資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題三十一 直線與圓、圓與圓的位置關系
知識歸納
一、直線與圓的位置關系
直線與圓的位置關系有3種，相離，相切和相交
二、直線與圓的位置關系判斷
（1）幾何法（圓心到直線的距離和半徑關系）
圓心到直線的距離，則：
直線與圓相交，交于兩點，；
直線與圓相切；
直線與圓相離
（2）代數方法（幾何問題轉化為代數問題即交點個數問題轉化為方程根個數）
由，
消元得到一元二次方程，判別式為，則：
直線與圓相交；
直線與圓相切；
直線與圓相離．
三、兩圓位置關系的判斷
用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關系確定，具體是：
設兩圓的半徑分別是，（不妨設），且兩圓的圓心距為，則：
兩圓相交；
兩圓外切；
兩圓相離
兩圓內切；
兩圓內含（時兩圓為同心圓）
設兩個圓的半徑分別為，，圓心距為，則兩圓的位置關系可用下表來表示：
位置關系 相離 外切 相交 內切 內含
幾何特征
代數特征 無實數解 一組實數解 兩組實數解 一組實數解 無實數解
公切線條數 4 3 2 1 0
方法技巧與總結
關于圓的切線的幾個重要結論
（1）過圓上一點的圓的切線方程為．
（2）過圓上一點的圓的切線方程為
（3）過圓上一點的圓的切線方程為
（4）求過圓外一點的圓的切線方程時，應注意理解：
①所求切線一定有兩條；
②設直線方程之前，應對所求直線的斜率是否存在加以討論．設切線方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關于的方程，求出值．若求出的值有兩個，則說明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的值只有一個，則說明斜率不存在的情形符合題意．
典例分析
題型一、直線與圓的相交關系（含弦長、面積問題）
【例1-1】已知直線與圓C：相交于點A，B，若是正三角形，則實數（ ）
A．－2 B．2 C． D．
【例1-2】（多選題）已知圓：，直線：，則下列說法正確的是（ ）
A．當時，直線與圓相離
B．若直線是圓的一條對稱軸，則
C．已知點為圓上的動點，若直線上存在點，使得，則的最大值為
D．已知，，為圓上不同于的一點，若，則的最大值為
【例1-3】（多選題）設有一組圓，下列命題正確的是（ ）
A．不論k如何變化，圓心始終在一條直線上
B．存在圓經過點（3，0）
C．存在定直線始終與圓相切
D．若圓上總存在兩點到原點的距離為1，則
【例1-4】（多選題）已知直線，圓，則下列結論正確的有（ ）
A．若，則直線恒過定點
B．若，則圓可能過點
C．若，則圓關于直線對稱
D．若，則直線與圓相交所得的弦長為2
【例1-5】（多選題）已知圓，直線，P為直線l上的動點，過點P作圓M的切線，切點為A，B，則下列說法正確的是（ ）
A．四邊形面積的最小值為4
B．當直線的方程為時，最小
C．已知圓上有且僅有兩點到直線l的距離相等且為d，則
D．若動直線，且交圓M于C、D兩點，且弦長，則直線縱截距的取值范圍為
【例1-6】（多選題）已知圓的方程為，則（ ）
A．若過點的直線被圓截得的弦長為，則該直線方程為
B．圓上的點到直線的最大距離為
C．在圓上存在點，使得到點的距離為
D．圓上的任一點到兩個定點、的距離之比為
【例1-7】（多選題）已知圓的圓心在直線上，且與相切于點，過點作圓的兩條互相垂直的弦AE、BF．則下列結論正確的是( )
A．圓的方程為：
B．弦AE的長度的最大值為
C．四邊形ABEF面積的最大值為
D．該線段AE、BF的中點分別為M、N，直線MN恒過定點
【例1-8】若圓上至少有三個不同點到直線的距離為，則的取值
范圍 ．
【例1-9】已知動點到點的距離是到點的距離的2倍，記點的軌跡為，直線交于，兩點，，若的面積為2，則實數的值為___________.
【例1-10】在平面直角坐標系xOy中，過點的直線l與圓相交于M，N兩點，若，則直線l的斜率為__________.
