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北師大版九下導(dǎo)學(xué)案+課時(shí)練習(xí) 3.5 確定圓的條件(教師版+學(xué)生版)

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  1. 二一教育資源

北師大版九下導(dǎo)學(xué)案+課時(shí)練習(xí) 3.5 確定圓的條件(教師版+學(xué)生版)

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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
(總課時(shí)25)§3.5確定圓的條件
一.選擇題:
1下列條件,可以畫出唯一一個(gè)圓的是( )
A. 已知圓心 B. 已知半徑 C. 已知直徑 D. 已知不在同一條直線上三個(gè)點(diǎn)
2.在同一平面上有A、B、C三點(diǎn),若經(jīng)過A、B、C這三點(diǎn)畫圓,則可畫( )
在同一平面上有A、B、C三點(diǎn),若經(jīng)過A、B、C這三點(diǎn)畫圓,則可畫( )
A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 0個(gè)或1個(gè) D. 無數(shù)個(gè)
3.等邊三角形外接圓的半徑等于邊長的( )倍.
A. B. C. D.
4.如圖1,已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圓,點(diǎn)D是上一點(diǎn),BD交AC于點(diǎn)E,若BC=4,AD=,則AE的長是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 1.2
5.如圖2,△ABC中,∠A、∠B、∠C所對的三邊分別記為a,b,c,O是△ABC
的外心,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,則OD:OE:OF=( )
A. a:b:c B. C. cosA:cosB:cosC D. sinA:sinB:sinC
二.填空題:
6.如圖3,⊙O是△ABC的外接圓,直徑AD=4,∠ABC=∠DAC,則AC的長為_______.
7.如圖4,△ABC的外心坐標(biāo)是____________.
8.等腰三角形ABC內(nèi)接于半徑為5cm的⊙O中,若底邊BC=8cm,則△ABC的面積是____________.
9.如圖5,△ABC內(nèi)接于⊙O,AH⊥BC于點(diǎn)H,若AC=24,AH=18,⊙O的半徑OC=13,則AB=_____.
10.如圖6,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足∠PAB=∠PBC,則線段CP長的最小值為____.
三.解答題:
11.如圖7,BD,CE是△ABC的高,求證:E,B,C,D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.
12.如圖8,AD為△ABC外接圓的直徑,AD⊥BC,垂足為點(diǎn)F,∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E,連接BD,CD.
(1)求證:BD=CD;
(2)請判斷B,E,C三點(diǎn)是否在以D為圓心,以DB為半徑的圓上?并說明理由.
四.提高題:
13.如圖9,拋物線L:y=ax2-2ax+a+k(a,k為常數(shù)且a>0)經(jīng)過點(diǎn)C(-1,0),頂點(diǎn)為M,經(jīng)過點(diǎn)P(0,a+4)的直線m與x軸平行,且m與L交于點(diǎn)A,B(B在A的右側(cè)),與L的對稱軸交于點(diǎn)F,直線n:y=ax+a經(jīng)過點(diǎn)C.
(1)用a表示k,k=______點(diǎn)M(______);
(2)BP-AP的值是否是定值?若是,直接寫出這個(gè)定值;若不是,請說明理由;
答:____________
(3)當(dāng)直線n經(jīng)過點(diǎn)B時(shí),則a=____,A(_____),B(______);
(4)當(dāng)a=1時(shí),設(shè)△ABC的外心為點(diǎn)N,則
①求點(diǎn)N的坐標(biāo);
②若點(diǎn)Q在L的對稱軸上,其縱坐標(biāo)為b,且滿足∠AQB<∠ACB,直接寫出b的取值范圍.
圖1
圖2
圖4
圖6
圖5
圖3
圖7
圖8
圖9
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 (共 2 頁)
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(總課時(shí)25)§3.5確定圓的條件
一.選擇題:
1下列條件,可以畫出唯一一個(gè)圓的是( D )
A. 已知圓心 B. 已知半徑 C. 已知直徑 D. 已知不在同一條直線上三個(gè)點(diǎn)
2.在同一平面上有A、B、C三點(diǎn),若經(jīng)過A、B、C這三點(diǎn)畫圓,則可畫( C )
在同一平面上有A、B、C三點(diǎn),若經(jīng)過A、B、C這三點(diǎn)畫圓,則可畫( C )
A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 0個(gè)或1個(gè) D. 無數(shù)個(gè)
3.等邊三角形外接圓的半徑等于邊長的( C )倍.
