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第四部分 三角函數(shù)、三角恒等變換
1．弧長公式： ；扇形面積公式：.
弧度， 弧度，弧度
2．三角函數(shù)定義：角中邊上任意一點為，設(shè)則：
三角函數(shù)符號規(guī)律：
“一全正，二正弦，三兩切，四余弦”
3．三角函數(shù)線的特征是：
正弦線
“站在軸上(起點在軸上)”、
余弦線 “躺在軸上(起點是原點)”、
正切線 “站在點處(起點是)”.
4.特殊角的三角函數(shù)值：
30°
45°
60°
0°
90°
180°
5．誘導(dǎo)公式記憶規(guī)律：“函數(shù)名不（改）變，符號看象限”；
； ； ；
； ； ； ； ； ；
； ； ；
； ； ； ； ； ；
； ； ；
； ； ； ； ； ；
誘導(dǎo)公式（）可簡記為：奇變偶不變，符號看象限. 其中奇是指 .偶是指 . 變是指 .看符號時要將（不論具體是多少度）一律視為銳角.
6．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：
（1）平方關(guān)系： ；
（2）倒數(shù)關(guān)系
（3）商數(shù)關(guān)系：
7．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：

.
.
. .
=
= .
注意：輔助角公式：()
9．三角函數(shù)的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是：
“一角二名三結(jié)構(gòu)”。即首先觀察角與角之間的關(guān)系；第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通常“切化弦”；第三觀察代數(shù)式結(jié)構(gòu)特點。
（1）巧變角：如，，，，等；
(2)三角函數(shù)名互化(切割化弦)；
(3)三角函數(shù)次數(shù)的降升：
降冪公式： ，
與升冪公式： ，
(4) 常值變換主要指“1”的變換（
(5)正余弦“三姊妹—”



10、正余弦函數(shù)、的性質(zhì)：
（1）定義域：R。
（2）值域：都是，
對，當 時，取最大值1；
當 時，取最小值－1；
對，當 時，取最大值1，
當 時，取最小值－1。
（3）周期性：
①、的最小正周期都是
②和的最小正周期都是 。
（4）奇偶性與對稱性：
正弦函數(shù)是 函數(shù)，對稱中心是 ，對稱軸是直線 ；
余弦函數(shù)是 函數(shù)，對稱中心是
，對稱軸是直線
（正(余)弦型函數(shù)的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于軸的直線，對稱中心為圖象與軸的交點）。
（5）單調(diào)性： 上單調(diào)遞增，
在 單調(diào)遞減；
在 上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增。提醒，別忘了！在整個定義域上不具有單調(diào)性，也不能說在第幾象限內(nèi)單調(diào)。
11、形如的函數(shù)：
（1）幾個物理量：A―振幅；―頻率（周期的倒數(shù)）；
―相位；―初相；
（2）函數(shù)表達式的確定：
A由最值確定；由周期確定；由圖象上的特殊點確定
（3）函數(shù)圖象的畫法：
①“五點法”――設(shè)，令＝0，求出相應(yīng)的值，計算得出五點的坐標，描點后得出圖象；
②圖象變換法：
(1)將圖象上的點沿軸向 或向 平移 個單位，得到函數(shù) 的圖象，再將橫坐標伸長（或縮短）到原來的 倍，到函數(shù) 的圖象，最后將縱坐標伸長（或縮短）到原來的 倍，得到簡圖.
(2)將圖象上點的橫坐標伸長（或縮短）到原來的 倍，到函數(shù) 的圖象，再沿軸向 或向 平移 個單位，得到函數(shù) 的圖象，最后將縱坐標伸長（或縮短）到原來的 倍，得到簡圖.
（4）研究函數(shù)性質(zhì)的方法：
只需將中的看成中的，但在求的單調(diào)區(qū)間時，要特別注意A和的符號，通過誘導(dǎo)公式先將化正。
12、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)：
（1）定義域： 。遇到有關(guān)正切函數(shù)問題時，注意到正切函數(shù)的定義域
（2）值域是 ；（3）周期性： 。
絕對值或平方對三角函數(shù)周期性的影響：一般說來，某一周期函數(shù)解析式加絕對值或平方，其周期性是：弦減半、切不變．
既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對值，其周期性不變，其它不定。 如的周期都是 , 但的周期為 ，而
，，的周期 ；
（4）奇偶性與對稱性：是 函數(shù)，對稱中心是
， ，特別提醒：正(余)切型函數(shù)的對稱中心有兩類：一類是圖象與軸的交點，另一類是漸近線與軸的交點，但無對稱軸，這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處。
（5）單調(diào)性：正切函數(shù)在開區(qū)間
內(nèi)都是增函數(shù)。但要注意在整個定義域上不具有單調(diào)性。
自測題
1. 若，則點位于第 象限
2. 函數(shù)（）的值域是____
3.要得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象向___平移____個單位
4. 若對任意實數(shù)t，都有．記，則
5. 已知，則
6. 設(shè)函數(shù)，若對任意都有
成立，則的最小值為____
7. 已知函數(shù)的最大值是４，最小值是０，最小正周期是，直線是其圖象的一條對稱軸，則下面各式中符合條件的解析式是
8. 有一種波，其波形為函數(shù)的圖象，若其區(qū)間[0，t]上至少有2個波峰（圖象的最高點），則正整數(shù)t的最小值是
9. 函數(shù)的最小正周期T=
10. 函數(shù)f(x)=的值域為______________。
11. 若，，則的終邊在第 象限.
