資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題二十九 直線的方程
知識歸納
一、直線的傾斜角和斜率
1．直線的傾斜角
若直線與軸相交，則以軸正方向為始邊，繞交點逆時針旋轉直至與重合所成的角稱為直線的傾斜角，通常用表示
（1）若直線與軸平行（或重合），則傾斜角為
（2）傾斜角的取值范圍
2．直線的斜率
設直線的傾斜角為，則的正切值稱為直線的斜率，記為
（1）當時，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的
（2）所有的直線均有傾斜角，但是不是所有的直線均有斜率
（3）斜率與傾斜角都是刻畫直線的傾斜程度，但就其應用范圍，斜率適用的范圍更廣（與直線方程相聯系）
（4）越大，直線越陡峭
（5）傾斜角與斜率的關系
當時，直線平行于軸或與軸重合；
當時，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨的增大而增大；
當時，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨的增大而減小；
3．過兩點的直線斜率公式
已知直線上任意兩點，，則
（1）直線的斜率是確定的，與所取的點無關．
（2）若，則直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°
4．三點共線．
兩直線的斜率相等→三點共線；反過來，三點共線，則直線的斜率相等（斜率存在時）或斜率都不存在．
二、直線的方程
1．直線的截距
若直線與坐標軸分別交于，則稱分別為直線的橫截距，縱截距
（1）截距：可視為直線與坐標軸交點的簡記形式，其取值可正，可負，可為0（不要顧名思義誤認為與“距離”相關）
（2）橫縱截距均為0的直線為過原點的非水平非豎直直線
2．直線方程的五種形式
名稱 方程 適用范圍
點斜式 不含垂直于軸的直線
斜截式 不含垂直于軸的直線
兩點式 不含直線和直線
截距式 不含垂直于坐標軸和過原點的直線
一般式 平面直角坐標系內的直線都適用
3．求曲線（或直線）方程的方法：
在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：
（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個點，或者一點一斜率
（2）間接法：若題目條件與所求要素聯系不緊密，則考慮先利用待定系數法設出曲線方程，然后再利用條件解出參數的值（通常條件的個數與所求參數的個數一致）
4．線段中點坐標公式
若點的坐標分別為且線段的中點的坐標為，
則，此公式為線段的中點坐標公式．
5．兩直線的夾角公式
若直線與直線的夾角為，則.
典例分析
題型一、傾斜角與斜率的計算
【例1-1】（多選題）下列四個命題中，錯誤的有（ ）
A．若直線的傾斜角為，則
B．直線的傾斜角的取值范圍為
C．若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為
D．若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為
【答案】ACD
【解析】因為直線的傾斜角的取值范圍是，即，所以，
當時直線的斜率，故A、C均錯誤；B正確；
對于D：若直線的斜率，此時直線的傾斜角為，故D錯誤.
【例1-2】過點的直線的傾斜角為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】過A、B的斜率為，則該直線的傾斜角為．
【例1-3】若，，三點共線，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于、、三點共線，則，即，解得.
【例1-4】如圖，設直線，，的斜率分別為，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由斜率的定義可知，.
【例1-5】若，且為第二象限角，則角的終邊落在直線（ ）上.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由為第二象限角可得，則，
則角的終邊落在直線即上.
【例1-6】已知直線的方程為，則直線的傾斜角范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由直線的方程為，所以，
即直線的斜率，由.
所以 ，又直線的傾斜角的取值范圍為，
由正切函數的性質可得：直線的傾斜角為.
【例1-7】設直線的方程是傾斜角為.若，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】直線的方程是傾斜角為，
當時，直線的斜率不存在，則；當時，.
若，則，求得；
若，則，求得.
綜上可得，的取值范圍為.
【例1-8】已知直線l經過點，兩點，則直線l的斜率為______；若，則直線l的傾斜角的取值范圍為______．
【答案】 或.
【解析】由題易知直線l的斜率存在，故.
則，
當且僅當，即時，等號成立.
