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北師大版九下導學案+課時練習 3.9 弧長及扇形的面積(教師版+學生版)

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  1. 二一教育資源

北師大版九下導學案+課時練習 3.9 弧長及扇形的面積(教師版+學生版)

資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
(總課時30)§3.9弧長及扇形的面積
一.選擇題:
1.在半徑為6的⊙O中,60°圓心角所對的弧長是(B)
A. π B. 2π C. 4π D. 6π
2.一個扇形的半徑為8 cm,弧長為cm,則扇形的圓心角為( B )
A. 60° B. 120° C. 150° D. 180°
3.一段圓弧的半徑是12,弧長是,則這段圓弧所對的圓心角是( A )
A.60° B.90° C.120° D.150°
4.一個扇形的圓心角是120°,面積為3π cm2,那么這個扇形的半徑是( B )
A. 1 cm B. 3 cm C. 6 cm D. 9 cm
5.如圖1,已知四邊形ABCD的四個頂點在以AB為直徑的半圓上,AB=4.若∠BCD=120°,則的長為(B )
A. B. C. D.
二.填空題:
6.如圖2,△ABC中,D為BC的中點,以D為圓心,BD長為半徑畫一弧交AC于E點,若∠A=60°,∠B=100°,BC=4,則扇形BDE的面積為.
7.如圖3,在四邊形ABCD中,AB=CB,AD=CD,我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”,箏形ABCD的對角線AC,BD相交于點O.以點B為圓心,BO長為半徑畫弧,分別交AB,BC于點E,F,若∠ABD=∠ACD=30°,AD=1,則的長為(結果保留π).
8.如圖4,△ABC是正三角形,曲線CDEF叫做正三角形的漸開線,其中的圓心依次是A、B、C,如果AB=1,那么曲線CDEF的長是4π.
9.如圖5,在菱形ABCD中,∠ABC=60,AB=8,對角線交于點O,M為BC中點,以M為圓心,MC長為半徑畫弧交AB于點E,連接OE,則陰影部分面積為.
10.已知扇形的圓心角為120°,弧長為4π,則扇形的面積是12π.
三.解答題:
11.如圖6,點C在以AB為直徑的半圓⊙O上,AC=BC.以B為圓心,以BC的長為半徑畫圓弧交AB于點D.
(1)求∠ABC的度數;
(2)若AB=2,求陰影部分的面積.
解:(1)∵AB為半圓⊙O的直徑,∴∠ACB=90°,
∵AC=BC,∴∠ABC=45°;
(2)∵AB=2,
∴陰影部分的面積=2×1﹣=1﹣.
12.如圖7,C,D是以AB為直徑的半圓周的三等分點,CD=8cm,P是直徑AB上的任意一點.
(1)求的長;(2)求陰影部分的面積.
解:(1)如圖,連接OC、OD.
∵C,D是以AB為直徑的半圓周的三等分點,∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°,
又∵OC=OD,∴△OCD是等邊三角形,∴∠OCD=∠AOC=60°,OC=CD=8,
∴的長==cm
(2)∵∠OCD=∠AOC=60°∴CD∥AB,∴S△ACD=S△OCD=S△PCD,∴S陰影=S扇形OCD==.
四.提高題:
13.如圖8,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,以AC邊上一點O為圓心,OA為半徑作⊙O,⊙O恰好經過邊BC的中點D,并與邊AC相交于另一點F.
(1)求證:BD是⊙O的切線;
(2)若AB=,E是半圓上一動點,連接AE,AD,DE.填空:
當的長度是時,四邊形ABDE是菱形;
證明:如圖8,連接OD,
∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,∴AB=BC,
∵D是BC的中點,∴BD=BC,∴AB=BD,∴∠BAD=∠BDA,
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠ODB=∠BAO=90°,即OD⊥BC,
∴BD是⊙O的切線.
圖1
圖5
圖3
圖2
圖4
圖6
圖7
圖8
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 (共 2 頁)
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(總課時30)§3.9弧長及扇形的面積
【學習目標】理解弧長和扇形面積公式,并會應用公式解決問題.
【學習重難點】理解弧長和扇形面積公式,并會應用公式解決問題.
【導學過程】
一.創設情境,引入新課
如圖1,在校運動會的田徑400米跑比賽中,為什么每位運動員的起跑位置不相同?這樣的起點位置對每位運動員公平嗎?
