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第三部分 數 列
1、數列的概念：數列是一個定義域為 （或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函數，數列的通項公式也就是相應函數的 。
2.等差數列的有關概念：
（1）等差數列的判斷方法：定義法。
（2）等差數列的通項： 或。
（3）等差數列的前和： ，。
（4）等差中項：若成等差數列，則 。
3.等差數列的性質：
（1）當公差時，等差數列的通項公式是關于的 函數，且斜率為公差；前和是關于的 函數且常數項為0.
（2）若公差，則為單調 等差數列，若公差，則為單調 等差數列，若公差，則為常數列。
（3）當時,則有，特別地，當時，則有 .
（5）若等差數列、的前和分別為、，且，則.
(6)“首正”的遞減等差數列中，前項和的最大值是所有非負項之和；“首負”的遞增等差數列中，前項和的最小值是所有非正項之和。
法一：由不等式組確定出前多少項為非負（或非正）；
法二：因等差數列前項是關于的二次函數，故可轉化為求二次函數的最值，但要注意數列的特殊性。
4.等比數列的有關概念：
（1）等比數列的判斷方法：定義法
（2）等比數列的通項： 或。
（3）等比數列的前和：當時， ；
當時， 。表示：
提醒：等比數列前項和公式有兩種形式，為此在求等比數列前項和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比是否為1時，要對分和兩種情形討論求解。
（4）等比中項：若成等比數列，那么A=
提醒：不是任何兩數都有等比中項，只有同號兩數才存在等比中項，且有兩個。
5.等比數列的性質：
（1）當時，則有，特別地，當時，則有.
(2)若，則為單調 數列；若, 則為單調 數列；若 ，則為單調
數列；若, 則為單調 數列；若，則為擺動數列；若，則為常數列.
(3 當時，，這里，但
(4)整體思想研究等比數列的和：
(5)如果數列既成等差數列又成等比數列，那么數列是非零常數數列
6.數列的通項的求法：
⑴公式法：①等差數列通項公式；②等比數列通項公式。
⑵已知（即）求，
用作差法：。
⑶若求用 法：
。
（4）求，
用 法：。
⑹已知遞推關系求，用構造法（構造等差、等比數列）。特別地，
（1）形如、（為常數）的遞推數列都可以用待定系數法轉化為公比為的等比數列后，再求。
（2）形如的遞推數列都可以用倒數法求通項。
注意：（1）用求數列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？（，當時，）；
（2）一般地當已知條件中含有與的混合關系時，常需運用關系式，先將已知條件轉化為只含或的關系式，然后再求解。
7.數列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差數列求和公式；②等比數列求和公式，特別聲明：運用等比數列求和公式，務必檢查其公比與1的關系，必要時需分類討論
（2）分組求和法：
（3）若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯，則常可考慮選用 .
（4）如果數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相乘構成，那么常選用
（5）如果數列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯，那么常選用 求和.
（6）通項轉換法：先對通項進行變形，發現其內在特征，再運用分組求和法求和。
8. “分期付款”、“森林木材”型應用問題
(1)這類應用題一般可轉化為等差數列或等比數列問題.但在求解過程中，細心計算“年限”.對于“森林木材”既增長又砍伐的問題，則常選用“統一法”統一到“最后”解決.
(2)利率問題：
①單利問題：如零存整取儲蓄（單利）本利和計算模型：若每期存入本金元，每期利率為，則期后本利和為：
②復利問題：按揭貸款的分期等額還款（復利）模型：若貸款（向銀行借款）元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，分期還清。如果每期利率為（按復利），那么每期等額還款元應滿足：（等比數列）.
