1）平移到（ ）
A．（2，－1） B．（－2，1） C．（6，－3） D．（－6，3）
分析：設向量a=(h,k)，則有平移公式：
則當x=－2時，x′=－6,當y=1時，y′=3
答案：D
3．已知函數y=log2(2x－3)的圖象按向量a平移后圖象的解析式為y=log2(2x)，求向量a.
分析：平移后圖象的解析式實質上是y′=log2(2x′)，利用平移公式可求出a.
解：由平移公式
代入
∴所求的向量a=
4.把一個函數的圖象左移個單位，再下移2個單位得到的圖象的解析式為：，求原函數的解析式.
分析：運用平移公式求平移前后的其中一個圖形的解析式，往往要使用坐標代入法.這時要注意“對號入座”，即只有圖形上的點，才能把坐標代入相應的解析式.
解：依題意有則平移公式為：
所以原函數的解析式為.
5．將函數y=x2+5x+4的圖象沿x油平移，使其通過原點，求平移后的函數的解析式.
分析：使圖象過原點，應有兩種情況.即使原圖象與x軸的兩個交點，分別平移至原點.
解：函數y=x2+5x+4與x軸的交點坐標是A（－1，0），B（－4，0）
（1）將函數y=x2+5x+4的圖象平移，使點A（－1，0）與原點O（0，0）重合，這種圖形的變換可以看作是將其按向量平移得到的.
設的坐標為（m,n），則
設P（x,y）是函數y=x2+5x+4的圖象上的任一點，平移后對應點的坐標為P′（x′,y′），
則
將它代入y=x2+5x+4中，
（2）同理可求函數y=x2+5x+4的圖象平移，使點B（－4，0）與0（0，0）重合時的解析式為
相關高考真題
設曲線C的方程是y=x3－x，將C沿x軸、y軸正方向分別平行移動t、s單位長度后得曲線C1.
（1）寫出曲線C1的方程；
（2）證明曲線C和C1關于點A（）對稱；
（3）如果曲線C和C1有且僅有一個公共點，證明且t≠0.
(1998年全國高考題)
分析：此題首先考查平移知識，接著是對稱方面的知識及其判斷交點個數的方法.平移公式描述了圖象運動的數學規律，反映了運動、變換的數學思想方法.本題以函數圖象、方程與曲線、點的對稱為依托，曲線的平移為背景，重點也考查了這些數學思想方法.
解：（1）由平移公式可得由曲線C1的方程為：
（2）證明：在曲線C上任取一點B1（x1,y1），設B2（x2,y2）是B1關于點A的對稱點，則有
所以x1=t－x2,y1=s－y2
代入曲線C的方程，得x2和y2滿足方程：
,可知點B2（x2,y2）在曲線C1上.
反過來，同樣可以證明，在曲線C1上的點關于點A的對稱點在曲線C上.
因此，曲線C與C1關于點A對稱.
（3）證明：因為曲線C與C1有且僅有一個公共點，所以方程組有且僅有一組解，消去y并整理得：
這個關于x的一元二次方程有且僅有一根.
所以t≠0，且判別式Δ=9t4－12t(t3－t－s)=0
即
1.將點P(7，0)按向量a平移，對應點A′(11，5)，則a等于（ ）
? ?A.(2，5) ?B.(4，3) ?C.(4，5) ?D.(5，4)
? 2.將函數y=f(x)的圖象F按向量a=(-3,2)平移后得y=6ｓｉｎ５ｘ的圖象，則f(x)等于（ ）
??A.y=6sin(5x+15)+2? ?B.y=6sin(5x-15)+2?
?C.y=6sin(5x+15)-2? ?D.y=6sin(5x-15)-2
? 3.將函數y=4-n-(x-m)的圖象按向量a平移得到的圖象的函數為y=4-x，則a等于
?（ ）
?A.(m,n) ?B.(m,-n)? ?C.(-m,n) ?D.(-m,-n)
? 4.按向量a把點A(1，1)平移后得到A′(3,-4)，按此平移法，則點B(-2，-1)應平移到
.
? 5.將一拋物線F按a=(-1,3)平移后，得到拋物線F′的函數解析式為y=2(x+1)２＋３，則F的解析式為 .
