資源簡介

空間向量的運用-證明平行（或垂直）
【考綱解讀】
理解空間直角坐標系的定義，掌握建立空間直角坐標系的基本方法；
理解平面法向量的定義，掌握求平面法向量的基本方法；
理解直線平行直線，直線平行平面和平面平行平面的定義，掌握運用空間向量證明直線平行直線，直線平行平面和平面平行平面的基本方法；
理解直線垂直直線，直線垂直平面和平面垂直平面的定義，掌握運用空間向量證明直線垂直直線，直線垂直平面和平面垂直平面的基本方法。
【知識精講】
一、空間直角坐標系：
1、空間直角坐標系的定義：在空間選的一點O和一個單位正交基底{，，}，以點O為坐標原點，分別以，，的正方向為三條坐標軸的正方向構成的直角坐標系，稱為空間直角坐標系，表示為O-xyz；這里的三條坐標軸，分別稱為x軸，y軸，z軸；其中兩條坐標軸構成的平面稱為坐標平面，這三個坐標平面分別稱為xOy平面，xOz平面，yOz平面，
2、建立空間直角坐標系的基本方法：
（1）確定直角坐標系原點的基本方法：①若圖像中有現成的三條線段兩兩互相垂直于一點，則取垂足為原點；②若圖像中沒有現成的三條線段兩兩互相垂直于一點，則需要通過作輔助線尋找兩兩互相垂直于一點的三條線段，并證明三條線段兩兩互相垂直，然后取垂足為原點；
（2）坐標軸正方向的確定：①若圖像中有現成的三條線段兩兩互相垂直，則取指向自己的方向作為x軸的正方向，指向右邊的方向作為y軸的正方向，指向豎直向上的方向作為z軸的正方向；②若圖像中沒有現成的三條線段兩兩互相垂直，則需要通過作輔助線尋找兩兩互相垂直于的三條線段，并證明三條線段兩兩互相垂直，然后取指向自己的方向作為x軸的正方向，指向右邊的方向作為y軸的正方向，指向豎直向上的方向作為z軸的正方向；
（3）建立空間直角坐標系的基本方法：①以確定的原點為空間直角坐標系的原點；②以確定坐x軸，y軸，z軸的正方向分別為空間直角坐標系的x軸，y軸，z軸；③建立空間直角坐標系O—xyz；
3、空間點A的坐標：
（1）空間點A，空間向量，有序實數對（x，y，z）之間的一一對應：對空間的任意原點A，有且僅有唯一的空間向量與它對應，有且僅有唯一的有序實數對（x，y，z）與它對應，稱為空間點A，空間向量，有序實數對（x，y，z）之間的一一對應；
（2）這里的有序實數對（x，y，z），稱為空間向量的坐標，記為=（x，y，z）；同時有序實數對（x，y，z），也稱為空間點A的坐標，記為A（x，y，z）。
二、運用空間向量證明平行（或垂直）：
1、用空間向量表示直線方程（或判斷點在直線上）：
（1）向量參數直線方程的定義：給定一個定點A和一個向量，存在一個實數t，使A為起點的向量=t，則稱向量方程叫做直線l（直線AP）的向量參數方程，向量稱為該直線的方向向量；
（2）判斷空間點P在直線l上的基本方法：對空間任意的點O，點P在直線l（直線AB）上的充要條件是存在唯一實數t，使=(1-t) +t成立。
2、運用空間向量證明空間中的平行關系：
（1）證明直線平行直線的基本方法：設直線和的方向向量分別為和，則//（或與重合）// ；
（2）證明直線平行平面的基本方法：①設直線l的方向向量為，與平面共面的兩個不共線向量分別為和，則l//（或l）存在x，yR，使=x +y成立；
②設直線l的方向向量為，平面的法向量為，則l//（或l）；
證明平面平行平面的基本方法：設平面，的法向量分別為，，則//
//。
3、運用空間向量證明空間中的垂直關系：
（1）證明直線垂直直線的基本方法：設直線和的方向向量分別為和，則 .=0；
（2）證明直線垂直平面的基本方法：①設直線l的方向向量為，平面的法向量為，則l// ；②直線l的方向向量為，平面內兩條相交直線和的方向向量分別為和，則l，且，.=0，且.=0；
（3）證明平面垂直平面的基本方法：設平面，的法向量分別為，，則 .=0。
4、直線的方向向量與平面的法向量的確定：
（1）直線的方向向量確定的基本方法：①在直線上取兩點的坐標（線段一般取線段兩個端點的坐標）；②把其中一點作為始點，另一點作中點；③求出兩點確定的向量，從而得到直線的方向向量；
（2）平面法向量確定的基本方法：①設平面的法向量為=（x，y，z），在平面內取兩條相交直線的方向向量分別為，；②根據 .=0 且 .=0，得到關于x，y，z的兩個方程；③兩個方程組成的方程組（注意：這里涉及到兩個方程三個未知數的問題，求解時可以令x，y，z中某一個的值為1，轉化為兩個方程兩個未知數的方程組求解）求出x，y，z的值；④求出平面的法向量。
【探導考點】
考點1空間直角坐標系的概念：熱點①空間直角坐標系定義及運用；熱點②空間點的坐標及其對稱點的坐標；
考點2運用空間向量證明平行問題：熱點①運用空間向量證明直線平行直線；熱點②運用空間向量證明直線平行平面；熱點③運用空間向量證明平面平行平面；
考點3運用空間向量證明垂直問題：熱點①運用空間向量證明直線垂直直線；熱點②運用空間向量證明直線垂直平面；熱點③運用空間向量證明平面垂直平面。
【典例解析】
【典例1】解答下列問題：
如圖在正方體ABCD---中 D C
建立空間直角坐標系。
A B
2、如圖在幾何體中，底面ABCD是邊長為 E F
6的正方形，是以E為直角頂點的等腰
直角三角形且垂直于底面，試建立空間直角
坐標系。 D C
A B
3、如圖在四菱錐P----ABCD中，側面PAD⊥底面 P
ABCD，側棱PA=PD=，底面ABCD為直角梯形，
其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD的 A O D
中點，試建立空間直角坐標系。
B C
4、如圖在四菱錐O----ABCD中，底面ABCD是 O
邊長為1的菱形，，OA⊥底面ABCD，
試建立空間直角坐標系。 A D
B C
『思考問題1』
（1）【典例1】是空間向量運用的首要問題—建立空間直角坐標系，【典例1】中的（1）有現成的系，可以直接建立空間直角坐標系D-xyz，原因是AD⊥D，AD⊥DC，DC⊥D是條件ABCD---是正方體給定了的；
（2）【典例1】中的（2），（3），（4）中沒有現成的系，這時需要我們去找系。找系的基本規律是：①條件中有兩個平面垂直可利用平面垂直平面的性質定理，在一個平面內找垂直于另一個平面的直線，其垂足為原點建立直角坐標系；②條件中沒有兩個平面垂直，但有直線垂直于平面，可利用直線垂直平面的性質定理，直接取垂足為原點建立直角坐標系。
〔練習1〕按要求解答下列各題： S
1、如圖四菱錐S----ABCD中，底面ABCD是矩形，
SD⊥底面ABCD，試建立空間直角坐標系。
D C
A B
E
2、如圖DC⊥平面ABC，EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2，
，P、Q分別為AE、AB的中點，試 D
建立空間直角坐標系。 P
C Q B
A
【典例2】解答下列問題：
1、如圖四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD， P 1
底面ABCD是直角梯形，M為側棱PD上一點，
該四棱錐的俯視圖和側（左）視圖如圖所示。 M
證明：AM//平面PBC；
3
D C
A B 4
2 2
2、如圖在幾何體中底面ABCD是邊長為6的 E F
正方形，是以E為直角頂點的等腰直
角三角形且垂直于底面，EF⊥平面EAD,EF=3， G
若R是BC的中點，G、H是BF上的兩個三等
分點。 D H C
求證：(1)EF//AB； R
(2) EF∥平面ABCD； A B
3、如圖在正方體ABCD---中，M， D C
N，P分別是C、、的中點。 A B M
求證：（1）D//MN； P N
（2）平面MNP∥平面BD。
『思考題2』
【典例2】是運用空間向量證明平行的問題，這類問題主要包括：①運用空間向量證明直線平行直線；②運用空間向量證明直線平行平面； ③運用空間向量證明平面平行平面；
（2）證明直線平行直線的基本思路是證明兩直線的方向向量平行（但要注意說明兩條直線不重合）；其基本方法是：①建立空間直角坐標系；②分別在直線上取兩點（如果是線段一般取線段的兩個端點），并求出兩點確定的向量（注意兩點的順序）；③證明兩個向量平行；④得出所證兩直線平行的結論；
（3）證明直線平行平面的基本思路是：①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直（但應注意說明直線不在平面內）；②證明直線的方向向量與平面內的一條直線的方向向量共線（但應注意說明直線不在平面內）；思路一的基本方法是：①建立空間直角坐標系；②在直線上取兩點（如果是線段一般取線段的兩個端點），并求出兩點確定的向量（注意兩點的順序）；③根據求平面法向量的基本方法，求出平面的法向量；④證明直線的方向向量與平面的法向量平垂直直線方向向量與平面法向量的數量積為0）；⑤得出所證直線與平面平行的結論；思路二的基本方法是：①建立空間直角坐標系；②在直線上取兩點（如果是線段一般取線段的兩個端點），并求出兩點確定的向量（注意兩點的順序）；③在平面內找一條直線并求出其方向向量；④證明兩向量平行；⑤得出所證直線與平面平行的結論；
（4）證明平面平行平面的基本思路是證明兩個平面的法向量平行，（但應注意說明兩法向量不重合）；其基本方法是：①建立空間直角坐標系；②根據求平面法向量的基本方法，分別求出兩個平面的法向量； ③證明兩個法向量平行；④得出所證兩平面平行的結論。
〔練習2〕解答下列問題： P
1、如圖在三棱錐P---ABC中，AB=BC=PA，O， D
D分別是AC，PC的中點，OP⊥底面ABC。 O C
求證：（1）OD∥平面ABP； A
OP∥AP。 D B C
4、如圖所示在正方體ABCD---中，M，N A B M
分別是C，的中點。 E
