資源簡介

空間向量定義及運算
【考綱解讀】
理解空間向量的定義，掌握空間向量線性運算加法，減法和數與向量乘積運算的法則，掌握空間向量線性運算的基本方法，能夠熟練進行空間向量的線性運算；
了解空間向量基本定理，理解空間向量坐標的定義，掌握空間向量坐標運算加法，減法和數與向量乘積運算的法則，掌握空間向量坐標運算的基本方法，能夠熟練進行空間向量的坐標運算；
理解空間向量數量積的定義，掌握空間向量數量積幾何運算（或坐標運算）的法則和基本方法，能夠熟練進行空間向量數量積幾何運算（或坐標運算）。
【知識精講】
一、空間向量的概念：
1、空間向量的定義：在空間具有大小和方向的量，叫做空間向量。
2、空間向量的三要素：（1）空間向量的始點；（2）空間向量的大小；（3）空間向量的方向。
3、向量的表示：空間向量表示的基本方法有：（1）始點與終點的大寫字母加上箭頭符號（注意大寫字母的順序）；（2）一個小寫的希臘字母加上箭頭符號。
4、空間向量的模：空間向量的長度，稱為空間向量的模，它可表示為：（1）始點與終點的大寫字母加上箭頭符號（注意大寫字母的順序）再加上絕對值符號；（2）一個小寫的希臘字母加上箭頭符號再加上絕對值符號。
5、特殊的空間向量：（1）零向量：模長為0的向量，稱為零向量，零向量具有如下性質：①零向量的模長為0 ；②零向量的方向不確定；③零向量與任何向量共線；
（2）單位向量：模長為1的向量，稱為單位向量，單位向量常用，，-----表示，也可以表示為，，----- 。
（3）平行向量（或共線向量）：方向相同（或相反）的向量，稱為平行向量（或共線向量），規定零向量與任一向量平行（或共線）。
（4）相等向量：方向相同且模長相等的向量，稱為相等向量，相等向量具有兩個特征：①
相等向量方向相同；②相等向量模長相等。
（5）相反向量：方向相反且模長相等的兩個向量，互為相反向量，其中一個向量稱為另一個向量的相反向量，相等向量具有兩個特征：①相反向量方向相反；②相反向量模長相等。
（6）共面向量：在同一個平面內的向量，叫做共面向量。
二、空間向量的線性運算：
1、空間向量的加法：
（1）空間向量加法的定義：求空間幾個向量的和的運算，叫做空間向量的加法；
（2）空間向量加法的法則：
①平行四邊形法則，如（圖1）：
平行四邊形法則的特點是兩個向量具有公共的始點； +
它的適用范圍是具有公共始點的兩個向量求和。 （圖1）
②三角形法則如（圖2）：
三角形法則的特點是一個向量的始點與另一個向 +
量的終點重合； （圖2）
三角形法則的適用范圍是一個向量的始點與另一個向量的終點重合的兩個向量求和。
（3）空間向量加法的運算律：
①+=+，這個運算律稱為交換律；特別的：+=+=；
②（+）+=+（+），這個運算律稱為結合律。
2、空間向量的減法：
（1）相反向量的定義：求兩個向量的差的運算，稱為向量的減法。
（2）相反向量的表示：在一個向量前面加上符號“-”表示這個向量的相反向量，例如向量的相反向量可表示-。
（3）互為相反向量的兩個向量的性質：①互為相反向量的兩個向量的和零，即設向量的相反向量向量為-，則上面的性質可表示為+（-）=0。
（4）空間向量減法的法則：減去一個向量等于加上這個向量的相反向量。
3、實數與空間向量的積：
（1）實數與空間向量積的意義：設空間向量為，∈R，的意義是：①長度：||=||||，②方向：＞0時，與同向；＜0時，與反向；由實數與空間向量積的意義可知，在計算時，應分兩步進行：①確定的模長；②確定的方向 。
（2）實數與空間向量的積的運算性質：設，是空間向量，，∈R。
①（）=（）； ②（+）=+； ③（+）=+。
三、共線向量與共面向量：
1、共線向量：
（1）共線（或平行）向量的定義：方向相同（或相反）的向量，稱為共線（或平行）向量。
（2）向量共線的充要條件：設，是空間任意兩個向量，且≠0，則，共線的充要條件是：存在∈R，使=成立；即：與（≠0）共線存在∈R，使=成立。
（3）推論：如果直線l過已知點A，且平行于已知非零向量所在的直線，那么對空間任意一點O，點P在直線l上的充要條件是：存在∈R，使=+成立。
2、共平面向量：
（1）共面向量的定義：在同一平面內的向量，稱為共面向量。
（2）共面向量的充要條件：設，是不共線的兩個向量，則向量與向量，共面的充要條件是：存在x，y∈R，使=x+y成立；即：向量與不共線向量，共面存在x，y∈R，使=x+y成立。
（3）推論：空間一點P位于平面MAB內的充分必要條件是：存在x，y∈R，使=x+y成立；或對空間任意一點O，存在x，y∈R,有=+x+y 成立。
四、空間向量基本定理：
1、空間向量基本定理：如果三個向量，，不共面，那么對空間任意向量，存在 唯一一對有序實數組（x，y，z），使=x+y+z成立；這里的｛，，｝叫做空間的一個基底，向量{，，}叫做基向量；空間任何三個不共面的向量，都可以構成空間的一個基底。
2、空間向量基本定理的推論：設O，A，B，C四點不共面，則對空間任意一點P，都存在
唯一一對有序實數組（x，y，z），使=x+y+z（x+y+z=1）成立。
五、空間向量的坐標運算：
1、空間向量坐標的定義：
（1）單位正交基底：在空間取三個互相垂直的單位向量為基向量的基底，稱為單位正交基底，用{，，}來表示；
（2）空間直角坐標系的定義：在空間選定一點O和一個單位正交基底｛，，｝，以O為原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系O—xyz，稱為空間直角坐標系；這里的O點叫做空間直角坐標系的原點，向量，，叫做x軸，y軸，z軸的單位向量，每兩個坐標軸確定的平面叫做坐標平面，空間直角坐標系中有三個坐標平面，它們分別是xOy平面，xOz平面和yOz平面。
（3）空間向量坐標的定義：在給定的空間直角坐標系中，對空間的任意向量，由空間向量基本定理可知，存在唯一的有序實數組（x，y，z），使=x+y+z成立，這里的有序實數組（x，y，z）稱為向量在空間直角坐標系O—xyz中的坐標，記作=（x，y，z）。
（4）空間直角坐標系中點的坐標：在空間直角坐標系O—xyz中，對空間的任意一點A，對應一個向量，存在唯一的有序實數組（x，y，z），使= x+y+z成立，這里的有序實數組（x，y，z）稱為點A在空間直角坐標系O—xyz中的坐標，記作A（x，y，z）；其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標。
2、空間向量的坐標運算：
設=(， ，)，=(，，)。
（1）+=(+， +，+)； （2）-=(-， -，-) ；
（3）=(， ，)； （4）||==；
（5）設空間直角坐標系中的兩點A(，，)，B(， ， )。
①=(-， -，-) ，從而得到：一個空間向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個空間向量的有向線段的終點坐標減去始點坐標；
②||==。
六、空間向量的數量積：
1、空間向量數量積的線性運算： B
（1）空間向量的夾角：如圖設空間向量，是兩個非零向量，
在空間任意取一點O，作=， =，則= O A
稱為空間向量與的夾角，記為〈，〉=，（≤≤）；
（2）空間向量夾角的特例：①當=時，空間向量與同向；②當=時，空間向量與互相垂直，記作⊥；③當=時，空間向量與反向。
（3）空間向量數量積的線性運算：
①法則：.=||||COS〈，〉， 規定：.=.=0；
②空間向量數量積的幾何意義：
.等于空間向量的長度||與空間向量在向量的方向上的投影|| COS〈，〉的乘積，如下圖所示：
B B B
O A O A O A
〈，〉為銳角 〈，〉為鈍角 〈，〉為直角
（4）空間向量數量積的運算性質：
設空間向量，，，∈R。則有：①.=.；②（）. =（. ）=. （）；③（+）.= .+.。
2、空間向量數量積的性質：
設空間向量，是非零向量，是與同向的單位向量，為空間向量與的夾角。則有：①.=.=||cos；②⊥.=0；③.=||或||=；
④cos= ；⑤|.|≤||.||。
3、空間向量數量積的坐標運算：
設=(， ，)，=(，，)。則有：（1）.=+ +；（2）||= .=；||=；（3）cos= ；（4）⊥.=+=0；（5）∥=。
【探導考點】
考點1空間向量的概念：熱點判斷與空間向量概念相關命題的真假；