【例1-11】在平面直角坐標系中，點，直線-1），動點滿足，則動點的軌跡的方程為______，若的對稱中心為與交于兩點，則的方程為面積的最大值為______．
【例1-12】已知直線：和圓：.
（1）求圓的圓心、半徑
（2）求證：無論為何值，直線總與圓有交點；
（3）為何值時，直線被圓截得的弦最短？求出此時的弦長.
【方法技巧與總結】
（1）研究直線與圓的相交問題，應牢牢記住三長關系，即半徑長、弦心距和半徑之間形成的數量關系．
（2）弦長問題
①利用垂徑定理：半徑，圓心到直線的距離，弦長具有的關系，這也是求弦長最常用的方法．
②利用交點坐標：若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間的距離公式計算弦長．
③利用弦長公式：設直線，與圓的兩交點，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數關系得弦長：．
題型二、直線與圓的相切關系、切點弦問題
【例2-1】過點與圓相切的直線是_________．
【例2-2】已知圓O：則，過點作圓的切線，則切線的方程為___________.
【例2-3】已知圓：，為過的圓的切線，為上任一點，過作圓：的切線，則切線長的最小值是__________.
【例2-4】已知直線與圓相切，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例2-5】過點作圓的兩條切線，切點分別為、，則直線的方程為_______．
【例2-6】已知點Q是直線：上的動點，過點Q作圓：的切線，切點分別為A，B，則切點弦AB所在直線恒過定點___________.
【例2-7】已知直線是圓：的對稱軸，過點作圓的一條切線，切點為，則等于（ ）
A．2 B． C． D．
【例2-8】已知圓，點P是直線上的動點，過P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則的最小值為______．
【例2-9】已知直線，若P為l上的動點，過點P作的切線，切點為A、B，當最小時，直線的方程為__________.
【例2-10】設P為直線上的動點，過點P作圓C：的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形PACB面積的最小值為（ ）．
A． B． C． D．2
【例2-11】已知是半徑為1的動圓上一點，為圓上一動點，過點作圓的切線，切點分別為，，則當取最大值時，△的外接圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【例2-12】（多選題）已知直線，過直線上任意一點M作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則有（ ）
A．四邊形MACB面積的最小值為 B．最大度數為60°
C．直線AB過定點 D．的最小值為
【方法技巧與總結】
（1）圓的切線方程的求法
①點在圓上，
法一：利用切線的斜率與圓心和該點連線的斜率的乘積等于，即．
法二：圓心到直線的距離等于半徑．
②點在圓外，則設切線方程：，變成一般式：，因為與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．
注意：因為此時點在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個根，若方程只有一個根，則還有一條切線的斜率不存在，務必要把這條切線補上．
（2）常見圓的切線方程
過圓上一點的切線方程是；
過圓上一點的切線方程是．
過圓外一點作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為
過曲線上，做曲線的切線，只需把替換為，替換為，替換為，替換為即可，因此可得到上面的結論．
題型三、直線與圓的相離關系
【例3-1】由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為
A． B． C． D．
【例3-2】已知點為圓上的動點，則點到直線的距離的最小值為　 ．
【例3-3】已知點是直線上一動點，、是圓的兩條切線，、是切點，若四邊形的最小面積是2，則的值為　 　．
【例3-5】（多選題）已知點在圓上，點，，則（ ）
A．點到直線的距離最大值為
B．滿足的點有3個
C．過點作圓的兩切線，切點分別為 ，則直線的方程為
D．的最小值是
題型四、圓與圓的位置關系
【例4-1】圓與圓的位置關系為（ ）
A．相交 B．內切 C．外切 D．相離
【例4-2】在平面直角坐標系中，圓：與圓：，則兩圓的公切線的條數是（ ）
A．4條 B．3條 C．2條 D．1條
【例4-3】圓與圓至少有三條公切線，則m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【例4-4】已知圓，圓圓與圓相切，并且兩圓的一條外公切線的斜率為7，則為_________.
