資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題三十 圓的方程
知識歸納
1、基本概念
平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）叫圓．
知識點二：基本性質(zhì)、定理與公式
2、圓的四種方程
（1）圓的標準方程：，圓心坐標為（a，b），半徑為
（2）圓的一般方程：，
圓心坐標為，半徑
（3）圓的直徑式方程：若，
則以線段AB為直徑的圓的方程是
（4）圓的參數(shù)方程：
①的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；
②的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．
注意：對于圓的最值問題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動點的坐標設為（為參數(shù)，為圓心，r為半徑），以減少變量的個數(shù)，建立三角函數(shù)式，從而把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解最值．
3、點與圓的位置關系判斷
（1）點與圓的位置關系：
①點P在圓外；
②點P在圓上；
③點P在圓內(nèi)．
（2）點與圓的位置關系：
①點P在圓外；
②點P在圓上；
③點P在圓內(nèi)．
典例分析
題型一、求圓多種方程的形式
【例1-1】已知的圓心是坐標原點，且被直線截得的弦長為，則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由題意，設圓的標準方程為，
則圓心到直線的距離為，
又由圓被直線截得的弦長為，
可得，化簡得，解得，即圓的方程為．
【例1-2】過點（7，-2）且與直線相切的半徑最小的圓方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】過點作直線的垂線，垂足為，
則以為直徑的圓為直線相切的半徑最小的圓，
其中，設，則，解得：，
故的中點，即圓心為，即，
故該圓為
【例1-3】若圓C與直線：和：都相切，且圓心在y軸上，則圓C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因為直線：和：的距離，
由圓C與直線：和：都相切，所以圓的半徑為，
又圓心在軸上，設圓心坐標為，，所以圓心到直線的距離等于半徑，
即，所以或（舍去），所以圓心坐標為，
故圓的方程為.
【例1-4】已知直線與以點為圓心的圓相交于A，B兩點，且，則圓C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題意，為等腰直角三角形，
所以圓心到直線的距離，即，解得，
所以圓C的方程為．
【例1-5】過點作圓兩條切線，切點分別為A、B，O為坐標原點，則的外接圓方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題意知O、A、B、P四點共圓，從而的中點坐標為所求圓的圓心，為所求圓的半徑，所以所求圓的方程為．
【例1-6】已知三個點，，，則的外接圓的圓心坐標是___________．
【答案】（1，3）
【解析】設圓的方程為，則，解得，
所以圓方程為，即，所以圓心坐標為．
【例1-7】圓心在直線y＝－2x上，并且經(jīng)過點，與直線x＋y＝1相切的圓C的方程是______．
【答案】
【解析】因為所求圓的圓心在直線y＝－2x上，所以可設圓心為，半徑為，
由題意知，，又圓C與直線x＋y＝1相切，由點到直線的距離公式可得，
，所以，解得，，
所以所求圓C的方程為．
題型二、直線系方程和圓系方程
【例2-1】過圓與的交點，且圓心在直線上的圓的方程是_______．
【答案】
【解析】設圓的方程為，
則，
即，所以圓心坐標為，
把圓心坐標代入，可得，
所以所求圓的方程為．
【例2-2】已知圓與圓相交于A、B兩點．
（1）求公共弦AB所在直線方程；
（2）求過兩圓交點A、B，且過原點的圓的方程．
【解析】（1），①
，②
①-②得
即公共弦AB所在直線方程為．
（2）設圓的方程為
即
因為圓過原點，所以，
所以圓的方程為
【例2-3】已知圓．求證：對任意不等于的實數(shù)，方程是通過兩個已知圓交點的圓的方程．
【解析】若是圓、圓的交點坐標，則且，