求證：（1）MN//平面BD； N
（2）若點E是的中點，證明平面MEN//平面BD。
【典例3】解答下列問題：
1、已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的單位法向量；
2、如圖在正方體ABCD----中，點E，F
分別是B，的中點。
求證：EF⊥D； E D C
A B
3、如圖在正方體ABCD----中，E，F分別是B、CD的中點，M是AE上一點，
且=。
求證：（1）M⊥平面DAE；
（2）M⊥AD； D M F E C
（3）平面AED⊥平面F。 A B
4、如圖四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD， P 1
底面ABCD是直角梯形，M為側棱PD上一點，
該四棱錐的俯視圖和側（左）視圖如圖所示。
（1）證明：BC⊥平面PBD； M
（2）線段CD上是否存在點N，使AM與BN所 D C 3
成角的余弦值為？若存在，找出所有符合 A B 4
要求的點N，并求CN的長；若不存在， 2 2
請說明理由。
5、如圖在幾何體中底面ABCD是邊長為6的 E F
正方形，是以E為直角頂點的等腰直
角三角形且垂直于底面，EF⊥平面EAD,EF=3， G
若R是BC的中點，G、H是BF上的兩個三等
分點。 D H C
求證：①EF∥平面ABCD； R
②AG⊥FB, RH⊥FB. A B
6、如圖在正方體ABCD---中，M， D C
N，P分別是C、、的中點。 A B M
求證：（1）AP⊥MN； P N
（2）AC⊥MN。
7、如圖已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， B E
ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB，F為
CD的中點。 A
（1）求證：AB⊥平面BCE；
（2）求證：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求直線BF和平面BCE所成角的正弦值 C F D
『思考題3』
（1）【典例3】是運用空間向量證明垂直的問題，這類問題主要包括：①運用空間向量證明直線平行直線；②運用空間向量證明直線平行平面； ③運用空間向量證明平面平行平面； （2）證明直線垂直直線的基本思路是證明兩直線的方向向量互相垂直，兩直線方向向量的數量積為零，其基本方法是：①建立空間直角坐標系；②分別在直線上取兩點（如果是線段一般取線段的兩個端點），并求出兩點確定的空間向量（注意兩點的順序）；③證明兩個空間向量垂直兩個空間向量的數量積為零；④得出兩條直線垂直的結論；
（3）證明直線與平面垂直的基本思路是：①證明直線的方向向量與平面的法向量平行；②證明直線方向向量與平面內兩條相交直線的方向向量分別垂直，證明直線方向向量分別與平面內兩條相交直線的方向向量的數量積為零；思路一的基本方法是：①建立空間直角坐標系；②在直線上取兩點（如果是線段一般取線段的兩個端點），并求出兩點確定的向量（注意兩點的順序）；③根據求平面法向量的基本方法求出平面的法向量；④證明直線方向向量與平面法向量平行；⑤得出所證直線與平面垂直的結論；思路二的基本方法是：建立空間直角坐標系；②在直線上取兩點（如果是線段一般取線段的兩個端點），并求出兩點確定的向量（注意兩點的順序）；③在平面內找兩條相交直線并分別求出其方向向量；④分別證明直線方向向量與平面內兩條相交直線方向向量平行，分別證明直線方向向量與平面內兩條相交直線方向向量的數量積為零；⑤得出所證直線與平面垂直的結論；
（4）證明平面垂直平面的基本思路是證明兩平面的法向量垂直，證明兩平面法向量的數量積為零；其基本方法是：①建立空間直角坐標系；②根據求平面法向量的基本方法，分別求出兩個平面的法向量；③證明兩平面法向量垂直，證明兩平面法向量的數量積為零； ④得出兩平面垂直的結論。
〔練習3〕解答下列問題： V
1、如圖在四棱錐V----ABCD中，底面ABCD
是正方形，側面VAD是正三角形，平面VAD⊥底
面ABCD。
求證：（1）AB⊥平面VAD； D C
（2）CD⊥AV； A B
（3）平面VAD⊥平面VDC. O
3、已知空間四邊形OABC中，M為BC的中點，N P
為AC的中點，P為OA的中點，Q為OB的中點，若 Q
AB=OC，求證：PM⊥QN。 A N C
M
B
【雷區警示】
【典例4】解答下列問題：
1、如圖在幾何體中，底面ABCD是邊長為 E F
6的正方形，是以E為直角頂點的等腰
直角三角形且垂直于底面，試建立空間直角
坐標系。 D C
A B
2、如圖已知三棱柱ABC—中，AC=BC= A，D是棱A的中點，D⊥BD.
（1）證明：D⊥BC；
（2）求二面角—BD—的大小。
『思考題4』
【典例4】是解答運用空間向量證明平行（或垂直）問題時，容易觸碰的雷區：該類問題的雷區主要包括：①找系建立空間直角坐標系時，忽視找系過程中的必要證明，導致解答問題出現錯誤；②運用空間向量證明平行（或垂直）問題，涉及到平面內直線的方向向量時，忽視判斷直線是否在平面內，導致解答問題出現錯誤；
解答運用空間向量證明平行（或垂直）問題時，為避免忽視找系過程中的必要證明的雷區，需要注意對找系過程中的三直線是否兩兩互相垂直作出相應的證明；
解答運用空間向量證明平行（或垂直）問題時，為避免涉及到平面內直線的方向向量時，忽視判斷直線是否在平面內的雷區，需要注意對直線是否在平面內給出準確的判斷。
〔練習4〕解答下列問題：
1、如圖在四菱錐O----ABCD中，底面ABCD是 O
邊長為1的菱形，，OA⊥底面ABCD，
試建立空間直角坐標系。 A D
B C
2、如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為菱形，PAD為正三角形，平面PAD平面ABCD，E，F分別是AD，CD的中點。
（1）證明：BD平面PEF；
（2）若BAD=，求二面角B—PD—A的余弦值。
【追蹤考試】
【典例5】解答下列問題：
如圖，在正四棱柱ABCD-中，AB=2，A=4，點，，，分別在棱A，B，C，D上，，A=1，B=D=2，C=3。
證明：//；
點P在棱B上，當二面角P--為，求P（2023全國高考新高考I）
2、如圖，在多面體ABCDEFG中，已知ADGC是正方形，GD//EF，GF//BC，FG平面ADGC，M，N分別是AC，BF的中點，BC=EF=CG=FG。
（1）證明：MN//平面APG；
（2）求直線MN與平面BEF所成角的正弦值。
3、在長方體ABCD—中，已知AB=AD，E為AD的中點。
（1）在線段上是否存在點F，使得平面AF//平面EC？若存在請加以證明，若不存在，請說明理由；
（2）設AD=2，A=4，點G在A上且滿足=8，求EG與平面EB所成角的余弦值。
4、（理）如圖，在直三棱柱ABC—中，BC，AB=A=AC=2。
（1）求證：AC平面AB；
（2）若D，E分別為棱AB，AC上的動點，且BD=AE，當三棱錐A-DE的體積最大時，求二面角A—D—E的余弦值（成都市高2021級高三零診）
5、在三棱錐A-BCD中，DA=DB=DC，BDCD，ADB=ADC=，E為BC的中點。
證明：BCDA；
點F滿足=，求二面角D-AB-F的正弦值（2023全國高考新高考II）
6、如圖，在三棱柱ABC—中，與A均是邊長為2的正三角形，且A=。
（1）證明：平面A⊥平面；
（2）求平面B與平面AC所成銳二面角的余弦值（成都市高2020級高三二診）
『思考題5』
【典例5】是近幾年高考（或高三診斷考試或高二期末調研考試）試卷中，運用空間向量證明平行（或垂直）的問題，歸結起來主要包括：①運用空間向量證明直線平行直線；②運用空間向量證明直線平行平面；③運用空間向量證明平面平行平面；④運用空間向量證明直線垂直直線；⑤運用空間向量證明直線垂直平面；⑥運用空間向量證明平面垂直平面等幾類問題；
解答運用空間向量證明平行（或垂直）的問題的基本方法是：①建立空間直角坐標系；
②根據問題結構特征判斷問題所屬類型；③運用解答該類問題的思路和基本方法對問題實施解答；④得出解答問題的結果。
〔練習5〕解答下列問題：
1、如圖，PO是三棱錐P—ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中點。
（1）證明：OE//平面PAC；
（2）若ABO=CBO=，PO=3，PA=5，求二面角C—AE—B的正弦值（2022全國高考新高考II卷）
2、如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AB=AD，PA⊥PD，AD⊥CD，
BAD=，M，N分別為AD，PA的中點（2020成都市高三零診）。
（1）證明：平面BMN//平面PCD；
（2）（理）若AD=6，CD=，求平面BMN與平面BCP所成二面角的余弦值。
3、（理）在四棱錐P—ABCD中，PD底面ABCD，CD//AB，AD=DC=CB=1，AB=2，DP=。
（1）證明：BDPA；
（2）求PD與平面PAB所成的角的正弦值。
4、如圖，在直三棱柱ABC—中，BC，AB=A=AC=2。
（1）求證：AC平面AB；
（2）若D，E分別為棱AB，AC上的動點，且BD=AE，當三棱錐A-DE的體積最大時，求二面角A—D—E的余弦值（成都市高2021級高三零診）
5、如圖，四面體ABCD中，ADCD，AD=CD，ADB=BDC，E為AC中點。
（1）證明：平面BED平面ACD；
（2）（理）設AB=BD=2，ACB=，點F在BD上，當AFC的面積最小時，求CF與平面ABD所成角的正弦值（2022全國高考乙卷）
空間向量的運用-證明平行（或垂直）
【考綱解讀】
