資源簡介

第二部分函數與導數的概念（教案）
一、基礎知識回顧：
1．以為自變量的函數是集合A到集合B的一種對應，其中A和B都是非空的數集，對于A中 的，B中都有 y和它對應.自變量取值的集合A就是函數的 ，和對應的y的值就是函數值，函數值的集合C就是 (C B).
映射：①第一個集合中的元素必須有象；②一對一，或多對一。
2．（1）函數解析式的求法：定義域優先原則
①定義法（配湊）：②換元法：③待定系數法：④賦值法：
（2）函數解析式的求法：代入法，湊配法，換元法（運用換元法時，要注意新元的 ），待定系數法，函數方程法
（3）函數值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判別式法 ；④利用函數單調性 ；⑤換元法 ；⑥利用均值不等式 ；⑦利用數形結合或幾何意義（斜率、距離、絕對值的意義等）；⑧利用函數有界性（、、等）；⑨導數法：利用導數最大值與最小值：
ⅰ求極值；ⅱ求區間端點值（如果有）；ⅲ得最值。
3．分段函數：
值域（最值）、單調性、圖象等問題，先分段解決，再下結論。
4．復合函數的有關問題
（1）復合函數定義域求法：
① 若f(x)的定義域為［a，b］,則復合函數f[g(x)]的定義域由不等式 解出
② 若f[g(x)]的定義域為[a,b],求f(x)的定義域，相當于x∈[a,b]時，求g(x)的值域。
（2）復合函數單調性的判定：
①先分解為基本函數：內、外；
②分別研究內、外函數在各自定義域內的單調性；
③根據“ ”的原則，來判斷原函數在其定義域內的單調性。
注意：外函數的定義域是內函數的值域。
5．冪、指、對的運算法則：
若 則： ； .
;
對數運算性質：； ；
對數恒等式： ；
換底公式：；
對數運算法則：
；
6．基本初等函數的圖像與性質
⑴冪函數：（；
⑵指數函數：；
⑶對數函數:；
⑷正弦函數:；
⑸余弦函數：；（6）正切函數：；
⑺一元二次函數：；
⑻其它常用函數：①正比例函數：；
②反比例函數：
7．導數：
⑴導數定義：f(x)在點x0處的導數記作
；
⑵常見函數的導數公式: ①；②；
③；④；
⑤；⑥；
⑦ ⑧ 。
⑶導數的四則運算法則：
⑷（理科）復合函數的導數：
⑸導數的幾何物理意義：
①k＝f/(x0)表示過曲線y=f(x)上的點P(x0,f(x0))的切線的斜率。
V＝s/(t)　表示即時速度。a=v/(t) 表示加速度。
②利用導數求切線：注意所求的是“在”還是“過”該點切線；
8．抽象函數的性質所對應的一些具體特殊函數模型：
①正比例函數
②； ；
③； ；
④ ；
二 自測題
1.為了保證信息安全傳輸，有一種稱為秘密密鑰密碼系統，其加密、解密原理如下圖：
明文 密文 密文 明文，現在加密密鑰為y=loga(x+2)，如下所示：明文“6”通過加密后得到密文“3”，再發送，接受方通過解密密鑰解密得明文“6”，問“接受方接到密文”4“，則解密后得到明文為
2.已知是奇函數，是偶函數，且+= ,則= _ _
3. 以下偽代碼：
Read x
If x≤ 0 Then
← 4x
Else
←
End If
Print
根據以上算法，可求得的值為
4.若函數是定義在R上的奇函數，且當時，，那么當時，=_______
5.不等式的解集是___________
6. 已知曲線及點,則過點向曲線S可引切線的條數為 （ ) A 、0 B、1 C、2 D、3
7. 已知函數為R上的增函數，則滿足的實數的取值范圍__________________。
8、冪函數的圖象經過點，則滿足＝27的x的值是__________________
9.的值域為_______________________
10. 設p：f(x)＝ex＋In x＋2x2＋mx＋l在(0，＋∞)內單調遞增，q：m≥－5，則p是q的 ( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
11.已知點點在約束條件下，則
的最大值為 _________
12．如圖1所示，函數的圖象在點P處的切
線方程是，則 ， ．
13. 已知函數，求經過點且與曲線相切的直線的方程。
14.佛山某公司生產陶瓷，根據歷年的情況可知，生產陶瓷每天的固定成本為14000元，每生產一件產品，成本增加210元．已知該產品的日銷售量與產量之間的關系式為
，每件產品的售價與產量之間的關系式為．
（Ⅰ）寫出該陶瓷廠的日銷售利潤與產量之間的關系式；
（Ⅱ）若要使得日銷售利潤最大，每天該生產多少件產品，并求出最大利潤．
15.已知，
（1）求導數；
（2）若，求函數在上的最大值和最小值；
（3）若在和上都是單調遞增的，求的取值范圍
16．已知函數在是增函數,在(0,1)為減函數.（I）求、的表達式；
（II）求證:當時,方程有唯一解；
(III）當時,若在∈內恒成立,求的取值范圍.
