資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
(總課時22)§3.3垂徑定理
一.選擇題：
1.如圖1，已知⊙O的直徑AB⊥弦CD于點E，下列結論中一定正確的是（ ）
A. AE＝OE B. CE＝DE C. OE＝CE D. ∠AOC＝60°
2.如圖2，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，則⊙O的直徑為（ ）
A. 5cm B. 10cm C. 6cm D. 14cm
3.如圖3，⊙O的直徑CD垂直弦AB于點E，且CE=2，DE=8，則AB的長為（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4.下列說法錯誤的是( )
A. 垂直于弦的直徑平分弦 B. 垂直于弦的直徑平分弦所對的弧
C. 平分弦的直徑平分弦所對的弧 D. 平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦
5.如圖4，在平面直角坐標系中，⊙P的圓心坐標是（3，a）（a＞3），半徑為3，函數(shù)y＝x的圖象被⊙P截得的弦AB的長為4，則a的值是（ ）
A. 4 B. 3＋ C. 3 D.
二.填空題：
6.半徑等于12的圓中，垂直平分半徑的弦長為______．
7.⊙O的直徑為10cm，弦AB∥CD，且AB＝8cm，CD＝6cm，則弦AB與CD之間的距離為⊙O的直徑為10cm，弦AB∥CD，且AB＝8cm，CD＝6cm，則弦AB與CD之間的距離為____________．
8.如圖5，在半徑為13cm的圓形鐵片上切下一塊高為8cm的弓形鐵片，則弓形弦AB的長為_____.
9.如圖6，已知點A（0，1），B（0，﹣1），以點A為圓心，AB為半徑作圓，交x軸的正半軸于點C，則∠BAC等于______度．
10.如圖7所示，已知⊙O的半徑為5cm，弦AB的長為8cm，P是AB延長線上一點，BP＝2cm，則tan∠OPA等于 ．
三.解答題：
11.如圖，⊙O直徑AB和弦CD相交于點E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD長．
12.如圖，某地有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度AB為7.2 m，拱高CD為2.4 m.
(1)拱橋的半徑為______；
(2)現(xiàn)有一艘寬3m，船艙頂部為長方形并高出水面2m的貨船要經過這里，問此貨船能順利通過拱橋嗎？
四.提高題：
13.如圖，AB是圓O的弦，OC⊥AB，垂足為點C，將劣弧沿弦折疊交于的中點，若，則圓的半徑為_________．
圖4
圖3
圖1
圖2
圖7
圖6
圖5
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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(總課時22)§3.3垂徑定理
一.選擇題：
1.如圖1，已知⊙O的直徑AB⊥弦CD于點E，下列結論中一定正確的是（B ）
A. AE＝OE B. CE＝DE C. OE＝CE D. ∠AOC＝60°
2.如圖2，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，則⊙O的直徑為（ B）
A. 5cm B. 10cm C. 6cm D. 14cm
3.如圖3，⊙O的直徑CD垂直弦AB于點E，且CE=2，DE=8，則AB的長為（ D）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4.下列說法錯誤的是( C )
A. 垂直于弦的直徑平分弦 B. 垂直于弦的直徑平分弦所對的弧
C. 平分弦的直徑平分弦所對的弧 D. 平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦
5.如圖4，在平面直角坐標系中，⊙P的圓心坐標是（3，a）（a＞3），半徑為3，函數(shù)y＝x的圖象被⊙P截得的弦AB的長為4，則a的值是（　B　）
A. 4 B. 3＋ C. 3 D.
二.填空題：
6.半徑等于12的圓中，垂直平分半徑的弦長為12．
7.⊙O的直徑為10cm，弦AB∥CD，且AB＝8cm，CD＝6cm，則弦AB與CD之間的距離為⊙O的直徑為10cm，弦AB∥CD，且AB＝8cm，CD＝6cm，則弦AB與CD之間的距離為7cm或1cm．
8.如圖5，在半徑為13cm的圓形鐵片上切下一塊高為8cm的弓形鐵片，則弓形弦AB的長為24cm
9.如圖6，已知點A（0，1），B（0，﹣1），以點A為圓心，AB為半徑作圓，交x軸的正半軸于點C，則∠BAC等于60度．
10.如圖7所示，已知⊙O的半徑為5cm，弦AB的長為8cm，P是AB延長線上一點，BP＝2cm，則tan∠OPA等于．
三.解答題：
11.如圖，⊙O直徑AB和弦CD相交于點E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD長．
解：過O作OF⊥CD，交CD于點F，連接OD，∴F為CD的中點，即CF=DF，
∵AE=2，EB=6，∴AB=AE+EB=2+6=8，∴OA=4， ∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2，
在Rt△OEF中，∠DEB=30°，∴OF=OE=1，
在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，根據(jù)勾股定理得：DF==，則CD=2DF=2．
12.如圖，某地有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度AB為7.2 m，拱高CD為2.4 m.