所以必在上，
又，
所以，則在時，方程表示圓，
綜上，對任意不等于的實數(shù)，方程是通過兩個已知圓交點的圓的方程．
【方法技巧與總結(jié)】
求過兩直線交點（兩圓交點或直線與圓交點）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交點，而是利用它們的直線系方程（圓系方程）．
（1）直線系方程：若直線與直線相交于點P，則過點P的直線系方程為：
簡記為：
當時，簡記為：（不含）
（2）圓系方程：若圓與圓相交于A，B兩點，則過A，B兩點的圓系方程為：
簡記為：，不含
當時，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）
注意：與圓C共根軸l的圓系
題型三、與圓有關的軌跡問題
【例3-1】已知點，，動點滿足，則點P的軌跡為___________．
【答案】
【解析】，
，
化簡得：，所以，點P的軌跡為圓：
【例3-2】古希臘幾何學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．在平面直角坐標系中，，，點滿足，則點的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，即設，
則，整理得．
【例3-3】設A，B是半徑為3的球體O表面上兩定點，且，球體O表面上動點P滿足，則點P的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以所在的平面建立直角坐標系，為軸，的垂直平分線為軸，
，則，，設，，
則，整理得到，
故軌跡是以為圓心，半徑的圓，
轉(zhuǎn)化到空間中：當繞為軸旋轉(zhuǎn)一周時，
不變，依然滿足，
故空間中的軌跡為以為球心，半徑為的球，
同時在球上，故在兩球的交線上，為圓.
球心距為，
為直角三角形，對應圓的半徑為，
周長為.
【例3-4】若圓與圓的公共弦的長為1，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．
B．
C．中點的軌跡方程為
D．中點的軌跡方程為
【答案】C
【解析】兩圓方程相減可得直線AB的方程為，即，
因為圓的圓心為，半徑為1，
且公共弦AB的長為1，則到直線的距離為，
所以，解得，故A、B錯誤；
由圓的性質(zhì)可知直線垂直平分線段，
所以到直線的距離
即為AB中點與點的距離，設AB中點坐標為，
因此，
即，故C正確，D錯誤.
【例3-5】已知圓，直線，過上的點作圓的兩條切線，切點分別為，則弦中點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】易得弦中點為直線和的交點，設，
則直線的方程為，又均與圓相切，
故，故四點共圓，且為以為直徑的圓與圓的公共弦．
又以為直徑的圓的方程為，即，
故的方程為相減，即．
又，所以，代入有，
化簡得．當時，；當時，均滿足方程．
又當時，不滿足題意．
綜上有點的軌跡方程為
【例3-6】已知A，B為圓上的兩個動點，P為弦的中點，若，則點P的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】圓即，半徑
因為，所以,又是的中點，所以
所以點的軌跡方程為
【例3-7】（多選題）已知，過定點的直線為與過定點的直線，兩條動直線的交點為，則（ ）
A．定點
B．定點
C．點的軌跡方程為
D．的最大值為
【答案】BC
【解析】對于A選項，直線過定點，A錯；
對于B選項，直線的方程可化為，
由可得，故定點，B對；
對于C選項，，所以，，所以，，
線段的中點為，且，所以，，
所以，點的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓，
所以，點的軌跡方程為，即，C對；
對于D選項，設點，，，
所以，，
所以，，
記點，則，
因為且，
所以，，
所以，，當且僅當、、三點共線且點在線段上時，
等號成立，故的最大值為，D錯．
【例3-8】（多選題）在平面直角坐標系內(nèi)，已知，，是平面內(nèi)一動點，則下列條件中使得點的軌跡為圓的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】設點C的坐標為 則
對于A：由得，即，故A錯誤；
對于B：由得，整理得，即，故B正確；
對于C：由得，即，故C正確；
對于D：由得，即，故D正確.