第二部分函數與導數的概念（教案）
一、基礎知識回顧：
1．以為自變量的函數是集合A到集合B的一種對應，其中A和B都是非空的數集，對于A中的每一個，B中都有唯一確定的y和它對應.自變量取值的集合A就是函數的定義域，和對應的y的值就是函數值，函數值的集合C就是函數的值域(C B).
映射：注意 ①第一個集合中的元素必須有象；②一對一，或多對一。
2．（1）函數解析式的求法：定義域優先原則
①定義法（拼湊）：②換元法：③待定系數法：④賦值法：
（2）函數解析式的求法：代入法，湊配法，換元法（運用換元法時，要特別要注意新元的范圍），待定系數法，函數方程法
（3）函數值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判別式法 ；④利用函數單調性 ；⑤換元法 ；⑥利用均值不等式 ； ⑦利用數形結合或幾何意義（斜率、距離、絕對值的意義等）；⑧利用函數有界性（、、等）；⑨導數法：利用導數求極值：ⅰ求導數；ⅱ求方程的根；ⅲ列表得極值；利用導數最大值與最小值：ⅰ求的極值；ⅱ求區間端點值（如果有）；ⅲ得最值。
3．分段函數：值域（最值）、單調性、圖象等問題，先分段解決，再下結論。
在求分段函數的值時，一定首先要判斷屬于定義域的哪個子集，然后再代相應的關系式；分段函數的值域應是其定義域內不同子集上各關系式的取值范圍的并集。
4．復合函數的有關問題
（1）復合函數定義域求法：① 若f(x)的定義域為［a，b］,則復合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定義域為[a,b],求 f(x)的定義域，相當于x∈[a,b]時，求g(x)的值域。
（2）復合函數單調性的判定：①首先將原函數分解為基本函數：內函數與外函數；②分別研究內、外函數在各自定義域內的單調性；③根據“同性則增，異性則減”來判斷原函數在其定義域內的單調性。注意：外函數的定義域是內函數的值域。
5．冪、指、對的運算法則：
若 則： ； .
;對數運算性質： ； ； 對數恒等式： ；換底公式：對數運算法則：

6．基本初等函數的圖像與性質
⑴冪函數： （ ；⑵指數函數：；
⑶對數函數:；⑷正弦函數:；⑸余弦函數： ；（6）正切函數：；⑺一元二次函數：；⑻其它常用函數：①正比例函數：；②反比例函數：；特別的，函數；
7．導數：
⑴導數定義：f(x)在點x0處的導數記作
；
⑵常見函數的導數公式: ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ 。
⑶導數的四則運算法則：
⑷（理科）復合函數的導數：
⑸導數的幾何物理意義：
①k＝f/(x0)表示過曲線y=f(x)上的點P(x0,f(x0))的切線的斜率。
V＝s/(t)　表示即時速度。a=v/(t) 表示加速度。
②利用導數求切線：注意所求的是“在”還是“過”該點的切線；
8．抽象函數的性質所對應的一些具體特殊函數模型： ①正比例函數
②； ；
③； ；
④ ；
第二部分函數與導數的概念（答案）
1. 14 2.（答：）；3. －8 ； 4.（答：）
5. ；6.解：本題直接通過計算，設切點，滿足，。消去，得，分解因式得，于是，顯然原方程有三個解。也就有三個切點，過點向曲線可引切線的條數為3條。因此答案選D 。
7. 答案：；8、；9.（答：）（令，。10. 【解答】 由題意知 f ′(x)=在（0，+∞）上恒成立.則恒成立.
當①
②
綜合①② 的最大值要小于-5，不妨設為c.
∴m≥c不可能推出m≥-5.但由m≥-5,可以推出m≥c.