A. B. C. D.
4.如圖1,已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圓,點(diǎn)D是上一點(diǎn),BD交AC于點(diǎn)E,若BC=4,AD=,則AE的長是(C) A. 3 B. 2 C. 1 D. 1.2
5.如圖2,△ABC中,∠A、∠B、∠C所對的三邊分別記為a,b,c,O是△ABC
的外心,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,則OD:OE:OF=(C)
A. a:b:c B. C. cosA:cosB:cosC D. sinA:sinB:sinC
二.填空題:
6.如圖3,⊙O是△ABC的外接圓,直徑AD=4,∠ABC=∠DAC,則AC的長為2.
7.如圖4,△ABC的外心坐標(biāo)是(-2,-1).
8.等腰三角形ABC內(nèi)接于半徑為5cm的⊙O中,若底邊BC=8cm,則△ABC的面積是8cm2或32cm2
9.如圖5,△ABC內(nèi)接于⊙O,AH⊥BC于點(diǎn)H,若AC=24,AH=18,⊙O的半徑OC=13,則AB=19.5
10.如圖6,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足∠PAB=∠PBC,則線段CP長的最小值為2.
三.解答題:
11.如圖7,BD,CE是△ABC的高,求證:E,B,C,D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.
解:取BC的中點(diǎn)F,連接DF,EF.∵BD,CE是△ABC的高,∴△BCD和△BCE都是直角三角形.
∴DF,EF分別為Rt△BCD和Rt△BCE斜邊上的中線,∴DF=EF=BF=CF.
∴E,B,C,D四點(diǎn)在以點(diǎn)F為圓心,0.5BC為半徑的圓上.
12.如圖8,AD為△ABC外接圓的直徑,AD⊥BC,垂足為點(diǎn)F,∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E,連接BD,CD.
(1)求證:BD=CD;
(2)請判斷B,E,C三點(diǎn)是否在以D為圓心,以DB為半徑的圓上?并說明理由.
(1)證明:∵AD為直徑,AD⊥BC,∴由垂徑定理得:BD=CD,
∴根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得:BD=CD.
(2)B,E,C三點(diǎn)在以D為圓心,以DB為半徑的圓上。
理由:由(1)知:BD=CD,∴∠1=∠2,又∵∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴∠DBE=∠3+∠4,∠DEB=∠1+∠5,
∵BE是∠ABC的平分線,∴∠4=∠5,∴∠DBE=∠DEB,∴DB=DE.
由(1)知:BD=CD∴DB=DE=DC.∴B,E,C三點(diǎn)在以D為圓心,以DB為半徑的圓上.
四.提高題:
13.如圖9,拋物線L:y=ax2-2ax+a+k(a,k為常數(shù)且a>0)經(jīng)過點(diǎn)C(-1,0),頂點(diǎn)為M,經(jīng)過點(diǎn)P(0,a+4)的直線m與x軸平行,且m與L交于點(diǎn)A,B(B在A的右側(cè)),與L的對稱軸交于點(diǎn)F,直線n:y=ax+a經(jīng)過點(diǎn)C.
(1)用a表示k,k=-4a,點(diǎn)M(1,-4a);
(2)BP-AP的值是否是定值?若是,直接寫出這個(gè)定值;若不是,請說明理由;
答:是定值,BP-AP=2.
(3)當(dāng)直線n經(jīng)過點(diǎn)B時(shí),則a=1,A(-2,5),B(4,5);
(4)當(dāng)a=1時(shí),設(shè)△ABC的外心為點(diǎn)N,則
①求點(diǎn)N的坐標(biāo);
②若點(diǎn)Q在L的對稱軸上,其縱坐標(biāo)為b,且滿足∠AQB<∠ACB,直接寫出b的取值范圍.
解:①根據(jù)拋物線的軸對稱性可知,L的對稱軸x=1就是AB的垂直平分線,
故△ABC的外心N就在直線x=1上,則有AN=CN.
∴設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(1,c),由(3)可知A點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,5),
及C點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),
∴,
即,解得,∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(,);
②或.
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圖4
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(總課時(shí)25)§3.5確定圓的條件
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】探索不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.