自測題
1、已知，則在數列的最大項為_ _
2.首項為-24的等差數列，從第10項起開始為正數，則公差的取值范圍是_____
3已知等差數列{an}中，a2+a8=8，則該數列前9項和S9等于（ ）。
A．18 B．27 C．36 D．45
4.數列{an}中，a1=2，a2=1，(n≥2，n∈N)，
則其通項公式為an= ．
5.設等差數列的公差不為0，．若是與的等比中項，則
6.{}與{}是兩個等差數列，它們的前項和分別為和，若，那么__________
7..若是等比數列，且，則＝
8.給定（n∈N*），定義乘積為整數的k（k∈N*）叫做“理想數”，則區間[1，2008]內的所有理想數的和為 ．
9.某人為了購買商品房，從2001年起，每年1月1日到銀行存入a元一年定期儲蓄，若年利率為p且保持不變，并約定每年到期存款及利息均自動轉存為新的一年定期存款，到2008年1月1日（當日不存只取）將所有的存款及利息全部取回(不計利息稅)，則可取回的錢的總數為 （元）
10.設等比數列的公比為，前項和為，若成等差數列，則的值為_____
11..數列滿足，求
12..已知，求
13. 如圖甲是第七屆國際數學教育大會（簡稱ICME－7）的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖乙的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖乙中的直角三角形繼續作下去，記的長度構成數列，則此數列的通項公式為
＝ ．


14..等比數列的前項和Sｎ＝2ｎ－１，
則＝_____
15.如上圖所示的流程圖，輸出的結果S是
16.設x、、、y成等差數列，x、、、y成等比數列，則的取值范圍是
17.數列中，，（是常數，），且成公比不為的等比數列．
（I）求的值；（II）求的通項公式．
18.已知數列的前項和．
(1) 求數列｛｝的通項公式；
(2)設，求數列｛｝的前項和．
19.設數列的前項和為，其中，為常數，且、、成等差數列．（Ⅰ）求的通項公式；
（Ⅱ）設，問：是否存在，使數列為等比數列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
20.已知是公差為的等差數列，它的前項和為,,．
（1）求公差的值；
（2）若，求數列中
的最大項和最小項的值；
（3）若對任意的，
都有成立，求的取值范圍．
21.已知直線與圓
交于不同點An、Bn,其中數列滿足：.0
（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）設求數列的前n項和.
第八部分 數 列（教案）
1、數列的概念：數列是一個定義域為正整數集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函數，數列的通項公式也就是相應函數的解析式。
2.等差數列的有關概念：
（1）等差數列的判斷方法：定義法或。
（2）等差數列的通項：或。
（3）等差數列的前和：，。
（4）等差中項：若成等差數列，則A叫做與的等差中項，且。
3.等差數列的性質：
（1）當公差時，等差數列的通項公式是關于的一次函數，且斜率為公差；前和是關于的二次函數且常數項為0.
（2）若公差，則為遞增等差數列，若公差，則為遞減等差數列，若公差，則為常數列。
（3）當時,則有，特別地，當時，則有.
（5）若等差數列、的前和分別為、，且，則.
(6)“首正”的遞減等差數列中，前項和的最大值是所有非負項之和；“首負”的遞增等差數列中，前項和的最小值是所有非正項之和。
法一：由不等式組確定出前多少項為非負（或非正）；
法二：因等差數列前項是關于的二次函數，故可轉化為求二次函數的最值，但要注意數列的特殊性。上述兩種方法是運用了哪種數學思想？（函數思想），由此你能求一般數列中的最大或最小項嗎？
4.等比數列的有關概念：
（1）等比數列的判斷方法：定義法，其中或
。
（2）等比數列的通項：或。
（3）等比數列的前和：當時，；當時，。
特別提醒：等比數列前項和公式有兩種形式，為此在求等比數列前項和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比是否為1時，要對分和兩種情形討論求解。
（4）等比中項：若成等比數列，那么A叫做與的等比中項。提醒：不是任何兩數都有等比中項，只有同號兩數才存在等比中項，且有兩個。
5.等比數列的性質：
（1）當時，則有，特別地，當時，則有.
(2)若，則為遞增數列；若, 則為遞減數列；若 ，則為遞減數列；若, 則為遞增數列；若，則為擺動數列；若，則為常數列.