故B正確.11.；12． 3，－1；
13.解：(Ⅰ)總成本為．
所以日銷售利潤
．
(Ⅱ)①當時，．令，解得或．于是在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以在時取到最大值，且最大值為30000；
②當時，．
綜上所述，若要使得日銷售利潤最大，每天該生產400件產品，其最大利潤為30000元．
14設切點，， ，聯立方程組，解得或，
即．故所求切線的方程為或．
15.解：（1）（2）由得
所以；令，得或－1，
，，
所以在上的最大值為，最小值為
（3）依題意只須，,
即，解得的取值范圍為［－２，２］
16．解: （I）依題意,即,.∵上式恒成立,∴ ①
又,依題意,即
,.∵上式恒成立,∴ ②由①②得.∴
（II）由(1)可知,方程,
設,
令,并由得解知令由列表分析:
(0,1)
1
(1,+()
-
0
+
遞減
0
遞增
知在處有一個最小值0,當時,＞0,
∴在(0,+()上只有一個解.即當x＞0時,方程有唯一解.（III）設
,
在為減函數 又所以：為所求范圍.
備用卷
1.為了保證信息安全傳輸，有一種稱為秘密密鑰密碼系統，其加密、解密原理如下圖：
明文 密文 密文 明文，現在加密密鑰為y=loga(x+2)，如下所示：明文“6”通過加密后得到密文“3”，再發送，接受方通過解密密鑰解密得明文“6”，問“接受方接到密文”4“，則解密后得到明文為 14
2.已知是奇函數，是偶函數，且+= ,則= __（答：）
3. －8
4.若函數是定義在R上的奇函數，且當時，，那么當時，=________（答：）
5.不等式的解集是___________
6. 已知曲線及點,則過點向曲線S可引切線的條數為 （ )
A 、0 B、1 C、2 D、3
解：本題直接通過計算，設切點，滿足，。消去，得，分解因式得，于是，顯然原方程有三個解。也就有三個切點，過點向曲線可引切線的條數為3條。因此答案選D 。
7. 已知函數為R上的增函數，則滿足的實數的取值范圍。
答案：
8、冪函數的圖象經過點，則滿足＝27的x的值是
9.的值域為_____（答：）（令，。
10. 設p：f(x)＝ex＋In x＋2x2＋mx＋l在(0，＋∞)內單調遞增，q：m≥－5，則p是q的 ( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【解答】 由題意知 f ′(x)=在（0，+∞）上恒成立.則恒成立.
當①
②
綜合①② 的最大值要小于-5，不妨設為c.
∴m≥c不可能推出m≥-5.但由m≥-5,可以推出m≥c.
故B正確.
11.已知點點在約束條件下，則的最大值為
12．如圖2所示，函數的圖象在點P處的切線方程是
，則 ， ．3；－1
13.佛山某公司生產陶瓷，根據歷年的情況可知，生產陶瓷每天的固定成本為14000元，每生產一件產品，成本增加210元．已知該產品的日銷售量與產量之間的關系式為
，每件產品的售價與產量之間的關系式為
．
（Ⅰ）寫出該陶瓷廠的日銷售利潤與產量之間的關系式；
（Ⅱ）若要使得日銷售利潤最大，每天該生產多少件產品，并求出最大利潤．
解：(Ⅰ)總成本為．
所以日銷售利潤
．
(Ⅱ)①當時，．令，解得或．于是在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以在時取到最大值，且最大值為30000；
②當時，．
綜上所述，若要使得日銷售利潤最大，每天該生產400件產品，其最大利潤為30000元．
14.已知函數，求經過點且與曲線相切的直線的方程。
解析一：點在曲線上，分兩種情況：（1）以為切點：，在點處切線是
，即；
（2）經過該點的切線：設切點，
， 或者寫成：。聯立方程組解得或，即．故所求切線的方程為或．
綜上，經過點且與曲線相切的直線的方程為或．
解析二：設切點，， ，聯立方程組，解得或，即．故所求切線的方程為或．
15.已知，
（1）求導數；
（2）若，求函數在上的最大值和最小值；
（3）若在和上都是單調遞增的，求的取值范圍
解：（1）
（2）由得，所以
令，得或－1，
，，
所以在上的最大值為，最小值為
（3）依題意只須，,
即，解得的取值范圍為［－２，２］
16．已知函數在是增函數,在(0,1)為減函數.
（I）求、的表達式；
（II）求證:當時,方程有唯一解；
(III）當時,若在∈內恒成立,求的取值范圍.
解: （I）依題意,即,.∵上式恒成立,∴ ①
又,依題意,即
,.∵上式恒成立,∴ ②由①②得.∴
（II）由(1)可知,方程
,
設,
令,并由得解知令由
列表分析:
(0,1)
1
(1,+()
-
0
+
遞減
0
遞增
知在處有一個最小值0,
當時,＞0,
∴在(0,+()上只有一個解.
即當x＞0時,方程有唯一解.
（III）設
,
在為減函數 又所以：為所求范圍.

展開更多......

收起↑