考點2空間向量的線性運算：熱點①空間向量線性運算；熱點②根據空間向量運算求參數的值（或取值范圍）；熱點③空間向量共線充分必要條件的運用；
考點3空間向量的坐標運算：熱點①空間向量基本定理及運用；熱點②空間向量坐標運算；熱點③利用空間向量共線（或共面）充分必要條件求向量（或點的坐標）；熱點④利用空間向量共線（或共面）充分必要條件求參數的值（或取值范圍）
考點4空間向量數量積：熱點①空間向量數量積的線性運算；熱點②空間向量數量積的坐標運算；熱點③運用空間向量數量積求向量的模；熱點④利用空間向量數量積求向量的夾角。【典例解析】
【典例1】解答下列問題：
1、給出下列命題：①將空間中所有的單位向量移到同一個點為起點，則它們的終點構成一個圓；②若空間向量，滿足||=||，則=；③正方體ABCD—中，必有=；④若空間向量，，滿足=，=，則=。其中不正確命題的個數是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
2、判斷下列命題的真假，如果是假命題，并說明理由：
若向量與同向，且||＞||，則＞；
若||=||，則與的長度相等且方向相同或相反；
對任意向量||=||，且與的方向相同，則=；
的方向不定，故不與任何向量平行；
向量與平行，則向量與向量的方向相同或相反；
向量與向量是共線向量，則A、B、C、D四點在一條直線上；
起點不同，但方向相同，且模長相等的幾何向量是相等向量。
『思考問題1』
（1）【典例1】是與空間向量基本概念相關的問題，解答這類問題需要深刻理解空間向量的基本概念，注意問題與哪一個（或哪幾個）基本概念相關；
（2）理解空間向量的基本概念，一定要注意每一個基本概念涉及問題的實質及主要特征，例如相等向量的實質是兩個向量相等，主要特征是：① 相同，②模長 。
〔練習1〕解答下列問題：
1、四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是( )
A ||=|| B = C = D =
2、下列說法中錯誤的是（ ）
A零向量是沒有方向的 B零向量的長度為0
C零向量與任一向量平行 D零向量的方向是任意的
【典例2】按要求解答下列各題：
1、如圖已知平行六面體ABCD—。
求：（1）+；
（2） ++； D C
（3）++； A B
（4）（++）。 0
2、如圖已知空間四邊形OABC，其對角線OB、AC， M
M，N分別是對邊OA，BC的中點，點G在線段MN G C
上，且使MG=2GN，用基向量，，表示 A N
向量； B
3、 如圖平行六面體ABCD—中，AC與
BD的交點為點M，設，，
EMBED Equation.DSMT4 ，則下列向量中與相等的 D C
向量是（ ） A M B
A B C D
4、如圖平行六面體ABCD—中，
AB=5，AD=3，A=7，，
EMBED Equation.DSMT4 。 D C
求A的長。 A B
5、已知ABCD—是平行六面體，設M是底面ABCD的中心，N是側面BC對角線B上的4等分點，且BN= B，設= ++，試求，，的值。
『思考問題2』
（1）【典例2】是空間向量線性運算的問題，解答這類問題應該理解并掌握空間向量線性運算的基本法則和運算律，注意每一個法則的特性與適用范圍；
（2）在實際解答問題時，運用法則的同時應該結合空間向量線性運算的運算律，這樣可以使問題更加簡化便捷。
〔練習2〕解答下列問題：
1、如圖已知正方體ABCD—，點E、F分別是
上底面和側面CD的中心，求下列各
題中x、y的值。 F
（1）=x（++）； D C
（2）=+x+y； A B
（3）=+ x+y。
2、如圖已知空間四邊形ABCD，連接AC、BD， A
M、G分別是BC、DC的中點。
求： （1）++；
（2）+（+）； D
（3）-（+）。 B M G
3、如圖在平行六面體ABCD—中， C
=，=，=，用，，表示下列向量：
（1）、、；
（2）（點G是側面BC的中心）。
D C
A B
4、O，A，B，C為空間四點，如果向量，，不構成空間的一個基底，那么點O，A，B，C是否共面；
5、已知空間四邊形OABC，點M、N分別是OA、BC的中點，且=， =， =，用，，表示。
【典例3】按要求解答下列各題：
1、設，是兩個不共線的非零向量，若與的起點相同，t∈R，當t為何值時，，t，（+）三向量的終點在一條直線上；
2、設，不共線，點P在AB上，求證：=+，且+=1，，∈R。
3、設，是兩個不共線的非零向量。
（1）如果=-，=3+2，=-8-2，求證：A,，C，D三點共線；
（2）如果=+，=2-3，=2-k，且A，C，D三點共線，求k的值。
5、如圖已知平行四邊形ABCD，從平面ABCD外一點O引向量=k，=k，=k，=k，求證： O
（1）四點E、F、G、H共面；
（2）平面ABCD∥平面EFGH。 D C
A B
H G
E F
6、對空間任一點O和不共線的三點A、B、C， 試問滿足向量關系=x+y+z（其中x+y+z=1）的四點P、A、B、C是否共面？
『思考問題3』
（1）【典例3】是空間向量共線與共面的問題，解答這類問題應該分辨清楚問題是空間向量共線還是共面的問題，理解并掌握空間向量共線或共面的充要條件；
（2）空間向量共線（或共面）的充要條件，是解答該類問題的關鍵，共線涉及到一個非零向量，而共面涉及到兩個非零向量。
〔練習3〕按要求解答下列各題：
1、證明起點相同的三個向量，，3-2的終點在同一條直線上；
2、已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外任意一點O，確定在下列各條件下點M是否與A，B，C一定共面。
（1）= + + ； （2）= 2--。
3、已知點A（+1，-1,3），B（2，,-2），C（+3，-3,9）三點共線，則= ，= ；
4、已知=（2，-1，3），=（-1，4，-2），=（7，5，），若，，三個向量共面，則實數等于（ ）
A B 9 C D
5、如圖所示已知平行六面體ABCD—中，
點M是A的中點，點G在對角線C上，且 G
CG：G =2:1，設=，=，=， M D C
試用，， 表示向量、、、；A B
【典例4】解答下列問題：
1、判斷下列命題的真假：
（1）若≠0，.=.，則=；（2）若.=.，則≠，當且僅當=0時成立；（3）（.）.= .（.）對任意向量，，都成立；（4）對任意向量有=||；
2、已知||=4，||=8，與的夾角為。
（1）求：（+2）.（2-）； （2）求：|4-2|；
3、如圖，已知空間四邊形ABCD的每條邊及AC， A
BD的長都等于a，點E，F，G分別是AB，AD ， F
DC的中點。 E C
求：（1）.； （2）.；（3）.； B G
（4）.； （5）. （6）. D
4、若向量（+3）⊥（7-5），（-4）⊥（7-2）。求：向量與的夾角；
5、如圖已知m，n是平面內的兩條相交直線， L
直線L與的交點為B，且L⊥m，L⊥n。 B n m O
求證：L⊥；
6、如圖已知在空間四邊形OABC中，OA⊥BC,
OB⊥AC。 A C
求證：OC⊥AB； B
7、如圖已知線段AB在平面內，線段AC⊥， C
線段BD⊥AB，線段D⊥，， D
如果AB=a，AC=BD=b. A B
求C，D間的距離；
8、如圖在平行六面體ABCD—中，
AB =4，AD=3，A =5，，
。 D C
求 ： | 。 A B
『思考問題5』
（1）【典例5】是與空間向量數量積的幾何運算相關的問題，解答這類問題需要理解空間向量數量積幾何運算的定義，尤其是空間向量數量積的幾何意義，掌握空間向量數量積的性質和運算性質；
（2）在實際解答問題時，應該分辨清楚問題是哪兩個空間向量的數量積，再根據空間向量數量積的定義確定兩個空間向量的夾角與模長，然后代入公式求出結果；
（3）如果兩個空間向量中有一個空間向量是幾個空間向量的和，求數量積時應該充分運用數量積的性質及其運算性質。
〔練習5〕解答下列問題：
已知、是非零向量，且|+|=|-|，求證：⊥；
已知||=5，||=4，且與的夾角為，當k為何值時，向量（k-）⊥（+2）。
3、如圖已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線 A
的長都等于a，點M，N分別是邊AB，CD的中點，
求證：MN⊥AB，MN⊥CD。 M