【例3-9】在邊長為1的正方形ABCD中，邊AB、BC上分別有一個動點Q、R，且．求直線AR與DQ的交點P的軌跡方程．
【解析】分別以AB，AD邊所在的直線為x軸、y軸建立直角坐標系．
如圖所示，則點、、、，
設動點，，
由知：，則．
當時，直線AR：①，直線DQ：，則②，
①×②得：，化簡得．
當時，點P與原點重合，坐標也滿足上述方程．
故點P的軌跡方程為．
【例3-10】設不同的兩點A，B在橢圓上運動，以線段AB為直徑的圓過坐標原點O，過O作，M為垂足．求點M的軌跡方程；
【解析】①若直線AB的斜率不存在，由已知得：點M的坐標為；
②若直線AB的斜率存在，設直線AB為，聯(lián)立橢圓，得：，
設，，則，，
以線段AB為直徑的圓過原點O，即，
所以，
所以，整理得：，又，故O到AB的距離．
綜合①②，點M的運動軌跡為O以為圓心，以1為半徑的圓，軌跡方程為：．
【例3-11】在平面直角坐標系中，曲線與兩坐標軸的交點都在圓上．
（1）求圓的方程；
（2）已知為坐標原點，點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程．
【解析】（1）由，
令，解得或；令，得，
所以圓過．
設圓的方程為，
，解得，
所以圓的方程為．
（2）設，則，
將的坐標代入圓的方程得，
即．
【例3-12】已知圓，直線l滿足___________（從①l過點，②l斜率為2，兩個條件中，任選一個補充在上面問題中并作答），且與圓C交于A，B兩點，求AB中點M的軌跡方程．
【解析】選擇條件①，設點，令定點為P，
因直線l過點P，且與圓C交于A，B兩點，M為AB的中點，
當直線l不過圓心C（0，0）時，則，有，
當直線l過圓心C時，圓心C是弦AB中點，此時，等式成立，
因此有，而，于是得，
即，由解得，，
而直線與圓相切的切點在圓C內(nèi)，
由點M在圓C內(nèi)，得且，
所以AB中點M的軌跡方程是：（且）．
選擇條件②，設點，
因l斜率為2，且與圓C交于A，B兩點，M為AB的中點，當直線l不過圓心C時，則，
則M的軌跡是過圓心且垂直于l的直線在圓C內(nèi)的部分（除點C外），
當直線l過圓心C時，圓心C是弦AB中點，即點C在點M的軌跡上，
因此，M的軌跡是過圓心且垂直于l的直線在圓C內(nèi)的部分，
而過圓心且垂直于l的直線為，
由解得或，而點M在圓C內(nèi)，則有，
所以AB中點M的軌跡方程是：．
題型四、用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件
【例4-1】若方程表示圓，則的取值范圍為________．
【答案】或
【解析】由圓的一般方程寫出標準方程，，
即
由，可得或．
【例4-2】設甲：實數(shù)；乙：方程是圓，則甲是乙的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】若方程表示圓，則，解得：；
∵，，甲是乙的必要不充分條件．
【例4-2】已知點A（1，2）在圓C：外，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題意，表示圓
故，即或
點A（1，2）在圓C：外
故，即
故實數(shù)m的取值范圍為或，即
【例4-3】曲線上存在兩點A，B到直線到距離等于到的距離，則（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】D
【解析】由曲線，可得，
即，為圓心為，半徑為7的半圓，
又直線為拋物線的準線，點為拋物線的焦點，
依題意可知A，B為半圓C與拋物線的交點，
由，得，
設，則，，
∴．
【例4-4】方程表示的曲線為（ ）
A．兩條線段 B．一條線段和一個圓
C．一條線段和半個圓 D．一條射線和半個圓
【答案】C
【解析】，
則或，又其表示線段
其表示半圓．
【例4-5】已知a∈R，若方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則此圓的圓心坐標為（ ）
A．（－2，－4） B．
C．（－2，－4）或 D．不確定
【答案】A
【詳解】∵方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，∴，解得或．
當時，方程化為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0．配方，得標準式方程（x＋2）2＋（y＋4）2＝25，