【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】理解并運(yùn)用不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.
【導(dǎo)學(xué)過程】
一.知識回顧
⒈圓上所有的點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑.
⒉確定圓需要兩個(gè)基本條件,一個(gè)是圓心,另一個(gè)是半徑,其中,圓心確定圓的位置,半徑確定圓的大小.
3.兩點(diǎn)確定一條直線.
二.探究新知
探究(一)確定圓的條件
1.如圖1,經(jīng)過一點(diǎn)A是否可以作圓?如果能作,可以作幾個(gè)?(作出圖形)
2.如圖2,經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)A、B是否可以作圓?如果能作,可以作幾個(gè)?(作出圖形)
結(jié)論1:①經(jīng)過一點(diǎn)A可作無數(shù)個(gè)圓;
②經(jīng)過A,B兩點(diǎn)的圓的圓心在線段AB的垂直平分線上;
③以線段AB的垂直平分線上的任意一點(diǎn)為圓心,這點(diǎn)到A或B的距離為半徑可作無數(shù)個(gè)圓.
3.如圖3,經(jīng)過三個(gè)已知點(diǎn)A,B,C能確定一個(gè)圓嗎?假設(shè)經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的⊙O存在
(1)圓心O到A,B,C三點(diǎn)距離相等(填“相等”或“不相等”).
(2)連接AB,AC,過O點(diǎn)分別作直線MN⊥AB,EF⊥AC,則MN是AB的中垂線.EF是AC的中垂線.
(3)AB,AC的垂直平分線的交點(diǎn)O到B,C的距離相等.
4.議一議:過如下三點(diǎn)能不能作一個(gè)圓 為什么
因?yàn)锳B和BC的中垂線互相平行,沒有交點(diǎn).
結(jié)論2:不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.
探究(二)三角形的外接圓:
1.經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓,這個(gè)圓叫做三角形的外接圓;這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形;外接圓的圓心叫做三角形的外心,是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn).
2.分別作出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的外接圓;并分別指出三角形的外心所在的位置。
銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部;直角三角形的外心在斜邊中點(diǎn);鈍角三角形的外心在三角形外部.
三.典例與練習(xí)
例1.下列說法正確的有( D )個(gè)
①經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)一定可以作圓.②任意一個(gè)三角形一定有一個(gè)外接圓,并且只有一個(gè)外接圓.③任意一個(gè)圓一定有一個(gè)內(nèi)接三角形,并且只有一個(gè)內(nèi)接三角形.④三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.
A.0 B.1 C.2 D.3
練習(xí)1.在Rt△ABC中,∠C = 90°,AC = 20 cm,BC = 21 cm,則它的外心與頂點(diǎn)C的距離等于(D).
A. 13 cm B. 13.5 cm C. 14 cm D. 14.5 cm
例2.在如圖4正方形網(wǎng)格中,一條圓弧經(jīng)過A,B,C三點(diǎn),那么這條圓弧所在圓的圓心是(B)
A.點(diǎn)P B.點(diǎn)Q C.點(diǎn)R D.點(diǎn)M
練習(xí)2.如圖5,以點(diǎn)P(4,2)為圓心的圓弧與x軸交于A(2,0),B兩點(diǎn),
則點(diǎn)B的坐標(biāo)(6,0).
例3.(破輪求徑)如圖6,破殘的圓形輪片上,弦AB的垂直平分線交弧AB于點(diǎn)C,交弦AB于點(diǎn)D.已知:AB=24cm,CD=8cm.(1)求作此殘片所在的圓(不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)求(1)中所作圓的半徑.
解:(2)連接OA,設(shè)OA=x,在Rt△AOD中,由勾股定理得:
OA2=OD2+AD2,即:x2=(x-8)2+122,x=13
答:圓的半徑是13cm.
練習(xí)3.如圖7,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,求其外接圓半徑.
解:由BC=12,易得BD=6,AD=8,
設(shè)OA=x,則由勾股定理得:
OB2=OD2+BD2,即:x2=(8-x)2+62,解得:x=6.25
答:外接圓半徑是6.25
四.課堂小結(jié)
1.定理:不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.
“不在同一直線”這個(gè)條件不可忽略,“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”.
2.通過三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓,外接圓的圓心為三角形的外心,這個(gè)三角形叫圓的內(nèi)接三角形.只要三角形確定,那么它的外心和外接圓半徑也隨之確定了.