【例4-5】寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．
【例4-6】已知點在圓：上，點，，滿足的點的個數為（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【例4-7】若圓上總存在兩個點到點的距離為2，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【例4-8】已知圓，圓，若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，使得，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【例4-9】已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為（ ）
A．3 B．8 C．4 D．9
【例4-10】下列方程中，圓與圓的公切線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【例4-11】圖為世界名畫《蒙娜麗莎》.假設蒙娜麗莎微笑時的嘴唇可看作半徑為的圓的一段圓弧，且弧所對的圓周角為.設圓的圓心在點與弧中點的連線所在直線上.若存在圓滿足：弧上存在四點滿足過這四點作圓的切線，這四條切線與圓也相切，則弧上的點與圓上的點的最短距離的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
題型五、兩圓的公共弦問題
【例5-1】圓與圓公共弦所在直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【例5-2】已知圓與圓的公共弦所在直線恒過點P，則點P的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【例5-3】圓與的公共弦長為（ ）
A． B． C． D．
【例5-4】設點P為直線上的點，過點P作圓C：的兩條切線，切點分別為A，B，當四邊形PACB的面積取得最小值時，此時直線AB的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【例5-5】已知圓與圓交于不同的，兩點，下列結論正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【例5-5】已知圓與圓相交于點，，則四邊形的面積是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
題型六、與圓有關的最值問題
【例6-1】若為圓上的動點，當到直線的距離取得最大值時，直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】已知點在直線上，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則圓心到直線的距離的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．
【例6-3】在平面直角坐標系中，為原點，已知，設動點滿足，動點滿足，則的最大值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【例6-4】若M，N為圓上任意兩點，P為直線上一個動點，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【例6-5】已知實數滿足.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值.
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專題三十一 直線與圓、圓與圓的位置關系
知識歸納
一、直線與圓的位置關系
直線與圓的位置關系有3種，相離，相切和相交
二、直線與圓的位置關系判斷
（1）幾何法（圓心到直線的距離和半徑關系）
圓心到直線的距離，則：
直線與圓相交，交于兩點，；
直線與圓相切；
直線與圓相離
（2）代數方法（幾何問題轉化為代數問題即交點個數問題轉化為方程根個數）
由，
消元得到一元二次方程，判別式為，則：
直線與圓相交；
直線與圓相切；
直線與圓相離．
三、兩圓位置關系的判斷
用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關系確定，具體是：
設兩圓的半徑分別是，（不妨設），且兩圓的圓心距為，則：
兩圓相交；
兩圓外切；
兩圓相離
兩圓內切；
兩圓內含（時兩圓為同心圓）
設兩個圓的半徑分別為，，圓心距為，則兩圓的位置關系可用下表來表示：
位置關系 相離 外切 相交 內切 內含
幾何特征
代數特征 無實數解 一組實數解 兩組實數解 一組實數解 無實數解
公切線條數 4 3 2 1 0
方法技巧與總結
關于圓的切線的幾個重要結論
（1）過圓上一點的圓的切線方程為．
（2）過圓上一點的圓的切線方程為
（3）過圓上一點的圓的切線方程為
（4）求過圓外一點的圓的切線方程時，應注意理解：
①所求切線一定有兩條；
②設直線方程之前，應對所求直線的斜率是否存在加以討論．設切線方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關于的方程，求出值．若求出的值有兩個，則說明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的值只有一個，則說明斜率不存在的情形符合題意．
典例分析
題型一、直線與圓的相交關系（含弦長、面積問題）
【例1-1】已知直線與圓C：相交于點A，B，若是正三角形，則實數（ ）
A．－2 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】設圓的半徑為，由可得，
因為是正三角形，所以點到直線的距離為
即，兩邊平方得，
【例1-2】（多選題）已知圓：，直線：，則下列說法正確的是（ ）
A．當時，直線與圓相離
B．若直線是圓的一條對稱軸，則
C．已知點為圓上的動點，若直線上存在點，使得，則的最大值為
D．已知，，為圓上不同于的一點，若，則的最大值為
【答案】ABD
【解析】當時，直線：，圓心，半徑，圓心到直線的距離，
所以直線與圓心相離，故A正確；
若直線是圓的一條對稱軸，則直線過圓的圓心，即，解得，故B正確；
當與圓相切時，取得最大值，只需此時，
即時，故圓心到直線的距離，解得，故C錯誤；
設的中點為，，則，，
故，
當且僅當且點在點正上方時，等號成立，故D正確．
【例1-3】（多選題）設有一組圓，下列命題正確的是（ ）
A．不論k如何變化，圓心始終在一條直線上
B．存在圓經過點（3，0）
C．存在定直線始終與圓相切
D．若圓上總存在兩點到原點的距離為1，則
【答案】ACD
【解析】根據題意，圓，其圓心為，半徑為2，
對于A，圓心為，其圓心在直線上，A正確；
對于B，圓，
將代入圓的方程可得，
化簡得，，方程無解，
所以不存在圓經過點，B錯誤；
對于C，存在直線，即或，
圓心到直線或的距離，
這兩條直線始終與圓相切，C正確，
對于D，若圓上總存在兩點到原點的距離為1，問題轉化為圓與圓有兩個交點，
圓心距為，則有，解可得：或，D正確．
【例1-4】（多選題）已知直線，圓，則下列結論正確的有（ ）
A．若，則直線恒過定點
B．若，則圓可能過點
C．若，則圓關于直線對稱
D．若，則直線與圓相交所得的弦長為2
【答案】ACD
【解析】當時，點恒在上，故選項正確；
當時，將點代入，得，該方程無解，故選項錯誤；
當時，直線恒過圓的圓心，故選項C正確；
當時，與相交所得的弦長為2，故選項D正確.