理解空間直角坐標系的定義，掌握建立空間直角坐標系的基本方法；
理解平面法向量的定義，掌握求平面法向量的基本方法；
理解直線平行直線，直線平行平面和平面平行平面的定義，掌握運用空間向量證明直線平行直線，直線平行平面和平面平行平面的基本方法；
理解直線垂直直線，直線垂直平面和平面垂直平面的定義，掌握運用空間向量證明直線垂直直線，直線垂直平面和平面垂直平面的基本方法。
【知識精講】
一、空間直角坐標系：
1、空間直角坐標系的定義：在空間選的一點O和一個單位正交基底{，，}，以點O為坐標原點，分別以，，的正方向為三條坐標軸的正方向構成的直角坐標系，稱為空間直角坐標系，表示為O-xyz；這里的三條坐標軸，分別稱為x軸，y軸，z軸；其中兩條坐標軸構成的平面稱為坐標平面，這三個坐標平面分別稱為xOy平面，xOz平面，yOz平面，
2、建立空間直角坐標系的基本方法：
（1）確定直角坐標系原點的基本方法：①若圖像中有現成的三條線段兩兩互相垂直于一點，則取垂足為原點；②若圖像中沒有現成的三條線段兩兩互相垂直于一點，則需要通過作輔助線尋找兩兩互相垂直于一點的三條線段，并證明三條線段兩兩互相垂直，然后取垂足為原點；
（2）坐標軸正方向的確定：①若圖像中有現成的三條線段兩兩互相垂直，則取指向自己的方向作為x軸的正方向，指向右邊的方向作為y軸的正方向，指向豎直向上的方向作為z軸的正方向；②若圖像中沒有現成的三條線段兩兩互相垂直，則需要通過作輔助線尋找兩兩互相垂直于的三條線段，并證明三條線段兩兩互相垂直，然后取指向自己的方向作為x軸的正方向，指向右邊的方向作為y軸的正方向，指向豎直向上的方向作為z軸的正方向；
（3）建立空間直角坐標系的基本方法：①以確定的原點為空間直角坐標系的原點；②以確定坐x軸，y軸，z軸的正方向分別為空間直角坐標系的x軸，y軸，z軸；③建立空間直角坐標系O—xyz；
3、空間點A的坐標：
（1）空間點A，空間向量，有序實數對（x，y，z）之間的一一對應：對空間的任意原點A，有且僅有唯一的空間向量與它對應，有且僅有唯一的有序實數對（x，y，z）與它對應，稱為空間點A，空間向量，有序實數對（x，y，z）之間的一一對應；
（2）這里的有序實數對（x，y，z），稱為空間向量的坐標，記為=（x，y，z）；同時有序實數對（x，y，z），也稱為空間點A的坐標，記為A（x，y，z）。
二、運用空間向量證明平行（或垂直）：
1、用空間向量表示直線方程（或判斷點在直線上）：
（1）向量參數直線方程的定義：給定一個定點A和一個向量，存在一個實數t，使A為起點的向量=t，則稱向量方程叫做直線l（直線AP）的向量參數方程，向量稱為該直線的方向向量；
（2）判斷空間點P在直線l上的基本方法：對空間任意的點O，點P在直線l（直線AB）上的充要條件是存在唯一實數t，使=(1-t) +t成立。
2、運用空間向量證明空間中的平行關系：
（1）證明直線平行直線的基本方法：設直線和的方向向量分別為和，則//（或與重合）// ；
（2）證明直線平行平面的基本方法：①設直線l的方向向量為，與平面共面的兩個不共線向量分別為和，則l//（或l）存在x，yR，使=x +y成立；
②設直線l的方向向量為，平面的法向量為，則l//（或l）；
證明平面平行平面的基本方法：設平面，的法向量分別為，，則//
//。
3、運用空間向量證明空間中的垂直關系：
（1）證明直線垂直直線的基本方法：設直線和的方向向量分別為和，則 .=0；
（2）證明直線垂直平面的基本方法：①設直線l的方向向量為，平面的法向量為，則l// ；②直線l的方向向量為，平面內兩條相交直線和的方向向量分別為和，則l，且，.=0，且.=0；
（3）證明平面垂直平面的基本方法：設平面，的法向量分別為，，則 .=0。
4、直線的方向向量與平面的法向量的確定：
（1）直線的方向向量確定的基本方法：①在直線上取兩點的坐標（線段一般取線段兩個端點的坐標）；②把其中一點作為始點，另一點作中點；③求出兩點確定的向量，從而得到直線的方向向量；
（2）平面法向量確定的基本方法：①設平面的法向量為=（x，y，z），在平面內取兩條相交直線的方向向量分別為，；②根據 .=0 且 .=0，得到關于x，y，z的兩個方程；③兩個方程組成的方程組（注意：這里涉及到兩個方程三個未知數的問題，求解時可以令x，y，z中某一個的值為1，轉化為兩個方程兩個未知數的方程組求解）求出x，y，z的值；④求出平面的法向量。
【探導考點】
考點1空間直角坐標系的概念：熱點①空間直角坐標系定義及運用；熱點②空間點的坐標及其對稱點的坐標；
考點2運用空間向量證明平行問題：熱點①運用空間向量證明直線平行直線；熱點②運用空間向量證明直線平行平面；熱點③運用空間向量證明平面平行平面；
考點3運用空間向量證明垂直問題：熱點①運用空間向量證明直線垂直直線；熱點②運用空間向量證明直線垂直平面；熱點③運用空間向量證明平面垂直平面。
【典例解析】 z
1、如圖在正方體ABCD---中
建立空間直角坐標系。
【解析】 D C y
【知識點】①空間直角坐標系的定義與性質；②建立 x
空間直角坐標系的基本方法；③正方體的定義與性質。 A B
【解題思路】運用正方體的性質，結合空間直角坐標系建立的基本方法就可解答問題。
【詳細解答】如圖， ABCD---是正方體，DDA，DDC，ADDC，以D為原點，射線DA，DC，D分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系D—xyz。
2、如圖在幾何體中，底面ABCD是邊長為 E F
6的正方形，是以E為直角頂點的等腰
直角三角形且垂直于底面，試建立空間直角
坐標系。 D C
【解析】
【知識點】①空間直角坐標系的定義與性質；②建立
空間直角坐標系的基本方法；③正方形的定義與性質； A B
④等腰直角三角形定義與性質。
【解題思路】分別取AD，BC的中點O，F，連接EO，FO，根據等腰三角形的性質，結合問題條件得到EOOA，EOOF，AOOF，運用建立空間直角坐標系的基本方法就可建立空間直角坐標系O-xyz。
【詳細解答】分別取AD，BC的中點O，F，連接EO，FO，是以E為直角頂點的等腰直角三角形，O是AD的中點， EOAD，平面EAD平面ABCD，平面EAD 平面ABCD=AD，EO 平面EAD， EO平面ABCD， EOOA，EOOF，四邊形ABCD是邊長為6的正方形， AOOF，如圖，以O為原點，射線OA，OF，OE分別為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標系O—xyz。
3、如圖在四菱錐P----ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA=PD=，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD的中點，試建立直角坐標系O---XYZ；
【解析】
【知識點】①空間直角坐標系的定義與性質；②建立空間直角坐標系的基本方法；③平面垂直平面的性質；④直角梯形的定義與性質；⑤等腰三 P z
角形的定義與性質。
【解題思路】連接PO，運用等腰三角形的性質，結合
問題條件可證POOD，POOC，COOD，利用
空間直角坐標系建立的基本方法就可解答問題。 A O Dy
【詳細解答】連接CO， PA=PD=，O為AD的 B x C
中點， POAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD 平面ABCD=AD，PO 平面PAD， PO平面ABCD， POOD，POOC， BC∥AD， AD=2AB=2BC=2，四邊形ABCO是菱形，AB⊥AD，四邊形ABCO是正方形， OCOD，如圖，以O為原點，射線OC，OD，OP分別為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標系O—xyz。
4、如圖在四菱錐O----ABCD中，底面ABCD是 O z
邊長為1的菱形，，OA⊥底面ABCD，
試建立直角坐標系A---XYZ。 A D y
【解析】
【知識點】①空間直角坐標系的定義與性質；②建立 x
空間直角坐標系的基本方法；③菱形的定義與性質；④B E C
直線垂直平面的定義與性質。
【解題思路】過A作AEAD，垂足為A，交BC于點E，運用直線垂直平面的性質，結合問題條件可證ADOA，AEOA，利用空間直角坐標系建立的基本方法就可解答問題。
【詳細解答】過A作AEAD，垂足為A，交BC于點E， OA⊥底面ABCD，AD，AE 平面ABCD， ADOA，AEOA，如圖，以A為原點，射線AE，AD，AO分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系A—xyz。
『思考問題1』
（1）【典例1】是空間向量運用的首要問題—建立空間直角坐標系，【典例1】中的（1）有現成的系，可以直接建立空間直角坐標系D-xyz，原因是AD⊥D，AD⊥DC，DC⊥D是條件ABCD---是正方體給定了的；
（2）【典例1】中的（2），（3），（4）中沒有現成的系，這時需要我們去找系。找系的基本規律是：①條件中有兩個平面垂直可利用平面垂直平面的性質定理，在一個平面內找垂直于另一個平面的直線，其垂足為原點建立直角坐標系；②條件中沒有兩個平面垂直，但有直線垂直于平面，可利用直線垂直平面的性質定理，直接取垂足為原點建立直角坐標系。
〔練習1〕按要求解答下列各題： S
1、如圖四菱錐S----ABCD中，底面ABCD是矩形，
SD⊥底面ABCD，試建立空間直角坐標系。 D C
（提示：證明SD⊥DA，SD⊥DC，AD⊥DC）
A B E