(1)拱橋的半徑為3.9m；
(2)現(xiàn)有一艘寬3m，船艙頂部為長方形并高出水面2m的貨船要經過這里，問此貨船能順利通過拱橋嗎？
解：(2)作出拱橋下的矩形，交拱橋于M，N，交CD于E，連接ON.
∵CD＝2.4 m，DE=2m，∴CE＝CD－DE＝0.4(m)．∴OE＝OC－CE＝3.9－0.4＝3.5(m)．
在Rt△OEN中，EN＝＝＝(m2)，
∵OD⊥MN，∴MN＝2EN＝2×≈3.44 m＞3m.∴此貨船能順利通過拱橋．
四.提高題：
13.如圖，AB是圓O的弦，OC⊥AB，垂足為點C，將劣弧沿弦折疊交于的中點，若，則圓的半徑為__．
圖4
圖3
圖1
圖2
圖7
圖6
圖5
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(總課時22)§3.3垂徑定理
【學習目標】理解垂徑定理及其推論,能運用垂徑定理及其推論計算和證明實際問題.
【學習重難點】垂徑定理及其推論的應用．
【導學過程】
一.知識回顧
1.圓是_______圖形,任意一條______________直線都是對稱軸.
2.在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦心距中有一組量_____，那么它們所對應的其余各組量都_______．
二.探究新知
探究（一）按下面的步驟做一做：
1．在一張紙上任意畫一個⊙O，沿圓周將圓剪下，把這個圓對折，使圓的兩半部分重合．
2．得到一條折痕CD．
3．在⊙O上任取一點A，過點A作CD折痕的垂線，得到新的折痕，其中，點M是兩條折痕的交點，即垂足．
在上述的操作過程中，如圖1，你發(fā)現(xiàn)了哪些相等的線段和相等的弧？
即：一條直線如果滿足：①經過圓心O且與圓交于C、D兩點；②CD⊥AB于M；
那么可以推出：③_____；④_______；⑤_______.
證明：連接OA,OB,則OA__OB.∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM__BM.∴點A和點B關于CD對稱.
∵⊙O關于直徑CD對稱,∴當圓沿著直徑CD對折時,點A與點B重合,
AC和BC重合,AD和BD重合.∴AC__BC，AD__BD.
練習1.辨析：判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？
探究（二）垂徑定理逆定理（推論）的探索
如圖2，AB是⊙O的弦（不是直徑），作一條直徑CD平分AB，交AB于點M.
（1）圖2是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？
（2）圖中有哪些等量關系？說一說你的理由.
條件：①CD是直徑；②AM=BM（AB非直徑），結論：③______；④______；⑤______.
推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的(兩條)弧．
讓學生模仿垂徑定理的證明過程，自行證明逆定理.
練習2.辨析，已知直徑AB平分弦CD，AB⊥CD成立嗎？若不成立，請舉反例.
答：________________.
三.典例與練習
例1.如圖3，一條公路的轉彎處是一段圓弧(即圖中，點O是所在圓的圓心)，其中CD＝600m，E為的一點，且OE⊥CD，垂足為F，EF＝90m．求這段彎路的半徑．
練習3.如圖4，已知在⊙O中，弦AB的長8cm，圓心O到AB的距離為3cm，
⊙O的半徑=_____
例2.如圖5，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點E，連接CO并延長交
AD于點F，且CF⊥AD.
(1)求證：點E是OB的中點；
(2)若AB＝8，求CD的長．
練習4.如圖6，坐標平面上，A、B兩點分別為圓P與x軸、y軸的交點，有一直線L
通過P點且與AB垂直，C點為L與y軸的交點．若A、B、C的坐標分別為
（a，0），（0，2），（0，﹣3），其中a＜0，則a的值為_____.
四.課堂小結
1．利用圓的____性研究了____定理及其____定理.