二.探究新知
1.復習:(圓的半徑為R)
①圓的周長公式:C=____.②圓的面積公式:S=____ ③圓的圓心角是____度.
2.探索弧長公式:
引例1.如圖2,某傳送帶的一個轉動輪的半徑為10cm.
①轉動輪轉一周,傳送帶上的物品A被傳送____厘米
②轉動輪轉1°,傳送帶上的物品A被傳送____厘米
③轉動輪轉n°,傳送帶上的物品A被傳送____厘米
【結論】在半徑為R的圓中,n°的圓心角所對的弧長(arclength)的計算公式為:________.
練習1.制作彎形管道時,需要先按中心線計算“展直長度”再下料,試計算下圖3中管道的展直長度,即弧AB的長(結果精確到0.1mm).
解:∵R=40mm,n=110°.∴弧AB的長l=πR=____________mm.
因此,管道的展直長度約為________mm.
3.探索扇形面積公式:
引例2.如圖4,在一塊空曠的草地上有一根柱子,柱子上拴著一條長3m的繩子,繩子的一端拴著一只狗.
(1)這只狗的最大活動區域有多大?
(2)如果這只狗拴在夾角為120°的墻角,
那么它的最大活動區域有多大?
解:(1)如圖4①,這只狗的最大活動區域是____面積,即____;
(2)如圖4②,狗的活動區域是扇形,扇形是____一部分,360°的圓心角對應________面積,1°的圓心角對應圓面積的____,即________,
n°的圓心角對應的圓面積為____________.
【結論】扇形的面積公式:(扇形半徑為r,圓心角為n,弧長為l)
用弧長表示扇形的面積:S扇形=lr.
練習2.已知扇形的圓心角為120°且半徑為3,則弧長=____,扇形面積=____.
練習3.已知扇形的圓心角是150°,弧長為20πcm,則扇形的半徑=____cm面積=________.
三.典例與練習
例1.扇形AOB的半徑為12cm,∠AOB=120°,求弧AB的長(結果精確到0.1cm)和扇形AOB的面積(結果精確到0.1cm2)
練習3.已知半徑為2cm的扇形,其弧長為,則這個扇形的面積為________.
例2.如圖5,直徑AB為6的半圓,繞A點逆時針旋轉60°,此時點B到了點B′,則圖中陰影部分的面積是( ) A.6π B.5π C.4π D.3π
練習4.如圖6,菱形ABCD的邊長為4cm,∠A=60°,弧BD是以點A為圓心,AB長為半徑的弧,弧CD是以點B為圓心,BC長為半徑的弧,則陰影部分的面積為________.
例3.△ABC是邊長為4的等邊三角形,以BC為直徑畫弧,分別交邊AB,AC于點E,F,連接EF,則圖7中陰影部分的面積是________.
練習5.如圖8,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,將Rt△ABC繞點A逆時針旋轉30°后得到Rt△ADE,點B經過的路徑為弧BD,則圖中陰影部分的面積為________.
四.課堂小結
1.兩個公式:① ②或S扇形=lr;
2.把“弧”看成“邊”,把“扇形”看成“曲邊三角形”,
因此扇形面積公式S扇形=lr,就同三角形面積公式;
五.分層過關
1.在半徑為6的⊙O中,60°圓心角所對的弧長是( )
A. π B. 2π C. 4π D. 6π
2.一個扇形的半徑為3,圓心角為120°,則這個扇形的面積是( )
A.6π B.3π C.12π D.24π
3.如圖9,扇形的圓心角為90°,半徑OC=2,∠AOC=30°,CD⊥OB于點D,則陰影部分的面積是________.
4.如圖10,⊙A,⊙B,⊙C兩兩不相交,且它們的半徑都是2cm,則圖中的三個扇形(即三個陰影部分)
的面積之和是________.
5.如圖11,⊙O的半徑為4,PC切⊙O于點C,交直徑AB延長線于點P,若CP長為4,則陰影部分的面積為________
6.如圖12.在△ABC中,∠ABC=45°,∠ACB=30°,AB=2,將△ABC繞點C順時針旋轉60°得△CDE,則圖中線段AB掃過的陰影部分的面積為________.