2、如圖DC⊥平面ABC，EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2， D
，P、Q分別為AE、AB的中點，試 C B
建立空間直角坐標系。 A P
（提示：過點C作CF⊥CB交AB于點F，證明DC ⊥CB，DC⊥CF)
【典例2】解答下列問題：
1、如圖四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD， P 1
底面ABCD是直角梯形，M為側棱PD上一點，
該四棱錐的俯視圖和側（左）視圖如圖所示。 M
證明：AM//平面PBC；
3
D C
A B 4
【解析】 2 2
【知識點】①直角梯形定義與性質；②幾何體三視圖定義與性質；③建立空間直角坐標系的基本方法；④空間向量定義與性質；⑤空間向量坐標運算的法則和基本方法；⑥求平面法向量的基本方法；⑦運用空間向量證明直線平行平面的基本方法。
【解題思路】如圖，根據直線垂直平面的性質得到PD⊥DA ，PD⊥DC，由底面ABCD是直角梯形，得到AD⊥DC，以D為原點，射線DA，DC，DP分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系O—xyz，運用幾何體三視圖的性質得到點D，A，B，C，P的坐標，從而得到點M的坐標，求出向量，，，由求平面法向量的基本方法求出平面PBC的法向量，得到.=0，利用空間向量證明直線平行平面的基本方法就可證明AM//平面PBC。
【詳細解答】如圖， PD⊥底面ABCD，AD，CD 平面ABCD， PD⊥DA ，PD⊥DC，
底面ABCD是直角梯形， AD⊥CD，以D為原點，射線DA，DC，DP分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系D—xyz， D（0，0，0），A（，0，0），B（，1，0），P（0，0，4），M（0，0，3），C（0，4，0），=（-，0，3），=（-，-1，4），=（-，3，0），設平面PBC的法向量為=（，，），⊥，且⊥，.=--+4=0①，且. =-+3+0=0②，聯立①②解得：=，=1，=1，=（，1，1），.=-3+0+3=0，AM平面PBC， AM//平面PBC。
2、如圖在幾何體中底面ABCD是邊長為6的 E F
正方形，是以E為直角頂點的等腰直
角三角形且垂直于底面，EF⊥平面EAD,EF=3， G
若R是BC的中點，G、H是BF上的兩個三等
分點。 D H C
求證：(1)EF//AB； R
EF∥平面ABCD； A B
【解析】
【知識點】①正方形定義與性質；②等腰直角三角形定義與性質；③建立空間直角坐標系的基本方法；④空間向量定義與性質；⑤空間向量坐標運算的法則和基本方法；⑥求平面法向量的基本方法；⑦運用空間向量證明直線平行直線的基本方法；⑧運用空間向量證明直線平行平面的基本方法。
【解題思路】（1）如圖，取AD的中點O，連接EO，OR，根據平面垂直平面的性質得到EO⊥平面ABCD，從而得到EO⊥OA ，EO⊥OR，由底面ABCD是正方形，得到AO⊥OR，以O為原點，射線OA，OR，OE分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系O—xyz，結合問題條件得到點O，A，B，E，F的坐標，求出向量， ，運用空間向量證明直線平行直線的基本方法就可證明EF//AB；（2）根據（1）求出向量， ，得到.=0，從而得到EOEF，運用空間向量證明直線平行平面的基本方法就可證明EF∥平面ABCD。
【詳細解答】（1）如圖，取AD的中點O，連接EO，OR，是以E為直角頂點的等腰直角三角形，O是AD的中點，EOAD， 平面EAD平面ABCD，平面EAD 平面ABCD=AD，EO 平面EAD， EO平面ABCD， EOOA，EOOF，四邊形ABCD是邊長為6的正方形， AOOF，以O為原點，射線OA，OR，OE分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系O—xyz，四邊形ABCD是邊長為6的正方形，EF⊥平面EAD,EF=3，O是AD的中點，O（0，0，0），E（0，0，3），F（0，3，
3），A（3，0，0），B（3，6，0），=（0，6，0），=（0，3，0），=2，//，即EF//AB；（2）由（1）得 EO平面ABCD，向量= （0，0，-3）是平面ABCD的一個法向量，.=0+0+0=0，EF平面ABCD， EF//平面ABCD。
3、如圖在正方體ABCD---中，M， D C
N，P分別是C、、的中點。 A B M
求證：（1）D//MN； P N
（2）平面MNP∥平面BD。
【解析】
【知識點】①正方體定義與性質；②建立空間直角坐標系的基本方法；③空間向量定義與性質；④空間向量坐標運算的法則和基本方法；⑤平面法向量的基本方法；⑥運用空間向量證明直線平行直線的基本方法；⑦運用空間向量證明平面平行平面的基本方法。
【解題思路】（1）如圖，設正方體ABCD---的棱長為1，根據正方體的性質得到D，D，，以為原點，射線，，D分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系—xyz，結合問題條件得到點，
，，，A，C的坐標，從而得到點M，N，P的坐標，求出向量，，運用空間向量證明直線平行直線的基本方法就可證明D//MN；（2）根據（1）求出向量，，，，運用求平面法向量的基本方法，分別求出平面MNP,平面BD的法向量法向量，，運用空間向量證明平面平行平面的基本方法就可證明平面MNP∥平面BD。
【詳細解答】（1）如圖，設正方體ABCD---的棱長為1， ABCD---是正方體，D，D，，以為原點，射線，，D分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系—xyz，（1，0，0），（0，1，0），（1，1，0），A（1，0，1），C（0，1，1），D（0，0，1），M，N，P分別是C，，的中點，P（0，，0），M（0，1，），N（，1，0），= （-1，0，1），=（，0，-），=-2， //，即D//MN；（2）由（1）得：=（0，1，1），=（-1，0，1），=（0，，），=（，，0），設平面BD的法向量為=（，，），，且，.=0++=0①，. =-+0+=0②，聯立①②解得：=1，=-1，=1，=（1，-1，1），設平面MNP的法向量為=（x，y，z），，且，.=0+y+z=0③，. =-x+y+0=0④，聯立③④解得：x=-1，y=1，=-1，=（-1，1，-1），=-，//，即平面MNP∥平面BD。
『思考題2』
【典例2】是運用空間向量證明平行的問題，這類問題主要包括：①運用空間向量證明直線平行直線；②運用空間向量證明直線平行平面； ③運用空間向量證明平面平行平面；
（2）證明直線平行直線的基本思路是證明兩直線的方向向量平行（但要注意說明兩條直線不重合）；其基本方法是：①建立空間直角坐標系；②分別在直線上取兩點（如果是線段一般取線段的兩個端點），并求出兩點確定的向量（注意兩點的順序）；③證明兩個向量平行；④得出所證兩直線平行的結論；
（3）證明直線平行平面的基本思路是：①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直（但應注意說明直線不在平面內）；②證明直線的方向向量與平面內的一條直線的方向向量共線（但應注意說明直線不在平面內）；思路一的基本方法是：①建立空間直角坐標系；②在直線上取兩點（如果是線段一般取線段的兩個端點），并求出兩點確定的向量（注意兩點的順序）；③根據求平面法向量的基本方法，求出平面的法向量；④證明直線的方向向量與平面的法向量平垂直直線方向向量與平面法向量的數量積為0）；⑤得出所證直線與平面平行的結論；思路二的基本方法是：①建立空間直角坐標系；②在直線上取兩點（如果是線段一般取線段的兩個端點），并求出兩點確定的向量（注意兩點的順序）；③在平面內找一條直線并求出其方向向量；④證明兩向量平行；⑤得出所證直線與平面平行的結論；
（4）證明平面平行平面的基本思路是證明兩個平面的法向量平行，（但應注意說明兩法向量不重合）；其基本方法是：①建立空間直角坐標系；②根據求平面法向量的基本方法，分別求出兩個平面的法向量； ③證明兩個法向量平行；④得出所證兩平面平行的結論。
〔練習2〕解答下列問題： P
1、如圖在三棱錐P---ABC中，AB=BC=PA，O， D
D分別是AC，PC的中點，OP⊥底面ABC。 O C
求證：（1）OD∥平面ABP； A
（2）OP∥AP（提示：過點O作OE⊥OC交AB于點E） D B C
4、如圖所示在正方體ABCD---中，M，N A B M
分別是C，的中點。 E
求證：（1）MN//平面BD； N
（2）若點E是的中點，證明平面MEN//平面BD（提示：建立空間直角坐標系-xyz）
【典例3】解答下列問題：
已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的單位法向量；
【解析】
【知識點】①空間向量定義與性質；②空間向量坐標運算的法則和基本方法；③平面法向量的基本求法。
【解題思路】設平面ABC的單位法向量為=（x，y，z），根據空間向量的性質，運用空間向量坐標運算的法則和基本方法，得到關于x，y，z的方程組，求出方程組求出x，y，z的值，從而得到平面ABC的法向量，就可求出平面ABC的單位法向量。
【詳細解答】設平面ABC的單位法向量為=（x，y，z），⊥，且⊥，.=2x+2y+z=0①，. =4x+5y+3z=0②，聯立①②解得：x=1，y=-2，z=2，
=（1，-2，2），||==3，平面ABC的單位法向為（，-，）。