五.分層過關(guān)
1.三角形的外心是( B )
A.三角形三條中線的交點(diǎn) B.三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)
C.三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn) D.三角形三條高的交點(diǎn)
2.直角三角形兩直角邊長分別是16和12,此三角形的外接圓半徑是(C)
A.6 B.8 C.10 D. 8或10
3.A、B、C是平面內(nèi)的三點(diǎn),AB=BC=3,AC=6,下列說法中正確的是(B)
A.可以畫一個(gè)圓,使A、B、C都在圓上,B.可以畫一個(gè)圓,使A、B在圓上,C在圓外
C.可以畫一個(gè)圓,使A、C在圓上,B在圓外,D.可以畫一個(gè)圓,使B、C在圓上,A在圓內(nèi)
4.如圖8,⊙O是正方形ABCD的外接圓,點(diǎn)P在⊙O上,則∠APB=45°.
5.如圖9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,CB=12,AD是△ABC的角平分線.過A、C、D三點(diǎn)的圓與斜邊AB交于點(diǎn)E,連接DE.
(1)求證AC=AE;(2)求△ACD外接圓的半徑.
證明:(1)∵∠ACB=90°,∴AD是圓的直徑,∴∠AED=90°
∵AD平分∠CAB∴AC=AE
(2)在Rt△ABC中,AC=5,CB=12∴AB=13∵AC=AE=5∴BE=8∵∠B=∠B,∠BED=∠C∴△BED∽△BCA
∴∴∴DE=,∴AD=∴△ACD外接圓的半徑是
思考題:
6.如圖10,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=0.5x2-bx+c交x軸于點(diǎn)A,B,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),與y軸于交于點(diǎn)C(0,﹣2).(1)則拋物線的解析式為:y=0.5x2-1.5x-2;
(2)在拋物線上取點(diǎn)D,若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為5,點(diǎn)D的坐標(biāo)(5,3),∠ADB=45°;
(3)在(2)的條件下,設(shè)拋物線對稱軸交x軸于點(diǎn)H,△ABD的外接圓圓心為M,
求點(diǎn)M的坐標(biāo)及⊙M的半徑;
(3)如圖,連接MA,MB,∵∠ADB=45,∴∠AMB=90,
∵M(jìn)A=MB,MH⊥AB,∴AH=BH=HM=2.5,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1.5,2.5),⊙M的半徑為;
A
B
C
A
B
A
圖3
圖1
圖2
圖4
圖5
圖6
O
圖7
圖8
圖9
圖10
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(總課時(shí)25)§3.5確定圓的條件
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】探索不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.
【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】理解并運(yùn)用不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.
【導(dǎo)學(xué)過程】
一.知識回顧
⒈圓上所有的點(diǎn)到圓心的距離都等于_____.
⒉確定圓需要兩個(gè)基本條件,一個(gè)是____,另一個(gè)是____,其中,____確定圓的位置,____確定圓的大小.
3.____點(diǎn)確定一條直線.
二.探究新知
探究(一)確定圓的條件
1.如圖1,經(jīng)過一點(diǎn)A是否可以作圓?如果能作,可以作幾個(gè)?(作出圖形)
2.如圖2,經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)A、B是否可以作圓?如果能作,可以作幾個(gè)?(作出圖形)
結(jié)論1:①經(jīng)過一點(diǎn)A可作____個(gè)圓;
②經(jīng)過A,B兩點(diǎn)的圓的圓心在線段AB的____________上;
③以線段AB的垂直平分線上的任意一點(diǎn)為圓心,這點(diǎn)到A或B的距離為半徑可作____個(gè)圓.
3.如圖3,經(jīng)過三個(gè)已知點(diǎn)A,B,C能確定一個(gè)圓嗎?假設(shè)經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的⊙O存在
(1)圓心O到A,B,C三點(diǎn)距離____(填“相等”或“不相等”).
(2)連接AB,AC,過O點(diǎn)分別作直線MN⊥AB,EF⊥AC,則MN是AB的______.EF是AC的_______.
(3)AB,AC的垂直平分線的交點(diǎn)O到B,C的距離____.
4.議一議:過如下三點(diǎn)能不能作一個(gè)圓 為什么
因?yàn)锳B和BC的中垂線____________________.