【例1-5】（多選題）已知圓，直線，P為直線l上的動點，過點P作圓M的切線，切點為A，B，則下列說法正確的是（ ）
A．四邊形面積的最小值為4
B．當直線的方程為時，最小
C．已知圓上有且僅有兩點到直線l的距離相等且為d，則
D．若動直線，且交圓M于C、D兩點，且弦長，則直線縱截距的取值范圍為
【答案】ACD
【解析】四邊形面積的最小值即為時，而，，所以，A正確；
當直線的方程為時，此時最小，最大，且為，B錯誤；
圓上點到直線l的距離取值范圍為，除去最遠以及最近距離外均有兩點到直線的距離相等，即為，C正確；
設M到直線的距離為d，因為，且，所以，則，
設，即，所以，D正確．
【例1-6】（多選題）已知圓的方程為，則（ ）
A．若過點的直線被圓截得的弦長為，則該直線方程為
B．圓上的點到直線的最大距離為
C．在圓上存在點，使得到點的距離為
D．圓上的任一點到兩個定點、的距離之比為
【答案】BD
【解析】圓的圓心為，半徑為.
對于A選項，若過點的直線的斜率不存在，則該直線的方程為，
由勾股定理可知，圓心到直線的距離為，
而圓心到直線的距離為，合乎題意.
若所求直線的斜率存在，設直線的方程為，
則圓心到直線的距離為，解得，
此時直線的方程為.
綜上所述，滿足條件的直線的方程為或，A錯；
對于B選項，圓心到直線的距離為，
因此，圓上的點到直線的最大距離為，B對；
對于C選項，記點，，即點在圓內，
且，如下圖所示：
當、、三點不共線時，根據三角形三邊關系可得
，即，
當、、三點共線且當點在線段上時，，
當、、三點共線且當點在線段上時，.
綜上所述，，C錯；
對于D選項，設點，則，即，
整理可得，即點的軌跡為圓，D對.
【例1-7】（多選題）已知圓的圓心在直線上，且與相切于點，過點作圓的兩條互相垂直的弦AE、BF．則下列結論正確的是( )
A．圓的方程為：
B．弦AE的長度的最大值為
C．四邊形ABEF面積的最大值為
D．該線段AE、BF的中點分別為M、N，直線MN恒過定點
【答案】AD
【解析】設圓心為C，圓的半徑為r，
由題可知，，
∴圓的方程為：，故A正確；
當AE過圓心C時，AE長度最長為圓的直徑4，故B錯誤；
如圖，線段AE、BF的中點分別為M、N，設，
則，
，，
，
∴時，四邊形ABEF面積有最大值，故C錯誤；
∵四邊形MDNC為矩形，則MN與CD互相平分，即MN過CD中點()，故D正確.
【例1-8】若圓上至少有三個不同點到直線的距離為，則的取值范圍__．
【答案】
【解析】由圓的標準方程，
可得圓心坐標為，半徑為，
圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，
則圓心到直線的距離應不大于等于，即，
整理得，解得，
即實數的取值范圍是.