2、如圖在正方體ABCD----中，點E，F z
分別是B，的中點。 F
求證：EF⊥D； D E C y
【解析】 x
【知識點】①建立空間直角坐標系的基本方法； A B
②空間點坐標確定的基本方法；③直線所在向量的求法；④運用空間向量證明直線垂直直線的基本方法。
【解題思路】如圖運用建立空間自己坐標系的基本方法建立空間直角坐標系D—xyz，根據確定點坐標的基本方法分別確定點D，，B，，的坐標，由問題條件求出點E，F的坐標，從而求出直線EF，D，所在向量，，得到.=0，利用空間向量證明直線垂直直線的基本方法就可證明結論。
【詳細解答】 ABCD---是正方體，DDA，DDC，ADDC，如圖，以D為原點，射線DA，DC，D分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系D—xyz，設正方體的棱長為1， D（0，0，0），（1，0，1），B（1，1，0），（0，0，1），（1，1，1），E，F分別是B，的中點， E（1，1，），F （，，1），=（1，0，1），=（-，-，），.=-+0+=0，EF⊥D。
3、如圖在正方體ABCD----中，E，F分別是B、CD的中點，M是AE上一點，
且=。
求證：（1）M⊥平面DAE；
（2）M⊥AD； D M F E C
（3）平面AED⊥平面F。 A B
【解析】
【知識點】①建立空間直角坐標系的基本方法；②空間點坐標確定的基本方法；③直線所在向量的求法；④平面法向量的基本求法；⑤運用空間向量證明直線垂直平面的基本方法；⑥運用空間向量證明直線垂直直線的基本方法；⑦運用空間向量證明平面垂直平面的基本方法。
【解題思路】（1）如圖運用建立空間自己坐標系的基本方法建立空間直角坐標系D—xyz，根據確定點坐標的基本方法分別確定點，M，D，A，E的坐標，從而求出直線M，DA，DE所在向量，，，得到.=0，. =0，可證M⊥DA，M⊥DE，利用直線垂直平面判定定理和判定方法就可證明結論；（2）由（1）點的坐標分別求出直線M，AD所在的向量，，得到.=0，從而證明M⊥AD；（3）設平面DAE的法向量為=（，，），由.=0，. =0，求出法向量，用同樣的方法求出平面F的法向量，得到.=0，利用證明平面垂直平面的基本方法就可證明結論。
【詳細解答】（1） ABCD---是正方體，DDA，DDC，ADDC，如圖，以D為原點，射線DA，DC，D分別為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標系D—xyz，設正方體的棱長為1，M（x，y，z）， D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），（0，0，1），（1，1，1），（1，0，1），E是B的中點， E（1，1，），=（1，0，0），=（1，1，），=（x-1，y，z），=（0，1，），=，x-1=0，y=，z=，M（1，，），=（0，，-），.=0+0+0=0，. =0+-=0，M⊥DA，M⊥DE，DA，DE平面DAE，DADE=D，M⊥平面DAE；（2）由（1）知=（0，，-），=（-1，0，0），.=0+0+0=0，M⊥AD；（3）設平面DAE的法向量為=（，，），.=+0+0==0，. =++=0，=0，=-1，=2，=（0，-1，2），同理求出平面F的法向量=（0，2，1），.=0-2+2=0，平面AED⊥平面F。
4、如圖四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD， P 1
底面ABCD是直角梯形，M為側棱PD上一點，
該四棱錐的俯視圖和側（左）視圖如圖所示。
（1）證明：BC⊥平面PBD； M
（2）線段CD上是否存在點N，使AM與BN所 D C 3
成角的余弦值為？若存在，找出所有符合 A B 4
要求的點N，并求CN的長；若不存在， 2 2
請說明理由。
【解析】
【知識點】①四棱錐定義與性質；②直角梯形定義與性質；③建立空間直角坐標系的基本方法；④空間向量定義與性質；⑤空間向量坐標運算的法則和基本方法；⑥求平面法向量的基本方法；⑦運用空間向量求直線與直線所成角余弦值的基本方法；⑧運用空間向量求異面直線夾角余弦值的基本方法。
【解題思路】（1）如圖，根據直線垂直平面的性質，得到PD⊥DA ，PD⊥DC，由底面ABCD是直角梯形，得到AD⊥DC，以D為原點，射線DA，DC，DP分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系D—xyz，結合問題條件得到點D，B，C，P的坐標，求出向量，，，從而求出與，與的數量積，得到BC⊥BP， BC⊥BD，運用空間向量證明直線垂直平面的基本方法就可證明BC⊥平面PBD；（2）設線段CD上存在點N（x，y，z），使AM與BN所成角的余弦值為，根據（1）求出向量，，運用公式cos<，>=得到關于t的方程，求解方程求出t的值，從而求出點N的坐標，就可得出結論。
【詳細解答】（1）如圖， PD⊥底面ABCD，AD，CD 平面ABCD， PD⊥DA ，PD⊥DC，底面ABCD是直角梯形， AD⊥CD，以D為原點，射線DA，DC，DP分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系D—xyz， B（，1，0），P（0，0，4），M（0，0，3），C（0，4，0），=（-，-1，4），，=（-，3，0），
=（-，-1，0），.=3-3+0=0，.=3-3+0=0， BC⊥BP， BC⊥BD，BP，BD平面PBD，BPBD=B，BC⊥平面PBD；（3）設線段CD上存在點N（x，y，z），使AM與BN所成角的余弦值為，=（0，-4，0），=（x，y-4，z），點N在線段CD上，存在tR，使=t，（x，y-4，z）=（0，-4t，0），x=0，y=4-4t，z=0，=（-，3-4t，0）， cos<，>== = =，=2，t=或t=1，y=1或y=-1，05、如圖在幾何體中底面ABCD是邊長為6的 E F
正方形，是以E為直角頂點的等腰直
角三角形且垂直于底面，EF⊥平面EAD,EF=3， G
若R是BC的中點，G、H是BF上的兩個三等
分點。 D H C
求證：（1）RH⊥FB； R
（2）AG⊥FB,。 A B
【解析】
【知識點】①正方形定義與性質；②等腰直角三角形定義與性質；③建立空間直角坐標系的基本方法；④空間向量定義與性質；⑤空間向量坐標運算的法則和基本方法；⑥運用空間向量證明直線垂直直線的基本方法。
【解題思路】（1）如圖，取AD的中點O，連接EO，OR，根據平面垂直平面的性質得到EO⊥平面ABCD，從而得到EO⊥OA ，EO⊥OR，由底面ABCD是正方形，得到AO⊥OR，以為原點，射線，，D分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系—xyz，結合問題條件得到點B，C，，E，F，R，H的坐標，求出向量，， 從而求出向量與的數量積，就可證明RH⊥FB；（2）根據（1）得到點G的坐標，向量，從而求出與的數量積，就可證明AG⊥BF。
【詳細解答】（1）如圖，取AD的中點O，連接EO，OR，是以E為直角頂點的等腰直角三角形，O是AD的中點， EOAD，平面EAD平面ABCD，平面EAD 平面ABCD=AD，EO 平面EAD， EO平面ABCD， EOOA，EOOF，四邊形ABCD是邊長為6的正方形， AOOF，以O為原點，射線OA，OF，OE分別為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標系O—xyz，四邊形ABCD是邊長為6的正方形，EF⊥平面EAD,EF=3，O，R分別是AD，BC的中點，G、H是BF上的兩個三等分的，A（3，0，0），B（3，6，0），C（-3，6，0），E（0，0，3），R（0，6，0），H（2，5，1），G（1，4，2），F（0，3，3），=（-3，-3，3），=（2，-1，1）， .=-6+3+3=0，RH⊥BF；（2）= （-2，4，2），.=6-12+6=0，
AG⊥BF。
6、如圖在正方體ABCD---中，M， D C
N，P分別是C、、的中點。 A B M
求證：（1）AP⊥MN； P N
（2）AB⊥MN。
【解析】
【知識點】①正方體定義與性質；②建立空間直角坐標系的基本方法；③空間向量定義與性質；④空間向量坐標運算的法則和基本方法；⑤求平面法向量的基本方法；⑥運用空間向量證明直線垂直直線的基本方法。
【解題思路】（1）如圖，設正方體ABCD---的棱長為1，根據正方體的性質得到D，D，，以為原點，射線，，D分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系—xyz，得到點，，，A，C的坐標，從而得到點M，N，P的坐標，求出向量，，向量與的數量積，就可證明AP⊥MN；（2）由（1）求出向量，從而求出向量與的數量積，就可證明AB⊥MN。
【詳細解答】（1）如圖， ABCD---是正方體，D，D，，以為原點，射線，，D分別為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標系—xyz，設正方體的棱長為1，（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（1，1，0），A（1，0，1），C（0，1，1），M，N，P分別是C，，的中點，P（0，，0），M（0，1，），N（，1，0），= （-1，，-1），=（，0，-），.=-+0+=0， AP⊥MN；（2）B（1，1，1），=（0，1，0），.=0+0+0=0，AB⊥MN。