12. 在中，若 ，，則 。
13.、是方程的兩個根，且
，則
14.若則的值等于
15.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 ．
16.已知函數(shù)，求函數(shù)圖象上與坐標原點最近的對稱中心的坐標 。
17.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）A． B． C． D．
18.已知函數(shù)
（I）求的定義域； （II）求的值域；
19.已知是三角形三內(nèi)角，向量
，且（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求.
第三部分 三角函數(shù)、三角恒等變換（教案）
1．弧長公式：；扇形面積公式：.
弧度，弧度，弧度
2．三角函數(shù)定義：
3．三角函數(shù)線的特征是：正弦線MP“站在軸上(起點在軸上)”、余弦線OM“躺在軸上(起點是原點)”、正切線AT“站在點處(起點是)”.
4.特殊角的三角函數(shù)值：
30°
45°
60°
0°
90°
180°
0
1
0
1
0
－1
1
0
0
5．誘導(dǎo)公式記憶規(guī)律：“函數(shù)名不（改）變，符號看象限”；
誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：
（1）負角變正角，再寫成2k+,；
(2)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。
誘導(dǎo)公式的質(zhì)是：奇變偶不變（對而言，指取奇數(shù)或偶數(shù)），符號看象限（看原函數(shù)，同時可把看成是銳角）
6．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：
（1）平方關(guān)系：；
（2）倒數(shù)關(guān)系：tancot=1,（3）商數(shù)關(guān)系：
7．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：
①
②
③ 。
④；
⑤；
⑥。
(其中角所在的象限由a, b的符號確定，角的值由確定)在求最值、化簡時起著重要作用。
9．三角函數(shù)的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是：
“一角二名三結(jié)構(gòu)”。即首先觀察角與角之間的關(guān)系；第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通常“切化弦”；第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點。
（1）巧變角：如，，，，等；
(2)三角函數(shù)名互化(切割化弦)；
(3)三角函數(shù)次數(shù)的降升(降冪公式：，與升冪公式：，)。
(4) 常值變換主要指“1”的變換等），
(5) 正余弦“三姊妹—”――“知一求二”
10、正余弦函數(shù)、的性質(zhì)：
（1）定義域：R。
（2）值域：都是，對，當時，取最大值1；當時，取最小值－1；對，當時，取最大值1，當時，取最小值－1。
（4）奇偶性與對稱性：
正弦函數(shù)是奇函數(shù)，對稱中心是，對稱軸是直線；余弦函數(shù)是偶函數(shù)，對稱中心是，對稱軸是直線（正(余)弦型函數(shù)的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于軸的直線，對稱中心為圖象與軸的交點）。
（5）單調(diào)性：上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。
11、形如的函數(shù)：
（1）幾個物理量：A―振幅；―頻率（周期的倒數(shù)）；―相位；―初相；
（2）函數(shù)表達式的確定：A由最值確定；由周期確定；由圖象上的特殊點確定
（3）函數(shù)圖象的畫法：
①“五點法”――設(shè)，令＝0，求出相應(yīng)的值，計算得出五點的坐標，描點后得出圖象；
②函數(shù)的圖象與圖象間的關(guān)系：①函數(shù)的圖象縱坐標不變，橫坐標向左（>0）或向右（<0）平移個單位得的圖象；②函數(shù)圖象的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼模玫胶瘮?shù)的圖象；③函數(shù)圖象的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到函數(shù)的圖象；④函數(shù)圖象的橫坐標不變，縱坐標向上（）或向下（），得到的圖象。要特別注意，若由得到的圖象，則向左或向右平移應(yīng)平移個單位，
（4）研究函數(shù)性質(zhì)的方法：類比于研究的性質(zhì)，只需將中的看成中的，但在求的單調(diào)區(qū)間時，要特別注意A和的符號，通過誘導(dǎo)公式先將化正。
12、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)：
（1）定義域：。遇到有關(guān)正切函數(shù)問題時，你注意到正切函數(shù)的定義域了嗎？
（2）值域是R，在上面定義域上無最大值也無最小值；