4、如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每一條邊 A
和對角線長都等于1，點E，F，G分別是AB，AD， B D
CD的中點。 E F C N
計算：（1）.； （2）.；
（3）EG的長； B C G D
（4）異面直線AG與CE所成角的余弦值。
【典例6】解答下列問題：
1、已知=（2，-3,5），=（-3,1，-4）。
求：（1）+； （2）-； （3）8； （4）.； （5）||； （6）2.(-)；
（7）(+).（-）； （8）（2+3）（-2）； （9）|2+|。
2、已知=（2,3，1），=（-1,-2，-3），=（2,1,3）。
求：（1）（.）.； （2）.（.）； （3）（+）； （4）+6-8；
3、已知=（2，-1,3），=（-4,2，x），且⊥，求x的值；
4、已知空間三點A(-2,0,2)，B(-1,1,2)，C(-3,0,4)，設=，=，求：
（1）與的夾角；
（2）若k+與k-2互相垂直，求k的值。
5、已知A(3,5,-7)，B(-2,4,3)，求 ，，線段AB的中點坐標及線段AB的長。
6、如圖在正方體ABCD—中，點M，N分別
是棱A 和B的中點。
求 ：CM和N所成角的余弦值。 M D N C
A B
7、已知，，是空間的一個單位正交基底，向量+，-，是空間的另一個基底，若向量在基底，，下的坐標為（1,2,3），求在基底+，-，下的坐標。
『思考問題6』
（1）【典例6】是空間向量坐標運算的問題，解答這類問題應該理解空間向量坐標的定義，掌握空間向量坐標運算的法則；
（2）空間向量坐標運算對于空間向量幾何運算中的運算律仍然成立，在實際運算中結合運算律和運算性質可以使運算更加簡便快捷。
〔練習1〕按要求解答下列各題：
1、已知=（2，-3,1），=（2,0，3），=（0,0,2）。
求：（1）（+）； （2）+6-8。
2、判斷下列各問題中的向量是否平行：
（1）=（1，2,-2），=（-2,-4，4）； （2）=（-2，3,5），=（16,-24，40）。
3、設=（-3，2,5），=（1,5，-1）。
求：（1）+； （2）3-； （3）6； （4）.；
（5）||； （6）（2+3）（-2）； （7）|2+|。
4、已知空間三點A(-1,0,1),B(-2,2,2),C(-3,0,3)，設=，=，求：
（1）與的夾角；
（2）若+k與2-k互相垂直，求k的值。
5、設=（-3,-4），=（2,3），=（5,6）。
求：（1）（.）.； （2）.（.）。
在中，=（2,3），=（1，k），且的一個內角為，求k的值。
【雷區警示】
【典例7】解答下列問題：
1、給出下列命題：①將空間中所有的單位向量移到同一個點為起點，則它們的終點構成一個圓；②若空間向量，滿足||=||，則=；③正方體ABCD—中，必有=；④若空間向量，，滿足=，=，則=。其中不正確命題的個數是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
2、給出下列命題：①若≠0，.=.，則=；②若.=.，則≠，且
僅當=0時成立；③（.）.= .（.）對任意向量，，都成立；④對任意向量有=||，其中假命題是（ ）
A ①②④ B ①②③ C ②③④ D ①②③④
如圖所示，在空間直角坐標系中，有直三棱錐 B
ABC-，AC=C=2BC，則直線B與 C
A夾角的余弦值是 。 A
『思考問題7』
【典例7】是解答空間向量概念與空間向量運算問題時，容易觸碰的雷區。該類問題的雷區主要包括：①忽視正確理解空間向量定義，導致解答問題出現錯誤；②忽視空間向量線性運算中，加減運算和數與向量積運算的法則（或向量的方向），導致解答問題出現錯誤；③忽視空間向量夾角與異面直線夾角的定義，導致解答問題出現錯誤；
解答空間向量概念與空間向量運算問題時，為避免忽視正確理解空間向量定義的雷區，需要正確理解空間向量的定義，尤其是零向量，單位向量，共線向量，相等向量和向量摸長的定義；
解答空間向量概念與空間向量運算問題時，為避免忽視空間向量線性運算中，加減運算和數與向量積運算的法則（或向量的方向）的雷區，需要理解并掌握空間向量加減運算的法則，數與向量積運算的基本方法，注意運算中空間向量的方向。
（4）解答空間向量概念與空間向量運算問題時，為避免忽視空間向量夾角與異面直線夾角的定義雷區，需要正確理解空間向量夾角和異面直線夾角的定義，注意兩種夾角的取值范圍。
〔練習7〕解答下列問題：
1、下列說法中錯誤的是（ ）
A零向量是沒有方向的 B零向量的長度為0
C零向量與任一向量平行 D零向量的方向是任意的
給出下列命題：①已知A，B，C，D是空間任意四點，則+++=0；②|-|
=|+|是，共線的充要條件；③若與共線，則與所在的直線平行；④對空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，若=x+y+z（其中x，y，zR），則P，A，B，C四點共面，其中假命題的個數為（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
3、如圖在正方體ABCD—中，點M，N分別
是棱A 和B的中點。
求 ：CM和N所成角的余弦值。 M D N C
A B
【追蹤考試】
【典例8】解答下列問題：
1、在空間直角坐標系O-xyz中，點A（-2，1，4）與（2，1，4）關于（ ）對稱（成都市高2021級2022-2023學年度上期期末蓉城名校聯盟考試）
A xOy平面 B yOz平面 C xOz平面 D 原點
2、在空間直角坐標系Oxyz中，點（2，-1，1）在平面xOy平面上的射影到坐標原點的距離為（ ）（成都市高2020級2021-2022學年度上期期末調研考試）
A B C D
『思考問題8』
【典例8】是近幾年高中數學考試試卷中有關空間向量定義及運算的問題，
1、在空間直角坐標系O—xyz中，點M（0，m，0）到點P（1，0，2）和點Q（1，-3，1）的距離相等，則實數m的值為（ ）（成都市高2019級2020-2021學年度上期期末調研考試）
A -2 B -1 C 1 D 2
2、在空間直角坐標系OXY中，已知點P（3，2，1），Q（-1，0，1），則|PQ|= （成都市高2018級2019-2020學年度上期期末調研考試）
3、（理）在空間直角坐標系O—xyz中，已知點A（2，1，-1），則與點A關于原點對稱的點的坐標為（ ）
A (-2，-1，1) B (-2，1，-1) C (2，-1，1) D (-2，-1，-1)
在空間直角坐標系O—xyz中，點M（1，-2，3）關于yoz平面對稱的點的坐標是（ ）（成都市高2017級2018-2019學年度上期期末調研考試）
A (-1，-2，3) B (1，-2，-3) C (-1，2，-3) D (1，2，-3)
4、在平面直角坐標系中，已知A（2，3），B（-2，-3），若沿X軸把坐標平面折成的二面角，則AB的長為（ ）（成都市高2017級2018-2019學年度上期期末調研考試）
A B C 5 D 4
空間向量定義及運算
【考綱解讀】
理解空間向量的定義，掌握空間向量線性運算加法，減法和數與向量乘積運算的法則，掌握空間向量線性運算的基本方法，能夠熟練進行空間向量的線性運算；
了解空間向量基本定理，理解空間向量坐標的定義，掌握空間向量坐標運算加法，減法和數與向量乘積運算的法則，掌握空間向量坐標運算的基本方法，能夠熟練進行空間向量的坐標運算；
理解空間向量數量積的定義，掌握空間向量數量積幾何運算（或坐標運算）的法則和基本方法，能夠熟練進行空間向量數量積幾何運算（或坐標運算）。
【知識精講】
一、空間向量的概念：
1、空間向量的定義：在空間具有大小和方向的量，叫做空間向量。
2、空間向量的三要素：（1）空間向量的始點；（2）空間向量的大小；（3）空間向量的方向。
3、向量的表示：空間向量表示的基本方法有：（1）始點與終點的大寫字母加上箭頭符號（注意大寫字母的順序）；（2）一個小寫的希臘字母加上箭頭符號。
4、空間向量的模：空間向量的長度，稱為空間向量的模，它可表示為：（1）始點與終點的大寫字母加上箭頭符號（注意大寫字母的順序）再加上絕對值符號；（2）一個小寫的希臘字母加上箭頭符號再加上絕對值符號。
5、特殊的空間向量：（1）零向量：模長為0的向量，稱為零向量，零向量具有如下性質：①零向量的模長為0 ；②零向量的方向不確定；③零向量與任何向量共線；