? 6.若在直線l上有兩點A(x１，y１)和B(x２，y２)，如果按向量a平移后，A點對應點的坐標為(2x１，２y１)，則B點對應點的坐標為 .
? ７．是否存在一個平移，它把點(0，-1)移至(1，0)，且把點(-1，3)?移至(0，4).????8.將拋物線y=x２－４ｘ＋５按向量a平移，使頂點與原點重合，求向量a的坐標.????9.將一次函數y=mx+n的圖象C按向量a=(2,3)平移后，得到的圖象仍然為C，試求m的值.?
參考答案：1.C 2.D 3.C 4.(0,-6) 5.y=2x2 6.(x1+x2,y1+y2)?
7.存在? 8.(-2,-1) 9.
?
1.已知a=(-6,8),且|λa|=5,則λ為（ ）
A. ?B.-? C.?± ?D.?2?
2.已知|a|=,|b|=2,a與b的夾角為30°，則|a+b|等于( )
A.2 ? B. ? C.5 D.3
3.已知△ABC的頂點坐標為A(1，1)，B(4，1)，C(4，5)，則cosＡ的值為( )
A. B. ? C. ? D.
? 4.為得到函數y＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ的圖象，只要將函數y=sinｘ－ｃｏｓｘ按向量a平移，則a等于（ ）?
A.（，０） B.（-，０）??C.（，０） D.?（-，０）?
5.當n= 時，向量a=(n,1)與b=(4,n)共線且方向相同.
6.把函數y=-2x２的圖象經過向量a= 平移，可得到y=-2x２＋２ｘ－．?
7.已知a=(3,4),且a·b=10,則向量b在a方向上的投影是 .
? 8.已知向量a=(2,x),b=(3,4)且a、b的夾角為鈍角，則x的取值范圍是 .
? 9.已知|a|=1,|b|=2，當且僅當k為何值時，向量a+kb與a-kb互相垂直.
? 10．設|a|=,|b|=1,a與b的夾角為30°求a+b與a-b的夾角余弦.??????
11.在三角形△ABC中，=a，=b, =c,且|a|=3,|b|=2,|c|=4，求a·b+b·c+c·a的值.
12.已知向量a、b、c兩兩所成的角相等，且不共線，|a|=1,|b|=2,|c|=3.求向量a+b+c的長度及與向量a、b、c的夾角.
參考答案：1.C 2.B 3.A 3.B 5. 2 6.(,-1) 7. 2?
8.(－∞，－) 9.± １０．
11.- 12.|a+b+c|=; a與a+b+c的夾角為150°，b與a+b+c的夾角為90°,
c與a+b+c的夾角為30°.?
1.把點A(4，-3)按向量a平移到A′(-1，5)，則向量a等于（ ）
? A.(-5，8) ?B.(5，-8)? ?C.(-5，-8) ?D.(5，8)
? 2.將函數y=ｌｏｇ３（ｘ＋１）－１的圖象按a=(1,-2)平移后得到的函數解析式為（ ）
??A.y＝ｌｏｇ３（ｘ＋２）－３ ?B.y＝ｌｏｇ３ｘ－３?
?C.y＝ｌｏｇ３（ｘ＋２）＋１ ?D.y＝ｌｏｇ３ｘ＋１
? 3.已知A(2，1)、B(6，7)，把向量按向量(3，2)平移后得到一個新向量，那么下面各向量中能與垂直的是（ ）
??A.(-3,-2) ?B.() ?C.(-4,6) ?D.(0,-2)
? 4.一個向量a把點(1，1)平移到(-1，0)；它把坐標原點平移到 .
? 5.拋物線y=4x２按向量a=(1,2)平移后，其頂點在一次函數的圖象上，則b=
.
? 6.將函數y=f(ωx)的圖象按a=(h,k)平移后得到的圖象的解析式為 .
參考答案：1.A 2.B 3.B 4.(-2,-1)? 5. 3 6.y=f［ω(x-h)］+k?