所以或，即直線l的傾斜角的取值范圍是或.
故答案為：；或.
【例1-9】已知直線：，點，，若直線與線段相交，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直線方程變形得：.
由得，∴直線恒過點，，，
由圖可知直線的斜率的取值范圍為：或，又，
∴或，即或，
又時直線的方程為，仍與線段相交，
∴的取值范圍為.
【例1-10】已知點在直線上，且滿足，則的取值范圍為_______．
【答案】
【解析】如圖，作出直線及，
它們的交點為，
直線上滿足的點在點右下方，
，又直線的斜率為，，
由圖可得的范圍是．
故答案為：．
【例1-11】點在函數的圖象上，當時，的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因為點在函數的圖象上，所以時， ；當時，；
故設 ，而可看作函數的圖象上的點與點 （-1，-2）連線的斜率，
故時，,而 ,所以
【例1-12】若直線與直線的交點位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】當時，兩直線平行，無交點，不合題意，故，
由，得，則兩直線的交點為，
依題意得，解得，
所以直線l的傾斜角的取值范圍是.
【例1-13】，，，，，一束光線從點出發射到上的點，經反射后，再經反射，落到線段上（不含端點），則的斜率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設直線方程為，
則，解得，即，即，
設關于直線對稱的點為，
則，解得，即，，
同理可得：點關于直線的對稱點為，
點關于直線的對稱點為，
如圖所示：利用光線反射的性質可知，當這束光線反射后最終經過點時，
則其先經過點；當這束光線反射后最終經過點時，則其先經過點；
所以點之間為點的變動范圍，
因為，，所以直線，即直線斜率不存在，而，
所以，即.故選：D
【例1-14】（多選題）已知直線：，直線：，過點的直線與，的交點分別為.且，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】因為，所以，且直線與直線之間的距離.
設直線的傾斜角為，斜率，所以，
又，所以直線的傾斜角為或.
當直線的傾斜角為時，設斜率為，
則，
所以直線的方程為，即；
當直線的傾斜角為時，設斜率為，
則.
所以直線的方程為，即.故選：AC.
題型二、直線的方程
【例2-1】下列四個命題中真命題有_________個．
①經過定點的直線都可以用方程表示；
②經過任意兩點的直線都可以用方程表示；
③不經過原點的直線都可以用方程表示；
④經過定點的直線都可以用方程表示．
【答案】1
【解析】①由于直線過定點，當直線斜率存在時，可用方程表示，
當直線斜率不存在時，方程是，①不正確；
②當時，經過任意兩個不同的點的直線方程是，滿足方程，
當時，經過任意兩個不同的點的直線的斜率是，
則直線方程是，整理得，②正確；
③當直線斜率不存在時，不經過原點的直線方程是，不可以用方程表示，
當直線的斜率存在時，不經過原點的直線可以用方程表示，③不正確；
④當直線斜率不存在時，經過點的直線方程是，不可以用方程表示，
當直線的斜率存在時，經過點的直線可以用方程表示，④不正確，
所以給定的4個命題中，真命題只有1個.
【例2-2】過兩點和的直線在y軸上的截距為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題可知直線方程為：，即，
令x=0，則，故直線在y軸上的截距為.
【例2-3】已知直線和直線都過點，則過點和點的直線方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】把坐標代入兩條直線和,得,,
,過點,的直線的方程是：,
,則,
,,
所求直線方程為：．
【例2-4】已知直線在兩坐標軸上的截距相等，則實數（ ）
A．1 B． C．或1 D．2或1
【答案】D
【解析】當時，直線，此時不符合題意，應舍去；
當時，直線，在軸與軸上的截距均為0，符合題意；
當且，由直線可得：橫截距為，縱截距為.
由，解得：.
故的值是2或1.
【例2-5】已知直線不通過第一象限，則實數的取值范圍__________．
【答案】
【解析】由題意得直線恒過定點，且斜率為，
∵直線不通過第一象限，∴，解得，
故實數的取值范圍是．
【例2-6】直線經過第一、二、四象限，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】因為直線經過第一、二、四象限，則該直線的斜率，可得，
該直線在軸上的截距，可得.
