資源簡介

齊次化巧解斜率的和積問題
1. 曲線的平移法則：
對于給定曲線，平移口決：左加右減(針對 x)，下加上減(針對 y)
2. 兩直線的斜率之和或積為定值
方法拓展
1. 拓展：齊次化巧解斜率的和積問題
2. 原理：平移不改變直線的斜率、韋達定理的運用
3. 步驟：①設：設兩直線的斜率分別為 k1和 k2；
②移：將直線和曲線整體平移，使得兩直線的公共點落在原點，寫出平移后曲線的方程，并將平移后的目標直
線設為固定形式：mx+ny=1 若與定點( x0 , y0 )的斜率關系,則可設直線方程為m(x x0 ) n(y y0 ) 1
2 2
③聯：聯立直線和曲線方程，得到開如： py qxy rx 0( p 0)
方程兩邊同時除以 x2，得到形如 p( y )2 q( y ) r 0( p 0)
x x
y
④換：令 k= 2，得到 pk qk r 0( p 0)，則 k1和 k2是該方程的兩根
x
⑤達：韋達定理得到 k1+k2和 k1k2，從而得到 m和 n的關系
4.優點：相比傳統的韋達定理，計算量大大減少，缺點：mx+ny=1不能表示經過原點的直線
常見三種類型：① kMA kMB為定值(不為 0) ② kMA kMB為定值(不為 0) ③ (0 )
例 1 A B y2、 是拋物線 4x上的兩點，且滿足 OA⊥OB(O為坐標原點)，求證：直線 AB經過一個定點.
練習 1
2
已知拋物線 C： y 2px( p 0)上一點 A(2,a)到其焦點的距離為 3
(1)求拋物線 C的方程；
(2)過點(4,0)的直線與拋物線 C交于點 P、Q兩點，O為坐標原點，證明∠POQ=90°.
例 2 2設曲線 C： x 2py( p 0)上一點M(m,2)到焦點的距離為 3.
(1)求曲線 C方程；
(2)設 P、Q為曲線 C上不同于原點 O的任意兩點，且滿足以線段 PQ為直徑的圓過原點 O，試問直線 PQ是否
恒過定點？若恒過定點，求出定點坐標；若不恒過定點，說明理由.
5
練習 2 已知離心率為 的雙曲線 C的中心在坐標原點，左、右焦點 F1、F2在 x軸上，雙曲線 C的右支上一
2