1.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,則滿足此條件的三角形的個數是（ ）
A.0 ?B.1 ?C.2? D.無數個
2.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，則△ABC的面積S△ABC等于（ ）
?A. ? B.2? C. +1 ?D.(+1)
3.已知三角形ABC的三邊a、b、c成等比數列，它們的對角分別是A、B、C，則sinAsinC等于（ ）?
?A.cos2B? B.1-cos2B? ?C.1+cos2B? D.1+sin2B
4.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，則此三角形的最小邊長為 .
? 5.在△ABC中，a+b=12,A=60°，B=45°，則a= ,b= .
6.在△ ABC中，若sinA∶sinB∶sinC=m∶n∶l,且a+b+c=S,則a= .?
7.如圖5—16,已知△ABC，AD為∠BAC的平分線，利用正弦定理證明：.????
8.已知△ABC中，a=1,b=,A=30°,求B、C和c.?
9.在△ABC中，c=2，tanA=3,tanB=2,試求a、b及此三角形的面積.
參考答案：1.A 2.C 3.B 4.2（-1）?
5.36-12 6. 7.(略)?
8.B1=60°,B2=120°；C1=90°，C2=30°；c1=2,?c2=1?
9.
1.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么這個三角形是( )
?A.等邊三角形? ?B.直角三角形?
?C.等腰三角形? ?D.等腰三角形或直角三角形
? 2.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，則此三角形為( )?
?A.直角三角形? ? B.等腰三角形?
?C.等邊三角形? D.等腰直角三角形
? 3.在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的
?A.充分不必要條件? ?B.必要不充分條件?
?C.充要條件? ?D.既不充分也不必要條件
? 4.在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，則secA= .?
5.△ABC中，，則三角形為 .?
6.在△ABC中，角A、B均為銳角且cosA＞sinB，則△ABC是 .
7.在△ABC中，求證：??????
8.已知△ABC中，，試判斷△ABC的形狀.??? 9.在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判斷△ABC的形狀.??????
參考答案：1.D 2.A 3.C 4. 8 5.等腰三角形?6.鈍角三角形 7.(略)?
8.等邊三角形 9.等腰三角形或直角三角形?
1.在△ABC中，bcosA=acosB，則三角形為（ ）?
?A.直角三角形 B.銳角三角形?
?C.等腰三角形 ?D.等邊三角形
? 2.已知三角形的三邊長分別為x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，則最大角為( )
?A.150° ?B.120° ?C.60° ?D.75°
? 3.在△ABC中， =1，=2，（+）·（+）=5+2則邊||等于?（ ）
?A. B.5-2 ?C. ?D.
? 4.在△ABC中，= .?
5.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2，則△ABC的最小角的度數為 .?
6.若2,3,x為三邊組成一個銳角三角形，則x的范圍為 .?
7.在△ABC中，a=,b=2,c=+1，求A、B、C及S△.??????
8.已知（a2+bc）x2+2=0是關于x的二次方程，其中a、b、c是△ABC的三邊，(1)若∠A為鈍角，試判斷方程根的情況；(2)若方程有兩相等實根，求∠A的度數.??9.已知S△ABC=10,一個角為60°，這個角的兩邊之比為5∶2，求三角形內切圓的半徑.?
參考答案：1.C 2.B 3.C 4. 5.45° 6. ＜x＜
7.A=60°，B=45°，C=75°，S△=
8.(1)沒有實數根 (2)60°?9.
相關練習
1．在△ABC中，已知C=2B，求證：c2－b2=ab.
分析：利用正弦定理的變式a=2RsinA,b=2RsinB.
證明：設△ABC的外接圓半徑為R.
∵C=2B,sin(B+C)=sinA
則原式成立.
2．在△ABC中，a＞b,C= ，且有tanA·tanB=6，試求a、b以及此三角形的面積.
分析：由已知可求tanA+tanB,這樣可求得tanA和tanB的值.只需求sinA、sinB的值，就可利用正弦定理求a、b.
解：∵tanA+tanB=tan(A+B)·(1－tanAtanB)
=－tanC(1－tanAtanB)
=－tan(1－6)=5
又∵tanA·tanB=6,且a＞b，則tanA＞tanB
∴tanA=3,tanB=2
則
由正弦定理，得
3．已知△ABC的面積為1，tanB=,求△ABC的各邊長.