故選：C.
【例2-7】（多選題）過點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】當截距為0時，過點和原點，直線方程為，即，
當截距不為0時，設直線方程為，可得，
∴，所以直線方程為.
【例2-8】（多選題）過點，并且在兩軸上的截距互為相反數的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】若直線過原點，則直線的方程為，
將點代入得，所以直線方程為，即；
若直線不過原點，根據題意，設直線方程為，
將點代入得，故直線的方程為；
所以直線的方程為：或．
【例2-9】已知直線的傾斜角為，且在軸上的截距為，則直線的方程為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率，
又直線在軸上的截距為，所以直線的方程為.
【例2-10】過點P(0,1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P平分，則直線l的方程為_________．
【答案】x＋4y－4＝0
【解析】
設l1與l的交點為A(a,8－2a)，求得關于的對稱點坐標，利用對稱點在直線上求得，即得點坐標，從而得直線方程．
【詳解】
設l1與l的交點為A(a,8－2a)，則由題意知，點A關于點P的對稱點B(－a,2a－6)在l2上，
代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，
即點A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.
故答案為：x＋4y－4＝0.
題型三、直線的平行與垂直問題
【例3-1】已知，若直線與直線垂直，則的最小值為（ ）
A．1 B．3 C．8 D．9
【答案】D
【解析】由題可知，兩條直線斜率一定存在，
又因為兩直線垂直，所以斜率乘積為，
即，即，整理可得，
所以，
當且僅當時，等號成立；因此的最小值為.故選：D
【例3-2】是直線與直線垂直的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】若直線與直線垂直，
則，解得或，
所以由能夠推出兩直線垂直，故充分性成立；
由兩直線垂直得不到，故必要性不成立，
故是直線與直線垂直的充分不必要條件.
【例3-3】若直線與直線平行，其中、均為正數，則的最小值為______．
【答案】4
【解析】由已知兩直線平行可得，則，
因為、均為正數，利用基本不等式可得，
當且僅當時，等號成立.
故的最小值為.
【例3-4】函數在處的切線與直線平行，則a＝______．
【答案】1
【解析】因為，所以，
所以函數在處的切線斜率為，
因為該切線與直線平行，故，解得
題型四、兩直線的夾角問題
【例4-1】直線與的夾角為________．
【答案】
【解析】直線的斜率，即傾斜角滿足，
直線的斜率，即傾斜角滿足，
所以，所以，
又兩直線夾角的范圍為，所以兩直線夾角為.
【例4-2】兩條直線，的夾角平分線所在直線的方程是________．
【答案】
【解析】因為直線的傾斜角為，的傾斜角為，
且由解得兩直線的交點坐標為，
所以可設兩直線夾角平分線所在直線的方程為：．
∴，解得，即兩直線夾角平分線所在直線的方程為：．
【例4-3】已知直線，，若直線l過且與直線m n在第一象限圍成一個等腰銳角三角形，則直線l的斜率是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】根據題意，設直線的斜率為，
直線，，兩直線相交于點，
設，點在直線上，直線與直線相交于點，
為等腰銳角三角形，則，則，
故必為頂點，必有，則有，必有，解可得：或，
則．
【例4-4】若等腰直角三角形一條直角邊所在直線的斜率為，則斜邊所在直線的斜率為（ ）
A．或2 B．或3 C．或4 D．或5
【答案】C
【解析】因為等腰直角三角形一條直角邊所在直線的斜率為，即，
設其傾斜角為，則，
因為斜邊與直角邊的傾斜角相差45°，則斜邊的傾斜角為或，
所以，，
所以斜邊所在直線的斜率為或4．
題型五、直線過定點問題
【例5-1】直線經過的定點坐標是______．
【答案】
【解析】把直線的方程改寫成：，
由方程組，解得：，所以直線總過定點.