(3 當時，，這里，但
(4) 整體思想研究等比數列的和：
(5)如果數列既成等差數列又成等比數列，那么數列是非零常數數列，故常數數列僅是此數列既成等差數列又成等比數列的必要非充分條件。
6.數列的通項的求法：
⑴公式法：①等差數列通項公式；②等比數列通項公式。
⑵已知（即）求，用作差法：。
⑶若求用累加法：
。
（4）求，用累乘法：
。
⑹已知遞推關系求，用構造法（構造等差、等比數列）。特別地，（1）形如、（為常數）遞推數列都可以用待定系數法轉化為公比為等比數列后，再求。（2）形如的遞推數列都可以用倒數法求通項。
注意：（1）用求數列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？（，當時，）；
（2）一般地當已知條件中含有與的混合關系時，常需運用關系式，先將已知條件轉化為只含或的關系式，然后再求解。
7.數列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差數列求和公式；②等比數列求和公式，特別聲明：運用等比數列求和公式，務必檢查其公比與1的關系，必要時需分類討論
（2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和.
（3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯，則常可考慮選用倒序相加法，發揮其共性的作用求和（這也是等差數列前和公式的推導方法）.
（4）錯位相減法：如果數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相乘構成，那么常選用錯位相減法（這也是等比數列前和公式的推導方法）.
（5）裂項相消法：如果數列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯，那么常選用裂項相消法求和.
（6）通項轉換法：先對通項進行變形，發現其內在特征，再運用分組求和法求和。
8. “分期付款”、“森林木材”型應用問題
(1)這類應用題一般可轉化為等差數列或等比數列問題.但在求解過程中，務必“卡手指”，細心計算“年限”.對于“森林木材”既增長又砍伐的問題，則常選用“統一法”統一到“最后”解決.
(2)利率問題：①單利問題：如零存整取儲蓄（單利）本利和計算模型：若每期存入本金元，每期利率為，則期后本利和為：（等差）
②復利問題：按揭貸款的分期等額還款（復利）模型：若貸款（向銀行借款）元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，分期還清。如果每期利率為（按復利），那么每期等額還款元應滿足：（等比）.
自測題
1、（答：）；2.（答：）3。C 解：在等差數列{an}中，a2+a8=8，∴ ，則該數列前9項和S9==36，故選擇答案C；4答案：．5.an=（n+8）d,a,∴（k+8）2d2=9d(2k+8)d.∴k=4.；6.（答：）；7..（答：－1）；8.答案：2026．
換底公式：．為整數，，m∈N*．k分別可取，最大值≤2008，m最大可取10，故和為22+23+…+210-18=2026．
9.；10.（答：－2）；11..（答：）
12..（答：）；13.（答：）；
14..答：）； 15. 5 16.答案：(-∞，0∪4，+∞).
解析依題意，，，
則.
又≥2|xy|，若xy>0，則≥2xy，于是≥，故≥4，當且僅當x=y時取“=”號；若xy<0，
則≥-2xy，于是≤，
故≤0，當且僅當x=-y時取“=”號.綜上所述，
的取值范圍是(-∞，0∪4，+∞).
17解：（I），，，
因為，，成等比數列，所以，解得或．當時，，不符合題意舍去，故．
（II）當時，由于，，
，
所以．
又，，故．
當時，上式也成立，所以．
18.解：(1)時，;當
．
(2) 設｛｝的前項和為，當時，
；時，
，
＝

19.解：（Ⅰ）依題意，得．于是，當時，有
．兩式相減，得（）．
又因為，，所以數列是首項為、公比為3的等比數列．因此，（）；（Ⅱ）因為，所以．
要使為等比數列，當且僅當，即．
20．解：（1）∵，∴
解得（2）∵，∴數列的通項公式為
∴∵函數
在和上分別是單調減函數，
∴當時，∴數列中的最大項是，最小項是（2）由得
又函數在和上分別是單調減函數，且時；時.