分析：綜合利用同角三角函數關系式、正弦定理和三角形的面積公式進行計算.
解：∵tanB=,∴sinB=
又∵tanC=－2,
則SΔABC=
解得
再由正弦定理得
4．已知：k是整數，鈍角△ABC的三內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c
（1）若方程組有實數解，求k的值.
（2）對于（1）中的k值，若且有關系式,試求A、B、C的度數.
分析：由方程組有實數解，求得k值，由已知關系式，討論k的取值范圍和角的取值.
解：（1）將原方程組消去y后 ，化為：
由Δ≥0得
≤0
即(k－3)(2k－1)≤0,≤k≤3
∵k為整數，∴k=1，2，3
（2）∵△ABC為鈍角三角形
∴0＜sinC＜1
∴k取1，，則C為45°或135°
若c=b，則B=45°或135°，與△ABC是鈍角三角形相矛盾.
∴a2－c2－b2－bc=0
則
∴cosA=－,A=120°
∵C=45°,C=135°(舍去)，B=180°－120°－45°=15°
5．求值：
分析：根據原式的結構特征，聯想到余弦定理，所以可用構造三角形的方法求值.
解：構造△ABC，使A=20°，B=10°，C=150°，設△ABC的外接圓的半徑為R.由正弦定理得：
a=2Rsin20°,b=2Rsin10°,c=2Rsin150°
∵c2=a2+b2–2abcosC
相關高考真題
1．在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，設a+c=2b, A–C=，求sinB的值.
（1998年全國高考題）
分析：本題考查學生分析題意，運用三角知識進行三角變換及發掘三角形中隱含條件的能力.要解決這個問題，必須具備一些相關知識，包括正弦定理、誘導公式、和差化積、同角三角函數基本關系、倍角公式等知識，因此，這是一道較綜合的考題.從已知條件出發，可將邊的關系運用正弦定理化為角的關系，然后進行正確的三角變換，從而將此問題解決.
解：∵a+c=2b,∴sinA+sinC=2sinB
由和差化積公式得
1.正弦定理適應的范圍是（ ）
A.Rt△? B.銳角△? ?C.鈍角△ ?D.任意△
2.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，則c=（ ）?
?A.10+? B.10（-1） ?C.（+1）? D.10
3.在△ABC中，bsinA＜a＜b，則此三角形有（ ）
?A.一解 ?B.兩解? ?C.無解 ?D.不確定
4.在△ABC中，若此三角形有一解，則a、b、A滿足的條件為 .?
5.已知在△ABC中，a=10,b=5,A=45°,則B= .
6.已知△ABC中，a=181,b=209,A=121°14′，此三角形 解.
參考答案：1.D 2.B 3.B 4.a=bsinA或b＜a?5.60°或120° 6.無?
1.在△ABC中，,則k為( )?
?A.2R ?B.R
C.4R ? D.(R為△ABC外接圓半徑)
? 2.在△ABC中，bCosA=acosB，則三角形為( )?
? A.直角三角形 ?B.銳角三角形?
?C.等腰三角形? D.等邊三角形
? 3.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，則△ABC為( )?
? A.直角三角形? B.等腰直角三角形?
?C.等邊三角形? D.等腰三角形
? 4.在△ABC中，若a2＞b2+c2，則△ABC為；若a2=b2+c2，則△ABC為 ；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，則△ABC為 .
? 5.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，則三角形為 .?
6.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A= .?
參考答案：1.A 2.C 3.A?
4.鈍角三角形直角三角形銳角三角形?
5.等腰三角形 6.120°?
1.三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，則三角形
的另一邊長為（ ）
A.52 ?B.2 ?C.16 ?D.4
? 2.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，則A等于（ ）?
?A.60° ?B.45° ?C.120 ?D.30°
? 3.在△ABC中，，則△ABC是（ ）?
A.銳角三角形 ?B.直角三角形?
C.鈍角三角形 ?D.任意三角形
? 4.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°則c= .?
5.在△ABC中，化簡bcosC+ccosB= .?
6.鈍角三角形的邊長是三個連續自然數，則三邊長為 .?
參考答案：1.B 2.C 3.C 4. 5. a 6.2、3、4?

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