【例1-9】已知動點到點的距離是到點的距離的2倍，記點的軌跡為，直線交于，兩點，，若的面積為2，則實數的值為___________.
【答案】或1
【解析】設，則有
整理得，即點的軌跡為以為圓心以2為半徑的圓
點到直線的距離
直線交于，兩點，則
則的面積，解之得或
【例1-10】在平面直角坐標系xOy中，過點的直線l與圓相交于M，N兩點，若，則直線l的斜率為__________.
【答案】
【解析】由題意得，直線的斜率存在，設，，直線MN的方程為，與聯立，得，，得，，.因為，所以，則，于是，（由點A及C在y軸上可判斷出，同號）
所以，兩式消去，得，滿足，所以.
【例1-11】在平面直角坐標系中，點，直線-1），動點滿足，則動點的軌跡的方程為______，若的對稱中心為與交于兩點，則的方程為面積的最大值為______．
【答案】
【解析】設，由題意得，
化簡得的方程為，；
直線的方程可化為，由
解得，所以直線過定點，
又，所以點在圓的內部；
作直線，垂足為，
設，易求，所以，
所以，
所以，
所以當，即時，.
【例1-12】已知直線：和圓：.
（1）求圓的圓心、半徑
（2）求證：無論為何值，直線總與圓有交點；
（3）為何值時，直線被圓截得的弦最短？求出此時的弦長.
【解析】（1）因為
所以，，所以，
所以半徑.
（2）由得，
由得，所以直線經過定點，
因為，所以定點在圓內，
所以無論為何值，直線總與圓有交點.
（3）設圓心到直線的距離為，直線被圓截得的弦為，
則，則當最大值時，弦長最小，
因為，當且僅當時，取最大值，
取最小值，此時，所以.
所以時，直線被圓截得的弦最短，弦長為.
【方法技巧與總結】
（1）研究直線與圓的相交問題，應牢牢記住三長關系，即半徑長、弦心距和半徑之間形成的數量關系．
（2）弦長問題
①利用垂徑定理：半徑，圓心到直線的距離，弦長具有的關系，這也是求弦長最常用的方法．
②利用交點坐標：若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間的距離公式計算弦長．
③利用弦長公式：設直線，與圓的兩交點，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數關系得弦長：．
題型二、直線與圓的相切關系、切點弦問題
【例2-1】過點與圓相切的直線是_________．
【答案】
【解析】由題意，因為，所以點在圓上，
所以過點與圓相切的直線的斜率，
所以切線方程為，即.
【例2-2】已知圓O：則，過點作圓的切線，則切線的方程為___________.
【答案】或.
【解析】由題意：當切線斜率不存在時，方程為：，滿足與圓相切，
當斜率存在時，設切線方程為：，
則，解得，此時切線方程為：，即.
【例2-3】已知圓：，為過的圓的切線，為上任一點，過作圓：的切線，則切線長的最小值是__________.
【答案】
【解析】由題，直線的斜率為，故直線的斜率為，故的方程為，
即.又到的距離，故切線長的最小值是.
【例2-4】已知直線與圓相切，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由圓的方程，則其圓心為，半徑為，
由直線方程，整理可得，則，
整理可得，由配方法可得，
，，
由，則，即，解得.
【例2-5】過點作圓的兩條切線，切點分別為、，則直線的方程為_______．
【答案】
【解析】方法1：由題知，圓的圓心為，半徑為，
所以過點作圓的兩條切線，切點分別為、，
所以，
所以直線的方程為，即；
方法2：設，，則由，可得，同理可得，
所以直線的方程為.
【例2-6】已知點Q是直線：上的動點，過點Q作圓：的切線，切點分別為A，B，則切點弦AB所在直線恒過定點___________.
【答案】(1，－1)
【解析】由題意可設Q的坐標為(m，n)，則m－n－4＝0，即m＝n＋4，
過點Q作圓O：的切線，切點分別為A，B，
則切點弦AB所在直線方程為mx＋ny－4＝0，又由m＝n＋4，
則直線AB的方程變形可得nx＋ny＋4x－4＝0，則有，解得，
則直線AB恒過定點(1，－1).