所得圓的圓心坐標為（－2，－4），半徑為5；
當時，方程化為x2＋y2＋x＋2y＋＝0，其中，方程不表示圓．
題型五、點與圓的位置關系判斷
【例5-1】已知直線過點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由可得點在單位圓上，
所以直線和圓有公共點．
所以圓心到直線的距離，即得到．
【例5-1】已知點在圓的內(nèi)部，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因為點在圓的內(nèi)部，則，解得．
題型六、數(shù)形結(jié)合思想的應用
【例6-1】（多選題）關于曲線：，下列說法正確的是（ ）
A．曲線圍成圖形的面積為
B．曲線所表示的圖形有且僅有條對稱軸
C．曲線所表示的圖形是中心對稱圖形
D．曲線是以為圓心，為半徑的圓
【答案】AC
【解析】曲線：如圖所示：
對于A：圖形在各個象限的面積相等，在第一象限中的圖形，是以為圓心，為半徑的圓的一半加一個直角三角形所得，，所以曲線圍成圖形的面積為，故A正確；
對于B，由圖可知，曲線所表示的圖形對稱軸有軸，軸，直線，直線四條，故B錯誤；
對于C，由圖可知，曲線所表示的圖形是關于原點對稱的中心對稱圖形，故C正確；
對于D，曲線的圖形不是一個圓，故D錯誤．
【例6-2】直線與曲線有且僅有一個公共點．則b的取值范圍是__________．
【答案】或．
【解析】由曲線，可得，表示以原點為圓心，半徑為的右半圓，
是傾斜角為的直線與曲線有且只有一個公共點有兩種情況：
（1）直線與半圓相切，根據(jù)，所以，結(jié)合圖像可得；
（2）直線與半圓的上半部分相交于一個交點，由圖可知．
故答案為：或．
【例6-3】若關于的方程有且僅有一個實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是________．
【答案】或或
【解析】設，
它表示圓心在原點的單位圓的上半圓，包括點．
設，它表示過定點，斜率為的直線，
由題得，
如圖，當直線斜率為零時，直線和半圓只有一個交點，滿足題意，
此時；
當直線在和之間的區(qū)域運動時直線和半圓只有一個交點，
滿足題意，此時或．
【例6-4】已知函數(shù)的圖像上有且僅有兩個不同的點關于直線的對稱點在的圖像上，則實數(shù)k的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】由，解得，又關于直線的對稱直線為，
則題設等價于函數(shù)的圖像和的圖象有兩個交點．
易得等價于，
畫出和的圖象，設直線和相切，
由，解得或（舍），
又當直線過點時，，
結(jié)合圖象可知，當時，
函數(shù)的圖像和的圖象有兩個交點．
【例6-5】已知是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關于點對稱，當時，，若方程的所有根的和為6，則實數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】方程的根轉(zhuǎn)化為和的圖象的公共點的橫坐標，
因為兩個圖象均關于點對稱，要使所有根的和為6，則兩個圖象有且只有3個公共點．
作出和的圖象如圖所示．
當時，只需直線與圓相離，可得；
當時，只需直線與圓相切，可得．
故k的取值范圍是．
【例6-6】廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互糾在一起，因而被習稱為“陰陽魚太極圖”如圖是放在平面直角坐標系中的“太極圖”整個圖形是一個圓形區(qū)域．其中黑色陰影區(qū)域在y軸左側(cè)部分的邊界為一個半圓．已知符號函數(shù)，則當時，下列不等式能表示圖中陰影部分的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】對于A選項，當時，，即表示圓內(nèi)部及邊界，顯然不滿足，故錯誤；
對于C選項，當時，，即表示圓外部及邊界，滿足；
當時，，即表示圓的內(nèi)部及邊界，滿足，故正確；
對于B選項，當時，，即表示圓內(nèi)部及邊界，顯然不滿足，故錯誤；
對于D選項，當時，，即表示圓外部及邊界，顯然不滿足，故錯誤 .