∵對任意的，都有，∴ ∴
∴的取值范圍是
21.（1）圓心到直線的距離，

（2）
相減得
自測題
1、已知，則在數列的最大項為__
（答：）；
2.首項為-24的等差數列，從第10項起開始為正數，則公差的取值范圍是______（答：）
3已知等差數列{an}中，a2+a8=8，則該數列前9項和S9等于（ ）。
A．18 B．27 C．36 D．45
3.C 解：在等差數列{an}中，a2+a8=8，∴ ，則該數列前9項和S9==36，
故選擇答案C
4.數列{an}中，a1=2，a2=1，(n≥2，n∈N)，
則其通項公式為an= ▲ ．
答案：．
5.設等差數列的公差不為0，．若是與的等比中項，則（ ）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8
解答：B 由題意得，an=（n+8）d,a,
∴（k+8）2d2=9d(2k+8)d.∴k=4.
6.{}與{}是兩個等差數列，它們的前項和分別為和，若，那么___________（答：）
7..若是等比數列，且，則＝ （答：－1）
8.給定（n∈N*），定義乘積為整數的k（k∈N*）叫做“理想數”，則區間[1，2008]內的所有理想數的和為 ▲ ．
答案：2026．
換底公式：．為整數，，m∈N*．k分別可取，最大值≤2008，m最大可取10，故和為22+23+…+210-18=2026．
9.某人為了購買商品房，從2001年起，每年1月1日到銀行存入a元一年定期儲蓄，若年利率為p且保持不變，并約定每年到期存款及利息均自動轉存為新的一年定期存款，到2008年1月1日（當日不存只取）將所有的存款及利息全部取回(不計利息稅)，則可取回的錢的總數為 （元）
10.設等比數列的公比為，前項和為，若成等差數列，則的值為_____（答：－2）
11..數列滿足，求（答：）
12..已知，求（答：）；
13.
14..等比數列的前項和Sｎ＝2ｎ－１，
則＝_____（答：）；
15.如圖所示的流程圖，輸出的結果S是 5
16.設x、、、y成等差數列，x、、、y成等比數列，則的取值范圍是
答案：(-∞，0∪4，+∞).
解析依題意，，，
則.
又≥2|xy|，若xy>0，則≥2xy，于是≥，故≥4，當且僅當x=y時取“=”號；若xy<0，
則≥-2xy，于是≤，
故≤0，當且僅當x=-y時取“=”號.綜上所述，
的取值范圍是(-∞，0∪4，+∞).
17.數列中，，（是常數，），且成公比不為的等比數列．
（I）求的值；（II）求的通項公式．
解：（I），，，
因為，，成等比數列，
所以，
解得或．
當時，，不符合題意舍去，故．
（II）當時，由于
，
，
，
所以．
又，，故．
當時，上式也成立，
所以．
18.已知數列的前項和．
(1) 求數列｛｝的通項公式；
(2)設，求數列｛｝的前項和．
18.解：(1)時，;
當
．
(2) 設｛｝的前項和為，當時，
；
時，，
＝
19..解：（Ⅰ）依題意，得．于是，當時，有
．
兩式相減，得（）．
又因為，，所以數列是首項為、公比為3的等比數列．
因此，（）；
（Ⅱ）因為，所以
．
要使為等比數列，當且僅當，即．
20.已知是公差為的等差數列，它的前項和為,,．
（1）求公差的值；
（2）若，求數列中的最大項和最小項的值；
（3）若對任意的，都有成立，求的取值范圍．
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20．解：（1）∵，∴
解得
（2）∵，∴數列的通項公式為
∴
∵函數在和上分別是單調減函數，
∴當時，
∴數列中的最大項是，最小項是
（2）由得
又函數在和上分別是單調減函數，
且時；時.
∵對任意的，都有，∴ ∴
∴的取值范圍是
21.已知直線與圓
交于不同點An、Bn,其中數列滿足：.0
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設求數列的前n項和.
（1）圓心到直線的距離，
（2）
相減得

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