結(jié)論2:不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)________圓.
探究(二)三角形的外接圓:
1.經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓,這個(gè)圓叫做三角形的____圓;這個(gè)三角形叫做圓的____三角形;外接圓的圓心叫做三角形的____,是三角形三條邊____________的交點(diǎn).
2.分別作出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的外接圓;并分別指出三角形的外心所在的位置。
銳角三角形的外心在________;直角三角形的外心在________;鈍角三角形的外心在__________.
三.典例與練習(xí)
例1.下列說法正確的有( )個(gè)
①經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)一定可以作圓.②任意一個(gè)三角形一定有一個(gè)外接圓,并且只有一個(gè)外接圓.③任意一個(gè)圓一定有一個(gè)內(nèi)接三角形,并且只有一個(gè)內(nèi)接三角形.④三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.
A.0 B.1 C.2 D.3
練習(xí)1.在Rt△ABC中,∠C = 90°,AC = 20 cm,BC = 21 cm,則它的外心與頂點(diǎn)C的距離等于( ).
A. 13 cm B. 13.5 cm C. 14 cm D. 14.5 cm
例2.在如圖4正方形網(wǎng)格中,一條圓弧經(jīng)過A,B,C三點(diǎn),那么這條圓弧所在圓的圓心是( )
A.點(diǎn)P B.點(diǎn)Q C.點(diǎn)R D.點(diǎn)M
練習(xí)2.如圖5,以點(diǎn)P(4,2)為圓心的圓弧與x軸交于A(2,0),B兩點(diǎn),
則點(diǎn)B的坐標(biāo)________.
例3.(破輪求徑)如圖6,破殘的圓形輪片上,弦AB的垂直平分線交弧AB于點(diǎn)C,交弦AB于點(diǎn)D.已知:AB=24cm,CD=8cm.(1)求作此殘片所在的圓(不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)求(1)中所作圓的半徑.
解:(2)連接OA,設(shè)OA=x,在Rt△AOD中,由勾股定理得:
OA2=OD2+AD2,即:________________
答:圓的半徑是________.
練習(xí)3.如圖7,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,求其外接圓半徑.
四.課堂小結(jié)
1.定理:不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.
“不在同一直線”這個(gè)條件不可忽略,“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”.
2.通過三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓,外接圓的圓心為三角形的外心,這個(gè)三角形叫圓的內(nèi)接三角形.只要三角形確定,那么它的外心和外接圓半徑也隨之確定了.
五.分層過關(guān)
1.三角形的外心是( )
A.三角形三條中線的交點(diǎn) B.三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)
C.三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn) D.三角形三條高的交點(diǎn)
2.直角三角形兩直角邊長分別是16和12,此三角形的外接圓半徑是( )
A.6 B.8 C.10 D. 8或10
3.A、B、C是平面內(nèi)的三點(diǎn),AB=BC=3,AC=6,下列說法中正確的是( )
A.可以畫一個(gè)圓,使A、B、C都在圓上,B.可以畫一個(gè)圓,使A、B在圓上,C在圓外
C.可以畫一個(gè)圓,使A、C在圓上,B在圓外,D.可以畫一個(gè)圓,使B、C在圓上,A在圓內(nèi)
4.如圖8,⊙O是正方形ABCD的外接圓,點(diǎn)P在⊙O上,則∠APB=____.
5.如圖9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,CB=12,AD是△ABC的角平分線.過A、C、D三點(diǎn)的圓與斜邊AB交于點(diǎn)E,連接DE.
(1)求證AC=AE;(2)求△ACD外接圓的半徑.
思考題:
6.如圖10,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=0.5x2-bx+c交x軸于點(diǎn)A,B,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),與y軸于交于點(diǎn)C(0,﹣2).(1)則拋物線的解析式為:________________;
(2)在拋物線上取點(diǎn)D,若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為5,點(diǎn)D的坐標(biāo)________,∠ADB=________;
(3)在(2)的條件下,設(shè)拋物線對稱軸交x軸于點(diǎn)H,△ABD的外接圓圓心為M,
求點(diǎn)M的坐標(biāo)及⊙M的半徑;
A
B
C
A
B
A
圖3
圖1
圖2
圖4
圖5
圖6
O
圖7
圖8
圖9
圖10
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 (共 2 頁)
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