【例6-7】已知平面直角坐標系內(nèi)一動點P，滿足圓上存在一點Q使得，則所有滿足條件的點P構(gòu)成圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】當PQ與圓C相切時，，這種情況為臨界情況，當P往外時無法找到點Q使，當P往里時，可以找到Q使，故滿足條件的點P形成的圖形為大圓（包括內(nèi)部），如圖，
由圓，可知圓心，半徑為1，則大圓的半徑為，
∴所有滿足條件的點P構(gòu)成圖形的面積為．
題型七、與圓有關的對稱問題
【例7-1】若直線與圓的兩個交點關于直線對稱，則，的值分別是（ ）
A．， B．，4
C．， D．，4
【答案】D
【解析】由題意得與垂直，且直線過圓心，
所以，解得．
【例7-2】圓關于直線對稱的圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】圓的圓心坐標為，半徑為3
設點關于直線的對稱點為，
則 ，解之得
則圓關于直線對稱的圓的圓心坐標為
則該圓的方程為．
【例7-2】已知圓關于直線(，)對稱，則的最小值為（ ）
A． B．9 C．4 D．8
【答案】B
【解析】圓的圓心為，依題意，點在直線上，
因此，即，
∴，
當且僅當，即時取“=”，
所以的最小值為9．
【例7-3】設點，若直線關于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是________．
【答案】
【解析】關于對稱的點的坐標為，在直線上，
所以所在直線即為直線，所以直線為，即；
圓，圓心，半徑，
依題意圓心到直線的距離，
即，解得，即.
【例7-4】若圓關于直線和直線都對稱，則D＋E的值為_________．
【答案】4
【解析】圓的圓心為，
因為圓關于直線和直線都對稱，
所以圓心在直線上，也在直線上，
所以，解得，所以.
【方法技巧與總結(jié)】
（1）圓的軸對稱性：圓關于直徑所在的直線對稱
（2）圓關于點對稱：
①求已知圓關于某點對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程
②兩圓關于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點
（3）圓關于直線對稱：
①求已知圓關于某條直線對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程
②兩圓關于某條直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線
題型八、圓過定點問題
【例8-1】一動圓的圓心在拋物線上，且該動圓恒與直線相切，則動圓必經(jīng)過的定點為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題可知：拋物線的焦點為，準線方程為
根據(jù)拋物線的定義可知拋物線上任意一點到焦點的距離與到準線的距離相等，
所以可知該動圓必過拋物線的焦點
【例8-2】已知直線，圓，則直線l與圓C的位置關系是（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定
【答案】D
【解析】直線，即，
由解得，因此，直線恒過定點，
又圓，即，顯然點A在圓C外，
所以直線與圓C可能相離，可能相切，也可能相交，A，B，C都不正確，D正確．
【例8-3】點是直線上任意一點，是坐標原點，則以為直徑的圓經(jīng)過定點（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】D
【解析】設點，則線段的中點為，
圓的半徑為，
所以，以為直徑為圓的方程為，
即，即，
由，解得或，
因此，以為直徑的圓經(jīng)過定點坐標為、．
【例8-4】判別方程（k為參數(shù)，）表示何種曲線 找出通過定點的坐標．
【解析】將原方程整理得，
即，
方程表示圓心在，半徑為的圓，
將原方程整理為關于k的方程：，
由解得即圓過定點．
【例8-5】在平面直角坐標系中，設二次函數(shù)的圖象與兩坐標軸有三個不同的交點．經(jīng)過這三個交點的圓記為．
（I）求實數(shù)的取值范圍；
（II）求圓的一般方程；
（III）圓是否經(jīng)過某個定點（其坐標與無關）？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【解析】（I）令得拋物線與軸交點是；
令，由題意，且，
解得，且．
（II）設所求圓的一般方程為，
令得，，
這與是同一個方程，故，．
令得，，此方程有一個根為，代入得出，
所以圓的一般方程為：．
（III）圓過定點和．
證明如下：圓的方程改寫為，
于是有，解得或，
故過定點和．
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
" 21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
專題三十 圓的方程
知識歸納
1、基本概念
平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）叫圓．
知識點二：基本性質(zhì)、定理與公式
2、圓的四種方程
（1）圓的標準方程：，圓心坐標為（a，b），半徑為
（2）圓的一般方程：，
圓心坐標為，半徑
（3）圓的直徑式方程：若，
則以線段AB為直徑的圓的方程是