（2）單位向量：模長為1的向量，稱為單位向量，單位向量常用，，-----表示，也可以表示為，，----- 。
（3）平行向量（或共線向量）：方向相同（或相反）的向量，稱為平行向量（或共線向量），規定零向量與任一向量平行（或共線）。
（4）相等向量：方向相同且模長相等的向量，稱為相等向量，相等向量具有兩個特征：①
相等向量方向相同；②相等向量模長相等。
（5）相反向量：方向相反且模長相等的兩個向量，互為相反向量，其中一個向量稱為另一個向量的相反向量，相等向量具有兩個特征：①相反向量方向相反；②相反向量模長相等。
（6）共面向量：在同一個平面內的向量，叫做共面向量。
二、空間向量的線性運算：
1、空間向量的加法：
（1）空間向量加法的定義：求空間幾個向量的和的運算，叫做空間向量的加法；
（2）空間向量加法的法則：
①平行四邊形法則，如（圖1）：
平行四邊形法則的特點是兩個向量具有公共的始點； +
它的適用范圍是具有公共始點的兩個向量求和。 （圖1）
②三角形法則如（圖2）：
三角形法則的特點是一個向量的始點與另一個向 +
量的終點重合； （圖2）
三角形法則的適用范圍是一個向量的始點與另一個向量的終點重合的兩個向量求和。
（3）空間向量加法的運算律：
①+=+，這個運算律稱為交換律；特別的：+=+=；
②（+）+=+（+），這個運算律稱為結合律。
2、空間向量的減法：
（1）相反向量的定義：求兩個向量的差的運算，稱為向量的減法。
（2）相反向量的表示：在一個向量前面加上符號“-”表示這個向量的相反向量，例如向量的相反向量可表示-。
（3）互為相反向量的兩個向量的性質：①互為相反向量的兩個向量的和零，即設向量的相反向量向量為-，則上面的性質可表示為+（-）=0。
（4）空間向量減法的法則：減去一個向量等于加上這個向量的相反向量。
3、實數與空間向量的積：
（1）實數與空間向量積的意義：設空間向量為，∈R，的意義是：①長度：||=||||，②方向：＞0時，與同向；＜0時，與反向；由實數與空間向量積的意義可知，在計算時，應分兩步進行：①確定的模長；②確定的方向 。
（2）實數與空間向量的積的運算性質：設，是空間向量，，∈R。
①（）=（）； ②（+）=+； ③（+）=+。
三、共線向量與共面向量：
1、共線向量：
（1）共線（或平行）向量的定義：方向相同（或相反）的向量，稱為共線（或平行）向量。
（2）向量共線的充要條件：設，是空間任意兩個向量，且≠0，則，共線的充要條件是：存在∈R，使=成立；即：與（≠0）共線存在∈R，使=成立。
（3）推論：如果直線l過已知點A，且平行于已知非零向量所在的直線，那么對空間任意一點O，點P在直線l上的充要條件是：存在∈R，使=+成立。
2、共平面向量：
（1）共面向量的定義：在同一平面內的向量，稱為共面向量。
（2）共面向量的充要條件：設，是不共線的兩個向量，則向量與向量，共面的充要條件是：存在x，y∈R，使=x+y成立；即：向量與不共線向量，共面存在x，y∈R，使=x+y成立。
（3）推論：空間一點P位于平面MAB內的充分必要條件是：存在x，y∈R，使=x+y成立；或對空間任意一點O，存在x，y∈R,有=+x+y 成立。
四、空間向量基本定理：
1、空間向量基本定理：如果三個向量，，不共面，那么對空間任意向量，存在 唯一一對有序實數組（x，y，z），使=x+y+z成立；這里的｛，，｝叫做空間的一個基底，向量{，，}叫做基向量；空間任何三個不共面的向量，都可以構成空間的一個基底。
2、空間向量基本定理的推論：設O，A，B，C四點不共面，則對空間任意一點P，都存在
唯一一對有序實數組（x，y，z），使=x+y+z（x+y+z=1）成立。
五、空間向量的坐標運算：
1、空間向量坐標的定義：
（1）單位正交基底：在空間取三個互相垂直的單位向量為基向量的基底，稱為單位正交基底，用{，，}來表示；
（2）空間直角坐標系的定義：在空間選定一點O和一個單位正交基底｛，，｝，以O為原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系O—xyz，稱為空間直角坐標系；這里的O點叫做空間直角坐標系的原點，向量，，叫做x軸，y軸，z軸的單位向量，每兩個坐標軸確定的平面叫做坐標平面，空間直角坐標系中有三個坐標平面，它們分別是xOy平面，xOz平面和yOz平面。
（3）空間向量坐標的定義：在給定的空間直角坐標系中，對空間的任意向量，由空間向量基本定理可知，存在唯一的有序實數組（x，y，z），使=x+y+z成立，這里的有序實數組（x，y，z）稱為向量在空間直角坐標系O—xyz中的坐標，記作=（x，y，z）。
（4）空間直角坐標系中點的坐標：在空間直角坐標系O—xyz中，對空間的任意一點A，對應一個向量，存在唯一的有序實數組（x，y，z），使= x+y+z成立，這里的有序實數組（x，y，z）稱為點A在空間直角坐標系O—xyz中的坐標，記作A（x，y，z）；其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標。
2、空間向量的坐標運算：
設=(， ，)，=(，，)。
（1）+=(+， +，+)； （2）-=(-， -，-) ；
（3）=(， ，)； （4）||==；
（5）設空間直角坐標系中的兩點A(，，)，B(， ， )。
①=(-， -，-) ，從而得到：一個空間向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個空間向量的有向線段的終點坐標減去始點坐標；
②||==。
六、空間向量的數量積：
1、空間向量數量積的線性運算： B
（1）空間向量的夾角：如圖設空間向量，是兩個非零向量，
在空間任意取一點O，作=， =，則= O A
稱為空間向量與的夾角，記為〈，〉=，（≤≤）；
（2）空間向量夾角的特例：①當=時，空間向量與同向；②當=時，空間向量與互相垂直，記作⊥；③當=時，空間向量與反向。
（3）空間向量數量積的線性運算：
①法則：.=||||COS〈，〉， 規定：.=.=0；
②空間向量數量積的幾何意義：
.等于空間向量的長度||與空間向量在向量的方向上的投影|| COS〈，〉的乘積，如下圖所示：
B B B
O A O A O A
〈，〉為銳角 〈，〉為鈍角 〈，〉為直角
（4）空間向量數量積的運算性質：
設空間向量，，，∈R。則有：①.=.；②（）. =（. ）=. （）；③（+）.= .+.。
2、空間向量數量積的性質：
設空間向量，是非零向量，是與同向的單位向量，為空間向量與的夾角。則有：①.=.=||cos；②⊥.=0；③.=||或||=；
④cos= ；⑤|.|≤||.||。
3、空間向量數量積的坐標運算：
設=(， ，)，=(，，)。則有：（1）.=+ +；（2）||= .=；||=；（3）cos= ；（4）⊥.=+=0；（5）∥=。
【探導考點】
考點1空間向量的概念：熱點判斷與空間向量概念相關命題的真假；
考點2空間向量的線性運算：熱點①空間向量線性運算；熱點②根據空間向量運算求參數的值（或取值范圍）；熱點③空間向量共線充分必要條件的運用；
考點3空間向量的坐標運算：熱點①空間向量基本定理及運用；熱點②空間向量坐標運算；熱點③利用空間向量共線（或共面）充分必要條件求向量（或點的坐標）；熱點④利用空間向量共線（或共面）充分必要條件求參數的值（或取值范圍）
考點4空間向量數量積：熱點①空間向量數量積的線性運算；熱點②空間向量數量積的坐標運算；熱點③運用空間向量數量積求向量的模；熱點④利用空間向量數量積求向量的夾角。
【典例解析】
【典例1】解答下列問題：
1、給出下列命題：①將空間中所有的單位向量移到同一個點為起點，則它們的終點構成一個圓；②若空間向量，滿足||=||，則=；③正方體ABCD—中，必有=；④若空間向量，，滿足=，=，則=。其中不正確命題的個數是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【知識點】①空間向量定義與性質；②判斷命題真假的基本方法。
【解題思路】根據空間向量的性質，運用判斷命題真假的基本方法，結合問題條件對各命題的真假進行判斷，就可得出選項。