【例5-2】已知實數m，n滿足，則直線必過定點________________．
【答案】
【解析】由已知得，代入直線得，即，
由，解得，直線必過定點.
【例5-3】對任意的實數，，直線恒經過的一個定點的坐標是________．
【答案】
【解析】由直線整理得
對任意的實數，，直線恒經過的一個定點.
所以，解得
由點代入直線，
滿足
所以點在直線上，
即直線恒過定點
【例5-4】已知直線恒過定點A，點A在直線上，其中m、n均為正數，則的最小值為（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】C
【解析】由，得．
∴直線恒過定點，即，
∵點A在直線上，∴，
∴，
當且僅當，即時取等號．∴的最小值為：8．
【例5-5】已知向量，，且.若點的軌跡過定點，則這個定點的坐標是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為，故，整理得到：，故定點為：.
【例5-6】已知直線 ：過定點，若直線被直線和軸截得的線段恰好被定點平分，求的值.
【解析】
則直線過定點
設直線與直線交于點，與軸交于點，
依題意為中點在中,
令，則，即
所以，
即，將其代入直線中可得
解之得
題型六、軌跡方程
【例6-1】直線＝1與x，y軸交點的連線的中點的軌跡方程是________．
【答案】x＋y＝1(x≠0，x≠1)
【解析】
【詳解】
直線＋＝1與x，y軸的交點為A(a,0)，B(0,2－a)，
設AB的中點為M(x，y)，
則x＝，y＝1－，
消去a，得x＋y＝1．
∵a≠0且a≠2，∴x≠0且x≠1．
【例6-2】在平面直角坐標系中，設三角形ABC的頂點坐標分別為，點在線段OA上（異于端點），設均為非零實數，直線分別交于點E，F，一同學已正確算出的方程：，請你求OF的方程：__________________________．
【答案】
【解析】由截距式可得直線，直線，兩式相減得，顯然直線AB與CP的交點F滿足此方程，又原點O也滿足此方程，故為所求的直線OF的方程．
【例6-3】直角坐標系中，已知兩點，，點滿足，其中，且．則點的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，且λ+μ＝1，
得，
∴，即，則C、A、B三點共線．
設C（x，y），則C在AB所在的直線上，
∵A（2，1），B（4，5），
∴AB所在直線方程為 ，整理得：．
故的軌跡方程為：．
例61．（2022·全國·高三專題練習）過點作兩條互相垂直的直線，若交軸于點，交軸于點，求線段的中點的軌跡方程.
【解析】設M（x，y），連結MP，則A（2x，0），B（0，2y），
∵l1⊥l2，∴△PAB為直角三角形，
化簡，得x＋2y－5＝0，此即M的軌跡方程.
綜上可知，點M的軌跡方程為x＋2y－5＝0.
題型七、直線與坐標軸圍成的三角形問題
【例7-1】在平面直角坐標系中，直線與坐標軸分別交于點，，則下列選項中錯誤的是（ ）
A．存在正實數使得△面積為的直線l恰有一條
B．存在正實數使得△面積為的直線l恰有二條
C．存在正實數使得△面積為的直線l恰有三條
D．存在正實數使得△面積為的直線l恰有四條
【答案】A
【解析】由題意，直線與軸、軸交點分別為，，
∴，作出其圖象如圖所示，
由圖知，當時，有兩解；當時，有三解；當時，有四解.
【例7-2】已知過定點直線在兩坐標軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直線可變為，所以過定點，又因為直線在兩坐標軸上的截距都是正值，可知，
令，所以直線與軸的交點為，
令，所以直線與軸的交點為，
所以，
當且僅當即時取等，所以此時直線為：.
故選：C.
【例7-3】已知點、，設過點的直線l與的邊AB交于點M（其中點M異于A、B兩點），與邊OB交于N（其中點N異于O、B兩點），若設直線l的斜率為k．
(1)試用k來表示點M和N的坐標；
(2)求的面積S關于直線l的斜率k的函數關系式；
(3)當k為何值時，S取得最大值？并求此最大值．
【解析】(1)由已知得直線l斜率存在，設．
由，得；又，所以.