【例2-7】已知直線是圓：的對稱軸，過點作圓的一條切線，切點為，則等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】圓即，圓心為，半徑為，
由題意可知過圓的圓心，
則，解得，點的坐標為，
作示意圖如圖所示：
，切點為，則，
所以．
【例2-8】已知圓，點P是直線上的動點，過P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則的最小值為______．
【答案】
【解析】圓，即，
由于PA，PB分別切圓C于點A，B，則，
，，所以，
因為，所以，
又，所以，
所以，即，
所以最短時，最短，
點C到直線的距離即為的最小值，
所以，所以的最小值為
【例2-9】已知直線，若P為l上的動點，過點P作的切線，切點為A、B，當最小時，直線的方程為__________.
【答案】
【解析】的圓心，半徑，
四邊形面積，
要使最小，則需最小，
當與直線垂直時，最小，此時直線的方程為，
聯立，解得，則以為直徑的圓的方程為，
則兩圓方程相減可得直線的方程為．
【例2-10】設P為直線上的動點，過點P作圓C：的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形PACB面積的最小值為（ ）．
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】圓的方程為：，圓心、半徑.
根據對稱性可知，四邊形PACB的面積為，
要使四邊形面積最小，則最需最小，
即最小時為圓心到直線，
所以四邊形PACB的面積的最小值為.
【例2-11】已知是半徑為1的動圓上一點，為圓上一動點，過點作圓的切線，切點分別為，，則當取最大值時，△的外接圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，則動圓心的軌跡方程為.
EMBED Equation.DSMT4 為圓上的動點，又，∴，
∵，，，∴，
∴當最小時，最小，當最大時，最大.
當時，取最大值，
△的外接圓以線段為直徑，
而中點，即中點為，
∴外接圓方程為，即.
【例2-12】（多選題）已知直線，過直線上任意一點M作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則有（ ）
A．四邊形MACB面積的最小值為 B．最大度數為60°
C．直線AB過定點 D．的最小值為
【答案】AD
【解析】對于A選項，由題意可知，
當時，有最小值，即，此時，
所以四邊形MACB面積的最小值為，故選項A正確；
對于B選項，當時，最大，此時，
此時，故選項B錯誤；
對于C選項，設點，，，則，
易知在點A、B處的切線方程分別為，，
將點分別代入兩切線方程得，，
所以直線方程為，整理得，
代入，得，
解方程組得所以直線AB過定點，故選項C錯誤；
對于D選項，設直線AB所過定點為P，則，當時，弦長最小，此時，則的最小值為，故選項D正確.
【方法技巧與總結】
（1）圓的切線方程的求法
①點在圓上，
法一：利用切線的斜率與圓心和該點連線的斜率的乘積等于，即．
法二：圓心到直線的距離等于半徑．
②點在圓外，則設切線方程：，變成一般式：，因為與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．
注意：因為此時點在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個根，若方程只有一個根，則還有一條切線的斜率不存在，務必要把這條切線補上．
（2）常見圓的切線方程
過圓上一點的切線方程是；
過圓上一點的切線方程是．
過圓外一點作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為
過曲線上，做曲線的切線，只需把替換為，替換為，替換為，替換為即可，因此可得到上面的結論．
題型三、直線與圓的相離關系
【例3-1】由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】要使切線長最小，需直線上的點和圓心之間的距離最短，
此最小值即為圓心到直線的距離，，
故切線長的最小值為．
【例3-2】已知點為圓上的動點，則點到直線的距離的最小值為　 ．
【答案】
【解析】圓心到直線的距離等于，
故圓上的動點到直線的距離的最小值為．
【例3-3】已知點是直線上一動點，、是圓的兩條切線，、是切點，若四邊形的最小面積是2，則的值為　2　．
【答案】2
【解析】圓的圓心，半徑是，
由圓的性質知：，四邊形的最小面積是2，
的最小值是切線長）
圓心到直線的距離就是的最小值，
，
【例3-5】（多選題）已知點在圓上，點，，則（ ）
A．點到直線的距離最大值為
B．滿足的點有3個
C．過點作圓的兩切線，切點分別為 ，則直線的方程為
D．的最小值是
【答案】ACD
【解析】對A，，則圓心到直線的距離，所以點P到該直線距離的最大值為．A正確；
對B，設點，則，且，由題意，
兩圓的圓心距為，半徑和與半徑差分別為，于是，即兩圓相交，滿足這樣條件的點P有2個．B錯誤；
對C，設，則直線MB，NB分別為，因為點B在兩條直線上，所以，于是都滿足直線方程，即直線MN的方程為．C正確；
對D，即求的最小值，設存在定點，使得點在圓上任意移動時均有，設，則有，化簡得，∵，
則有，即，∴，則，
所以，所以D正確．
題型四、圓與圓的位置關系
【例4-1】圓與圓的位置關系為（ ）
A．相交 B．內切 C．外切 D．相離
【答案】A
【解析】由與圓，
可得圓心，半徑，
則，且，
所以，所以兩圓相交.