思考題:
7.如圖13,在菱形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,∠ABC=120°,AB=,以點O為圓心,OB長為半徑畫弧,分別與菱形的邊相交,則圖中陰影部分的面積為____________.(結果保留π)
圖1
圖2
圖3
圖4
圖4①
圖4②
圖7
圖5
圖6
圖8
圖12
圖11
圖10
圖9
圖13
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(總課時30)§3.9弧長及扇形的面積
一.選擇題:
1.在半徑為6的⊙O中,60°圓心角所對的弧長是( )
A. π B. 2π C. 4π D. 6π
2.一個扇形的半徑為8 cm,弧長為cm,則扇形的圓心角為( )
A. 60° B. 120° C. 150° D. 180°
3.一段圓弧的半徑是12,弧長是,則這段圓弧所對的圓心角是( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
4.一個扇形的圓心角是120°,面積為3π cm2,那么這個扇形的半徑是( )
A. 1 cm B. 3 cm C. 6 cm D. 9 cm
5.如圖1,已知四邊形ABCD的四個頂點在以AB為直徑的半圓上,AB=4.若∠BCD=120°,則的長為( )
A. B. C. D.
二.填空題:
6.如圖2,△ABC中,D為BC的中點,以D為圓心,BD長為半徑畫一弧交AC于E點,若∠A=60°,∠B=100°,BC=4,則扇形BDE的面積為____.
7.如圖3,在四邊形ABCD中,AB=CB,AD=CD,我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”,箏形ABCD的對角線AC,BD相交于點O.以點B為圓心,BO長為半徑畫弧,分別交AB,BC于點E,F,若∠ABD=∠ACD=30°,AD=1,則的長為____(結果保留π).
8.如圖4,△ABC是正三角形,曲線CDEF叫做正三角形的漸開線,其中的圓心依次是A、B、C,如果AB=1,那么曲線CDEF的長是____.
9.如圖5,在菱形ABCD中,∠ABC=60,AB=8,對角線交于點O,M為BC中點,以M為圓心,MC長為半徑畫弧交AB于點E,連接OE,則陰影部分面積為________.
10.已知扇形的圓心角為120°,弧長為4π,則扇形的面積是____.
三.解答題:
11.如圖6,點C在以AB為直徑的半圓⊙O上,AC=BC.以B為圓心,以BC的長為半徑畫圓弧交AB于點D.
(1)求∠ABC的度數;
(2)若AB=2,求陰影部分的面積.
12.如圖7,C,D是以AB為直徑的半圓周的三等分點,CD=8cm,P是直徑AB上的任意一點.
(1)求的長;(2)求陰影部分的面積.
四.提高題:
13.如圖8,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,以AC邊上一點O為圓心,OA為半徑作⊙O,⊙O恰好經過邊BC的中點D,并與邊AC相交于另一點F.
(1)求證:BD是⊙O的切線;
(2)若AB=,E是半圓上一動點,連接AE,AD,DE.填空:
當的長度是____時,四邊形ABDE是菱形;
圖1
圖5
圖3
圖2
圖4
圖6
圖7
圖8
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(總課時30)§3.9弧長及扇形的面積
【學習目標】理解弧長和扇形面積公式,并會應用公式解決問題.
【學習重難點】理解弧長和扇形面積公式,并會應用公式解決問題.
【導學過程】
一.創設情境,引入新課
如圖1,在校運動會的田徑400米跑比賽中,為什么每位運動員的起跑位置不相同?這樣的起點位置對每位運動員公平嗎?
二.探究新知
1.復習:(圓的半徑為R)
①圓的周長公式:C=2πR. ②圓的面積公式:S=πR2. ③圓的圓心角是360度.
2.探索弧長公式:
引例1.如圖2,某傳送帶的一個轉動輪的半徑為10cm.
①轉動輪轉一周,傳送帶上的物品A被傳送20π厘米
②轉動輪轉1°,傳送帶上的物品A被傳送厘米
③轉動輪轉n°,傳送帶上的物品A被傳送厘米
【結論】在半徑為R的圓中,n°的圓心角所對的弧長(arclength)的計算公式為:.
練習1.制作彎形管道時,需要先按中心線計算“展直長度”再下料,試計算下圖3中管道的展直長度,即弧AB的長(結果精確到0.1mm).
解:∵R=40mm,n=110°.∴弧AB的長l=πR=×40π≈76.8mm.
因此,管道的展直長度約為76.8mm.
3.探索扇形面積公式:
引例2.如圖4,在一塊空曠的草地上有一根柱子,柱子上拴著一條長3m的繩子,繩子的一端拴著一只狗.