由，得．
(2).
(3)設，則．
，
當且僅當時，等號成立．
【例7-4】直線l過點，且分別與軸正半軸交于、B兩點，O為原點.
(1)當面積最小時，求直線l的方程；
(2)求的最小值及此時直線l的方程.
【解析】(1)設直線，且
∵直線過點
則
當且僅當即時取等號
所以的最小值為，
直線1即.
(2)由
∴，
當且僅當即時取等號，
∴此時直線,
故的最小值為9，此時直線l的方程.
【例7-5】設直線的方程為．
(1)若在兩坐標軸上的截距相等，求的一般式方程；
(2)若與軸正半軸的交點為，與軸負半軸的交點為，求為坐標原點）面積的最小值．
【解析】(1)對于直線的方程為，
當直線經過原點時，，求得，此時它的方程為；
當直線不經過原點時，它的方程即，由于它兩坐標軸上的截距相等，
故有，求得，它的方程為，
綜上可得，的一般式方程為，或．
(2)因為，令，則，令，則，所以，，
與軸正半軸的交點為，與軸負半軸的交點為，
的橫坐標，的縱坐標，求得．
所以
，當且僅當時取等號，
故為坐標原點）面積的最小值為6．
【例7-6】過點作直線分別交軸、軸的正半軸于，兩點．
(1)當取最小值時，求出最小值及直線的截距式方程；
(2)當取最小值時，求出最小值及直線的截距式方程．
【解析】(1)根據題意可設直線l的方程為,則,
直線l過點,,
又(當且僅當,即時取等號),
,即,
的最小值為8,此時直線l的截距式方程為.
(2)由（1）可知,,則,
(當且僅當,即時取等號).
的最小值為4,此時直線l的截距式方程為.
【例7-7】已知，為實數，過原點分別作直線，的垂線，垂足分別為， .
（1）若，且直線與軸、軸交于,兩點，當面積最小時，求實數的值；
（2）若直線過點，設直線與的交點為，求證：點在一條直線上.
【解析】（1）
直線，
令，
令，
，
，
當時，，
面積最小時，實數的值為；
（2）原點的直線距離為，
同理原點的直線距離為，所以為圓的切線，
為切點，直線過點，且直線與相交于，
不在軸上，設，
所以直線化為，整理得，
同理方程為，設與的交點為，
所以有，
所以直線方程為，且過點，
，即點在直線上.
【例7-8】已知直線：．
（1）求經過的定點坐標；
（2）若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點．
①的面積為，求的最小值和此時直線的方程；
②當取最小值時，求直線的方程．
【解析】（1）由可得：，
由可得，所以經過的定點坐標；
（2）直線：，
令可得；令，可得，
所以，
由可得：，
①的面積
，
當且僅當即時等號成立，的最小值為，
此時直線的方程為：即；
②設直線的傾斜角為，則，可得，，
所以，
令，
因為，可得，，
，
將兩邊平方可得：，
所以，
所以，
因為在上單調遞增，所以
，所以，此時，
可得，所以，
所以直線的方程為.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀教育網(www.21cnjy.com)
" 21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
專題二十九 直線的方程
知識歸納
一、直線的傾斜角和斜率
1．直線的傾斜角
若直線與軸相交，則以軸正方向為始邊，繞交點逆時針旋轉直至與重合所成的角稱為直線的傾斜角，通常用表示
（1）若直線與軸平行（或重合），則傾斜角為
（2）傾斜角的取值范圍
2．直線的斜率
設直線的傾斜角為，則的正切值稱為直線的斜率，記為
（1）當時，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的
（2）所有的直線均有傾斜角，但是不是所有的直線均有斜率
（3）斜率與傾斜角都是刻畫直線的傾斜程度，但就其應用范圍，斜率適用的范圍更廣（與直線方程相聯系）
（4）越大，直線越陡峭
（5）傾斜角與斜率的關系
當時，直線平行于軸或與軸重合；
當時，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨的增大而增大；
當時，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨的增大而減小；
3．過兩點的直線斜率公式
已知直線上任意兩點，，則
（1）直線的斜率是確定的，與所取的點無關．
（2）若，則直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°
4．三點共線．
兩直線的斜率相等→三點共線；反過來，三點共線，則直線的斜率相等（斜率存在時）或斜率都不存在．
二、直線的方程
1．直線的截距
若直線與坐標軸分別交于，則稱分別為直線的橫截距，縱截距