7、如圖已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， B E
ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB，F為
CD的中點。 M
（1）求證：AB⊥平面BCE；
（2）求證：平面BCE⊥平面CDE； A
（3）求直線BF和平面BCE所成角的正弦值 C F D
【解析】 x
【知識點】①三角形中位線的定義與性質；②建立空間直角坐標系的基本方法；③空間向量定義與性質；④空間向量坐標運算的法則和基本方法；⑤求平面法向量的基本方法；⑥運用空間向量證明直線垂直平面的基本方法；⑦運用空間向量證明平面垂直平面的基本方法；⑧求直線與平面所成角正弦值的基本方法。
【解題思路】（1）如圖，取CE的中點M，連接FM，運用三角形中位線的性質可證MF平面ACD，得到FMFD，FM FA，FA FD，以F為原點，AF的延長線，射線FD，FM分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系F—xyz，根據確定點坐標的基本方法分別確定點，A，F，B，C，E的坐標，從而求出向量,，，，根據求平面法向量的基本方法求出平面BCE的法向量，求出.的值，就可證明AB⊥平面BCE；（2）根據確定點坐標的基本方法分別確定點D的坐標，求出直線DC，DE所在向量，，運用求平面法向量的基本方法，分別求出平面CDE的法向量法向量，得到.=0，利用證明平面垂直平面的基本方法就可證明結論；（3）求出直線BF所在向量，運用求直線與平面所成角正弦值的基本方法通過計算就可求出結果。
【詳細解答】（1）如圖，設AD=DE=2，平面BCE的法向量為=（，，），取CE的中點M，連接FM，延長AF，M，F分別是CE，CD的中點，FM//DE， DE⊥平面ACD，FM⊥平面ACD， FMFD，FM FA，ACD為等邊三角形，D是CD的中點，FA FD，以F為原點，AF的延長線，射線FD，FM分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系F—xyz， AD=DE=2AB，A（-，0，0），F（0，0，0），B（-，0，1），C（0，-1，0），E（0，1，2），=B（0，0，1），=（，0，0），=（，-1，-1），=（，1，1），⊥，且⊥ ，.=--=0①，且. =-++=0②，聯立①②解之得：=0，=-1，=1，=（0，-1，1），. =-0+0+0=0， AB⊥平面BCE；（2）D（0，1，0），=（0，-2，0），=（0，0，2），設平面CDE的法向量為=（x，y，z），.=0-2y+0=0，.=-0+0+2z=0，x=，y=0，z=0，=（x，0，1），.=0+0+0=0，平面BCE⊥平面CDE；（3）設直線BF與平面BCE所成角為，=（，0，-1），sin=cos<，>===。
『思考題3』
（1）【典例3】是運用空間向量證明垂直的問題，這類問題主要包括：①運用空間向量證明直線平行直線；②運用空間向量證明直線平行平面； ③運用空間向量證明平面平行平面； （2）證明直線垂直直線的基本思路是證明兩直線的方向向量互相垂直，兩直線方向向量的數量積為零，其基本方法是：①建立空間直角坐標系；②分別在直線上取兩點（如果是線段一般取線段的兩個端點），并求出兩點確定的空間向量（注意兩點的順序）；③證明兩個空間向量垂直兩個空間向量的數量積為零；④得出兩條直線垂直的結論；
（3）證明直線與平面垂直的基本思路是：①證明直線的方向向量與平面的法向量平行；②證明直線方向向量與平面內兩條相交直線的方向向量分別垂直，證明直線方向向量分別與平面內兩條相交直線的方向向量的數量積為零；思路一的基本方法是：①建立空間直角坐標系；②在直線上取兩點（如果是線段一般取線段的兩個端點），并求出兩點確定的向量（注意兩點的順序）；③根據求平面法向量的基本方法求出平面的法向量；④證明直線方向向量與平面法向量平行；⑤得出所證直線與平面垂直的結論；思路二的基本方法是：建立空間直角坐標系；②在直線上取兩點（如果是線段一般取線段的兩個端點），并求出兩點確定的向量（注意兩點的順序）；③在平面內找兩條相交直線并分別求出其方向向量；④分別證明直線方向向量與平面內兩條相交直線方向向量平行，分別證明直線方向向量與平面內兩條相交直線方向向量的數量積為零；⑤得出所證直線與平面垂直的結論；
（4）證明平面垂直平面的基本思路是證明兩平面的法向量垂直，證明兩平面法向量的數量積為零；其基本方法是：①建立空間直角坐標系；②根據求平面法向量的基本方法，分別求出兩個平面的法向量；③證明兩平面法向量垂直，證明兩平面法向量的數量積為零； ④得出平面垂直平面的結論。
〔練習3〕解答下列問題：
1、如圖在四棱錐V----ABCD中，底面ABCD V
是正方形，側面VAD是正三角形，平面VAD⊥底
面ABCD。
求證：（1）AB⊥平面VAD； D C
（2）CD⊥AV； A B
（3）平面VAD⊥平面VDC.（提示：建立空間直角坐 O
標系D-xyz）
3、已知空間四邊形OABC中，M為BC的中點，N P q
為AC的中點，P為OA的中點，Q為OB的中點，若 A N C
AB=OC，求證：PM⊥QN。 M
（提示：證明.=0） B
【雷區警示】
【典例4】解答下列問題： z
2、如圖在幾何體中，底面ABCD是邊長為 E F
6的正方形，是以E為直角頂點的等腰
直角三角形且垂直于底面，試建立直角坐標系
O----XYZ； D C
【解析】 O F y
【知識點】①空間直角坐標系的定義與性質；②空間 x
直角坐標系建立的基本方法；③等腰三角形的定義與 A B
性；④正方形的定義與性質；⑤平面垂直平面的性質。
【解題思路】分別取AD，BC的中點O，F，連接EO，FO，運用等腰三角形的性質，結合問題條件可證EOOA，EOOF，AOOF，利用空間直角坐標系建立的基本方法就可解答問題。
【詳細解答】分別取AD，BC的中點O，F，連接EO，FO，是以E為直角頂點的等腰直角三角形，O是AD的中點， EOAD，平面EAD平面ABCD，平面EAD 平面ABCD=AD，EO 平面EAD， EO平面ABCD， EOOA，EOOF，四邊形ABCD是邊長為6的正方形， AOOF，如圖，以O為原點，射線OA，OF，OE分別為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標系O—xyz。
2、如圖，在等腰梯形ADEF中，AD//EF，AD=3，DE=，EF=1，在矩形 ABCD中，AB=1，平面ADEF平面ABCD。
（1）證明：BFCF；
（2）求直線AF與平面CEF所成角的大小。
【解析】
【考點】①等腰梯形定義與性質；②矩形定義與性質；③建立空間直角坐標系的基本方法；④空間向量定義與性質；⑤空間向量坐標運算的法則和基本方法；⑥求平面法向量的基本方法；⑦求二面角余弦值的基本方法。
【解題思路】（1）如圖，過點F作FOAD于點O，過點O作OM//AB交BC于當M，連接OB，OC，根據平面垂直平面和矩形的性質，結合問題條件得到FO平面ABCD，從而得到FOOM，FOOD，ODOM，以O為坐標原點，，，分別為 x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系O—xyz，求出點B，C，F的坐標，向量，，從而求出向量，的數量積，就可證明BFFC；（2）根據（1）得到A，E的坐標，從而求出，, ，運用求平面法向量的基本方法求出平面CEF的法向量，利用求直線與平面所成角正弦值的基本方法求出直線AF與平面CEF所成角的正弦值，就可求出直線AF與平面CEF所成角的大小。
【詳細解答】（1）如圖，過點F作FOAD于點O，過點O作OM//AB交BC于當M，連接OB，OC， 平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCD=AD， FO平面ADEF， FO平面ABCD， FOOM，FOOD，四邊形A BCD是矩形， OMO
以O為坐標原點，，，分別為 x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系O—xyz，AD//EF，AD=3，DE=，EF=1，AB=1，B（1，-1，0），C（1，2，0），F（0，0，1），=（-1，1，1），=（-1，-2，1），.=1-2+1=0，BFCF；（2）設直線AF與平面CEF所成角為， 由（1）得：A（0，-1，0），E（0，1，1），=（0，1，1），= （-1，-1，1），= （-1，-2，1），設平面CEF的法向量
為=（x，y，z）， ，且，.=-x-y+z=0①， .=-x-2y+z =0
②，聯立①②解得：x=1，y=0，z=1，=（1，0，1），sin=|cos<，>\=||
=||=，（0，）, =，即直線AF與平面CEF所成角的大小為。
『思考題4』
【典例4】是解答運用空間向量證明平行（或垂直）問題時，容易觸碰的雷區：該類問題的雷區主要包括：①找系建立空間直角坐標系時，忽視找系過程中的必要證明，導致解答問題出現錯誤；②運用空間向量證明平行（或垂直）問題，涉及到平面內直線的方向向量時，忽視判斷直線是否在平面內，導致解答問題出現錯誤；
解答運用空間向量證明平行（或垂直）問題時，為避免忽視找系過程中的必要證明的雷區，需要注意對找系過程中的三直線是否兩兩互相垂直作出相應的證明；
解答運用空間向量證明平行（或垂直）問題時，為避免涉及到平面內直線的方向向量時，忽視判斷直線是否在平面內的雷區，需要注意對直線是否在平面內給出準確的判斷。
〔練習4〕解答下列問題：
1、如圖在四菱錐O----ABCD中，底面ABCD是 O