(1)這只狗的最大活動區域有多大?
(2)如果這只狗拴在夾角為120°的墻角,那么它的最大活動區域有多大?
解:(1)如圖4①,這只狗的最大活動區域是圓的面積,即9π;
(2)如圖4②,狗的活動區域是扇形,扇形是圓的一部分,360°的圓心角對應整個圓面積,1°的圓心角對應圓面積的,即×9π=,
n°的圓心角對應的圓面積為n×=.
【結論】扇形的面積公式:(扇形半徑為r,圓心角為n,弧長為l)
用弧長表示扇形的面積:S扇形=lr.
練習2.已知扇形的圓心角為120°且半徑為3,則弧長=2π,扇形面積=3π.
練習3.已知扇形的圓心角是150°,弧長為20πcm,則扇形的半徑=24cm面積=240πcm2.
三.典例與練習
例1.扇形AOB的半徑為12cm,∠AOB=120°,求弧AB的長(結果精確到0.1cm)和扇形AOB的面積(結果精確到0.1cm2)
解:弧AB的長l=π×12=8π≈25.1cm;S扇形=π×122=48π≈150.7 cm2.
因此,弧AB的長約為25.1 cm,扇形AOB的面積約為150.7 cm2.
練習3.已知半徑為2cm的扇形,其弧長為,則這個扇形的面積為.
例2.如圖5,直徑AB為6的半圓,繞A點逆時針旋轉60°,此時點B到了點B′,則圖中陰影部分的面積是( A ) A.6π B.5π C.4π D.3π
練習4.如圖6,菱形ABCD的邊長為4cm,∠A=60°,弧BD是以點A為圓心,AB長為半徑的弧,弧CD是以點B為圓心,BC長為半徑的弧,則陰影部分的面積為.
例3.△ABC是邊長為4的等邊三角形,以BC為直徑畫弧,分別交邊AB,AC于點E,F,連接EF,則圖7中陰影部分的面積是.
練習5.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,將Rt△ABC繞點A逆時針旋轉30°后得到Rt△ADE,點B經過的路徑為弧BD,則圖中陰影部分的面積為.
四.課堂小結
1.兩個公式:① ②或S扇形=lr;
2.把“弧”看成“邊”,把“扇形”看成“曲邊三角形”,
因此扇形面積公式S扇形=lr,就同三角形面積公式;
五.分層過關
1.在半徑為6的⊙O中,60°圓心角所對的弧長是(B)
A. π B. 2π C. 4π D. 6π
2.一個扇形的半徑為3,圓心角為120°,則這個扇形的面積是(B)
A.6 B. C. D.
3.如圖9,扇形的圓心角為90°,半徑OC=2,∠AOC=30°,CD⊥OB于點D,則陰影部分的面積是π﹣.
4.如圖10,⊙A,⊙B,⊙C兩兩不相交,且它們的半徑都是2cm,則圖中的三個扇形(即三個陰影部分)
的面積之和是2π.
5.如圖11,⊙O的半徑為4,PC切⊙O于點C,交直徑AB延長線于點P,若CP長為4,則陰影部分的面積為8-2π
6.如圖12.在△ABC中,∠ABC=45°,∠ACB=30°,AB=2,將△ABC繞點C順時針旋轉60°得△CDE,則圖中線段AB掃過的陰影部分的面積為.
思考題:
7.如圖,在菱形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,∠ABC=120°,AB=,以點O為圓心,OB長為半徑畫弧,分別與菱形的邊相交,則圖中陰影部分的面積為.(結果保留π)
解:如圖,設⊙O與菱形的邊AB、AD分別交于點E、F,連接OE、OF,
∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC=120°,∴AC⊥BD,BO=DO,OA=OC,AB=AD,∠DAB=60°,∴△ABD是等邊三角形,∴AB=BD=2,∠ABD=∠ADB=60°,∴BO=DO=,
∵以點O為圓心,OB長為半徑畫弧,∴BO=OE=OD=OF,∴△BEO,△DFO是等邊三角形,
∴∠DOF=∠BOE=60°,∴∠EOF=60°,∴陰影部分的面積=2×(S△ABD﹣S△DFO﹣S△BEO﹣S扇形OEF)
=2×=.
圖1
圖2
圖3
圖4
圖4①
圖4②
圖7
圖5
圖6
圖8
圖12
圖11
圖10
圖9
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