（1）截距：可視為直線與坐標軸交點的簡記形式，其取值可正，可負，可為0（不要顧名思義誤認為與“距離”相關）
（2）橫縱截距均為0的直線為過原點的非水平非豎直直線
2．直線方程的五種形式
名稱 方程 適用范圍
點斜式 不含垂直于軸的直線
斜截式 不含垂直于軸的直線
兩點式 不含直線和直線
截距式 不含垂直于坐標軸和過原點的直線
一般式 平面直角坐標系內的直線都適用
3．求曲線（或直線）方程的方法：
在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：
（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直接法則需找到兩個點，或者一點一斜率
（2）間接法：若題目條件與所求要素聯系不緊密，則考慮先利用待定系數法設出曲線方程，然后再利用條件解出參數的值（通常條件的個數與所求參數的個數一致）
4．線段中點坐標公式
若點的坐標分別為且線段的中點的坐標為，
則，此公式為線段的中點坐標公式．
5．兩直線的夾角公式
若直線與直線的夾角為，則.
典例分析
題型一、傾斜角與斜率的計算
【例1-1】（多選題）下列四個命題中，錯誤的有（ ）
A．若直線的傾斜角為，則
B．直線的傾斜角的取值范圍為
C．若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為
D．若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為
【例1-2】過點的直線的傾斜角為（ ）
A． B． C．1 D．
【例1-3】若，，三點共線，則（ ）
A． B． C． D．
【例1-4】如圖，設直線，，的斜率分別為，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【例1-5】若，且為第二象限角，則角的終邊落在直線（ ）上.
A． B． C． D．
【例1-6】已知直線的方程為，則直線的傾斜角范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【例1-7】設直線的方程是傾斜角為.若，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【例1-8】已知直線l經過點，兩點，則直線l的斜率為______；若，則直線l的傾斜角的取值范圍為______．
【例1-9】已知直線：，點，，若直線與線段相交，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【例1-10】已知點在直線上，且滿足，則的取值范圍為_______．
【例1-11】點在函數的圖象上，當時，的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【例1-12】若直線與直線的交點位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例1-13】，，，，，一束光線從點出發射到上的點，經反射后，再經反射，落到線段上（不含端點），則的斜率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例1-14】（多選題）已知直線：，直線：，過點的直線與，的交點分別為.且，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
題型二、直線的方程
【例2-1】下列四個命題中真命題有_________個．
①經過定點的直線都可以用方程表示；
②經過任意兩點的直線都可以用方程表示；
③不經過原點的直線都可以用方程表示；
④經過定點的直線都可以用方程表示．
【例2-2】過兩點和的直線在y軸上的截距為（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】已知直線和直線都過點，則過點和點的直線方程是（ ）
A． B． C． D．
【例2-4】已知直線在兩坐標軸上的截距相等，則實數（ ）
A．1 B． C．或1 D．2或1
【例2-5】已知直線不通過第一象限，則實數的取值范圍__________．
【例2-6】直線經過第一、二、四象限，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例2-7】（多選題）過點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為（ ）
A． B． C． D．