（4）圓的參數(shù)方程：
①的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；
②的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．
注意：對于圓的最值問題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動點的坐標設為（為參數(shù)，為圓心，r為半徑），以減少變量的個數(shù)，建立三角函數(shù)式，從而把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解最值．
3、點與圓的位置關系判斷
（1）點與圓的位置關系：
①點P在圓外；
②點P在圓上；
③點P在圓內(nèi)．
（2）點與圓的位置關系：
①點P在圓外；
②點P在圓上；
③點P在圓內(nèi)．
典例分析
題型一、求圓多種方程的形式
【例1-1】已知的圓心是坐標原點，且被直線截得的弦長為，則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【例1-2】過點（7，-2）且與直線相切的半徑最小的圓方程是（ ）
A． B．
C． D．
【例1-3】若圓C與直線：和：都相切，且圓心在y軸上，則圓C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【例1-4】已知直線與以點為圓心的圓相交于A，B兩點，且，則圓C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【例1-5】過點作圓兩條切線，切點分別為A、B，O為坐標原點，則的外接圓方程是（ ）
A． B．
C． D．
【例1-6】已知三個點，，，則的外接圓的圓心坐標是___________．
【例1-7】圓心在直線y＝－2x上，并且經(jīng)過點，與直線x＋y＝1相切的圓C的方程是______．
題型二、直線系方程和圓系方程
【例2-1】過圓與的交點，且圓心在直線上的圓的方程是_______．
【例2-2】已知圓與圓相交于A、B兩點．
（1）求公共弦AB所在直線方程；
（2）求過兩圓交點A、B，且過原點的圓的方程．
【例2-3】已知圓．求證：對任意不等于的實數(shù)，方程是通過兩個已知圓交點的圓的方程．
【方法技巧與總結(jié)】
求過兩直線交點（兩圓交點或直線與圓交點）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交點，而是利用它們的直線系方程（圓系方程）．
（1）直線系方程：若直線與直線相交于點P，則過點P的直線系方程為：
簡記為：
當時，簡記為：（不含）
（2）圓系方程：若圓與圓相交于A，B兩點，則過A，B兩點的圓系方程為：
簡記為：，不含
當時，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）
注意：與圓C共根軸l的圓系
題型三、與圓有關的軌跡問題
【例3-1】已知點，，動點滿足，則點P的軌跡為___________．
【例3-2】古希臘幾何學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．在平面直角坐標系中，，，點滿足，則點的軌跡方程為（ ）
A． B． C． D．
【例3-3】設A，B是半徑為3的球體O表面上兩定點，且，球體O表面上動點P滿足，則點P的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
【例3-4】若圓與圓的公共弦的長為1，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．
B．
C．中點的軌跡方程為
D．中點的軌跡方程為
【例3-5】已知圓，直線，過上的點作圓的兩條切線，切點分別為，則弦中點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【例3-6】已知A，B為圓上的兩個動點，P為弦的中點，若，則點P的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【例3-7】（多選題）已知，過定點的直線為與過定點的直線，兩條動直線的交點為，則（ ）
A．定點
B．定點
C．點的軌跡方程為
D．的最大值為
【例3-8】（多選題）在平面直角坐標系內(nèi)，已知，，是平面內(nèi)一動點，則下列條件中使得點的軌跡為圓的有（ ）
A． B．
C． D．
【例3-9】在邊長為1的正方形ABCD中，邊AB、BC上分別有一個動點Q、R，且．求直線AR與DQ的交點P的軌跡方程．
【例3-10】設不同的兩點A，B在橢圓上運動，以線段AB為直徑的圓過坐標原點O，過O作，M為垂足．求點M的軌跡方程；
【例3-11】在平面直角坐標系中，曲線與兩坐標軸的交點都在圓上．
（1）求圓的方程；
（2）已知為坐標原點，點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程．
【例3-12】已知圓，直線l滿足___________（從①l過點，②l斜率為2，兩個條件中，任選一個補充在上面問題中并作答），且與圓C交于A，B兩點，求AB中點M的軌跡方程．
題型四、用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件