【詳細解答】對①，空間向量的單位向量的模長都等于1，將空間中所有的單位向量移到同一個點為起點，則它們的終點在以起點為圓心，1為半徑的球上，①錯誤；對②，當向量，互為反向量時，有||=||，，②錯誤；對③，ABCD—是正方體，=，③正確；對④，空間向量，，滿足=，=，=，④正確，綜上所述，其中不正確命題有①②兩個，B正確，選B。
2、判斷下列命題的真假，如果是假命題，并說明理由：
（1）若向量與同向，且||＞||，則＞；
（2）若||=||，則與的長度相等且方向相同或相反；
（3）對任意向量||=||，且與的方向相同，則=；
（4）的方向不定，故不與任何向量平行；
（5）向量與平行，則向量與向量的方向相同或相反；
（6）向量與向量是共線向量，則A、B、C、D四點在一條直線上；
（7）起點不同，但方向相同，且模長相等的幾何向量是相等向量。
【解析】
【知識點】①空間向量定義與性質；②判斷命題真假的基本方法。
【解題思路】根據空間向量的性質，運用判斷命題真假的基本方法，結合問題條件就可判斷各小題命題的真假。
【詳細解答】（1）向量不能比較大小，（1）是假命題；（2）當向量與分別是菱形的一組臨邊時，有||=||，與的長度相等且，但方向不相同也不相反，（2）是假命題；（3）對任意兩個向量，，若||=||，且與的方向相同，則=，（3）是真命題；（4）的方向不定，與任何向量平行，（4）是假命題；（5）向量與平行，則向量與向量的方向相同或相反，（5）是真命題；（6）當向量與向量分別是平行四邊形的一組對邊時，向量與向量是共線向量，但A、B、C、D四點不在一條直線上，（6）是假命題；（7）起點不同，但方向相同，且模長相等的幾個向量是相等向量，（7）是真命題。
『思考問題1』
（1）【典例1】是與空間向量基本概念相關的問題，解答這類問題需要深刻理解空間向量的基本概念，注意問題與哪一個（或哪幾個）基本概念相關；
（2）理解空間向量的基本概念，一定要注意每一個基本概念涉及問題的實質及主要特征，例如相等向量的實質是兩個向量相等，主要特征是：①方向相同；②模長相等。
〔練習1〕解答下列問題：
1、四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是( )（答案：D）
A ||=|| B = C = D =
2、下列說法中錯誤的是（ ）（答案：A）
A零向量是沒有方向的 B零向量的長度為0
C零向量與任一向量平行 D零向量的方向是任意的
【典例2】按要求解答下列各題： O
2、如圖已知空間四邊形OABC，其對角線OB、AC， M
M，N分別是對邊OA，BC的中點，點G在線段MN E G C
上，且使MG=2GN，用基向量，，表示 A N
向量； B
【解析】
【知識點】①空間向量定義與性質；②空間向量線性運算的法則和基本方法。
【解題思路】根據空間向量的性質，運用空間向量線性運算的法則和基本方法，結合問題條件就可得到向量關于向量，，的表示式。
【詳細解答】如圖，取OB的中點E，連接ME，NE，M，E，N分別是對邊OA，OB，BC的中點，= = - ，= ，=+
=- + ， 點G在線段MN 上，且使MG=2GN，= =-+ ，=+=+ 。
2、如圖已知平行六面體ABCD—。
求：（1）+； M
（2） ++； D C
（3）++； A B
（4）（++）。
【解析】
【知識點】①空間向量定義與性質；②空間向量線性運算的法則和基本方法。
【解題思路】根據空間向量的性質，運用空間向量線性運算的法則和基本方法，結合問題條件就可分別求出各小題的結果。
【詳細解答】如圖，取C的中點M，連接AM，AC，（1）+=；（2）+
+=+=+=； （3）++=+=；（4）（++）=（+）=。
3、 如圖平行六面體ABCD—中，AC與BD的交點為點M，設，
，則下列向量中
與相等的向量是（ ）
A B D C
C D A M B
【解析】
【知識點】①空間向量定義與性質；②空間向量線性運算的法則和基本方法。
【解題思路】根據空間向量的性質，運用空間向量線性運算的法則和基本方法，結合問題條
件得到向量關于向量，，的表示式，就可得出選項。
【詳細解答】如圖，平行六面體ABCD—中，AC與BD的交點為點M，，，，==（-+），=+=+（-+）
=-++，A正確，選A。
4、已知ABCD—是平行六面體，設M是底面ABCD的中心，N是側面BC對角線B上的4等分點，且BN= B，設= ++，試求，，的值。
【解析】
【知識點】①空間向量定義與性質；②空間向量線性運算的法則和基本方法。
【解題思路】根據空間向量的性質，運用空間向量線性運算的法則和基本方法，結合問題條件得到向量關于向量，，的表示式，就可求出，，的值。
【詳細解答】如圖，=+=+，
M是底面ABCD的中心，== N
+，=+= +，N是 D C
側面BC對角線B上的4等分點，且BN A M B
= B，==+，=+=++
+=++= ++，=，=，=。
5、如圖平行六面體ABCD—中，AB=5，AD=3，A=7，，
EMBED Equation.DSMT4 。
求A的長。
【解析】
【知識點】①空間向量定義與性質； ②空間 D C
向量線性運算的法則和基本方法。 A B
【解題思路】根據空間向量的性質，運用空間向量線性運算的法則和基本方法，結合問題條件得到向量關于向量，，的表示式，就可求出，，的值。
【詳細解答】如圖，=+=+，=+=++，
AB=5，AD=3，A=7，，，A的長為||
==2。
『思考問題2』
（1）【典例2】是空間向量線性運算的問題，解答這類問題應該理解并掌握空間向量線性運算的基本法則和運算律，注意每一個法則的特性與適用范圍；
（2）在實際解答問題時，運用法則的同時應該結合空間向量線性運算的運算律，這樣可以使問題更加簡化便捷。
〔練習2〕解答下列問題：
1、如圖已知正方體ABCD—，點E、F分別是
上底面和側面CD的中心，求下列各
題中x、y的值。 F
（1）=x（++）； D C
（2）=+x+y； A B
（3）=+ x+y（答案：（1）x=1；（2）x=，y=；（3）x=2，y=1。）
2、如圖已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD， A
M，G分別是BC，DC的中點。
求： （1）++；
（2）+（+）； D
（3）-（+）。 B G
（答案：（1）；（2）；（3）。） M C
3、如圖在平行六面體ABCD—中，
EMBED Equation.DSMT4 =，=，=，用，，
表示下列向量：
（1），，； D C
（2）（點G是側面BC的中心）。 A B
（答案：（1）=--+，=--，=-+；（2）=++。）
4、O，A，B，C為空間四點，如果向量，，不構成空間的一個基底，那么點O，A，B，C是否共面；（答案：O，A，B，C共面。）
5、已知空間四邊形OABC，點M、N分別是OA、BC的中點，且=， =， =，用，，表示。（答案：=-++）
【典例3】按要求解答下列各題：
設，是兩個不共線的非零向量，若與的起點相同，t∈R，當t為何值時，，t，（+）三向量的終點在一條直線上。
【解析】
【知識點】①空間向量定義與性質；②空間向量共線充分必要條件及運用。
【解題思路】根據空間向量的性質，運用空間向量共線充分必要條件，結合問題條件得到向量，關于向量，的表示式，從而得到關于t的方程，求解方程就可求出t的值。
【詳細解答】證明：如圖，=t- （+） B C
=- +（t-），= （+）- =- O A
+，A，C，B三點在同一直線上，存在實數u，使=u成立，（t-u）+
（u-），，是兩個不共線的非零向量，t-u=0①，u-=0②，聯立①②解得：t=。當t=時，，t，（+）三向量的終點在一條直線上。
2、設，不共線，點P在AB上，求證：=+，且+=1，，∈R。
【解析】
【知識點】①空間向量定義與性質；②空間向量共線充分必要條件及運用。
【解題思路】根據空間向量的性質，運用間向量共線充分必要條件，結合問題條件得到向量關于向量，的表示式，就可證明結論。 B
【詳細解答】證明：如圖，=-， P
=-，A，P，B三點在同一直線上，存在實 O A
數t，使=t成立，=（1-t）+t，令=1-t，=t，=+，且+=1-t+t=1。
3、對空間任一點O和不共線的三點A，B，C， 試問滿足向量關系=x+y+z（其中x+y+z=1）的四點P，A，B，C是否共面？
【解析】
【知識點】①空間向量定義與性質；②空間向量共線充分必要條件及運用；③空間向量共面充分必要條件及運用。