【例2-8】（多選題）過點，并且在兩軸上的截距互為相反數的直線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【例2-9】已知直線的傾斜角為，且在軸上的截距為，則直線的方程為（　　）
A． B．
C． D．
【例2-10】過點P(0,1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P平分，則直線l的方程為_________．
題型三、直線的平行與垂直問題
【例3-1】已知，若直線與直線垂直，則的最小值為（ ）
A．1 B．3 C．8 D．9
【例3-2】是直線與直線垂直的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【例3-3】若直線與直線平行，其中、均為正數，則的最小值為______．
【例3-4】函數在處的切線與直線平行，則a＝______．
題型四、兩直線的夾角問題
【例4-1】直線與的夾角為________．
【例4-2】兩條直線，的夾角平分線所在直線的方程是________．
【例4-3】已知直線，，若直線l過且與直線m n在第一象限圍成一個等腰銳角三角形，則直線l的斜率是（ ）
A． B． C． D．2
【例4-4】若等腰直角三角形一條直角邊所在直線的斜率為，則斜邊所在直線的斜率為（ ）
A．或2 B．或3 C．或4 D．或5
題型五、直線過定點問題
【例5-1】直線經過的定點坐標是______．
【例5-2】已知實數m，n滿足，則直線必過定點________________．
【例5-3】對任意的實數，，直線恒經過的一個定點的坐標是________．
【例5-4】已知直線恒過定點A，點A在直線上，其中m、n均為正數，則的最小值為（ ）
A．4 B． C．8 D．
【例5-5】已知向量，，且.若點的軌跡過定點，則這個定點的坐標是（ ）
A． B．
C． D．
【例5-6】已知直線 ：過定點，若直線被直線和軸截得的線段恰好被定點平分，求的值.
題型六、軌跡方程
【例6-1】直線＝1與x，y軸交點的連線的中點的軌跡方程是________．
【例6-2】在平面直角坐標系中，設三角形ABC的頂點坐標分別為，點在線段OA上（異于端點），設均為非零實數，直線分別交于點E，F，一同學已正確算出的方程：，請你求OF的方程：__________________________．
【例6-3】直角坐標系中，已知兩點，，點滿足，其中，且．則點的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
例61．過點作兩條互相垂直的直線，若交軸于點，交軸于點，求線段的中點的軌跡方程.
題型七、直線與坐標軸圍成的三角形問題
【例7-1】在平面直角坐標系中，直線與坐標軸分別交于點，，則下列選項中錯誤的是（ ）
A．存在正實數使得△面積為的直線l恰有一條
B．存在正實數使得△面積為的直線l恰有二條
C．存在正實數使得△面積為的直線l恰有三條
D．存在正實數使得△面積為的直線l恰有四條
【例7-2】已知過定點直線在兩坐標軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【例7-3】已知點、，設過點的直線l與的邊AB交于點M（其中點M異于A、B兩點），與邊OB交于N（其中點N異于O、B兩點），若設直線l的斜率為k．
(1)試用k來表示點M和N的坐標；
(2)求的面積S關于直線l的斜率k的函數關系式；
(3)當k為何值時，S取得最大值？并求此最大值．
【例7-4】直線l過點，且分別與軸正半軸交于、B兩點，O為原點.
(1)當面積最小時，求直線l的方程；
(2)求的最小值及此時直線l的方程.
【例7-5】設直線的方程為．
(1)若在兩坐標軸上的截距相等，求的一般式方程；
(2)若與軸正半軸的交點為，與軸負半軸的交點為，求為坐標原點）面積的最小值．
【例7-6】過點作直線分別交軸、軸的正半軸于，兩點．
(1)當取最小值時，求出最小值及直線的截距式方程；
(2)當取最小值時，求出最小值及直線的截距式方程．
【例7-7】已知，為實數，過原點分別作直線，的垂線，垂足分別為， .
（1）若，且直線與軸、軸交于,兩點，當面積最小時，求實數的值；
（2）若直線過點，設直線與的交點為，求證：點在一條直線上.
【例7-8】已知直線：．
（1）求經過的定點坐標；
（2）若直線交軸負半軸于點，交軸正半軸于點．
①的面積為，求的最小值和此時直線的方程；
②當取最小值時，求直線的方程．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀教育網(www.21cnjy.com)
" 21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