2．解決有關弦的問題，經常是過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連接半徑等輔助線，為應用垂徑定理創(chuàng)造條件.
3.過圓內一定點作圓的最長的弦與最短的弦，構造圖形運用勾股定理.
五.分層過關
1.下列說法中錯誤的是（ ）
A．經過兩點有且只有一條直線 B．平分弦的直徑垂直于這條弦
C．角平分線上的點到角兩邊的距離相等 D．過直線上的一點有且只有一條直線垂直于
2.如圖7，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，下列結論不一定成立的是（ ）
A．CM=DM B．AC=AD C．AD=2BD D．∠BCD=∠BDC
3.如圖8，⊙O的半徑OA=6，以A為圓心，OA為半徑的弧交⊙O于B、C點，則BC=（ ）
A． B． C． D．
4.如圖9，⊙O的直徑AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足為P，且BP:AP=1:5，則
CD的長是（ ）A． B． C． D．
5.如圖10，有一圓形拱門，其拱高AB為1m，跨度CD為4m，則這個拱門的半徑OC是____m.
6.如圖11，已知AB交⊙O于C、D，且AC=BD，請問AO與BO是否相等？請說明理由？
7.如圖12，已知在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點C，D.
（1）求證：AC=BD；
（2）若大圓的半徑R=10，小圓的半徑r=8，且圓心O到直線AB的距離為6,求AC的長。
思考題：8.如圖13，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足H在半徑OB上，AH=5，
CD=4，點E在弧AD上，射線AE與CD的延長線交于點F．
（1）⊙O的半徑r=______；
（2）如果AE=6，求EF的長．
圖1
垂徑定理：垂直于弦的是直徑平分弦且平分弦所對的（兩條）弧.
幾何語言：∵∴
O
C
D
B
A
注意：
定理中的兩個條件缺一不可——①直徑（半徑），②垂直于弦．
（__）
（__）
）
（__）
圖2
圖3
圖4
圖5
圖6
⌒
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圖10
圖7
圖8
圖9
圖11
圖12
圖13
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(總課時22)§3.3垂徑定理
【學習目標】理解垂徑定理及其推論,能運用垂徑定理及其推論計算和證明實際問題.
【學習重難點】垂徑定理及其推論的應用．
【導學過程】
一.知識回顧
1.圓是軸對稱圖形,任意一條經過圓心的直線都是對稱軸.
2.在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．
二.探究新知
探究（一）按下面的步驟做一做：
1．在一張紙上任意畫一個⊙O，沿圓周將圓剪下，把這個圓對折，使圓的兩半部分重合．
2．得到一條折痕CD．
3．在⊙O上任取一點A，過點A作CD折痕的垂線，得到新的折痕，其中，點M是兩條折痕的交點，即垂足．
在上述的操作過程中，如圖1，你發(fā)現(xiàn)了哪些相等的線段和相等的弧？
即：一條直線如果滿足：①經過圓心O且與圓交于C、D兩點；②CD⊥AB于M；
那么可以推出：③AM=BM；④AC=BC；⑤AD=BD.
證明：連接OA,OB,則OA=OB.∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴點A和點B關于CD對稱.
∵⊙O關于直徑CD對稱,∴當圓沿著直徑CD對折時,點A與點B重合,
AC和BC重合,AD和BD重合.∴AC=BC，AD=BD.
練習1.辨析：判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？
探究（二）垂徑定理逆定理（推論）的探索
如圖2，AB是⊙O的弦（不是直徑），作一條直徑CD平分AB，交AB于點M.
（1）圖2是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么？
（2）圖中有哪些等量關系？說一說你的理由.
條件：①CD是直徑；②AM=BM（AB非直徑），結論：③CD⊥AB；④AC=BC；⑤AD=BD.
推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的(兩條)弧．
讓學生模仿垂徑定理的證明過程，自行證明逆定理.
練習2.辨析，已知直徑AB平分弦CD，AB⊥CD成立嗎？若不成立，請舉反例.
答：不成立.反例如圖.
三.典例與練習
例1.如圖3，一條公路的轉彎處是一段圓弧(即圖中，點O是所在圓的圓心)，其中CD＝600 m，E為的一點，且OE⊥CD，垂足為F，EF＝90m．求這段彎路的半徑．
解：連接OC，設彎路的半徑為Rm，則OF＝(R－90)m，∵OE⊥CD，
∴CF＝CD＝×600＝300(m)．在Rt△OCF中，根據(jù)勾股定理，得OC2＝CF2＋OF2，
即R2＝3002＋(R－90)2.解這個方程，得R＝545.∴這段彎路的半徑為545m.