邊長為1的菱形，，OA⊥底面ABCD，
試建立空間直角坐標系。 A D
（提示：過點A作AEAD交BC于點E，以A
為原點，就可建立空間直角坐標系）
B C
2、如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為菱形，PAD為正三角形，平面PAD平面ABCD，E，F分別是AD，CD的中點。
（1）證明：BD平面PEF；
（2）若BAD=，求二面角B—PD—A的余弦值。
（提示：連接PE，過點E作EG//AB交BC于點G，以E為原點，,，分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系E-xyz。）
【追蹤考試】
【典例5】解答下列問題：
1、如圖，在正四棱柱ABCD-中，AB=2，A=4，點，，，分別在棱A，B，C，D上，，A=1，B=D=2，C=3。
證明：//；
點P在棱B上，當二面角P--為，求P（2023全國高考新高考I）
【解析】
【考點】①正四棱柱定義與性質；②建立空間直角坐標系的基本方法；③空間向量定義與性質；④空間向量坐標運算法則和基本方法；⑤求平面法向量的基本方法；⑥求二面角余弦值公式及運用；⑦兩點之間距離公式及運用。
【解題思路】（1）如圖，以C為坐標原點，,,分別為x，y，z的正半軸建立空間直角坐標系C-xyz，根據空間向量的性質，結合問題條件得到點，，，的坐標，運用空間向量坐標運算法則和基本方法求出向量，，從而證明向量與向量共線，就可證明//；（2）如圖，設點P（0，2，h），根據求平面法向量的基本方法分別求出平面P和平面的法向量，運用求二面角余弦值的公式得到關于h的等式，從而求出h的值，得到點P的坐標，利用兩點之間的距離公式就可求出P。
【詳細解答】（1）如圖，ABCD-是正四棱柱，以C為坐標原點，,,
分別為x，y，z的正半軸建立空間直角坐標系C-xyz，在正四棱柱ABCD-中，AB=2，A=4，點，，，分別在棱A，B，C，D上，，A=1，B=D=2，C=3，（2，2，1），（0，2，2），（0，0，3），（2，0，2），=（0，-2，1），=（0，-2，1），向量與向量共線，//；（2）如圖，設點P（0，2，h），由（1）知（2，2，1），（0，0，3），（2，0，2），=（2，0，1-h），=（0，-2，3-h），=（0，2，-1），=（-2，0，1），設平面P的法向量=（x，y，z），由，且，.=2x+0+（1-h）z=0，且 .=0-2y+（3-h）z=0，解得： x=，y=，z=1，=（，，1），設平面的法向量=（，，），由 ⊥，且 ⊥，.=0+2-=0，且 .=-2+0+=0，解之得：=1，=1，=2，=（1，1，2），二面角P--為，
====，
h=1或h=3，P（0，2，1）或P（0，2，3），（0，2，2），P==1。
2、如圖，在多面體ABCDEFG中，已知ADGC是正方形，GD//EF，GF//BC，FG平面ADGC，M，N分別是AC，BF的中點，BC=EF=CG=FG。
（1）證明：MN//平面AFG；
（2）求直線MN與平面BEF所成角的正弦值（成都市高2020級高三三珍）
【解析】
【考點】①正方形定義與性質；②梯形定義與性質；③三角形和梯形中位線定理及運用；④建立空間直角坐標系的基本方法；⑤空間向量定義與性質；⑥空間向量坐標運算的法則和基本方法；⑦求平面法向量的基本方法；⑧求直線與平面所成正余弦值的基本方法。
【解題思路】（1）如圖，設BC=EF=1，FG平面ADGC，DG，CG平面ADGC，FGDG， FGCG，ADGC是正方形，DGCG，以G為坐標原點，，，分別為 x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系G—xyz，根據空間向量的性質，運用空間向量坐標運算的法則和基本方法，結合問題條件得到點A，B，C，F，M，N，P，G的坐標，求出向量，，，從而求出平面APG的法向量，利用.的數量積為0就可證明MN//平面AFG；（2）如圖，根據（1）得到點A，B，C，D，E，F的坐標，從而得到點M，N的坐標，求出，, ，運用求平面法向量的基本方法求出平面BEF的法向量，利用求直線與平面所成角正弦值的基本方法就可求出直線MN與平面BEF所成角的正弦值。
【詳細解答】（1）如圖，設BC=EF=1，FG平面ADGC，DG，CG平面ADGC，FGDG， FGCG，ADGC是正方形，DGCG，以G為坐標原點，，，分別為 x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系G—xyz，M，N分別是AC，BF的中點，BC=EF
=CG=FG，A（2，0，2），B（0，1，2），C（0，0，2），F（0，2，0），G（0，0，0），M（1，0，2），N（0，，1），=（-1，，-1），=（-2，2，-2），=（-2，0，-2），設平面AFG的法向量=（，，），，，.=-2+2-2=0，且 .=-2+0-2=0，解之得：=-1，=0，=1，=（-1，0，1），.=1+0-1=0，，即MN//平面AFG；（2）如圖，設直線MN與平面BEF所成角為，由（1）知，A（2，0，2），B（0，1，2），C（0，0，2），D（2，0，0），E（1，2，0），F（0，2，0），M，N分別是AC，BF的中點，M（1，0，2），N（0，，1），=（-1，，-1），= （1，1，-2），= （0，1，-2），設平面BEF的法向量為=（x，y，z），，且，.=-x+y-2z=0①， .=-0+y-2z =0②，聯立①②解得：x=0，y=2，z=1，=（0，2，1），sin=cos<，>=||=||=，直線MN與平面BEF所成角的正弦值為。
3、在長方體ABCD—中，已知AB=AD，E為AD的中點。
（1）在線段上是否存在點F，使得平面AF//平面EC？若存在請加以證明，若不存在，請說明理由；
（2）設AD=2，A=4，點G在A上且滿足=8，求EG與平面EB所成角的余弦值。
【解析】
【考點】①長方體定義與性質；②建立空間直角坐標系的基本方法；③空間向量定義與性質； ④空間向量坐標運算法則和基本方法； ⑤求平面法向量的基本方法；⑥直線與平面所成角的定義與性質；⑦求直線與平面所成角余弦值的基本方法。
【解題思路】（1）如圖，根據ABCD—是長方體，以D為坐標原點，，，分別為 x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系D—xyz，設在線段上是否存在點F（t，2，4），使得平面AF//平面EC，根據空間向量的性質，運用空間向量坐標運算的法則和基本方法，結合問題條件，求出向量，，，，從而求出平面AF與平面EC的法向量，利用兩平面平行其法向量共線得到關于t的方程，求解方程求出t的值，就可證明結論；（2）如圖，設G（x，y，z），根據空間向量的性質，運用空間向量坐標運算的法則和基本方法，結合問題條件求出，，得出點G的坐標，從而求出，，，平面法向量，利用公式求出與 平面EB的法向量夾角的余弦值，得到EG與平面EB所成角的正弦值，由同角三角函數的基本關系就可求出EG與平面EB所成角的余弦值。
【詳細解答】（1）如圖，設在線段上是否存在點F（t，2，4），使得平面AF//平面EC， AB=AD=2，A=4，ABCD—是長方體，以D為坐標原點，，，分別為 x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系D—xyz，E為AD的中點， A（2，0，0），E（1，0，0）， C（0，2，0），（2，0，4），（0，2，4），
=（0，0，4），=（t-2，2，4），=（-1，2，4），=（-1，2，0），設平面AF的法向量為=（x，y，z），由，且，.=0+0+4z=0，且 .=（t-2）x+2y+4z=0，解得：x=1，y=1-t，z=0，=（1，1-t，0），設平面EC的法向量=（，，），由 ⊥，且 ⊥，.=-+2+4=0，且 .=-+2+0=0，解之得：=2，=1，=0，=（2，1，0），平面AF//平面EC，存在實數u，使=u成立，1=2u，且1-t=u，解之得：t=1，在線段上是否存在點F（1，2，4），使得平面AF//平面ECF//CE；（2）如圖，設G（x，y，z）， AD=2，A=4，AB=AD， A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（2，0，4），（0，2，4），=（x-2，y，z），=（0，0，4），=8，8x-16=0，8y=0，8z=4，x=2，y=0，z=，G（2，0，），E（1，0，0），=（1，0，），=（1，2，0），=（-1，2，4），設平面EB的法向量為=（x，y，z），，，.=x+2y+0=0①，.=-x+2y+4z=0②，聯立①②解得：x=2，y=-1，z=1，=（2，-1，1），令直線EG與平面EB所成角為，sin=|cos<,>|=||=||=，cos=
=，即EG與平面EB所成角的余弦值為。
4、在三棱錐A-BCD中，DA=DB=DC，BDCD，ADB=ADC=，E為BC的中點。
（1）證明：BCDA；
（2）點F滿足=，求二面角D-AB-F的正弦值（2023全國高考新高考II）
【解析】
【考點】①三棱錐定義與性質；②全等三角形判定定理及運用；③建立空間直角坐標系的基本方法；④空間向量定義與性質；⑤空間向量坐標運算的法則和基本方法；⑥求平面法向量的基本方法；⑦求二面角余弦值的基本方法；⑧同角三角函數基本關系及運用。