【例4-2】在平面直角坐標系中，圓：與圓：，則兩圓的公切線的條數是（ ）
A．4條 B．3條 C．2條 D．1條
【答案】A
【解析】圓：的圓心，半徑，
圓：的圓心，半徑，
，顯然，即圓與圓外離，
所以兩圓的公切線的條數是4.
【例4-3】圓與圓至少有三條公切線，則m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】將化為標準方程得，即圓心為半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
因為圓與圓至少有三條公切線，
所以兩圓的位置關系為外切或相離，
所以，即，解得.
【例4-4】已知圓，圓圓與圓相切，并且兩圓的一條外公切線的斜率為7，則為_________.
【答案】
【解析】根據題意作出如下圖形：
AB為兩圓的公切線，切點分別為A,B.
當公切線AB與直線平行時，公切線AB斜率不為7，即
不妨設
過作AB的平行線交于點E，
則：，且
,
直線的斜率為：，
所以直線AB與直線的夾角正切為：.
在直角三角形中，，所以，
又,整理得：，
解得：，又，解得：，，
所以=.
【例4-5】寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．
【答案】或或
【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，
兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，
如圖，當切線為l時，因為，所以，
設方程為
O到l的距離，解得，
所以l的方程為，
當切線為m時，設直線方程為，其中，，
由題意，解得，
當切線為n時，易知切線方程為.
【例4-6】已知點在圓：上，點，，滿足的點的個數為（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】設點，則，
且，由，得，
即，故點P的軌跡為一個圓心為、半徑為的圓，
則兩圓的圓心距為，半徑和為，半徑差為，
有，所以兩圓相交，滿足這樣的點P有2個.
【例4-7】若圓上總存在兩個點到點的距離為2，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】到點的距離為2的點在圓上，
所以問題等價于圓上總存在兩個點也在圓上，
即兩圓相交，故，
解得或，
所以實數a的取值范圍為．
【例4-8】已知圓，圓，若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，使得，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題可知圓O的半徑為，圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，
切點分別為A，B，使得，則，
在中，，
所以點在圓上，
由于點P也在圓M上，故兩圓有公共點.
又圓M的半徑等于1，圓心坐標，
，
∴，
∴.
故選：D.
【例4-9】已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為（ ）
A．3 B．8 C．4 D．9
【答案】D
【解析】因為圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，
所以兩圓相內切，其中C1(－2a，0)，r1＝2；C2(0，b)，r2＝1，故|C1C2|＝，由題設可知，
當且僅當a2＝2b2時等號成立．
【例4-10】下列方程中，圓與圓的公切線方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根據題意可知，，
如圖，設公切線l與圓，圓分別相切于第一象限的A，B兩點，
與x軸相交于點P，
由幾何關系可知，，，，
所以，，，，l的斜率為，
則l的方程為，即，
根據對稱可得出另一條公切線方程為.
【例4-11】圖為世界名畫《蒙娜麗莎》.假設蒙娜麗莎微笑時的嘴唇可看作半徑為的圓的一段圓弧，且弧所對的圓周角為.設圓的圓心在點與弧中點的連線所在直線上.若存在圓滿足：弧上存在四點滿足過這四點作圓的切線，這四條切線與圓也相切，則弧上的點與圓上的點的最短距離的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如圖，弧的中點為弧所對的圓周角為，則弧所對的圓心角為，
圓的半徑為，在弧上取兩點、，則，
分別過點、作圓的切線，并交直線于點，
當過點、的切線剛好是圓與圓的外公切線時，
劣弧上一定還存在點、，使過點、的切線為兩圓的內公切線，
則圓的圓心只能在線段上，且不包括端點，
過點，分別向、作垂線，垂足為、，則即為圓的半徑，
此時圓與圓皆滿足題意：弧上存在四點、、、，
過這四點作圓的切線，這四條切線與圓也相切.