【解題思路】根據空間向量的性質，運用間向量共線充分必要條件和空間向量共面充分必要條件，結合問題條件就可得出四點P、A、B、C共面。
【詳細解答】x+y+z=1，z=1-(x+y)，A，B，C三點不共線，=-，=-不共線，=x+y+（1-x-y）=-x(-)-y(-)
=--x-y，-==x+y，即四點P，A，B，C共面。
5、如圖已知平行四邊形ABCD，從平面ABCD外一點O引向量=k，=k，=k，=k，求證： O
（1）四點E，F，G，H共面；
（2）平面ABCD∥平面EFGH。 D C
【解析】 A B
【知識點】①空間向量定義與性質； ②空間向量
共線的充分必要條件及運用；③空間向量共面 H G
充分必要條件及運用；④直線平行平面判定定理 E F
及運用；⑤平面平行平面判定定理及運用。
【解題思路】（1）根據空間向量的性質，運用空間向量共線充分必要條件和平行線段成比例定理，結合問題條件可證明AB//EF，CD//HG，從而證明EF//HG就可證明四點E，F，G，H共面；（2）根據（1），運用直線平行平面判定定理可以證明AB//平面EFGH，BC//平面EFGH，利用平面平行平面的判斷定理就可證明平面ABCD∥平面EFGH。
【詳細解答】（1）如圖，向量=k，=k，=k，=k，=-=k-k=k（-）=k=k(+)=k（-+-）=-+-=+，四點E，F，G，H共面；（2）=-=k-k=k(-）=k，AB//EF，AB平面EFGH，EF平面EFGH，AB//平面EFGH，同理可證AC//平面EFGH，AB，AC平面ABCD，AB
AC=A，平面ABCD∥平面EFGH。
4、設，是兩個不共線的非零向量。
（1）如果=-，=3+2，=-8+2，求證：A,，C，D三點共線；
（2）如果=+，=2-3，=2-k，且A，C，D三點共線，求k的值。
【解析】
【知識點】①空間向量定義與性質；②空間向量共線充分必要條件及運用。
【解題思路】（1）根據空間向量的性質，運用間向量共線充分必要條件，結合問題條件就可證明A，C，D三點共線；（2）根據空間向量的性質，運用間向量共線充分必要條件，結合問題條件得到關于k，t的方程組，求解方程組就可求出k的值。
【詳細解答】（1）證明：=-，=3+2，=-8-2，=+
=4+，=+=12+3=3（4+）=3，向量，具有公共的始點，A,，C，D三點共線；（2）=+，=2-3，=2-k，
=+=3-2，=+=5-（2+k），A，C，D三點共線，存在實數t，使=t成立，（5-3t)-（2+k-2t）=0，，是兩個不共線的非零向量，5-3t=0①，2+k-2t=0②，聯立①②解得：k=。
『思考問題3』
（1）【典例3】是空間向量共線與共面的問題，解答這類問題應該分辨清楚問題是空間向量共線還是共面的問題，理解并掌握空間向量共線或共面的充要條件；
（2）空間向量共線（或共面）的充要條件，是解答該類問題的關鍵，共線涉及到一個非零向量，而共面涉及到兩個非零向量。
〔練習3〕按要求解答下列各題：
1、證明起點相同的三個向量，，3-2的終點在同一條直線上；（提示：運用共線向量的充分必要條件）
2、已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外任意一點O，確定在下列各條件下點M是否與A，B，C一定共面。
（1）= + + ；（答案：點M與A，B，C一定共面）
（2）= 2--。（答案：點M與A，B，C不共面）
3、已知點A（+1，-1,3），B（2，,-2），C（+3，-3,9）三點共線，則= ，= 。（答案：=0，=0.）
4、已知=（2，-1，3），=（-1，4，-2），=（7，5，），若，，三個向量共面，則實數等于（ ）（答案：D）
A B 9 C D
5、如圖所示已知平行六面體ABCD—中，
點M是A的中點，點G在對角線C上，且 G
CG：G =2：1，設=，=，=， M D C
試用，， 表示向量，，，。A B
（答案：=+；=++；=++；=++）
【典例4】解答下列問題：
1、判斷下列命題的真假：
（1）若≠0，.=.，則=；
（2）若.=.，則≠，當且僅當=0時成立；
（3）（.）.= .（.）對任意向量，，都成立；
（4）對任意向量有=||；
【解析】
【知識點】①空間向量定義與性質；②正方體定義與性質；③判斷命題真假的基本方法。
【解題思路】根據空間向量和正方體的性質，運用判斷命題真假的基本方法，結合問題條件對各命題的真假進行判斷，就可得出選項。
【詳細解答】（1）當||=1，||=2，與同向， 與夾角為時，.=||.||
=||，.=||.||cos=||2=||，≠0，.=.，=不一定成立，（1）是假命題；（2）當||=1，||=2，與同向， 與夾角為時，.=||.||
=||=.=||.||cos=||2=||，≠0時也成立，（2）是假命題；（3）當||=||=1，||=2，與同向， 與夾角為時，（.）.=， .（.）=，當且僅當=時，（.）.= .（.）才成立，（3）是假命題；（4）對任意向量有=||，（4）是真命題。
2、已知||=4，||=8，與的夾角為。
（1）求：（+2）.（2-）； （2）求：|4-2|。
【解析】
【知識點】①空間向量定義與性質；②空間向量數量積定義與性質；③空間向量線性運算的法
則和基本方法。
【解題思路】根據空間向量和空間向量數量積的性質，運用空間向量線性運算的法則和基本方法的，結合問題條件就可分別求出各空間向量數量積的值。
【詳細解答】||=4，||=8，與的夾角為，（1）（+2）.（2-）=32+348
（-）-128=-96-48；（2）求：|4-2|=
==8。
3、如圖，已知空間四邊形ABCD的每條邊及AC， A
BD的長都等于a，點E，F，G分別是AB，AD ， F
DC的中點。 E C
求：（1）.； （2）.；（3）.； B G
（4）.； （5）. ； （6）. 。 D
【解析】
【知識點】①空間向量定義與性質；②空間向量數量積定義與性質；③空間向量線性運算的法則和基本方法。
【解題思路】根據空間向量和空間向量數量積的性質，運用空間向量線性運算的法則和基本方法的，結合問題條件就可分別求出各空間向量數量積的值。
【詳細解答】 空間四邊形ABCD的每條邊及AC，BD的長都等于a， （1）.
=； （2）.=-.=-；點E，F，G分別是AB，AD ，DC的中點， （3）.=-.=-；（4）.=；（5）. =-. =-；（6）. =-.（+）=-.-.=-
-=-。
4、若向量（+3）⊥（7-5），（-4）⊥（7-2）。求：向量與的夾角的余弦值。
【解析】
【知識點】①空間向量定義與性質；②空間向量數量積定義與性質；③空間向量線性運算的法則和基本方法。
【解題思路】根據空間向量和空間向量數量積的性質，運用空間向量線性運算的法則和基本方法的，結合問題條件得到關于||，||的等式，從而就可求出向量與夾角的余弦值。
【詳細解答】向量（+3）⊥（7-5），（-4）⊥（7-2），（+3）.（7-5）=7||+16.-15||=0①，（-4）.（7-2）=7||-30.+8
||=0②，聯立①②得:||=||，.=||，||=||，cos<.，>===。
5、如圖已知m，n是平面內的兩條相交直線， l
直線l與的交點為B，且l⊥m，l⊥n。 B n m
求證：L⊥。
【解析】
【知識點】①空間向量定義與性質；②空間向量數量積定義與性質；③空間向量線性運算的法則和基本方法。
【解題思路】根據空間向量和空間向量數量積的性質，運用空間向量線性運算的法則和基本方法的，結合問題條件就可證明L⊥。
【詳細解答】證明：如圖，設直線m，n的方向向量分別為，，直線l的方向向量為，直線b是平面內的任意一條直線， 直線m，n是平面內的兩條相交直線，存在唯一一對有序實數（x，y）是直線b的方向向量為x+y，l⊥m，l⊥n，.=0，.=0，
.（x+y)=x.+y.=0，L⊥b，L⊥。
6、如圖已知在空間四邊形OABC中，OA⊥BC, O
OB⊥AC。
求證：OC⊥AB； A C
【解析】 B
【知識點】①空間向量定義與性質；②空間向量數量積定義與性質；③空間向量線性運算的法則和基本方法。
【解題思路】根據空間向量和空間向量數量積的性質，運用空間向量線性運算的法則和基本方法的，結合問題條件就可證明OC⊥AB。
【詳細解答】如圖， =+，=+，OA⊥BC, OB⊥AC，.