【例4-1】若方程表示圓，則的取值范圍為________．
【例4-2】設甲：實數(shù)；乙：方程是圓，則甲是乙的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【例4-2】已知點A（1，2）在圓C：外，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【例4-3】曲線上存在兩點A，B到直線到距離等于到的距離，則（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【例4-4】方程表示的曲線為（ ）
A．兩條線段 B．一條線段和一個圓
C．一條線段和半個圓 D．一條射線和半個圓
【例4-5】已知a∈R，若方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則此圓的圓心坐標為（ ）
A．（－2，－4） B．
C．（－2，－4）或 D．不確定
題型五、點與圓的位置關系判斷
【例5-1】已知直線過點，則（ ）
A． B．
C． D．
【例5-1】已知點在圓的內(nèi)部，則（ ）
A． B．
C． D．
題型六、數(shù)形結(jié)合思想的應用
【例6-1】（多選題）關于曲線：，下列說法正確的是（ ）
A．曲線圍成圖形的面積為
B．曲線所表示的圖形有且僅有條對稱軸
C．曲線所表示的圖形是中心對稱圖形
D．曲線是以為圓心，為半徑的圓
【例6-2】直線與曲線有且僅有一個公共點．則b的取值范圍是__________．
【例6-3】若關于的方程有且僅有一個實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是________．
【例6-4】已知函數(shù)的圖像上有且僅有兩個不同的點關于直線的對稱點在的圖像上，則實數(shù)k的取值范圍是__________．
【例6-5】已知是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關于點對稱，當時，，若方程的所有根的和為6，則實數(shù)的取值范圍是______．
【例6-6】廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互糾在一起，因而被習稱為“陰陽魚太極圖”如圖是放在平面直角坐標系中的“太極圖”整個圖形是一個圓形區(qū)域．其中黑色陰影區(qū)域在y軸左側(cè)部分的邊界為一個半圓．已知符號函數(shù)，則當時，下列不等式能表示圖中陰影部分的是（ ）
A． B．
C． D．
【例6-7】已知平面直角坐標系內(nèi)一動點P，滿足圓上存在一點Q使得，則所有滿足條件的點P構(gòu)成圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
題型七、與圓有關的對稱問題
【例7-1】若直線與圓的兩個交點關于直線對稱，則，的值分別是（ ）
A．， B．，4
C．， D．，4
【例7-2】圓關于直線對稱的圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【例7-2】已知圓關于直線(，)對稱，則的最小值為（ ）
A． B．9 C．4 D．8
【例7-3】設點，若直線關于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是________．
【例7-4】若圓關于直線和直線都對稱，則D＋E的值為_________．
【方法技巧與總結(jié)】
（1）圓的軸對稱性：圓關于直徑所在的直線對稱
（2）圓關于點對稱：
①求已知圓關于某點對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程
②兩圓關于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點
（3）圓關于直線對稱：
①求已知圓關于某條直線對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程
②兩圓關于某條直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線
題型八、圓過定點問題
【例8-1】一動圓的圓心在拋物線上，且該動圓恒與直線相切，則動圓必經(jīng)過的定點為（ ）
A． B． C． D．
【例8-2】已知直線，圓，則直線l與圓C的位置關系是（ ）
A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定
【例8-3】點是直線上任意一點，是坐標原點，則以為直徑的圓經(jīng)過定點（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【例8-4】判別方程（k為參數(shù)，）表示何種曲線 找出通過定點的坐標．
【例8-5】在平面直角坐標系中，設二次函數(shù)的圖象與兩坐標軸有三個不同的交點．經(jīng)過這三個交點的圓記為．
（I）求實數(shù)的取值范圍；
（II）求圓的一般方程；
（III）圓是否經(jīng)過某個定點（其坐標與無關）？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
" 21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