點 A使AF1 AF2 0且△AF1F2的面積為 1.
(1)求雙曲線 C的標準方程；
(2)若直線 l：y=kx+m與雙曲線 C相交于 E、F兩點(E、F不是左右頂點)，且以 EF為直徑的圓過雙曲線 C的右
頂點 D，求證：直線 l過定點，并求出該定點的坐標.
x2 y2 2
例 3 如圖，橢圓 E： 2 2 1(a b 0)經過點 A(0,-1)，且離心率為a b 2
(1)求橢圓 E的方程；
(2)經過點(1,1)且斜率為 k的直線與橢圓 E交于不同的兩點 P、Q(異于點 A)，證明：直線 AP與 AQ的斜率之和
為 2.
3
練習 3已知橢圓 C過點 A(1， ),兩個焦點為(-1,0),(1,0)
2
(1)求橢圓的方程；
(2)E、F是橢圓 C上的兩個動點，如果直線 AE的斜率與 AF的斜率互為相反數，證明直線 EF的斜率為定值，
并求出這個定值.
x2 y2 3 3
例 4(2017全國 I卷)已知橢圓 2 2 1(a b 0)，四點 P1(1,1)P2 (0,1)P3( 1, )P4 (1, )，中恰有三點在a b 2 2
橢圓 C上.
(1)求 C的方程；
(2)設直線 l不經過 P2點且與 C相交于 A、B兩點，若直線 P2A與直線 P2B的斜率之和為-1，求證：l過定點.
練習 4 2設拋物線 C： y 2x點 A(2,0)，B(-2,0),過點 A的直線 l與 C交于M、N兩點.
(1)當 l與 x軸垂直時，求直線 BM的方程；
(2)證明:∠ABM=∠ABN
參考答案
例 1設 A( x1, y1 )、B( x2 , y2 )直線 AB的解析式為 mx+ny=1
2
，與拋物線聯立有 y 4x(mx ny)即有
( y )2 y y y y y 1 4n 4m 0，此方程是關于 1 , 2 的一元二次方程， kOA k 1OB 2 4m 1，即m ，x x x1 x2 x1 x2 4
1
直線 AB的方程為 x ny 1，過定點(4,0)
4
p
練習 1(1)2+ =3得 p=2, 2拋物線的方程為 y 4x
2
(2)設 P( x1, y1 )、Q( x2 , y2 )直線 PQ的解析式為 mx+ny=1
2
，與拋物線聯立有 y 4x(mx ny)即有
( y )2 4n y 4m 0 y ，此方程是關于 1 , y2 1的一元二次方程，直線 PQ過點(4,0)得m
x x x1 x2 4
k k y1 y2OP OQ 4m 1，故∠POQ=90°x1 x2
p
例 2(1)2+ =3得 p=2, 2拋物線的方程為 x 4y
2
(2)設 P( x1, y1 )、Q( x2 , y2 )直線 PQ的解析式為 mx+ny=1
2
，與拋物線聯立有 x 4y(mx ny)即有
4n( y )2 4m y y y 1 0，此方程是關于 1 , 2 的一元二次方程，以 PQ為直徑的圓過原點，則
x x x1 x2
k k y1 y2 1 1 1OP OQ 1得 n= ，直線 PQ方程為mx y 1，過定點(0,4)x1 x2 4n 4 4
c 5 x2
練習 2(1)易知 AF1-AF2=2a,AF21+BF2 22=4c2, 得 2a=4，b=1,故雙曲線的方程為 y 1
a 2 4
(2) 設 P( x1, y1 )、Q( x2 , y2 )直線 PQ的方程 為 m(x-2)+ny=1，令 p=x-2,q=y，則直線 PQ的方程為 mp+nq=1與雙
2 p 2 q y y
曲線聯立有 ( p 2) 4q(mp nq)即有 (1 4m)( ) 4n 4 0，此方程是關于 1 , 2 的一元二
q p x1 2 x2 2
k k y1 y2 4 3 3 10次方程，則 DP DQ 1得 m= ，直線 PQ方程為 (x 2) ny 1，過定點( ,0)x1 2 x2 2 1 4m 4 4 3
x2
例 3(1) y2 1
2
(2)設 P( x1, y1 )、Q( x2 , y2 )直線 PQ的方程 為 mx+n(y+1)=1，令 p=x,q=y+1，則直線 PQ的方程為 mp+nq=1與
p2 q q y 1 y 1橢圓聯立有 2(q 1)2 2即有 (2 4n)( )2 4m 1 0，此方程是關于 1 , 2 的一元二次方程，
p p x1 x2
k 4m 4(1 2n)則 DP kDQ ，而直線 PQ過點(1,1)則有 m+2n=1即有 m=1-2n，代入可得 kDP kDQ 22 4n 2 4n
x2 y2
練習 3(1) 1
4 3
3 3
(2)設 E( x1, y1 )、F( x2 , y2 )直線 EF的方程 為 m(x-1)+n(y- )=1，令 p=x-1,q=y- ，則直線 EF的方程為 mp+nq=12 2
3 q q
與橢圓聯立有3( p 1)2 4(q )2 12即有 (4 12n)( )2 (6n 12m) 3 6m 0，此方程是關于
2 p p
y 3 31 y2 2 , 2 6n 12m 1的一元二次方程，則 kAE kAF 0得 n=-2m,故直線 EF的斜率為x1 1 x2 1 12n 4 2
x2
例 4(1)易知點 P2P3 P4 2在橢圓上，可得橢圓方程為 y 1
4
(2)設 A( x1, y1 )、B( x2 , y2 )直線 AB的方程 為 mx+n(y-1)=1，令 p=x,q=y-1，則直線 AB的方程為 mp+nq=1與橢
2
圓聯立有3p 4(q 1)2 q 4即有 (4 4n)( )2 q 4m 3 0 y 1 y 1 ，此方程是關于 1 , 2 的一元二次方程，
p p x1 x2
k k 4m 1 1則 AE AF 1得 m=n+ ,故直線方程為 n(x y 1) x 1 0，故直線過定點(2,1)4 4n 2 2
練習 4
1 1
(1) y x 1或y x 1
2 2
(2)設M( x1, y1 )、N( x2 , y2 )直線MN的方程 為 m(x+2)+ny=1，令 p=x+2,q=y，則直線 MN的方程為 mp+nq=1
q2 2( p 2) (1 4n2 )( q )2 (8mn 2n) q 4m2 y y與橢圓聯立有 即有 2m 0，此方程是關于 1 , 2
p p x1 2 x2 2
k k 8mn 2n 1的一元二次方程，則 BM BN 2 ,而直線過點 A(2,0)，m= ,得 k1 4n 4 BM
kBN 0故∠ABM=∠ABN

展開更多......

收起↑