=（+）.（+）=.+.+.+.=.（+）+.=（-）+.=（+）=0，OC⊥AB。
7、如圖已知線段AB在平面內，線段AC⊥， C
線段BD⊥AB，線段D⊥，， D
如果AB=a，AC=BD=b. A B
求C，D間的距離；
【解析】
【知識點】①空間向量定義與性質；②空間向量數量積定義與性質；③空間向量線性運算的
法則和基本方法。
【解題思路】根據空間向量和空間向量數量積的性質，運用空間向量線性運算的法則和基本方法的，結合問題條件就可求出C，D間的距離。
【詳細解答】如圖， =+=++， 線段AB在平面內，線段AC⊥，線段BD⊥AB，AB=a，AC=BD=b，| |=
= =a。
8、如圖在平行六面體ABCD—中，
AB =4，AD=3，A =5，，
。 D C
求 ： | 。 A B
【解析】
【知識點】①空間向量定義與性質；②空間向量數量積定義與性質；③空間向量線性運算的法則和基本方法。
【解題思路】根據空間向量和空間向量數量積的性質，運用空間向量線性運算的法則和基本方法的，結合問題條件就可求出 |的值。
【詳細解答】如圖， =+=+ +，AB =4，AD=3，A =5，，， | =
==。
『思考問題5』
（1）【典例5】是與空間向量數量積的線性運算相關的問題，解答這類問題需要理解空間向量數量積的定義，尤其是空間向量數量積的幾何意義，掌握空間向量數量積的性質和運算性質，注意空間向量數量積線性（或坐標）運算的法則和基本方法；
（2）在實際解答空間向量線性運算問題時，應該分辨清楚問題是哪兩個空間向量的數量積，再根據空間向量數量積的定義確定兩個空間向量的夾角與模長，然后代入公式求出結果；
（3）如果兩個空間向量中有一個空間向量是幾個空間向量的和，求數量積時應該充分運用數量積的性質及其運算性質。
〔練習5〕解答下列問題：
1、已知，是非零向量，且|+|=|-|，求證：⊥；（提示：證明.=0）
2、已知||=5，||=4，且與的夾角為，當k為何值時，向量（k-）⊥（+2）。（答案：當k=時，向量（k-）⊥（+2））
3、如圖已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線 A
的長都等于a，點M，N分別是邊AB，CD的中點，
求證：MN⊥AB，MN⊥CD。（提示：分別證明所在向量的數量積為0） M
4、如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每一條邊 A
和對角線長都等于1，點E，F，G分別是AB，AD， B D
CD的中點。 E F C N
計算：（1）.； （2）.；
（3）EG的長； B C G D
（4）異面直線AG與CE所成角的余弦值。（答案：（1）.=；（2）.=-；（3）EG的長為；（4）異面直線AG與CE所成角的余弦值為）
【典例6】解答下列問題：
1、已知=（2，-3，5），=（-3，1，-4）。
求：（1）+； （2）-； （3）8； （4）.； （5）||； （6）2.(-)；
(+).（-）； （8）（2+3）（-2）； （9）|2+|。
【解析】
【知識點】①空間向量坐標定義與性質；②空間向量坐標運算的法則和基本方法。
【解題思路】根據空間向量坐標的性質，運用空間向量坐標運算的法則和基本方法的，結合問題條件，就可分別求出各小題的結果。
【詳細解答】 =（2，-3，5），=（-3，1，-4），（1）+=（-1，-2，1）；（2）-=（5，-4，9）；（3）8=（16，-24，40）；（4）.=-6-3-20=-29；（5）||==；
（6）2.(-)=（4，-6，10）（3，-1，4）=12+6-40=-22.；（7）(+).（-）=（-1，-2，1）.（5，-4，9）=-5+8+9=12； （8）（2+3）（-2）=（-5，-3，-2）.（8，-1，13）=-40+3-26=-63；（9）|2+|=|（1，-5，6）|==。
2、已知=（2，3，1），=（-1，-2，-3），=（2，1，3）。
求：（1）（.）.； （2）.（.）； （3）（+）； （4）+6-8。
【解析】
【知識點】①空間向量坐標定義與性質；②空間向量坐標運算的法則和基本方法。
【解題思路】根據空間向量坐標的性質，運用空間向量坐標運算的法則和基本方法的，結合
問題條件，就可分別求出各小題的結果。
【詳細解答】 =（2，3，1），=（-1，-2，-3），=（2，1，3），（1）（.）.=（-2-6-3）（2，1，3）=（-22，-11，-33）；（2）.（.）=（2，3，1）.（-2-2-9）=（-26，-39，-13）； （3）（+）=（2，3，1）.（1，-1，0）=2-3+0=-1；（4）+6-8=（2，3，1）+（-6，-12，-18）+ （-16，-8，-24）=（-20，-17，-41）。
已知=（2，-1，3），=（-4，2，x），且⊥，求x的值；
【解析】
【知識點】①空間向量坐標定義與性質；②空間向量坐標運算的法則和基本方法。
【解題思路】根據空間向量坐標的性質，運用空間向量坐標運算的法則和基本方法的，結合問題條件得到關于x的方程，求解肥腸粉就可求出x的值。
【詳細解答】=（2，-1，3），=（-4，2，x），且⊥，.=-8-2+3x=3x-10=0，
k=。
4、已知空間三點A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，設=，=，求：
（1）與的夾角的余弦值；
（2）若k+與k-2互相垂直，求k的值。
【解析】
【知識點】①空間向量坐標定義與性質；②空間向量坐標運算的法則和基本方法。
【解題思路】（1）根據空間向量坐標的性質，運用空間向量坐標運算的法則和基本方法的，結合問題條件，就可求出與的夾角的余弦值；（2）根據空間向量坐標的性質，運用空間向量坐標運算的法則和基本方法的，結合問題條件得到關于k的方程，求解方程就可求出k的值。
【詳細解答】（1）A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，==(1，1，0)，==(-1，0，2)，cos===-；（2）k+=(k，k，0)+(-1，0，2)=(k-1，k，2)，k-2=(k，k，0)+(2，0，-4)=(k+2，k，-4)，k+與k-2互相垂直，
（k+）.（k-2）=（k-1）（k+2）+-8=2+k-10=0，k=2或k=-。
5、已知A(3，5，-7)，B(-2，4，3)，求 ，，線段AB的中點坐標及線段AB的長。
【解析】
【知識點】①空間向量坐標定義與性質；②空間向量坐標運算的法則和基本方法。
【解題思路】根據空間向量坐標的性質，運用空間向量坐標運算的法則和基本方法的，結合問題條件，就可求出，，線段AB的中點坐標及線段AB的長。
【詳細解答】A(3，5，-7)，B(-2，4，3)，=(-5，-1，10)，=(5，1，-10)，線段AB的中點坐標為(，，-2)，線段AB的長為||==3。
6、如圖在正方體ABCD—中，點M，N分別 z
是棱A 和B的中點。
求 ：CM和N所成角的余弦值。 M D N Cy
【解析】 A x B
【知識點】①正方體定義與性質；②異面直線定義與性質；③求異面直線所成角的余弦值的基本方法。
【解題思路】根據正方體和異面直線的性質，運用求異面直線所成角的余弦值的基本方法，結合問題條件，就可求出CM和N所成角的余弦值。
【詳細解答】如圖，設正方體ABCD—的棱長為1，ABCD—是正方體，以D為原點，，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系D-xyz，A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），（1，0，1），（1，1，1），（0，0，1），點M，N分別是棱A 和B的中點，M（1，0，），N（1，1，），=（-1，1，-），=N（1，1，-），CM和N所成角的余弦值為cos<，>===。
7、已知，，是空間的一個單位正交基底，向量+，-，是空間的另一個基底，若向量在基底，，下的坐標為（1，2，3），求在基底+，-，下的坐標。
【解析】
【知識點】①空間單位正交基底定義與性質；②空間基底定義與性質；③空間向量坐標定義與性質。
【解題思路】根據空間單位正交基底和空間基底的性質，運用空間向量坐標的性質，結合問題條件，就可求出在基底+，-，下的坐標。
【詳細解答】，，是空間的一個單位正交基底，向量在基底，，下的坐標為（1，2，3），在基底+，-，下的坐標為++2（-）+3=（1，1，0）+（2，-2，0）+（0，0，3）=（3，-1，3）。
『思考問題6』
（1）【典例6】是空間向量坐標運算的問題，解答這類問題應該理解空間向量坐標的定義，掌握空間向量坐標運算的法則和基本方法；
（2）空間向量坐標運算對于空間向量線性運算中的運算律仍然成立，在實際運算中結合運算律和運算性質可以使運算更加簡便快捷。
〔練習1〕按要求解答下列各題：
1、已知=（2，-3，1），=（2，0，3），=（0，0，2）。
求：①（+）；（答案：（+）=9）