線段交圓于點，則弧上的點與圓上的點的最短距離即為線段的長度.
在直角中，，
，
即弧上的點與圓上的點的最短距離的取值范圍為. 故選：.
題型五、兩圓的公共弦問題
【例5-1】圓與圓公共弦所在直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】將兩圓的方程相減得到兩個圓公共弦所在直線方程為.
【例5-2】已知圓與圓的公共弦所在直線恒過點P，則點P的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，
兩式相減得公共弦所在直線方程為：，
分別取，得，解得，即.
【例5-3】圓與的公共弦長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】已知圓，圓，
兩圓方程作差，得到其公共弦的方程為：：，
而圓心到直線的距離為，
圓的半徑為，所以，所以.
【例5-4】設點P為直線上的點，過點P作圓C：的兩條切線，切點分別為A，B，當四邊形PACB的面積取得最小值時，此時直線AB的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由于PA，PB是圓C：的兩條切線，A，B是切點，
所以，
當最小時，四邊形PACB的面積取得最小，
此時PC：，即，
聯立得所以，
PC的中點為，，
以PC為直徑的圓的方程為，即，
與圓C：兩圓方程相減可得直線AB的方程．
【例5-5】已知圓與圓交于不同的，兩點，下列結論正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】兩圓方程相減可得直線的方程為，即，故C不正確；
連立可得中點，易知A、B錯誤.
∴，兩式相減可得，故D正確.
【例5-5】已知圓與圓相交于點，，則四邊形的面積是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】根據條件易知，，所以，
圓的半徑為2，
圓與圓相交于點，，
的方程為：.即，圓到的距離為：
于是，
因為，
所以四邊形的面積為：.
題型六、與圓有關的最值問題
【例6-1】若為圓上的動點，當到直線的距離取得最大值時，直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圓的標準方程為，圓心為，
將直線的方程變形為，
由得，故直線過定點，如下圖所示：
當為射線與圓的交點且時，點到直線的距離最大，
因為，則直線的斜率為.
【例6-2】已知點在直線上，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則圓心到直線的距離的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由題意可得的圓心到直線的距離為
，即與圓相離；
設為直線上的一點，則，
過點P作圓的切線，切點分別為，則有，
則點在以為直徑的圓上，
以為直徑的圓的圓心為 ，
半徑為，
則其方程為，
變形可得 ，
聯立，可得：，
又由，則有 ，
變形可得 ，
則有，可得，故直線恒過定點，
設，由于，故點在內，
則時，C到直線的距離最大，
其最大值為.
【例6-3】在平面直角坐標系中，為原點，已知，設動點滿足，動點滿足，則的最大值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】因為，設動點滿足，
所以點在圓內部和圓周上，
因為動點滿足，
所以點的軌跡是以的直徑的圓，
如圖，延長交圓于點，
設的中點為，的中點為，
則，
若點在圓上時，兩點重合，兩點重合，
若點在圓內時，則，
所以，當且僅當點在圓上時，取等號，
則，當且僅當三點共線時，取等號，
因為，當且僅當重合時，取等號，
因為，所以，
所以，
當且僅當時，取等號，此時，
所以，當且僅當三點共線且點在圓與軸的交點處時，
取等號，所以的最大值為.故選：C.
【例6-4】若M，N為圓上任意兩點，P為直線上一個動點，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】過P作圓的兩條切線，切點為M，N，
根據切線的性質得，
在中，根據已知可得，
則當越小，則越大，
，
越大，越大，
則當PC與直線垂直時，此時最大，
根據切線的性質可得此時最大，
此時，則，即，
則的最大值為，故選：B.
【例6-5】已知實數滿足.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值.
【答案】（1）最大值為，最小值為；（2）最大值為，最小值為
【解析】（1）表示圓上的點與點連線的斜率，
設直線與圓相切，
則圓心到直線的距離，解得：，，
即的最大值為，最小值為.
（2）設，，，
則，
，，，，
即的最大值為，最小值為.
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