（3）周期性：是周期函數(shù)且周期是，它與直線的兩個相鄰交點之間的距離是一個周期。絕對值或平方對三角函數(shù)周期性的影響：一般說來，某一周期函數(shù)解析式加絕對值或平方，其周期性是：弦減半、切不變．既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對值，其周期性不變，其它不定。如的周期都是, 但的周期為，而
，的周期不變；
（4）奇偶性與對稱性：是奇函數(shù)，對稱中心是，特別提醒：正(余)切型函數(shù)的對稱中心有兩類：一類是圖象與軸的交點，另一類是漸近線與軸的交點，但無對稱軸，這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處。
（5）單調(diào)性：正切函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)。但要注意在整個定義域上不具有單調(diào)性。

自測題
1.第四象限2.（答：[－1, 2]）；3.（答：左；）；4.－1
5. 7/8；6.（答：2）；7. ；8. 7
9.答案：．10.正解：：令，,從而
11. 根據(jù)所以的終邊在第二象限，即；但是，所以，得
。所以，的終邊在第 四 象限
12.。但是，。根據(jù)正弦定理，，所以，。而角B是銳角，所以。===。
13.解析：根據(jù)韋達定理+=，=4，容易得到，。所以，所以。，
14.解析：，
=或1，
2=或1。但是當時，，故舍去。所以的值等于。
15.解析：，
即。因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．
16.令,
,解得函數(shù)的圖象有兩類型的對稱中心。當時，得到距離原點較近的兩個對成中心平移到坐標原點， 其中最近的是。
17.解析：原函數(shù)可化為。因為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，，則函數(shù)增區(qū)間滿足，即。所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，。因此，在區(qū)間上，只有單調(diào)遞增。答案D。
18.解：（I）由得，所以的定義域為.
（II）
。因為，所以，。雖然，，但是函數(shù)定義域內(nèi)畢竟還有來填補，使得，因此原函數(shù)的值域。所以，的值域是。
19.解：（Ⅰ）∵, ∴ , 即.
, .∵, ∴ . ∴.
（Ⅱ）由題知，
整理得
∴ ∴.∴或.
而使，舍去. ∴.
∴
.
自測題（備用）
1. 若，則點位于第四象限
2. 函數(shù)（）的值域是____（答：[－1, 2]）；
3.要得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象向___平移____個單位（答：左；）；
4. 若對任意實數(shù)t，都有．記，則－1
5. 已知，則 7/8
6. 設(shè)函數(shù)，若對任意都有
成立，則的最小值為____（答：2）
7. 已知函數(shù)的最大值是４，最小值是０，最小正周期是，直線是其圖象的一條對稱軸，則下面各式中符合條件的解析式是
8. 有一種波，其波形為函數(shù)的圖象，若其區(qū)間[0，t]上至少有2個波峰（圖象的最高點），則正整數(shù)t的最小值是7
9. 函數(shù)的最小正周期T= 答案：．
10. 函數(shù)f(x)=的值域為______________。
正解：：令，,從而
11. 若，，則的終邊在第 象限.
解析：根據(jù)所以的終邊在第二象限，即；但是，所以，得
。所以，的終邊在第 四 象限
12. 在中，若 ，，則 。
解析：。但是，。根據(jù)正弦定理，，所以，。而角B是銳角，所以。===。
13.、是方程的兩個根，且
，則
解析：根據(jù)韋達定理+=，=4，容易得到，。所以，所以。，
14.若則的值等于
解析：，
=或1，
2=或1。但是當時，，故舍去。所以的值等于。
15.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 ．
解析：，即。因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．
16.已知函數(shù)，求函數(shù)圖象上與坐標原點最近的對稱中心的坐標。
令,
,解得函數(shù)的圖象有兩類型的對稱中心。當時，得到距離原點較近的兩個對成中心平移到坐標原點， 其中最近的是。
17.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
解析：原函數(shù)可化為。因為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，，則函數(shù)增區(qū)間滿足，即
。所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，。因此，在區(qū)間上，只有單調(diào)遞增。答案D。
18.已知函數(shù)
（I）求的定義域； （II）求的值域；
解：（I）由得，所以的定義域為.
（II）
。因為，所以，。雖然，，但是函數(shù)定義域內(nèi)畢竟還有來填補，使得，因此原函數(shù)的值域。
所以，的值域是。
19.已知是三角形三內(nèi)角，向量，且（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求.
解：（Ⅰ）∵, ∴ , 即.
, .∵, ∴ . ∴.
（Ⅱ）由題知，
整理得
∴ ∴.∴或.
而使，舍去. ∴.
∴
.

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