②+6-8。（答案：+6-8=（14，-3，3））
2、判斷下列各問題中的向量是否平行：
（1）=（1，2，-2），=（-2，-4，4）； （2）=（-2，3，5），=（16，-24，40）。
（答案：（1）//；（2）與不平行。）
3、設=（-3，2，5），=（1，5，-1）。求：
（1）+； （2）3-； （3）6； （4）.；
（5）||； （6）（2+3）（-2）； （7）|2+|。
（答案：（1）+=（-2，7，4）；（2）-=（-4，-3，6）；（1）6=（-18，12，30）；（4）.=2；（5）||=；（6）（2+3）（-2）=-84；（7）|2+|=。）
4、已知空間三點A(-1，0，1)，B(-2，2，2)，C(-3，0，3)，設=，=，求：
（1）與的夾角；（答案：與的夾角=）
（2）若+k與2-k互相垂直，求k的值。（答案：k=-1或k=）
【雷區警示】
【典例7】解答下列問題：
1、給出下列命題：①將空間中所有的單位向量移到同一個點為起點，則它們的終點構成一個圓；②若空間向量，滿足||=||，則=；③正方體ABCD—中，必有=；④若空間向量，，滿足=，=，則=。其中不正確命題的個數是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【知識點】①空間向量定義與性質；②正方體定義與性質；③判斷命題真假的基本方法。
【解題思路】根據空間向量和正方體的性質，運用判斷命題真假的基本方法，結合問題條件對各命題的真假進行判斷，就可得出選項。
【詳細解答】對①，空間向量的單位向量的模長都等于1，將空間中所有的單位向量移到同一個點為起點，則它們的終點在以起點為圓心，1為半徑的球上，①錯誤；對②，當向量，互為反向量時，有||=||，，②錯誤；對③，ABCD—是正方體，=，③正確；對④，空間向量，，滿足=，=，=，④正確，綜上所述，其中不正確命題有①②兩個，B正確，選B。
2、給出下列命題：①若≠0，.=.，則=；②若.=.，則≠，且
僅當=0時成立；③（.）.= .（.）對任意向量，，都成立；④對任意向量有=||，其中假命題是（ ）
A ①②④ B ①②③ C ②③④ D ①②③④
【解析】
【知識點】①空間向量定義與性質；②正方體定義與性質；③判斷命題真假的基本方法。
【解題思路】根據空間向量和正方體的性質，運用判斷命題真假的基本方法，結合問題條件對各命題的真假進行判斷，就可得出選項。
【詳細解答】對①，當||=1，||=2，與同向， 與夾角為時，.=||.||
=||，.=||.||cos=||2=||，≠0，.=.，=不一定成立，①是假命題；對②，當||=1，||=2，與同向， 與夾角為時，.=||.||
=||=.=||.||cos=||2=||，≠0時也成立，②是假命題；對③，當||=||=1，||=2，與同向， 與夾角為時，（.）.=， .（.）=，當且僅當=時，（.）.= .（.）才成立，③是假命題；對④，對任意向量有=||，④是真命題，綜上所述，其中假命題是①②③，B正確，選B。
如圖所示，在空間直角坐標系中，有直三棱錐 B z
ABC-，AC=C=2BC，則直線B與 C y
A夾角的余弦值是 。 x A
【解析】
【知識點】①直三棱柱定義與性質；②異面直線定義與性質；③求異面直線夾角余弦值的基本方法。
【解題思路】根據直三棱柱和異面直線的性質，運用求異面直線夾角余弦值的基本方法，結合問題條件，就可求出直線B與 A夾角的余弦值。
【詳細解答】如圖，設BC=1， AC=C=2BC，A（2，0，0），B（0，0，1）， （0，2，1）， （0，2，0），=（0，2，-1），=（-2，2，1）， cos< ， >
== = 。
『思考問題7』
（1）【典例7】是解答空間向量概念與空間向量線性運算問題時，容易觸碰的雷區。該類問題的雷區主要包括：①忽視正確理解空間向量定義，導致解答問題出現錯誤；②忽視空間向量線性運算中，加減運算和數與向量積運算的法則（或向量的方向），導致解答問題出現錯誤；③忽視空間向量夾角與異面直線夾角的定義，導致解答問題出現錯誤；
（2）解答空間向量概念與空間向量線性運算問題時，為避免忽視正確理解空間向量定義的雷區，需要正確理解空間向量的定義，尤其是零向量，單位向量，共線向量，相等向量和向量摸長的定義；
（3）解答空間向量概念與空間向量線性運算問題時，為避免忽視空間向量線性運算中，加減運算和數與向量積運算的法則（或向量的方向）的雷區，需要理解并掌握空間向量加減運算的法則，數與向量積運算的基本方法，注意運算中空間向量的方向；
（4）解答空間向量概念與空間向量線性運算問題時，為避免忽視空間向量夾角與異面直線夾角的定義雷區，需要理解空間向量夾角和異面直線夾角的定義，注意兩種夾角的取值范圍。
〔練習7〕解答下列問題：
1、下列說法中錯誤的是（ ）（答案：A）
A零向量是沒有方向的 B零向量的長度為0
C零向量與任一向量平行 D零向量的方向是任意的
給出下列命題：①已知A，B，C，D是空間任意四點，則+++=0；②||-||
=|+|是，共線的充要條件；③若與共線，則與所在的直線平行；④對空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，若=x+y+z（其中x，y，zR），則P，A，B，C四點共面，其中假命題的個數為（ ）（答案：C）
A 1 B 2 C 3 D 4
3、如圖在正方體ABCD—中，點M，N分別
是棱A 和B的中點。
求 ：CM和N所成角的余弦值。 M D N C
（答案：CM和N所成角的余弦值為） A B
【追蹤考試】
【典例8】解答下列問題：
1、在空間直角坐標系O-xyz中，點A（-2，1，4）與（2，1，4）關于（ ）對稱（成都市高2021級2022-2023學年度上期期末蓉城名校聯盟考試）
A xOy平面 B yOz平面 C xOz平面 D 原點
【解析】
【考點】①空間直角坐標系定義與性質；②已知點與其對稱點坐標，求對稱平面的基本方法。
【解題思路】根據空間直角坐標系的性質，運用已知點與其對稱點坐標，求對稱平面的基本方法，求出兩點的對稱平面就可得出選項。
【詳細解答】點A（-2，1，4）與（2，1，4）的坐標中，x坐標互為相反數，y和z坐標不變，點A（-2，1，4）與（2，1，4）關于 yOz平面對稱，B正確，選B。
2、在空間直角坐標系Oxyz中，點（2，-1，1）在平面xOy平面上的射影到坐標原點的距離為（ ）（成都市高2020級2021-2022學年度上期期末調研考試）
【解析】
【考點】①空間直角坐標系的定義與性質；②空間直角坐標系中的點到平面射影的定義與性
質；③求空間直角坐標系中點到平面射影的基本方法；④兩點之間的距離公式及運用。
【解題思路】根據空間直角坐標系，空間直角坐標系中點到平面的射影的性質和求空間直角坐標系中點到平面射影的基本方法，求出點（2，-1，1）在平面xOy平面上的射影，運用兩點之間的距離公式求出點（2，-1，1）在平面xOy平面上的射影到坐標原點的距離就可得出選項。
【詳細解答】在空間直角坐標系Oxyz中，點（2，-1，1）在平面xOy平面上的射影為（2，-1，0），點（2，-1，1）在平面xOy平面上的射影到坐標原點的距離為=，C正確，選C。
A B C D
『思考問題8』
（1）【典例8】是近幾年高中數學考試試卷中有關空間向量定義及運算的問題，歸結起來主要包括：①空間向量的定義；②空間向量線性運算；③空間向量坐標運算；④空間向量共線（或共面）；⑤空間向量的數量積等幾種問題；
（2）解答空間向量定義及運算問題的基本方法是：①根據問題結構特征，判斷問題所屬類型；②運用解答某類型問題的解題思路和基本方法對問題實施解答；③得出解答問題的結果。
〔練習8〕解答下列問題：
1、在空間直角坐標系O—xyz中，點M（0，m，0）到點P（1，0，2）和點Q（1，-3，1）的距離相等，則實數m的值為（ ）（成都市高2019級2020-2021學年度上期期末調研考試）
A -2 B -1 C 1 D 2 （答案：B）
2、在空間直角坐標系OXY中，已知點P（3，2，1），Q（-1，0，1），則|PQ|= （成都市高2018級2019-2020學年度上期期末調研考試）（答案：|PQ|=2。）
3、（理）在空間直角坐標系O—xyz中，已知點A（2，1，-1），則與點A關于原點對稱的點的坐標為（ ）（答案：A）
A (-2，-1，1) B (-2，1，-1) C (2，-1，1) D (-2，-1，-1)
（文）在空間直角坐標系O—xyz中，點M（1，-2，3）關于yoz平面對稱的點的坐標是（ ）（成都市高2017級2018-2019學年度上期期末調研考試）（答案：A）
A (-1，-2，3) B (1，-2，-3) C (-1，2，-3) D (1，2，-3)
4、在平面直角坐標系中，已知A（2，3），B（-2，-3），若沿x軸把坐標平面折成的二面角，則AB的長為（）（成都市高2017級2018-2019學年度上期期末調研考試）（答案：C）
A B C 5 D 4

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