【解題思路】（1）如圖，設DA=DB=DC=，連接AE，DE，根據三棱錐的性質和全等三角形判定定理，結合問題條件證明ABD與ACD是全等的等邊三角形，得到AEBC，DEBC，由BDCD，得到DEAE，以E為坐標原點，，，分別為x，y，z的正半軸，建立空間直角坐標系E-xyz，求出點A，B，C，D的坐標，向量，，從而求出.的數量積就可證明BCDA；（2）設F（x，y，z），根據（1）求出向量，，，，，，運用求平面法向量的基本方法分別求出平面DAB和平面FAB的法向量，由求二面角余弦值的基本方法求出二面角D-AB-F的余弦值，利用同角三角函數的基本關系就可求出二面角D-AB-F的正弦值。
【詳細解答】（1）如圖，設DA=DB=DC=，連接AE，DE，DA=DB=DC，ADB
=ADC=，等邊ABD等邊ACD，AB=AC，E為BC的中點，AEBC，DEBC， BDCD，BC==2，AE=DE==1=CE=BEAE+DE=1
+1=2=AD，AEDE，以E為坐標原點，，，分別為x，y，z的正半軸，建立空間直角坐標系E-xyz，A（0，0，1），B（0，1，0），D（1，0，0），C（0，-1，0），=（-1，0，1），=（0，-2，0），.=0+0+0=0，BC⊥AD；（2）如圖，設F（x，y，z），A（0，0，1），B（0，1，0），D（1，0，0），E（0，0，0），=（x，y，z），=（-1，0，1），=，F（-1，0，1），=（-1，1，0），=（1，0，0），=（1，1，-1），設平面ABD的法向量=（x，y，z），由，且，.=-x+0+z=0，且 .=-x+y+0=0，解得： x=1，y=1，z=1，=（1，1，1），設平面ABF的法向量=（，，），由 ⊥，且 ⊥，.=+0+0=0，且.=+-=0，解之得：=0，=1，=1，=（0，1，1），設二面角P--為，cos===，sin==，即二面角P--的正弦值為。
5、如圖，在四棱錐P-ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD為菱形，且ABC=，
E為BC的中點（2020成都市高三一診）
（1）證明：BC⊥平面PAE；
（2）若AB=2，PA=1，求平面ABP與平面CDP所成銳二面角的余弦值。
【解析】
【考點】①四棱錐的定義與性質；②菱形定義與性質；③建立空間直角坐標系的基本方法；④空間向量定義與性質；⑤空間向量坐標運算的法則和基本方法；⑥求平面法向量的基本方法；⑦求二面角余弦值的基本方法。
【解題思路】（1）如圖，過P作PQ//BC，交CD于點Q，設菱形的邊長為2，根據四棱錐和菱形的性質，得到ABC 是正三角形，AEPB，運用直線垂直平面的性質定理，結合問題條件得到PAPB，PAPQ，以P為原點，，，分別為,x，y，z軸的正方向 建立空間直角坐標系P-xyz，得到點A，B，C，P，E的坐標，從而求出向量，，，求出向量與，與的數量積，得到直線BCPE，BCPA，就可證明直線BC平面PAE；（2）設二面角P--為，根據（1）求出向量，，，，運用求平面法向量的基本方法分別求出平面PAB，平面PCD的法向量，利用求出二面角的余弦值的基本方法就可求出平面ABP與平面CDP所成銳二面角的余弦值。
【詳細解答】（1）如圖，過P作PQ//BC，交CD于點Q，設菱形的邊長為2，四邊形ABCD是菱形，ABC=，ABC 是正三角形，E是BC的中點，AEPB，
AP平面PBC，PB，PQ平面PBC，PAPB，PAPQ，以P為原點，，，
分別為x，y，z軸的正方向 建立空間直角坐標系P-xyz，P（0，0，0），A（0，0，
1），B（，-1，0），C（，1，0），E（1，0，0），=（0，2，0），=（1，0，0），= （0，0，1），.=0+0+0=0，.=0+0+0=0，BCPE，BCPA， PA，PE平面PAE，PAPE=P，BC平面APE；（2）設銳二面角P--為，=（0，0，1），=（，-1，0），設平面BAP的法向量為=（x，y，z），，且，.=0+0+z=0，且 .=x-y+0=0，x=1 ，
y=，Z=0，=（1，，0），=（，1，0），= D（0，2，1），設平面PCD的法向量為=（x，y，z），，且 ，.=x+y+0=0，
且.=0+2y+z=0，x=1，y=-，z=2，=（1，-， 2），
是平面BAP與平面PCD所成角為銳角，cos=||=||
=||=。
6、如圖，在三棱柱ABC—中，與A均是邊長為2的正三角形，且A=。
（1）證明：平面A⊥平面；
（2）求平面B與平面AC所成銳二面角的余弦值（成都市高2020級高三二診）
【解析】
【考點】①正三角形定義與性質；②勾股定理逆定理及運用； ③建立空間直角坐標系的基本方法；④空間向量定義與性質；⑤空間向量坐標運算的法則和基本方法；⑥求平面法向量的基本方法；⑦求銳二面角余弦值的基本方法。
【解題思路】（1）如圖，取的中點D，連接AD，D，根據正三角形的性質得到D⊥D，AD⊥D，運用勾股定理逆定理，結合問題條件得到AD⊥D，以D為坐標原點，，，分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系D-xyz，得到點A，B，，，的坐標，求出向量，，，，從而分別求出平面A，平面的法向量，，求出向量，，的數量積，就可證明平面A⊥平面；（2）根據（1）求出向量，，，，運用求平面法向量的基本方法分別求出平面B和平面AC的法向量，，利用求銳二面角余弦值的基本方法，就可求出平面B與平面AC所成銳二面角的余弦值。
【詳細解答】（1）證明：如圖，取的中點D，連接AD，D，與A均是邊長為2的正三角形，AD=D=，AD⊥，D⊥，A=， AD+D=3+3=6=A，AD⊥D，以D為坐標原點，，，分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系D-xyz， 點A（0，0，）， B（-，1，），（，0，0），（0，1，0），（0，-1，0），=（0，1，-），
=（0，-1，-），=（-，1，0），，=（-，-1，0），設平面A的法向量為=（x，y，z），⊥，且⊥，.=0+y-z=0且.
=0-y-z=0，得：x=1，y=0，z=0，=（1，0，0)，==（0，0，），.
=0+0+0=0，⊥，即平面 A⊥平面； （2） 根據（1）得：
= （2，-1，-），= （，-2，-），= （，0，-），= （0，-1，-），設平面B的一個法向量為=（x，y，z），⊥，且⊥，.=-2x-y-z=0，且 .=-x-2y-z=0，x=1，y=-，z=3，=（1，-，3)，設平面AC的一個法向量為=（，，）， ⊥，且 ⊥， .=+0-=0，且 .=--=0， =1，
=-，=1，=（1，-，1），cos<，>==
=-，平面B與平面AC所成銳二面角的余弦值為。
『思考題5』
【典例5】是近幾年高考（或高三診斷考試或高二期末調研考試）試卷中，運用空間向量證明平行（或垂直）的問題，歸結起來主要包括：①運用空間向量證明直線平行直線；②運用空間向量證明直線平行平面；③運用空間向量證明平面平行平面；④運用空間向量證明直線垂直直線；⑤運用空間向量證明直線垂直平面；⑥運用空間向量證明平面垂直平面等幾類問題；
解答運用空間向量證明平行（或垂直）的問題的基本方法是：①建立空間直角坐標系；
②根據問題結構特征判斷問題所屬類型；③運用解答該類問題的思路和基本方法對問題實施解答；④得出解答問題的結果。
〔練習5〕解答下列問題：
1、如圖，PO是三棱錐P—ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中點。
（1）證明：OE//平面PAC；
（2）若ABO=CBO=，PO=3，PA=5，求二面角C—AE—B的正弦值（2022全國高考新高考II卷）（提示：如圖，以A為原點，， ， 分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系A—xyz）
2、如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AB=AD，PA⊥PD，AD⊥CD，
BAD=，M，N分別為AD，PA的中點（2020成都市高三零診）。
（1）證明：平面BMN//平面PCD；
（2）若AD=6，CD=，求平面BMN與平面BCP所成二面角的余弦值。（提示：如圖，以M為原點，，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系A—xyz）
3、在四棱錐P—ABCD中，PD底面ABCD，CD//AB，AD=DC=CB=1，AB=2，DP=。
（1）證明：BDPA；
（2）求PD與平面PAB所成的角的正弦值。（提示：如圖，以D為原點，，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系A—xyz）
4、如圖，在直三棱柱ABC—中，BC，AB=A=AC=2。
（1）求證：AC平面AB；
（2）若D，E分別為棱AB，AC上的動點，且BD=AE，當三棱錐A-DE的體積最大時，求二面角A—D—E的余弦值（成都市高2021級高三零診）（提示：如圖，以點A為坐標原點，，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系A—xyz）
5、如圖，四面體ABCD中，ADCD，AD=CD，ADB=BDC，E為AC中點。
（1）證明：平面BED平面ACD；
（2）設AB=BD=2，ACB=，點F在BD上，當AFC的面積最小時，求CF與平面ABD所成角的正弦值（2022全國高考乙卷）（提示：如圖，以E為原點，，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系E—xyz）

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