練習3.如圖4，已知在⊙O中，弦AB的長8cm，圓心O到AB的距離為3cm，
⊙O的半徑=5cm.
例2.如圖5，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點E，連接CO并延長交
AD于點F，且CF⊥AD.
(1)求證：點E是OB的中點；
(2)若AB＝8，求CD的長．
解：(1)證明：連接AC，如圖，∵直徑AB垂直于弦CD于點E，∴＝，
∴AC＝AD.∵過圓心O的直線CF⊥AD，∴AF＝DF，即CF是AD的垂直平分線，
∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD，即△ACD是等邊三角形，∴∠FCD＝30°.
在Rt△COE中，OE＝OC，∴OE＝OB，∴點E為OB的中點；
（2）在Rt△OCE中，AB＝8，∴OC＝OB＝AB＝4.
又∵BE＝OE，∴OE＝2，∴CE＝＝2，∴CD＝2CE＝4.
練習4.如圖6，坐標平面上，A、B兩點分別為圓P與x軸、y軸的交點，有一直線L
通過P點且與AB垂直，C點為L與y軸的交點．若A、B、C的坐標分別為
（a，0），（0，2），（0，﹣3），其中a＜0，則a的值為-4.
四.課堂小結
1．利用圓的對稱性研究了垂徑定理及其逆定理.
2．解決有關弦的問題，經常是過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連接半徑等輔助線，為應用垂徑定理創(chuàng)造條件.
3.過圓內一定點作圓的最長的弦與最短的弦，構造圖形運用勾股定理.
五.分層過關
1.下列說法中錯誤的是（B）
A．經過兩點有且只有一條直線 B．平分弦的直徑垂直于這條弦
C．角平分線上的點到角兩邊的距離相等 D．過直線上的一點有且只有一條直線垂直于
2.如圖7，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，下列結論不一定成立的是（C）
A．CM=DM B．AC=弧AD C．AD=2BD D．∠BCD=∠BDC
3.如圖8，⊙O的半徑OA=6，以A為圓心，OA為半徑的弧交⊙O于B、C點，則BC=（A）
A． B． C． D．
4.如圖9，⊙O的直徑AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足為P，且BP:AP=1:5，則
CD的長是（D）A． B． C． D．
5.如圖10，有一圓形拱門，其拱高AB為1m，跨度CD為4m，則這個拱門的半徑OC是2.5m.
6.如圖11，已知AB交⊙O于C、D，且AC=BD，請問AO與BO是否相等？請說明理由？
解：AO=BO，作OE⊥DC于E，則∠OEA=∠OEB=90°∴CE=DE
∵AC=BD∴CE+AC=DE+BD，即AE=BE
又∵OE=OE∴△OAE≌△OBE∴OA=OB
7.如圖12，已知在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點C，D.
（1）求證：AC=BD；
（2）若大圓的半徑R=10，小圓的半徑r=8，且圓心O到直線AB的距離為6,求AC的長。
（1）證明：作OE⊥AB，則AE=BE，CE=DE，故BE﹣DE=AE﹣CE；即AC=BD；
（2）解：連接OC，OA，
∵OE⊥AB且OE⊥CD，∴OE=6，CE=DE，
∴DE=CE==，
AE==8，∴AC=AE﹣CE=8﹣．
思考題：8.如圖13，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足H在半徑OB上，AH=5，
CD=4，點E在弧AD上，射線AE與CD的延長線交于點F．
（1）⊙O的半徑r=4.5；
（2）如果AE=6，求EF的長．
解：（2）過O作OG⊥AE于G，∴AG=AE=×6=3，
∵∠A=∠A，∠AGO=∠AHF，∴△AGO∽△AHF，∴，
∴，∴AF=，∴EF=AF﹣AE=﹣6=．
圖1
垂徑定理：垂直于弦的是直徑平分弦且平分弦所對的（兩條）弧.
幾何語言：∵∴
O
C
D
B
A
注意：
定理中的兩個條件缺一不可——①直徑（半徑），②垂直于弦．
（×）
（√）
）
（×）
圖2
O
D
B
A
C
圖3
圖4
圖5
圖6
⌒
⌒
圖10
圖7
圖8
圖9
E
圖11
圖12
G
圖13
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